Bt toan cao cap tap 1 nguyen thuy thanh
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Bt toan cao cap tap 1 nguyen thuy thanh

on

  • 749 views

 

Statistics

Views

Total Views
749
Views on SlideShare
749
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
18
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Bt toan cao cap tap 1 nguyen thuy thanh Bt toan cao cap tap 1 nguyen thuy thanh Document Transcript

  • ˜ ˆ ’ NGUYEN THUY THANH ` ˆ BAI TAP . ´ ´ ˆ TOAN CAO CAP Tˆp 1 a . ´ ´ Dai sˆ tuyˆn t´ . o e ınh ’ ıch v` H` hoc giai t´ a ınh . ` ´ ˆ ’ ´ ˆ ` ˆNHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI . . . H` Nˆi – 2006 a o.
  • Muc luc . . L`.i n´i dˆu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o ` a 41 Sˆ ph´.c ´ u o 6 1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . -. ´ ıa o u . . . . . . . . 6 1.2 Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . . ´ . o ’ o u ´ . . . . . . . . 8 ’ ˜ ınh . 1.3 Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a . . . . . . . . 13 1.4 Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c e ’ ˜ o u e ´ o . . a . . . . . . . . 232 Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u a a u ’ 44 - 2.1 Da th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.1 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ ph´.c C - u e o ´ o u . . . . . . . . . 45 2.1.2 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ thu.c R - u e o ´ o . . . . . . . . . . 46 u.c h˜.u ty . . . . . . . . . . . . 2.2 Phˆn th´ u ’ a . . . . . . . . . 553 Ma trˆn. Dinh th´.c a . -. u 66 3.1 Ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . 67 -. 3.1.1 Dinh ngh˜ ma trˆn . . . . . . ıa a . . . . . . . . . . . 67 e a ´ 3.1.2 C´c ph´p to´n tuyˆn t´ trˆn a e ınh e ma trˆn a. . . . . . 69 3.1.3 Ph´p nhˆn c´c ma trˆn . . . . e a a a . . . . . . . . . . . 71 ’ 3.1.4 Ph´p chuyˆn vi ma trˆn . . . e e . a. . . . . . . . . . . 72 - .nh th´.c . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Di u . . . . . . . . . . 85 . ´ 3.2.1 Nghich thˆ . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 85 -. 3.2.2 Dinh th´ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.3 T´ chˆt cua dinh th´.c . . . ´ ınh a ’ . u . . . . . . . . . . 88
  • 2 MUC LUC . . 3.2.4 Phu.o.ng ph´p t´ dinh th´.c . . . . . . a ınh . u . . . . . 89 3.3 . ’ Hang cua ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . 109 3.3.1 Di- .nh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . . ı . . . . . 109 3.3.2 Phu .o.ng ph´p t` hang cua ma trˆn . a ım . ’ a . . . . . 109 . 3.4 Ma trˆn nghich da a. . ’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 -. 3.4.1 Dinh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . . ı . . . . . 