Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral

22,332 views
22,032 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
4 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
22,332
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
489
Comments
0
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral

  1. 1. TUGAS KELOMPOK MATEMATIKA DASAR UNTUK FISIKA“KETERKAITAN ANTARA FUNGSI, LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN INTEGRAL” DISUSUN OLEH : 1. DIAH SETYORINI {NIM : 4201411001} 2. TRI HANDAYANI {NIM : 4201411012} 3. RIZQI YULIARTI {NIM : 4201411016} 4. DEKA FERIANA {NIM : 4201411019} ROMBEL : 03 JURUSAN : FISIKA PRODI : PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2011
  2. 2. FUNGSI A. DEFINISI FUNGSI Dalam matematika, yang dimaksud dengan fungsi adalah aturan memetakan setiapobjek x di suatu himpunan D (daerah asal) ke sebuah objek tunggal y di himpunan E (daerahhasil). Fungsi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti f atau g.Lambang f : D  E berarti f adalah fungsi dari D ke E. Fungsi merupakan hal yang mendasar dalam kalkulus. Misalkan diketahuihimpunan A dan B, dan R adalah suatu cara yang menghubungkan atau mengkaitkan elemenA dengan elemen B. Dikatakan terdapat suatu relasi R antara A dan dengan sifat : fmengkaitkan setiap elemen A dengan satu dan hanya satu elemen B. f disebut fungsi dari Ake B dan dapat ditulis : f :AB.Syarat fungsi adalah semua domain (daerah asal) mempunyai pasangan pada kodomain(daerah lawan).Fungsi : A B Domain KodomainBukan fungsi : A B
  3. 3. Domain KodomainDalam fungsi terdapat beberapa istilah, yakni : 1. Daerah Asal (domain) , yang dilambangkan dengan Df 2. Daerah Hasil (range) , yang dilambangkan dengan Rf 3. Daerah Lawan (kodomain) B. SIFAT-SIFAT FUNGSI 1. Fungsi Injektif (fungsi satu-satu)Fungsi f dikatakan satu-satu jika untuk setiap dua unsur beda di A mempunyai peta yangbeda. Definisi ini dapat ditulis sebagai berikut : , A, ≠ ,f( f( ) A B f( ) f( )Contoh :Diketahui f : R  R , f (x) =Penyelesaian :Ambil sembarang , R, ≠ , jadi :( - ) ≠ 0 dan ( + . + )≠0Jelas f ( f( ) =  = ( - )( + . + ) ≠ 0Jadi f ( f( )≠0Jadi  , R, ≠ ,f( f( )Jadi f suatu fungsi injektif 2. Fungsi Surjektif
  4. 4. Fungsi f dikatakan pada surjektif jika Rf = B. Definisi ini dapat ditulis sebagai berikut: B, y A BContoh :Diketahui f : R  R , f (x) = 2x  1Penyelesaian :Ambil sembarang x RMaka x = 2  1, pilih y = RJelas f (y) = 2 1=xJadi  R, yJadi f merupakan suatu fungsi surjektif. 3. Fungsi BijektifFungsi f : I  R dikatakan bijektif apabila fungsi f merupakan fungsi injektif dan sekaligusfungsi surjektif. A B
  5. 5. C. Beberapa Jenis Fungsi Riil 1. Fungsi polinom (suku banyak)Memiliki bentuk :f (x) = + + ……. + x+ ……. bilangan riil ; ≠ 0 , n bilangan bulat positif. Polinom di atas disebut berderajat n.Contoh : f (x) = + + 2x  8 adalah polinom berderajat 3. 2. Fungsi AljabarAdalah suatu fungsi y = f (x) yang memenuhi persamaan berbentuk : + + ……. + x) y + (x) = 0Dimana (x) suatu polinom dalam x.Contoh : f (x) =  2x  24 ataupun f (x) = merupakan fungsi aljabar rasional.Sedangkan f (x) = x + merupakan fungsi aljabar tidak rasional. 3. Fungsi TransendenMerupakan fungsi yang bukan fungsi aljabar.Beberapa fungsi transenden yang khusus : a. Fungsi eksponensial  f (x) = ,a≠0,1 b. Fungsi logaritma  f (x) = a log x , a ≠ 0 , 1 4. Fungsi TrigonometriMemiliki bentuk antara lain : sin x , cos x , tg x , ctg x , sec x , dan cosec x 5. Fungsi Identitas (Kesatuan)Suatu fungsil Riil yang berbentuk f (x) = x untuk x variabel y, disebut Fungsi Identitas, ditulisf = I. dapat ditulis dengan notasi :I (x) = x ,  x A 6. Fungsi Invers (Kebalikan) dinamakan fngsi invers dari f jika memenuhi f=f = I. D. Definisi operasi pada fungsi : (f + g)(x) = f (x) + g (x)
