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# Recurso a-resolucao

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• 1. Instituto Superior T&#xB4;cnico e Departamento de Matematica TESTES DE RECUPERACAO DE CDI I &#xB8;&#x2DC; 1O SEM. 2010/11 DURACAO: 1H30/3H00 &#xB8;&#x2DC; &#x2DC; VERSAO A LEMAT, LEAN, MEBIOL, MEQ, MEAMBI E LMAC, MEBIOM, MEFT RESOLUCAO &#xB8;&#x2DC; 1. (1,5 val.) (a) (0,9 val.) Represente na forma de um intervalo ou de uma uni&#x2DC;o disjunta de a intervalos os conjuntos seguintes: A = {x &#x2208; R : | arctan x| &#x2264; 1} e B = x &#x2208; R : log |x2 &#x2212; 4| &#x2212; log |x + 2| &gt; 1 . Resolu&#xB8;&#x2DC;o. Relativamento ao conjunto A, temos que: ca | arctan x| &#x2264; 1 &#x21D4; &#x2212;1 &#x2264; arctan x &#x2264; 1 . Aplicando a fun&#xB8;&#x2DC;o tangente a cada um dos termos desta ultima desigualdade e usando ca &#xB4; o facto de ser uma fun&#xB8;&#x2DC;o estritamente crescente em ]&#x2212;&#x3C0;/2, &#x3C0;/2[ &#x2283; [&#x2212;1, 1], obtemos ca tan(&#x2212;1) &#x2264; tan(arctan x) &#x2264; tan(1) &#x21D4; &#x2212; tan(1) &#x2264; x &#x2264; tan(1) &#x21D4; x &#x2208; [&#x2212; tan(1), tan(1)] . Relativamente ao conjunto B, temos que: B = x &#x2208; R : log |x2 &#x2212; 4| &#x2212; log |x + 2| &gt; 1 x2 &#x2212; 4 &gt;1 x+2 (x &#x2212; 2)(x + 2) = x&#x2208;R: &gt;e x+2 = {x &#x2208; R : |x &#x2212; 2| &gt; e &#x2227; x = &#x2212;2} = x &#x2208; R : log = (]&#x2212;&#x221E;, 2 &#x2212; e[ &#x222A; ]2 + e, +&#x221E;[) {&#x2212;2} = ]&#x2212;&#x221E;, &#x2212;2[ &#x222A; ]&#x2212;2, 2 &#x2212; e[ &#x222A; ]2 + e, +&#x221E;[ (b) (0,6 val.) Indique, caso existam em R, o supremo, &#xB4; &#x131;n&#xFB01;mo, m&#xB4;ximo e m&#xB4; a &#x131;nimo dos conjuntos seguintes: n&#x3C0; , n &#x2208; N , D = ]&#x2212;1, 2] e C &#x2229; D . C = cos 2 Resolu&#xB8;&#x2DC;o. C = {&#x2212;1, 0, 1} pelo que inf C = min C = &#x2212;1 e sup C = max C = 1. ca O conjunto D tem inf D = &#x2212;1 &#x2208; D, pelo que n&#x2DC;o tem m&#xB4; / a &#x131;nimo, e tem sup D = 2 &#x2208; D, pelo que tem max D = 2. O conjunto C &#x2229; D = {0, 1} pelo que inf C &#x2229; D = min C &#x2229; D = 0 e sup C &#x2229; D = max C &#x2229; D = 1. 2. (2,0 val.) Calcule: sen(2x &#x2212; &#x3C0;) , x&#x2192;0 3x lim sen (log 2x) , x&#x2192;+&#x221E; log(x3 ) lim lim (tan x)tan x . x&#x2192;0+ Resolu&#xB8;&#x2DC;o. ca sen(2x &#x2212; &#x3C0;) &#x2212;2 &#xB7; sen(2x) 2 = lim = &#x2212; . (0,5 val.) x&#x2192;0 3x 3 &#xB7; 2x 3 Sendo o seno uma fun&#xB8;&#x2DC;o limitada entre &#x2212;1 e 1, temos que ca lim x&#x2192;0 &#x2212; 1 sen (log 2x) 1 &#x2264; &#x2264; , &#x2200;x &gt; 0 . log(x3 ) log(x3 ) log(x3 ) 1
