Act2 (enunciado solução)
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  • 1. 2.º Teste de ANÁLISE DE CIRCUITOS (16 dezembro 2013) Instruções A prova escrita, sem consulta, tem duas horas de duração. A prova é composta por quatro partes, A, B, C e D, que deverão ser resolvidas separadamente. A parte A envolve perguntas de escolha múltipla enquanto as partes B, C e D envolvem a resolução de problemas analítico-numéricos. O enunciado é composto por quatro folhas A4, cada uma correspondente a uma parte da prova. A resolução de cada parte é feita na respetiva folha do enunciado usando o espaço em branco disponível nessa folha (frente e verso). As respostas devem ser claras e sucintas. Não use caligrafia “tamanho gigante”! Não utilize o espaço disponível na folha de prova como zona de rascunho! Para efeitos de rascunho, o aluno pode usar durante a prova um conjunto agrafado de 6 folhas. As folhas de rascunho devem vir virgens, sob pena de imediata anulação da prova (recorda-se que esta não tem consulta). Não escreva a cor vermelha e evite fazer riscos e rasuras (que penalizam a apreciação da prova). Em todas as folhas da prova é indispensável que o aluno preencha o campo de identificação, através de nome e número (legível), devendo facultar documento de identificação (BI, CC ou cartão de estudante). Indique, também, a Sala onde está a efetuar a prova. Nenhum aluno será admitido à prova após a meia hora inicial. Os alunos podem abandonar a sala após a primeira hora, desde que entreguem a prova ou desistam. No caso de desistirem, devolverão apenas a folha da parte A, onde terão escrito “Desistência”. No caso de entrega da prova, os alunos devolverão, separadas, as 4 folhas do enunciado/solução (mesmo que alguma das partes não tenha sido resolvida). Esclarecem-se eventuais dúvidas, sobre questões de interpretação do enunciado, apenas durante a primeira meia hora da prova. Em cima da mesa, além das folhas com o enunciado da prova, só pode estar: 1 caderno agrafado de folhas de rascunho e máquina de calcular rudimentar capaz de lidar com funções elementares e com números complexos, mas, sem capacidade alfanumérica, gráfica, ou de comunicação remota. É expressamente proibida a presença de telemóveis. Nota: Nos cálculos, de natureza numérica, não se esqueça de explicitar as unidades em que as diversas grandezas calculadas se exprimem. Formulário: /2 2 2 2 2arctan( / ) 1 2 1 ; ; sen(2 ) 2 sen( )cos( ) ; sen ( ) cos ( )j j b a j e a jb a b e x x x t t j π ω ω− = − = + = + = < > = < > = Cotações Parte A – 5,6 valores Oito questões, igualmente cotadas com 0,7 valores. Cada resposta errada desconta 0,2 valores. Parte B – 5,4 valores 1) 1,0 val. 2a) 1,0 val. 2b) 1,5 val. 2c) 1,0 val. 2d) 0,9 val. Parte C – 4,5 valores 1a) 0,8 val. 1b) 0,7 val. 2) 1,0 val. 3a) 1,0 val. 3b) 0,5 val. 3c) 0,5 val. Parte D – 4,5 valores 1a) 0,5 val. 1b) 0,4 val. 1c) 0,6 val. 2a) 0,3 val. 2b) 0,5 val. 2c) 0,7 val. 3) 1,5 val.
  • 2. u1 u2∼∼∼∼ ? R Fig. 1 R Fig. 2 2.º Teste de ACIR – Parte A Aluno Nº: ___________ Nome: _______________________________________________________ Sala:_______ Assinale com uma cruz a resposta correta a cada uma das seguintes questões. Se não tem a certeza é melhor não arriscar… 1) Dadas as correntes sinusoidais 1 21 2( ) cos(2 / 2) e ( ) cos( / 2)i t I t i t I tω π ω π= + = − , verifica-se que: i1 e i2 estão em quadratura. i1 e i2 estão em oposição de fase. X 1 1I jI= e 2 2I jI= − . Nenhuma das respostas anteriores. 2) Considere 3 tensões sinusoidais da mesma frequência, tais que u3(t) = u1(t) + u2(t). Sabendo que u1 e u2 estão em quadratura e que os seus valores máximos são iguais U1 = U2 = 1 V, deve verificar-se: X U3ef = 1 V. U3ef = 2 V. U3ef = 2 V. Nenhuma das respostas anteriores. 3) Considere um condensador em série com uma bobina constituindo uma impedância SZ . Considere os mesmos componentes em paralelo constituindo uma impedância PZ . Se os circuitos estiverem em ressonância deve observar-se: SZ = ∞ e PZ = 0. SZ = PZ− . X PZ = ∞ e SZ = 0. Nenhuma das respostas anteriores. 