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  • 1. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20101 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A Geometria no Plano e no Espaço I 4º Teste de avaliação – versão A Grupo I 1. O domínio plano da figura pode ser definido por uma das condições seguintes. Identifique-a. (A) ( ) ( ) 2 2 2 x 3 y 2 4 x 3 y x 3 − + − ≤ ∧ ≥ ∧ ≤ (B) ( ) ( ) 2 2 2 x 3 y 2 9 x 3 y x 3 + + + ≤ ∧ ≥ ∧ ≤ (C) ( ) ( ) 2 2 3 x 3 y 2 9 x 3 y x 2 − + − ≤ ∧ ≥ ∧ ≤ (D) ( ) ( ) 2 2 3 x 3 y 2 4 x 3 y x 2 + + + ≤ ∧ ≥ ∧ ≤ 2. Na figura esta representado um referencial o.n. xOy. A recta AB é definida pela equação x 2y 2 0+ − = . A equação reduzida da recta r paralela a AB e que passa pelo ponto ( )C 4,0− é uma das seguintes. Identifique-a (A) y 2x 8= + (B) y 2x 8= − − (C) 1 y x 2 2 = − − (D) 1 y x 4 2 = − − 3. Observe o gráfico de uma função quadrática da forma 2 y ax k,a 0= + ≠ , representado na figura ao lado. Escolha das seguintes a expressão que a pode definir. • As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. • Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. • Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. • Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. • Não apresente cálculos ou justificações. • Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 4 2 5x y 3 C O 1 y xO A B
  • 2. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20102 (A) 2 y 4x 2= + (B) 21 y x 2 2 = + (C) 2 y 2x 4= + (D) 2 y 2x 2= + 4. A figura representa a função f definida por ( ) 2 f x x= . Qual dos gráficos seguintes pode representar a função g definida por ( ) ( ) 2 g x x 2= + ? (A) (B) (C) (D) 5. Relativamente às afirmações seguintes: I. Se uma função é crescente nos intervalos A e B, então é crescente em A B∪ ; II. O maior dos máximos relativos é sempre o máximo absoluto da função; III. Se uma função tem 2 zeros, então é não injectiva; Então podemos afirmar: (A) Somente I é verdadeira (B) Somente III é verdadeira (C) São todas falsas (D) II e III são verdadeiras Grupo II 1. Considere a função g representada graficamente na figura seguinte. Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.
  • 3. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20103 1.1. Indique: 1.1.1. domínio e contradomínio de g; 1.1.2. a imagem de zero; 1.1.3. o original que tem imagem 2. 1.2. Indique o conjunto solução das condições: 1.2.1. ( )g x 0= 1.2.2. ( )g x 0> 1.3. Faça uma tabela de monotonia e extremos para a função g. 1.4. Seja ( )g x k,k= ∈ ℝ , determine k de modo que a equação tenha exactamente duas soluções. 2. Num laboratório, foi estudada uma colónia de bactérias. Às oito horas, foi feita a primeira contagem e as seguintes de hora a hora. Verificou-se que o número N de bactérias, em milhares, decorridas h horas, é dado por ( ) 2 N h h 4h 9= − + + . 2.1. Quantas bactérias havia às 8 horas? 2.2. Qual foi o resultado da segunda contagem? 2.3. Calcule ( ) ( )N 2 N 1− e interprete o resultado no contexto do problema. 2.4. Em que período do dia o número de bactérias foi superior a 9000? 2.5. Descreva a evolução da colónia desde as 8 até às 13 horas. NOTA: sempre que recorrer à calculadora não se esqueça de transcrever os gráficos e ou as tabelas. 3. Num referencial o.n. ( )O,e,f , considere ( )A 3,1 , ( )B 2,0− , ( )C 1,5 e o vector u e 2f= − + . 3.1. Verifique se os vectores u e AC são colineares. 3.2. Calcule AB e u . 3.3. Determine as coordenadas do ponto médio de [ ]AC 3.4. O quadrilátero [ ]ABCD é um paralelogramo. Determine as coordenadas do ponto D. 4. Construiu-se, a partir de um cubo, o poliedro representado na figura, unindo os pontos médios das arestas do cubo, como sugere a figura, obtendo-se assim um cuboctaedro. Admita-se que a unidade do referencial é o centímetro e que o ponto R, vértice do cubo tem coordenadas ( )2,2,2 .
