Mestrado em Eng. Electrotécnica e de Computadores (MEEC)

Resolução

Electromagnetismo e Óptica
1o semestre de 2013-14

2 ...
[0.5]

b) o coeficiente de auto-indução do solenóide.
Φ = LI =

[0.5]

B · dS = µ N IπR2 N
L

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L = µ N πR2 [H]
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c) a...
No interior do solenóide tem-se um campo uniforme
H = N I ez .
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No entanto o campo B será mais intenso na região do solen...
B = B (ek × E ) = 1 (ek × E I + ek × E I ⊥ )
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as direcções dos produtos externos, em função das direcções paralela e pe...
Formulário de Electromagnetismo e Óptica, MEEC (2008-2013)
Magnetostática

Electrostática

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Formulário de Matemática para Electromagnetismo e Óptica, MEEC (2008-2013)
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2013 14 - 2º teste -____ 1º semestre

  1. 1. Mestrado em Eng. Electrotécnica e de Computadores (MEEC) Resolução Electromagnetismo e Óptica 1o semestre de 2013-14 2 Teste ◦ Prof. Fernando Barão (Responsável) Prof. Filipe Mendes Prof. Ana Maria Martins 14 de Dezembro, 2014 (10h00) Duração do teste: 1h30 Avisos: • Durante a realização do teste/exame não é permitido o uso de telemóveis e calculadoras. • Identifique claramente todas as folhas do teste/exame. • Inicie a resolução de cada um dos grupo numa nova página. • Realize sempre em primeiro lugar os cálculos analíticos e só no final substitua pelos valores numéricos. Problema 1 Um solenóide de N espiras, raio R e comprimento L, possui um núcleo de ferrite (material isolante) de permeabilidade magnética µ, com µ >> µ0 , e está ligado a uma fonte de corrente eléctrica. A fonte fornece uma corrente eléctrica alternada I = I0 sin(ωt ). Note que o núcleo de ferrite da bobine torna desprezável perdas e efeitos no campo magnético do solenóide devido a eventuais correntes eléctricas induzidas. Assim, assumindo a aproximação da bobine infinita nos cálculos (R << L), determine: L ez C R rc µ A B ar I [1.0] a) o campo magnético B existente nos pontos A (no interior da ferrite) e B (no ar, junto à ferrite). Justifique os cálculos detalhadamente. Usando a lei de Ampère generalizada, H · dℓ = Iliv e tendo em conta que o campo H é uniforme na aproximação do solenóide muito comprido no interior deste, tem-se: H L = N I ⇒ H = N I ez L No interior do núcleo ferromagnético o campo B vem: B A = µ N I ez = µ N I0 sin(ωt )ez L L No exterior do núcleo, junto à superfície deste, admitindo a perpendicularidade das linhas de campo à superfície e usando a lei de conservação do fluxo, B · dS = 0, tem-se: BB = B A
  2. 2. [0.5] b) o coeficiente de auto-indução do solenóide. Φ = LI = [0.5] B · dS = µ N IπR2 N L 2 L = µ N πR2 [H] L ⇒ c) a corrente de magnetização superficial. A densidade de corrente de magnetização superficial é dada por: JM = M × n Tendo em conta que o vector magnetização é dado por: µ B = µ H = µ0 ( H + M ) ⇒ M = µ 0 − 1 H e que a normal ao material é o vector radial n = er , vem: µ µ J M = µ 0 − 1 N I e z × er = µ 0 − 1 N I e θ L L Portanto, a corrente de magnetização existente no cilindro de ferrite obtém-se ao longo do comprimento do cilindro, obtêndo-se: IM = [1.0] µ µ0 − 1 NI d) o campo eléctrico no ponto C distanciado rC do eixo do solenóide. Pela lei de indução, C E · dℓ = − dΦ e dada a geometria cilíndrica do problema e escolhendo dt um caminho fechado C concêntrico com o eixo do cilindro, é de esperar que o campo eléctrico seja constante, | E | = constante. Donde, o campo E é tangencial ao caminho escolhido e possui uma amplitude dada por: 2 E · dℓ = E2πrc = −πrc dB ⇒ E = −µ r2c N I0 ω cos(ωt ) dt L C [0.5] e) o trabalho que se teria que realizar para deslocar uma espira condutora de raio a > R e