4) Considere um filtro passivo de 1ª ordem do tipo passa-alto (Fig. 1) cuja frequência de corte é fc. Verifica-se que: O componente ‘?’ é uma bobina. X fc aumenta se R diminuir. U2ef = U1ef quando f = fc. Nenhuma das respostas anteriores. 5) Para o diporto da Fig. 2 tem-se: T = 1 1/ 1 R R       . Z = R R R R    −  . Y = 1/ 1/ 1/ 1/ R R R R       . X Nenhuma das respostas anteriores. 6) Um díodo é caracterizado por uma tensão de limiar de 0,7 V e por uma resistência incremental de 5 Ω. Sabendo que esse díodo está em condução, com uma corrente de 100 mA, a potência correspondente à energia dissipada no díodo será: X 120 mW. 50 mW. 70 mW. Nenhuma das respostas anteriores. 7) Considere a montagem retificadora de meia onda com carga resistiva. A tensão aplicada é ( ) 5 sen(2 / ) V.u t t Tπ= O díodo tem uma tensão de limiar de 0,5 V. Desprezando a resistência incremental do díodo, verifica-se que a tensão na carga: É periódica com período T/2. Tem um valor médio de (5/π) V. X Tem um valor máximo de 4,5 V. Nenhuma das respostas anteriores. 8) Na montagem da Fig. 3, onde o AmpOp é ideal e está a funcionar na região linear, deve observar-se: i0/i = 1. X i0/i = 2. i0/i = −2. Nenhuma das respostas anteriores. −−−− ++++ A u0 R u R + − R R R i i0 Fig. 3
  • 3. 2.º Teste de ACIR - Parte B Aluno Nº: __________ Nome: ________________________________________________________ Sala:_______ Resolva o problema seguinte, justificando as respostas. A resolução é feita nesta folha de prova (frente e verso). Considere o circuito da figura a funcionar em regime permanente sinusoidal imposto pela tensão do gerador, tensão essa que é comum ao ramo RL e ao ramo RC. O voltímetro (V) é ideal e mede valores eficazes. 1) Usando as correntes e tensões assinaladas na figura escreva as equações analíticas que governam o circuito, quer no domínio do tempo, quer no domínio da frequência (amplitudes complexas). 2) Considere os seguintes dados: ( ) 2 cos( /4)efu t U tω π= + , ω = 100 krad/s, Uef = 10 V, R = 100 Ω, L = 1 mH, C = 0,1 µF. 2.a) Calcule a impedância do ramo RL e a impedância do ramo RC verificando que têm o mesmo módulo. De seguida, mostre que a admitância do conjunto é igual a 0,01Y = S. 2.b) Calcule as amplitudes complexas , , , eL C CU I I I U e marque-as num diagrama vetorial. 2.c) Estará o circuito em ressonância? Calcule os valores médios das energias elétrica e magnética. 2.d) Determine o valor da leitura do voltímetro colocado entre os pontos a e b. Resolução: ( ) 1 1) . . . L L L C C C RL RC L C L C Z Z j C C di u Ri L U R j L I u Ri i dt U R I dt i i i I I I ω ω   = + → = + = + → = −    = + → = + ∫ 2.a) 1 1 100 100 , 100 100 , 100 2 , 0,01SRL RC RL RC L C RL RC U U I Z j Z j Z Z Y I I U Z Z = = + Ω = = − Ω = = Ω = = + = . 2.b) /4 /4 10 2 V; 100mA; 100mA; 100 2 mA; 10 V.C L C L C C RL RC j j IU U U e I I j I Y U I I e U Z Z j C π π ω + + = = = = = = = + = = = Im Re 45º U C U I L I C I 2.c) O circuito está em ressonância porque é nula a desfasagem entre a tensão e a corrente do gerador, , 0U I =∢ (notar que a admitância Y tem parte imaginária nula). Este facto pode ser comprovado verificando a igualdade dos valores médios das energias elétrica e magnética: ( ) ( )2 21 1 2,5 µJ ; 2,5 µJ. 2 2 E Cef M Lefav av W CU W LI= = = = 3) O voltímetro mede o valor eficaz da tensão ab C Lu u Ri= − . Esta tensão é nula, pois (10 10)V 0.C LU RI− = − = ~ i L C u R iL iC V R uC a b
