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Cap2   modelacao-e-linearizacao
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Cap2 modelacao-e-linearizacao

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  • 1. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Fevereiro de 2008 Transparências de apoio às aulas teóricas Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram  elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores CONTROLO 2º semestre – 2007/2008
  • 2. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Objectivos • Definir o que é um modelo e discutir o seu uso para  responder a perguntas sobre sistemas físicos • Introduzir os conceitos de entrada, saída e dinâmica • Dar exemplos de modelos de sistemas físicos em domínios diversos • Linearização Referências o Cap.2 – do livro de Franklin, Powel, Naemi (referência principal) o Cap.2 ‐ do texto de Karl Astrom, Richard Murray, disponível na Web.
  • 3. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Revisão sobre Introdução ao Controlo Controlo =  = Sensoriamento +  Computação +  Actuação Sensoriamento /  Percepção Computação Actuação Sistema  físico Sistemas de controlo por retroaçcão ocorrem em muitos domínios Objectivos do controlo • Modificar o comportamento de sistemas com as seguintes restrições: Estabilidade em cadeia fechada Robustez face a incertezas  de modelização Atenuação de perturbações
  • 4. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Modelos • Modelo = representação matemática de um sistema físico, biológico,  mecânico, de informação, ... • Um modelo fornece uma predição de como é o comportamento do  sistema • O projecto de controladores para sistemas físicos faz‐se a partir de um modelo desse sistema. Os modelos não têm que ser exactos. – Modelos que descrevam muito detalhadamente um sistema podem ser complexos – Desconhecem‐se todos os fenómenos físicos que regulam o comportamento do sistema – Na modelação fazem‐se, muitas vezes, hipóteses simplificativas  • A retroacção garante robustez a incertezas (em determinados limites) no  modelo • Os modelos usados para controlo relacionam entradas com saídas e (eventualmente) com variáveis internas do sistema
  • 5. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Modelos • O modelo que se deriva depende da pergunta a que se  pretende responder sobre o sistema físico. – Perguntas diferentes modelos diferentes – Perguntas iguais mas hipóteses simplificativas diferentes modelos diferentes • Ao mesmo sistema físico podem corresponder modelos  diferentes • Devem ser escolhidas escalas de tempo e de espaço  adaptadas às questões a que se pretende responder
  • 6. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Modelo • De entrada‐saída – relaciona directamente a entrada com a  saída • Equação diferencial • Linear ou não linear • Variante ou invariante no tempo • Função de Transferência • Só para sistemas lineares invariantes no tempo • De estado – relaciona a entrada, a saída e variáveis internas do  sistema Entrada Saída r(t) y(t) Sistema
  • 7. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Modelação: Exemplos Alguns exemplos de sistemas físicos – Sistemas mecânicos – Circuitos eléctricos – Sistemas electromecânicos – Sistemas térmicos – Sistemas hidráulicos – Dinâmica de populações – ......
  • 8. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Sistema de Controlo de Velocidade (Cruise Control) • Objectivo do sistema de controlo – Manter constante a velocidade do veículo • Modelo do sistema físico – Entrada: força f(t) gerada pelo motor – Saída: velocidade v(t) do automóvel f(t) Sensor de velocidade MotorControlador v(t)vref(t) + _ f(t) v(t)f(t) • Qual é o modelo matemático deste sistema  físico que relaciona f(t) com v(t) ? • Fazendo hipóteses simplificativas obtem‐se um modelo.