resistência eléctrica re colocada em volta do solenóide e centrada no eixo deste, ao longo da direccão z. Justifique a resposta. ez I Pela lei de indução, C E · dℓ = − dΦ , a espira possui um campo eléctrico induzido e portanto dt uma corrente eléctrica a percorrê-la. No entanto, como o campo magnético produzido pelo solenóide no seu exterior é desprezável, não existirá força magnética (força de Laplace) sobre a espira de corrente. [1.0] f) Admita agora que o núcleo de ferrite é deslocado para fora do solenóide ficando somente este preenchido até L/2. Tendo em conta que na aproximação do solenóide muito comprido, o campo H é uniforme no seu interior, determine a variação da energia armazenada no solenóide. L L/2 y x z I
  3. 3. No interior do solenóide tem-se um campo uniforme H = N I ez . L No entanto o campo B será mais intenso na região do solenóide que possui material ferromagnético, B = µ N I ez , que L na região do solenóide onde existe ar, B = µ0 N I ez . Significa L isto que existirão linhas de campo B que saiem do solenóide através da parede cilíndrica e do núcleo ferromagnético também, na região exterior ao solenóide. A energia inicial e final do sistema com o núcleo seria: 2 1 Ui = 2 µH 2 πR2 L = 1 µ N πR2 I 2 2 L 2 1 1 U f = 2 µH 2 πR2 L/2 + 1 µ0 H 2 πR2 L/2 = 4 (µ + µ0 ) N πR2 I 2 2 L Portanto vem para a variação de energia: 2 ∆Usol = U f − Ui = − 1 (µ − µ0 ) N πR2 I 2 4 L Problema 2 Um laser de He-Ne emite radiação electromagnética polarizada e monocromática com uma potência de 1, 5 mW. Esta radiação viaja no ar (electricamente, idêntico ao vazio) sob a forma de onda electromagnética plana e incide com um √ ângulo de incidência θi na superfície plana de um vidro que possui um índice de refracção nv = 3. O campo eléctrico da onda pode ser descrito através das componentes paralela e perpendicular ao plano de incidência (plano da folha de papel): = 2E0 sen(ωt − k · r ) e EI Ei = E0 sen(ωt − k · r ) e⊥ E I⊥ θi π 7 k = 10 rad.m−1 3 √ 3 1 k·r = k x+ y 2 2 [1.0] Ei ar vidro a) Diga, justificando, qual a direcção de propagação e qual o tipo de polarização da onda. A direcção de propagação da onda, tal como mostrado na figura é perpendicular a e⊥ e a e . A √ sua direcção é a do vector k, ou seja, em coordenadas cartesianas, ek = ( 1 , 23 , 0) 2 O campo tem duas componentes que estão em fase pelo que oscila numa direcção constante no espaço: polarização linear. [0.5] b) Calcule a frequência da onda. c= [0.5] ω k ck 2π = 5 × 1014 Hz c) Calcule a permitividade elétrica relativa do vidro, εr = nv = [1.0] ⇔ f= c v = ǫ µ0 ǫ0 µ0 ǫ ǫ0 = ⇔ ǫr = nv 2 = 3 d) Determine a intensidade da onda e estime a secção do feixe de luz laser em função de E0 . E2 cµ0 24π 10−9 E2 0 I =< |S · ek | >=< S >=< P=I A⇒A= [1.0] ε ε0 . P I = >= ε0 µ0 < E2 + E2⊥ >= I I ε0 5 2 µ0 2 E0 = 5 2 8π E0 × 108 W.m−2 e) Determine a expressão das duas componentes do campo magnético da onda incidente, ( B I ) e ( B I )⊥ .
  4. 4. B = B (ek × E ) = 1 (ek × E I + ek × E I ⊥ ) E c as direcções dos produtos externos, em função das direcções paralela e perpendicular ao plano de incidência podem ser facilmente encontrados com o auxílio da figura do enunciado. B I = − E0 sen(ωt − k˙r ) e c B I ⊥ = − 2E0 sen(ωt − k˙r ) e⊥ c [0.5] f) Determine o ângulo de incidência da onda sobre a superfície do vidro para que a onda reflectida tenha apenas uma das duas componentes anteriormente indicadas ( ou ⊥ ao plano de incidência) e identifique qual desapareceu. O ângulo de incidência para o qual uma das componentes da onda reflectida desaparece é o ângulo de Brewster: √ n tg (θB ) = n avr = 3 ⇔ θB = 60◦ Observando as expressões dos coeficientes de Fresnel para a reflexão verificamos que é a componente paralela que pode desaparecer. [1.0] g) Calcule a fracção da energia da onda incidente que é reflectida no vidro (R) e que é transmitida para o interior do vidro (T) quando a onda incide na superfície do vidro com um ângulo de 60◦ . Uma vez que o ângulo de incidência corresponde ao a ângulo de Brewster, a onda reflectida não possuirá componente do campo eléctrico paralela ao plano de incidência. R= IR II = cos θR cε0 < E2 + E2 ⊥ > R R cos θ I cε0 < E2 + E2⊥ > I I = E0R ⊥ E0I ⊥ 2 2 E0R +1 E0R ⊥ 2 E0I +1 E0I ⊥ = E0R E0I 2 1 ⊥ 5 Tendo em conta que o ângulo de incidência é 60◦ e o facto de θB + θt = 90◦ , tem-se no nosso caso um ângulo de transmissão de θT = 30◦ . O coeficiente de Fresnel obtem-se: √ E0R 1 = cos θI −√3 cos θT = − 2 E0I ⊥ cos θ I + 3 cos θT Obtemos assim que: 1 R = 1 5 = 0, 05 = 5% 4 T = 1 − R = 95% ang 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ cos 1 √ 2 √ 1 2 2 3 2 sen 0 1 2 √ 2 √ 2 2 3 ER EI ET EI n2 cosθi − n1 cosθt n2 cosθi + n1 cosθt 2n1 cosθi = n2 cosθi + n1 cosθt = ER EI ET EI n1 cosθi − n2 cosθt n1 cosθi + n2 cosθt 2n1 cosθi = n1 cosθi + n2 cosθt = ⊥ ⊥
  5. 5. Formulário de Electromagnetismo e Óptica, MEEC (2008-2013) Magnetostática Electrostática • E= • • 1 q ur 4πε0 r 2 1 = 9 × 109 N.m2 .C −2 4πε0 Γ S D · n dS = S V • V • E · dℓ • Fs = ± i Campos variáveis e indução • u E dv J = σc E • I= • p= J·E • S • d dt S B · n dS ∂B ∂t Φi = L i Ii + Mij I j UM = d dt V dρ ∇· J = − dt ρdv • Fs = ± • Γ 1 2 ∑ Φ i Ii i 1 B2 = 2 µ • uM J · n dS J · n dS = − E · dℓ = − • UM = J = Nq v • Γ ∇×E = − Corrente eléctrica estacionária S Interacção de partículas e campos dUE us ds • J M · n dS S • F = q E+v×B ∑ qi φi 1 u E = εE2 2 V M · dℓ = ′ • Q = CV UE = Γ J M = M × n ext D = ε0 ( 1 + χ E ) E = ε E • J · n dS S JM = ∇ × M • D = P + ε0 E 1 2 H · dℓ = B = µ 0 (1 + χ m ) H = µ H E = −∇φ • UE = Γ • B = µ0 ( M + H ) σ pol = P · n ext P B · n dS = 0 ∇×H = J ρ pol dv ρ pol = − ∇ · P Re f S ∇·B = 0 ρ liv dv P · n dS = − • φP = µ0 Id ℓ × u r 4π r2 µ0 = 10−7 H/m 4π • ∇ · D = ρliv • Γ • d F = Idℓ × B E · dℓ = 0 ∇×E = 0 • • B= V u M dv dU M us ds H · dℓ = S ∇×H = J+ J · n dS + d dt S D · n dS ∂D ∂t Ondas electromagnéticas Óptica • S = E×H • n1 senθ1 = n2 senθ2 n2 • tgθB = n1 interferência entre fendas • n= • • κ E B = × κ E B E =v B 1 v= √ εµ • u = uE + u M • I = S·n F.Barao, L.F.Mendes • dsenθmax = mλ • dsenθmin = mλ + λ ′ m ′ (m ≤ N e par) difracção • asenθmin = mλ Dep. de Física, IST
  6. 6. Formulário de Matemática para Electromagnetismo e Óptica, MEEC (2008-2013) Algumas Primitivas 1 dx x = √ b x2 + b x2 + b )3/2 ( xdx = x2 + b √ x2 + b 1 x dx = ln( ) x( x + a) a x+a 1 xdx = −√ x2 + b x2 + b )3/2 ( dx = ln x + x2 + b √ x2 + b Para o cálculo analítico de integrais pode ser consultado o endereço web: http://integrals.wolfram.com Coordenadas cartesianas (x, y, z) d ℓ = dx u x + dy u y + dz u z dS = dx dy Coordenadas polares (r, θ) dV = dx dy dz ∂F ∂F ∂F , , ∂x ∂y ∂z ∇F = ∇·A = d ℓ = dr u r + r dθ u θ dS = r dr dθ ∂A y ∂A x ∂A z + + ∂x ∂y ∂z ∇×A = ∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z × ( A x , Ay , Az ) Coordenadas cilíndricas (r, θ, z) d ℓ = dr u r + r dθ u θ + dz u z dV = r dr dθ dz ∇F = ∂F 1 ∂F ∂F , , ∂r r ∂θ ∂z 1 ∂A θ ∂A z 1 ∂ (r A r ) + + r ∂r r ∂θ ∂z ∂A θ ∂A r ∂A z 1 ∂A z − − ur + ∇×A = r ∂θ ∂z ∂z ∂r ∇·A = uθ + 1 ∂ (r A θ ) 1 ∂A r − r ∂r r ∂θ uz Coordenadas esféricas (r, θ, φ) d ℓ = dr u r + r dθ u θ + r senθ dφ u φ dV = r 2 dr senθ dθ dφ ∇F = ∂F 1 ∂F 1 ∂F , , ∂r r ∂θ rsenθ ∂φ ∇·A = 1 1 ∂ ∂ 1 ∂ 2 r Ar + Aφ (senθAθ ) + r 2 ∂r rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ ∇×A = 1 ∂ ( senθA φ ) ∂ ( senθA θ ) 1 − ur + rsenθ ∂θ ∂φ r ∂ (rA φ ) 1 ∂A r 1 − uθ + senθ ∂φ ∂r r ∂ (rA θ ) ∂A r − uφ ∂r ∂θ Teorema da Divergência V ∇ · A dV = S A · n dS Teorema da Stokes S ∇ × A · dS = Γ A · dℓ Identidades vectoriais ∇ · ( A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) ∇ · (∇ × A) = 0 ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A F.Barao, L.F.Mendes Dep. de Física, IST

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