• 2. CDI I &#x2013; RESOLUCAO DOS TESTES DE RECUPERACAO &#xB8;&#x2DC; &#xB8;&#x2DC; 2 Como lim &#x2212; x&#x2192;+&#x221E; 1 1 = 0 = lim 3) x&#x2192;+&#x221E; log(x3 ) log(x podemos concluir pelo princ&#xB4; &#x131;pio do encaixe que sen (log 2x) = 0. x&#x2192;+&#x221E; log(x3 ) lim (0,5 val.) Tendo em conta que tan x (tan x)tan x = elog((tan x) ) = e(tan x) log(tan x) , &#x2200; 0 &lt; x &lt; &#x3C0;/2 , temos que lim (tan x)tan x = elimx&#x2192;0+ (tan x) log(tan x) . x&#x2192;0+ Como sen x &#xB7; (log(sen x) &#x2212; log(cos x)) cos x sen x log(sen x) log(sen x) &#x2212;&#x221E; = lim &#xB7; = lim = + + x 1/x 1/x +&#x221E; x&#x2192;0 x&#x2192;0 cos x x RC = lim sen1x = lim &#x2212;x &#xB7; cos x &#xB7; = &#x2212;0 &#xB7; 1 &#xB7; 1 = 0 , + + &#x2212; sen x x&#x2192;0 x&#x2192;0 x2 lim (tan x) log(tan x) = lim x&#x2192;0+ x&#x2192;0+ podemos concluir que lim (tan x)tan x = e0 = 1 . x&#x2192;0+ (1,0 val.) 3. (1,5 val.) Calcule a derivada das fun&#xB8;&#x2DC;es de&#xFB01;nidas pelas seguintes express&#x2DC;es: co o 2 a) ecos(x ) ; b) arctan (senh(x/2)) &#x221A; . x Resolu&#xB8;&#x2DC;o. ca 2) ecos(x 2 2 = ecos(x ) &#xB7; (cos(x2 )) = ecos(x ) &#xB7; (&#x2212; sen(x2 )) &#xB7; 2x arctan (senh(x/2)) &#x221A; x = = &#x221A; x &#x2212; arctan (senh(x/2)) ( x) x &#x221A; 1 &#xB7; x &#x2212; arctan (senh(x/2)) 2&#x221A;x (0,8 val.) x (arctan (senh(x/2))) cosh(x/2)&#xB7;1/2 1+senh2 (x/2) &#x221A; (0,7 val.) 4. (1,0 val.) Se 0 &#x2264; ai &#x2264; 1, i &#x2265; 1, mostre por indu&#xB8;&#x2DC;o que: ca n (1 &#x2212; a1 ) &#xD7; &#xB7; &#xB7; &#xB7; &#xD7; (1 &#x2212; an ) &#x2265; 1 &#x2212; ai , &#x2200; n &#x2208; N . i=1
• 3. CDI I &#x2013; RESOLUCAO DOS TESTES DE RECUPERACAO &#xB8;&#x2DC; &#xB8;&#x2DC; 3 Resolu&#xB8;&#x2DC;o. [P (1)]. Para n = 1 a desigualdade anterior &#xFB01;ca ca 1 (1 &#x2212; a1 ) &#x2265; 1 &#x2212; ai = 1 &#x2212; a1 i=1 que &#xB4; uma proposi&#xB8;&#x2DC;o verdadeira. e ca [P (n) &#x21D2; P (n + 1)]. Assumindo como verdadeira a hip&#xB4;tese P (n), i.e. o n (1 &#x2212; a1 ) &#xD7; &#xB7; &#xB7; &#xB7; &#xD7; (1 &#x2212; an ) &#x2265; 1 &#x2212; para um determinado n &#x2208; N, ai i=1 h&#xB4; que mostrar a validade da tese P (n + 1), i.e. a n+1 (1 &#x2212; a1 ) &#xD7; &#xB7; &#xB7; &#xB7; &#xD7; (1 &#x2212; an+1 ) &#x2265; 1 &#x2212; para o mesmo determinado n &#x2208; N. ai i=1 Isto pode ser feito da seguinte forma: (1 &#x2212; a1 ) &#xD7; &#xB7; &#xB7; &#xB7; &#xD7; (1 &#x2212; an+1 ) = (1 &#x2212; a1 ) &#xD7; &#xB7; &#xB7; &#xB7; &#xD7; (1 &#x2212; an ) &#xD7; (1 &#x2212; an+1 ) n &#x2265; 1&#x2212; ai &#xB7; (1 &#x2212; an+1 ) ai &#x2212; an+1 + i=1 n =1&#x2212; n i=1 n+1 &#x2265;1&#x2212; ai an+1 i=1 ai i=1 onde a hip&#xB4;tese e o facto de an+1 &#x2264; 1 s&#x2DC;o usados