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  • 1. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20101 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A Geometria no Plano e no Espaço I 1º Teste de avaliação Grupo I 1. A área da face de um dodecaedro regular é 2 6 2 cm ; então a área total do dodecaedro é: (A) 2 120 2 cm (B) 2 72 2 cm (C) 2 6 24 cm (D) 2 72 24 cm 2. Os triângulos [ADC] e [DCB] são semelhantes e a razão de semelhança é 2. Então, se AD 1= , tem-se: (A) DB 2= (B) DB 4= (C) CB 4,5= (D) CB 4= 3. Escolha a afirmação verdadeira, relativamente ao cubo da figura: (A) As rectas EF e CD são paralelas (B) As rectas AB e EC são concorrentes (C) As rectas HD e FG são paralelas (D) As rectas EF e CD são não complanares 4. Uma pirâmide tem o triplo do volume de um prisma com a mesma base. Então, sendo h a altura da pirâmide e h’ a altura do prisma, podemos concluir que: (A) h h' 3 = (B) h 6h'= (C) h 9h'= (D) h' h 3 = • As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. • Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. • Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. • Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. • Não apresente cálculos ou justificações. • Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. E H G C D F A B B C D A
  • 2. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20102 5. A área do triângulo da figura é 12 cm2 . Qual é o valor de x? (A) x 7cm= (B) x 9cm= (C) x 10cm= (D) x 20 cm= Grupo II 1. Num recipiente cilíndrico cheio de água, introduziu-se uma esfera de diâmetro igual à altura e ao diâmetro da base do recipiente. 1.1. Calcule a percentagem de água que transbordou, indicando um valor arredondado às décimas. 1.2. Suponha que o recipiente, no qual a água excedente foi guardada, é um cilindro com 12cm de diâmetro que ficou com 27cm de altura de água. Determine o raio da esfera. 2. Na figura está representado um cubo em que a aresta mede 5 cm. Sabe-se que: EP GQ CR 1cm= = = 2.1. Desenhe a secção produzida no cubo pelo plano PQR. 2.2. Indique a maior área da secção produzida no cubo por um plano paralelo ao plano PQR. 2.3. Seja x um ponto da aresta [BF] e α o plano paralelo ao plano EGH e que passa por x. A que distância do ponto B deve estar o ponto x para que o prisma situado abaixo do plano α tenha 2 cm3 de volume. 3. A figura representa um cubo onde se escavou uma pirâmide quadrangular regular. 3.1. Mostre que os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de Euler. 3.2. Sabendo que a altura da pirâmide é 2 3 da aresta do cubo, Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. x - 3 x - 5 A C B R Q P H G C D F E A B
  • 3. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20103 determine que percentagem do volume do cubo representa o volume da pirâmide que foi retirada. 4. Uma mosca está sobre uma aresta do paralelepípedo, a 4 cm do vértice superior, e desloca-se para um pingo de mel que está no centro O da base superior. Qual é o caminho mais curto? Mostre que não passa por B. Sugestão: Para responder às questões, comece por construir uma planificação do paralelepípedo e localize os pontos envolvidos. Formulário Geometria Perímetro do círculo: 2 rπ , sendo r o raio do círculo Áreas Paralelogramo: base altura× Losango: diagonal maior diagonal menor 2 × Trapézio: base maior base menor altura 2 + × Polígono regular: perímetro apótema 2 × Círculo: 2 rπ , sendo r o raio do círculo Superfície esférica: 2 4 rπ , sendo r o raio da esfera Volumes Prismas e cilindro: área da base altura× Pirâmide e cone: 1 área da base altura 3 × × Esfera: 34 r 3 π , sendo r o raio da esfera Álgebra Fórmula resolvente de uma equação do segundo grau da forma 2 ax bx c 0+ + = : 2 b b 4ac x 2a − ± − = Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 4 Cotação 10 10 10 10 10 20 20 15 20 20 15 20 20