  • 4. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20104 4.1. Indique as coordenadas dos vértices do cuboctaedro representados na figura. 4.2. Determine a distância entre os pontos A e G. 4.3. Mostre que a razão entre os volumes do cubo e do cuboctaedro é 1,2. FIM COTAÇÕES QUESTÃO COTAÇÃO QUESTÃO COTAÇÃO 1 10 50 2.1 10 2 10 2.2 10 3 10 2.3 10 4 10 2.4 10 5 10 50 2.5 10 1.1.1 6 30 3.1 8 1.1.2 5 3.2 6 1.1.3 5 3.3 6 1.2.1 5 3.4 10 1.2.2 5 30 4.1 10 1.3 8 4.2 5 1.4 6 40 4.3 15 y z x F E G H J D C B A O I R
  • 5. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20105 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A Geometria no Plano e no Espaço I 4º Teste de avaliação – Proposta de resolução Grupo I 1. (A) O domínio plano da figura pode ser definido pela condição ( ) ( ) 2 2 2 x 3 y 2 4 x 3 y x 3 − + − ≤ ∧ ≥ ∧ ≤ 2. (C) Na figura esta representado um referencial o.n. xOy. A recta AB é definida pela equação x 2y 2 0+ − = cuja equação reduzida é: 1 x 2y 2 0 2y x 2 y x 1 2 + − = ⇔ = − + ⇔ = − + A equação reduzida da recta r paralela a AB e que passa pelo ponto ( )C 4,0− é uma equação do tipo 1 y x b 2 = − + que é verificada pelas coordenadas do ponto C: ( ) 1 0 4 b b 2 2 = − × − + ⇔ = − . Pelo que a equação reduzida da recta r é 1 y x 2 2 = − − 3. (B) Observemos o gráfico de uma função quadrática da forma 2 y ax k,a 0= + ≠ , representado na figura ao lado. Vamos escolher das seguintes a expressão que a pode definir. O valor de k é 2 e para calcularmos o valor de a vamos utilizar as coordenadas do ponto assinalado no gráfico 2 1 4 a 2 2 4a 4 2 4a 2 a 2 = × + ⇔ = − ⇔ = ⇔ = . Então a função é definida pela equação 21 y x 2 2 = + 4 2 5x y 3 C O 1 y xO A B
  • 6. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20106 4. (B) A figura representa a função f definida por ( ) 2 f x x= . O gráfico que pode representar a função g definida por ( ) ( ) 2 g x x 2= + é 5. (B) Relativamente às afirmações seguintes: I. Se uma função é crescente nos intervalos A e B, então é crescente em A B∪ ; falsa II. O maior dos máximos relativos é sempre o máximo absoluto da função; falsa III. Se uma função tem 2 zeros, então é não injectiva; verdadeira Então podemos afirmar: Somente III é verdadeira Grupo II 1. Considere a função g representada graficamente na figura. 1.1. Indiquemos: 1.1.1. O domínio de g é ℝ e contradomínio de g é [ ] [ [3,2 3,− ∪ +∞ ; 1.1.2. a imagem de zero é 3 ou seja ( )g 0 3= ; 1.1.3. o original que tem imagem 2 é -1 ou seja ( )g x 2 x 1= ⇔ = − . 1.2. Indiquemos o conjunto solução das condições: 1.2.1. ( )g x 0 x 2= ⇔ = − , o conjunto solução é { }S 2= − 1.2.2. ( ) ] [g x 0 x 2,> ⇔ ∈ − +∞ , o conjunto solução é ] [2,− +∞ 1.3. Façamos uma tabela de monotonia e extremos para a função g. x −∞ 4− 1− 0 +∞ ( )g x 3 3− → − m -3 m ր 2 M ց 3 ր 1.4. Seja ( )g x k,k= ∈ ℝ , determinemos k de modo que a equação tenha exactamente duas soluções. A equação só tem duas soluções quando ] [k 1,2∈ .