  • 9. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Sistemas Mecânicos de Translação Lei de Newton (séc. XVII) F = soma das forças aplicadas ao corpo (N) v = vector velocidade do corpo (m/s) M = massa do corpo (Kg) mv= momento linear Kgm/s F= d(mv)/dt A força total aplicada a um corpo rígido é igual à  derivada em ordem ao tempo do seu momento  linear
  • 10. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Sistemas Mecânicos de Translação • Massa • Mola X 2 2 dt )t(xd m)t(f = Massa - Armazena energia cinética m f(t) X K )t(xK)t(fs −= Mola - Armazena energia potencial K=constante da mola fs(t) = força de restituição da mola, resultado de uma deformação (alongamento ou compressão). Kx(t) é a força que é necessário exercer para efectuar o alongamento (x(t)>0) ou a compressão (x(t)<0). K )t(xK )t(fs Elementos Básicos
  • 11. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Sistemas Mecânicos de Translação • Atrito Elementos Básicos dt )t(xd )t(fd β−= Atrito ‐ Elemento dissipador de energia b=coeficiente de atrito viscoso X b b Xx(t) dt )t(xd β )t(fd A força de atrito, fd(t), que se opõe ao  movimento, é proporcional à velocidade • simplificação da realidade • é usualmente uma função não linear da  velocidade
  • 12. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Sistema de Controlo de Velocidade (Cruise Control) v(t) f(t) Qual é o modelo matemático deste sistema físico que relaciona f(t) com v(t)  assumindo as hipóteses simplificativas ? Hipóteses simplificativas: • Inércia rotacional das rodas é desprezável • O atrito que se opõe ao  movimento é proporcional à  velocidade (atrito viscoso) • O automóvel move‐se no plano horizontal β m f(t) Força externa aplicada f(t) dt )t(xd (t)v = Sistema
  • 13. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Sistemas Mecânicos de Translação Exemplo de 1ª Ordem β m f(t) Força externa aplicada f(t) dt )t(xd (t)v = Sistema A força de atrito opõe-se ao movimento dt )t(dv m dt )t(xd maplicadasforças 2 2 ==∑ dt )t(dv m)t(v)t(f)t(f)t(f d =β−=+ Força externa Força do atrito Lei de Newton )t(f)t(v dt )t(dv m =β+ • Representação de entrada‐saída o no domínio do tempo o entrada: f(t) o saída: v(t) o Equação diferencial linear de coeficientes constantes de 1ª ordem o Sistema de 1ª ordem
  • 14. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Sistemas Mecânicos de Translação Exemplo de 2ª Ordem β m f(t) Força externa aplicada f(t) x(t) Sistema A força de atrito opõe-se ao movimento 2 2 dt x(t)d maplicadasforças =∑ 2 2 d dt x(t)d m dt dx(t) βf(t)(t)ff(t) =−=+ Força externa Força do atrito Lei de Newton f(t) dt dx(t) β dt x(t)d m 2 2 =+ • Representação de entrada‐saída o no domínio do tempo o entrada: f(t) o saída: x(t) o Equação diferencial linear de coeficientes constantes de 2ª ordem o Sistema de 2ª ordem
  • 15. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Sistemas Mecânicos de Translação Exemplo de 2ª Ordem m f(t) Força externa aplicada f(t) (t)x Sistema 2 2 dt )t(xd maplicadasforças =∑ 2 2 dt )t(xd m)t(Kx dt )t(dx )t(f =−β− β K dt )t(xd β− )t(Kx− )t(f)t(Kx dt )t(dx dt )t(xd m 2 2 =+β+
  • 16. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Função de Transferência  )t(f)t(v dt )t(dv m =β+ EQUAÇÃO DIFERENCIAL ‐ Representação matemática do  sistema no domínio do tempo • para uma dada entrada • a saída pode obter‐se por resolução da equação diferencial Aplicando Transformada de Laplace unilateral e considerando  condições iniciais nulas )s(F)s(V)s(msV =β+ ∫ ∞ τ− − ττ= = = 0 s de)(x)s(X )]t(f[TL)s(F )]t(v[TL)s(V Transformada de Laplace unilateral β+ = ms 1 )s(F )s(V FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ‐ Representação matemática  do sistema no domínio da variável complexa s