  • 4. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20104 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A Geometria no Plano e no Espaço I 1º Teste de avaliação – Proposta de correcção Grupo I 1. (B) A área da face de um dodecaedro regular é 2 6 2 cm ; então a área total do dodecaedro é 2 12 6 2 72 2 cm× = , por o dodecaedro ter 12 faces iguais. 2. (B) Os triângulos [ADC] e [DCB] são semelhantes e a razão de semelhança é 2. Então, se AD 1= , tem-se: AD 1 CD 2= ⇒ = se CD 2 DB 4= ⇒ = . 3. (A)Escolha a afirmação verdadeira, relativamente ao cubo da figura, “As rectas EF e CD são paralelas” porque não têm pontos comuns e têm a mesma direcção (B) As rectas AB e EC são concorrentes é falsa porque as rectas são não complanares. (C) As rectas HD e FG são paralelas é falsa porque as rectas são perpendiculares e não complanares, (D) As rectas EF e CD são não complanares é falsa por as rectas serem paralelas. 4. (C) Uma pirâmide tem o triplo do volume de um prisma com a mesma base. Então, sendo h a altura da pirâmide e h’ a altura do prisma, podemos concluir que: pirâmide prisma base base 1 1 V 3V A h 3 A h' h 3 h' h 9h' 3 3 = ⇔ × × = × × ⇔ × = × ⇔ = 5. (B) A área do triângulo da figura é 12 cm2 . O valor de x é 9 cm. ( )( ) 2 2 x 3 x 5 12 24 x 3x 5x 15 x 8x 9 0 2 − − = ⇔ = − − + ⇔ − − = ⇔ 8 64 4 9 x x 9 x 1 2 ± + × = ⇔ = ∨ = − . Como x tem de ser positivo e maior que 5 só pode ser 9 Grupo II E H G C D F A B x - 3 x - 5 A C B B C D A
  • 5. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20105 1. Num recipiente cilíndrico cheio de água, introduziu-se uma esfera de diâmetro igual à altura e ao diâmetro da base do recipiente. 1.1. Calculemos a percentagem de água que transbordou, indicando um valor arredondado às décimas fazendo sucessivamente: • Cálculo do volume da esfera de raio r. – 34 V r 3 π= • Cálculo do volume de um cilindro com base circular de raio r e altura 2r. – 2 3 V r 2r V 2 rπ π= × ⇔ = • Cálculo da percentagem de água que transbordou. – 3 3 4 r 4003 100 66,7% 62 r π π × = ≃ A percentagem de água que transbordou é 66,7%. 1.2. Supondo que o recipiente, no qual a água excedente foi guardada, é um cilindro com 12cm de diâmetro que ficou com 27cm de altura de água, determinemos o raio da esfera fazendo sucessivamente: • Cálculo do volume da água armazenada no cilindro que é igual ao volume da esfera – 2 3 V 6 27 V 972 cmπ π= × × ⇔ = • Cálculo do raio da esfera 3 3 34 972 3 r 972 r r 729 r 9cm 3 4 π π × = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 2. Na figura está representado um cubo em que a aresta mede 5 cm. Sabe-se que: EP GQ CR 1cm= = = 2.1. A secção produzida no cubo pelo plano PQR está desenhada na figura ao lado. 2.2. A secção com a maior área, produzida no cubo, por um plano paralelo ao plano PQR é o rectângulo [ACGE] AE 5 cm= e EG 5 2 10 cm= × = por [EG] ser a diagonal de um quadrado de aresta [AE] sabendo que AE 5 cm= Por se tratar de um rectângulo a área é 2 A 5 10 A 50 A 5 2 cm= × ⇔ = ⇔ = 2.3. Seja x um ponto da aresta [BF] e α o plano paralelo ao plano EGH e que passa por x. A que distância h do ponto B deve estar o ponto x para que o prisma situado abaixo do plano α tenha 2 cm3 de volume é dada por ( ) 2 2 2 5 h 2 5h h 5 = × ⇔ = ⇔ = A distância h a que o ponto B deve estar do ponto x para que o prisma situado abaixo do plano α tenha 2 cm3 de volume é 0,4 cm. R QP H G C D F E A B S C.A. 50 2 25 5 5 5 1 R QP H G C D F E BA x R QP H G C D F E A B S
