Teoria das Eleições

5,274 views

Published on

Published in: Business, Technology
0 Comments
5 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
5,274
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1,523
Actions
Shares
0
Downloads
131
Comments
0
Likes
5
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Teoria das Eleições

  1. 1. 1 Teoria matem´tica das elei¸oes a c˜1.1 Sistemas maiorit´rios aNos sistemas maiorit´rios o candidato mais votado ganha tudo e os outros acandidatos n˜o ganham nada. aOs sistemas maiorit´rios mais utilizados s˜o: a a • o sistema maiorit´rio de uma volta (ou sistema maiorit´rio simples); a a • o sistema maiorit´rio de duas voltas; a • o sistema maiorit´rio de duas ou mais voltas. aNo sistema maiorit´rio de uma volta ganha o candidato mais votado, inde- apendentemente de ter uma maioria absoluta ou uma maioria relativa.No sistema maiorit´rio de duas voltas ganha o candidato que obtiver maioria aabsoluta na primeira volta, caso contr´rio ser˜o admitidos a segunda volta a a `os dois candidatos mais votados e ganhar´ o que obtiver mais votos. aObserva¸˜o 1 Diz-se que um candidato obteve maioria absoluta numa vota¸˜o ca case obteve mais de 50% dos votos validamente expressos. Caso contr´rio, a amaioria ser´ apenas relativa. Votos validamente expressos s˜o todos os votos a anulos e os votos em branco.O sistema maiorit´rio de duas ou mais voltas ´ uma variante do sistema a emaiorit´rio de duas voltas em que s˜o admitidos na segunda vota¸˜o n˜o a a ca aapenas os dois candidatos mais votados, mas todos aqueles que atinjam umadeterminada percentagem de votos, repetindo-se o processo at´ se obter o evencedor com maioria absoluta. O sistema maiorit´rio de duas voltas ´ usado a eem Portugal para a elei¸˜o do Presidente da Rep´ blica. ca uExemplo 1.1 Ap´s o 25 de Abril de 1974, quais foram os presidentes da oRep´blica eleitos em Portugal? uResolu¸˜o: caDepois do 25 de Abril de 1974, foram presidentes da Rep´blica, eleitos por usufr´gio universal: aRamalho Eanes (2 mandatos), M´rio Soares(2 mandatos), Jorge Sampaio(2 amandatos), Cavaco Silva (iniciou o 1o mandato em 2006).Paulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 1
  2. 2. 1.2 Sistemas de elei¸˜o de representa¸˜o proporcional ca caEstes sistemas pretendem assegurar a representa¸˜o das diferentes correntes cade opini˜o de modo que estas correspondam ao seu peso na sociedade, ga- arantido a express˜o de minorias a partir de determinada representatividade, aou seja, s˜o sistemas usados para distribuir ”proporcionalmente”um certo an´ mero de mandatos por diversas listas. uOs mais conhecidos s˜o os m´todos de: a e eHondt, Saint-Lagu¨, Hamilton, Jefferson, Adams, Webster e Hill- Hunting-ton.1.3 M´todo de Hondt e(Usado em Portugal nas elei¸˜es nacionais e regionais, elei¸oes aut´rquicas e co c˜ apara o Parlamento Europeu.)Algoritmo1o passo - considere-se p o n´ mero de pessoas a eleger; u2o passo - Apuram-se os votos obtidos por cada lista;3o passo - Dividem-se os votos de cada lista sucessivamente por 1, 2, 3, . . . , p;4o passo - Ordenam-se os quocientes obtidos por ordem decrescente;5o passo - Escolhem-se as pessoas seleccionando os p maiores quocientes;6o Passo - Em caso de empate para a escolha do(s) ultimo(s), escolhe-se ´o(s) que tiver(em) menor n´ mero de votos. uObserva¸˜o 2 Entre as caracter´sticas do m´todo de Hondt importa assina- ca ı elar o encorajamento a forma¸˜o de coliga¸˜es, uma vez que o agrupamento ` ca code partidos leva a conseguir um n´mero maior de mandatos do que se con- ucorressem sozinhos.Exemplo 1.2 (Elei¸˜o de 10 representantes ( M´todo de Hondt)) Uma ca eassocia¸˜o elege, a cada dois anos, 10 representantes. Neste ano concorre- caram trˆs listas, A, B e C que obtiveram respectivamente 465, 265 e 279 votos. eUsando o m´todo de Hondt, como se distribuem os 10 representantes pelas etrˆs listas? eResolu¸˜o: caConstroi-se uma tabela com os quocientes resultantes da divis˜o do n´mero a ude votos pelos valores 1, 2, . . . , 10.Paulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 2
  3. 3. A B C 1 465,0 265,0 279,0 2 232,5 132,5 139,5 3 155,0 88,3 93,0 4 116,3 66,3 69,8 5 93,0 53,0 55,8 6 77,5 44,2 46,5 7 66,4 37,9 39,9 8 58,1 33,1 34,9 9 51,7 29,4 31,0 10 46,5 26,5 27,9Escolhem-se os 10 maiores quocientes, assinalados a cor diferente na tabelaResposta:Os representantes seriam cinco da lista A, dois da lista B e trˆs da elista C.1.3.1 e M´todo de Saint-Lagu¨ eEste m´todo ´ semelhante ao m´todo de Hondt, diferindo apenas nos diviso- e e eres. Enquanto no m´todo de Hondt se divide por 1, 2, 3, 4, . . . (sucess˜o dos e an´ meros naturais), no m´todo de Saint- Lagu¨ divide-se por 1, 3, 5, 7, . . . ( u e esucess˜o dos n´ meros ´ a u ımpares).Algoritmo1o passo - considere-se p o n´ mero de pessoas a eleger; u2o passo - Apuram-se os votos obtidos por cada lista;3o passo - Dividem-se os votos de cada lista sucessivamente por 1, 3, 5, . . . , 2p−1 (sucess˜o dos n´ meros ´ a u ımpares); o4 passo - Ordenam-se os quocientes obtidos por ordem decrescente;5o passo - Escolhem-se as pessoas seleccionando os p maiores quocientes;6o Passo - Em caso de empate para a escolha do(s) ultimo(s), escolhe-se ´o(s) que tiver(em) menor n´ mero de votos. uObserva¸˜o 3 Ao contr´rio do m´todo de Hondt, o m´todo de Saint-Lagu¨ ca a e e efavorece os partidos mais pequenos, pois ao aumentar o valor do divisor fazcom que os quocientes sejam mais pequenos e, assim, d´ oportunidade a que aalguns dos partidos menos votados consigam eleger um mandato.Exemplo 1.3 (Elei¸˜o de 10 representantes ( M´todo de Saint-Lagu¨)) ca e eUma associa¸˜o elege, a cada dois anos, 10 representantes. Neste ano con- cacorreram trˆs listas, A, B e C que obtiveram respectivamente 465, 265 e 279 ePaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 3
  4. 4. evotos. Usando o m´todo de Saint-Lagu¨, como se distribuem os 10 represen- etantes pelas trˆs listas? eResolu¸˜o: caConstroi-se uma tabela com os quocientes resultantes da divis˜o do n´mero a ude votos pelos valores 1, 3, 5, . . . , 19. A B C 1 465,0 265,0 279,0 3 155,0 88,3 93,0 5 93,0 53,0 55,8 7 66,4 37,9 39,9 9 51,7 29,4 31,0 11 42,3 24,1 25,4 13 35,8 20,4 21,5 15 31,0 17,7 18,6 17 27,4 15,6 16,4 19 24,5 13,9 14,7Observa¸˜o: Os 10 maiores quocientes est˜o assinalados na tabela. ca aResposta: Os representantes eleitos seriam quatro da lista A, trˆs da lista B ee trˆs da lista C. e1.3.2 Divisor standard. Quota standard. M´todo Hamilton eNos m´todos que vamos estudar a seguir surgem os conceitos de divisor estandard ou divisor padr˜o e quota. a N´mero total de eleitores u Divisor standard = N´mero de lugares a distribuir u N´mero de eleitores do c´rculo ou partido A u ıQuota do c´rculo ou partido A = ı Divisor standardA quota pode ser m´xima ( quota arredondada por excesso) ou m´ a ınima (quota arredondada por defeito). Um m´todo de divis˜o proporcional a que e acada c´ ırculo ou partido faz corresponder sempre um n´ mero de lugares igual ua` quota m´xima ou a quota m´ a ` ınima diz-se que est´ de acordo com a regra ada quota. Se pelo contr´rio, a um c´ a ırculo ou partido for dado um n´ mero de ulugares diferente da quota m´xima ou m´ a ınima, diz-se que o m´todo viola a eregra da quota.M´todo de Hamilton eAlgoritmo1o passo: Calcula-se o divisor standard, que ´ igual ao quociente entre o ePaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 4
