2010 11 - 2º teste -____ 1º semestre

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2010 11 - 2º teste -____ 1º semestre

  1. 1. Mestrado em Eng. Electrotécnica e de Computadores (MEEC) Electromagnetismo e Óptica 1o semestre de 2010-2011 11 de Dezembro de 2010 (10h00) Prof. Filipe Mendes Prof. Luís Lemos Alves Hugo Serôdio 2◦ Teste • Na realização do Teste não são permitidas máquinas de calcular e telemóveis. • Identifique claramente todas as folhas do Teste. • Resolva os grupos em páginas separadas Duração do Teste: 1h15 1. Considere um solenóide com N espiras de raio a, comprimento ℓ ≫ a e preenchido por um material de permeabilidade magnética µ. Considerando que o solenóide é percorrido por uma corrente estacionária I: a) [1,5 ] determine o campo magnético no interior do solenóide; R: B = µN I ℓ Com a direcção do eixo do solenóide. b) [1,0 ] Mostre que o coeficiente de auto-indução L do solenóide é dado pela expressão L=µ N2 ℓ πa2 R: φ1espira = 1espira B · ndS φ = N φ1espira L= φ I Considere agora que inicialmente o sistema não está alimentado e que no instante de tempo t = 0 se liga o solenóide a uma fonte de corrente estacionária de valor nominal I0 . Considere ainda que a resistência eléctrica do solenóide é R. c) [1,5 ] Mostre que a corrente que circula no solenóide, i(t), é dada pela expressão R i(t) = I0 1 − e− L t e represente-a graficamente. [Sugestão: comece por escrever a equação diferencial que descreve a evolução da corrente no sistema e a condição inicial do sistema.]
  2. 2. R: iforçado = I0 R itotal = iforçado + ilivre ⇔ ilivre = itotal − iforçado = −I0 e− L t substituindo-se ilivre na equação diferencial que pode ser obtida pela lei das malhas: obtém-se uma proposição verdadeira. di + Ri dt L =0 d) [1,0 ] Obtenha as expressões da energia magnética UM e da potência magnética PM do solenóide ao longo do tempo e calcule os seus limites para t → ∞. Indique qual é a potência dissipada na resistência no limite t → ∞ e explique o funcionamento do circuito ao longo do tempo. R: R 2 2 UM (t) = 1 Li2 (t) = 1 µ N πa2 I0 1 − e− L t 2 2 ℓ PM (t) = dUM dt R 2 2 R 2 = µ N πa2 I0 R 1 − e− L t e− L t ℓ L 2 UM (t → ∞) = 1 LI0 2 PM (t → ∞) = 0 2 PR(t → ∞) = RI0 A fonte irá fornecer a energia magnética que irá ficar armazenada no interior da bobine. Com o decorrer do tempo, a bobina terá uma energia cada vez mais próxima do seu valor final e a corrente no circuito irá aumentar. No limite do tempo a tender para infinito, a bobina terá a sua energia final, que corresponde à corrente máxima que a fonte consegue impor ao circuito, a potência fornecida pela fonte à bobina será nula e toda a potência fornecida pela fonte será dissipada na resistência. e) [1,0 ] Utilize a expressão de UM para calcular a pressão magnética sobre o solenóide. R: P = Fr 2πaℓ Fr = + dUM |I=const. da 2 R 1 2 P = 2 µ N2 I0 1 − e− L t ℓ 2
  3. 3. 2. Considere uma espira rectangular com uma altura fixa a e com um lado móvel que lhe confere um comprimento variável X, como se mostra na figura. A espira é atravessada pelo campo magnético de uma onda electromagnética plana, monocromática, que se propaga no ar com uma frequência angular ω = 3 × 109 rad.s−1 , e é descrito pela expressão: B = B0 sen(ωt + kx) uy O fio condutor da espira tem resistência desprezável face ao valor de uma resistência eléctrica R inserida num dos seus lados fixos e a sua corrente é medida indirectamente através da tensão medida com um voltímetro nessa resistência. a) [1,0 ] Qual o vector de onda, k, desta