118 3.4.2 Phu .o.ng ph´p t` ma trˆn nghich dao a ım a ’ . . . . . 119 . . 4 Hˆ phu.o.ng tr` e . ´ ınh tuyˆn t´ e ınh 132 4.1 Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c e . ınh o ’ a o . u kh´c a 0. . . . 132 4.1.1 Phu.o.ng ph´p ma trˆn . . . . . . a a . . . . . . . . . 133 4.1.2 Phu .o.ng ph´p Cramer . . . . . . a . . . . . . . . 134 4.1.3 Phu .o.ng ph´p Gauss . . . . . . . a . . . . . . . . 134 4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ . . e u ´ a . ınh ´ e ınh . . . . . . . . 143 4.3 Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt . e . ınh ´ e ınh ` a ´ a . . . . . . . . 165 n 5 Khˆng gian Euclide R o 177 5.1 Dinh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ kh´i niˆm co. -. ıa o ` a o o a e e . ´ . ’ ` ban vˆ vecto e .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.2 Co. so.. Dˆi co. so. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ’ -o ’ ’ 188 5.3 Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn . . . . . . o ’ . a’ 201 e ´ o e ’ ´ 5.4 Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e ınh 213 -i 5.4.1 D.nh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 213 a ’ 5.4.2 Ma trˆn cua ph´p bdtt . . . . . . . . . . . . . . . e 213 5.4.3 C´c ph´p to´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e a 215 5.4.4 Vecto. riˆng v` gi´ tri riˆng . . . . . . . . . . . . e a a . e 216 6 Dang to`n phu.o.ng v` u.ng dung d ˆ . a a ´ . e’ nhˆn dang du.`.ng a . . o v` m˘t bˆc hai a a a . . 236 6.1 Dang to`n phu.o.ng . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . 236 6.1.1 Phu.o.ng ph´p Lagrange . . . a . . . . . . . . . . . 237 6.1.2 Phu.o.ng ph´p Jacobi . . . . a . . . . . . . . . . . 241
  • MUC LUC . . 3 6.1.3 Phu.o.ng ph´p biˆn dˆi tru.c giao . . . . . . . . . 244 a ´ e o .’ 6.2 - Du .a phu.o.ng tr` tˆng qu´t cua du.`.ng bˆc hai v` m˘t ınh o’ a ’ o a a a . . a . e ´ ` dang ch´ t˘c . . . . . . . . . . . . . . . . 263 bˆc hai vˆ . ınh a
  • L`.i n´i dˆu o o ` aGi´o tr` B`i tˆp to´n cao cˆp n`y du.o.c biˆn soan theo Chu.o.ng a ınh a a . a ´ a a . e .tr` To´n cao cˆp cho sinh viˆn c´c ng`nh Khoa hoc Tu. nhiˆn cua ınh a ´ a e a a . . e ’Dai hoc Quˆc gia H` Nˆi v` d˜ du.o.c Dai hoc Quˆc gia H` Nˆi thˆng . . o´ a o a a . . . . ´ o a o. oqua v` ban h`nh. a a Muc d´ cua gi´o tr` l` gi´p d˜. sinh viˆn c´c ng`nh Khoa hoc . ıch ’ a ınh a u o e a a .Tu . nhiˆn n˘m v˜.ng v` vˆn dung du.o.c c´c phu.o.ng ph´p giai to´n cao e ´ a u a a ’ . . . . a a a ´ . e a ´ e . a o a . ´ u ’cˆp. Muc tiˆu n`y quyˆt dinh to`n bˆ cˆu tr´c cua gi´o tr`nh. Trong a a ımˆ ˜ i muc, dˆu tiˆn ch´ng tˆi tr`nh b`y t´m t˘t nh˜.ng co. so. l´ thuyˆt o . ` a e u o ı a o ´ a u ’ y ´ ev` liˆt kˆ nh˜ a e e u .ng cˆng th´.c cˆn thiˆt. Tiˆp