Teste01 a

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Teste01 a

  1. 1. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2011/20121 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A Tema I – Probabilidades e Combinatória 1º Teste de avaliação Grupo I NOTA: No fim há um formulário sobre distribuições de probabilidade 1. Num saco estão quatro bolas indistinguíveis ao tato e numeradas de 1 a 4. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, duas bolas do saco. Seja X a variável aleatória: “média aritmética dos números das bolas extraídas”. O valor de ( )2,5=P X é: (A) 1 12 (B) 1 6 (C) 1 3 (D) 2 3 2. Em cada uma das opções seguintes (A, B, C e D) estão representadas quatro figuras, constituídas cada uma delas, por quadrados e círculos numerados de 1 a 5. Para cada opção, considere: A experiência que consiste na escolha aleatória de um dos cinco elementos que constituem a figura; Os acontecimentos: X:”a figura tem número par” e Y:” a figura é um círculo”. Em qual das opções se tem ( ) 2 P X | Y 3 = ? • As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. • Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. • Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. • Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. • Não apresente cálculos ou justificações. • Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.
  2. 2. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2011/20122 3. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A⊂ Ω e B⊂ Ω ) Sabe-se que ( )P A 0,5= e que ( )P B 0,7= Podemos garantir que… (A) A e B são acontecimentos contrários (B) A e B são acontecimentos compatíveis. (C) A está contido em B. (D) O acontecimento A∪B é certo. 4. Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades: ix 0 a 2a ( )= iP X x 0,3 0,5 b Sabe-se que o valor médio do valor da variável aleatória é 2,7 Qual é o valor de a ? (A) 3 (B) 2,5 (C) 2 (D) 1,5 5. O diâmetro, em milímetros, dos parafusos produzidos por uma certa máquina é uma variável aleatória X com distribuição normal, de valor médio 15. Qualquer parafuso produzido por essa máquina passa por um controle de qualidade. Ao passar por esse controle, o parafuso é aprovado se o seu diâmetro estiver compreendido entre 14,1 e 15,9 milímetros. Caso contrário, é rejeitado. Sabe-se que 99,73% dos parafusos são aprovados. Qual é o desvio padrão da variável aleatória X ? (A) 0,1 (B) 0,3 (C) 0,6 (D) 0,9 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.
  3. 3. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2011/20123 1. Num saco há seis bolas, sendo três delas vermelhas, duas azuis e uma preta. Considere a experiência que consiste na extração aleatória de uma bola e no registo da cor. 1.1. Qual é o espaço amostral? 1.2. Identifique os acontecimentos elementares e indique qual deles tem maior probabilidade de ocorrer. 1.3. Considere os acontecimentos: A: “sair bola vermelha”; B: “sair bola verde”; C: ”não sair bola azul”; D: “não sair bola amarela” 1.3.1. Represente os acontecimentos na forma de conjuntos. 1.3.2. Identifique um acontecimento impossível, um acontecimento elementar, um acontecimento composto. 1.3.3. Indique a probabilidade de ocorrer cada um dos acontecimentos A, B, C e D. 2. Numa estação de serviço, observou-se que 32% dos seus clientes compram gasolina sem chumbo 95, 56% preferem sem chumbo 98 e os restantes gastam gasóleo. Verificou-se ainda que, dos clientes que compram gasolina sem chumbo 95, 20% enchem o depósito, o mesmo acontece com 60% dos que compram gasóleo e com 25% dos que gastam gasolina sem chumbo 98. 2.1. Determine a probabilidade de um automobilista abastecer o seu automóvel nesta estação de serviço, e não encher o depósito. 2.2. Sabe-se que um cliente encheu o depósito do seu carro. Qual é a probabilidade de ter abastecido com gasolina sem chumbo 98? Apresente o resultado em percentagem arredondado às décimas. 3. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória. 3.1. Mostre que, se A e B forem acontecimentos independentes, tem-se: ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A∪ = + × 3.2. Admita que A e B são independentes e que ( ) 2 P A 3 = e ( ) 1 P A B 6 ∩ = . Determine ( )P A B∪ . 4. Numa caixa há 5 bolas, 2 pretas e 3 azuis. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar da caixa, simultaneamente e ao acaso, duas bolas e verificar a cor das mesmas. 4.1. Determine a probabilidade de serem extraídas as duas
