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  • 1. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20111 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II 2º Teste de avaliação Grupo I 1. A Inês olhou para o seu relógio quando este marcava 10 h e 45 min. Passado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inês concluiu que o ponteiro dos minutos tinha rodado 3− π radianos. Que horas marcava o relógio da Inês, neste último instante? (A) 11 h e 15 min (B) 11 h e 45 min (C) 12 h e 15 min (D) 13 h e 45 min 2. Seja [AB] o diâmetro de uma esfera de centro C e raio 5. Qual é o valor do produto escalar CA.CB ? (A) 25− (B) 5 2− (C) 5 2 (D) 25 3. Considere, num referencial o. n. xOy, a recta r de equação 1 2 y x 3 5 = − + Seja s a recta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas ( )1,4 . Qual é a equação reduzida da recta s? (A) y 3x 1= − (B) y 3x 1= − + (C) y 3x 7= − + (D) y 3x 1= + 4. Num referencial o.n. Oxyz, considere as rectas r e s, definidas por: r : x 2 y 1 z 3− = − = − ( ) ( ) ( )s : x,y,z 2,1,3 k 1,0,1 ,k= + ∈ ℝ • As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. • Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. • Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. • Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. • Não apresente cálculos ou justificações. • Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.
  • 2. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20112 Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) r e s são concorrentes (B) r e s são não complanares (C) r e s são paralelas (D) r e s são perpendiculares 5. Considere, num referencial o.n. xOy, as rectas r e s, definidas, respectivamente, por: ( ) ( ) ( )r : x,y 1,3 k 2,0 ,k= + ∈ ℝ e 4 s :y x 1 5 = + Qual é a amplitude, em graus, do ângulo destas duas rectas (valor arredondado às unidades)? (A) 37º (B) 39º (C) 41º (D) 43º Grupo II 1. Observe a figura e determine o comprimento da ponte AC. 2. Relativamente à figura junta, sabe-se que: o triângulo[ABD] é rectângulo o ponto C pertence ao cateto [BD] x designa a amplitude, em radianos, do ângulo BAD AB 2= e BC 1= Resolva as questões seguintes usando valores exactos. 2.1. Mostre que a área do triângulo [ACD] é dada por 2tgx 1− . 2.2. Determine o valor de x para o qual a área do triângulo [ACD] é igual a 1. 2.3. Sabendo que 5 sen 2 13 π  + α =    e que 0, 2 π  α ∈     , determine o valor de 2tg 1α − . Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.
  • 3. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20113 3. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: A base [ABCD] da pirâmide é um quadrado contido no plano xOy. Os pontos A e C pertencem ao eixo Ox. Os pontos B e D pertencem ao eixo Oy. O ponto P pertence ao eixo Oz. 2x 2y z 6+ + = é uma equação do plano ABP. 3.1. Determine o volume da pirâmide. 3.2. Justifique que a recta definida pela condição x y z 2 2 = = é perpendicular ao plano ABP e contém a origem do referencial. 3.3. Determine uma equação do plano que contém o ponto B e é perpendicular à recta AP. 4. Seja [ABC] um triângulo qualquer e [AM] uma das suas medianas: 4.1. Exprima AB e AC à custa de AM e mostre que: 2 2 AB AC m x⋅ = − 4.2. Identifique o conjunto dos pontos P que satisfazem a equação vectorial PM BC 0⋅ = FIM m x xM B C A
  • 4. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20114 Cotações Questão Cotação 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 1 20 2.1 15 2.2 15 2.3 15 3.1 15 3.2 15 3.3 15 4.1 20 4.2 20