na primeira desigualdade e o facto o a de 0 &#x2264; ai , i &#x2265; 1, &#xB4; usado na segunda desigualdade. e 5. (3,0 val.) Considere a fun&#xB8;&#x2DC;o f : R &#x2192; R cont&#xB4; ca &#x131;nua em R e de&#xFB01;nida por: f (x) = arcsen(1 &#x2212; x2 ) se |x| &lt; 1 log(2x2 &#x2212; c) se |x| &#x2265; 1 onde c &#x2208; ]&#x2212;&#x221E;, 2[ designa uma constante. (a) (0,5 val.) Determine o valor de c. Resolu&#xB8;&#x2DC;o. Sendo f cont&#xB4; ca &#x131;nua em &#x2212;1 e 1, temos necessariamente que lim arcsen(1 &#x2212; x2 ) = log(2 &#x2212; c) &#x21D2; 0 = log(2 &#x2212; c) &#x21D2; 1 = 2 &#x2212; c &#x21D2; c = 1 . x&#x2192;1&#x2212; (b) (1,0 val.) Mostre que f n&#x2DC;o &#xB4; diferenci&#xB4;vel em x = 0. a e a Resolu&#xB8;&#x2DC;o. Como a fun&#xB8;&#x2DC;o arcsen &#xB4; diferenci&#xB4;vel no intervalo ]&#x2212;1, 1[, temos pelo ca ca e a Teorema da Derivada da Fun&#xB8;&#x2DC;o Composta que f &#xB4; diferenci&#xB4;vel em ]&#x2212;1, 1[ {0} ca e a e &#x2212;2x &#x2212;2x =&#x221A; f (x) = arcsen(1 &#x2212; x2 ) = 2x2 &#x2212; x4 1 &#x2212; (1 &#x2212; x2 )2 &#x2212;2x &#x221A; , &#x2200; x &#x2208; ]&#x2212;1, 1[ {0} . = |x| 2 &#x2212; x2
• 4. 4 CDI I &#x2013; RESOLUCAO DOS TESTES DE RECUPERACAO &#xB8;&#x2DC; &#xB8;&#x2DC; Pelo corol&#xB4;rio do Teorema de Lagrange, temos ent&#x2DC;o que a a &#x221A; &#x2212;2 fd (0) = lim f (x) = lim &#x221A; =&#x2212; 2 + + 2 x&#x2192;0 x&#x2192;0 2&#x2212;x e &#x221A; 2 = 2. fe (0) = lim f (x) = lim &#x221A; &#x2212; &#x2212; 2 x&#x2192;0 x&#x2192;0 2&#x2212;x Como fe (0) = fd (0), podemos concluir que f n&#x2DC;o &#xB4; diferenci&#xB4;vel no ponto 0. a e a (c) (1,5 val.) Determine os intervalos de monotonia e os extremos de f . Resolu&#xB8;&#x2DC;o. Pelo c&#xB4;lculo da derivada de f feito na al&#xB4; ca a &#x131;nea anterior, temos que &#x2212;2 2 0 &lt; x &lt; 1 &#x21D2; f (x) = &#x221A; &lt; 0 e &#x2212; 1 &lt; x &lt; 0 &#x21D2; f (x) = &#x221A; &gt; 0. 2 2&#x2212;x 2 &#x2212; x2 Por outro lado 4x log(2x2 &#x2212; 1) = 2 2x &#x2212; 1 pelo que x &lt; &#x2212;1 &#x21D2; f (x) &lt; 0 e 1 &lt; x &#x21D2; f (x) &gt; 0 . Assim, f &#xB4; estritamente decrescente em ]&#x2212;&#x221E;, &#x2212;1[ e ]0, &#x2212;1[ e estritamente crese cente em ]&#x2212;1, 0[ e ]1, +&#x221E;[. Sendo cont&#xB4; &#x131;nua em &#x2212;1, 0 e 1, podemos concluir que f tem m&#xB4; &#x131;nimos em &#x2212;1 e 1 e m&#xB4;ximo em 0. a 6. (1,0 val.) Seja g uma fun&#xB8;&#x2DC;o de&#xFB01;nida e diferenci&#xB4;vel em ]0, 1[ e tal que: ca a 1 n+2 g =g 1 n+1 + 1. (a) (0,5 val.) Justi&#xFB01;que que g n&#x2DC;o pode ser prolongada por continuidade ao ponto 0. a Resolu&#xB8;&#x2DC;o. Se g fosse prolong&#xB4;vel por continuidade ao ponto 0, ent&#x2DC;o