Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20101
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
Estatíst...
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20102
Face à informação apresentada no gráfico, qual das afirmações seguintes é
...
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20103
1.2. Determine uma condição que defina a superfície esférica de centro em ...
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20104
Repare que o caule se situa no centro, estando indicadas as dezenas de cad...
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20105
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
Estatíst...
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20106
5. (B) Estas três distribuições têm a mesma média. Ao determinar os desvio...
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20107
da base dessa pirâmide é dado em função de x por ( ) ( )
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Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20108
Repare-se que o caule se situa no centro, estando indicadas as dezenas de ...
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20109
A moda é 90.
A mediana é o 12º elemento ou seja 100.
4.2. Suponhamos que, ...
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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
Estatís...
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  1. 1. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20101 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A Estatística 6º Teste de avaliação – versão A Grupo I 1. De acordo com a figura indique qual dos vectores representa 1 GI 3 (A) GL (B) IH (C) CH (D) AB 2. No referencial da figura está parte da representação gráfica de uma função da família definida por ( )( ) { }y ax x 3 x 2 , a 0= + − ∈ℝ . Sabendo que o gráfico contém o ponto de coordenadas ( )1, 6− − , qual é o valor de a que lhe corresponde? (A) a 1= − (B) a 1= (C) a 2= − (D) 1 a 2 = − 3. Considere duas funções, reais de variável real, f e g tais que ( ) ( )g x f x 2 3= − + . Se ( )f 1 2= então pode afirmar que: (A) ( )g 3 2= (B) ( )g 3 1= − (C) ( )g 3 5= (D) ( )g 3 3= 4. O gráfico ao lado ilustra uma notícia publicada na revista Visão de 10 de Dezembro de 2009 Intitulada “São 561 mil os portugueses que estão sem emprego” e tem como fonte dados fornecidos pelo Eurostat. • As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. • Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. • Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. • Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. • Não apresente cálculos ou justificações. • Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1 2 3 4-1-2-3-4 2 4 -2 -4 -6 -8 x y O
  2. 2. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20102 Face à informação apresentada no gráfico, qual das afirmações seguintes é correcta? (A) Em Portugal, a taxa de desemprego aumentou todos os anos desde 1999; (B) Em 2008 houve uma pequena diminuição da taxa de desemprego. (C) Entre 1999 e 2008, o maior aumento da taxa de desemprego ocorreu em 2002; (D) Entre 2005 e 2008 não houve alteração na taxa de desemprego. 5. Estas três distribuições têm a mesma média. Ao determinar os desvios padrão obtivemos os valores 3,8; 1,3 e 2,9. Considerando os gráficos da esquerda para a direita, os desvios padrão são: (A) 3,8; 1,3 e 2,9 (B) 2,9; 1,3 e 3,8 (C) 3,8; 2,9 e 1,3 (D) 1,3; 3,8 e 2,9 Grupo II 1. No referencial ortogonal e monométrico Oxyz da figura está representado um prisma triangular recto com 8 cm de altura e em que O é o ponto médio de [FB], FA 4cm= e FC 3cm= . 1.1. Caracterize por uma condição o plano CAF. Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.