  6. 6. (f  g)(x) = f (x)  g (x)(f . g)(x) = f (x) . g (x)(f / g)(x) = f (x) / g (x)
  7. 7. LIMIT FUNGSIA. SIFAT-SIFAT LIMIT : misalkan f dan g dua buah fungsi dan k R1. =k2. =c3. =k4. = +5. = 6. = .7. =8. = ,n NB. SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI1. = sin c dan = cos x2. =1 dan =13. =1 dan =1
  8. 8. KEKONTINUAN Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a bila nilai limit f(x) pada xmendekati a sama dengan nilai fungsi di x = a atau f(a).f disebut kontinu jika bersambung (grafis) secara analisis : 1. Nilai fungsinya ada f (a) terdefinisi atau f (a) R 2. Nilai limitnya ada (limit kiri sama dengan limit kanan) = 3. Nilai fungsinya sama dengan nilai limitnya = f (a) Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu padasetiap titik di dalam interval tersebut. Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada intervaltutup [ a,b ] bila : 1. f (x) kontinu pada (a,b) 2. f (x) kontinu kanan x = a, 3. f (x) kontinu kiri x = b ,
  9. 9. TURUNANA. SIFAT-SIFAT TURUNAN 1. Turunan fungsi konstan, yaitu f (x) = a, a konstanta maka f (x) = 0 f (x) = = =0 2. Turunan fungsi pangkat positif dari x , yaitu f (x) = f (x) = , maka f ‘ (x) = n 3. Turunan f (x) = a dengan a konstanta dan n bilangan positif atau rasional f (x) =a , maka f ‘ (x) = a n 4. Turunan pangkat negative dari x, yaitu f (x) = f (x) = , maka f ‘ (x) = - atau f (x) = maka f ‘ (x) = -n 5. Turunan pada limit f ‘ (x) = 6. Pada operasi limit fungsi a. (f + g)’(x) = f (x) + g’(x) b. (f – g)’(x) = f (x) – g’(x) c. (cf)’(x) = cf(x), c konstanta d. (f.g)’(x) = f (x) g’(x) + g (x) f (x) e. (f / g)’(x) = , g (x) ≠ 0
  10. 10. INTEGRAL A. DEFINISI INTEGRAL Misalkan f (x) adalah suatu fungsi umum yang bersifat f ‘ (x) = f(x) atau f (x). dalamhal ini f(x) dinamakan senagai anti turunan atau himpunan pengintegralan dari fungsi f ‘ (x) =f (x). B. SIFAT-SIFAT INTEGRAL 1. = x +c = ax +c 2. dx 3. dx dx = + c dengan n ≠ -1 Sifat-sifat Integral Tertentu : 1. 2. 3. =b–a 4. = k (b – a) , k = konstanta 5. 6. 7. = ,a<b<c 8. a) jika f (x) ≥ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b, maka b) jika f (x) ≤ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b , maka 9. jika m dan M adalah nilai minimum dan maksimum fungsi f pada [a,b], maka : m (b – a) ≤ ≤ M (b – a) 10. jika F (x) adalah anti turunan fungsi f (x) dx = F (b) – F (a)
  11. 11. CONTOH FUNGSI YANG AKAN DICARI LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN INTEGRAL, BESERTA GRAFIKNYA 1. Diketahui Tentukan : a. b. c. Apakah kontinu pada x=1 d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut f. GrafikPenyelesaian: a. Maka untuk b. Maka untuk c. Ya, fungsi tersebut kontinu pada x=1 karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk Untuk ,x>1 e. Untuk
  12. 12. f ‘(x) = = = = = 2x + h = 2x + (0) = 2x Untuk f ‘ (x) = = = = = = 2x + (0) – 1 = 2x – 1f. Grafik fungsi 12 10 8 6 Series1 4 2 0 -4 -2 0 2 4
  13. 13. 2. Diketahui : Tentukan: a. b. c. Apakah kontinu pada x=-1? d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. b. c. Ya, fungsi tersebut kontinu pada x=-1 karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk Untuk e. f ‘ (x) = = = = = 2x + h = 2x + (0) = 2x
  14. 14. Untuk f ‘ (x) = = = = f. Grafik fungsi 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Series13. Tentukan: a. b. c. Apakah kontinu pada x=-3? d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. b.
