Tema 3. Teoremas de la Teoría de Circuitos     3.1 Introducción                               RTh           i             ...
3.1 Introducción- Como hemos visto en temas anteriores, las ecuaciones de Kirchhoff  permiten analizar un circuito sin alt...
3.2 Superposición- La aplicación del principio de superposición tiene los siguientes pasos:  1. Apagar todas las fuentes i...
Solución:- Puesto que hay dos fuentes       v = v1 + v2           Ra - v1 es la tensión debida a Vs con Is=0              ...
3.3 Transformación de fuentes- La transformación de fuentes se usa para simplificar circuitos  Una transformación de fuent...
-Ejemplo 2: Calcular v0 en el circuito de la figura. Para ello, reducir el circuito a un divisor de corriente aplicando tr...
6Ω              3Ω                                              +                             −                           ...
3.4 Teorema de Thevenin- Suele ocurrir que un elemento de un circuito sea variable (carga),  mientras que los demás perman...
3.4 Teorema de Thevenin- Cálculo de la resistencia equivalente de Thevenin, RTh: - Se ponen a cero las fuentes independien...
-Ejemplo 3: Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figura                                                    ...
- Para obtener la tensión Thevenin calculamos la tensión de circuito abierto en los terminales A-B                        ...
3.4 Teorema de Thevenin- Determinación de la resistencia de entrada Rin:  - CASO 2: Circuito CON fuentes dependientes.    ...
2 vxSolución:                                         +                                        2Ω                    2Ω   ...
- Para obtener la tensión Thevenin calculamos la tensión de circuito  abierto                                             ...
3.5 Teorema de Norton- Cálculo de la corriente de Norton: - Utilizamos como circuito de carga un corto circuito           ...
- Ejemplo 5: Calcular el equivalente Norton del circuito de la figura.  Is = 2 A, Vs = 12 V, R1 = 4 Ohm, R2 = R4 = 8 Ohm, ...
- Cálculo de la fuente de corriente equivalente de Norton IN - Calculamos la corriente de cortocircuito                   ...
3.6 Máxima transferencia de potencia                                                             RTh            i- Demostr...
Solución:- Comenzaremos determinando el equivalente Thevenin del  circuito fuente - Cálculo de la resistencia Thevenin RTh...
- Cálculo de la potencia máxima                             RTh                                     A                     ...
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Presentacion teoremas thevenin

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  1. 1. Tema 3. Teoremas de la Teoría de Circuitos 3.1 Introducción RTh i A 3.2 Superposición + 3.3 Transformación de fuentes + VTh − v RL 3.4 Teorema de Thevenin − 3.5 Teorema de Norton B 3.6 Máxima transferencia de potencia 1Bibliografía Básica para este Tema: [1] C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, “Fundamentos de circuitos eléctricos”, 3ª ed., McGraw-Hill, 2006. [2] R. C. Dorf, J. A. Svoboda, “Introduction to electric circuits”, 7th ed., John Wiley & Sons, 2006. Sadiku Tema 4 Dorf Tema 5- Esta presentación se encuentra, temporalmente, en: http://personales.unican.es/peredaj/AC.htm 2 1
