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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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• O que é o estudo da Resposta em F...
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conceito (revisão)
G(s)
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• SLIT contínuo
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Função Resposta em Frequência
• Função Resposta em Frequên...
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Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica
Representação gr...
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Aproximação assimptótica (exemplos)
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Aproximação assimptótica (exemplos)
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Largura de Banda – Relação Tempo-Frequên...
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Aproximação assimptótica (exemplos) – pó...
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Aproximação assimptótica (exemplos) – pó...
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Relação Tempo Frequência
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  1. 1. 1/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal CONTROLO 2º semestre – 2007/2008 Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC) Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC) Transparências de apoio às aulas teóricas Capítulo 10 – Diagrama de Bode e Relação Tempo-Frequência Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores Maria Isabel Ribeiro António Pascoal A definição de Função Resposta em Frequência e o traçado do diagrama de Bode consideram-se conhecimentos já adquiridos pelos alunos. As respectivas transparências incluem-se neste conjunto para o manter self-contained embora não tenham sido apresentadas nas aulas teóricas.
  2. 2. 2/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal Resposta em Frequência • O que é o estudo da Resposta em Frequência de um SLIT? – Análise da resposta a uma entrada sinusoidal Resultados de um teste com um 2CV numa estrada de perfil sinusoidal, com velocidades crescentes: • Até 30Km/h as oscilações de posição do condutor e da via são semelhantes, i.e., quando o piso sobe o condutor sobe e vice- versa, • Por volta dos 70Km/h a amplitude das oscilações ao nível do condutor é muito maior do que a amplitude do perfil da via, • A 80/85Km a amplitude das oscilações é semelhante à observada a 70Km/h; no entanto, a diferença de fase é da ordem dos 180º, i.e., quando a estrada se eleva o condutor vai assento abaixo, quando a estrada vai abaixo o condutor bate com a cabeça no tejadilho, • A 150Km/h as oscilações ao nível do condutor são quase imperceptíveis, pelo que a condução se torna bastante agradável ! Figura retirada de Análise de Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001 Reprodução proibida
  3. 3. 3/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal Resposta em Frequência conceito (revisão) G(s) r(t)=A sinw1t y(t) 2 1 2 1 s A )s(R ω+ ω = )s(G s A )s(Y 2 1 2 1 ω+ ω = entrada sinusoidal como é a componente forçada da resposta ? )ps()ps)(ps( )s(N )s(G n21 +++ = L Assumem-se pólos simples sem perda de generalidade ∑= + + ω− + ω+ = n 1i i i 1 2 1 1 ss R js c js c )s(Y )j(G j2 A )s(G js A c 1js 1 1 1 1 ω−−= ω− ω = ω−= 11js 1 1 2 c)j(G j2 A )s(G js A c 1 =ω= ω+ ω = ω= ts n 1i i tj 1 tj 1 i11 eRe)j(G j2 A e)j(G j2 A )t(y − = ωω− ∑+ω+ω−−= resposta forçada resposta natural )t(y)t(y)t(y nf += A resposta em frequência de um SLIT analisa a evolução da componente forçada da resposta a uma entrada sinusoidal.
