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Teste03 versao1

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  • 1. Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 2012/2013 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I 3º Teste de avaliação – versão1 Grupo I 1. Num referencial o.n. Oxy, o simétrico, em relação ao eixo das ordenadas, do ponto R de coordenadas  0,3 , é o ponto R' de coordenadas: (A)  0,3 (B)  0, 3 (C)  3,0 (D)  3,0 2. Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz e um sólido constituído por 3 cubos geometricamente iguais. As arestas dos cubos ou estão contidas nos eixos coordenados ou lhes são paralelas. O ponto M tem coordenadas  4,4,4 . A condição   x 0 z 8 representa: (A) a reta IH (B) a reta LJ (C) a reta HL (D) a reta IJ 3. Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, uma circunferência de centro no ponto ( ). Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira? (A) ( ) ( ) ⋀ (B) ( ) ( ) ⋀ (C) ( ) ( ) ⋀ (D) ( ) ( ) ⋀  As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.  Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.  Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão.  Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.  Não apresente cálculos ou justificações.  Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. x y z H I J L N Q M E P G OC' F B A
  • 2. Professora: Rosa Canelas 2 Ano Letivo 2012/2013 4. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um cubo de aresta 2. Sabe-se que:  A face [ABCD] está contida no plano xOy  A aresta [DC] está contida no eixo Oy  O ponto C tem coordenadas (0,4,0) Os pontos (2,4,0) e (0,2,0) são vértices do cubo. Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos extremos são estes dois vértices? (A) ABC (B) ACG (C) BDH (D) BCF 5. Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, a reta r, que interseta o eixo Ox no ponto de abcissa 2 e o eixo Oy no ponto de ordenada 2. Qual é a equação reduzida da reta r (A) (B) (C) (D) Grupo II 1. Num referencial o.n.  O,e,f , considere  A 3,1 ,  B 2,0 ,  C 1,5 e o vetor u e 2f   . 1.1. Calcule AB e u . 1.2. Verifique se os vetores u e AC são colineares. 1.3. Determine as coordenadas do ponto médio de  AC . 1.4. O quadrilátero  ABCD é um paralelogramo. Determine as coordenadas do ponto D. 1.5. Escreva uma equação da circunferência que tem centro em A e passa por C. 1.6. Escreva uma equação da reta que contém B e tem a direção de u . 2. Na figura está representado um paralelepípedo, em referencial o.n. do espaço.  O vértice O é a origem do referencial.  As faces do paralelepípedo são paralelas aos planos coordenados.  O ponto E tem coordenadas (3,4,2). Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exato.
  • 3. Professora: Rosa Canelas 3 Ano Letivo 2012/2013  O ponto M é o ponto médio da aresta [EF] 2.1. Determine o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ usando as letras da figura. 2.2. Determine o perímetro da secção produzida no paralelepípedo pelo plano ADM. 2.3. Utilize as letras da figura para identificar duas retas não complanares, mas perpendiculares. 2.4. Determine os valores de a e b de forma que ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗ ( ) sejam colineares. 2.5. Determine uma condição que defina a esfera de diâmetro [AF]. 3. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [ABCDEFGH] (o ponto H não está representado na figura) 3.1. Preencha cada um dos espaços seguintes, utilizando a designação de um ponto ou de um vetor, de modo a obter afirmações verdadeiras. Copie as afirmações obtidas para a sua folha de respostas. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 3.2. Admita agora que:  O ponto A tem coordenadas ( )  O ponto B tem coordenadas ( )  O ponto E tem coordenadas ( ) 3.2.1. Determine a área da secção produzida no cubo pelo plano ABG. 3.2.2. Escreva uma equação vetorial da reta que passa por F e é paralela ao eixo Oz. 4. No referencial o.n. da figura está um trapézio retângulo [ABCD], P e Q são os pontos médios de [AD] e [DC], respetivamente. Mostre que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , utilizando operações com vetores e conclua sobre a posição relativa dos segmentos de reta [AC] e [PQ]. FIM y x C D Q P AO B x y z M E D BA FG CO