  2. 2. 3.1 Introducción- Como hemos visto en temas anteriores, las ecuaciones de Kirchhoff permiten analizar un circuito sin alterar su configuración original.- Sin embargo, la complejidad creciente de los circuitos que se usan en la práctica hace que los cálculos se vuelvan tediosos.- En este tema veremos un conjunto de técnicas que permiten reducir la complejidad que un circuito antes de proceder a su análisis: - El principio de superposición - La transformación de fuentes - Los teoremas de Thevenin y Norton 33.2 Superposición- Un circuito lineal es aquél que sólo tiene elementos lineales y fuentes- Un elemento lineal es aquél cuya relación i-v es lineal: v = a i, con a = cte- En esta asignatura sólo se consideran circuitos lineales- Los circuitos lineales verifican el principio de superposición El principio de superposición establece que la tensión entre los extremos (o corriente a través) de un elemento de un circuito lineal es la suma algebraica de las tensiones (o corrientes) a través de ese elemento debidas a cada una de las fuentes independientes cuando actúa sola.- El principio de superposición ayuda a analizar un circuito lineal con más de una fuente independiente mediante el cálculo de la contribución de cada fuente independiente por separado 4 2
  3. 3. 3.2 Superposición- La aplicación del principio de superposición tiene los siguientes pasos: 1. Apagar todas las fuentes independientes excepto una. Encontrar la salida (tensión o corriente) debido a la fuente activa. 2. Repetir el paso anterior para cada una de las fuentes independientes presentes en el circuito. 3. La contribución total vendrá dada por la suma algebraica de las contribuciones de cada una de las fuentes independientes. - Observaciones: - Apagar una fuente independiente de tensión implica reemplazarla por una fuente de tensión de 0V (cortocircuito) - Apagar una fuente independiente de corriente implica reemplazarla por una fuente de corriente de 0A (circuito abierto) - Las fuentes dependientes no se modifican 5-Ejemplo 1: Calcular v en el circuito de la figura, aplicando el principio de superposición. Ra = 8 Ohm, Rb = 4 Ohm, Vs = 6 V, Is = 3 A A&S-3ª Ej. 4.3 Ra + Vs + − v Rb Is − 6 3
  4. 4. Solución:- Puesto que hay dos fuentes v = v1 + v2 Ra - v1 es la tensión debida a Vs con Is=0 + - v2 es la tensión debida a Is con Vs=0 Vs + − v Rb Is −- Cálculo de v1: (dejamos Is en circuito abierto) Ra - Aplicando la KVL: Vs = Ra i + Rb i + Vs 6 - luego i = = = 0.5 A VS + − i Rb v1 Ra + Rb 8 + 4 − - Por tanto v1 = Rbi = 4 × 0.5 = 2 V 7- Cálculo de v2: (cortocircuitamos Vs ) Ra v2 v2 - Aplicando la KCL: Is = + + Ra Rb v2 Rb Is Ra Rb 8× 4 − - luego v2 = Is = ×3 = 8 V Ra + Rb 8+4- La solución final es: v = v1 + v2 = 2 + 8 = 10 V 8 4
  5. 5. 3.3 Transformación de fuentes- La transformación de fuentes se usa para simplificar circuitos Una transformación de fuentes es el proceso de sustituir una fuente de tensión vs en serie con una resistencia R por una fuente de corriente is en paralelo con una resistencia R, o viceversa R i A i A + + + vs − v circuito ⇔ is R v circuito − − B B vS = RiS 93.3 Transformación de fuentes- Comprobación R i A + + vs − v circuito - Aplicando KVL: − vs = Ri + v ⇒ i = vs v − B R R vs i is = A R + - Aplicando KCL: v v is R v circuito is = + i ⇒ i = is − − R R B ¡Debe cumplise para que ambos circuitos sean equivalentes! 10 5
  6. 6. -Ejemplo 2: Calcular v0 en el circuito de la figura. Para ello, reducir el circuito a un divisor de corriente aplicando transformación de fuentes A&S-3ª Ej. 4.6 2Ω 3Ω + 4Ω 3A 8Ω v0 + − 12 V − 11Solución: 2Ω 3Ω + 4Ω 3A 8Ω v0 + − 12 V −- Comenzamos transformando la fuente de corriente a una de tensión: vS = RiS = 4 × 3 = 12 V 4Ω 2Ω 3Ω + − 8Ω + 12 V + v0 − 12 V −- Ahora, asociamos las dos resistencias en serie: 12 6
  7. 7. 6Ω 3Ω + − + 12 V + 8Ω v0 − 12 V −- Seguidamente, transformamos las fuentes de tensión: vS 12 vS 12 iS = = =2A iS = = =4A R 6 R 3 + 2A 6Ω 8Ω v0 3Ω 4A −- Agrupando resistencias y fuentes: 13 i0 6×3 6 Ω || 3 Ω = =2Ω + 6+3 2A 2Ω 8Ω v0 −- Por último, usamos la fórmula del divisor de corriente: 2 i0 = × 2 = 0.4 A 2+8- y la ley de Ohm: v0 = Ri0 = 8 × 0.4 = 3.2 V 14 7