  4. 4. 4/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal Resposta em Frequência conceito (revisão) resposta natural )t(ye)j(G j2 A e)j(G j2 A )t(y n tj 1 tj 1 11 +ω+ω−−= ωω− resposta forçada G(s) – função complexa de variável complexa )s(Gargj e)s(G)s(G = )j(Gargj 11 )j(Gargj 11 1 1 e)j(G)j(G e)j(G)j(G ω ω− ω=ω ω−=ω− ímparfunção)j(Garg parfunção)j(G ω ω )j(Gargj 11 )j(Gargj 11 1 1 e)j(G)j(G e)j(G)j(G ω ω− ω=ω ω=ω− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ω= ω−ω−ωω j2 e.ee.e )j(GA)t(y )j(Gargjtj)j(Gargjtj 1f 1111 componente forçada da saída ))j(Gargtsin()j(GA)t(y 111f ω+ωω=
  5. 5. 5/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal Resposta em Frequência conceito (revisão) • SLIT contínuo • Excitado por um sinal sinusoidal • A componente forçada da saída é ainda: – Um sinal sinusoidal com a mesma frequência – Amplitude e fase do sinal de saída relacionadas com a amplitude e fase do sinal de entrada G(s) r(t)=A sinw1t yf(t)=A|G(jw1)|sin(w1t+argG(jw1)) sinal de entrada componente forçada do sinal de saída desfasagem • |G(jw1)| - ganho de amplitude para a frequência w1 • arg G(jw1) – desfasagem para a frequência w1
  6. 6. 6/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal Função Resposta em Frequência • Função Resposta em Frequência G(jw) – Função de transferência calculada ao longo do eixo imaginário ω= =ω js )s(G)j(G • Para sistemas causais e estáveis • A Função Resposta em Frequência é a Transformada de Fourier da Resposta Impulsional )]t(h[TF)j(G =ω Representação gráfica da Função Resposta em Frequência • Que funções é preciso representar ? • |G(jw)| • Arg G(jw) • Que tipo de representação • Diagrama de Bode • Diagrama de Nyquist • Diagrama de Nichols Estudo da estabilidade de SLITs em cadeia fechada
  7. 7. 7/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal Diagrama de Bode Aproximação assimptótica Representação gráfica da Função Resposta em Frequência • 20 log|G(jw)| como função de w (escala logaritmica) • Arg G(jw) como função de w (escala logaritmica) 2 nn21 2 nn11 )w/s(w/s21)(s1(s )w/s(w/s21)(sT1(K )s(G 22 11 +ξ+τ+ +ξ++ = 2 nn21 2 nn11 )w/jw(w/w2j1)(s1(jw )w/jw(w/w2j1)(jwT1(K )jw(G 22 11 +ξ+τ+ +ξ++ = ))w/jw(w/w2j1()s1(jw ))w/jw(w/w2j1()jwT1(K )jw(G 2 nn21 2 nn11 22 11 +ξ+τ+ +ξ++ = exemplo função de transferência função resposta em frequência Característica de amplitude quociente de produtos de termos O diagrama de Bode (amplitude) representa )jw(Glog20)jw(G dB = dB 2 nn2dB1dB dB 2 nn1dB1dB ))w/jw(w/w2j1()s1(jw ))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G 22 11 +ξ+−τ+−− +ξ++++= soma algébrica de termosCaracterística de fase ))w/jw(w/w2j1arg()s1arg()jwarg( ))w/jw(w/w2j1arg()jwT1arg(Karg)jw(Garg 2 nn21 2 nn11 22 11 +ξ+−τ+−− +ξ++++=
  8. 8. 8/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos) K)s(G = K)jw(G = dBdB K)jw(G = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < > = 0Kseº180 0Kseº0 )jw(Garg 180º função de transferência função resposta em frequência
  9. 9. 9/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos) s 10 )s(G = jw 10 )jw(G = ( ) wlog20dB20jw10)jw(G dBdBdB −=−= Recta com declive –20dB/década passando em 0dB para w=1 º900)jwarg()10arg()jw(Garg −=−= • Qual é o ganho estático deste sistema ? • Qual é o ganho de baixa frequência ? • Declive da assímptota ? E se o sistema tivesse dois pólos na origem ? • Qual é a componente forçada da resposta deste sistema à entrada r(t)=2sin(100t) ?