  3. 3. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20103 1.2. Determine uma condição que defina a superfície esférica de centro em E e raio 2 AC DE− . 1.3. Calcule o perímetro da secção que se obtém no prisma através da intersecção com o plano de equação x 2= . 2. Considere uma pirâmide quadrangular regular de altura 10 cm em que a aresta da base mede 6 cm. Com vértice em O, considere outras pirâmides em que as bases são paralelas à base da pirâmide dada, como é sugerido nas figuras seguintes: 2.1. O ponto P é móvel, deslocando-se de O para V, e OP x= é a altura da respectiva pirâmide associada à posição do ponto P. Sabe-se que o lado da base dessa pirâmide é dado em função de x por ( ) ( ) 3 l x 10 x 5 = − . Designe por V o volume dessa pirâmide de vértice O. Mostre que V é dado em função de x pela expressão ( ) 3 2 3x 12x V x 12x 25 5 = − + e indique o domínio da função V. 2.2. Recorrendo à calculadora, determine para que valores de x o volume é máximo. Seja D a função que a cada x faz corresponder o volume limitado pelas superfícies das duas pirâmides. 2.3. Mostre que ( ) ( )D x 120 V x= − . 2.4. Explique como pode obter o gráfico da função D a partir do gráfico da função V. 3. Considere-se a distribuição das alturas, em centímetros, dos alunos de uma turma, tendo em conta o sexo.Os dados obtidos, em centímetros, foram organizados num diagrama de caule-e- folhas, tendo-se obtido: 6 cm 10 cm O D A B C V x G E H F O D A B C V P x G E H F O D A B C V P
  4. 4. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20104 Repare que o caule se situa no centro, estando indicadas as dezenas de cada número. As folhas relativas a rapazes estão do lado direito do caule e as que respeitam às raparigas situam-se do lado esquerdo. 3.1. Indique o número de alunos da turma. 3.2. Qual é a altura máxima registada entre as raparigas? 3.3. Quais são as alturas mínima e máxima dos rapazes? 3.4. Organize a informação num quadro de distribuição de frequências, sem distinção de sexos, considerando como classes os intervalos sugeridos pelo caule do diagrama dado. Alturas (cm) Frequência absoluta (ni) Frequência relativa (fi) Frequência absoluta acumulada (Ni) Frequência relativa acumulada (Fi) [150,160[ [160,170[ [170,180[ [180,190[ 3.5. Qual é a percentagem de alunos com, pelo menos, 1,70 m de altura? 4. A distribuição das velocidades dos automóveis controlados por um radar da Brigada de trânsito numa auto-estrada foi a seguinte: Velocidade (km/h) 60 70 90 100 120 130 150 Número de automóveis 1 2 6 5 4 2 3 4.1. Determine a média, a moda e a mediana da distribuição. 4.2. Suponha que, numa outra distribuição, a velocidade mais alta, 150 km/h, é substituída por 190 km/h e que o restante se mantém. Calcule a mediana e a média desta nova distribuição e comente em qual destas medidas de tendência central se reflecte a alteração. FIM COTAÇÕES Grupo 1 Grupo 2 1 2 3 4 5 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4.1 4.2 10 10 10 10 10 5 15 10 10 10 10 10 10 10 20 16 9 20 15
  5. 5. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20105 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A Estatística 6º Teste de avaliação – versão A Grupo I 1. (D) De acordo com a figura 1 GI AB 3 = 2. (A) No referencial da figura está parte da representação gráfica de uma função da família definida por ( )( ) { }y ax x 3 x 2 , a 0= + − ∈ ℝ . Sabendo que o gráfico contém o ponto de coordenadas ( )1, 6− − , o valor de a que lhe corresponde é calculado assim: ( ) ( ) ( )6 a 1 1 3 1 2 6a 6 a 1− = × − × − + × − − ⇔ = − ⇔ = − 3. (C) Consideremos duas funções, reais de variável real, f e g tais que ( ) ( )g x f x 2 3= − + . Se ( )f 1 2= então pode afirmar que ( ) ( )g 3 f 3 2 3 2 3 5= − + = + = 4. (B) O gráfico ao lado ilustra uma notícia publicada na revista Visão de 10 de Dezembro de 2009 Intitulada “São 561 mil os portugueses que estão sem emprego” e tem como fonte dados fornecidos pelo Eurostat. Face à informação apresentada no gráfico, a afirmação verdadeira é “Em 2008 houve uma pequena diminuição da taxa de desemprego”. 1 2 3 4-1-2-3-4 2 4 -2 -4 -6 -8 x y