ca a a 1 1 g(0) = lim g(x) = lim g = lim g . n&#x2192;+&#x221E; n&#x2192;+&#x221E; n+2 n+1 x&#x2192;0+ Mas ent&#x2DC;o a 1 1 1 1 g =g + 1 &#x21D2; lim g = lim g +1 n&#x2192;+&#x221E; n&#x2192;+&#x221E; n+2 n+1 n+2 n+1 &#x21D2; g(0) = g(0) + 1 &#x21D2; 0 = 1 , o que &#xB4; absurdo. e (b) (0,5 val.) Mostre que existe uma sucess&#x2DC;o cn de termos em ]0, 1[ que veri&#xFB01;ca: a g (cn ) = &#x2212;(n + 1)(n + 2). Resolu&#xB8;&#x2DC;o. Para cada n &#x2208; N, o Teorema de Lagrange garante que existe cn &#x2208; ca 1 1 ] n+2 , n+1 [&#x2282;]0, 1[ tal que g (cn ) = 1 1 g( n+1 ) &#x2212; g( n+2 ) 1 n+1 &#x2212; 1 n+2 O TESTE 1 ACABA AQUI. = &#x2212;1 (n+2)&#x2212;(n+1) (n+1)(n+2) = &#x2212;(n + 1)(n + 2) .
• 5. CDI I &#x2013; RESOLUCAO DOS TESTES DE RECUPERACAO &#xB8;&#x2DC; &#xB8;&#x2DC; 5 7. (2,5 val.) Determine uma primitiva de cada uma das seguintes fun&#xB8;&#x2DC;es. co &#x221A; (a) ex 2 &#x2212; 3ex (b) x2 arctan x (c) 2x (x &#x2212; 1)(x2 + 3) Resolu&#xB8;&#x2DC;o. ca (a) (0,5 val.) Trata-se de uma primitiva quase-imediata: &#x221A; 1 ex 2 &#x2212; 3ex = &#x2212; 3 3 1 &#x2212;3ex (2 &#x2212; 3ex ) 2 = &#x2212; 3 1 (2 &#x2212; 3ex ) 2 2 = &#x2212; (2 &#x2212; 3ex ) 2 3 3 9 2 (b) (1,0 val.) Usando primitiva&#xB8;&#x2DC;o por partes: ca x3 x3 1 arctan(x) &#x2212; &#xB7; 3 3 1 + x2 x x3 1 x&#x2212; = arctan(x) &#x2212; 3 3 1 + x2 x3 1 x2 1 = arctan(x) &#x2212; &#x2212; log(1 + x2 ) 3 3 2 2 x2 arctan(x) = (c) (1,0 val.) Decompomos a fun&#xB8;&#x2DC;o racional: ca 2x A Bx + C = + 2 2 + 3) (x &#x2212; 1)(x x&#x2212;1 x +3 Os coe&#xFB01;cientes A, B e C s&#x2DC;o determinados por forma a que a A(x2 + 3) + (Bx + C)(x &#x2212; 1) = 2x &#x21D4; (A + B)x2 + (C &#x2212; B)x + 3A &#x2212; C = 2x , o que signi&#xFB01;ca resolver um sistema linear de 3 equa&#xB8;&#x2DC;es a 3 inc&#xB4;gnitas: co o A + B = 0 , C &#x2212; B = 2 , 3A &#x2212; C = 0 &#x21D2; A = 1/2 , B = &#x2212;1/2 , C = 3/2 . Logo 2x 1 = 2 + 3) (x &#x2212; 1)(x 2 1 1 &#x2212; x&#x2212;1 2 x2 x 3 + +3 2 x2 1 +3 &#x221A; &#x221A; 1 1 3 1/ 3 2 &#x221A; = log |x &#x2212; 1| &#x2212; log |x + 3| + 2 4 2 1 + (x/ 3)2 &#x221A; &#x221A; 1 1 3 2 = log |x &#x2212; 1| &#x2212; log |x + 3| + arctan(x/ 3) 2 4 2 8. (1,0 val.) Calcule 1 1 &#x2212; x2 dx 0 e aproveite o resultado para justi&#xFB01;car que a &#xB4;rea do c&#xB4; a &#x131;rculo unit&#xB4;rio &#xB4; igual a &#x3C0;. a e Sugest&#x2DC;o: fa&#xB8;a a mudan&#xB8;a de vari&#xB4;vel x = sen t. Poder&#xB4; ser-lhe util a f&#xB4;rmula a c c a a &#xB4; o (cos t)2 = 1+cos(2t) . 2 Resolu&#xB8;&#x2DC;o. Usando a mudan&#xB8;a de vari&#xB4;vel indicada, temos que ca c a x = sen t &#x21D2; dx = cos t dt e t &#x2208; [0, &#x3C0;/2] &#x21D2; x &#x2208; [0, 1] .
