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  • 1. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20101 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A Geometria no Plano e no Espaço I 2º Teste de avaliação Grupo I 1. Os pontos ( )A 3,7− e ( )B 7,3− são simétricos em relação: (A) à bisectriz dos quadrantes ímpares (B) à recta de equação x 1= (C) à bissectriz dos quadrantes pares (D) à recta de equação y 1= 2. Na figura junta, o conjunto de pontos sombreado pode ser definido pela condição: (A) x 2 y 1≤ ∧ ≤ − (B) x 1 y 2≤ − ∧ ≤ (C) x 2 y 1≤ ∨ ≤ − (D) x 1 y 2≥ − ∨ ≥ 3. A equação x 3= representa: (A) um ponto no plano e uma recta no espaço; (B) uma recta quer no plano, quer no espaço; (C) um ponto quer no plano, quer no espaço; (D) uma recta no plano e um plano no espaço. 4. Considere o cubo com 4 cm de aresta representado no referencial Oxyz. O lugar geométrico definido pela condição x 4 z 4= ∧ = − é: (A) o plano ABC (B) a recta BF (C) a recta AB (D) a recta AD • As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. • Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. • Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. • Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. • Não apresente cálculos ou justificações. • Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. x y z G O CD FE A B
  • 2. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20102 5. A figura representa um octaedro regular de aresta 4 ao qual foi aplicado um referencial o.m. com origem no centro do octaedro. Podemos concluir que a cota de V é: (A) 2 2 (B) 4 2 (C) 2 3 (D) 4 3 Grupo II 1. No referencial xOy da figura a unidade nos dois eixos é a quadrícula. 1.1. Identifique as coordenadas dos pontos A, C, D, E e I. 1.2. Identifique as equações das rectas que contêm as fronteiras da região sombreada e em seguida defina por uma condição a região sombreada. 2. Num sólido constituído por três cubos, geometricamente iguais, foram assinalados seis pontos: A, B, C, D, E e F. Considere o referencial o.m. Oxyz, em que a unidade é igual à aresta dos cubos. 2.1. Indique as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E e F. 2.2. Escreva a equação do plano ACB 2.3. Defina por uma condição a recta AB. 2.4. Identifique o ponto simétrico de D em relação a O. Indique as suas coordenadas. Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. x y z O V 4 2 -2 -4 5 x y O G H F E J I A B C L K D x y z D E O B F C A
  • 3. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20103 2.5. Desenhe na figura a secção produzida no sólido pelo plano OBA e calcule a sua área. 3. O poliedro representado na figura ao lado é um cubo truncado e foi obtido por truncatura de um cubo de aresta nove centímetros. Os seus vértices são os pontos que dividem em 3 partes iguais cada uma das arestas do cubo original. 3.1. Que tipos de polígonos são as faces deste poliedro e quantas há de cada tipo? O poliedro é regular? Justifique. 3.2. Quanto medem as arestas do cubo truncado? 3.3. Determina a área de [DBJIHGFE]? 4. As rectas de equação y x= − e y 2= definem com uma recta paralela ao eixo das abcissas um triângulo de área 32 cm2 . Determine uma possível equação dessa recta. Verifique se a solução que encontrou é a única. Sugestão: Faça uma representação geométrica da situação. FIM Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 4 Cotação 10 10 10 10 10 10 30 12 10 10 10 18 15 10 10 15
  • 4. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20104 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A Geometria no Plano e no Espaço I 2º Teste de avaliação – Proposta de resolução Grupo I 1. (C) Os pontos ( )A 3,7− e ( )B 7,3− são simétricos em relação à bissectriz dos quadrantes pares 2. (C) Na figura junta, o conjunto de pontos sombreado pode ser definido pela condição x 2 y 1≤ ∨ ≤ − 3. (D) A equação x 3= representa uma recta no plano e um plano no espaço. 4. (C) Consideremos o cubo com 4 cm de aresta representado no referencial Oxyz. O lugar geométrico definido pela condição x 4 z 4= ∧ = − é a recta AB 5. (A) A figura representa um octaedro regular de aresta 4 ao qual foi aplicado um referencial o.m. com origem no centro do octaedro. Podemos concluir que a cota de V é metade da diagonal de um quadrado de lado 4 e por isso metade de 4 2 que é 2 2 Grupo II 1. No referencial xOy da figura a unidade nos dois eixos é a quadrícula. 1.1. As coordenadas dos pontos A, C, D, E e I são: ( )A 2, 4− − , ( )C 1, 2− − , ( )D 5, 2− , ( )E 5,2 e ( )I 7, 3− 1.2. As equações das rectas que contêm as fronteiras da região sombreada são: • AL: x 2= − • BC: x 1= − • DK: x 5= • LK: y 0= • CD: y 2= − • AB: y 4= − x y z G O CD FE A B x y z O V
