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  • 1. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20111 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II 2º Teste de avaliação Grupo I 1. Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox. Em qual das figuras esse ângulo pode ter 3 radianos de amplitude? (A) (B) (C) (D) 2. De dois vectores p e q sabe-se que têm ambos norma igual a 3 e que p q 9⋅ = − (p q⋅ designa o produto escalar de p por q). Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira. (A) p q 0+ = (B) p q 0− = (C) p q⊥ (D) O ângulo dos vectores p e q é agudo 3. Considere, num referencial o. n. xOy, a recta r de equação 1 3 y x 2 5 = − + Seja s a recta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas ( )1,4 . • As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. • Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. • Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. • Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. • Não apresente cálculos ou justificações. • Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.
  • 2. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20112 Qual é a equação reduzida da recta s? (A) y 2x 2= + (B) y 2x 6= − + (C) 5 y 2x 3 = − + (D) 3 y 2x 5 = + 4. Num referencial o.n. Oxyz, considere o plano α , de equação x y 4+ = O plano α é (A) paralelo ao plano xOy (B) perpendicular ao plano xOy (C) paralelo ao eixo Ox (D) perpendicular ao eixo Ox 5. Considere, num referencial o.n. xOy, as rectas r e s, definidas, respectivamente, por: ( ) ( ) ( )r : x,y 1,3 k 2,0 ,k= + ∈ ℝ e 3 s :y x 1 4 = + Qual é a amplitude, em graus, do ângulo destas duas rectas (valor arredondado às unidades)? (A) 37º (B) 39º (C) 41º (D) 43º Grupo II 1. A figura representa a determinação da altura de uma árvore cuja base é inacessível. Observe a figura e calcule essa altura com aproximação às décimas. 2. Na figura, está representado o quadrado [ABCD] de lado 2. Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado [CD], nunca coincidindo com o ponto C, nem com o ponto D. Para cada posição de P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo BAP x , 4 2  π π  ∈      . Resolva as questões seguintes usando valores exactos. Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.
  • 3. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20113 2.1. Mostre que a área da região sombreada é dada em função de x, por ( ) 2 A x 4 tgx = − 2.2. Determine o valor de x para o qual a área da região sombreada é 12 2 3 3 − 2.3. Para um certo valor de x, sabe-se que 15 cos x 2 17 π  + = −    . Determine, para esse valor de x, a área da região sombreada. 3. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular. O vértice O é a origem do referencial. O vértice P pertence ao eixo Oz. O vértice R pertence ao plano xOy O vértice V tem coordenadas ( )2,11,5− Uma equação vectorial da recta que contém a altura da pirâmide é ( ) ( ) ( )x,y,z 7, 1,5 k 6, 8,0 ,k= − + − ∈ ℝ . 3.1. Mostre que a base da pirâmide está contida no plano de equação 3x 4y 0− = . 3.2. Justifique que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas ( )4,3,5 . 3.3. Determine o volume da pirâmide. 4. Seja [AB] um diâmetro qualquer da circunferência de centro O e R um ponto fixo, exterior à circunferência. 4.1. Exprima RA′ em função de RB e BA′ e mostre que: RA RA RA RB′⋅ = ⋅ 4.2. Identifique o conjunto dos pontos P que satisfazem a equação vectorial PB AB 0⋅ = FIM A' A O B R
  • 4. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20114 Cotações Questão Cotação 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 1 20 2.1 15 2.2 15 2.3 15 3.1 15 3.2 15 3.3 15 4.1 20 4.2 20