  6. 6. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20106 5. (B) Estas três distribuições têm a mesma média. Ao determinar os desvios padrão obtivemos os valores 3,8; 1,3 e 2,9. Considerando os gráficos da esquerda para a direita, os desvios padrão são 2,9; 1,3 e 3,8 Grupo II 1. No referencial ortogonal e monométrico Oxyz da figura está representado um prisma triangular recto com 8 cm de altura e em que O é o ponto médio de [FB], FA 4cm= e FC 3cm= . 1.1. Uma condição que caracteriza o plano CAF é x 4= 1.2. Determinemos uma condição que defina a superfície esférica de centro em E e raio 2 AC DE− . • as coordenadas do centro ( )E 4,3,0− . • o raio 2 2 r 2AC DE AC 4 3 5= − = = + = . • A condição que define a superfície esférica é ( ) ( ) 2 2 2 x 4 y 3 z 25+ + − + = 1.3. A secção que se obtém no prisma através da intersecção com o plano de equação x 2= é um triângulo igual a [AFC] e o seu perímetro é P 3 4 5 12cm= + + = 2. Considere uma pirâmide quadrangular regular de altura 10 cm em que a aresta da base mede 6 cm. Com vértice em O, considere outras pirâmides em que as bases são paralelas à base da pirâmide dada, como é sugerido nas figuras seguintes: 2.1. O ponto P é móvel, deslocando-se de O para V, e OP x= é a altura da respectiva pirâmide associada à posição do ponto P. Sabe-se que o lado 6 cm 10 cm O D A B C V x G E H F O D A B C V P x G E H F O D A B C V P
  7. 7. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20107 da base dessa pirâmide é dado em função de x por ( ) ( ) 3 l x 10 x 5 = − . Designe por V o volume dessa pirâmide de vértice O. Mostre que V é dado em função de x pela expressão ( ) 3 2 3x 12x V x 12x 25 5 = − + e indique o domínio da função V. • Área da base ( ) ( ) 2 2 b 3 9 A 10 x 100 20x x 5 25   = − = − +    • Altura h x= • Volume ( ) ( ) ( ) ( )2 2 31 9 3 V x 100 20x x x V x 100x 20x x 3 25 25 = × − + × ⇔ = − + ⇔ ( ) 2 312 3 V x 12x x x 5 25 ⇔ = − + • Domínio de V é [ ]D 0,10= 2.2. Recorrendo à calculadora, determinemos para que valores de x o volume é máximo. O volume é máximo quando x for aproximadamente igual a 3,33 cm. Seja D a função que a cada x faz corresponder o volume limitado pelas superfícies das duas pirâmides que será igual ao volume da pirâmide de vértice V menos o volume da pirâmide de vértice em O 2.3. Mostremos que ( ) ( )D x 120 V x= − . O volume limitado pelas superfícies duas pirâmides é igual ao volume da pirâmide de vértice V menos o volume de vértice O. Ora o volume da pirâmide de vértice V é 21 6 10 120 3 × × = pelo que ( ) ( )D x 120 V x= − 2.4. O gráfico de D pode obter-se do de V por uma simetria em relação ao eixo das abcissas seguida de uma translação associada ao vector de coordenadas ( )0,120 . 3. Considere-se a distribuição das alturas, em centímetros, dos alunos de uma turma, tendo em conta o sexo. Os dados obtidos, em centímetros, forma organizados num diagrama de caule-e-folhas, tendo- se obtido:
  8. 8. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20108 Repare-se que o caule se situa no centro, estando indicadas as dezenas de cada número. As folhas relativas a rapazes estão do lado direito do caule e as que respeitam às raparigas situam-se do lado esquerdo. 3.1. A turma tem 24 alunos. 3.2. A altura máxima registada entre as raparigas é 1,73 m. 3.3. A altura mínima dos rapazes é 1,68m e a máxima é 1,81 m. 3.4. Vamos organizar a informação num quadro de distribuição de frequências, sem distinção de sexos, considerando como classes os intervalos sugeridos pelo caule do diagrama dado. Alturas (cm) Frequência absoluta (ni) Frequência relativa (fi) Frequência absoluta acumulada (Ni) Frequência relativa acumulada (Fi) [150,160[ 1 0,042 1 0,042 [160,170[ 10 0,416 11 0,458 [170,180[ 12 0,5 23 0,958 [180,190[ 1 0,042 24 1 3.5. A percentagem de alunos com, pelo menos, 1,70 m de altura é 54,2%, valor que resulta de ( )0,5 0,042 100 54,2%+ × = ou ( )1 0,458 100 54,2%− × = 4. A distribuição das velocidades dos automóveis controlados por um radar da Brigada de trânsito numa auto-estrada foi a seguinte: Velocidade (km/h) 60 70 90 100 120 130 150 Número de automóveis 1 2 6 5 4 2 3 4.1. Determinemos a média, a moda e a mediana da distribuição começando por construir uma tabela de frequências acumuladas. Velocidade (km/h) (xi) ni Ni i ix n× 60 1 1 60 70 2 3 140 90 6 9 540 100 5 14 500 120 4 18 480 130 2 20 260 150 3 23 450 Totais 23 2430 A média é 2430 x 105,65 23 = = .
