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  • 1. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2011/20121 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A Tema III – Trigonometria e Números Complexos 5º Teste de avaliação – versão A Grupo I 1. Considere todos os números de cinco algarismos que se podem formar com os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9. De entre estes números, quantos têm, exatamente, três algarismos 5? (A) 5 4 3 2C A× (B) 5 2 3C 4× (C) 5 2 3A 4× (D) 5 4 3 2A C× 2. Considere a função g, de domínio IR, definida por: ( ) x e se x 0 g x ln x se x 0  ≤ =  > Considere a sucessão de termo geral n 1 u n = Qual é o valor de ( )n n lim g u →+∞ ? (A) +∞ (B) 1 (C) 0 (D) −∞ 3. De uma função h, de domínio R, sabe-se que: h é uma função par; ( )( )x lim h x 2x 0 →+∞ − = Qual é o valor de ( )x lim h x →−∞ ? (A) +∞ (B) 2− (C) 0 (D) −∞ • As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. • Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. • Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. • Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. • Não apresente cálculos ou justificações. • Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.
  • 2. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2011/20122 4. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função f′, primeira derivada da função f. Seja a IR+ ∈ um ponto do domínio de f, tal que ( )f a 0′ = . Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) A função f tem um mínimo para x a= . (B) A função f tem um ponto de inflexão para x a= . (C) A função f é crescente em ] [0,a . (D) A função f é decrescente em IR− . 5. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, uma circunferência, de centro na origem do referencial e raio 2. O ponto P move-se ao longo da semicircunferência que limita a região colorida. Sabe-se que: OP 2= ; ( )TOP radianos ,0 .= θ ≤ θ ≤ π Qual das expressões seguintes dá a área da região colorida, em função de θ? (A) 2 16sen cosπ − θ ⋅ θ (B) 8sen cosπ − θ ⋅ θ (C) 2 8 sen cosπ − θ ⋅ θ (D) 4 16 sen cosπ − θ ⋅ θ Grupo II 1. Uma empresa tem delegações espalhadas por vários países do mundo. Cada delegação é identificada por um código constituído por 5 algarismos de 1 a 9. Por exemplo, em Portugal há uma delegação cujo código é 22737. Os dois primeiros algarismos (da esquerda) identificam o país a que pertence a delegação e os três últimos algarismos identificam a delegação. 1.1. Escolhido, ao acaso, um código possível de ser utilizado em Portugal, qual é a probabilidade de esse código ter exatamente dois algarismos iguais? Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.
  • 3. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2011/20123 1.2. O código das delegações em França começa por 35. Qual é a probabilidade de escolher, ao acaso, um código possível de ser utilizado em França e ter exatamente três algarismos iguais? 2. Sejam f e g duas funções definidas, em IR, por: ( ) x 2 x 1 f x 3 24 3+ − = − × e ( ) x g x 3 2 3= − × 2.1. Resolva a condição ( ) ( )g x g 3> 2.2. Mostre, por via analítica, que: ( ) x f x 3= 2.3. Resolva, analiticamente, a condição ( ) ( )f x g x= 3. Considere a função f, real de variável real, definida por: ( ) 1 f x xln x   =     3.1. Determine, caso existam, as coordenadas do ponto do gráfico da função f, em que a ordenada é metade da abcissa. 3.2. A função f tem um extremo absoluto. Determine o valor desse extremo. 3.3. A reta de equação y 2x e= − + é tangente ao gráfico da função num ponto P. Determine as coordenadas desse ponto. 4. Na figura está representado um triângulo [ABC]. Tem-se que: x designa a amplitude, em radianos, do ângulo BAC. a amplitude do ângulo BCA é igual ao dobro da amplitude do ângulo BAC. a altura BD é igual a 10. Seja ( ) 2 75 25tg x g x tgx − = 4.1. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por ( )g x , para qualquer x 0, 4 π  ∈    . 4.2. Considere o triângulo [ABC] quando x 4 π = . Classifique-o quanto aos ângulos e quanto aos lados e prove que a sua área ainda é dada por ( )g x . Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 total Cotação 10 10 10 10 10 10 10 15 15 10 15 20 15 20 20 200
  • 4. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2011/20124
  • 5. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2011/20125 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A Tema III – Trigonometria e Números Complexos 5º Teste de avaliação – versão A – Proposta de resolução Grupo I 1. (B) Consideremos todos os números de cinco algarismos que se podem formar com os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9. De entre estes números, 5 2 3C 4× têm, exatamente, três algarismos 5 2. (D) Considere a função g, de domínio IR, definida por: ( ) x e se x 0 g x ln x se x 0  ≤ =  > Considere a sucessão de termo geral n 1 u n = O valor de ( )n n 1 lim g u lim ln n→+∞   = = −∞    3. (A) De uma função h, de domínio R, sabe-se que: h é uma função par; ( )( )x lim h x 2x 0 →+∞ − = (h tem uma assíntota de equação y 2x= ) O valor de ( )x lim h x →−∞ = +∞ ? 4. (C) Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função f′, primeira derivada da função f. Seja a IR+ ∈ um ponto do domínio de f, tal que ( )f a 0′ = . A afirmação “A função f é crescente em ] [0,a ” é verdadeira porque a derivada é positiva nesnte intervalo.
