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minimización de costos minimización de costos Presentation Transcript

  • Minimización de Costos
    Unaempresaesminimizadora de costossiobtienecualquiernivel de producción y ³ 0 al costomásbajoposible.
    c(y) denota el costo total másbajoposible par producir y unidades de producto.
    c(y) es el costo total de la empresaqueestá en función del nivelproductivo.
    1
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Minimización de Costos
    2
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    • Consideremosunaempresaqueemplea dos insumosparaobtener un ciertoproducto. La función de producciónesy = f(x1,x2).
    • Tomemos el volúmen de producción y ³ 0 como dado.
    • Dados los precios de los insumos, w1 y w2, el costo del conjunto de insumos (x1,x2) esw1x1 + w2x2.
  • Dados los precios, w1 y w2 y el volúmen de producción y, el problema de minimización de costos de la empresaes
    Sujeto a
    3
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    Minimización de Costos
  • Las cantidades:
    lasdemandascondicionales de la empresapor los insumos 1 y 2, son lasqueminizarán los costos
    Hay querecordarqueestaríamoshablando de horas de trabajo y capital respectivamente.
    El costo total (másbajoposible) paraproducir el nivel“y” es:
    4
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    Minimización de Costos
  • Minimización de Costos
    ¿Cómoencontramos el conjunto de insumos de menorcosto? ¿y cómo la estimamos?
    Aplicamos la ecuación “Lagrange” y aplicamoslas “condiciones de primer orden”
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    5
    Este tema lo veremos más adelante.
  • Recta de isocostos
    La curvaquecontienetodaslascestasde insumos con el mismocosto total se conocecomocurvaisocosto.
    Porejemplo, dados w1 y w2, la recta isocostopara un costo de $100 tiene la ecuación
    Recordandoque la ecuación de los costosviene dada por:
    6
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Recta de isocostos
    O, lo quees lo mismo
    Intercepto en el eje Y
    Pendiente de la recta
    7
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Recta de Isocostos
    x2
    CT” º w1x1+w2x2
    pendiente = -w1/w2.
    CT’ º w1x1+w2x2
    c’ < c”
    x1
    8
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • La isocuanta de producción
    x2
    De todos los conjuntos de factoresquegeneranq’ unidades de
    producto, ¿cuáles la de menorCosto?
    f(x1,x2) ºq’
    x1
    9
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • El problema de minimización de costos
    x2
    De todos los conjuntos de factoresquegeneranq* unidadesde
    producto,. ¿cuáles la de menorCosto?
    Para este conjunto de insumos:
    x2*
    f(x1,x2) º y’
    10
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    x1*
    x1
  • x2
    x2*
    f(x1,x2) º y’
    x1*
    x1
    Y la pendiente de la isocosto= pendientede la isocuanta
    11
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Debemos recordar que:
    x2
    En otraspalabras:
    x2*
    f(x1,x2) º y’
    x1*
    x1
    12
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Una empresa puede seguir el proceso de minimización de los costos en cada nivel de producción. Para cada “y”, la empresa debe determinar la elección de factores que minimiza el costo. Si los costos de los factores w1 y w2permanecenconstantesparatodaslascantidadesquepuedademandar la empresa, entonces no tendremosdificultadparaseguir el rastro del puntodonde se ubicanlaseleccionesqueminimizan los costos.
    w1 y w2, están dados
    Senda de expansión de laproducción
    13
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Esta senda de expansión registra todos los puntos donde se minimizan los costos para niveles de producción sucesivamente más altos.
    Esta senda de expansión, no necesariamente es una línea recta, la utilización de algunos factores de producción puede aumentar a más velocidad que la de otros a medida que aumenta la producción.
    w1 y w2, están dados
    Senda de expansión de laproducción
    14
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Demostración
    Aplicando lagrange tenemos:
    Aplicamos sistema de ecuaciones igualando
    15
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Demostración
    Podemos darnos cuenta a estas alturas que esta condición es similar a la condición en teoría del consumidor, con la salvedad que estamos hablando de la relación de los precios de los bienes y la tasa marginal de sustitución.
    16
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Un ejemplo con la función de producción Cobb-Douglas
    Los precios de los insumos son w1y w2.
    ¿Cuáles son lasdemandascondicionales de insumos de la empresa?
    17
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Resolviendo por lagrange tenemos:
    18
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • 19
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • De nuevacuenta, estonosmuestraque se
    minimizan los costoscuando el cociente de
    los preciosesigual a la TMST
    20
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    Supongamos que 𝛼=𝛽=0.5, 𝑤1=12, 𝑤2=3
     