• 6. CDI I &#x2013; RESOLUCAO DOS TESTES DE RECUPERACAO &#xB8;&#x2DC; &#xB8;&#x2DC; 6 Logo, usando tamb&#xB4;m a rela&#xB8;&#x2DC;o trigonom&#xB4;trica indicada, e ca e 1 &#x3C0;/2 &#x3C0;/2 1 &#x2212; x2 dx = 0 cos2 (t) dt 1 &#x2212; sen2 (t) cos(t) dt = 0 0 &#x3C0;/2 1 + cos(2t) 1 &#x3C0; 1 &#x3C0;/2 dt = &#xB7; + [sen(2t)]0 2 2 2 4 0 &#x3C0; 1 &#x3C0; = + [sen(&#x3C0;) &#x2212; sen(0)] = 4 4 4 = Tendo em conta que x2 + y 2 = 1 &#x21D2; y = 1 &#x2212; x2 quando x, y &gt; 0, &#x221A; 1 temos que 0 1 &#x2212; x2 dx representa a &#xB4;rea da parte do c&#xB4; a &#x131;rculo unit&#xB4;rio que est&#xB4; no a a primeiro quadrante, i.e. um quarto da &#xB4;rea total do c&#xB4; a &#x131;rculo unit&#xB4;rio, pelo que esta &#xB4; a e igual a &#x3C0;. 9. (2,0 val.) Seja &#x3C6; : R &#x2192; R a fun&#xB8;&#x2DC;o de&#xFB01;nida por ca x3 2 et dt . &#x3C6;(x) = 0 a) (1,0 val.) Justi&#xFB01;que que &#x3C6; &#x2208; C &#x221E; (R) e calcule &#x3C6; . Resolu&#xB8;&#x2DC;o. &#x3C6; &#xB4; de classe C &#x221E; (R) por ser a composta de duas fun&#xB8;&#x2DC;es de classe ca e co &#x221E; (R): o integral inde&#xFB01;nido da exponencial de um polin&#xB4;mio e um polin&#xB4;mio. C o o A sua derivada &#x3C6; pode ser calculada usando o Teorema da Derivada da Fun&#xB8;&#x2DC;o ca Composta e o Teorema Fundamental do C&#xB4;lculo: a &#x3C6; (x) = e(x 3 )2 6 &#xB7; (x3 ) = ex 3x2 . b) (1,0 val.) Obtenha o desenvolvimento de &#x3C6; em s&#xB4;rie de Taylor em torno de x = 0 e indicando o respectivo intervalo de converg&#x2C6;ncia. e Resolu&#xB8;&#x2DC;o. Usando a s&#xB4;rie de Taylor da fun&#xB8;&#x2DC;o exponencial em torno de x = 0, ca e ca i.e. &#x221E; xn , &#x2200;x &#x2208; R, ex = n! n=0 temos que &#x221E; 2 &#x3C6; (x) = 3x &#xB7; n=0 &#x221E; (x6 )n =3&#xB7; n! &#x21D2; &#x3C6;(x) = c + 3 &#xB7; n=0 &#x221E; n=0 x6n+2 , &#x2200;x &#x2208; R, n! &#x221E; x6n+3 (6n + 3)n! =c+ n=0 x6n+3 , &#x2200;x &#x2208; R, (2n + 1)n! onde c &#x2208; R &#xB4; uma constante. Como e x3 2 et dt &#x21D2; &#x3C6;(0) = 0 , &#x3C6;(x) = 0 concluimos que c = 0 pelo que &#x221E; &#x3C6;(x) = n=0 x6n+3 , &#x2200;x &#x2208; R. (2n + 1)n!