onda electromagnética (incluindo o valor do seu módulo)? R: k · r = −kx → k = −kux k= ω c = 10 rad.m−1 b)[1,0 ] Determine a expressão do campo eléctrico desta onda electromagnética, E. R: E= E B B × k k = cB0 sen(ωt + kx) uz c)[1,0 ] Determine a expressão da força electromotriz induzida pelo campo magnético na espira em função da posição X do lado móvel. R: Φ= a X 0 0 B · uy dxdz = B0 a k [cos(ωt) − cos(ωt + kX)] ε = − dΦ = B0 ac [sen(ωt) − sen(ωt + kX)] dt d)[1,0 ] Sugira uma experiência para determinar o comprimento de onda desta onda electromagnética com esta montagem experimental. R: X = λ → ε = 0 basta então procurar a primeira posição de X = 0 que torne V = 0 no voltímetro.
  4. 4. Formulário de Electromagnetismo e Óptica, MEEC (2008) Magnetostática Electrostática • E= q 1 ur 4πε0 r2 • ∇ · D = ρliv Z I P · n dS = − ∇·B = 0 Z I J · n dS H · dℓ = ρliv dv V σpol = P · next Z Ref E · dℓ φP = • • P S S Γ B = µ0 (M + H) B = µ0 (1 + χm )H = µH Z I JM · n dS M · dℓ = S Γ JM = ∇ × M E = −∇φ • Γ ∇×H = J ρpol dv V S ρpol = −∇ · P • • µ0 = 10−7 H/m 4π dF = Idℓ × B I B · n dS = 0 • • ∇×E = 0 Z I D · n dS = Γ S µ0 Idℓ × ur 4π r2 B= • • 1 = 9 × 109 N.m2 .C−2 4πε0 I E · dℓ = 0 • Z • ′ JM = M × next D = P + ε0 E D = ε0 (1 + χE )E = εE • • • Interacção de partículas e campos Q = CV » –X 1 UE = qi φi 2 i • uE = UE = 1 εE2 2 Z uE dv Campos variáveis e indução Fs = ± dUE us ds Corrente eléctrica estacionária • J = σc E Z J · n dS I= • • • ∂B ∂t Φi = Li Ii + Mij Ij » –X 1 UM = Φi Ii 2 i • Γ E · dℓ = − • • 1 B2 2 µ Z uM dv = UM V • • dUM Fs = ± us ds Z I Z d J · n dS + H · dℓ = D · n dS dt S S Γ ∇×H = J + Óptica • S = E×H • • n= • • • • E =v B 1 v= √ εµ u = uE + uM E D I = S·n F.Barao, L.F.Mendes B · n dS uM = Ondas electromagnéticas κ E B = × κ E B S ∇×E = − S p= J ·E I Z d J · n dS = − ρdv dt V S dρ ∇·J = − dt Z I J = Nqv • d dt • V • ” “ F = q E+v×B ∂D ∂t • n1 senθ1 = n2 senθ2 n2 tgθB = n1 interferência entre fendas • dsenθmax = mλ • dsenθmin = mλ + λ m′ ′ (m ≤ N e par) difracção • asenθmin = mλ Dep. de Física, IST
  5. 5. Algumas Primitivas Z Z Z dx (x2 3/2 + b) xdx p = x 1 p b x2 + b p = x2 + b x2 + b dx 1 x = ln( ) x(x + a) a x+a Z Z xdx (x2 3/2 p x2 + b 1 x2 +b ” “ p 2 +b = ln x + x + b) dx = −p Para o cálculo analítico de integrais pode ser consultado o endereço web: http://integrals.wolfram.com Coordenadas cartesianas (x, y, z) dℓ = dx ux + dy uy + dz uz dS = dx dy dV = dx dy dz „ « ∂F ∂F ∂F ∇F = , , ∂x ∂y ∂z ∂Ay ∂Az ∂Ax + + ∇·A = ∂x ∂y ∂z „ « ∂ ∂ ∂ ∇×A = , , , × (Ax , Ay , Az ) ∂x ∂y ∂z Coordenadas polares (r, θ) dℓ = dr ur + r dθ uθ dS = r dr dθ Coordenadas cilíndricas (r, θ, z) dℓ = dr ur + r dθ uθ + dz uz dV = r dr dθ dz « „ ∂F 1 ∂F ∂F , , ∇F = ∂r r ∂θ ∂z 1 ∂(r Ar ) 1 ∂Aθ ∂Az ∇·A = + + r ∂r r ∂θ ∂z « „ « „ « „ ∂Ar 1 ∂(r Aθ ) 1 ∂Az ∂Aθ ∂Az 1 ∂Ar − ur + − uθ + − uz ∇×A = r ∂θ ∂z ∂z ∂r r ∂r r ∂θ Coordenadas esféricas (r, θ, φ) dℓ = dr ur + r dθ uθ + r senθ dφ uφ dV = r2 dr senθ dθ dφ « „ 1 ∂F ∂F 1 ∂F , , ∇F = ∂r r ∂θ rsenθ ∂φ ´ ´ 1 ∂ ` 2 1 1 ∂ ∂ ` ∇·A = 2 r Ar + Aφ (senθAθ ) + r ∂r rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ – » – » – » ∂(rAφ ) ∂(senθAφ ) 1 ∂Ar 1 1 ∂(rAθ ) ∂(senθAθ ) ∂Ar 1 ur + uθ + uφ − − − ∇×A = rsenθ ∂θ ∂φ r senθ ∂φ ∂r r ∂r ∂θ Teorema da Divergência Z V ∇ · A dV = I S A · n dS Teorema da Stokes I Z A · dℓ ∇ × A dS = S Γ Identidades vectoriais ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) ∇ · (∇ × A) = 0 ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A

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