  5. 5. n´ mero de eleitores e o n´ mero de lugares a distribuir. u u 2o passo: Calcula-se a quota standard de cada c´ ırculo eleitoral, ou seja, o quociente das vota¸˜es obtidas por c´ co ırculo pelo divisor standard. o 3 passo: Atribui-se a cada c´ ırculo um n´ mero de lugares igual ` quota u a m´ınima (correspondente ` parte inteira da quota). a 4o passo: Atribuem-se os lugares que sobram aos c´ ırculos com quota com maior parte decimal. Exemplo 1.4 Uma associa¸ao elege, a cada dois anos, 10 representantes. c˜ Neste ano concorreram trˆs listas, A, B e C que obtiveram respectivamente e 465, 265 e 279 votos. Usando o m´todo de Hamilton, como se distribuem os e 10 representantes pelas trˆs listas? e Resolu¸˜o: ca Calcula-se o total de votos v´lidos e divide-se pelo n´mero de representantes a u 1009 a eleger, obtendo-se assim o divisor standard: 10 = 100, 9(465+265+279 = 1009). Dividem-se as vota¸˜es obtidas ppor cada lista pelo divisor standard para ob- co ter a quota de cada lista. Atribui-se a cada lista um n´mero de mandatos igual a parte inteira do valor u ` obtido anteriormente e ficam conhecidos oito representantes. Atribuem-se s ultimos lugares as listas B e C que tˆm maior parte decimal. ´ ` eLista Votos Quota standard Mandatos(parte inteira) Mandatos (parte decimal) Total A 465 4,609(465:100,9) 4 0 4 B 265 2,626 (265:100,9) 2 1 3 C 279 2,765 (279:100,9) 2 1 3Total 1009 - 8 2 10 Resposta: Os representantes seriam quatro para a lista A, trˆs para a lista B e e trˆs para a lista C. e 1.3.3 M´todo de Jefferson e O m´todo de Jefferson ´ semelhante ao m´todo de Hamilton, divergindo e e e apenas na forma como se distribui ps lugares em falta. M´todo de Jefferson e Algoritmo 1o passo: Calcular o divisor standard. 2o passo:Calcular a quota standard de cada c´ırculo eleitoral e atribuir a cada c´ ırculo a quota m´ ınima ( parte inteira de quota standard) Paulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 5
  6. 6. 3o passo: Se a soma das quotas m´ ınimas for igual ao n´mero de lugares a ueleger, a elei¸˜o est´ conclu´ ca a ıda; caso contr´rio, procura-se, por tentativa e aerro, um divisor modificado, de modo que a soma das partes inteiras dasquotas modificadas seja igual ao n´ mero de lugares a serem distribu´ u ıdos.Como se procura o divisor modificado?O divisor modificado ´ sempre menor que o divisor standard. Com uma efolha de c´lculo ´ facil de calcular o divisor modificado. Por tentativa e erro a etamb´m facilmente se encontra o divisor modificado, podendo ser mais ou emenos moroso este processo.Exemplo 1.5 ma associa¸˜o elege, a cada dois anos, 10 representantes. caNeste ano concorreram trˆs listas, A, B e C que obtiveram respectivamente e465, 265 e 279 votos. Usando o m´todo de Jefferson, como se distribuem os e10 representantes pelas trˆs listas? eResolu¸˜o: caCalcula-se o total de votos v´lidos e divide-se pelo n´mero de representantes a ua eleger, obtendo-se assim o divisor standard: 1009 = 100, 9(465+265+279 = 101009).Dividem-se as vota¸˜es obtidas por cada lista pelo divisor standard. coAtribui-se a cada lista um n´mero de mandatos igual a parte inteira do valor u `obtido. Lista N´mero de votos Quota standard Quota m´ u ınima A 465 4,609 4 B 265 2,626 2 C 279 2,765 2 Total 1009 - 8Como a soma das quotas m´nimas ´ 8 e n˜o 10 como pretendido, passamos ı e aao passo seguinte:Procurar um divisor modificado de modo que a soma das quotas m´nimas ımodificadas seja 10.Tentemos o divisor modificado 90. Lista N´mero de votos Quota standard Quota m´ u ınima A 465 5,167 5 B 265 2,944 2 C 279 3,100 3 Total 1009 - 10Atribui-se a cada lista o n´mero de representantes igual a quota m´ u ` ınima mo-dificada obtida e ficam conhecidos os 10 representantes das trˆs listas. eResposta: Os representantes seriam cinco para a lista A, dois para a lista Be trˆs para a lista C. ePaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 6
  7. 7. 1.3.4 M´todo de Adams eEste m´todo ´ idˆntico ao m´todo de Jefferson, excepto no c´lculo da quota e e e e amodificada. O divisor standard dever´ ser modificado de modo que o n´ mero a ude lugares a atribuir coincida com a soma das quotas m´ximas, ou seja, as aquotas modificadas arredondadas por excesso para o n´ mero inteiro mais upr´ximo. Com uma nova folha de c´lculo, calculamos facilmente o divisor o amodificado. Caso n˜o tenhamos acesso a folha de c´lculo, podemos, por ten- a ` atativa e erro, diminuir a quota para encontrarmos um divisor que satisfa¸a o cnosso problema.Nota: O divisor modificado ´ sempre maior que o divisor standard. eM´todo de Adams eAlgoritmo1o passo: Calcular o divisor standard.2o passo: Calcular a quota standard de cada c´ ırculo eleitoral e atribuir acada c´ırculo a quota m´xima. a3o passo: Se a soma das quotas m´ximas for igual ao n´mero de lugares, a a uelei¸˜o est´ conclu´ ca a ıda; caso contr´rio, procura-se, por tentativa e erro, um adivisor modificado, de modo que as quotas modificadas arredondadas porexcesso ( para o n´ mero inteiro mais pr´ximo) somem o n´ mero exacto de u o ulugares a serem distribu´ıdos.Exemplo 1.6 Uma associa¸ao elege, a cada dois anos, 10 representantes. c˜Neste ano concorreram trˆs listas, A, B e C que obtiveram respectivamente e465, 265 e 279 votos. Usando o m´todo de Adams, como se distribuem os 10 erepresentantes pelas trˆs listas? eResolu¸˜o: caCalcula-se o total de votos v´lidos e divide-se pelo n´mero de representantes a u 1009a eleger, obtendo-se assim o divisor standard: 10 = 100, 9(465+265+279 =1009).Dividem-se as vota¸˜es obtidas por cada lista pelo divisor standard. coAtribui-se a cada lista um n´mero de mandatos igual a quota arredondada u `por excesso para o n´mero inteiro mais pr´ximo. u o Lista N´mero de votos Quota standard Quota m´ u ınima A 465 4,609 5 B 265 2,626 3 C 279 2,765 3 Total 1009 - 11Como a soma das quotas m´ximas ´ 11 e n˜o 10 como pretendido, passamos a e aao passo seguinte:Procurar um divisor modificado de modo que a soma das quotas m´nimas ıPaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 7