  • 6. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20106 3. A figura representa um cubo onde se escavou uma pirâmide quadrangular regular. 3.1. Mostremos que os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de Euler: • Número de faces – 9 • Número de vértices – 9 • Número de arestas – 16 Igualdade de Euler: Número de faces + Número de vértices = Número de arestas +2 Aplicação da igualdade ao sólido da figura: 9 9 16 2 18 18+ = + ⇔ = Concluímos assim que os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de Euler. 3.2. Sabendo que a altura da pirâmide é 2 3 da aresta do cubo, determinemos que percentagem do volume do cubo representa o volume da pirâmide que foi retirada. Começamos por representar a aresta do cubo por a e em seguida vamos calcular: • O volume do cubo é 3 cuboV a= • O volume da pirâmide é 2 3 pirâmide pirâmide 1 2 2 V a a V a 3 3 9 = × ⇔ = • A percentagem do volume do cubo que o volume da pirâmide que foi retirada representa é dada por 3 3 2 a 2009 100 22,2% 9a × = ≃ . 4. Uma mosca está sobre uma aresta do paralelepípedo, a 4 cm do vértice superior, e desloca-se para um pingo de mel que está no centro O da base superior. O caminho mais curto é PM e não passa por B como se vê na planificação seguinte: Sugestão: Para responder às questões, comece por construir uma planificação do paralelepípedo e localize os pontos envolvidos. • Cálculo de PM: 2 2 2 PM 16 12= + ⇔ 2 PM 400 PM 20cm= ⇔ = 16 cm32 cm 16 cm 12 cm 16 cm A P' P M BA
  • 7. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20107 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A Geometria no Plano e no Espaço I 1º Teste de avaliação – Critérios de correcção Grupo I 1 2 3 4 5 B B A C B Grupo II 1. ………………………………………………………………………………………………….. 40 1.1. • Calcular o volume da esfera em função do raio r …………………… 6 • Calcular o volume do cilindro em função de r ……………………….. 6 • Calcular a percentagem pedida ……………………………………….. 8 1.2. •••• Calcular o volume da água …………………………………………… 6 •••• Igualar o volume da água a 34 r 3 π …………………………………... 4 •••• Resolver a equação …………………………………………………… 8 •••• Dar a resposta com o valor exacto ………………………………….. 2 2. …………………………………………………………………………………………………… 55 2.1. •••• Desenhar [PQ] ………………………………………....……………. 2 •••• Desenhar [QR] ………………………………………....……………. 2 •••• Traçar paralela a PQ por R e obter S .……………....……………. 5 •••• Desenhar [RS] ………………………………………....……………. 2 •••• Desenhar [PS] ………………………………………....…………….. 2 •••• Desenhar a secção ………………………………………………..… 2 2.2. •••• Desenhar a maior secção .………………………………………..... 5 •••• Calcular a medida da diagonal facial …..……………………...…... 8 •••• Calcular a área da secção ……………………………………..…… 7 2.3. •••• Desenhar a secção produzida por α .…………………………..… 2
  • 8. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/20108 •••• Representar Bx por uma incógnita…..………………………..…….. 2 •••• Escrever a equação 2 5 5 h= × × …………………………………. 8 •••• Resolver a equação …………………………………………….…….. 8 3. …………………………………………………………………………………………………… 40 3.1. •••• Número de faces ……………………..………………………………. 5 •••• Número de vértices .…………………..………………………………. 5 •••• Número de arestas .…………………..………………………………. 5 •••• Verificação da Relação de Euler ..…..…………….………………... 5 3.2. • Calcular o volume do cubo em função da aresta a………………… 6 • Calcular o volume da pirâmide em função de a ..………………….. 6 • Calcular a percentagem pedida ….………………………………….. 8 4. …………………………………………………………………………………………………… 20 • Desenhar uma planificação ……………………………………………. 5 • Assinalar os pontos na planificação ……………………………….…. 5 • Aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular PM ………….……… 4 • Calcular PM ………………………………………………….…………. 4 • Justificar que o caminho não passa por B …………….………………. 2 Total ………………………………………………………………………………………………… 200

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