d´, trong phˆn C´c v´ du o u ` a e´ ´ e o `a a ı . .ch´ng tˆi quan tˆm d˘c biˆt t´.i viˆc giai c´c b`i to´n mˆ u b˘ng c´ch u o a a. e o e . . ’ a a a ˜ ` a a avˆn dung c´c kiˆ a . . a e´n th´.c l´ thuyˆt d˜ tr` b`y. Sau c`ng, l` phˆn B`i u y e´ a ınh a u a ` a atˆp. O a a ’. dˆy, c´c b`i tˆp du.o.c gˆp th`nh t`.ng nh´m theo t`.ng chu dˆ a a a ’ ` . . . o . a u o u ev` du.o.c s˘p xˆp theo th´. tu. t˘ng dˆn vˆ dˆ kh´ v` mˆ i nh´m dˆu a . ´ ea ´ u . a ` ` o o a ˜ a e . o o ` ec´ nh˜ o u .ng chı dˆ n vˆ phu.o.ng ph´p giai. Ch´ng tˆi hy vong r˘ng viˆc ˜ ` ’ a e a ’ u o ` a e . .l`m quen v´ o a o.i l`.i giai chi tiˆt trong phˆn C´c v´ du s˜ gi´p ngu.`.i hoc ’ e´ `a a ı . e u o .n˘m du.o.c c´c phu.o.ng ph´p giai to´n co. ban. ´ a . a a ’ a ’ Gi´o tr` B`i tˆp n`y c´ thˆ su. dung du.´.i su. hu.´.ng dˆ n cua a ınh a a a o e ’ . . ’ o . o ˜ a ’gi´o viˆn ho˘c tu. m` nghiˆn c´.u v` c´c b`i tˆp dˆu c´ d´p sˆ, mˆt a e a . ınh . e u ı a a a ` o a o o . e ´ . ´ o o ’ a a ˜ .´.c khi giai c´c b`i tˆp n`y d˜ c´ phˆn C´c v´ dusˆ c´ chı dˆ n v` tru o ’ a a a a a o ` a a ı . .tr` b`y nh˜.ng chı dˆ n vˆ m˘t phu.o.ng ph´p giai to´n. ınh a u ˜ e . ’ a ` a a ’ a T´c gia gi´o tr` chˆn th`nh cam o.n c´c thˆy gi´o: TS. Lˆ D`nh a ’ a ınh a a ’ a ` a a e ı ˜ ´ a a . y ’ ’ a oPh`ng v` PGS. TS. Nguyˆn Minh Tuˆn d˜ doc k˜ ban thao v` d´ng u a e
  • Co. so. l´ thuyˆt h`m biˆn ph´.c ’ y ´ e a ´ e u 5 o ` ´ e e ´ y a ` ae ´g´p nhiˆu y kiˆn qu´ b´u vˆ cˆu tr´c v` nˆi dung v` d˜ g´p y cho t´c u a o . a a o ´ a ’ ` ugia vˆ nh˜ e .ng thiˆu s´t cua ban thao gi´o tr` ´ e o ’ ’ ’ a ınh. M´.i xuˆt ban lˆn dˆu, Gi´o tr`nh kh´ tr´nh khoi sai s´t. Ch´ng o a ’ ` ` ´ a a a ı o a ’ o utˆi rˆt chˆn th`nh mong du.o.c ban doc vui l`ng chı bao cho nh˜.ng o a ´ a a . . . o ’ ’ u ´ e o ’ ´ ’ gi´o tr` ng`y du.o.c ho`n thiˆn ho.n.thiˆu s´t cua cuˆn s´ch dˆ a o a e ınh a . a e. H` Nˆi, M`a thu 2004 a o. u T´c gia a ’
  • Chu.o.ng 1Sˆ ph´.c ´ o u 1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . . . -. ıa o´ u 6 1.2 Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . ´ . o ’ ´ o u 8 1.3 ’ ˜ Biˆu diˆ n h` e e ınh hoc. Mˆd un v` acgumen . 13 . o a 1.4 Biˆu diˆ n sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c . 23 e’ ˜ e ´ o u o . . a1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c -. ´ u ıa oMˆ i c˘p sˆ thu.c c´ th´. tu. (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o.c goi l` mˆt sˆ ˜ . ´ o a o . o u . . . a o o . ´ph´.c nˆu trˆn tˆp ho.p c´c c˘p d´ quan hˆ b˘ng nhau, ph´p cˆng v` u e ´ e a . . a a o . e ` . a e o . aph´p nhˆn du . e a .o.c du.a v`o theo c´c dinh ngh˜a sau dˆy: a a . ı a e ` (I) Quan hˆ b˘ng nhau . a  a = a , 1 2 (a1, b1) = (a2, b2 ) ⇐⇒ b1 = b2. (II) Ph´p cˆng e o .