  8. 8. modificadas seja 10.Tentemos o divisor modificado 120. Lista N´mero de votos Quota standard Quota m´ u ınima A 465 3,875 4 B 265 2,208 3 C 279 2,325 3 Total 1009 - 10Atribui-se a cada lista o n´mero de representantes igual a quota m´xima u ` amodificada obtida e ficam conhecidos os 10 representantes das trˆs listas. eResposta: Os representantes seriam quatro para a lista A, trˆs para a lista B ee trˆs para a lista C. e1.3.5 M´todo de Webster eO m´todo de Webster ´ idˆntico ao m´todo de Adams,mas as quotas modifi- e e e ecadas s˜o arredondadas pela regra dos arrendondamentos para o inteiro mais apr´ximo. Neste m´todo pode demorar-se mais tempo a encontrar a quota o emodificada, visto que o divisor modificado pode ser maior ou menor que odivisor standard.M´todo de Webster eAlgoritmo1o passo: Calcular o divisor standard.2o passo: Calcular a quota standard de cada c´ ırculo eleitoral e atribuir acada c´ırculo a quota arredondada pela regra dos arredondamentos. o3 passo: Se a soma das quotas atribu´ ıdas for igual ao n´ mero de mandatos, ua elei¸˜o est´ conclu´ ca a ıda; caso contr´rio, procura-se, por tentativa e erro, um adivisor modificado, de modo que as quotas modificadas arredondadas pelaregra dos arredondamentos somem o n´ mero de lugares a serem distribu´ u ıdos.Exemplo 1.7 (Elei¸˜o de 10 representantes (m´todo de Webster)) ca eUma associa¸˜o elege, a cada dois anos, 10 representantes. Neste ano con- cacorreram trˆs listas, A, B e C que obtiveram respectivamente 465, 265 e 279 evotos. Usando o m´todo de Webster, como se distribuem os 10 representan- etes pelas trˆs listas? eResolu¸˜o: caCalcula-se o total de votos v´lidos e divide-se pelo n´mero de representantes a ua eleger, obtendo-se assim o divisor standard: 1009 = 100, 9(465+265+279 = 101009).Dividem-se as vota¸˜es obtidas por cada lista pelo divisor standard. coAtribui-se a cada lista um n´mero de mandatos igual a quota arredondada u `Paulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 8
  9. 9. pela regra dos arredondamentos para o n´mero inteiro mais pr´ximo. u o Lista N´mero de votos Quota standard Quota m´ u ınima A 465 4,609 5 B 265 2,626 3 C 279 2,765 3 Total 1009 - 11Como a soma das quotas arredondadas ´ 11 e n˜o 10 como pretendido, ne- e acessitamos de procurar o divisor modificadoTentemos o divisor modificado 106. Lista N´mero de votos Quota standard Quota m´ u ınima A 465 4,387 4 B 265 2,5 3 C 279 2,632 3 Total 1009 - 10Atribui-se a cada lista o n´mero de representantes igual a quota arredondada u `modificada obtida e ficam conhecidos os 10 representantes das trˆs listas. eResposta: Os representantes seriam quatro para a lista A, trˆs para a lista B ee trˆs para a lista C. e1.3.6 M´todo de Hill- Huntington e` eE idˆntico ao m´todo de Webster, embora as quotas modificadas sejam ar- eredondadas de modo diferente. Neste m´todo a quota ´ arredondada se- e egundo a regra de Hill- Huntington, ou seja, se a quota ´ um n´ mero in- e uteiro, atribui-se ao interveniente essa quota. Caso contr´rio, determina-se aH = L × (L + 1), sendo L a parte inteira da quota standard.Por exemplo: • Quota standard= 12, 0196; L = 12 e L + 1 = 13 √ H = 12 × 13 = 12, 489... • Quota standard= 3, 7963; L = 3 e L + 1 = 4 √ H = 3 × 4 = 3, 464...M´todo de Hill- Huntington eAlgoritmo1o passo:Calcula-se o divisor standard.2o passo: Calcula-se quota standard a distribuir e cada interveniente.3o passo: Aplica-se a regra de Hill- Huntington:a) Se a quota ´ um n´ mero inteiro, atribui-se ao interveniente essa quota. e uPaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 9
  10. 10. b) Se a quota ´ um n´ mero n˜o inteiro, calcula-se H = L × (L + 1), sendo e u a L o maior inteiro contido na quota, ou seja, a quota m´ ınima.c) Se H ´ menor que a quota, atribuir-se a quota m´xima; se H ´ maior que e a e a quota, atribui-se a quota m´ ınima.c) Se o divisor standard n˜o permitir atribuir o n´ mero de mandatos pre- a u vistos pelo processo, determina-se, por tentativa e erro, um divisor modificado at´ que seja poss´ atribuir o n´ mero exacto de manda- e ıvel u tos.Exemplo 1.8 (Elei¸˜o de 10 representantes (m´todo de Hill- Huntington)) ca eUma associa¸˜o elege, a cada dois anos, 10 representantes. Neste ano con- cacorreram trˆs listas, A, B e C que obtiveram respectivamente 465, 265 e 279 evotos. Usando o m´todo de Hill- Huntington, como se distribuem os 10 re- epresentantes pelas trˆs listas? eResolu¸ao: c˜Calcula-se o total de votos v´lidos e divide-se pelo n´mero de representantes a ua eleger, obtendo-se assim o divisor standard: 1009 = 100, 9(465+265+279 = 101009).Dividem-se as vota¸˜es obtidas por cada lista pelo divisor standard. coAtribui-se a cada lista um n´mero de mandatos igual a quota arredondada u `pela regra de Hill- Huntington. Lista N´mero de votos Quota standard H = L × (L + 1) Quota arredondada u A 465 4,609 4,472 5 B 265 2,626 2,449 3 C 279 2,765 2,449 3 Total 1009 - - 11Como a soma das quotas arredondadas ´ 11 e n˜o 10 como pretendido, ne- e acessitamos de procurar o divisor modificado.Tentemos o divisor modificado 106. Lista N´mero de votos Quota standard H = L × (L + 1) Quota arredondada u A 465 4,609 4,472 5 B 265 2,626 2,449 3 C 279 2,765 2,449 3 Total 1009 - - 11Atribui-se a cada lista o n´mero de representantes igual a quota arredondada u `modificada obtida e ficam conhecidos os 10 representantes das trˆs listas. eResposta: Os representantessriam quatro para a lista A, trˆs para a lista B ee trˆs para a lista C. ePaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 10
  11. 11. 1.3.7 Paradoxos do m´todo de Hamilton eO m´todo de Hamilton era usado na Cˆmara dos Representantes nos EUA, e aem 1882, quando apareceu uma situa¸˜o curiosa. Para modificar o n´ mero ca ude mandatos da Cˆmara tendo em vista futuras elei¸˜es, fez-se um estudo, a cosimulando diferentes valores para o n´ mero de membros desde 270 a 350 umembros. Nesse estudo, observou-se que o estado de Alabama tinha direito a8 representantes se o n´ mero de membros da Cˆmara fosse 299, mas diminu´ u a ıapara 7 representantes se o n´ mero de membros da Cˆmara fosse 300. O u aCongresso decidiu, ent˜o, que a Cˆmara devia ter 325 membros, j´ que com a a aeste valor parecia n˜o haver problemas. Esta situa¸˜o denomina-se Paradoxo a cade Alabama e ´ comum dizer-se que o m´todo de Hamilton n˜o ´ mon´tono, e e a e ouma vez que se se aumentar o n´ mero de mandatos a repartir, mantendo o umesmo n´ mero de elementos na popula¸˜o, supreendentemente, pode haver u caestados que vejam diminu´ o seu n´ mero de representantes. ıdo uParadoxo de AlabamaUm incremento no n´ mero total de lugares a serem distribu´ u ıdos obriga a queum estado perca um lugar.Explica¸˜o deste paradoxo: ca • aumentando o n´ mero de lugares a ser partilhado, a quota da cada u Estado sobe; • pode mudar a parte decimal de cada uma; • os lugares extra a serem ganhos ir˜o ser distribu´ a ıdos consoante as novas casas decimaisExemplo 1.9 (Paradoxo de Alabama) Consideremos um conselho comtrˆs freguesias: A, B e C. A popula¸˜o ´ de 2000 habitantes e h´ 20 lugares e ca e a 2000para distribuir. Divisor standard= 20 = 100. Freguesias Popula¸˜o Quota Standard Quota m´ ca ınima Mandatos A 240 2,4 2 2+1=3 B 930 9,3 9 9 C 830 8,3 8 8 Total 2000 19 20Nas elei¸˜es seguintes foram atribu´dos 21 mandatos. Divisor standard= co ı2000 20 = 95, 24(2c.d.) Freguesias Popula¸˜o Quota Quota m´ ca ınima Mandatos A 240 2,520 2 2 B 930 9,765 9 9 + 1 = 10 C 830 8,715 8 8+1=9 Total 2000 19 21Paulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 11
