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  • 1. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/20131 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I 1º Teste de avaliação – versão1 Grupo I 1. Numa certa pirâmide, a base tem n vértices. Quantas faces e arestas tem essa pirâmide? (A) n faces e 2n arestas (B) 2n faces e 3n arestas (C) n 1+ faces e 2n arestas (D) n 1+ faces e 3n arestas 2. A diagonal de um quadrado mede 10 cm. A área desse quadrado é: (A) 2 10cm (B) 2 25cm (C) 2 50cm (D) 2 100cm 3. A figura representa um quadrado [ABCD] de lado 2 cm . Qual é o volume do sólido que se obtém quando os triângulos sombreados dão uma volta completa em torno de AC. (A) 35 cm 3 π (B) 32 cm 3 π (C) 34 cm 3 π (D) 3 cm 3 π 4. Os triângulos [ADC] e [DCB] são semelhantes e a razão de semelhança é 2. Então, se AD 1= , tem-se: (A) DB 2= (B) DB 4= (C) CB 4,5= (D) CB 4= • As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. • Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. • Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. • Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. • Não apresente cálculos ou justificações. • Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. E F CD A B B C D A
  • 2. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/20132 5. A figura representa uma pirâmide regular hexagonal. Escolha a afirmação verdadeira: (A) A reta VB é aposta ao plano ABC (B) Os planos VBC e VCD são secantes (C) As retas VE e VC são não complanares (D) As retas AF e ED são paralelas Grupo II 1. A figura representa um cubo com 3 m de aresta, onde se escavou uma pirâmide quadrangular regular. 1.1. Mostre que os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de Euler. 1.2. Sabendo que a altura da pirâmide é 3 4 da aresta do cubo, determine que percentagem do volume do cubo representa o volume da pirâmide que foi retirada. 2. Nas figuras seguintes, estão representadas uma peça metálica plana na qual se marcou a tracejado um quadrado [ABCD] com 6 dm de lado e na outra que se obteve a partir da primeira peça, cortando e retirando o quadrado [EFGH]. Relativamente à segunda figura, sabe-se que: • Cada vértice do quadrado [EFGH] pertence a um lado do quadrado [ABCD] • Os quatro triângulos retângulos [EDH], [HCG], [GBF] e [FAE] são geometricamente iguais e, em cada um deles, o cateto maior é igual ao dobro do cateto menor. 2.1. Mostre que a área do quadrado [EFGH] é 20 dm2 . EF V D CB A Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exato.
  • 3. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/20133 2.2. Na figura ao lado, está representada uma pirâmide quadrangular regular [IJKLV] cuja base tem 180 dm2 de área e cuja altura é 48 dm. Sobre esta pirâmide deixou-se cair a peça metálica da alínea anterior, de tal modo que a peça ficou paralela à base da pirâmide e os vértices do quadrado [EFGH] ficaram sobre as arestas laterais da pirâmide. Determine a distância, d, em dm, entre a peça metálica e a base da pirâmide. NOTA: Admita que a espessura da peça metálica é desprezável e tenha em conta que a área do quadrado [EFGH] é 20 dm2 . 3. A figura representa um cubo com aresta 6 cm, onde se desenhou uma secção produzida no cubo por um plano perpendicular a uma das diagonais espaciais. 3.1. Determine a área da secção, sabendo que os vértices do hexágono são os pontos médios das arestas a que pertencem. 3.2. Considerando agora que 1 GI GC 3 = desenhe um cubo e nele, com todo o rigor, desenhe a secção produzida pelo plano AIB. 4. Na figura estão traçadas seis diagonais de um cubo, uma em cada face, de modo que as seis diagonais representadas concorrem apenas em quatro dos vértices do cubo. H G F E D C BA H G FE D C BA I H G FE D C BA