  4. 4. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2011/20124 bolas pretas. Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 4.2. Admita que a experiência vai ser realizada três vezes, nas mesmas condições. Seja X a variável aleatória “número de vezes em que as bolas extraídas são pretas”. Calcule o valor médio da variável X. Nota: se não resolveu a questão 4.1 tome para valor da probabilidade de as bolas extraídas serem pretas 2 5 . Formulário: COTAÇÕES DO GRUPOII QUESTÃO 1.1 1.2 1.3.1 1.3.2 1.3.3 2.1 2.2 3.1 3.2 4.1 4.2 COTAÇÃO 5 10 8 4 8 20 10 20 20 20 25
  5. 5. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2011/20125 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A Tema I – Probabilidades e Combinatória 1º Teste de avaliação Grupo I NOTA: No fim há um formulário sobre distribuições de probabilidade 1. (C) Num saco estão quatro bolas indistinguíveis ao tato e numeradas de 1 a 4. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, duas bolas do saco. Seja X a variável aleatória: “média aritmética dos números das bolas extraídas”. ( ) 4 1 2,5 12 3 = = =P X 2. (C) Em cada uma das opções seguintes (A, B, C e D) estão representadas quatro figuras, constituídas cada uma delas, por quadrados e círculos numerados de 1 a 5. Para cada opção, considere: A experiência que consiste na escolha aleatória de um dos cinco elementos que constituem a figura; Os acontecimentos: X:”a figura tem número par” e Y:” a figura é um círculo”. Tem-se ( ) 2 P X | Y 3 = na opção C por lá termos que a probabilidade e a figura ter 2 números pares sabendo que a figura é um quadrado. De facto temos 2 dos 3 quadrados com números pares. 3. (B) Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A⊂ Ω e B⊂ Ω ) Sabe-se que ( )P A 0,5= e que ( )P B 0,7= Podemos garantir que… A e B são acontecimentos compatíveis. 1 2 3 4 1 1,5 2 2,5 2 1,5 2,5 3 3 2 2,5 3,5 4 2,5 3 3,5
  6. 6. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2011/20126 4. (A)Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades: ix 0 a 2a ( )= iP X x 0,3 0,5 b Sabe-se que o valor médio do valor da variável aleatória é 2,7. O valor de b é ( )b 1 0,5 0,3 0,2= − + = e então a é tal que: 0 0,3 a 0,5 2a 0,2 2,7 0,5a 0,4a 2,7 0,9a 2,7 a 3× + × + × = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = 5. (B) O diâmetro, em milímetros, dos parafusos produzidos por uma certa máquina é uma variável aleatória X com distribuição normal, de valor médio 15. Qualquer parafuso produzido por essa máquina passa por um controle de qualidade. Ao passar por esse controle, o parafuso é aprovado se o seu diâmetro estiver compreendido entre 14,1 e 15,9 milímetros. Caso contrário, é rejeitado. Sabe-se que 99,73% dos parafusos são aprovados, pelo que 14,1 é 15 3− σ e 15,9 é 15 3+ σ . Finalmente dado que 3 0,9 0,3σ = ⇔ σ = Grupo II 1. Num saco há seis bolas, sendo três delas vermelhas, duas azuis e uma preta. Considere a experiência que consiste na extração aleatória de uma bola e no registo da cor. 1.1. O espaço amostral é E = {vermelho, azul, preto} 1.2. Identifiquemos os acontecimentos elementares {vermelho}, {azul} e {preto} . O que tem maior probabilidade de ocorrer é {vermelho} 1.3. Considere os acontecimentos: A: “sair bola vermelha”; B: “sair bola verde”; C: ”não sair bola azul”; D: “não sair bola amarela” 1.3.1. Representemos os acontecimentos na forma de conjuntos: { }A vermelho= { }B = = ∅ { }C vermelho,preto= { }D vermelho,azul,preto= 1.3.2. B é um acontecimento impossível, A é um acontecimento elementar e C é um acontecimento composto.