  12. 12. Verifica-se que com o aumento de mandatos diminui o n´mero de mandatos u da freguesia A. Embora fosse o Paradoxo de Alabama a descredibilizar o m´todo de Hamil- e ton, mais tarde outros paradoxos viriam a ser descobertos: O paradoxo da Popula¸˜o e o Paradoxo do Novo Estado. ca Paradoxo da Popula¸˜o ca Um aumento da popula¸˜o num Estado obriga-o a perder um lugar. ca Este paradoxo foi descoberto em 1900, quando se mostrou que um Estado podia perder um lugar na Cˆmara dos Representantes devido a um aumento a da sua popula¸˜o. ca Exemplo 1.10 Considere a seguinte situa¸˜o: ca H´ 2000 habitantes e 20 lugares para atribuir a 4 freguesias: A, B, C e D. a Divisor standard= 2000 = 100 20Freguesias Popula¸˜o Quota ca Quota m´ınima Parte decimal Lugares extra Divis˜o final a A 110 1,1 1 0,1 1 B 340 3,4 3 0,4 3 C 300 3,0 3 0,0 3 D 1250 12,5 12 0,5 1 13 Total 2000 19 1 20 Alguns anos mais tarde a popula¸˜o aumentou de 2000 para 2008 habitantes. ca 2008 Divisor standard= 20 = 100, 4Freguesias Popula¸˜o Quota Quota m´ ca ınima Parte decimal Lugares extra Divis˜o final a A 110 1,096 1 0,096 0 1 B 348 3,466 3 0,466 1 4 C 299 2,978 2 0,978 1 3 D 1251 12,460 12 0,460 0 12 Total 2008 18 2 20 Como podemos verificar, a freguesia D aumentou a sua popula¸ao e diminui c˜ a sua quota de 13 para 12. Paradoxo do Novo Estado Quando um novo Estado, com direito a um determinado n´ mero de lugares u na Cˆmara dos Representantes (baseado na popula¸˜o), adere ao Congresso, a ca depois de recalculada a distribui¸˜o, o n´ mero de lugares por Estado pode ca u ser recalculado. Paulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 12
  13. 13. O Paradoxo do Novo Estado foi descoberto em 1907, quando Oklahoma setornou um Estado. Com a entrada de um novo Estado, era esperado mantero n´ mero de lugares ocupados pelos outros estados. No entanto, a partilha ufoi recalculada, Maine ganhou um lugar e Nova Iorque perdeu um lugar. Paramelhor entendermos o Paradoxo do Novo Estado, consideremos o exemploque se segue.Exemplo 1.11 (Distribui¸˜o de computadores) Num determinado agru- capamento de escolas, existem 10 computadores para serem distribu´ ıdos porduas escolas, A e B, com, respectivamente, 148 e 856 alunos, usando om´todo de Hamilton. eAlunos:1004Divisor standard= 1004 = 100, 4 10 Escola Alunos Quota Standard Quota m´ ınima Parte decimal Distribui¸ao final c˜ A 148 1,474 1 0,442 1 B 856 8,526 8 0,526 8+1=9 Total 1004 9 10Suponhamos que nesse mesmo agrupamento de escolas abre uma nova EscolaC, com 330 alunos com direito a 3 computadores.Recalculando a partilha:Alunos:1334Divisor Standard= 1334 = 102, 62 13 Escola Alunos Quota standard Quota m´ ınima Parte decimal Distribui¸ao final c˜ A 148 1,442 1 0,442 1+1=2 B 856 8,341 8 0,341 8 C 330 3,216 3 0,216 3 Total 1334 12 13Verificamos que a escola B perde um computador para a escola A.1.4 Sistemas eleitorais posicionais ou preferenciais1.4.1 M´todo de Borda eNos sistemas eleitorais posicionais ou prefeenciais cada eleitor pode votarem mais do que um elemento de acordo com as suas preferˆncias. No final eresulta um e um s´ vencedor. oM´todo de Borda eAlgoritmo1o passo: Considere-se p o n´ mero de pessoas que podem ser eleitas. u o2 passo: Cada eleitor vota em todos os candidatos, atribuindo pontos acada um conforme a sua ordem de preferˆncia, p − 1 pontos para a segunda ePaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 13
  14. 14. preferˆncia e assim sucessivamente, at´ que atribui um ponto ` ultima pre- e e a´ ferˆncia. e 3o passo: Os candidatos s˜o ordenados pela soma dos pontos obtidos e a ganha quem obtiver mais pontos. Exemplo 1.12 (Elei¸˜o do presidente) A associa¸˜o NANA resolveu fa- ca ca zer elei¸oes para eleger o novo presidente. Concorreu o Sr. Ribeiro, o Sr. c˜ Silva e o Sr. Teixeira. Os boletins de voto foram elaborados e votaram 53 membros com as seguintes ordens de preferˆncia: eAssocia¸˜o NANA ca Associa¸˜o NANA ca Associa¸˜o NANA caRibeiro 1 Ribeiro 3 Ribeiro 3Silva 2 Silva 2 Silva 1Teixeira 3 Teixeira 1 Teixeira 2Vote por ordem de preferˆncia e Vote por ordem de preferˆncia e Vote por ordem de preferˆncia e20 boletins 16 boletins 17 boletins Usando o sistema maiorit´rio simples, quem foi o vencedor? a Usando o m´todo de Borda, quem foi o vencedor? e Resolu¸˜o: ca Pelo sistema maiorit´rio simples, o Sr. Ribeiro ganhou as elei¸˜es visto a co que foi votado em primeiro lugar por 20 membros, enquanto que o Sr. Teixeira foi por 16 e o Sr. Silva por 17. Vamos atribuir 3 pontos por cada primeira preferˆncia obtida, 2 pontos por e cada segunda preferˆncia e 1 ponto por cada terceira preferˆncia. Te- e e mos: Sr Ribeiro 20 × 3 + 16 × 1 + 17 × 1 = 93 Sr Silva 20 × 2 + 16 × 2 + 17 × 3 = 123 Sr Teixeira 20 × 1 + 16 × 3 + 17 × 2 = 102 Resposta: A preferˆncia foi claramente para o Sr. Silva e, curiosa- e mente, o Sr. Ribeiro ficou em ultimo lugar. ´ 1.4.2 M´todo de Condorcet ou de elei¸˜o por confronto directo e ca O m´todo de Condorcet ´ um sistema eleitoral posicional. Cada eleitor pode e e votar em mais do que um candidato de acordo com a sua preferˆncia. No e final pode n˜o existir um vencedor, pois pode haver empate. a M´todo de Condorcet e Paulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 14
  15. 15. Algoritmo1o passo: Considere-se p o n´ mero de pessoas que podem ser eleitas. u o2 passo: Cada eleitor vota em todos os candidatos, atribuindo pontos acada um conforme a sua ordem de preferˆncia, ou seja, p pontos para primeira epreferˆncia, p − 1 pontos para a segunda preferˆncia e assim sucessivamente, e eat´ que atribui um ponto ` ultima prferˆcia. e a` e3o passo: Os candidatos s˜o comparados dois a dois e o vencedor ´ aquele a eque venceu mais confrontos directos.Nota 1 D´-se o nome de vencedor ou perdedor de Condorcet a quem ganha aou perde todos os confrontos directos.Exemplo 1.13 (Elei¸˜o da nova associa¸˜o (M´todo de Condorcet)) ca ca eA Escola Secund´ria do Rio Tejo resolveu fazer elei¸oes para eleger a nova a c˜associa¸˜o de estudantes. Concorreram quatro listas: A, B, C e D. Votaram ca450 alunos com as seguintes ordens de preferˆncia: e A A B C DB D C A BC C A D AD B D B C 80votos 30votos 40votos 130votos 170votosUsando o m´todo de Condorcet, qual ´ a lista vencedora? e eResolu¸˜o: ca • Para eleger o vencedor pelo m´todo de Condorcet devem-se considerar e os resultados dos seguintes confrontos: A vs. B; A vs. C; A vs. D; B vs. D; e C vs. D. (Nota: vs.=versus) • Ent˜o temos: a A vs. B: A = 80 + 30 + 130 = 240 e B = 40 + 170 = 210, A ganha a B A vs. C: A = 80 + 30 + 170 = 280 e B = 40 + 130 = 170, A ganha a C A vs. D: A = 80 + 30 + 40 + 130 = 280 e D = 170, A ganha a D B vs. C: B = 80 + 40 + 170 = 290 e C = 30 + 130 = 160, B ganha a C B vs. D: B = 80 + 40 = 120 e D = 30 + 130 + 170, D ganha a BPaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 15