  • 17. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Função de Transferência SLIT r(t) y(t) FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 0.i.c )s(R )s(Y )s(G = = G(s) R(s) Y(s) Para condições iniciais nulas )s(R).s(G)s(Y = • A função de transferência é um conceito potente para descrever o  comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída • Para SLITs, a função de transferência caracteriza completamente o sistema do ponto de vista de entrada‐saída Quociente da transformada de Laplace do sinal de  saída pela transformada de Laplace do sinal de  entrada considerando nulas as condições iniciais
  • 18. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Função de Transferência SLIT r(t) y(t) 0.i.c )s(R )s(Y )s(G = = G(s) R(s) Y(s)r(t) y(t) R(s) Y(s) TL TL-1 Obtenção da solução da equação diferencial que  é a representação do comportamento de  entrada‐saída )s(R).s(G)s(Y = Se as condições iniciais forem nulas A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do  ponto de vista de entrada/saída Resolução da eq.diferencial
  • 19. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Função de Transferência e Diagrama de Blocos v(t) f(t) )t(f)t(v dt )t(dv m =β+ β+ = ms 1 )s(F )s(V βms 1 + V(s)F(s) x(t)f(t) βms 1 + V(s)F(s) X(s) s 1 β)s(ms 1 + X(s)F(s) f(t)(t)xβ(t)xm =+ &&& O mesmo sistema físico Modelos diferentes
  • 20. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Cruise Control (em plano horizontal) v(t) f(t) βms 1 + V(s)F(s) Sistema físico K modelo do sistema físico Sistema controlado com controlador proporcional Vref(s) + _ ?= (s)V V(s) ref controlador
  • 21. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Sistemas Mecânicos de Rotação rotação em torno de um eixo • Lei de Newton‐Euler A soma dos binários que actuam num corpo é igual ao produto do momento de inércia desse corpo pela sua aceleração angular. 2 2 dt θ(t)d JT(t) = 2 2 dt θ(t)d T = soma dos binários aplicados ao sistema (N‐m) = vector aceleração angular a que o corpo está sujeito (rad/s2) J = momento de inércia (Kg‐m2) (suposto constante)
  • 22. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Sistemas Mecânicos de Rotação • Inércia • Mola Rotacional Elementos Básicos dt d J dt θ(t)d JT(t) 2 2 ω == Armazena energia cinética rotacional ‐ Velocidade angular θ(t)K(t)Ts −= Mola armazena energia potencial rotacional K = constante da mola Ts(t) = binário de restituição da mola em resultado de uma deformação em torno do ponto de equilíbrio. é o binário que é necessário exercer para efectuar a rotação. θ(t)K ω
  • 23. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Sistemas Mecânicos de Rotação • Atrito Rotacional Elementos Básicos Atrito ‐ Elemento dissipador de energia b ‐ coeficiente de atrito viscoso O binário de atrito Td(t), que se opõe ao  movimento, é proporcional à velocidade angular • simplificação da realidade • é usualmente uma função não linear da velocidade ω(t)β(t)Td −= β
  • 24. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Sistemas mecânicos de rotação 2 1 2 1 1 2 N N r r == θ θ A velocidade linear é igual no ponto de contacto das duas rodas Engrenagem (caixa de desmultiplicação) 2211 θθ rr = Roda dentada 1 – entrada Raio - # dentes - 1 N 1 r Roda dentada 2 – saída Raio - # dentes - 2 N 2 r a desmultiplicação angular é inversamente proporcional ao  quociente do número de dentes.
  • 25. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Sistemas mecânicos de rotação Engrenagem (caixa de desmultiplicação) Roda dentada 1 – entrada Raio - # dentes - 1 N 1 r Roda dentada 2 – saída Raio - # dentes - 2 N 2 r 1 2 2 1 1 2 N N T T == θ θ Supondo que a engrenagem não acumula nem dissipa energia 2211 θθ TT =a “multiplicação” de binário é directamente  proporcional ao quociente do número de dentes das rodas. Resumo θ2θ1 Τ1 Τ2 1 2 N N 2 1 N N Energia rotacional
  • 26. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Exemplo: Pêndulo m L mg θ Pêndulo Massa toda concentrada na extremidade Braço de comprimento L [m] Binário aplicado Tc(t) [N.m] Pergunta:  Como varia o ângulo θ(t) como função de Tc(t)? Momento de inércia em torno do ponto de rotação = J = mL2 ∑= aplicadosbinários(t)θJ && θsinLmg-(t)T(t)θmL c 2 =&& 2 c mL (t)T sinθ L g (t)θ =+&& mg θ θ mgcos θ mgsin θ • Eq. Diferencial não linear • Não se pode obter directamente a  Função de Transferência • Faz‐se linearização (t)Tc