    Y que la empresa quiere producir q=40
    La condición de primer orden C.P.O requiere que 𝑥2=4𝑥1 si insertamos lo anterior lo anterior en la función de producción tendremos 𝑞0=40=𝑥10.5𝑥20.5=𝑥10.54𝑥10.5=2𝑥1 de este modo la combinación de factores que minimiza los costos es 2𝑥1=40->𝑥1=402=20 del mismo modo, para 𝑥2=4𝑥1->𝑥2=420=80 y los costos minimizados estarán determinados así: 380+1220=480
     
  • 21
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    Supongamos que 𝛼=𝛽=0.5, 𝑤1=12, 𝑤2=3
     
    Y que la empresa quiere producir q=40
    La condición de primer orden C.P.O requiere que 𝑥1=4𝑥2si insertamos lo anterior lo anterior en la función de producción tendremos 𝑞0=40=𝑥10.5𝑥20.5=𝑥10.54𝑥10.5=2𝑥1 de este modo la combinación de factores que minimiza los costos es 2𝑥1=40->𝑥1=402=20 del mismo modo, para 𝑥2=4𝑥1->𝑥2=420=80 y los costos minimizados estarán determinados así:   
    380+1220=480
    Esto lo podemos comprobar utilizando cualquier otra combinación de factores
    Pruebe las siguientes combinaciones para obtener los costos totales:
    𝑥1=40, 𝑥2=40, 𝐶𝑇=600
    𝑥1=10, 𝑥2=160, 𝐶𝑇=2220
    𝑥1=160, 𝑥2=10, 𝐶𝑇=600
     
    Podemos concluir que otra combinación de los factores productivos nos generarán mayores costos
  • 22
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    Si analizamos las productividades marginales veremos la minimización de costos en el punto óptimo.
    𝑃𝑀𝑔𝑥1=𝜕𝑞𝜕𝑥1=0.5𝑥1−0.5𝑥20.5=0.580200.5=1
    𝑃𝑀𝑔𝑥2=𝜕𝑞𝜕𝑥2=0.5𝑥10.5𝑥2−0.5=0.520800.5=0.25
    El factor productivo de trabajo es cuatro veces más productivo que el capital y esta productividad extra compensa justo el precio por unidad más alto del factor trabajo.
     