  • 1.1. D. nh ngh˜ sˆ ph´.c -i ´ ıa o u 7 def (a1 , b1) + (a2, b2 ) = (a1 + a2, b1 + b2 ).1 (III) Ph´p nhˆn e a def (a1, b1 )(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1 b2 + a2b1 ). Tˆp ho.p sˆ ph´.c du.o.c k´ hiˆu l` C. Ph´p cˆng (II) v` ph´p nhˆn a . o u . ´ . y e a . e o . a e a ´(III) trong C c´ t´ chˆt giao ho´n, kˆt ho o ınh a a ´ e . .p, liˆn hˆ v´.i nhau bo.i e e o ’ .luˆt phˆn bˆ v` moi phˆn tu. = (0, 0) dˆu c´ phˆn tu. nghich dao. a. a ´ o a . `a ’ ` e o ` a ’ . ’Tˆp ho.p C lˆp th`nh mˆt tru.`.ng (goi l` tru.`.ng sˆ ph´.c) v´.i phˆn a. . a . a o . o . a o ´ o u o `atu’. khˆng l` c˘p (0; 0) v` phˆn tu. do.n vi l` c˘p (1; 0). Ap dung quy o a a a ` a ’ ´ . . a a . . ´c (III) ta c´: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆu k´ hiˆu i = (0, 1) th`t˘ a o ´ y e e . ı i2 = −1 Dˆi v´.i c´c c˘p dang d˘c biˆt (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v` (III) ta ´ o o a a . . a . e . ac´ o (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).T`. d´ vˆ m˘t dai sˆ c´c c˘p dang (a, 0), a ∈ R khˆng c´ g` kh´c biˆt u o ` a . o a a e . ´ . . o o ı a e . .i sˆ thu.c R: v` ch´ng du.o.c cˆng v` nhˆn nhu. nh˜.ng sˆ thu.c. Do o ´v´ o . ı u ´ . o . a a u o . a o e `’ o ´ a a a .i sˆ thu.c a: o ´vˆy ta c´ thˆ dˆng nhˆt c´c c˘p dang (a; 0) v´ o . . . . (a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R.D˘c biˆt l` (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1. a . e a . Dˆi v´.i sˆ ph´.c z = (a, b): ´ o o o u ´ 1+ Sˆ thu.c a du.o.c goi l` phˆn thu.c a = Re z, sˆ thu.c b goi l` phˆn ´ o . . . a ` a . ´ o . . a ` a’ a y e aao v` k´ hiˆu l` b = Im z. . 2 Sˆ ph´.c z = (a, −b) goi l` sˆ ph´.c liˆn ho.p v´.i sˆ ph´.c z + ´ o u ´ . a o u e . ´ o o u 1 def. l` c´ch viˆt t˘t cua t`. tiˆng Anh definition (dinh ngh˜ a a e ´ ’ u e ´ a ´ . ıa)
  • 8 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u 1.2 Dang dai sˆ cua sˆ ph´.c . ´ . o ’ ´ u o Moi sˆ ph´.c z = (a; b) ∈ C dˆu c´ thˆ viˆt du.´.i dang ´ . o u ` o e e e ’ ´ o . z = a + ib. (1.1) Thˆt vˆy, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib a a . . ’u th´.c (1.1) goi l` dang dai sˆ cua sˆ ph´.c z = (a, b). T`. (1.1) Biˆ e u . a . ´ . o ’ o u ´ u a . ´ v` dinh ngh˜ sˆ ph´ e . ıa o u .c liˆn ho.p ta c´ z = a − ib. o Du.´.i dang dai sˆ c´c ph´p t´nh trˆn tˆp ho.p sˆ ph´.c du.o.c thu.c o . ´ . o a e ı e a. ´ . o u . . . a ´ hiˆn theo c´c quy t˘c sau. e a Gia su. z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Khi d´ ’ ’ o (I) Ph´p cˆng: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2 ). e o . (II) Ph´p nhˆn: z1z2 = (a1a2 − b1b2 ) + i(a1b2 + a2b1 ). e a z2 a1 a2 + b1b2 a1b2 − a2 b1 (III) Ph´p chia: e = 2 2 +i 2 · z1 a1 + b1 a1 + b2 1 CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. 