  • 4. Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 2012/2013 Cotações Grupo I Questão 1 2 3 4 5 Cotação 10 10 10 10 10 Grupo II Questão 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2.1 3.2.2 4 Cotação 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Formulário Geometria Perímetro do círculo: 2 r , sendo r o raio do círculo Áreas Paralelogramo: base altura Losango: diagonal maior diagonal menor 2  Trapézio: base maior base menor altura 2   Polígono regular: perímetro apótema 2  Círculo: 2 r , sendo r o raio do círculo Superfície esférica: 2 4 r , sendo r o raio da esfera Volumes Prismas e cilindro: área da base altura Pirâmide e cone: 1 área da base altura 3   Esfera: 34 r 3  , sendo r o raio da esfera Álgebra Fórmula resolvente de uma equação do segundo grau da forma 2 ax bx c 0   : 2 b b 4ac x 2a    
  • 5. Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 2012/2013 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I 3º Teste de avaliação – versão1 – proposta de resolução 1. (A) Num referencial o.n. Oxy, o simétrico, em relação ao eixo das ordenadas, do ponto R de coordenadas  0,3 , é o ponto R' de coordenadas  0,3 por R ser um ponto do eixo das ordenadas: 2. (D) Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz e um sólido constituído por 3 cubos geometricamente iguais. As arestas dos cubos ou estão contidas nos eixos coordenados ou lhes são paralelas. O ponto M tem coordenadas  4,4,4 . A condição   x 0 z 8 representa a reta IJ 3. (B) Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, uma circunferência de centro no ponto ( ). Das condições seguintes a que define a região sombreada, incluindo a fronteira é ( ) ( ) ⋀ 4. (B)Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um cubo de aresta 2. Sabe-se que:  A face [ABCD] está contida no plano xOy  A aresta [DC] está contida no eixo Oy  O ponto C tem coordenadas (0,4,0) Os pontos (2,4,0) e (0,2,0) são os vértices B e D do cubo. O plano mediador do segmento de reta [BD] é ACG 5. (C) Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, a reta r, que interseta o eixo Ox no ponto de abcissa 2 e o eixo Oy no ponto de ordenada 2. A equação reduzida da reta r é porque o declive da reta que passa nos pontos ( ) e ( ) é e a ordenada na origem que é a ordenada do ponto onde a reta interseta o eixo das ordenadas é 2. x y z H I J L N Q M E P G OC' F B A
  • 6. Professora: Rosa Canelas 6 Ano Letivo 2012/2013 Grupo II 1. Num referencial o.n.  O,e,f , considere  A 3,1 ,  B 2,0 ,  C 1,5 e o vetor u e 2f   . 1.1. Calculemos AB e u .           2 2 AB 2 3 0 1 26       2 2 u 1 2 5 1.2. Verifiquemos se os vetores   u 1,2 e        AC 1 3,5 1 2,4 são colineares:            1 4 2 2 4 4 P.V.. Como os vetores verificam a condição de colinearidade podemos concluir que são colineares. 1.3. Determine as coordenadas do ponto médio de  AC .             AC 3 1 1 5 M , 2,3 2 2 1.4. O quadrilátero  ABCD é um paralelogramo. Determinemos as coordenadas do ponto D. Observando a figura concluímos que:           D A BC D 3,1 3,5 6,6 1.5. Vamos escrever uma equação da circunferência que tem centro em A e passa por C. Para escrever a equação precisamos de conhecer o centro  A 3,1 e o raio    r AC 4 16 20 : A equação é        2 2 x 3 y 1 20 . 1.6. Vamos escrever uma equação da reta que contém B e tem a direção de u podemos optar por uma equação vetorial:          x,y 2,0 k 1,2 ,k IR 2. Na figura está representado um paralelepípedo, em referencial o.n. do espaço.  O vértice O é a origem do referencial.  As faces do paralelepípedo são paralelas aos planos coordenados.  O ponto E tem coordenadas (3,4,2).  O ponto M é o ponto médio da aresta [EF] 2.1. Determinemos o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 2.2. Determinemos o perímetro da secção produzida no paralelepípedo pelo plano ADM. Esta secção é um retângulo em que um lado é [AD] e sabemos que AD 2 , x y z M E D BA FG CO