  • 5. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20105 Uma condição que define a zona é: ( ) ( )2 x 1 4 y 0 1 x 5 2 y 0− ≤ ≤ − ∧ − ≤ ≤ ∨ − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ 4 2 -2 -4 5 x y O G H F E J I A B C L K D 2. Num sólido constituído por três cubos, geometricamente iguais, foram assinalados seis pontos: A, B, C, D, E e F. Considere o referencial o.m. Oxyz, em que a unidade é igual à aresta dos cubos. 2.1. As coordenadas dos pontos A, B, C, D, E e F são ( )A 1, 2, 1− − , ( )B 1,0, 1− , ( )C 1, 1,0− , ( )D 1,0,1− , ( )E 1,1,0− e ( )F 0, 2, 1− − . 2.2. Uma equação do plano ACB é x 1= 2.3. A recta AB e definida pela condição x 1 z 1= ∧ = − 2.4. O ponto simétrico de D em relação a O é ( )B 1,0, 1− 2.5. Na figura está desenhada a secção produzida no sólido pelo plano OBA e a sua área é três vezes a área de um rectângulo com 1 de largura e 2 de comprimento. ( )A 3 1 2 3 2= × = 3. O poliedro representado na figura ao lado é um cubo truncado e foi obtido por truncatura de um cubo de aresta nove centímetros. Os seus vértices são os pontos que dividem em 3 partes iguais cada uma das arestas do cubo original. x y z D E O B F C A
  • 6. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20106 3.1. Os polígonos que são as faces deste poliedro são 6 octógonos irregulares e 8 triângulos equiláteros. 3.2. As arestas do cubo truncado são de dois tipos: 12 iguais a BD 3= e 24 iguais a BJ 3 2= porque são diagonais de quadrados de lado 3. 3.3. [DBJIHGFE] é um octógono contido dentro de um quadrado de lado 9 ao qual foram tirados 4 triângulos rectângulos cujos catetos medem 3. Assim a área de [DBJIHGFE] é 3 3 A 9 9 4 81 18 63 2 × = × − × = − = . Também podia considerar o octógono dividido em 2 trapézios iguais com base maior 9, base menor 3 e altura 3 e um rectângulo com dimensões 3 e 9, pelo que a área de [DBJIHGFE] é 9 3 A 9 3 2 3 27 36 63 2 + = × + × × = + = 4. As rectas de equação y x= − e y 2= definem com uma recta paralela ao eixo das abcissas um triângulo de área 32 cm2 . Uma possível equação dessa recta é x 6= ou x 10= − porque para a área de um triângulo rectângulo ser 32 o produto das medidas dos seus catetos é 64 e como neste caso o triângulo é rectângulo isósceles os dois catetos são iguais pelo que cada um mede 8. Assim adicionando e subtraído 8 à abcissa de do ponto de intersecção das duas rectas dadas (A) obtemos os valores a que devemos igualar x para obter as equações das possíveis rectas e que são as únicas. Há duas soluções como podíamos verificar utilizando as coordenadas dos pontos assinalados na figura ( ) ( ) ( ) 2 2 2a 2 a 2 32 a 2 64 a 2 8 a 2 8 a 6 a 10 2 + × + = ⇔ + = ⇔ + = ∨ + = − ⇔ = ∨ = − Donde poderíamos concluir serem as rectas de equação x 6= ou x 10= − as que definem com as rectas de equação y x= − e y 2= um triângulo de área 32 cm2 . 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 8 8 8 8 A: (-2, 2) C(a,-a) A B (a,2)
  • 7. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20107 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A Geometria no Plano e no Espaço I 2º Teste de avaliação – Critérios de correcção Grupo I 1 2 3 4 5 C C D C A Grupo II 1. ………………………………………………………………………………………………….. 40 1.1. Calcular as coordenadas dos 5 pontos……………………………………….. 10 1.2. …………………………………………………………………………………….. 30 •••• Escrever uma equação de cada uma das 6 rectas...……………… 12 •••• Escrever a condição que define a zona.…………….……………… 18 2. …………………………………………………………………………………………………… 60 2.1. Calcular as coordenadas dos 6 pontos……………………………………….. 12 2.2. Escrever uma equação do plano ……………………………………………… 10 2.3. Escrever uma condição que defina a recta AC ……………………………… 10 2.4. …………………………………………………………………………………….. 10 •••• Indicar o ponto B ….…………………...………………………………..… 5 •••• Indicar as coordenadas do ponto B …..………………………..……...... 5 2.5. ……………………………………………………………………………………… 18 •••• Desenhar a secção ……………………………………………………….. 9 •••• Calcular a área da secção ……………………………………………….. 9 3. …………………………………………………………………………………………………… 35 3.1. …………………………………………..………………………………………….. 15 •••• Indicar que 8 faces são triângulos equiláteros ……………………..…… 4 •••• Indicar que 6 faces são octógonos irregulares …….………………….…. 4 •••• Dizer que o poliedro é irregular e justificar ………...……………...……… 7 3.2. ……………………………………………………………………………………….. 10 •••• Calcular a medida da aresta que é lado do triângulo …………………… 5 •••• Calcular a medida da aresta que é lado do octógono…………………… 5 3.3. ……………………………………………………………………………………….. 10
  • 8. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20108 •••• Decompor o polígono ……………………………………………………… 2 •••• Calcular a área do quadrilátero …………………………………………… 2 •••• Calcular a área do triângulo ou do trapézio …..…………………………. 4 •••• Calcular a área do octógono ………………………………………………. 2 4. ……………………………………………………………………………………………… 15 •••• Desenhar a recta de equação y x= − ……………………………….……… 2 •••• Desenhar a recta de equação y 2= ………………………………………. 2 •••• Identificar as coordenadas dos vértices ……………….……….………… 2 •••• Identificar os comprimentos dos catetos ……...……….…………………. 2 •••• Escrever a equação ( ) ( ) 2 2 a 2 a 2 32 2 + × + = …………………………… 3 •••• Resolver a equação …………………………………………………………. 2 •••• Dar a resposta justificando as duas soluções …………………………….. 3 Total ………………………………………………………………………………………………… 200

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