  • 27. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Carro com pêndulo invertido http://www.engin.umich.edu/group/ctm/examples/pend/invpen.html M  Massa do carro m  Massa do pêndulo b  Coeficiente de atrito no movimento do carro L Comprimento do pêndulo I Inércia do pêndulo F  Força externa aplicada ao carro x  Posição do carro θ Ângulo do pêndulo relativamente à vertical Pretende‐se: Equações da dinâmica de movimento do sistema em termos de x e de θ
  • 28. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Carro com pêndulo invertido Soma das forças no referencial horizontal associado ao carro FNxbxM =++ &&& Soma das forças no pêndulo na direcção horizontal sinθθmLcosθθmLxmN 2&&&&& −+= N = força de reacção (desconhecida)  aplicada pelo pêndulo FsinθθmLcosθθmLxbxm)(M 2 =−+++ &&&&&&
  • 29. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Carro com pêndulo invertido Soma das forças perpendiculares ao pêndulo cosθxmθmLmgsinθNcosθPsinθ &&&& +=−+ Soma dos momentos em torno do centróide do pêndulo θINLcosθPLsinθ &&=−− cosθxmLmgLsinθθ)mL(I 2 &&&& −=++
  • 30. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Carro com pêndulo invertido FsinθθmLcosθθmLxbxm)(M 2 =−+++ &&&&&& cosθxmLmgLsinθθ)mL(I 2 &&&& −=++ Sistema de equações diferenciais não lineares
  • 31. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Sistemas Electromecânicos Parâmetros característicos: Ra ‐ resistência – Ohm La ‐ indutância – Henry ea ‐ tensão de entrada no circuito da armadura – Volt ia ‐ corrente no circuito da armadura ‐ Ampere vb ‐ força contra‐electromotriz – Volt Tm – binário disponível no veio do motor Motor de corrente contínua
  • 32. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Motor de corrente contínua O rotor gira num campo magnético Força contra-electromotriz )(tmb m bb ωK dt (t)dθ Kv == Equação do circuito da armadura ab a aaa e(t)v dt di LiR =++ tensão de entrada no  estator Forca contra‐electromotriz tensão aos terminais da resistencia queda de tensão  na bobina (s)E(s)V(s)sIL(s)IR abaaaa =++ sLR 1 aa + + _ Ea(s) Vb(s) Ia(s) Θm(s) bsK
  • 33. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Motor de corrente contínua Binario acessível no veio do motor  atm IKT = t m aatm K )s(T )s(I)s(IK)s(T == (proporcional a ia; Kt=Kb) sLR 1 aa + + _ Ea(s) Vb(s) Ia(s) Kt Tm(s) Qm(s) bsK termo em θm (s)E(s)sΘK K (s)s)TL(R amb t maa =+ + termos em Tm
  • 34. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Motor de corrente contínua (s)T(s)Ωβ(s)sΩJ mmmmm =+ Equação do ROTOR (s)T(s)s)Θβs(J mmm 2 m =+ )]t([TL)s( mm ω=Ω sLR 1 aa + + _ Ea(s) Vb(s) Ia(s) Kt Tm(s) )sJ(s 1 mm β+ Qm(s) bsK Por reduções sucessivas do diagrama de blocos, obtenha a  função de transferência do motor.
  • 35. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Motor de corrente contínua Se La puder ser desprezada (em comparação com Ra) (s)T(s)s)Θβs(J mmm 2 m =+ (s)E(s)sΘK K (s)s)TL(R amb t maa =+ + (s)E(s)sΘK(s)Θ K s)βss)(JL(R ambm t m 2 maa =+ ++ (s)E(s)sΘK)βs(J K R ambmm t a =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++ )] R KK (β J 1 s[s )J/(RK (s)E (s)Θ a bt m m mat a m ++ = a)s(s K (s)E (s)Θ a m + = Função de TRANSFERÊNCIA da forma
  • 36. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Controlo de posição de um motor de  corrente contínua Sistema de controlo de posição angular do motor a)s(s K (s)E (s)Θ a m + = a)(s K + s 1 Integrador (posicao angular é o integral da velocidade angular. Pólo em zero!) Ωm(s)Εa(s) Θm(s) Dinâmica da velocidade angular as K + s 1+ _ K Θm(s) Εa(s) R(s) KKsas KK R(s) (s)Θ G(s) 2 m ++ ==
  • 37. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Dinâmica de condução de um robot móvel {R} )t(y )t(x )t(θ WY {W} WX vd(t) – velocidade linear da roda direita ve(t) – velocidade linear da roda esquerda L – distância entre rodas 2 rodas motoras traseiras 2 rodas dianteiras não motorizadas ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = + = L (t)v(t)v (t)θ (t))sin( 2 (t)v(t)v (t)y (t))cos( 2 (t)v(t)v (t)x ed ed ed & & & θ θ Pergunta: Como variam no tempo a posição (x,y) e  orientação θ do veículo em função das  velocidades lineares das duas rodas ? Sistema de 3 equações diferenciais não lineares rodas motoras