  • 6. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2011/20126 5. (C) Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, uma circunferência, de centro na origem do referencial e raio 2. O ponto P move-se ao longo da semicircunferência que limita a região colorida. Sabe-se que: OP 2= ; ( )TOP radianos ,0 .= θ ≤ θ ≤ π A área da região colorida, em função de θ é Porque OA 2cos= θ e AP 2sen= θ a área colorida é 2 2 A 2 2cos 2sen A 2 8sen cos 2 π× = − × θ× θ ⇔ = π − θ θ Grupo II 1. Uma empresa tem delegações espalhadas por vários países do mundo. Cada delegação é identificada por um código constituído por 5 algarismos de 1 a 9. Por exemplo, em Portugal há uma delegação cujo código é 22737. Os dois primeiros algarismos (da esquerda) identificam o país a que pertence a delegação e os três últimos algarismos identificam a delegação. 1.1. Escolhido, ao acaso, um código possível de ser utilizado em Portugal, a probabilidade de esse código ter exatamente dois algarismos iguais é a probabilidade de os 3 últimos algarismos serem todos diferentes e diferentes de 2. Será então 8 3 3 A 336 112 P 729 2439 = = = 1.2. O código das delegações em França começa por 35. A probabilidade de escolher, ao acaso, um código possível de ser utilizado em França e ter exatamente três algarismos iguais é a probabilidade de nesses códigos haver três algarismos iguais a 3 ou iguais a 5 ou ainda iguais a um dos outros algarismos sem ser o 3 ou o 5. Assim o nº de casos favoráveis é 3 22 C 8 7 55× × + = e o número de casos possíveis é 3 9 729= . Finalmente a probabilidade é 55 P 729 = 2. Sejam f e g duas funções definidas, em IR, por: ( ) x 2 x 1 f x 3 24 3+ − = − × e ( ) x g x 3 2 3= − × 2.1. Resolvamos a condição ( ) ( ) x 3 x 3 x 3 g x g 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 3 3 x 3> ⇔ − × > − × ⇔ − × > − × ⇔ < ⇔ < A solução é ] [,3−∞ .
  • 7. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2011/20127 2.2. Mostremos, por via analítica, que: ( ) x f x 3= . De facto temos que: ( ) x 2 x 1 x 2 x 1 x x x f x 3 24 3 3 3 24 3 3 9 3 8 3 3+ − − = − × = × − × × = × − × = 2.3. Resolvamos, analiticamente, a condição ( ) ( )f x g x= . ( ) ( ) x x x x f x g x 3 3 2 3 3 3 3 3 1 x 0= ⇔ = − × ⇔ × = ⇔ = ⇔ = A solução é { }0 . 3. Consideremos a função f, real de variável real, definida por: ( ) 1 f x xln x   =     3.1. Determinemos, caso existam, as coordenadas do ponto do gráfico da função f, em que a ordenada é metade da abcissa. De 1 2 x 1 x 1 1 1 1 1 1 y xln x ln 0 x 0 ln x 0 e x 2 x 2 x 2 x 2 x e          = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ∨ = ∧ > ⇔ = ⇔ =                  As coordenadas do ponto são 1 1 , e 2 e       . 3.2. A função f tem um extremo absoluto. Determinemos o valor desse extremo. Comecemos por calcular a derivada de f: ( ) 2 1 1 1xf x ln x ln 1 1x x x −     ′ = + × = −        Calculemos os zeros da derivada: ( ) 1 1 1 1 f x 0 ln 1 0 ln 1 e x 0 x x x x e     ′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ∧ > ⇔ =        Completemos a tabela para o estudo do sinal da derivada em IR+ : x 0 1 e +∞ ( )f x′ + 0 - ( )f x ր M ց O valor do máximo é ( ) 1 1 1 1 1 f ln ln e 1e e e e e      = = =          3.3. A reta de equação y 2x e= − + é tangente ao gráfico da função num ponto P. Determinemos as coordenadas desse ponto começando por igualar a derivada a 2− . ( ) 11 1 1 f x 2 ln 1 2 ln 1 e x 0 x e x x x −    ′ = − ⇔ − = − ⇔ = − ⇔ = ∧ > ⇔ =       