1+ T´ in . T`. d´ ch´.ng minh r˘ng ı . ınh u o u ` a a) in + in+1 + in+2 + in+3 = 0; b) i · i2 · · · i99 · i100 = −1. 2+ T` sˆ nguyˆn n nˆu: ´ ım o e ´ e a) (1 + i)n = (1 − i)n ; 1+i n 1−i n b) √ + √ = 0. 2 2 Giai. 1+ Ta c´ i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i v` ’ o a gi´ tri l˜y th` a . u .a b˘t dˆu l˘p lai. Ta kh´i qu´t h´a. Gia su. n ∈ Z v` ´ a . u a ` a . a a o ’ ’ a n = 4k + r, r ∈ Z, 0 r 3. Khi d´ o in = i4k+r = i4k · ir = (i4 )k ir = ir
  • 1.2. Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . ´ . o ’ o u ´ 9(v` i4 = i). T`. d´, theo kˆt qua trˆn ta c´ ı u o ´ e ’ e o  1  ´ nˆu n = 4k, e    i ´ nˆu n = 4k + 1, e in = (1.2) −1 nˆu n = 4k + 2,  ´ e     ´ −i nˆu n = 4k + 3. eT`. (1.2) dˆ d`ng suy ra a) v` b). u ˜ a e a + . hˆ th´.c (1 + i)n = (1 − i)n suy ra2 a) T` e u u . 1+i n = 1. 1−i 1+i 1+i nNhu.ng = i nˆn e = in = 1 ⇒ n = 4k, k ∈ Z. 1−i 1−i 1+i n 1−i n 1+i n b) T`. d˘ng th´.c √ u a ’ u + √ ` = 0 suy r˘ng a = −1 2 2 1−iv` do d´ in = −1 ⇒ n = 4k + 2, k ∈ Z. a oV´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng nˆu n l` bˆi cua 3 th` ı . u ` a ´ e a o ’ . ı √ √ −1 + i 3 n −1 − i 3 n + =2 2 2 a e´ o ´v` nˆu n khˆng chia hˆt cho 3 th` e ı √ √ −1 + i 3 n −1 − i 3 n + = −1. 2 2 Giai. 1+ Nˆu n = 3m th` ’ ´ e ı √ √ −1 + i 3 3 m −1 − i 3 3 m S= + 2 √ √ 2 √ √ −1 + 3i 3 + 9 − 3i 3 m −1 − 3i 3 + 9 + 3i 3 m = + 8 8 m m = 1 + 1 = 2.
  • 10 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u 2+ Nˆu n = 3m + 1 th` ´ e ı √ √ √ √ −1 + i 3 3 m −1 + i 3 −1 − i 3 3 m 1−i 3 S= + 2 √ √ 2 2 2 −1 + i 3 −1 − i 3 = + = −1. 2 2 Tu.o.ng tu. nˆu n = 3m + 2 ta c˜ng c´ S = −1. . e ´ u o V´ du 3. T´ biˆu th´.c ı . ınh e ’ u 1+i 1+i 2 1+i 22 1+i 2n σ = 1+ 1+ 1+ ··· 1 + . 2 2 2 2 1+i Giai. Nhˆn v` chia biˆu th´.c d˜ cho v´.i 1 − ’ a a e’ u a o ta c´ o 2 1 + i 2n 2 1 + i 2n+1 1− 1− σ= 2 = 2 · 1+i 1+i 1− 1− 2 2 ` ınh Ta cˆn t´ a n 1+i 2n+1 1+i 2 2n i 2n i2 1 = = = 2n = 2n · 2 2 2 2 2 Do d´ o 1 1 1− 2n 2 1 − 2n 1+i σ= 2 = 2 × 1+i 1−i 1+i 1− 2 1 = 1 − 2n (1 + i) 2 √ V´ du 4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c 4 − 3i du.´.i dang dai sˆ. ı . e’ ˜ o u e ´ o . . o ´ Giai. Theo dinh ngh˜a ta cˆn t` sˆ ph´.c w sao cho w2 = 4 − 3i. ’ . ı ` ım o u a ´ ´ Nˆu w = a + bi, a, b ∈ R th` e ı 4 − 3i = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi.
