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Bayes

  1. 1. CORPORACION UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS INGENIERA INDUSTRIAL PROBABILIDAD Y ESTADISTICA NRC: 4151 TEOREMA DE BAYES 17 / ABRIL / 2012 ALEJANDRO ACEVEDO ID:000087629
  2. 2. TEOREMA DE BAYESEl autor R.L. Mills (5) hace una interesante introducción al Teorema de Bayes,citando a su vez al libro de WillDurant: “La Epoca de Voltaire”. Leemos losiguiente: „Describe W. Durant el periodo entre 1715 y 1789 de la siguientemanera:"La ciencia estaba ofreciendo una nueva revelación ..Dos sacerdocios seenfrentaban en conflicto: el uno dedicado al moldeamiento del carácter mediantela religion, el otro a la educación del intelecto mediante la ciencia."El Reverendo Thomas Bayes estaba dividido en ese conflicto. Como sacerdote ycomo matemático, estaba afectado por las relaciones causa - efecto. Tanto elteorema que lleva su nombre como el concepto de "probabilidad subjetiva" de élderivado han producido una revolución en nuestro tiempo.La regla de Bayes es solo una técnica para calcular probabilidades condicionales,y como regla de probabilidad es indiscutible así como su validez. A partir de unconjunto de probabilidades llamadas "a priori" o "sin corregir", calcula un conjuntode probabilidades "a posteriori" o "corregidas" que no son mas que unamodificación de las primeras ante la evidencia de que un determinado suceso haocurrido.Para aclarar estos conceptos, observemos a continuación la diferencia entreel planteo de probabilidad condicional realizado hasta este momento y el deBayes. Cuando nosotros escribimos:P(B|A)decimos que esto es - la probabilidad de que habiendo ocurrido el suceso A, ocurra B. Probabilidadcondicional.El planteo que hace la Regla de Bayes es:- el suceso B ha ocurrido, cual es la probabilidad de que provenga de A. Que Asea causa de B. O sea debo hallar P(A|B).De una manera mas general podemos decir : El evento B ha ocurrido, cual es laprobabilidad de que haya sido generado por el suceso A1, el A2, etc.; causasposibles y excluyentes entre si.Sabemos que P(B|A1) = P(B ^ A1)/P(A1)y P(A1|B) = P(B ^ A1)/P(B ) De lo que se deduce,
  3. 3. P(A1|B).P(B) = P(B|A1).P(A1)Despejando P(A1|B) , (ii) P(A1|B) = P(B|A1).P(A1)/P(B)Para calcular P(B), supongamos que hay N eventos (A1,A2,A3,..An) mutuamenteexcluyentes entre si que podrían causar el evento B(efecto). El efecto B deberíaser generado por una de esas causas; entonces la probabilidad de que B ocurrapuede estar dada por: P(B) = P[(A1^B) U (A2^B) U (A3 ^ B) U...U (An^B)]Como los sucesos Ai son mutuamente excluyentes, entonces: (Ai^B) y (Aj^B)deben serlo para todo i distinto de j. Por la regla de adición obtenemos: P(B) = P(A1).P(B|A1) + P(A2).P(B|A2) +...+ P(An).P(B|An)Reemplazando este resultado en la ecuación (ii) obtenemos la REGLA DE BAYES P(A1|B) = P(A1).P(B|A1) / { P(A1).P(B|A1)+....+P(An)P(B|An) }De un modo más general: P(Ai|B) = P(Ai).P(B|Ai) / { P(Ak).P(B|Ak) } para i=1...nRepasemos el significado de estos términos:P(Ai|B) = Dado que ya ocurrió el evento B(efecto), probabilidad de que lo causaraAi.P(Ai) = Probabilidad de ocurrencia del evento Ai ; probabilidad “a priori” o sincorregir.P(B|Ai) = Probabilidad del evento B dado que Ai ocurre.
  4. 4. EJEMPLO:Analicemos el siguiente ejemplo:Supongamos que la probabilidad de encontrar una mujer morocha en Sudaméricasea P(m|s)=0.7. En Centroamérica P(m|c)= 0.9 y en América del NorteP(m|n)=0.4.Ahora bien; se realiza un concurso de belleza para elegir Mis América. De lasparticipantes el 30% son sudamericanas, el 20% de Centroamérica y el 50%restante del norte.De golpe a Ud. le presentan una morocha. Apostaría de que parte del continenteproviene?Extractamos la información y observamos las siguientes probabilidades "a priori"de hallar una mujer de c/u de las regiones del continente del total de lasparticipantes del concurso: P(s) = 0.3 P(c) = 0.2 P(n) = 0.5A su vez la probabilidad de hallar una morocha según la región continental será:P(m|s) = 0.7P(m|c) = 0.9P(m|n) = 0.4Aplicando la regla de Bayes debemos hallar P(s|m), P(c|m) , y P(n|m); bajo lacerteza que ocurrió el suceso : {MOROCHA}Resulta: P(s|m) = P(m|s) x P(s) / (P(m|s).P(s)+P(m|c).P(c)+P(m|n).P(n)) P(s|m) = 0.7 x 0.3 / (0.7x0.3 + 0.9x0.2 + 0.4x0.5)
  5. 5. Generando una tabla de doble entrada como vimos en otra nota anterior, nosqueda:sud. cent. nort. P (tez)m. mor. 0.21 0.18 0.20 0.59 m. no mor. 0.09 0.02 0.30 0.41 P (origen) 0.30 0.20 0.50 1Así las probabilidades marginales nos informan de la probabilidad del color de tezindependientemente del origen geográfico y viceversa P(origen), sin tomar encuenta el tipo de tez.Usando los valores de tabla podemos hallar las probabilidades a posteriori : P(s|m) = 0.21 / 0.59 = 0.36 P(c|m) = 0.18 / 0.59 = 0.31 P(n|m) = 0.20 / 0.59 = 0.33De donde se induce que lo más probable es que se trate de una sudamericana.Los demás valores de tabla fueron calculados como la probabilidad de unaintersección de sucesos o probabilidad conjunta como se vio anteriormente(iii, y jjj), P(A^B)=P(A|B) x P(B),numerador en la regla de Bayes).
  6. 6. BIBLIOGRAFIA1) CANAVOS G.C. Probabilidad y Estadística, aplicaciones y métodos. Mc Graw-Hill - 19882) KALBFLEISCH J.C. Probabilidad e inferencia estadística. Editorial AC - Madrid - 19843) MEYER P.L. Probabilidades y aplicaciones estadísticas. Fondo EducativoInteramericano - 1973 4) MILLER I. y FREUND J.E.(*) Probabilidad y estadistica para ingenieros. Prentice Hall - 1986 5) MILLS R.L. Estadística para la economía y la administración. Mc Graw-Hill – 1977

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