  10. 10. 10/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos) sT1 1 )s(G + = jwT1 1 )jw(G + = ( )2 dB wT1log20)jw(G +−= 1wTT1w <<⇒<< 1wTT1w >>⇒>> Baixa frequência Alta frequência dB01log20)jw(G dB =−≅ Tlog20wlog20wTlog20)jw(G dB −−=−≅ Recta com declive –20dB/década passando em 0dB para w=1/T assímptota de baixa frequência assímptota de alta frequência característica de amplitude )wT(arctg)jwT1arg()jw(Garg −=+−= 1wTT1w <<⇒<< 1wTT1w >>⇒>> Baixa frequência Alta frequência º0)jw(Garg ≅ 2 )jw(Garg π −≅ característica de fase T1w = 4 )jw(Garg π −=
  11. 11. 11/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos) sT1 1 )s(G + = jwT1 1 )jw(G + = T=0.5 Pólo = - 2 w=2rad/s – frequência de corte do pólo - 20dB/dec 0 dB/dec assimptota de baixa frequência assimptota de alta frequência 0º - 45º - 90º
  12. 12. 12/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos) sT1 1 )s(G + = jwT1 1 )jw(G + = Um pólo de multiplicidade 1 contribui para a fase total com um ângulo que varia, de uma década antes a uma década depois, de 0º a –90º passando a –45º na frequência de corte. T=0.5 Pólo = - 2 T 1 w = dB32log20)wT(1log20)jw(G 2 dB −=−=+−= 3dB 2 200.2 2 200.2 º45)j1arg()jw(Garg −=+−= T10 1 w = º71.5 10 j1arg)jw(Garg −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= T 10 w = ( ) º71.5º90j101arg)jw(Garg +−=+−= 5.71º 5.71º
  13. 13. 13/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal Diagrama de Bode Largura de Banda – Relação Tempo-Frequência Largura de Banda (a 3dB) • Banda de frequência na qual o módulo da função resposta em frequência não cai mais de 3dB em relação ao ganho de baixa frequência. • A Largura de Banda traduz a capacidade de um sistema reproduzir mais ou menos perfeitamente os sinais aplicados à sua entrada Ko Ko-3dB wwBW Num SLIT de 1ªordem, sem zeros, Largura de Banda =frequência de corte do pólo LB=2rad/s
  14. 14. 14/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal Diagrama de Bode Largura de Banda – Relação Tempo-Frequência 1 1 1 ws w )s(G + = 2 2 2 ws w )s(G + = 12 ww > ganho estático unitário w1 w2 1/w1 1/w2 Largura de banda maior Resposta mais rápida
  15. 15. 15/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo 2 )5s( 250 )s(G + = • Ganho estático ? • Declive da • Assimptota de baixa frequência • Assimptota de alta frequência • Fase para • Baixas frequências • Altas frequências PERGUNTAS RESPOSTAS • Ganho estático = G(s)|s=0 = 10 = 20dB • Declive da • Assimptota de baixa frequência • O sistema não tem pólos nem zeros na origem • declive = 0db/dec • Assimptota de alta frequência • # pólos - # zeros = 2 • declive = -40dB/dec = 2 * (-20dB/dec) • Fase para • Baixas frequências • Sistema é de fase mínima • Sistema não tem pólos e zeros na origem • Fase para é igual a 0º • Altas frequências • Sistema é de fase mínima • # pólos - # zeros = 2 • Fase para é igual a –180º s/rad0w → ∞→w A contribuição para a amplitude e para a fase de um pólo duplo é a soma das contribuições de dois pólos reais simples.
  16. 16. 16/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo 2 )5s( 250 )s(G + = 2 )5s( 250 )s(G + = 2 5 s 1 10 )s(G ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = forma das constantes de tempo Deste modo a assimptota de baixa frequência correspondente ao pólo duplo passa em 0dB 6dB -90º 2*5.71º 2*5.71º -180º
  17. 17. 17/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal Diagrama de Bode Relação Tempo Frequência 22 )5s( 250 )s(G + = )5s( 50 )s(G1 + = Sistema de 1ª ordem Pólo real simples em –5 Ganho estático = 10 Sistema de 2ª ordem Pólo real duplo em –5 Ganho estático = 10 • Qual dos dois sistemas tem a maior largura de banda? • Qual dos dois sistemas é mais rápido ? Sistema 1 Sistema 2 Resposta a uma entrada escalão Característica de amplitude junto da frequência de corte s/rad5LB1 = s/rad15.3LB2 ≅
  18. 18. 18/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos) – pólo na origem e pólos reais não nulos )100s)(10s(s 100 )s(G ++ = • Ganho estático ? 3 pólos 0 zeros Assimptota de alta frequência com declive de 3*(-20) = - 60dB/dec )100/s1)(10/s1(s 1.0 )s(G ++ = 0.1 1 10 100 1000 - 20 - 40 - 60 - 80 - 100 - 90º - 180º - 270º 0º