• 7. CDI I &#x2013; RESOLUCAO DOS TESTES DE RECUPERACAO &#xB8;&#x2DC; &#xB8;&#x2DC; 7 10. (2,0 val.) (a) (1,3 val.) Determine a natureza das s&#xB4;ries e +&#x221E; n=1 +&#x221E; 3n 2n&#x2212;1 n2 n=1 arctan(n) . n2 + 3n n 3 Resolu&#xB8;&#x2DC;o. Para determinar a natureza da s&#xB4;rie +&#x221E; 2n&#x2212;1 n2 , que &#xB4; uma s&#xB4;rie de ca e e e n=1 termos n&#x2DC;o-negativos, podemos usar o Crit&#xB4;rio da Raz&#x2DC;o: a e a lim 3n+1 2n&#x2212;1 n2 3 3 an+1 n2 = lim n = &#xB7; lim = &gt; 1, 2 3n 2 an 2 (n + 1) 2 (n + 1) 2 concluindo assim que a s&#xB4;rie &#xB4; divergente. e e Para determinar a natureza da segunda s&#xB4;rie, observamos que e arctan(n) &#x3C0; 1 &lt; &#xB7; 2 , &#x2200;n &#x2208; N, n2 + 3n 2 n e 1/n2 &#xB4; uma s&#xB4;rie convergente, podendo concluir por compara&#xB8;&#x2DC;o que a s&#xB4;rie e e ca e arctan(n) &#xB4; convergente, e n2 + 3n pelo que a s&#xB4;rie e arctan(n) &#xB4; absolutamente convergente. e n2 + 3n (b) (0,7 val.) Justi&#xFB01;que que a s&#xB4;rie e &#x221E; n=0 1 2n + n2 &#xB4; convergente e que a sua soma &#xB4; menor que 2. e e Resolu&#xB8;&#x2DC;o. Tendo em conta que ca 1 1 &lt; n = n + n2 2 2 1 2 n , &#x2200;n &#x2208; N, n 1 e e e a e como &#x221E; 1 &#xB4; uma s&#xB4;rie geom&#xB4;trica de raz&#x2DC;o R = 2 &lt; 1, logo convergente, n=0 2 1 podemos concluir por compara&#xB8;&#x2DC;o que a s&#xB4;rie &#x221E; 2n +n2 tamb&#xB4;m &#xB4; convergente ca e e e n=0 e &#x221E; &#x221E; 1 1 1 n &lt; = = 2. n + n2 2 2 1&#x2212; 1 2 n=0 n=0 11. (1,5 val) Determine para que valores de x a s&#xB4;rie de pot&#x2C6;ncias: e e &#x221E; (2x + 3)n &#x221A; 3n ( n + 1) n=1 &#xB4; absolutamente convergente, simplesmente convergente ou divergente. e
• 8. CDI I &#x2013; RESOLUCAO DOS TESTES DE RECUPERACAO &#xB8;&#x2DC; &#xB8;&#x2DC; 8 Resolu&#xB8;&#x2DC;o. O raio de converg&#x2C6;ncia desta s&#xB4;rie de pot&#x2C6;ncias &#xB4; dado por ca e e e e &#x221A; &#x221A; 3n+1 ( n + 1 + 1) an n+1+1 &#x221A; = lim R = lim = 3 &#xB7; lim &#x221A; = 3. n ( n + 1) an+1 3 n+1 Assim, a s&#xB4;rie &#xB4; absolutamente convergente quando e e |2x + 3| &lt; 3 &#x21D4; &#x2212;3 &lt; 2x + 3 &lt; 3 &#x21D4; &#x2212;6 &lt; 2x &lt; 0 &#x21D4; &#x2212;3 &lt; x &lt; 0 &#x21D4; x &#x2208; ]&#x2212;3, 0[ e divergente quando |2x + 3| &gt; 3 &#x21D4; x &#x2208; ]&#x2212;&#x221E;, &#x2212;3[ &#x222A; ]0, +&#x221E;[ Quando x = &#x2212;3 a s&#xB4;rie de pot&#x2C6;ncias toma a forma e e &#x221E; &#x221E; (&#x2212;3)n (&#x2212;1)n &#x221A; &#x221A; = 3n ( n + 1) n=1 n + 1 n=1 que &#xB4; uma s&#xB4;rie num&#xB4;rica alternada com parte positiva decrescente e convergente para e e e zero, logo