  • 4. 2.º Teste de ACIR – Parte C Aluno Nº: __________ Nome: _______________________________________________________ Sala:_______ Resolva o problema seguinte, justificando as respostas. A resolução é feita nesta folha de prova (frente e verso). Os diportos A, B e C são simétricos e são descritos pela mesma matriz de impedância: 20 10 [ ] . 10 20 m m z z Z z z     = = Ω       1.a) Sabendo que o diporto C é resistivo e tem o formato dum ‘T’, calcule as três resistências que o constituem. 1.b) Demonstre que a matriz de transmissão de cada diporto pode ser obtida, a partir de [Z], por: [ ] 2 2 1 ( ) 1 m m a b z z z T c d z z    − = =        . 2) Calcule a matriz conveniente para descrever a associação dos diportos A-B. 3.a) Mostre que a matriz de transmissão global da associação ABC é: 10,0 180 [ ] 0,3 S 5,5 ABCT Ω  =     . 3.b) O diporto equivalente à associação ABC é recíproco? É simétrico? Porquê? 3.c) Sabendo que 1 210 V e 0U I= = calcule 1 2eI U . Resolução: 1.a) Visto que o diporto C é simétrico: R R 0R ter-se-á 0 0 0e donde se conclui que 10mz R R z R R R= + = = = Ω . 1.b) Ver Livro de ACIR (pg. 147). 2) Associação série-série (é conveniente usar-se a matriz de impedância): 40 20 20 40 [ ] [ ] [ ] .ABZ Z Z   = + = Ω    3.a) O conjunto AB está associado em cadeia com o diporto C, logo: [ ] [ ] [ ]ABC AB CT T T= . De acordo com a alínea 1.b) do enunciado tem-se: 2 60 2 30 0,05 S 2 0,1 S 2 [ ] , [ ] .AB CT T Ω Ω    = =        Donde resulta, 10 180 0,3 S 5,5 [ ] [ ] [ ]AB C ABCT T T Ω  = =     . 3.b) O diporto resultante é recíproco porque [ ]det 1.ABCT = Não é simétrico porque (1,1) (2,2).ABC ABCT T≠ 3.c) [ ]1 2 22 11 2 1 10 180 0,3 S 5,5 10 V 1V 300 mA0 ABC U U UU T II I I Ω      =    = ↔ = →         − =         A B 1I 2I 1U 2UC
  • 5. 2.º Teste de ACIR - Parte D Aluno Nº: __________ Nome: ______________________________________________________ Sala:_______ Resolva o problema seguinte, justificando as respostas. A resolução é feita nesta folha de prova (frente e verso). Considere o circuito da figura onde o AmpOp é ideal e está a funcionar na região linear. Os quatro díodos são iguais entre si. Dados: R = 1 kΩ, C = 1 µF, R0 = 100 Ω. A tensão de entrada, que varia entre 0 e 2V, é dada por: ( ) (1 cos )u t U tω= + com U = 1V e ω = 10 krad/s. 1.a) Estabeleça a relação analítica entre u1(t) e u(t). 1.b) Calcule i(t) e u1(t). 1.c) Calcule os valores médios da tensão e da potência do gerador ligado à entrada. 2) Suponha que os díodos são ideais. Suponha que 1 1( ) sen( )u t U tω= com U1 = 10V. 2.a) Identifique os díodos que estão a conduzir quando u1(t) > 0. 2.b) Determine a tensão de saída u0(t). Represente-a graficamente. 2.c) Calcule os valores médios da tensão e da potência na resistência R0. Compare esta potência média com a calculada em 1c) e justifique a diferença. 3) Suponha que os díodos são reais, com tensão de limiar UT = 0,5V e com resistência incremental RD = 5 Ω. Diga como é que estas não-idealidades afetam o resultado obtido em 2b). Ilustre a explicação redesenhando u0(t) no intervalo 0 < ωt < π; para o efeito calcule o intervalo de condução dos díodos e também o valor máximo de u0(t). Resolução: 1.a) 1 1 ( ) ; ( ) . du du t i C u Ri u t RC dt dt = = − → = − 1.b) ( ) sen( ), com 10 mA.i t I t I CUω ω= − = = 1 1 1( ) sen( ), com 10 V.u t U t U RIω= = = 1.c) ( ) ( ) ( )1 2 1V. sen( ) sen(2 ) 0av av av u U P ui UI t tω ω= = = = − + = . 2.a) D1 e D4 conduzem. 2.b) 0 1( ) ( ) 10 sen( ) V.u t u t tω= = + ωt u1, u0 u1(t) u0(t) 2π0 2.c) ( ) 0 max 0 2( ) 6,37av u u π = = V. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 20 max 0 max 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( )1 sen ( ) 500 mW. 2av av av u u P u i u t R R R ω= = = = = P0 > P. A potência P0 não é fornecida pelo gerador à entrada, mas pelas fontes de alimentação do AmpOp. 3) Na alternância positiva de u1 os díodos D1 e D4 estão a operar. Os díodos ficam em série e o seu conjunto é substituível por um díodo equivalente com uma tensão de limiar 2 1 VT TU U′ = = e com uma resistência 2 10 .D DR R′ = = Ω Só há condução quando 1( ) Tu t U′≥ , isto é quando arcsen(1/10)tω ≥ ou seja, quando 0,1 < ωt < (π−0,1). Além de o intervalo de condução ser menor (6,4% menor), também o valor de u0 = R0i0 diminui, pois, 0 1 0( ) / ( )T Di u U R R′ ′= − + . O valor máximo de u0 baixa de 10 V para 9 V, só por causa de TU′ , e baixa ainda mais, para 8,18 V, por causa de DR′ . Repete-se o mesmo raciocínio para a alternância negativa de u1 quando os díodos D2 e D3 estão a operar. u0 0 0,1 π/2 π−0,1 π ωt ( )0 1 0 8,18 VT D R U U R R ′− = ′+ u i D1 D2 D3 D4 C u1 u0 R0 A + −−−−+ −−−− R i0