  19. 19. 19/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos) - – pólo na origem e pólos reais não nulos )100s)(10s(s 100 )s(G ++ = • Ganho estático ? 3 pólos 0 zeros Assimptota de alta frequência com declive de 3*(-20) = - 60dB/dec )100/s1)(10/s1(s 1.0 )s(G ++ = 0.1 1 10 100 1000 - 20 - 40 - 60 - 80 - 100 - 90º - 180º - 270º 0º
  20. 20. 20/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 + 20dB/dec 45º 90º 3dB Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos) • Qual é a contribuição de um factor do tipo (1+jwT) ? Características assimptóticas de amplitude e fase simétricas relativamente às obtidas para um pólo real com a mesma frequência de corte T=0.1 Um zero de multiplicidade 1 contribui para a fase total com um ângulo que varia, de uma década antes a uma década depois, de 0º a 90º passando a +45º na frequência de corte. 20 2 )wT(1log20jwT1log20 +=+ 1wT >> Tlog20wlog20)wTlog(20)wT(1log20 2 +=≅+ frequência de corte do zero
  21. 21. 21/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos) – um pólo e um zero reais )1.0s( )10s(1.0 )s(G + + = - 90º 90º 45º 0º 0.01 0.1 1 10 100 w (rad/s) 20dB 40dB -20dB -40dB -20dB/dec contribuição do zero ganho estático Excesso pólos-zeros = 0 Assimptota de alta frequência com declive nulo - 45º 0.01 0.1 1 10 100 w (rad/s) Não há pólos nem zeros na origem A fase para muito baixa freq. é nula Excesso pólos-zeros = 0 A fase para muito alta freq. é nula
  22. 22. 22/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Diagrama de Bode Relação Tempo-Frequência • Ganho de Baixa Frequência 0 0w K)jw(Glim = → ganho estático do sistema y(t)lim)s(GlimK t0s 0 ∞→→ == Para uma entrada escalão unitário Ganho da Resposta em Frequência à frequência w=0 2 )1s( s )s(G + = 2 )1s( 1 )s(G + = +20dB/dec -20dB/dec -40dB/dec 1 100.1 0.1 1 100dB 0dB -20dB -20dB -40dB-40dB
  23. 23. 23/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos 2 nn 2 2 n wsw2s w )s(G +ζ+ = ganho estático unitário 2 nn w w w w 2j1 1 )jw(G ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −ζ+ = 2 nn dB w w w w 2j1log20)jw(G ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −ζ+−= Característica de amplitude 2 n 2 2 n 2 dB w w 2 w w 1log20)jw(G ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ζ+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−= nww << nww >> dB0)jw(G dB ≅ Assimptota de baixa frequência 2 n 2 2 n 2 dB w w 2 w w log20)jw(G ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ζ+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −≅ 10 <ζ≤ n 2 n w w log40 w w log20 −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −≅ Assimptota de alta frequência Declive de –40dB/dec passando em 0dB para w=wn w=wn é a frequência de corte associada ao par de pólos complexos conjugados
  24. 24. 24/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos 2 nn 2 2 n wsw2s w )s(G +ζ+ = 10 <ζ≤ 1.0=ζ 2.0=ζ 3.0=ζ 5.0=ζ 2 2707.0 ==ζ 707.00 <ζ<Para a característica real apresenta um pico de ressonânica 2 nr 21ww ζ−= frequência de ressonância nr ww0 →⇒→ζnr ww <
  25. 25. 25/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos 2 nn 2 2 n wsw2s w )s(G +ζ+ = 10 <ζ≤ 1.0=ζ 2.0=ζ 3.0=ζ 5.0=ζ 2 2707.0 ==ζ 707.00 <ζ<Para a característica real apresenta um pico de ressonânica 2 nr 21ww ζ−= 2r 12 1 )jw(G ζ−ζ = 1=ζ dB6 ζ = 2 1 )jw(G n em unidades lineares, numa situação de ganho estático unitário Para embora haja sobreelevação na resposta no tempo não há ressonância na resposta em frequência 707.0>ζ
  26. 26. 26/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos 2 nn 2 2 n wsw2s w )s(G +ζ+ = 2 nn w w w w 2j1 1 )jw(G ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −ζ+ = 212 n n w w 1 w w 2 arctg)jw(Garg θ−θ−= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ζ −= Característica de fase nww << nww >> 10 <ζ≤ w=wn é a frequência de corte associada ao par de pólos complexos conjugados )jww2s)(jww2s( w )s(G dndn 2 n −ζ++ζ+ = σ jw njw 1jw θ1 θ2 º0)jw(Garg ≅ º180)jw(Garg −≅ nww = º90)jw(Garg −=
  27. 27. 27/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Diagrama de Bode Aproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos 2 nn 2 2 n wsw2s w )s(G +ζ+ = 2 nn w w w w 2j1 1 )jw(G ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −ζ+ = 10 <ζ≤ )jww2s)(jww2s( w )s(G dndn 2 n −ζ++ζ+ = 1.0=ζ 2.0=ζ 3.0=ζ 5.0=ζ 2 2707.0 ==ζ 1=ζ 0=ζComo são os diagramas de amplitude e fase para ? Como é o diagrama de Bode (amplitude e fase) para um par de zeros compexos conjugados?