  15. 15. c. Ya, karena fungsi tersebut kontinu pada x=-3 karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri.d. Untuke. untuk f ‘ (x) = = = = =2 Untuk f ‘ (x) = = = = =1f. Grafik fungsi
  16. 16. 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -2 -4 -6 Series1 -8 -10 -12 -144. Tentukan : a. b. c. Apakah kontinu pada x=5 d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. Maka untuk b. Maka untuk c. Ya, karena fungsi tersebut kontinu pada x=5karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk Untuk
  17. 17. +C e. Untuk f ‘ (x) = – = = = = 2x + h = 2x + (0) = 2x Untuk f ‘ (x) = = = = =2 f. Grafik fungsi7060504030 Series120100 0 2 4 6 8
  18. 18. 5. Diketahui Tentukan : a. b. c. Apakah kontinu pada x=-2 d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. Maka untuk b. Maka untuk c. Ya, karena fungsi tersebut kontinu pada x=-2karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk +C Untuk +C e. Untuk f ‘ (x) = = = =
  19. 19. = = = 4x + 2(0) – 4 = 4x – 4 Untuk f ‘ (x) = = = = = = 6x + 3h = 6x + 3(0) = 6xf. Grafik fungsi 60 50 40 30 Series1 20 10 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
  20. 20. CONTOH SOAL FUNGSI KETERKAITAN LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN INTEGRAL1. Diketahui Tentukan : a. b. c. Apakah kontinu pada x=-2 d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. Maka untuk b. Maka c. Tidak , fungsi tersebut tidak kontinu pada x=-2 karena limit fungsi kanan tidak sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk Untuk +C e. Untuk Untuk
  21. 21. 2. Tentukan : a. b. c. Apakah kontinu pada x=0 d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. Maka untuk b. Maka c. Tidak , fungsi tersebut tidak kontinu pada x=-2 karena limit fungsi kanan tidak sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk Untuk e. Untuk Untuk
  22. 22. 3. Tentukan: a. b. c. Apakah kontinu pada x=1 d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. Maka untuk b. Maka c. Tidak , fungsi tersebut tidak kontinu pada x=1 karena limit fungsi kanan tidak sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk Untuk +C e. Untuk Untuk
  23. 23. 4. Tentukan: a. b. c. Apakah kontinu pada x=3 d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. Maka b. Maka c. Ya , fungsi tersebut kontinu pada x=3 karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk .(2x-6) Untuk e.
  24. 24. Untuk Untuk5. Tentukan: a. b. c. Apakah kontinu pada x=4 d. Integral fungsi tersebut e. Turunan fungsi tersebut Penyelesaian: a. Maka b. Maka 27 c. Tidak, fungsi tersebut kontinu pada x=4 karena limit fungsi kanan tidak sama dengan limit fungsi kiri. d. Untuk
  25. 25. Untuke. Untuk Untuk
  26. 26. PENGGUNAAN TURUNAN DAN ATAU INTEGRAL DALAM FISIKA ATAU BIDANG LAIN 1. Pada bidang ekonomi Dengan cara menurunkannya dari persamaan biaya total dapat ditentukan nilaibiaya marginal. Bisa ditulis biaya marjinal = biaya total’. Para matematikawan mengenalbiaya marjinal sebagai dc/dx, turunan C terhadap x. Dengan demikian dapat didefinisikanharga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal sebagai dR/dX, dan keuntungan marjinalsebagai dp/dx.Perhitungan: Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x2 dengan jumlahpersatuan x=1000. tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal?Penyelasaianbiaya rata-rata = C(x)/x= 3200+3,25x-0,0003x2 / X= 3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)2 / 1000= 6150 / 1000 = 6,15Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150biaya marjinal = dc/dx= 3,25-0,0006x= 3,25-0.0006 (1000)= 2,65maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650 Pada x=1000 Dari hasil di atas, dapat dikatakan bahwa dibutuhkan Rp.6150 untuk memproduksi1000 barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1 barang setelah barangyang ke 1000, hanya dibutuhkan Rp. 2650 untuk membuat 1000 barang yang sama. 2. Pada bidang FisikaTurunan pertama dari x terhadap waktu memberikan kecepatan v:Dengan mendiferensialkan kecepatan terhadap waktu diperoleh percepatan benda:Diketahui: dalam meter. Berapa kecepatan benda pada saat t= 2 s ?Penyelesaian:
  27. 27. 3. Pada bidang Matematika Pada bidang MatematikaTurunan digunakan untuk pencarian dalam limit, yang bentuk soal limitnya harus difaktorkan atau di kalikan terlebih dahulu dengan akar sekawan. Selain itu , Aplikasi turunanjuga digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung.Contoh penggunaan Turunan untuk menentukan Garis singgung :Tentukan persamaan garis singgung dari y = x3 - 2x2 - 5 pada titik (3,2).Jawab :Y=f(x)= x3-2x2-5 Y=f(x)=3x2-4x f ’(3) = 3(3)2 - 4(3) = 15 ; m = 15.Rumus pers. Garis singgung :y-yo = m (x-xo), maka garis singgung fungsi diatas adalah :Y – 2 = 15 (x – 3) atau y = 15x – 43

×