  • 7. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20107 2. Num laboratório, foi estudada uma colónia de bactérias. Às oito horas, foi feita a primeira contagem e as seguintes de hora a hora. Verificou-se que o número N de bactérias, em milhares, decorridas h horas, é dado por ( ) 2 N h h 4h 9= − + + . 2.1. Às 8 horas havia ( ) 2 N 0 0 4 0 9 9= − + × + = milhares de bactérias. 2.2. A segunda contagem equivale a h 1= então ( ) 2 N 1 1 4 1 9 12= − + × + = . O resultado na segunda leitura foi 12 milhares de bactérias. 2.3. Calculemos ( ) ( ) 2 N 2 N 1 2 4 2 9 12 1− = − + × + − = e podemos dizer que entre as 9 e as 10 horas houve um aumento de 1000 bactérias. 2.4. Entre as 8 horas e as 12 horas o número de bactérias foi superior a 9000, porque ( ) ] [N h 9 h 0,4> ⇔ ∈ 2.5. Vamos descrever a evolução da colónia desde as 8 até às 13 horas. Às 8 horas havia 9000 bactérias e esse número foi crescendo até às 10 horas altura em que atingem o valor máximo 13000 bactérias. Este valor vai diminuindo até que às 13 horas já só há 4000 bactérias. 3. Num referencial o.n. ( )O,e,f , consideremos ( )A 3,1 , ( )B 2,0− , ( )C 1,5 e o vector u e 2f= − + . 3.1. Verifiquemos se os vectores u e AC são colineares: o ( ) ( ) ( )AC C A 1,5 3,1 2,4= − = − = − o ( )u 1,2= − o ( )1 4 2 2 4 4− × = × − ⇔ − = − logo os vectores são colineares 3.2. Calculemos ( ) ( ) 2 2 AB 2 3 0 1 26= − − + − = e ( ) 2 2 u 1 2 5= − + = . 3.3. Determinemos as coordenadas do ponto médio de [ ]AC : [ ] ( )AC 3 1 1 5 M , 2,3 2 2 + +  = =    3.4. O quadrilátero [ ]ABCD é um paralelogramo. Determinemos as coordenadas do ponto D. ( ) ( ) ( )D C BA 1,5 5,1 6,6= + = + = Se não tivéssemos respeitado a ordem pela qual 6 4 2 5 D: (6, 6) D C B A
  • 8. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20108 devem ser lidos os vértices, isto é, se o pedido fosse um paralelogramo com vértices nos 3 pontos dados, podíamos encontrar as coordenadas do quarto vértice de mais duas outras maneiras: ( ) ( ) ( )D C AB 1,5 5, 1 4,4= + = + − − = − D B CA ( 2,0) (2, 4) (0, 4)= + = − + − = − 4. Construiu-se, a partir de um cubo, o poliedro representado na figura, unindo os pontos médios das arestas do cubo, como sugere a figura, obtendo-se assim um cuboctaedro. Admita-se que a unidade do referencial é o centímetro e que o ponto R, vértice do cubo tem coordenadas ( )2,2,2 . 4.1. Indiquemos as coordenadas dos vértices do cuboctaedro representados na figura: ( )A 1,0,2 , ( )B 0,1,2 , ( )C 1,2,2 , ( )D 2,1,2 , ( )E 2,0,1 , ( )F 1,0,0 , ( )G 0,2,1 , ( )H 2,2,1 , ( )I 2,1,0 , ( )J 1,2,0 4.2. Determinemos a distância entre os pontos A e G: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 AG 1 0 0 2 2 1 6= − + − + − = 4.3. Mostremos que a razão entre os volumes do cubo e do cuboctaedro é 1,2. o O volume do cubo é 3 cuboV 2 8= = o O volume da pirâmide [RDHC] é pirâmide 1 1 1 1 V 1 3 2 6 × = × × = o O volume do cuboctaedro é cuboctaedro cubo pirâmide 1 20 V V 8 V 8 8 6 3 = − × = − × = o cubo cuboctaedro V 8 1,2 20V 3 = = FIM y z x F E G H J D C B A O I R