  • 38. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Dinâmica de condução de um robot móvel {R} )t(y )t(x )t(θ WY {W} WX ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = + = L (t)v(t)v (t)θ (t))sin( 2 (t)v(t)v (t)y (t))cos( 2 (t)v(t)v (t)x ed ed ed & & & θ θ Controlo: Que valores devem ter ve(t) e vd(t)  para que o veículo siga um  determinado caminho? rodas motoras Controlador (x,y,θ) Coordenadas  do caminho a seguir ve vd É com base neste modelo do sistema físico (é um modelo simplificado) que se projecta o  controlador
  • 39. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Linearização v(t) f(t) β m f(t) Força externa aplicada Sistema não linear Aproximação linear Exemplo: carro a alta velocidade dt dv(t) mv(t)βv(t)βf(t) 2 21 =−− Velocidade elevada Força de atrito: termo linear + termo quadrático 2 21d v(t)βv(t)β(t)f −−= Sistema não linear
  • 40. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Linearização: Exemplo dt dv(t) mv(t)βv(t)βf(t) 2 21 =−− Condição de equilíbrio • O que é uma situação de equilíbrio ? • Se o sistema estiver numa situação de equilíbrio e não houver  nenhuma perturbação, ele mantém‐se indefinidamente nessa situação • O sistema está numa situação de equilíbrio quando uma força externa  iguala a força de atrito dinâmica não linear evctev(t) == Caracterização do equilíbrio 0= dt dv(t) 0vβvβf 2 e2e1e =−− 2 e2e1e vβvβf += Os pares (ve, fe) que satisfazem esta relação  são pontos de equilíbrio do sistema Sistema não linear Aproximação linear em torno de  uma situação de equilíbrio
  • 41. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Linearização: exemplo Estudo do comportamento do sistema em torno de uma situação de equilíbrio (ve, fe)  δv(t)vv(t) e += δf(t)ff(t) e += 2 e2e1e e δv(t))(vβδv(t))(vβδf(t))(f dt δv(t))d(v m +−+−+= + 2 21 v(t)βv(t)βf(t) dt dv(t) m −−= Incrementos pequenos em torno do equilíbrio ????2e1e βδv(t))(vβδf(t))(f dt (t)dδ m −+−+= v ???linear linearVe=cte.
  • 42. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Linearização: exemplo ???=+= 2 e 2 δv(t))(vv(t) Apr. série de Taylor em torno do ponto de equilíbrio desprezando os termos não lineares (ordem superior à 1ª)  ...)xx( dx fd 2 1 )xx( dx df )x(f)x(f 2 0 xx 2 2 0 xx 0 00 +−+−+≅ == Apr. série de Taylor δv(t)2vvv(t) e 2 e 2 +≅ Desprezando termos de ordem superior δv(t))2v(vβδv(t))(vβδf(t))(f dt (t)dδ m e 2 e2e1e +−+−+= v É válido para incrementos pequenos v v2 ve
  • 43. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Linearização: exemplo δv(t))2v(vβδv(t))(vβδf(t))(f dt (t)dδ m e 2 e2e1e +−+−+= v 2 e2e1e vβvβf += Condição de equilíbrio δv(t)vβδv(t)βδf(t) dt (t)dδ m e21 2−−= v δf(t)v(t))vβ(β dt (t)dδ m e21 =++ δ2 v Eq.  diferencial  linear Função de transferência)]v2β(β[sm 1 δF(s) δV(s) e21 ++ =
  • 44. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Linearização: exemplo Função de transferência)]v2β(β[sm 1 δF(s) δV(s) e21 ++ = v(t)f(t) δv(t)δf(t) Sistema não linear Sistema Linearizado δf(t)v(t))vβ(β dt (t)dδ m e21 =++ δ2 v f(t)v(t)βv(t)β dt dv(t) m 2 21 =++ •Relaciona incrementos na saída com incrementos na entrada •Os incrementos são em torno de um determinado ponto de equilíbrio (ve,fe) A  localização do  pólo depende da  velocidade de  operação ve
  • 45. Controlo ‐2ºsem‐2007/2008                              © Isabel Ribeiro, António Pascoal Capítulo 2 ‐ Modelação Pêndulo: Linearização m L mg θ 2 c mL (t)T sinθ L g (t)θ =+&& (t)Tc Não linear devido ao termo sinθ 0T0,θ c == Ponto de equilíbrio do sistema Para θ pequenos (pequenas perturbações em torno do ponto de equilíbrio) θsinθ ≅ 2 c mL (t)T θ L g (t)θ =+&& Modelo linear que descreve o  comportamento do sistema, mas só  para θ pequenos