  • 1.2. Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . ´ . o ’ o u ´ 11T`. d´ u o a2 − b2 = 4, (1.3) 2ab = −3. (1.4) 3T`. (1.4) ta c´ b = − . Thˆ v`o (1.3) ta thu du.o.c u o ´ e a . 2a 4u2 − 16u − 9 = 0, u = a2 √ 8 + 100 8 + 10 18 9 u1 = = = = , ⇐⇒ 4 4 4 2 √ 8 − 100 8 − 10 1 u2 = = =− · 4 4 2 9V` a ∈ R nˆn u ı e 0⇒u= v` do vˆy a a . 2 3 1 a = ±√ ⇒ b = √ · 2 2 T`. d´ ta thu du.o.c u o . 3 1 w1,2 = ± √ − √ i 2 2V´ du 5. Biˆu diˆn sˆ ph´.c ı . ’ e ˜ o u e ´ √ √ 5 + 12i − 5 − 12i z=√ √ 5 + 12i + 5 − 12i √ √v´.i diˆu kiˆn l` c´c phˆn thu.c cua 5 + 12i v` 5 − 12i dˆu ˆm. o ` e e a a . ` a . ’ a ` a e ’ ´ Giai. Ap dung phu .o.ng ph´p giai trong v´ du 4 ta c´ a ’ ı . o . √ 5 + 12i = x + iy ⇒ 5 + 12i = x2 − y 2 − 2xyi  x2 − y 2 = 5, ⇐⇒ 2xy = 12.
  • 12 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u e a o . e . a a ` Hˆ n`y c´ hai nghiˆm l` (3; 2) v` (−3; −2). Theo diˆu kiˆn, phˆn e e. `a thu ’ .c cua √5 + 12i ˆm nˆn ta c´ √5 + 12i = −3 − 2i. Tu.o.ng tu. ta a e o . √ . t`m du . ı .o.c 5 − 12i = −3 + 2i. Nhu. vˆy a . −3 − 2i − (−3 + 2i) 2 z= = i −3 − 2i + (−3 + 2i) 3 z−1 V´ du 6. Gia su. z = a + ib, z = ±1. Ch´.ng minh r˘ng w = ı . ’ ’ u ` a l` a z+1 sˆ thuˆn ao khi v` chı khi a2 + b2 = 1. ´ o ` ’ a a ’ ’ Giai. Ta c´ o (a − 1) + ib a2 + b2 − 1 2b w= = 2 + b2 +i · (a + 1) + ib (a + 1) (a + 1)2 + b2 T`. d´ suy r˘ng w thuˆn ao khi v` chı khi u o ` a ` ’ a a ’ a2 + b2 − 1 = 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 1. (a + 1)2 + b2 ` ˆ BAI TAP . T´ ınh (1 + i)8 − 1 15 1. · (DS. ) (1 − i)8 + 1 17 (1 + 2i)3 + (1 − 2i)3 11 2. · (DS. − i) (2 − i)2 − (2 + i)2 4 (3 − 4i)(2 − i) (3 + 4i)(2 + i) 14 3. − · (DS. − ) 2+i 2−i 5 1−i 1−i 2 1−i 22 1−i 2n 4. 1+ √ 1+ √ 1+ √ ··· 1 + √ . 2 2 2 2 (DS. 0) ’ ˜ ´ a . a ’ ı . Chı dˆ n. Ap dung c´ch giai v´ du 3. 5. Ch´.ng minh r˘ng u ` a z1 z1 a) z1 + z2 = z1 + z 2 ; b) z1 z2 = z1 · z 2 ; c) = ; z2 z2