  7. 7. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2011/20127 1.3.3. Indiquemos a probabilidade de ocorrer cada um dos acontecimentos A, B, C e D. ( ) 3 1 P A 6 2 = = ( )P B 0= ( ) 4 2 P C 6 3 = = ( )P D 1= 2. Numa estação de serviço, observou-se que 32% dos seus clientes compram gasolina sem chumbo 95, 56% preferem sem chumbo 98 e os restantes gastam gasóleo. Verificou-se ainda que, dos clientes que compram gasolina sem chumbo 95, 20% enchem o depósito, o mesmo acontece com 60% dos que compram gasóleo e com 25% dos que gastam gasolina sem chumbo 98. 2.1. Determinemos a probabilidade de um automobilista abastecer o seu automóvel nesta estação de serviço, e não encher o depósito. ( )P E 0,32 0,8 0,56 0,75 0,12 0,4 0,724= × + × + × = 2.2. Sabe-se que um cliente encheu o depósito do seu carro. A probabilidade de ter abastecido com gasolina sem chumbo 98 é ( ) ( ) ( ) P SC98 E 0,56 0,25 P SC98 |E 0,507 P E 0,32 0,2 0,56 0,25 0,12 0,6 ∩ × = = × + × + × ≃ ( )P SC98 |E 50,7%≃ 3. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória. 3.1. Mostremos que, se A e B forem acontecimentos independentes, tem-se: ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A∪ = + × Ora ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B P A P B P A P B∪ = + − ∩ = + − × = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )P A P B 1 P A P A P B P A+ × − = + × 3.2. Admitamos que A e B são independentes e que ( ) 2 P A 3 = e ( ) 1 P A B 6 ∩ = . Determinemos ( )P A B∪ começando por calcular ( )P B . ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = × leva a que ( ) ( ) 1 2 1 3 1 P B P B P(B) 6 3 6 2 4 = × ⇔ = × ⇔ = Então ( ) 2 1 1 3 P A B 3 4 6 4 ∪ = + − = 32% 12% 56% 20% 80% 25% 75% 60% 40% E E E SC98E SC95 G E E E
  8. 8. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2011/20128 4. Numa caixa há 5 bolas, 2 pretas e 3 azuis. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar da caixa, simultaneamente e ao acaso, duas bolas e verificar a cor das mesmas. 4.1. Determinemos a probabilidade de serem extraídas as duas bolas pretas. 2 1 P 20 10 = = 4.2. Admitamos que a experiência vai ser realizada três vezes, nas mesmas condições. Seja X a variável aleatória “número de vezes em que as bolas extraídas são pretas”. Calculemos ( ) 1 P X 0 binompdf 3, ,0 0,728(9) 10   = = =    ( ) 1 P X 1 binompdf 3, ,1 0,243 10   = = =    ( ) 1 P X 2 binompdf 3, ,2 0,026(9) 10   = = =    ( ) 1 P X 3 binompdf 3, ,3 0,001 10   = = =    Para construirmos a tabela de distribuição de probabilidade Calculemos o valor médio da variável X. O valor médio é 0,3. P1 P2 A1 A2 A3 P1 P1P2 P1A1 P1A2 P1A3 P2 P2P1 P2A1 P2A2 P2A3 A1 A1P1 A1P2 A1A2 A1A3 A2 A2P1 A2P2 A2A1 A2A3 A3 A3P1 A3P2 A3A1 AEA2 xi 0 1 2 3 P(X=xi) 0,728(9) 0,243 0,026(9) 0,001
  9. 9. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20119 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A Tema I – Probabilidades e Combinatória 1º Teste de avaliação – Critérios de correcção Grupo I (50 pontos) Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1 2 3 4 5 C C B A B Grupo II (150 pontos) 1. 35 1.1. 5 1.2. 10 •••• {V} 2 •••• {A} 2 •••• {P} 2 •••• {V} é o mais provável 4 1.3. 20 1.3.1. 8 •••• A 2 •••• B 2 •••• C 2 •••• D 2 1.3.2. 4 •••• Acontecimento impossível 1 •••• Acontecimento elementar 1 •••• Acontecimento composto 2 1.3.3. 8 •••• P(A) 2 •••• P(B) 2 •••• P(C) 2 •••• P(D) 2 2. 30 2.1. 20 •••• Árvore 10
  10. 10. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/201110 •••• Resposta 10 2.2. 10 3. 40 3.1. 20 •••• Aplicar ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ 5 •••• Aplicar ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = × 5 •••• Completar a demonstração 10 3.2. 20 •••• Calcular ( )P A 10 •••• Calcular ( )P A B∪ 10 4. 45 4.1. 20 •••• Tabela 15 •••• Resultado 5 4.2. 25 •••• Tabela 4 •••• ( )P X 0= 4 •••• ( )P X 1= 4 •••• ( )P X 2= 4 •••• ( )P X 3= 4 •••• Valor médio 5 Total ………………………………………………………………………………………………… 200

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