  • 9. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20109 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A Geometria no Plano e no Espaço I 4º Teste de avaliação – Critérios de correcção Grupo I 1 2 3 4 5 A C B B B Grupo II 1. ………………………………………………………………………………………………….. 40 1.1. ………………………………………………..………………………………………. 16 1.1.1. ………………………………………………………………………… 6 •••• Identificar o domínio ………………………………….....……… 3 •••• Identificar o contradomínio …………….…………….………... 3 1.1.2. ………………………………………………………………………… 5 1.1.3. ………………………………………………………………………… 5 1.2. ………………………………………………..………………………………………. 10 1.2.1. ………………………………………………………………………… 5 1.2.2. ………………………………………………………………………… 5 1.3. ………………………………………………..………………………………………. 8 •••• 1ª linha ………………………………………………………………………. 3 •••• 2ª linha ………………………………………………………………………. 3 •••• Indicação dos extremos …………………………………………………… 2 1.4. ………………………………………………..………………………………………. 6 2. …………………………………………………………………………………………………… 60 2.1. Calcular ( ) 2 N 0 0 4 0 9 9= − + × + = milhares de bactérias ……………………….. 10 2.2. Calcular ( ) 2 N 1 1 4 1 9 12= − + × + = e dar resposta………………………………… 10 2.3. ( ) ( ) 2 N 2 N 1 2 4 2 9 12 1− = − + × + − = e interpretar………………………………… 10 2.4. ………………………………………………………………………………………… 10 •••• Apresentar gráfico..…………………...………………………………..… 5 •••• ( ) ] [N h 9 h 0,4> ⇔ ∈ ………………..…..………………………..……...... 5 2.5. …………………………………………………………..……………………………. 10
  • 10. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/201010 •••• Cálculo de N(5) ………………………………………………………….. 2 •••• Calcular o valor máximo ………………………………………………… 2 •••• Descrever o comportamento da função ………………………………. 6 3. …………………………………………………………………………………………………… 35 3.1. ………………………………………………………………………………………. 8 •••• Cálculo de AC …………………………………………………………….. 2 •••• Utilização da definição ou da condição de colinearidade ……………. 4 •••• Dar a resposta ……………………………………………………………. 2 3.2. ………………………………………………………………………………………. 6 3.3. ………………………………………………………………………………………. 6 3.4. ………………………………………………………………………………………. 10 •••• Indicar as coordenadas de pelo menos um ponto …………………… 2 •••• Indicar o processo de cálculo das coordenadas …………………...... 5 •••• Indicar as coordenadas do ponto correcto ………………………….... 3 4. ……………………………………………………………………………………………… 4.1. ……………………………………………………………………………………….. 10 4.2. ……………………………………………………………………………………….. 5 4.3. ……………………………………………………………………………………….. 15 •••• Cálculo do volume do cubo …………………………………………….. 3 •••• Cálculo do volume de uma pirâmide …………………………………… 4 •••• Cálculo do volume do cuboctaedro …………………………………….. 5 •••• Cálculo da razão entre os volumes …………………………………….. 3 Total ………………………………………………………………………………………………… 200