convergente pelo Crit&#xB4;rio de Leibniz. A natureza da correspondente s&#xB4;rie e e de m&#xB4;dulos o &#x221E; &#x221E; (&#x2212;1)n 1 &#x221A; &#x221A; = n+1 n+1 n=1 n=1 pode ser determinada por compara&#xB8;&#x2DC;o com a s&#xB4;rie de Dirichlet ca e expoente 1/2 &lt; 1 &#xB4; divergente. De facto, e &#x221A; 1 &#x221A; n+1 1 n lim 1 = lim &#x221A; = lim 1 + &#x221A; = 1 &#x221A; n n n+1 1 , n1/2 que tendo e como 0 &lt; 1 &lt; +&#x221E; as s&#xB4;ries t&#x2C6;m a mesma natureza, pelo que a s&#xB4;rie dos m&#xB4;dulos &#xB4; e e e o e divergente. Assim, quando x = &#x2212;3 a s&#xB4;rie de pot&#x2C6;ncias &#xB4; simplesmente convergente. e e e Quando x = 0 a s&#xB4;rie de pot&#x2C6;ncias toma a forma e e &#x221E; &#x221E; 3n 1 &#x221A; &#x221A; = n ( n + 1) 3 n+1 n=1 n=1 que j&#xB4; sabemos ser divergente. a 12. (1,0 val.) Seja f uma fun&#xB8;&#x2DC;o estritamente crescente em [1, +&#x221E;[. ca (a) (0,5 val.) Mostre que n f (1) + &#xB7; &#xB7; &#xB7; + f (n &#x2212; 1) &lt; f (x) dx &lt; f (2) + &#xB7; &#xB7; &#xB7; + f (n), &#x2200; n &gt; 1 . 1 Resolu&#xB8;&#x2DC;o. Considerando a parti&#xB8;&#x2DC;o Pn = {1, 2, . . . , n &#x2212; 1, n} &#x2282; [1, n], n &gt; 1, as ca ca correspondentes somas inferiores e superiores s&#x2DC;o dadas por a n&#x2212;1 n&#x2212;1 ( inf f ) &#xB7; (k + 1 &#x2212; k) = L(f, Pn ) := k=1 [k,k+1] f (k) = f (1) + &#xB7; &#xB7; &#xB7; + f (n &#x2212; 1) k=1 e n&#x2212;1 U (f, Pn ) := n&#x2212;1 ( sup f ) &#xB7; (k + 1 &#x2212; k) = k=1 [k,k+1] f (k + 1) = f (2) + &#xB7; &#xB7; &#xB7; + f (n) , k=1 onde inf f = f (k) [k,k+1] e sup f = f (k + 1) [k,k+1] porque f &#xB4; crescente. e
• 9. CDI I &#x2013; RESOLUCAO DOS TESTES DE RECUPERACAO &#xB8;&#x2DC; &#xB8;&#x2DC; 9 Assim, tendo em conta que a de&#xFB01;ni&#xB8;&#x2DC;o de integral e o facto de f ser estritamente ca crescente garantem que n f (x) dx &lt; U (f, Pn ) , &#x2200; n &gt; 1 , L(f, Pn ) &lt; 1 &#xFB01;ca mostrado o pretendido. (b) (0,5 val.) Escolhendo f = log mostre que nn (n &#x2212; 1)! &lt; n&#x2212;1 &lt; n! . e Resolu&#xB8;&#x2DC;o. Integrando por partes, obtemos ca n 1 log(x) dx = [x log(x)]n &#x2212; 1 n 1 dx = n log(n) &#x2212; (n &#x2212; 1) . 1 Usando a al&#xB4; &#x131;nea (a) temos ent&#x2DC;o que a n &lt; log(2) + &#xB7; &#xB7; &#xB7; + log(n) log(1) + &#xB7; &#xB7; &#xB7; + log(n &#x2212; 1) &lt; 1 &#x21D2; log(1) + &#xB7; &#xB7; &#xB7; + log(n &#x2212; 1) &lt; log(nn ) &#x2212; (n &#x2212; 1) &lt; log(2) + &#xB7; &#xB7; &#xB7; + log(n) . Aplicando a fun&#xB8;&#x2DC;o exponencial a esta desigualdade obtemos ca nn (n &#x2212; 1)! &lt; n&#x2212;1 &lt; n! , e como se queria mostrar.