  • 8. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2011/20128 A ordenada é ( ) ( ) 1 f e eln e 1 e e   = = × − = −    As coordenadas de P são ( )e, e− 4. Na figura está representado um triângulo [ABC]. Tem-se que: x designa a amplitude, em radianos, do ângulo BAC. a amplitude do ângulo BCA é igual ao dobro da amplitude do ângulo BAC. a altura BD é igual a 10. Seja ( ) 2 75 25tg x g x tgx − = 4.1. Mostremos que a área do triângulo [ABC] é dada por ( )g x , para qualquer x 0, 4 π  ∈    : base AD DC= + e 10 AD tgx = e ( ) 10 CD tg 2x = A área do triângulo vai ser ( ) 2 2 10 10 10 10 10 2tgxtgx10 tgx tg 2x 1 tg x 10 10 10tg x A 5 2 2 tgx 2tgx      + ×   + ×      − −   = = = + × =    2 2 2 20 10 10tg x 150 50tg x 75 25tg x 5 2tgx 2tgx tgx + − − − × = = 4.2. Consideremos o triângulo [ABC] quando x 4 π = . Quanto aos ângulos o triângulo é retângulo e quanto aos lados é isósceles pois tem um ângulo reto e dois de 4 π radianos. Provemos que a sua área que é 10 10 A 50 2 × = = ainda é dada por ( )g x , calculando 2 75 25tg 75 25 14g 50 4 1 tg 4 π − π − ×  = = =  π 
  • 9. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2011/20129 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A Tema III – Trigonometria e Números Complexos 5º Teste de avaliação – versão A – Critérios de classificação Grupo I (50 pontos) Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1 2 3 4 5 B D A C C Grupo II (150 pontos) 1. 20 1.1. 10 •••• Nº de casos favoráveis 5 •••• Nº de casos possíveis 3 •••• Probabilidade pedida 2 1.2. 10 •••• Nº de casos favoráveis 5 •••• Nº de casos possíveis 3 •••• Probabilidade pedida 2 2. 40 2.1. 15 •••• Escrever x 3 3 2 3 3 2 3− × > − × 5 •••• Resolver a inequação 10 2.2. . 15 •••• Escrever x x 2 x 1 x 2 3 3 24 3 3 3 24 3 + − − × = × − × 6 •••• Escrever x x 2 x x3 3 3 24 9 3 8 3 3 × − × = × − × 6 •••• Concluir que x x x 9 3 8 3 3× − × = 3 2.3. 10 •••• Escrever x x 3 3 2 3= − × 5 •••• Resolver a equação 5 3. 30 3.1. 15
  • 10. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2011/201210 •••• Escrever x y 2 = 3 •••• Escrever 1 x xln x 2   =    3 •••• Resolver a equação 7 •••• Calcular a ordenada e dar as coordenadas 2 3.2. 20 •••• Calcular a derivada 5 •••• Calcular os zeros da derivada 5 •••• Fazer a tabela de sinal da derivada 5 •••• Calcular o máximo 5 3.3. 15 •••• Igualar a derivada a 2− 3 •••• Resolver a equação 5 •••• Calcular a ordenada 5 •••• Apresentar as coordenadas 2 4. 40 4.1. 20 •••• Concluir que base AD DC= + 2 •••• Calcular 10 AD tgx = 5 •••• Calcular ( ) 10 CD tg 2x = 5 •••• Aplicar a fórmula de tg(2x) 6 •••• Obter a expressão pedida 2 4.2. 20 •••• Classificar o triângulo quanto aos ângulos 4 •••• Classificar o triângulo quanto aos ângulos 4 •••• Calcular a área 5 •••• Calcular g 4 π      5 •••• Concluir 2 Total ………………………………………………………………………………………………… 200