  16. 16. C vs D: C = 80 + 40 + 130 = 250 e D = 30 + 170 = 200, C ganha a D Reposta: A lista vencedora ´ a A. eNota 2 A vota¸˜o no m´todo de Condorcet ´ idˆntica ` do m´todo de Borda, ca e e e a emudando no entanto a contagem de votos. Nessa contagem, os candidatoss˜o comparados dois a dois e o vencedor ´ escolhido como o que venceu mais a econfrontos.1.4.3 M´todo de elimina¸˜o de run-off dos dois candidatos mais e ca votadosO m´todo de elimina¸˜o de run-off aponta duas modalidades, m´todo de run- e ca eoff dos dois candidatos ou o m´todo de run-off sequencial. Em qualquer dos em´todos cada eleitor pode votar em mais do que um candidato, de acordo ecom as suas preferˆncias. No final existe um vencedor ou uma lista de ven- ecedores.M´todo de run-off dos dois candidatos mais votados eAlgoritmo1o passo: Ganha o candidato com a maioria absoluta na primeira pre-ferˆncia; caso contr´rio, eliminam-se os candidatos, com excep¸˜o dos dois e a camais votados na primeira preferˆncia. e2o passo: De seguida, nos boletins dos que votaram nos candidatos queforam eliminados procuram-se as segundas preferˆncias e os votos dos candi- edatos que restaram.3o passo: O vencedor ´ o que obtiver mais votos. eExemplo 1.14 (Elei¸˜o da nova associa¸˜o (M´todo de elimina¸˜o de run-off)) ca ca e caA Escola Secund´ria do Rio Tejo resolveu fazer elei¸˜es para eleger a nova a coassocia¸˜o de estudantes. Concorreram quatro listas: A, B, C e D. Votaram ca450 alunos com as seguintes ordens de preferˆncia: e A A B C DB D C A BC C A D AD B D B C 80votos 30votos 40votos 130votos 170votosUsando o m´todo de run-off, qual ´ alista vencedora? e ePaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 16
  17. 17. Resolu¸˜o ca • Nenhuma lista obteve maioria absoluta, na primeira sequˆncia. e • Para eleger o vencedor pelo m´todo de run-off temos de escolher os dois e candidatos mais votados na primeira preferˆncia, neste caso as listas C e (130 votos) e D (170 votos), e eliminamos os candidatos menos votados na primeira preferˆncia, as listas (110 votos) e B (40 votos). eVamos ver as segundas preferˆncias nos boletins dos que votaram nas listas eeliminadas. • No primeiro caso, os 80 votos da lista A v˜o para a lista B, mas como a esta lista j´ tinha sido eliminada estes mesmos votos revertem para a a lista C. • No segundo caso, os votos da lista A passam para a lista D. • No terceiro e ultimo caso, os 40 votos dalista B passam para a lista C. ´ • Assim, a lista C fica com 130 + 40 + 80 = 250 votos e a lista D fica com 170 + 30 = 200 votos.Resposta: A lista vencedora ´ a C. e1.4.4 M´todo de run-off sequencial e1o passo: Cada eleitor vota num candidato, mas ordena os restantes porordem decrescente de preferˆncia no mesmo boletim de voto. e o2 passo: Se um candidato obt´m a maioria absoluta com as primeiras pre- eferˆncias ´ eleito. e e3o passo: Se nenhum candidato obt´m a maioria absoluta, elimina-se o can- edidato menos votado.4o passo: Nos boletins dos que votaram no candidato menos votado ( oeliminado) procuram-se as segunda preferˆncia. e o5 passo: Faz-se a contagem de votos dessa segunda preferˆncia. e6o passo: Juntam-se os votos da segunda preferˆncia aos votos que os can- edidatos n˜o eliminados j´ tinham. a a o7 passo: O processo repete-se at´ se encontrar um candidato com maioria eabsoluta.Paulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 17
  18. 18. Exemplo 1.15 (Elei¸˜es na Escola) Na Escola Secund´ria de Guimar˜es co a afoi aberto um concurso para eleger o aluno que melhor representou a escolaem 2008-2009. Foram seleccionados quatro alunos para a final´ssima que se- ıria decidida atrav´s da vota¸ao dos professores e funcion´rios da escola no e c˜ adiada gala de finalistas.Os resultados obtidos foram os seguintes: A B D CB C A DC D B BD A C A 33votos 45votos 70votos 85votosUsando o m´todo de run-off, qual ´ o aluno escolhido? e eResolu¸˜o: caNenhum aluno obteve maioria absoluta nas primeiras preferˆncias, ou seja, emais de 116 votos. O aluno com menos votos nas primeiras preferˆncias, eou seja, mais de 116 votos. O aluno com menos votos nas primeiras pre-ferˆncias ´ o A, logo ´ eliminado. Obtem-se a seguinte tabela: e e e 1.o B B D C 2.o C C B D o 3. D D C B N.o de votos 33 45 70 85Nenhum dos candidatos obteve maioria absoluta nas primeiras preferˆncias. eElimina-se o aluno D, o menos votado. Obtem-se a seguinte tabela: 1.o B B B C o 2. C C C B N.o de votos 33 45 70 85Reposta:O aluno B foi o escolhido.1.5 Teorema de Arrow. Considera¸˜es gerais coDos v´rios m´todos de contangem analisados interessa saber qual o mais a ejusto e que deveria, portanto, ser usado. Kenneth Arrow, matem´tico e eco- anomista, recebeu o Pr´mio Nobel da Economia em 1972 devido ao trabalho ede investiga¸˜o que fez sobre a procura de um sistema de vota¸˜o perfeito. ca caArrow enumero as seguintes propriedades para uma elei¸˜o justa: caPaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 18
  19. 19. • N˜o-ditadura: a preferˆncia de um eleitor n˜o se pode sobrepor ` a e a a preferˆncia da sociedade. e • Soberania individual: cada eleitor pode ordenar livremente os can- didatos, desde que o fa¸a transitivamente. c • Unanimidade: se todos os eleitores preferem candidato A ao candi- dato B, o candidato A vence o candidato B. • Crit´rio da independˆncia das alternativas irrelevantes: o re- e e sultado da hierarquiza¸˜o colectiva de dois candidatos depende apenas ca dos candidatos em quest˜o. Ou seja, se a sociedade prefere o candidato a A ao B e o candidato B ao C, ent˜o tem de preferir o candidato A ao C, a independentemente de o candidato B retirar ou n˜o a sua candidatura. a • Classifica¸˜o unica de grupo: o m´todo de produzir a classifica¸˜o ca ´ e ca de grupo deve originar um unico resultado, sempre que ´ aplicado ao ´ e mesmo conjunto de preferˆncias. A classifica¸˜o de grupo deve ser e ca transitiva.Arrow demonstrou que o unico sistema eleitoral livre de paradoxos ´ a dita- ´ edura.Teorema 1.1 (Teorema da impossibilidade de Arrow) Para elei¸˜es en- covolvendo mais do que dois candidatos ´ matem´ticamente imposs´ encon- e a ıveltrar um m´todo democr´tico e justo para determinar o vencedor. e aDonald Saari, matem´tico na Northwest University, demonstrou que as hip´teses a odo teorema de Arrow permitem que os eleitores sejam irracionais, da´ os para- ıdoxos. Ora, adoptando uma hip´tese semelhante a de Arrow mas que exclua o `` partida esta possibilidade, o resultado demonstrado por Saari ´ novamentea esupreendente: o unico processo democr´tico que assegura uma elei¸ao justa ´ a c˜e sem paradoxos ´ a velha contagem de Borda! eMas a quest˜o que se poder´ colocar ´ a da existˆncia ou n˜o de um sistema a a e e ainequivocamente justo em todas as circunstˆncias, incluindo os trˆs parado- a exos que afectam o m´todo de Hamilton. E, para esta quest˜o, infelizmente, e an˜o ´ poss´ encontrar uma resposta positiva como foi demonstrado atrav´s a e ıvel edo teorema que os matem´ticos Balinski e H. P. Young a semelhan¸a do Te- a ` corema da Impossibilidade de Arrow, desenvolveram. No essencial,perante aimpossibilidade de estabelecer regras de contagem e distribui¸˜o de mandatos cade uma forma matem´ticamente exacta, a procura de solu¸˜es mais equita- a cotivas nesta mat´ria ter´ d passar tamb´m por decis˜es de car´cter pol´ e a e o a ıtico ede debate entre os diferentes protagonistas do sistema democr´tico. aPaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 19