  28. 28. 28/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Diagrama de Bode Sistema com pólos complexos – Tacoma Narrows Bridge http://cee.carleton.ca/Exhibits/Tacoma_Narrows/ http://maclab.alfred.edu/students/harttm/default.html http://www.urbanlegends.com/science/bridge_resonance.html Tacoma Narrows • em Puget Sound, junta da localidade de Tacoma, Washington • Ponte suspensa aberta ao tráfego só alguns meses • Em 7.Nov.1940 a ponte caiu pelo efeito de forças que nela actuavam, em particular do vento • O efeito do vento induziu uma excitação na frequência natural do sistema • O sistema tinha um comportamento (macro) como o de um sistema de 2ª ordem com pólos complexos conjugados
  29. 29. 29/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Diagrama de Bode Sistemas de Fase Não Mínima 1s 10s )s(G1 + + = 1s 10s )s(G2 + − = sistema de fase mínima sistema de fase não mínima jw1 10 w j1 .10)jw(G1 + + = jw1 10 w j1 .10)jw(G2 + − −= 2 2 21 w1 10 w 1 .10)jw(G)jw(G + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + == a mesma característica de amplitude )w(arctg 10 w arctg)jw(Garg 1 −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = )w(arctg 10 w arctgº180)jw(Garg 2 −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+= zθ pθ pθ zθ pz1 )jw(Garg θ−θ= pz2 )jw(Garg θ−θ= - 90º 0º 90º 0.1 1 10 100 - 90º 0º 90º 0.1 1 10 100 180º -10 -1 -1 10
  30. 30. 30/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Diagrama de Bode Sistemas de Fase Não Mínima 1s 10s )s(G1 + + = 1s 10s )s(G2 + − = sistema de fase mínima sistema de fase não mínima
  31. 31. 31/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Diagrama de Bode Identificação de Sistemas • 3 SLITs • Todos com a mesma característica de amplitude • Características de fase distintas Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3
  32. 32. 32/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Diagrama de Bode Identificação de Sistemas • 3 SLITs • Todos com a mesma característica de amplitude • Características de fase distintas Sistema 2 ( ) 10s 1s 10)s(G ± ± ±= Sistema 1 Sistema 3 10s 1s 10)s(G1 + − = 10s 1s 10)s(G2 − + −= 10s 1s 10)s(G3 + + =
  33. 33. 33/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Diagrama de Bode Pólos dominantes e não dominantes )25s4s)(as( a*25 )s(G 2 +++ = )25s4s( 25 )s(G 2 ++ = a=1 a=3 a=8 a=1 a=3 a=8
  34. 34. 34/Cap.10 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ©M.IsabelRibeiro,AntónioPascoal INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Diagrama de Bode Pólos dominantes e não dominantes 2 nnp 2 2 nnz 2 2 n 2 n pp zz z p wsw2s wsw2s w w )s(G +ζ+ +ζ+ = Sistema 1 1 0.2 1 0.5 Sistema 2 1 0.7 1 0.5 Sistema 3 1 0.5 1.2 0.5 Sistema 4 1.2 0.5 1 0.5 pnzn ww pz ζζ identifique os sistemas

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