  • ’ ˜ ınh .1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 13 n d) z n = (z) ; e) z + z = 2Re z; g) z − z = 2Im z.6. V´.i gi´ tri thu.c n`o cua x v` y th` c´c c˘p sˆ sau dˆy l` c´c c˘p o a . . a ’ a . ´ ı a a o a a a a . ´ .c liˆn ho.p:sˆ ph´ e . o u 1) y 2 − 2y + xy − x + y + (x + y)i v` −y 2 + 2y + 11 − 4i; a 2) x + y 2 + 1 + 4i v` ixy 2 + iy 2 − 3 ? a (DS. 1) x1 = 1, y1 = 3; x2 = 9, y2 = 5; 2) x1,2 = −5, y1,2 = ±5)7. Ch´.ng minh r˘ng z1 v` z2 l` nh˜.ng sˆ ph´.c liˆn ho.p khi v` chı u ` a a a u ´ o u e . a ’khi z1 + z2 v` z1z2 l` nh˜ a a u .ng sˆ thu.c. ´ o .8. T´ ınh: √ 1) −5 − 12i. (DS. ±(2 − 3i)) √ 2) 24 + 10i. (DS. ±(5 + i)) √ 3) 24 − 10i. (DS. ±(5 − i)) √ √ √ √ 4) 1 + i 3 + 1 − i 3. (DS. ± 6, ±i 2)9. Ch´.ng minh r˘ng u ` a 2 4 6 8 1) 1 − C8 + C8 − C8 + C8 = 16; 2 4 6 8 2) 1 − C9 + C9 − C9 + C9 = 16; 1 3 5 7 9 3) C9 − C9 + C9 − C9 + C9 = 16. Chı dˆ n. Ap dung cˆng th´.c nhi th´.c Newton dˆi v´.i (1 + i)8 v` ’ a ´ ˜ . o u . u ´ o o a 9(1 + i) .1.3 e’ ˜ Biˆu diˆn h` hoc. Mˆdun v` acgu- e ınh . o a menMˆ i sˆ ph´.c z = a + ib c´ thˆ d˘t tu.o.ng u.ng v´.i diˆm M(a; b) cua ˜ ´ o o u o e a ’ . ´ o e ’ ’ ’m˘t ph˘ng toa dˆ v` ngu . . a a .o.c lai mˆ i diˆm M (a; b) cua m˘t ph˘ng dˆu ˜ ’ ’ ’ ` . . o a . o e a. a etu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z = a + ib. Ph´p tu.o.ng u.ng du.o.c x´c lˆp l` ´ o o u´ e ´ . a a a .do.n tri mˆt - mˆt. Ph´p tu.o.ng u.ng d´ cho ph´p ta xem c´c sˆ ph´.c ´ . o. o. e ´ o e a o u . l` c´c diˆm cua m˘t ph˘ng toa dˆ. M˘t ph˘ng d´ du.o.c goi l`nhu a a ’ e ’ a ’ a ’ . . o . a . a o . . am˘t ph˘ng ph´.c. Truc ho`nh cua n´ du.o.c goi l` Truc thu.c, truc tung a. ’ a u . a ’ o . . a . . .