  9. 9. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20109 A moda é 90. A mediana é o 12º elemento ou seja 100. 4.2. Suponhamos que, numa outra distribuição, a velocidade mais alta, 150 km/h, é substituída por 190 km/h e que o restante se mantém. Calculemos a mediana e a média desta nova distribuição e comentemos em qual destas medidas de tendência central se reflecte a alteração. Velocidade (km/h) (xi) ni Ni i ix n× 60 1 1 60 70 2 3 140 90 6 9 540 100 5 14 500 120 4 18 480 130 2 20 260 190 3 23 570 Totais 23 2550 A média é 2550 x 110,87 23 = = . E a mediana continua a ser o 12º elemento ou seja 100. Concluímos então ser a média a medida que sofre alteração o que era previsível pois apenas alterámos os últimos valores da variável que não colidem com o cálculo da mediana afectando sim a média que é uma medida sensível a valores extremos.
  10. 10. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/201010 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A Estatística 6º Teste de avaliação – Critérios de correcção Grupo I 1 2 3 4 5 D A C B B Grupo II 1. ………………………………………………………………………………………………….. 30 1.1. ………………………………………………..………………………………………. 5 1.2. ………………………………………………..………………………………………. 15 •••• Centro …………………………………………………………………… 5 •••• Raio ……………………………………………………………………… 5 •••• Condição ……………………………………………………………….. 5 1.3. ………………………………………………..………………………………………. 10 •••• Identificar a secção ………………………………………………………… 5 •••• Perímetro …………………………………………………………………… 5 2. …………………………………………………………………………………………………… 60 2.1. ………………………………………………………….………………………………. 10 • Calcular V(x) ………………………………………………………. 5 • Indicar o domínio …………………………………………………. 5 2.2. ………………………………………………………..………………………………… 10 • Gráfico ……..……………………………………………………… 5 • Indicar o valor de x ………………………………………………. 5 2.3. ……………………………………………………….………………………………… 10 • Calcular o volume da pirâmide ………………………………… 5 • Interpretar D = 120 –V …………………………………………. 5 2.4. ………………………………………………………………………………………… 10 • Indicar a simetria ..…………………...…………………………… 5 • Indicar a translação ............................................................... 5 3. …………………………………………………………………………………………………… 45 3.1. ………………………………………………………………………………………. 5 3.2. ………………………………………………………………………………………. 5 3.3. ………………………………………………………………………………………. 10
  11. 11. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/201011 3.4. ………………………………………………………………………………………. 16 3.5. ………………………………………………………………………………………. 9 4. …………………………………………………………………………………………………… 35 4.1. ……………………………………………………………………………………….. 20 • Tabela …………………………………………………………… 5 • Média ……………………………………………………………. 5 • Moda …………………………………………………………….. 5 • Mediana …………………...…………………………………….. 5 4.2. ……………………………………………………………………………………….. 15 • Cálculo da nova média …………………………………………. 5 • Justificação com identificação das medidas …………………. 10 Total ………………………………………………………………………………………………… 200

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