  8. 8. 3.4 Teorema de Thevenin- Suele ocurrir que un elemento de un circuito sea variable (carga), mientras que los demás permanecen fijos. Entonces, cada vez que se cambia la carga debemos volver a analizar todo.- El teorema de Thevenin proporciona una técnica para sustituir la parte fija por un circuito equivalente sencillo. El teorema de Thevenin establece que un circuito lineal de dos terminales puede sustituirse por un circuito equivalente formado por una fuente de tensión VTh en serie con una resistencia RTh i RTh i A A circuito lineal + + de dos v carga + VTh − v carga terminales − − B B Circuito original Circuito equivalente de Thevenin 153.4 Teorema de Thevenin- Cálculo de la tensión equivalente de Thevenin: - Utilizamos como circuito de carga un circuito abierto i=0A RTh i = 0 A circuito lineal + + de dos voc + VTh − voc = VTh terminales − − B B - En esta situación se cumple VTh = voc 16 8
  9. 9. 3.4 Teorema de Thevenin- Cálculo de la resistencia equivalente de Thevenin, RTh: - Se ponen a cero las fuentes independientes. Entonces la RTh coincide con la resistencia de entrada Rin vista en los terminales del circuito RTh A A circuito con Rin RTh = Rin fuentes + VTh = 0 − independientes puestas a cero B B - Entonces RTh = Rin (con las fuentes independientes a cero) - Poner las fuentes independientes a cero significa: 1. Cortocircuitar las fuentes independientes de tensión 2. Dejar en circuito abierto las fuentes independientes de corriente 173.4 Teorema de Thevenin- Determinación de la resistencia de entrada Rin: - CASO 1: Circuito SIN fuentes dependientes. 1. Se ponen las fuentes independientes a cero 2. Se calcula Rin mediante asociación de resistencias A circuito con fuentes Rin independientes puestas a cero B 18 9
  10. 10. -Ejemplo 3: Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figura A&S-3ª Ej. 4.8 4Ω 1Ω A 32 V + − 12 Ω 2A B 19Solución: 4Ω 1Ω A 32 V + − 12 Ω 2A B- Comenzamos calculando la resistencia Thevenin. Para ello, ponemos a cero las fuentes independientes y calculamos la resistencia de entrada 4Ω 1Ω A Rin 12 Ω B 4 ×12 Rin = (4 Ω || 12 Ω ) + 1 Ω = +1 = 4 Ω 4 + 12 20 10
  11. 11. - Para obtener la tensión Thevenin calculamos la tensión de circuito abierto en los terminales A-B 4Ω 1Ω A i=0 + 32 V + − 12 Ω 2A VTh − B- Resolvemos por análisis de nudos 4Ω i1 VTh i3 - KCL: i1 + i3 = i2 i2 - Usando la ley de Ohm: 32 V + − 12 Ω 2A 32 − VTh V + 2 = Th 4 12 - Despajando: VTh = 30 V 21- Por tanto: 4Ω 1Ω A 32 V + − 12 Ω 2A B 4Ω A 30 V + − B 22 11
  12. 12. 3.4 Teorema de Thevenin- Determinación de la resistencia de entrada Rin: - CASO 2: Circuito CON fuentes dependientes. 1. Se ponen las fuentes independientes a cero 2a. Se aplica una fuente de tensión v0 entre los terminales AB y se calcula la corriente i0 que circula por la fuente. 2b. O bien, se aplica una fuente de corriente i0 entre los terminales AB y se calcula la tensión v0 entre dichos terminales. Entonces Rin=v0/i0 i0 A A circuito con circuito con + fuentes + v0 − fuentes v0 i0 independientes independientes puestas a cero puestas a cero − B B (2a) Rin = v0 i0 (2b) Rin = v0 i0 23-Ejemplo 4: Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figura A&S-3ª Ej. 4.9 2 vx + 2Ω 2Ω A + 5A 4Ω vx 6Ω − B 24 12
  13. 13. 2 vxSolución: + 2Ω 2Ω A + 5A 4Ω vx 6Ω − B- Comenzamos calculando la resistencia Thevenin. Para ello, ponemos a cero las fuentes independientes, ponemos una fuente de tensión v0 entre los terminales y calculamos la corriente que pasa por ella. 2 vx + 2Ω 2Ω i0 A Rin = v0 i0 + 4Ω vx 6Ω + v0 − − 25 B- Resolvemos por análisis de nudos: 2 vx ix + 2Ω D 2Ω i0 C - NUDO C: i2 = i1 + ix A i1 + i3 - NUDO D: i0 + ix = i2 + i3 i2 6Ω + v0 4Ω vx − − B- En función de las tensiones de nudo: VC = v x ; VD = 3v x ; VA = v0 2v x v x = + ix 2 4 2 vx = v0 v0 − 3v x 2v 3v 9 + ix = x + x v0 = RTh = 6Ω 2 2 6 i0 - De la ley de Ohm en A-D: v0 − 3v x = 2i0 26 13