  • 5. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20115 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II 2º Teste de avaliação – Proposta de resolução Grupo I 1. (C) A Inês olhou para o seu relógio quando este marcava 10 h e 45 min. Passado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inês concluiu que o ponteiro dos minutos tinha rodado 3− π radianos. O relógio da Inês, neste último instante marcava 12 h e 15 min 2. (A) Seja [AB] o diâmetro de uma esfera de centro C e raio 5. O valor do produto escalar CA.CB é CA.CB 5 5 cos180º 25= × × = − 3. (D) Considere, num referencial o. n. xOy, a recta r de equação 1 2 y x 3 5 = − + Seja s a recta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas ( )1,4 . A equação reduzida da recta s é é da forma y 3x b= + porque uma recta perpendicular a outra tem declive igual ao simétrico do inverso do declive da recta dada. Porque passa em ( )1,4 será 4 3 1 b b 1= × + ⇔ = . A equação da recta é y 3x 1= + 4. (A) Num referencial o.n. Oxyz, considere as rectas r e s, definidas por: r : x 2 y 1 z 3− = − = − ( ) ( ) ( )s : x,y,z 2,1,3 k 1,0,1 ,k= + ∈ ℝ A afirmação verdadeira é r e s são concorrentes 5. (B) Considere, num referencial o.n. xOy, as rectas r e s, definidas, respectivamente, por: ( ) ( ) ( )r : x,y 1,3 k 2,0 ,k= + ∈ ℝ e 4 s :y x 1 5 = +
  • 6. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20116 A amplitude, em graus, do ângulo destas duas rectas (valor arredondado às unidades) é dado por ( ) r.s cos r,s r s = × ɵ onde ( )r 2,0= e ( )s 5,4= . Então ( ) ( )2 2 2 2 2 5 0 4 10 cos r,s cos r,s 2 412 0 5 4 × + × = ⇔ = ×+ × + ɵ ɵ pelo que 1 10 r,s cos 2 41 −   =   ×  ɵ e r,s 39ºɵ ≃ Grupo II 1. Observemos a figura para determinarmos o comprimento da ponte AC . Considerando a altura do triângulo em relação ao lado [AC] podemos calcular b e h através do ângulo de 30º e do lado que nos são dados: Cálculo de h: ( ) h 1 sen 30º h 200 h 100 200 2 = ⇔ = × ⇔ = Cálculo de b: ( ) b 3 cos 30º b 200 b 100 3 200 2 = ⇔ = × ⇔ = Calculemos agora a, a partir do ângulo de 50º e de h: Cálculo de a: ( ) ( ) 100 100 tg 50º a a tg 50º = ⇔ = Finalmente calculamos ( ) 100 AC a b 100 3 257,12m tg 50º = + = + ≃ 2. Relativamente à figura junta, sabe-se que: o triângulo[ABD] é rectângulo o ponto C pertence ao cateto [BD] x designa a amplitude, em radianos, do ângulo BAD AB 2= e BC 1= 50º 30º 200 m b h aA B C
  • 7. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20117 Vamos resolver as questões seguintes usando valores exactos. 2.1. Mostremos que a área do triângulo [ACD] é dada por 2tgx 1− . Calculemos DB: DB tgx DB 2tgx 2 = ⇔ = Área de [ABD]: [ ] [ ]ABD ABD 2tgx 2 A A 2tgx 2 × = ⇔ = Área de [ABC]: [ ] [ ]ABC ABC 1 2 A A 1 2 × = ⇔ = Área de [ACD]: [ ] [ ] [ ]ACD ABD ABc A A A 2tgx 1= − = − 2.2. Determinemos o valor de x para o qual a área do triângulo [ACD] é igual a 1: 2tgx 1 1 2tgx 2 tgx 1 x 4 π − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 2.3. Sabendo que 5 sen 2 13 π  + α =    e que 0, 2 π  α ∈     , determinemos o valor de 2tg 1α − : sen cos 2 π  + α = α    então 5 cos 13 α = 2 2 2 2 1 169 144 12 1 tg tg 1 tg tg 25 25 55 13 + α = ⇔ α = − ⇔ α = ⇔ α =       12 19 2tg 1 2 1 5 5 α − = × − = 3. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: A base [ABCD] da pirâmide é um quadrado contido no plano xOy. Os pontos A e C pertencem ao eixo Ox. Os pontos B e D pertencem ao eixo Oy. O ponto P pertence ao eixo Oz. 2x 2y z 6+ + = é uma equação do plano ABP. 3.1. Determinemos o volume da pirâmide. Comecemos por calcular as coordenadas dos pontos onde o plano intersecta os eixos:
  • 8. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20118 Intersecção com Oz: 2x 2y z 6 x 0 y 0 z 6+ + = ∧ = ∧ = ⇔ = . As coordenadas de P são ( )0,0,6 e a altura da pirâmide é 6. Intersecção com Ox: 2x 2y z 6 y 0 z 0 2x 6 x 3+ + = ∧ = ∧ = ⇔ = ⇔ = . As coordenadas de A são ( )3,0,0 Intersecção com Oy: 2x 2y z 6 x 0 z 0 2y 6 y 3+ + = ∧ = ∧ = ⇔ = ⇔ = . As coordenadas de B são ( )0,3,0 A aresta da base é ( ) ( ) ( ) 2 2 2 AB 0 3 3 0 0 0 18 3 2= − + − + − = = O Volume da pirâmide é ( ) 21 V 3 2 6 V 36 3 = × × ⇔ = 3.2. Justifiquemos que a recta definida pela condição x y z 2 2 = = é perpendicular ao plano ABP e contém a origem do referencial. O vector director da recta tem coordenadas ( )2,2,1 e por isso ele é também o vector normal ao plano e a recta é perpendicular ao plano. A recta contém a origem do referencial porque 6999999999999 0 0 0 2 2 = = são igualdades verdadeiras. 3.3. Determinemos uma equação do plano que contém o ponto B e é perpendicular à recta AP. Comecemos por calcular ( ) ( ) ( )AP 0,0,6 3,0,0 3,0,6= − = − Uma equação do plano é da família 3x 6z D− + = . Para calcularmos D vamos escolher a equação da família verificada pelas coordenadas de ( )B 0,3,0 : 3 0 6 0 D D 0− × + × = ⇔ = e a equação do plano é 3x 6z 0 x 2z 0− + = ⇔ − = . 4. Seja [ABC] um triângulo qualquer e [AM] uma das suas medianas: 4.1. Vamos exprimir AB e AC à custa de AM e mostrar que: 2 2 AB AC m x⋅ = − AB AM MB= + AC AM MC= + m x xM B C A
  • 9. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20119 ( ) ( )AB AC AM MB AM MC AM AM AM.MC MB AM MB MC⋅ = + ⋅ + = ⋅ + + ⋅ + ⋅ = ( ) ( ) ( ) 2 2 m m cos 0º AM MC MB x x cos 180º m x= × × + + + × × = − porque MC MB 0+ = 4.2. O conjunto dos pontos P que satisfazem a equação vectorial PM BC 0⋅ = é a mediatriz de [BC]
  • 10. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/201110 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II 2º Teste de avaliação – Critérios de correcção Grupo I 1 2 3 4 5 C A D A B Grupo II 1. 20 • Desenhar a altura relativa a [AC] 2 Representar por letras a altura e as partes em que se divide [AC] 3 • Calcular h 4 • Calcular a 4 • Calcular b· 4 • Calcular AC 3 2. 45 2.1. 15 •••• CalcularBD 5 •••• Calcular a área do triângulo 10 ou •••• CalcularBD 5 •••• Calcular a área do triângulo [ABD] 3 •••• Calcular a área do triângulo [ABC] 2 •••• Calcular a área do triângulo [ACD] 5 2.2. 15 •••• Escrever a equação 5 •••• Resolver a equação 8 •••• Apresentar a solução 2 2.3. 15 •••• Simplificar sen x 2 π  +    5 •••• Calcular cos x 5 •••• Calcular a área pedida 5
  • 11. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/201111 3. 50 3.1. 15 •••• Calcular a altura da pirâmide 3 •••• Calcular a aresta da base 8 •••• Calcular o volume 4 3.2. 15 •••• Identificar pelas coordenadas um vector director da recta 3 •••• Reconhecer que o vector director da recta é o vector normal ao plano 3 •••• Reconhecer que a recta é perpendicular ao plano. 4 •••• Mostrar que O é ponto da recta. 5 3.3. 15 •••• Calcular as coordenadas de AP 5 •••• Escrever a equação do plano 10 4. 40 4.1. 20 •••• Exprimir AB em função de AM 5 •••• Exprimir AC em função de AM 5 •••• Mostrar que: 2 2 AB AC m x⋅ = − 10 4.2. 20 •••• Identificar o lugar geométrico 10 •••• Justificar 10 Total ………………………………………………………………………………………………… 200