  • Otroejemplo con la función de producción Cobb-Douglas
    Los precios de los insumos son w1 y w2.
    ¿Cuáles son lasdemandascondicionales de insumos de la empresa?
    23
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Resolviendo por lagrange tenemos:
    24
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • 25
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Sust en ecuación 3
    26
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Como
    y
    Entonces
    Es la demandacondicional del insumo
    1 y 2 por parte de la empresa.
    27
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • RESOLVAMOS EL MISMO EJERCICIO POR OTRO MÉTODO…
    Para el conjunto de insumos (x1*,x2*)
    que minimiza el costo de producir y unidades
    se cumple:
    y
    (a)
    (b)
    De (b) se obtiene ,
    28
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • (a)
    (b)
    De (b),
    Y sustituyendo en (a)
    29
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • En consecuencia
    Como
    y
    Entonces
    Es la demandacondicional del insumo
    1 y 2 por parte de la empresa.
    30
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Así, el conjunto de insumos de menorcostoparaproducir y unidades, es
    Para la función de producción
    31
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • El conjunto de insumos de menorcostoparaobtener y unidadeses
    32
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • En consecuencia, la función de costototal de la empresaes
    Factor común
    33
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Ejercicio para resolver en clase
    Ilustra el proceso de minimización de los costos con dos tipos de funciones de producción visto anteriormente en clase
    Cobb-Douglas
    La expresión lagrangiano para minimizar el costo es:
    CES
    La expresión lagrangiano para minimizar el costo es
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    34
  • Ejercicio para resolver en clase
    CES
    La expresión lagrangiano para minimizar el costo es:
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    35
    Derivada parcial del producto
    La condición sigue siendo la misma TMST= v/w
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    36
  • Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    37
  • Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    38
    Resolvemos por sistema de ecuaciones para obtener la condición fundamental de equilibrio
  • Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    39
    Igualamos para obtener
    Condición fundamental, despejamos “x1” y sustituimos en ecuación 3
    Ecuación 3
  • Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    40
    Factorizamos por factor común
  • Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    41
  • Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
    42
  • Otroejemplo con la función de producción Cobb-Douglas
    • Se estáutilizandoactualmente 8 unidades de trabajo y 2 de capital. Si éstaes la combinaciónóptima de factores y si los costostotales son iguales a 16 ¿Cuáles son los precios del capital y trabajo?.
    43
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Solución
    • Aplicando lagrange tenemos:
    Ecuación 1
    Aplicamos sistema de ecuaciones igualando Ec 1 y 3
    Ecuación 2
    Ecuación 3
    44
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Despeje de K y obtenemos
    45
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Solución
    • Aplicando lagrange tenemos:
    Sustituimos en la condición fundamental
    Estas son las cantidades óptimas, sin embargo según la redacción de nuestro problema, sabemos lo siguiente.
    46
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Estas son las cantidades óptimas, sin embargo según la redacción de nuestro problema, sabemos lo siguiente.
    • Si éstaes la combinaciónóptima de factores y si los costostotales son iguales a 16 ¿Cuáles son los precios del capital y trabajo?.
    47
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Costos en el cortoplazo y en el largo plazo
    En el largo plazo la empresapuedemodificar el nivel de empleo de todossusinsumos.
    Consideremosunaempresaque no puedemodificar el nivel de empleo del insumo 2, x2’ unidades.
    ¿cómo se puedecomparar el costo total de cortoplazo de producir y unidades con el costo total de largo plazo de producirlasmismas y unidades?
    48
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • El problema de minimización de costos en el largo plazoes
    El problema de minimización de costos en el cortoplazoes
    Sujeto a
    Sujeto a
    49
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • El problema de minimización de costos en el cortoplazoes el problema de minimización de costos en el largo plazosujetoa la restricciónadicional: x2 = x2’.
    Si el nivelóptimo de empleo del insumo 2 en el largo plazoes x2’ entoncesestarestricciónadicional x2 = x2’ , no esrealmenteunarestricción y el costo de producir y unidades en el cortoplazo y en el largo plazoes el mismo.
    50
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Pero, si en el largo plazo x2¹ x2” entoncesestarestricciónadicionalpreviene a la empresa en el cortoplazoparaalcanzar el costo de largo plazo, provocandoque el costo en el cortoplazo sea mayor al costo en el largo plazo.
    51
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Consideremostresniveles de producción
    En el largo plazo, cuando laempresaeslibre de determinarla cantidad de los insumos 1 y2, el conjuntos de insumosde menorcostoes ...
    x2
    x1
    52
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Consideremostresniveles de producción
    Aquellospuntosdonde la curva de indiferenciahacetangencia con la recta de los isocostos, esdonde se minimizan los costos, segúncadauno de los niveles de producción
    x2
    x1
    53
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Los costos en el largo plazo son:
    x2
    Ruta deexpansión enel largo plazo
    x1
    54
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • Ahora, supongamos que la empresa está sujeta a la restricción de corto plazo x2 = x2”.
    55
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • La relación entre el nivelproducitvo y los costos a cortosplazo, Se presenta en la siguientegráfica,
    Como el insumo dos esfijo, la empresa no puedellevarsu TMST a términos de igualdad con larelación de los precios, por lo tantodeberá de producirse con mástrabajo y menos capital (insumo 2) el elrequeridopara el cortoplazo
    x2
    x1
    56
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • x2
    A cortoplazo, la empresadeberáelegircantidades de insumoque “no son óptimas”
    x1
    57
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • El costo total de cortoplazoes mayor al costo total de largo plazo, con excepción del nivel de produccióndonde la restricción del insumo en el cortoplazoesigual al nivel de empleo del insumo en el largo plazo.
    Estosignificaque la curva de costo total de largo plazosiempretiene un punto en común con la curva de costo total de cortoplazo.
    58
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira
  • La curva de costo total de cortoplazosiempretiene un punto en común conla curva de costo total de largo plazo y es mayor a la curva de costo total delargo plazo en cualquierotropunto desurecorrido.
    $
    cs(y)
    c(y)
    y
    59
    Elaboró: M en A. David M. Velázquez Alquicira