  • 4. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/20134 4.1. Justifique porque é que o poliedro cujas arestas são as diagonais traçadas é um tetraedro regular. 4.2. Há elementos deste poliedro representados em verdadeira grandeza? Quais são? Justifique. 4.3. Supondo que a aresta do cubo é igual à unidade, prove que a área de cada face do tetraedro é 3 2 e que a área total do tetraedro é 2 3 . 5. Uma embalagem cilíndrica acondiciona, sem folgas, quatro bolas de ténis. Que fração do volume da embalagem representa o volume das bolas? Formulário Geometria Perímetro do círculo: 2 rπ , sendo r o raio do círculo Áreas Paralelogramo: base altura× Losango: diagonal maior diagonal menor 2 × Trapézio: base maior base menor altura 2 + × Polígono regular: perímetro apótema 2 × Círculo: 2 rπ , sendo r o raio do círculo Superfície esférica: 2 4 rπ , sendo r o raio da esfera Volumes Prismas e cilindro: área da base altura× Pirâmide e cone: 1 área da base altura 3 × × Esfera: 34 r 3 π , sendo r o raio da esfera Álgebra Fórmula resolvente de uma equação do segundo grau da forma 2 ax bx c 0+ + = : 2 b b 4ac x 2a − ± − = Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 3.2 4.1 4.2 4.3 5 TOTAL Cotação 10 10 10 10 10 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 200
  • 5. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/20135 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I 1º Teste de avaliação – versão1 – Proposta de resolução Grupo I 1. (C) Numa certa pirâmide, a base tem n vértices. essa pirâmide tem n 1+ faces e 2n arestas 2. (C) A diagonal de um quadrado mede 10 cm. A área desse quadrado é 2 50cm . 3. (B) A figura representa um quadrado [ABCD] de lado 2 cm . O volume do sólido que se obtém quando os triângulos sombreados dão uma volta completa em torno de AC é o volume de dois cones com diâmetro da base 2 2 2× = e altura 2 2 1 2 × = ou seja 2 31 2 V 2 1 1 cm 3 3 π = × × π × × = 4. (B) Os triângulos [ADC] e [DCB] são semelhantes e a razão de semelhança é 2. Então, se AD 1= , então o cateto que lhe corresponde no triângulo grande mede CD 2= e se CD 2= então o cateto que lhe corresponde no triângulo grande mede DB 4= . 5. (B) A figura representa uma pirâmide regular hexagonal. Escolha a afirmação verdadeira: (A) A reta VB é aposta ao plano ABC FALSA (B) Os planos VBC e VCD são secantes VERDADEIRA (C) As retas VE e VC são não complanares FALSA (D)As retas AF e ED são paralelas FALSA Grupo II 1. A figura representa um cubo com 3 m de aresta, onde se escavou uma pirâmide quadrangular regular. 1.1. Mostremos que os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de Euler: EF V D CB A E F CD A B B C D A
  • 6. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/20136 • Nº de faces = 9 • Nº de vértices = 9 • Nº de arestas =16 • Relação de Euler: 9 9 16 2 18 18+ = + ⇔ = Conclusão: Os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de Euler. 1.2. Sabendo que a altura da pirâmide é 3 4 da aresta do cubo, determinemos que percentagem do volume do cubo representa o volume da pirâmide que foi retirada. • Volume do cubo: 3 cuboV 3 27= = • Volume da pirâmide: 2 pirâmide 1 3 27 V 3 3 3 4 4 = × × × = O volume da pirâmide é 1 4 do volume do cubo ou seja é 25% do volume do cubo. 2. Nas figuras seguintes, estão representadas uma peça metálica plana na qual se marcou a tracejado um quadrado [ABCD] com 6 dm de lado e na outra que se obteve a partir da primeira peça, cortando e retirando o quadrado [EFGH]. Relativamente à segunda figura, sabe-se que: • Cada vértice do quadrado [EFGH] pertence a um lado do quadrado [ABCD] • Os quatro triângulos retângulos [EDH], [HCG], [GBF] e [FAE] são geometricamente iguais e, em cada um deles, o cateto maior é igual ao dobro do cateto menor. 2.1. Mostremos que a área do quadrado [EFGH] é 20 dm2 começando por reproduzir os dois quadrados: Como x 2x 6 3x 6 x 2dm+ = ⇔ = ⇔ = Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo [BFG] temos: 2 2 22 2 2 FG 2 4 FG 4 16 FG 20dm= + ⇔ = + ⇔ = O que prova que a área do quadrado [EFGH] é 20 dm2 . 2x x F E G H D CB A
  • 7. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/20137 2.2. Na figura ao lado, está representada uma pirâmide quadrangular regular [IJKLV] cuja base tem 180 dm2 de área e cuja altura é 48 dm. Sobre esta pirâmide deixou-se cair a peça metálica da alínea anterior, de tal modo que a peça ficou paralela à base da pirâmide e os vértices do quadrado [EFGH] ficaram sobre as arestas laterais da pirâmide. A aresta da base da pirâmide é 180 6 5 dm= O lado do quadrado da peça é 20 2 5 dm= Então podemos desenhar a secção produzida na pirâmide passando pelo vértice e por dois pontos médios de lados opostos da base: Da semelhança dos dois triângulos resulta: 6 5 48 x 16dm x2 5 = ⇔ = A distância, d, em dm, entre a peça metálica e a base da pirâmide é então 48 16 32dm− = NOTA: Admita que a espessura da peça metálica é desprezável e tenha em conta que a área do quadrado [EFGH] é 20 dm2 . 