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Exame e1 testet2

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  • 1. Exame
E1
/
Teste
T2
de
Controlo

 
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pp.
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 Licenciatura em Engenharia Electrónica Controlo Exame E1 / Teste T2 13 de Janeiro de 2010 Duração: E1-3 horas; T2-2 horas I. [E1 – 6 Valores] Considere que o seguinte actuador composto por um motor eléctrico com uma hélice acoplada no veio (ver Fig. 1). Considera-se que a força de propulsão € f (t) é proporcional ao quadrado da velocidade de rotação do veio € ω(t), isto é, € f (t) = αω2 (t) e que o binário do motor T(t) satisfaz € T(t) = kmi(t), onde i(t) é a intensidade da corrente do circuito da armadura. Na Fig. 1, J representa o momento de inércia total do actuador, € βω corresponde ao coeficiente de atrito viscoso rotacional, onde se assume que este é linear com € ω(t), e € um denota a tensão contra-electromotriz que é proporcional à velocidade angular € ω(t), i.e., € um = keω Fig. 1. Esquema simplificado de um motor DC I. 1 [E1-1.0] – Escreva as equações diferenciais que relacionam a corrente i(t) com a tensão eléctrica u(t) e a velocidade angular € ωi(t) com o binário € Ti(t). I. 2 [E1-1.0] – Pretende-se que o actuador gere uma força de propulsão constante nominal € f * . Calcule em função de € f * qual terá que ser a velocidade angular nominal do veio € ω* , a intensidade da corrente € i* e a tensão eléctrica € u* . I. 3 [E1-1.0] – Linearize o modelo em torno do ponto de equilíbrio correspondente a € f (t) = f * , aplique a transformada de Laplace e obtenha as funções de transferência
  • 2. Exame
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Teste
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de
Controlo

 
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 € G1(s) = δI(s) δU(s) − keδω(s) , € G2(s) = δω(s) δT(s) e o ganho € Ka (que vai ser função de € ω* ) representadas no diagrama de blocos da Fig. 2. Na figura € δu = u − u* , € δω = ω −ω* e € δf = f − f * . Fig. 2. Diagrama de Blocos I. 4 [E1-1.0] – Simplifique o diagrama de blocos da Fig. 2 de modo a obter a função de transferência total € G(s) com entrada € δu e saída € δf . I. 5 [E1-1.0] - Considere que € G(s) = 1000 (s +100)(s +1) . Justifique se a função de transferência total € G(s) tem pólos não dominantes e em caso afirmativo determine a correspondente função de transferência aproximada € ˜G(s). I. 6 [E1-1.0] - Considere a função de transferência € ˜G(s) determinada em I.7. Calcule a resposta ao escalão unitário e trace de modo aproximado a sua evolução gráfica. O que acontece quando o pólo dominante se aproxima da origem?
  • 3. Exame
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Controlo

 
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 II. [E1–7 Valores, T2-8 Valores] Pretende-se controlar em malha fechada o seguinte sistema instável € G(s) = Y(s) U(s) = 100 s −10 II. 1 [E1-1.0] – Considere um controlador proporcional K(s) = k. Calcule a gama de valores de k para o qual o sistema em malha fechada é estável. II. 2 [E1-1.0] - Mostre que o sistema de controlo em malha fechada não permite garantir em regime estacionário um erro de seguimento a comandos do tipo escalão. II. 3 [E1-1.0; T2-1.5] – De modo a garantir erro estacionário nulo a sinais de comando constantes, considera-se o seguinte controlador integral K(s) = 1/s. Trace o diagrama de Bode assimptótico (magnitude e fase) do ganho de malha K(s)G(s). II. 4 [E1-1.0; T2-1.5] - Trace o diagrama de Nyquist do ganho de malha e analise a estabilidade do sistema em malha fechada. II. 5 [E1-1.0; T2-1.0] – Justifique apoiando nos diagramas de Bode e de Nyquist do ganho de malha que um controlador integral do tipo K(s)=k/s com k positivo não é suficiente para estabilizar o sistema em malha fechada. II. 6 [E1-1.0] – Recorrendo ao traçado do Root-Locus comprove o resultado anterior e proponha uma estrutura de controlador que permitiria que os pólos fossem colocados numa zona desejada definida pela máxima sobreelevação pretendida e pelo tempo mínimo de estabelecimento. Justifique. II. 7 [E1-1.0; T2-2.0] – Considere agora o seguinte controlador € K(s) = k p z s + z s(s + p) com k=1, z = 0.1 rad/s e p = 1000 rad/s. Trace o diagrama de Bode assimptótico (magnitude e fase) do ganho de malha e o digrama de Nyquist. Prove que neste caso o sistema em malha fechada é estável.
  • 4. Exame
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Controlo

 
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 II. 8 [T2-1.0] – Suponha que existe ruído n no sensor que mede a saída y e que este se concentra na gama de frequências [1000, 10000] rad/s. Pretende-se que o controlador proporcional garanta os requisitos anteriores e atenue o ruído de pelo menos -20 dB. Determine o aumento do ganho k tolerável de modo a que o sistema seja estável e que este requisito seja garantido. II. 9 [T2-1.0] – Calcule a diminuição do ganho k tolerável de modo a que os requisitos anteriores (estabilidade e atenuação do ruído) continuem a ser garantidos. III. [E1–7 Valores, T2-12 Valores]Considere o sistema de controlo em malha fechada representado na Fig. 1, onde r é o sinal de referência, y o sinal de saída e € P(s) = 10 s +10 representa a função de transferência do sistema a controlar. Na figura o sistema está sujeito à acção da perturbação d e do ruído n no sensor que mede a saída y. Fig. 1. Sistema de controlo III. 1 [E1-4.0; T2-8.0] – Projecte um controlador K(s) de modo que o sistema em malha fechada seja estável e satisfaça os seguintes requisitos: i) Erro estacionário nulo de seguimento de sinais constantes de comando r. ii) Erro estacionário nulo de seguimento de sinais de comando tipo rampa (isto é, r(t)=t). iii) Ganho unitário (0 db) à frequência de 0.1 rad/s do ganho de malha. iv) Seguimento de sinais de referência r na gama de frequências [0, 0.01] rad/s com erro menor ou igual a -40 db.
  • 5. Exame
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Teste
T2
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Controlo

 
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 v) Atenuação da perturbação d na gama de frequências [0, 0.001] rad/s de pelo menos -80 db. vi) Atenuação do ruído n na gama de frequências [10, 1000] rad/s de pelo menos -60 db. v) Margem de fase PM maior ou igual a 35o vi) Margem de ganho positiva G+ M maior ou igual a +20 db. Justifique todos os passos. Em particular, trace os diagramas de Bode assimptóticos e de Nyquist necessários. III. 2 [E1-1.5; T2-2.0] - Pretende-se analisar o comportamento do sistema em malha fechada quando existe um atraso € τ na transmissão de informação entre o controlador K(s) e o sistema a controlar P(s). Calcule (utilizando a informação proveniente do diagrama de Bode assimptótico do ganho de malha) o valor máximo € τ tolerado tal que o sistema de controlo em malha fechada permaneça estável. III. 3 [E1-1.5; T2-2.0] – Considere agora que o sensor tem uma largura de banda limitada e suponha que a sua dinâmica é governada pela função de transferência € H(s) = p s + p com p = 0.1 rad/s.. Será que o sistema em malha fechada é estável? Justifique utilizando o diagrama de Bode e o critério de Nyquist.

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