  20. 20. Exerc´ ıcios resolvidos 1. Elei¸˜o para o delegado de turma ca Na elei¸˜o para o delegado de turma do 10o E foram obtidos os seguin- ca tes resultados: Nomes No de votos Adriana 4 Hugo 5 Ana Miguel 10 Leandro 1 Nulos 2 Brancos 4 Total 26 1.1 Qual a percentagem de votos de cada aluno? Apresente o reultado aproximado `s unidades. a 1.2 Quem ganha pelo sistema maiorit´rio de uma volta? a 1.3 Quantos votos o delegado de turma teria de obter para ganhar a ` primeira volta no sistema maiorit´rio de duas voltas a 2. Um voto faz a diferen¸a (m´todo de Hondt) c e Um clube de futebol regional realizou elei¸˜es para eleger os seus 8 re- co presentantes que s˜o apurados segundo o m´todo de Hondt. Apresentam- a e se quatro listas de candidatos e os votos v´lidos foram os seguintes: a Lista A 2412 votos Lista B 1809 votos Lista C 1205 votos Lista D 906 votos 2.1 Quantos representantes elegeu cada lista? (Apresente os quocien- tes arredondados as d´cimas.) ` e 2.2 A lista C exigiu uma recontagem dos votos tendo chegado ` con-a clus˜o que de facto tinha um voto a mais que os inicialmente a atribu´ıdos, ou seja, ficou com 1206 votos e as restantes listas com o mesmo n´ mero de votos. Este facto alterou alguma coisa na u escolha dos representantes. 3. M´todos diferentes de elei¸˜o conduzem aos mesmos resultados? e ca o Os alunos do 9 ano v˜o organizar uma festa de finalistas na escola. Na aPaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 20
  21. 21. assembleia de alunos foram a vota¸˜o trˆs propostas para o estilo de ca e m´ sica a ser mais utilizado na festa: m´ sica popular(P); m´sica rock u u u (R) e m´ sica hip hop (H). Os resultados foram os seguintes: u 4. Uma escola recebeu 124 calculadoras gr´ficas para serem usadas pelos a seus alunos: 148 do secund´rio e 856 do 3o ciclo. a 4.1 Usando o m´todo de Jefferson, indique como ser´ feita a distri- e a bui¸˜o. ca 4.2 Como na escola existem cursos de Educa¸˜o/Forma¸˜o (com 154 ca ca alunos), o Conselho Executivo achou que estes tamb´m deveriam e poder utilizar as m´quinas e pediu para recalcularem a partilha, a usando o mesmo m´todo. Como ficou a nova distribui¸˜o? Co- e ca mente os resultados. 4.3 O conselho Pedag´gico da escola considerou que os alunos dos cur- o sos de Educa¸˜o/Forma¸˜o deveriam estar junto dos do ensino ca ca b´sico e pediu novamente para ser calculada a distribui¸˜o pelo a ca mesmo m´todo. Comente os resultados. eExerc´ ıcios Propostos 1. Elei¸˜o do baston´rio ca a Leia com aten¸˜o o seguinte texto, parte de uma not´ do Jornal de ca ıcia Not´ıcias do dia 5 de Dezembro de 2004, onde se relata a elei¸˜o do ca baston´rio (isto ´, o presidente) da Ordem dos Advogados ( associa¸˜o a e ca de advogados portugueses): Rog´rio Alves conquista Ordem dos Advogados e O novo baston´rio da Ordem dos Advogados chama-se Rog´rio Al- a e ves, tem 43 anos (...). Eleito com 5849 votos, teve uma vantagem de apenas 919 votos sobre Ant´nio Marinho, (...).Ant´nio Marinho (...) o o ficou em segundo lugar, com 4930 votos (...). Jo˜o Correia, que era a vice-presidente do Conselho Geral cessante, ficou em terceiro lugar, recolhendo o apoio de 4574 eleitores. 1.1 Qual parece ser o m´todo eleitoral usado para eleger o baston´rio e a da Ordem dos Advogados? (n˜o precisa de indicar o nome do a m´todo, basta que explique qual foi o m´todo usado.) e e 1.2 Indique uma vantagem e um inconveniente da aplica¸˜o desse m´todo. ca ePaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 21
  22. 22. 1.3 Fa¸a uma pequena composi¸˜o em que sugira uma melhoria do c ca m´todo usado na elei¸˜o do baston´rio da Ordem dos Advogados e ca a portuguesa. 2. No concelho do Montijo Na tabela seguinte est˜o os resultados obtidos no concelho do Montijo a nas elei¸˜es aut´rquicas de 2005, relativamente ` elei¸˜o para a Camara co a a ca Municipal. Cˆmara Municipal a Partidos Votos % PS 6984 42,15 PPD/PSD 4266 25,75 PCP-PEV 3295 19,89 BE 707 4,27 CDS-PP 249 1,50 PCTP/MRPP 175 1,06 Inscritos 35201 100 Votantes 16569 47,07 Brancos 618 3,73 Nulos 275 1,66 2.1 Qual foi o partido que elegeu o presidente da Camˆra? a 2.2 Sabendo que a Cˆmara deste concelho ´ composta pelo presidente a e e seis vereadores, determine a composi¸˜o ”partid´ria”da Cˆmara ca a a Municipal aplicando o m´todo de Hondt. Apresente os quocientes e arredondados `s unidades. a 2.3 Por que ´ importante conhecer a priori o n´ mero de votos ne- e u cess´rios para conseguir um mandato? Comente e dˆ exemplos a e concretos. 3. Partilha dos computadores O agrupamento de escolas do Areias recebeu 75 computadores port´teis a para distribuir pelas suas oito escolas. O n´mero de alunos por escola u ´ o seguinte: e Escola A B C D E F G H o N de alunos 124 345 987 765 454 65 222 897Paulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 22
  23. 23. Determine como ser´ feita a distribui¸˜o utilizando o m´todo de Hondt, a ca e apresentando os quocientes com aproxima¸˜o `s unidades. ca a 4. A distribui¸˜o dos pr´mios ca e As professoras do cantinho da Matem´tica tˆm 22 livros de sudoku para a e oferecer aos quatros melhores alunos que participaram no campeonato anual realizado na escola. As pontua¸˜es obtidas pelos alunos s˜o as co a seguintes: Aluno A B C D o N de pontos 400 225 200 63 4.1 Fa¸a a distribui¸˜o dos livros, utilizando o m´todo de Hamilton, c ca e utilize os valores aproximados `s mil´simas. a e 4.2 Antes de fazer comunica¸˜o dos resultados, o j´ ri verificou que as ca u pontua¸˜es n˜o estavam correctas. Portanto, repetiu o processo co a com as seguintes altera¸˜es: co Aluno A B C D No de pontos 400 235 200 71 Fa¸a de novo a distribui¸˜o e comente os resultados, utilize os valores c ca aproximados as mil´simas. ` e 5. Elei¸˜es para a Assembleia da Associa¸ao co c˜ A tabela seguinte mostra os resultados das elei¸˜es para Assembleia da co Associa¸˜o ”Um animal ´ um amigo”. Concorreram quatro listas, mas ca e as listas A e B formaram uma coliga¸˜o. A Assembleia da Associa¸˜o ca ca tem 6 membros. Listas Votos A/B 346 C 217 D 166 Total 729 Sempre que necess´rio utilize os valores aproximados `s d´cimas. a a ePaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 23
  24. 24. 5.1 Determine a composi¸ao da Assembleia utilizando m´todo de Ha- c˜ e milton. 5.2 Determine a composi¸˜o da Assembleia utilizando o m´todo de ca e Hondt. Compare os resultados com os da al´ ınea anterior. 5.3 Quantos votos mais seriam necess´rios para a coliga¸˜o A/B obter a ca maioria absoluta? 5.4 Uma sondagem ”` boca das urnas”dava uma percentagem de in- a ten¸˜o de voto a lista A de 40%. Se tivesse concorrido sozinha ca ` quantos membros elegeria? Utilize os dois m´todos. Compare os e resultados entre m´todos com e sem liga¸˜o. e ca 6. Comer fruta faz bem Considere a seguinte tabela de preferˆncias, relativamente as escolhas e ` de 13 crian¸as, sobre a fruta para comer ao lanche: pˆra(P); banana c e (B) e morango (M). 6.1 Determine a escolha vencedora pelo m´todo de Borda. e 6.2 Existe vencedor de Condorcet? 6.3 Como a Adriana faz anos, a educadora tornou representativas as suas preferˆncias: 1a M, 2a B e 3a P. E justo este m´todo? e ´ e 6.4 Suponha que nesse dia n˜o conseguiram comprar morangos. Qual a ser´ a escolha? a 6.5 As al´ ıneas anteriores violaram alguma das condi¸˜es de Arrow? co 7. No clube deportivo dos Peixes Considere os resultados obtidos nas elei¸˜es para a Direc¸˜o do Clube co ca Desportivo dos Peixes. V˜o ser distribu´ a ıdos 8 mandatos. Listas Votos A 99 B 889 C 654 D 417 Total 2059 7.1 Determine a distribui¸˜o dos mandatos atrav´s do m´todo de HOndt ca e e e de Saint-Lague. Apresente os quocientes arredondados `s uni- a dades.Paulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 24