  • 7. Professora: Rosa Canelas 7 Ano Letivo 2012/2013 outro é [DM] cujo comprimento podemos calcular por aplicação do teorema de Pitágoras ao triângulo [DEM]:   2 2 2 DE EM DM ou seja 2 22 3 9 73 4 DM DM 16 DM 2 4 2             e o perímetro é P 4 73  2.3. Duas retas não complanares, mas perpendiculares são, por exemplo AB e DG. 2.4. Determinemos os valores de a e b de forma que ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) e ⃗ ( ) sejam colineares. Terá de ser então               a 1 1 b 3 1 4a 3 4b 2 a b 3 4 4 2 4 2 2.5. Determinemos uma condição que defina a esfera de diâmetro [AF]. Sabendo que  A 3,0,0 e  F 0,4,2 podemos calcular o centro, ponto médio de [AF]:                 AF 3 0 0 4 0 2 3 M , , ,2,1 2 2 2 2 e podemos ainda calcular o raio                 2 2 2 3 0 0 4 0 2AF 9 16 4 29 r 2 2 2 2 uma condição que defina a esfera de diâmetro [AF]:               2 2 23 29 x y 2 z 1 2 4 3. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [ABCDEFGH] (o ponto H não está representado na figura) 3.1. Vamos preencher cada um dos espaços seguintes, utilizando a designação de um ponto ou de um vetor, de modo a obter afirmações verdadeiras. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 3.2. Admitamos agora que:  O ponto A tem coordenadas ( )  O ponto B tem coordenadas ( )  O ponto E tem coordenadas ( ) 3.2.1. Determinemos a área da secção produzida no cubo pelo plano ABG. Esta secção é o retângulo [ABGH] que tem um lado igual à aresta do cubo e outra igual à diagonal facial. Calculemos                 2 2 2 AB 13 11 2 1 8 2 4 9 36 49 7 e podemos então saber que a diagonal facial é BG 7 2 . a área da secção produzida no cubo pelo plano ABG é   A 7 7 2 49 2
  • 8. Professora: Rosa Canelas 8 Ano Letivo 2012/2013 3.2.2. Pretendemos escrever uma equação vetorial da reta que passa por F e é paralela ao eixo Oz. Precisamos de conhecer o ponto F e um vetor com a direção do eixo Oz:  F é tal que          F E AB 8,5,0 2,3,6 10,8,6  um vetor director do eixo Oz é  3e 0,0,1 Uma equação da reta é        x,y,z 10,8,6 k 0,0,1 ,k IR 4. No referencial o.n. da figura está um trapézio retângulo [ABCD], P e Q são os pontos médios de [AD] e [DC], respetivamente. Mostremos que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , utilizando operações com vetores para concluirmos sobre a posição relativa dos segmentos de reta [AC] e [PQ]. Hipótese:  [ABCD] é um trapézio retângulo  P é ponto médio de [AD]  Q é ponto médio de [DC] Tese:  ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Demonstração:  AC AD DC  PQ PD DQ AD 2PD DC 2DQ Então      AC 2PD 2DQ 2 PD DQ 2PQ Como AC 2PQ podemos concluir que os vetores AC e PQ são colineares e assim os segmentos de reta [AC] e [PQ] são paralelos. y x C D Q P AO B
  • 9. Professora: Rosa Canelas 9 Ano Letivo 2012/2013 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I 3º Teste de avaliação – versão1 – critérios de classificação Grupo I (50 pontos) Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1 2 3 4 5 A D B B C Grupo II (150 pontos) 1. 60 1.1. 10  Calcular AB 5  Calcular u 5 1.2. 10  Calcular AC 3  Aplicar a condição de colinearidade 5  Concluir 2 1.3. 10 1.4. 10  Figura 2  Encontrar a relação para calcular D 3  Calcular D 5 1.5. 10  Calcular o raio 5  Escrever a equação pedida 5 1.6. 10 2. 50 2.1. 10 2.2. 10  Calcular o comprimento 5  Calcular a largura 2  Calcular o Perímetro 3
  • 10. Professora: Rosa Canelas 10 Ano Letivo 2012/2013 2.3. 10 2.4. 10  Calcular GB 5  Aplicar a condição de colinearidade 5 2.5. 10  Calcular as coordenadas de A e F 2  Calcular o centro 3  Calcular o raio 3  Escrever a condição 2 3. 25 3.1. 10  Completar a expressão 1 3  Completar a expressão 2 3  Completar a expressão 3 4 3.2. 20 3.2.1. 10  Identificar a secção 3  Calcular a aresta 2  Calcular a diagonal 3  Calcular a área 2 3.2.2. 10  Calcular o ponto 4  Identificar o vetor 3  Escrever a equação 3 4. 10 Total ………………………………………………………………………………………………… 200

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