  • 5. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20115 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II 2º Teste de avaliação – Proposta de resolução Grupo I 1. (B) Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox. É na figura (B) que está representado um ângulo que pode ter 3 radianos de amplitude porque 3r 172º≃ 2. (A) De dois vectores p e q sabe-se que têm ambos norma igual a 3 e que p q 9⋅ = − (p q⋅ designa o produto escalar de p por q). Ora como ( ) ( ) ( )p q p q cos p,q 9 9cos p,q cos p,q 1 p,q 180º⋅ = × × ⇔ − = ⇔ = − ⇔ =ɵ ɵ ɵ ɵ A afirmação que é verdadeira é (A) p q 0+ = 3. (A) Considere, num referencial o. n. xOy, a recta r de equação 1 3 y x 2 5 = − + Seja s a recta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas ( )1,4 . A equação reduzida da recta s é da forma y 2x b= + porque uma recta perpendicular a outra tem declive igual ao simétrico do inverso do declive da recta dada. Porque passa em ( )1,4 será 4 2 1 b b 2= × + ⇔ = . A equação da recta é y 2x 2= + 4. (B) Num referencial o.n. Oxyz, considere o plano α , de equação x y 4+ = O plano α é normal ao vector de coordenadas ( )1,1,0 que pertence ao plano xOy pelo que é perpendicular ao plano xOy 5. (A) Considere, num referencial o.n. xOy, as rectas r e s, definidas, respectivamente, por: ( ) ( ) ( )r : x,y 1,3 k 2,0 ,k= + ∈ ℝ e 3 s :y x 1 4 = +
  • 6. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20116 A amplitude, em graus, do ângulo destas duas rectas (valor arredondado às unidades) é dado por ( ) r.s cos r,s r s = × ɵ onde ( )r 2,0= e ( )s 4,3= . Então ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 4 0 3 8 4 cos r,s cos r,s cos r,s 2 5 52 0 4 3 × + × = ⇔ = ⇔ = ×+ × + ɵ ɵ ɵ pelo que 1 4 r,s cos 5 −   =     ɵ e r,s 37ºɵ ≃ Grupo II 1. A figura representa a determinação da altura de uma árvore cuja base é inacessível. Observemos a figura e calculemos essa altura com aproximação às décimas. Comecemos por chamar x à distância do rapaz à árvore e por h a distância da linha de medição ao cimo da árvore. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h tg 43º h xtg 43º h xtg 43ºx h h x 20 tg 22,5º xtg 43º xtg 22,5º 20tg 22,5º tg 22,5º x 20  =  = =   ⇔ ⇔ ⇔   = + = +   =  + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20tg 22,5º tg 43º h h xtg 43º tg 43º tg 22,5º x tg 43º tg 22,5º 20tg 22,5º 20tg 22,5º x tg 43º tg 22,5º  =  = −  ⇔  − =  = − A altura da árvore é ( ) ( ) ( ) ( ) 20tg 22,5º tg 43º 1,6 16,5m tg 43º tg 22,5º + − ≃ 2. Na figura, está representado o quadrado [ABCD] de lado 2. Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado [CD], nunca coincidindo com o ponto C, nem com o ponto D. Para cada posição de P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo BAP x , 4 2  π π  ∈      . Vamos resolver as questões seguintes usando valores exactos. 2.1. Mostremos que a área da região sombreada é dada em função de x, por ( ) 2 A x 4 tgx = −
  • 7. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20117 Pela expressão dada verificamos que esta área é a área do quadrado menos a área do triângulo [ADP]. A área do quadrado é 4. o triângulo [ADP] é um triângulo rectângulo com um ângulo igual a x e outro a x 2 π − . Sendo x a amplitude do ângulo APD podemos tirar que 2 2 tgx DP tgxDP = ⇔ = . A área do triângulo é 2 2 2tgx A A 2 tgx × = ⇔ = A área da região sombreada é em função de x, ( ) 2 A x 4 tgx = − 2.2. Determinemos o valor de x para o qual a área da região sombreada é 12 2 3 3 − 12 2 3 2 6 4 12tgx 2 3tgx 12tgx 6 2 3tgx 6 tgx 3 tgx 2 3 − = − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ 3 3 tgx tgx 3 x 3 6 π = ⇔ = ⇔ = , considerando que x , 4 2  π π  ∈      . 2.3. Para um certo valor de x, sabe-se que 15 cos x 2 17 π  + = −    . Determinemos, para esse valor de x, a área da região sombreada. Ora 15 15 15 cos x senx senx 2 17 17 17 π  + = − ⇔ − = − ⇔ =    A partir de senx calculemos cosx. 2 2 215 225 64 cos x 1 cos x 1 cos x 17 289 289   + = ⇔ = − ⇔ = ±    e como x , 4 2  π π  ∈      será 8 cos x 17 = Sabendo senx e cos x podemos calcular 15 1517tgx tgx 8 8 17 = ⇔ = A área da região sombreada é neste caso 2 16 44 A 4 A 4 A 15 15 15 8 = − ⇔ = − ⇔ =