3. A figura representa um cubo com aresta 6 cm, onde se desenhou uma secção produzida no cubo por um plano perpendicular a uma das diagonais espaciais. 3.1. Determinemos a área da secção, sabendo que os vértices do hexágono são os pontos médios das arestas a que pertencem. Observando a face superior do cubo verificamos que o lado do hexágono é 3 2 cm por ser a diagonal de um quadrado de lado 3 cm. 3 3 3 2 h 3 2 2 3 2 3 2 Aplicando o Teorema de Pitágoras a um dos 6 triângulos equiláteros em que podemos dividir o hexágono vamos determinar o apótema h: ( ) 2 2 2 23 2 18 54 3 6 h 3 2 h 18 h h 2 4 4 2   + = ⇔ = − ⇔ = ⇔ =     x 48 - x 2 5 6 5 V
  • 8. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/20138 A área do hexágono é 2 hexágono 3 2 6 3 6 54 12 108 3 A 27 3 cm 2 2 4 4 × = × = = = 3.2. Considerando agora que 1 GI GC 3 = desenhe um cubo e nele, com todo o rigor, desenhemos a secção produzida pelo plano AIB. 4. Na figura estão traçadas seis diagonais de um cubo, uma em cada face, de modo que as seis diagonais representadas concorrem apenas em quatro dos vértices do cubo. H G F E D C BA H G FE D C BA 4.1. Justifiquemos porque é que o poliedro cujas arestas são as diagonais traçadas é um tetraedro regular: De facto o poliedro tem 4 faces que são triângulos equiláteros geometricamente iguais por terem os 3 lados iguais já que são diagonais faciais do cubo, além disso concorrem 3 faces em cada um dos 4 vértices do cubo onde concorrem as diagonais do cubo. 4.2. Há elementos deste poliedro representados em verdadeira grandeza. São as arestas [EB] e [DG] pois estão nas faces da frente e de trás do cubo que estão desenhadas em verdadeira grandeza. 4.3. Supondo que a aresta do cubo é igual à unidade, provemos que a área de cada face do tetraedro é 3 2 e que a área total do tetraedro é 2 3 . Se a aresta do cubo é igual à unidade a sua diagonal facial medirá 2 . A altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 2 é 3 6 h 2 2 2 = × = e a área desse triângulo é ( ) 23 3 A 2 4 2 = × = . A área total do tetraedro é total 3 A 4 2 3 2 = × = . I H G F E D C BA
  • 9. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/20139 5. Uma embalagem cilíndrica acondiciona, sem folgas, quatro bolas de ténis. Que fração do volume da embalagem representa o volume das bolas? Calculemos o volume do cilindro com r de raio da base e altura 8r. 2 3 cilindroV r 8r 8 r= π × × = π Calculemos o volume de quatro esferas de raio r. 3 3 4esferas 4 16 r V 4 r 3 3 π = × π × = Calculemos então a fração do volume da embalagem representada pelo volume das bolas: 3 3 16 r 23 38 r π = π As esferas representam 2 3 do volume da caixa cilíndrica.
  • 10. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/201310 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I 1º Teste de avaliação – versão1 – Critérios de classificação Grupo I (50 pontos) Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1 2 3 4 5 C C B B B Grupo II (150 pontos) 1. 30 1.1. 15 •••• Indicar o nº de faces 3 •••• Indicar o nº de vértices 3 •••• Indicar o nº de arestas 3 •••• Verificar a Regra de Euler 6 1.2. 15 •••• Calcular o volume do cubo 3 •••• Calcular o volume da pirâmide 5 •••• Calcular a percentagem pedida 5 •••• Apresentar o resultado 2 2. 30 2.1. 15 •••• Calcular a medida de cada parte do lado 5 •••• Calcular a área pedida 10 2.2. 15 •••• Reconhecer a semelhança dos triângulos 5 •••• Calcular a altura da pirâmide pequena 5 •••• Calcular a distância pedida 5 3. 30 3.1. 15 •••• Calcular a medida do lado do hexágono 5 •••• Calcular a medida do apótema do hexágono 5 •••• Calcular a medida da área 5
  • 11. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/201311 3.2. 15 •••• Desenhar corretamente o cubo 5 •••• Desenhar corretamente a secção 10 4. 45 4.1. 15 •••• Referir justificando que as faces são polígonos regulares e geometricamente iguais 10 •••• Referir que concorre igual nº de faces em cada vértice 5 4.2. 15 •••• Sim 5 •••• Indicar as arestas 5 •••• Justificar 5 4.3. 15 •••• Aresta do cubo ⇒diagonal facial 5 •••• Lado do triângulo⇒área do triângulo 5 •••• Área total do tetraedro 5 5. 15 •••• Volume do cilindro 5 •••• Volume das esferas 5 •••• Fração pedida 5 Total ………………………………………………………………………………………………… 200