  25. 25. 7.2 Valer´ a pena a lista D fazer uma coliga¸˜o com a lista A? Co- a ca mente os efeitos desta coliga¸˜o nos resultados gerais, em fun¸˜o ca ca do m´todo utilizado. Apresente os quocientes arredondados `s e a unidades. 7.3 Se o n´ mero de mandatos aumentasse para 12, como ficaria a dis- u tribui¸˜o? Utilize os dois m´todos. Comente os resultados ob- ca e tidos, fazendo referˆncia ` influˆncia do n´ mero de mandatos a e a e u atribuir. Apresente os quocientes arredondados `s unidades. a 8. Elei¸˜o e Sintra ca Nas elei¸˜es autarquicas de 2005 foram obtidos os seguintes resultados co eleitorais para a Cˆmara Municipal de Sintra: a Cˆmara Municipal de Sintra a Partidos Votos Vereadores PPD/PSD+ 59307 6 PS 42195 4 PCP-PEV 16858 1 BE 8909 0 PCTP-MRPP 1405 0 PH 707 0 O m´todo utilizado para determinar o n´ mero de vereadores para a e u nova Cˆmara Municipal foi o de Hondt, de acordo com a Lei portu- a guesa. Nalguns pa´ aplica-se o m´todo de Saint-Lague que apenas difere do ıses e m´todo de Hondt pelo facto de se usarem 1,3,5,7,9,11,... como divisores e em vez de 1,2,3,4,5,6. 8.1 Aplique o m´todo de Saint-Lague aos resultados eleitorais. e 8.2 O resultado em termos de vereadores foi o mesmo? Comente. 9. Elei¸˜es nos A¸ores co c O quadro apresentado a seguir diz respeito `s elei¸˜es Regionais dos a co A¸ores, em 2004. cPaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 25
  26. 26. A¸ores c Popula¸˜o residente (Censos 2001):238767 ca Total de eleitores inscritos:187765 Deputados: 52 C´ ırculos:9 Partidos concorrentes: PS, PSD/CDS, CDU, BE, PPM, MPT e PDA Eleitores Deputados Corvo 350 2 Faial 11451 4 Flores 3211 3 Graciosa 3817 3 Pico 11820 4 Santa Maria 4508 3 S. Jorge 7967 4 S. Miguel 99854 19 Terceira 44787 10 De acordo com a Constitui¸˜o da Rep´ blica, nas Regi˜es Autonomas ca u o da Madeira e dos A¸ores, as respectivas assembleias s˜o compostas por c a deputados eleitos por sufr´gio universal, de acordo com o princ´ a ıpio da representa¸˜o proporcional e por c´ ca ırculos eleitorais. A convers˜o dos votos em mandatos, segundo o artigo 16o da Lei eleito- a ral, faz-se utilizando o m´todo de representa¸˜o proporcional de Hondt. e ca De acordo com as al´ ıneas b) e c) do referido artigo: o n´ mero de votos apurados por cada lista ´ dividido, sucessivamente, u e por 1,2,3,4,5, etc., sendo os quocientes alinhados pela ordem decres- cente da sua grandeza numa s´rie de tantos termos quantos os manda- e tos atribu´ ıdos ao c´ ırculo eleitoral respectivo; os mandatos pertencem a `s listas a que correspondem os termos da s´rie estabelecida pela regra e anterior, recebendo cada um das listas tantos mandatos quantos os seus termos na s´rie . e Na tabela da p´gina seguinte est˜o registados os resultados obtidos a a pelos diferentes partidos nos diferentes c´ ırculos eleitorais, nas Elei¸˜es co Regionais dos A¸ores, em 2004. cPaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 26
  27. 27. Santa S˜o a Terceira Graciosa S˜o Pico Faial Flores Corvo a Total Maria Miguel Jorge PS 1445 32583 14856 1363 2249 3679 2758 1067 133 60133PSD/CDS 537 18191 9315 1146 2571 3411 2785 829 97 38882 CDU 83 844 240 25 89 135 1194 357 1 2968 BE - 599 301 - 61 - 58 - - 1019 PPM - 132 100 - 0 0 0 0 30 276 MPT - 369 - - - - - - - 369 PDA - 248 - - - - - - - 248 Nestas elei¸˜es, o n´ mero total de votos brancos e nulos foi de 1672. co u 9.1 Explique a raz˜o da diferen¸a entre a popula¸ao residente (Censos a c c˜ 2001) e o total de eleitores inscritos. 9.2 Calcule a percentagem da absten¸˜o nestas elei¸˜es. Apresente o ca co resultado `s unidades. a 9.3 Determine o n´ mero de deputados eleitos por cada partido, no u c´ ırculo da Terceira. Nos c´lculos interm´dios, apresente os valores a e arredondados `s unidades. a 9.4 A CDU n˜o elegeu qualquer deputado nestas elei¸˜es. a co Se, em vez de nove c´ ırculos eleitorais, houvesse apenas um (jun¸˜oca dos nove), de acordo com o m´todo de Hondt, a CDU teria eleito e um deputado para a Assembleia Regional dos A¸ores. c Partindo deste facto, elabore uma pequena composi¸˜o onde refira ca situa¸˜es em que poderia ser vantajosa, ou n˜o, para os partidos co a com poucos votos, a existˆncia de um c´ e ırculo eleitoral unico. ´ 10. Em S. Juli˜o da Moita a No dia 16 de Dezembro de 2001, realizaram-se elei¸˜es aut´rquicas em co a Portugal. Na freguesia de S˜o Juli˜o da Moita concorreram quatro a a for¸as pol´ c ıticas as elei¸˜es para a Assembleia de Freguesia. Estavam ` co em disputa 13 mandatos. A distribui¸˜o dos votos pelas quatros for¸as pol´ ca c ıticas, nessas elei¸˜es co de 2001, est´ representada no seguinte gr´fico circular: a a Paulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 27
  28. 28. Houve ainda 207 votos e 46 votos nulos. Em 2005, realizaram-se novamente elei¸˜es para a mesma Assembleia co de Freguesia . As for¸as pol´ c ıticas concorrentes foram as mesmas qua- tro. Os resultados est˜o representados no seguinte gr´fico de barras: a a 10.1 Elabore um gr´fico da barras semelhante ao apresentado, mas a relativo as elei¸˜es de 2001 para a mesma Assembleia de Freguesia. ` co Apresente os c´lculos efectuados aproximados as d´cimas. a ` e 10.2 Apesar de se votar apenas para eleger os membros da Assembleia de Freguesia, ´ a partir dessa vota¸˜o que ´ eleito o presidente da e ca e Junta de Freguesia, ou seja, o cabe¸a d lista da for¸a pol´ c c ıtica mais votada. Sabendo que o presidente da Junta de Freguesia, eleito e 2001, se recandidatou ao cargo em 2005 pelo mesmo partido, verifique ustificando, se ele foi, ou n˜o, reeleito. a 10.3 Sabendo que o m´todo utilizado para fazer a distribui¸˜o de e ca madatos nas elei¸˜es para Assembleia de Freguesia ´ o m´todo co e e de Hondt, determine o n´ mero de mandatos obtidos por cada uPaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 28