  • 8. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20118 3. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular. O vértice O é a origem do referencial. O vértice P pertence ao eixo Oz. O vértice R pertence ao plano xOy O vértice V tem coordenadas ( )2,11,5− Uma equação vectorial da recta que contém a altura da pirâmide é ( ) ( ) ( )x,y,z 7, 1,5 k 6, 8,0 ,k= − + − ∈ℝ . 3.1. Mostremos que a base da pirâmide está contida no plano de equação 3x 4y 0− = . Temos já um vector normal ao plano que é o vector director da recta e tem coordenadas ( )6, 8,0− e sabemos que o plano passa na origem. Então 6 0 8 0 D D 0× − × = ⇔ = e a equação do plano é 6x 8y 0 3x 4y 0− = ⇔ − = como queríamos provar. 3.2. Justifiquemos que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas ( )4,3,5 . o centro da base da pirâmide é o ponto de intersecção da recta que contém a altura com o plano da base. Verifiquemos que o ponto dado pertence aos dois: ( )4,3,5 pertence à recta: ( ) ( ) ( ) 34 7 6k k 16 4,3,5 7, 1,5 k 6, 8,0 3 1 8k k 4 2 k5 5 8 = + = −  = − + − ⇔ = − − ⇔ ⇔ = −    = −=  Isto significa que para 1 k 2 = − obtemos como ponto da recta o ponto ( )4,3,5 . ( )4,3,5 pertence ao plano: 3 4 4 3 0 0 0× − × = ⇔ = PV o que significa que o ponto pertence ao plano. 3.3. Determinemos o volume da pirâmide. O plano que contém o vértice da pirâmide e é paralelo ao plano xOy tem equação z 5= pelo que a cota de P é 10 o mesmo acontecendo à aresta da base. A altura da pirâmide é a distância entre o vértice e o centro da base: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 h 4 2 3 11 5 5 36 64 10= + + − + − = + =
  • 9. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20119 O volume da pirâmide é 21 1000 V 10 10 V 3 3 = × × ⇔ = 4. Seja [AB] um diâmetro qualquer da circunferência de centro O e R um ponto fixo, exterior à circunferência. 4.1. Comecemos por: exprimir RA′ em função de RB e BA′ . RA RB BA′ ′= + mostremos que: RA RA RA RB′⋅ = ⋅ Ora ( )RA RA RA RB BA RA RB RA BA RA RB′ ′ ′⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = ⋅ porque RA BA 0′⋅ = por os vectores serem perpendiculares. 4.2. O conjunto dos pontos P que satisfazem a equação vectorial PB AB 0⋅ = é a recta tangente à circunferência no ponto B A' A O B R P
  • 10. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/201110 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II 2º Teste de avaliação – Critérios de correcção Grupo I 1 2 3 4 5 B A A B A Grupo II 1. 20 • Representar por uma letra a distância do rapaz à árvore 2 • Representar por uma letra (h) a distância da linha de observação à árvore 2 • Escrever h em função do triângulo com ângulo de 43º 2 • Escrever h em função do triângulo com ângulo de 22,5º 2 • Calcular o valor de h 10 • Calcular a altura da árvore 2 2. 45 2.1. 15 •••• Identificar a expressão como diferença entre a área do quadrado e a do triângulo 2 •••• Calcular a área do quadrado 2 •••• Exprimir DP em função da tgx 5 •••• Calcular a área do triângulo 4 •••• Calcular a área da região sombreada 2 2.2. 15 •••• Escrever a equação 5 •••• Resolver a equação 8 •••• Apresentar a solução 2 2.3. 15 •••• Simplificar cos x 2 π  +    4 •••• Calcular cos x 4 •••• Calcular tgx 4 •••• Calcular a área pedida 3
  • 11. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/201111 3. 50 3.1. 15 •••• Identificar o vector director da recta como vector normal ao plano 5 •••• Escrever a equação do plano 10 3.2. 15 •••• Identificar o ponto como intersecção da recta com o plano 5 •••• Mostrar que o ponto pertence à recta 5 •••• Mostrar que o ponto pertence ao plano 5 3.3. 15 •••• Identificar a cota de P para concluir sobre a medida da aresta da base 5 •••• Calcular a altura da pirâmide 5 •••• Calcular o volume da pirâmide 5 4. 40 4.1. 20 •••• Exprimir RA′ em função de RB e BA′ 10 •••• Mostrar que: RA RA RA RB′⋅ = ⋅ 10 4.2. 20 •••• Identificar o lugar geométrico 10 •••• Justificar 10 Total ………………………………………………………………………………………………… 200