  14. 14. - Para obtener la tensión Thevenin calculamos la tensión de circuito abierto 2 v x ix- Resolvemos por análisis de nudos: +- NUDO C: i2 + 5 = i1 + ix C 2Ω D 2Ω A- NUDO D: ix = i2 + i3 i1 + i3 i=0 + i2 5A 4Ω vx 6Ω VTh − − B- En función de las tensiones de nudo: VC = v x ; VD = VA = VTh = 3v x 2v x v + 5 = x + ix 2 4 20 vx = V VTh = 3v x = 20 V 2v 3v 3 ix = x + x 2 6 273.5 Teorema de Norton- El teorema de Norton es el dual del teorema de Thevenin El teorema de Norton establece que un circuito lineal de dos terminales puede sustituirse por un circuito equivalente formado por una fuente de corriente IN en paralelo con una resistencia RN i A i A circuito lineal + + de dos v carga IN RN v carga terminales − − B B Circuito original Circuito equivalente de Norton 28 14
  15. 15. 3.5 Teorema de Norton- Cálculo de la corriente de Norton: - Utilizamos como circuito de carga un corto circuito isc isc A A circuito lineal + + de dos v=0 IN RN v = 0 terminales − − B B - En esta situación se cumple I N = isc 293.5 Teorema de Norton- Cálculo de la resistencia de Norton: - Partimos del equivalente Thevenin y aplicamos transformación de fuentes RTh i i A RN = RTh A + + + VTh − v IN RN v VTh − IN = − RTh B B VTh = voc - Además, teniendo en cuenta que I N = isc - se obtiene VTh voc RTh = RN = = IN isc 30 15
  16. 16. - Ejemplo 5: Calcular el equivalente Norton del circuito de la figura. Is = 2 A, Vs = 12 V, R1 = 4 Ohm, R2 = R4 = 8 Ohm, R3 = 5 Ohm A&S-3ª Ej. 4.11 R2 A R1 Is R3 Vs + − B R4 31Solución:- Cálculo de la resistencia equivalente de Norton RN - Ponemos a cero las fuentes independientes R2 A R1 R3 RN B R4 20 × 5 RN = ( R1 + R2 + R4 ) || R3 = 20 || 5 = = 4Ω 20 + 5 32 16
  17. 17. - Cálculo de la fuente de corriente equivalente de Norton IN - Calculamos la corriente de cortocircuito + R2 − A + I N = isc R1 Is i1 − R3 i2 Vs + − − R4 + B - Malla 1: i2 = IS - KVL para la malla 2: − Vs − R1 ( I S − i2 ) + R2i2 + R4i2 = 0 Vs + R1 I S 12 + 4 × 2 - Resolviendo: i2 = = =1A R1 + R2 + R4 4 + 8 + 8 I N = i2 = 1 A 333.6 Máxima transferencia de potencia- En muchas situaciones prácticas un circuito se diseña para suministrar potencia a una carga En condiciones de circuito fuente fijo y carga variable, la transferencia de potencia a la carga es máxima cuando la resistencia de carga RL es igual a la resistencia del equivalente Thevenin del circuito fuente RTh visto desde la fuente RTh A circuito + VTh − fuente RL ⇒ RL B p = pmax ⇒ RL = RTh 34 17
  18. 18. 3.6 Máxima transferencia de potencia RTh i- Demostración A - Partimos del equivalente Thevenin + del circuito fuente + VTh − v RL RL − v= VTh RTh + RL RL B p = vi = V2 i= v = VTh (RTh + RL )2 Th RL RTh + RL ∂p R − RL - Para encontrar el máximo derivamos: = Th V2 ∂RL (RTh + RL )3 Th ∂p - Igualando a cero la derivada: = 0 ⇒ RL = RTh ∂RL ∂ 2p - Se puede comprobar que <0 ∂RL2 2 VTh - La potencia máxima resulta: pmax = 4 RL 35- Ejemplo 6: Determinar el valor de RL para que la transferencia de potencia en el circuito de la figura sea máxima. Calcular la potencia máxima. A&S-3ª Ej. 4.13 6Ω 3Ω 2Ω A 12 V + − 12 Ω 2A RL B 36 18
  19. 19. Solución:- Comenzaremos determinando el equivalente Thevenin del circuito fuente - Cálculo de la resistencia Thevenin RTh 6Ω 3Ω 2Ω A 12 Ω RTh B 6 ×12 RTh = (6Ω || 12Ω ) + 3Ω + 2Ω = +3+ 2 = 9 Ω 6 + 12 37 - Cálculo de la tensión Thevenin VTh + 6Ω 3Ω 2Ω − + − A + + + 12 V + − 12 Ω i2 v x 2A VTh i1 − − − B 2 - Malla 1: − 12 + 6i1 + 12(i1 + 2) = 0 i1 = − A 3 - Malla 2: i2 = −2 A - Cálculo de VTh: 6Ω 3Ω 2Ω A VTh = 12 − 6i1 − 3i2 + + i1 i2 i=0 VTh = 22 V 12 V − VTh − B 38 19
  20. 20. - Cálculo de la potencia máxima RTh A + VTh − RTh B 2 VTh 22 2 pmax = = = 13.44 V 4 RL 4 × 9 39 20

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