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  • 1. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20111 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II 1º Teste de avaliação Grupo I 1. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um rectângulo [ABCD]. O lado [CD] está contido no eixo das abcissas. Os vértices A e B pertencem à circunferência. Seja α a amplitude do ângulo BOC. A área do rectângulo [ABCD] é igual a (A) 2.tgα (B) 2.sen .cosα α (C) sen .cosα α (D) 2.sen .tgα α 2. Num determinado quadrante o co-seno é negativo e crescente. Nesse quadrante (A) O seno é crescente (B) O seno é negativo (C) A tangente é decrescente (D) A tangente é negativa 3. A que quadrante pertence o ângulo 13 4 π − ? (A) 1º (B) 2º (C) 3º (D) 4º 4. Sabendo que 90º 180º< α < , indique o quadrante a que pertence 180º −α . (A) 1º (B) 2º (C) 3º (D) 4º • As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. • Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. • Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. • Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. • Não apresente cálculos ou justificações. • Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.
  • 2. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20112 5. Quantas são as soluções da equação 3senx 1− = que pertencem ao intervalo [ ]0,8π ? (A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 16 Grupo II 1. Na figura ao lado está inscrito numa circunferência de raio 5 cm um polígono regular com 9 lados. Observe a figura e determine: 1.1. α e β em graus e radianos; 1.2. a área do sector circular OAB. 2. Pretende-se unir os dois pilares de uma ponte através de um tabuleiro. Atendendo aos dados da figura ao lado, qual será o comprimento do tabuleiro? 3. Seja 3 , 2 2 π π  θ∈     um ângulo cuja tangente é 2,5− . 3.1. Recorrendo à calculadora, determine com aproximação às centésimas, um valor aproximado de θ. 3.2. Determine o valor exacto da expressão ( )2cos cos 2 π  π − θ + − θ    . 4. O Rui resolveu a questão seguinte: “Considere a expressão ( ) ( )A x 3sen x cos x 2 π  = π + − +    , mostre que ( )A x 2senx= − e calcule o valor exacto de 3 A 4 π      ”, como segue: ( ) ( )A x 3sen x cos x 3senx senx 2senx 2 π  = π + − + = − + = −    porque ( )sen x senxπ + = − e Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. ββββ αααα B A O
  • 3. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20113 cos x senx 2 π  + =    . 3 3 2 A 2sen 2 sen 2 2 4 4 4 2 π π π    = − = − × − = × =        porque 3 sen sen 4 4 π π = − . Analise a resolução e caso considere a resolução errada corrija os erros e apresente a sua justificação. Cotações Questão Cotação 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 1.1 30 1.2 15 2 35 3.1 20 3.2 30 4 20
  • 4. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20114 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II 1º Teste de avaliação – Proposta de resolução Grupo I 1. (B) Na figura está representado o círculo trigonométrico e um rectângulo [ABCD]. O lado [CD] está contido no eixo das abcissas. Os vértices A e B pertencem à circunferência. Seja α a amplitude do ângulo BOC. A área do rectângulo [ABCD] é igual a: A 2cos sen A 2.cos .sen= α × α ⇔ = α α 2. (B) Num determinado quadrante o co-seno é negativo e crescente. Trata-se do 3º quadrante onde o seno é negativo e decrescente e a tangente é positiva e crescente. Logo a afirmação verdadeira é O seno é negativo 3. (B) O ângulo 13 4 π − pertence ao 2º quadrante porque 13 3 4 4 4 π π π − = − π − = −π − 4. (A) Sabendo que 90º 180º< α < , 180º −α pertence ao 1º quadrante como se vê no circulo trigonométrico da figura ao lado. 5. (B) A equação 3senx 1− = tem 8 soluções que pertencem ao intervalo [ ]0,8π porque há duas soluções em cada intervalo de 2π de amplitude. Grupo II 1. Na figura ao lado está inscrito numa circunferência de raio 5 cm um polígono regular com 9 lados. Observe a figura e determine: ββββ αααα B A O 1 0,5 -0,5 -1 -1,5 -1 1 x y 180+αααα αααα O