  29. 29. for¸a pol´ c ıtica em 2001. Apresente os quocientes aproximados as ` d´cimas. e 10.4 Supondo que em 2001 as for¸as pol´ c ıticas B e D tinham concorrido coligadas, admita que o n´ mero de votos da coliga¸˜o B/D ´ igual u ca e a ` soma do n´ mero de votos de cada for¸a pol´ u c ıtica e que os votos nas outras for¸as pol´ c ıticas mantinham-se inalterados; comente os resultados obtidos. O coment´rio deve focar os seguintes pontos: a • c´lculo do n´ mero de mandatos que seriam obtidos pelas a u trˆs for¸as pol´ e c ıticas ( apresente os quocientes aproximados a e `s d´cimas); • uma referˆncia a uma eventual altera¸˜o na presidˆncia da e ca e Junta de Freguesia; • conclus˜o sobre se houve ou n˜o, para as for¸as pol´ a a c ıticas B e D, vantagem em concorrerem coligadas. 11. Vantagens/ Desvantagens 11.1 Indique uma vantagem do M´todo de Borda em rela¸˜o aos m´todos e ca e plurais ( um homem, um voto). 11.2 Indique as vantagens e desvantagens dos sistemas maiorit´rios. a 12. Em 25 de Novembro de 2007, ocorreram as elei¸˜es para a Assembleia co de Freguesia de Monte da Azinha. Para o preenchimento dos nove lugares da referida Assembleia, concorreram cinco partidos, em listas separadas. Cada lugar corresponde a um mandato. Ap´s o apuramento o geral, os resultados foram os seguintes. Partido N´ mero de votos u A 454 B 438 C 49 D 463 E 29 O Ant´nio ´ um habitante dessa freguesia. Ele afirma que, no apura- o e mento dos lugares a atribuir a cada partido, o resultado da distribui¸˜o ca dos nove lugares pelas listas concorrentes ´ o mesmo, quer se aplique o e m´todo de Hondt, quer se aplique o m´todo de Hamilton. e e Mostre que o Ant´nio tem raz˜o. o a Na sua resposta deve:Paulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 29
  30. 30. • apresentar a distribui¸˜o dos 9 lugares aplicando o m´todo de ca e Hondt; • apresentar a distribui¸˜o dos 9 lugares aplicando o m´todo de ca e Hamilton; • apresentar a conclus˜o. a 13. A associa¸˜o de estudantes da Escola Secund´ria de Monte da Azinha ca a decidiu aplicar o m´todo de Contagem de Borda, para escolher o repre- e sentante dos alunos da escola num for´ m internacional sobre a ciˆncia. u e Concorreram quatro candidatos: a Ana, a Inˆs, o Nuno e o Pedro. e Segundo o m´todo da Contagem de Borda, o apuramento do vencedor e faz-se de acordo com os seguintes crit´rios e etapas: e • para que um voto possa ser considerado v´lido, cada eleitor vota a em todos os candidatos, ordenando-os de acordo com as suas pre- ferˆncias; e • na ordena¸˜o final dos concorrentes, cada primeira preferˆncia re- ca e cebe tantos pontos quantos os candidatos em vota¸˜o; ca • cada segunda preferˆncia recebe menos um ponto do que a pri- e meira, e assim sucessivamente, recebendo a ultima preferˆncia um ´ e ponto; • o vencedor ´ o concorrente com maior n´ mero de pontos. e u Foram apurados noventa e cinco votos v´lidos. Os resultados obtidos a s˜o os seguintes. a 25 votos 40 votos 15 votos 10 votos 5 votos 1a prefereˆncia e Nuno Pedro Nuno Pedro Pedro a 2 preferˆncia e Ana Inˆs e Inˆs e Nuno Nuno a 3 preferˆncia e Inˆs e Nuno Ana Ana Inˆs e a 4 preferˆncia e Pedro Ana Pedro Inˆs e Ana Determine a pontua¸˜o final de cada candidato e indique o vencedor. ca 14. O clube desportivo O Duelo oferece aos seus s´cios cinco modalida- o des desportivas: Basquetebol, Futebol, T´nis, Golfe e Rˆbegui. Cada e a candidato a praticante pode escolher, de entre as cinco, a modalidade que pretende praticar, mas s´ pode inscrever-se numa delas. No qua- o dro seguinte, est´ registado o n´ mero total de praticantes inscritos, a u distribu´ ıdos por cada uma dessas modalidades desportivas. A direc¸˜o deste clube ´ composta por doze elementos. Para garantir ca e a representatividade dos praticantes das diversas modalidades, os dozePaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 30
  31. 31. lugares da direc¸˜o devem ser atribu´ ca ıdos segundo o crit´rio de distri- e bui¸˜o proporcional ao n´mero de praticantes de cada modalidade. A ca u distribui¸˜o dos doze lugares da direc¸˜o pelos representantes das dife- ca ca rentes modalidades vai ser feita pelo m´todo de Hondt. e Verifique se, para garantir, na direc¸˜o, representatividade baseada na ca distribui¸˜o de lugares proporcional ao n´ mero de praticantes das di- ca u versas modalidades, existe alguma vantagem ou desvantagem em se agruparem duas delas, Golfe e T´nis. e Modalidade desportiva Total Basquetebol Futebol T´nis Golfe Rˆguebi e a No praticantes 186 218 91 45 191 731 Na sua resposta deve: • calcular o n´ mero de lugares atribu´ u ıdos aos representantes de cada modalidade, antes de se agruparem Golfe e T´nis;e • calcular o n´ mero de lugares atribu´ u ıdos aos representantes de cada modalidade, depois de se agruparem Golfe e T´nis;e • Concluir da existˆncia de vantagem ou de desvantagem do agrupa- e mento proposto para assegurar, na direc¸˜o, a representatividade ca dos praticantes. 15. Os alunos do 12o ano da Escola Bom Estudante pretendem organi- zar uma viagem de finalistas a uma cidade espanhola. Os delegados das oito turmas reuniram-se para escolher essa cidade. Como n˜o con- a seguiram consenso, decidiram que seriam todos os alunos do 12o ano a eleger o destino da viagem, sendo Granada, Madrid, Sevilha e Vigo as cidades colocadas ` vota¸˜o. a ca Cada aluno, no seu boletim de voto, ordena as quatro cidades, de acordo com a ordem das suas preferˆncias, sendo o seu voto atribu´ a cidade e ıdo ` colocada em primeira preferˆncia. e Na tabela (quadro de preferˆncias) que se segue, est˜o registadas as e a sequˆncias das preferˆncias obtidas na vota¸˜o e o n´ mero correspon- e e ca u dente de boletins. Preferˆncias e Votos a 1 Madrid Vigo Sevilha Granada Madrid Granada 2a Sevilha Sevilha Granada Madrid Vigo Sevilha a 3 Granada Granada Vigo Vigo Sevilha Madrid a 4 Vigo Madrid Madrid Sevilha Granada Vigo Total de votos 50 60 40 14 30 22 O m´todo escolhido para apurar a cidade a eleger como destino da via- ePaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 31
  32. 32. gem de finalistas foi o m´todo preferencial, de acordo com os seguintes e crit´rios e etapas: e • contabiliza-se o n´ mero de votos obtidos, na primeira preferˆncia, u e por cada cidade; • caso uma cidade obtenha a maioria absoluta de votos na primeira preferˆncia, ela ´ eleita vencedora e o processo termina; e e • caso contr´rio, elimina-se da elei¸ao a cidade que obteve o me- a c˜ nor n´ mero de votos, na primeira preferˆncia, e o quadro de pre- u e ferˆncias ´ reestruturado, passando a incluir menos uma cidade( e e consequentemente, tamb´m menos uma preferˆncia); e e • a este novo quadro de preferˆncias, aplicam-se novamente todos e os procedimentos anteriores, pela ordem enunciada; • o processo repete-se at´ uma das cidades obter maioria absoluta e de votos, na primeira preferˆncia e Tendo em conta os resultados da vota¸˜o expressos na tabela: ca a) Calcule o n´ mero de votos que cada uma das cidades obteve na u primeira preferˆncia. e b) Indique o n´ mero m´ u ınimo de votos que uma cidade deveria ter ob- tido, na primeira preferˆncia, para ser eleita vencedora na primeira e contagem. c) Determine, segundo o m´todo descrito, qual ´ a cidade onde se vai e e realizar a viagem de finalistas. Na sua resposta deve incluir, obrigatoriamente, o n´ mero de votos u obtidos, na primeira preferˆncia, por cidade, em cada uma das e contagens que efectuar para determinar a cidade a visitar. d) Determine quantos alunos frequentam o 12o ano de escolaridade na Escola Bom Estudante , sabendo que 4% dos alunos do 12o ano n˜o votaram. aPaulo Ferreira Sector Terci´rio do Porto a 32

×