  • 5. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20115 1.1. Em graus 360º 2 80º 9 α = × = e 360º 5 9 100º 2 × β = = . Em radianos 2 4 2 9 9 π π α = × = e 2 5 59 2 9 π × π β = = 1.2. a área do sector circular OAB é 4 25 100 509 2 18 9 π × π π = = cm2 . 2. Pretende-se unir os dois pilares de uma ponte através de um tabuleiro. Atendendo aos dados da figura ao lado, qual será o comprimento do tabuleiro? Começamos por calcular o ângulo de 25º para depois calcularmos d: 14 14 cos25º d d cos25º = ⇔ = Podemos agora calcular a: a cos65 a dcos65 d = ⇔ = donde 14 a cos65 cos25 = × . A largura do tabuleiro é 28cos65 2a cos25 = . Então 2a 13,06m≃ 3. Seja 3 , 2 2 π π  θ∈     um ângulo cuja tangente é 2,5− . Comecemos por perceber que 2ºQθ∈ pois no 3º Q a tangente é positiva 3.1. Recorrendo à calculadora, determinemos, com aproximação às centésimas, um valor aproximado de θ. A calculadora começa por nos dar um ângulo do 4º quadrante e para obtermos um ângulo do 2º quadrante temos de adicionar π . 3.2. Determine o valor exacto da expressão ( )2cos cos 2 π  π − θ + − θ    . Comecemos por simplificar a expressão ( )2cos cos 2cos sen 2 π  π − θ + − θ = − θ + θ    porque ( )cos cosπ − θ = − θ e cos sen 2 π  − θ = θ    25º a d
  • 6. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20116 A partir da tangente vamos calcular o co-seno: ( ) 2 2 2 2 2 1 25 1 29 1 4 2 1 2,5 1 cos cos 4 4 29cos cos cos 29 + − = ⇔ + = ⇔ = ⇔ θ = ⇔ θ = ± θ θ θ e como o ângulo θ pertence ao 2º quadrante será 2 29 cos 29 θ = − Calculemos agora o seno: 5 sen 5 2 29 5 29 sen sen 2 2 29 292 29 29 θ − − = ⇔ θ = − × ⇔ θ = − Finalmente ( ) 2 29 5 29 9 29 2cos cos 2cos sen 2 2 29 29 29  π  π − θ + − θ = − θ + θ = − × − + =        4. O Rui resolveu a questão seguinte: “Considere a expressão ( ) ( )A x 3sen x cos x 2 π  = π + − +    , mostre que ( )A x 2senx= − e calcule o valor exacto de 3 A 4 π      ”, como segue: ( ) ( )A x 3sen x cos x 3senx senx 2senx 2 π  = π + − + = − + = −    porque ( )sen x senxπ + = − e cos x senx 2 π  + =    . 3 3 2 A 2sen 2 sen 2 2 4 4 4 2 π π π    = − = − × − = × =        porque 3 sen sen 4 4 π π = − . Analisemos a resolução e como consideramos a resolução errada, vamos corrigir os erros e apresentar a justificação: ( ) ( )A x 3sen x cos x 3senx senx 2senx 2 π  = π + − + = − + = −    porque ( )sen x senxπ + = − e cos x senx 2 π  + =    . E em vez de cos x senx 2 π  + =    devia ser cos x senx 2 π  + = −    e caso fosse cos x senx 2 π  + =    seria ( ) ( )A x 3sen x cos x 3senx senx 4senx 2 π  = π + − + = − − = −    e não chegaria à expressão dada. Também o cálculo de 3 A 4 π      não está correcto, embora a substituição esteja bem, 3 sen sen 4 4 π π = − está errado porque 3 4 π é um ângulo do 2º quadrante e aí o seno é positivo pelo que 3 sen sen 4 4 π π = seria então 3 3 2 A 2sen 2 sen 2 2 4 4 4 2 π π π  = − = − × = − × = −   
  • 7. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20117 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II 1º Teste de avaliação – Critérios de correcção Grupo I 1 2 3 4 5 B B B A B Grupo II 1. 45 1.1. 30 • Escrever α em radianos 5 • Escrever α em graus 5 • Escrever β em radianos 10 • Escrever β em graus 10 1.2. 15 •••• Substituir na fórmula 5 •••• Fazer os cálculos 10 2. 35 •••• Nomear o segmento d 5 •••• Nomear o segmento a 5 •••• Calcular d 10 •••• Calcular a 10 •••• Dar a resposta 5 3. 50 3.1. 20 •••• Calcular o valor em radianos dado pela calculadora 5 •••• Reconhecer que o ângulo tem de ser do 2º Q 5 •••• Calcular o valor pedido 10 3.2. 30 •••• Simplificar ( )cos cosπ − θ = − θ 5 •••• Simplificar cos sen 2 π  − θ = θ    5 •••• Calcular cosθ a partir de tgθ 10
  • 8. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/20118 •••• Calcular senθ 5 •••• Calcular o valor pedido 5 4. 20 •••• Identificar os 3 erros 10 •••• Corrigir os 3 erros 10 Total ………………………………………………………………………………………………… 200