  • 14 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u du.o.c goi l` Truc ao. Thˆng thu.`.ng sˆ ph´.c z = a + ib c´ thˆ xem . . a −→ . ’ o o ´ o u o e ’ nhu . vecto. OM . Mˆ i vecto. cua m˘t ph˘ng v´.i diˆm dˆu O(0, 0) v` ˜ o ’ a ’ a o e’ ` a a . diˆm cuˆi tai diˆm M(a; b) dˆu tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z = a + ib v` e’ ´ o . e ’ ` e ´ ´ o o u a .o.c lai. ngu . . Su. tu.o.ng u.ng du.o.c x´c lˆp gi˜.a tˆp ho.p sˆ ph´.c C v´.i tˆp ho.p . ´ . a a . u a. ´ . o u o a . . ’ c´c diˆm hay c´c vecto a a e a . m˘t ph˘ng cho ph´p goi c´c sˆ ph´.c l` diˆm ’ a ´ e . a o u a e ’ . hay vecto .. V´.i ph´p biˆu diˆn h`nh hoc sˆ ph´.c, c´c ph´p to´n cˆng v` tr`. o e e’ ˜ ı e ´ . o u a e a o . a u c´c sˆ ph´.c du.o.c thu.c hiˆn theo quy t˘c cˆng v` tr`. c´c vecto.. a o u´ . . e . ´ o a . a u a Gia su. z ∈ C. Khi d´ dˆ d`i cua vecto. tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z ’ ’ o o a ’ . ´ ´ o o u du.o.c goi l` mˆdun cua n´. . . a o ’ o e´ Nˆu z = a + ib th` ı √ √ r = |z| = a2 + b2 = z z. G´c gi˜.a hu.´.ng du.o.ng cua truc thu.c v` vecto. z (du.o.c xem l` g´c o u o ’ . . a . a o du.o.ng nˆu n´ c´ dinh hu.´.ng ngu.o.c chiˆu kim dˆng hˆ) du.o.c goi l` ´ e o o . o `e ` o ` o . . . a ’ o ´ o o ´ acgumen cua sˆ z = 0. Dˆi v´ o´ .i sˆ z = 0 acgumen khˆng x´c dinh. o a . Kh´c v´.i mˆdun, acgumen cua sˆ ph´.c x´c dinh khˆng do.n tri, n´ a o o ´ ’ o u a . o . o .i su. sai kh´c mˆt sˆ hang bˆi nguyˆn cua 2π v` x´c dinh v´ . a . o a . ´ o o . o . e ’ a Arg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z, trong d´ arg z l` gi´ tri ch´ cua acgumen du.o.c x´c dinh bo.i diˆu o a a . ınh ’ . a . ’ ` e kiˆn −π < arg z π ho˘c 0 arg z < 2π. e . a . ` a .c v` phˆn ao cua sˆ ph´.c z = a + ib du.o.c biˆu diˆn qua Phˆn thu a ` ’ a ´ ’ o u e’ ˜ e . . mˆdun v` acgument cua n´ nhu. sau o a ’ o  a = r cos ϕ, y = r sin ϕ.
  • ’ ˜ ınh .1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 15 Nhu. vˆy, acgumen ϕ cua sˆ ph´.c c´ thˆ t`m t`. hˆ phu.o.ng tr` a . ´ ’ o u o e ı ’ u e . ınh  cos ϕ = √ a  , a2 + b2 sin ϕ = √ b  · a2 + b2 CAC V´ DU ´ I . x − y 2 + 2xyi 2 ı . ım o ’ o ´V´ du 1. T` mˆdun cua sˆ z = √ · xy 2 + i x4 + y 4 ’ Giai. Ta c´ o (x2 − y 2 )2 + (2xy)2 x2 + y 2 |z| = √ = 2 = 1. 2+( 4 + y 4 )2 x + y2 (xy 2) xV´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng ∀ z1, z2 ∈ C ta dˆu c´: ı . u ` a ` o e (i) |z1 + z2| |z1 | + |z2|; (ii) |z1 − z2| |z1| + |z2|; (iii) |z1 + z2| |z1 | − |z2 |; (iv) z1 − z2 | |z1| − |z2. ’ Giai. (i) Ta c´o |z1 + z2|2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1|2 + |z2|2 + 2Re(z1z 2 ).V` −|z1z2 | ı Re(z1 z 2) |z1z2| nˆn e |z1 + z2|2 |z1|2 + |z2|2 + 2|z1 ||z2| = (|z1| + |z2|)2 ⇒ |z1 + z2| |z1| + |z2 |. (ii) V` |z2 | = | − z2| nˆn ı e |z1 − z2 | = |z1 + (−z2)| ≤ |z1| + | − z2| = |z1 | + |z2|. (iii) Ap dung (ii) cho z1 = (z1 + z2 ) − z2 v` thu du.o.c ´ . a . |z1| |z1 + z2 | + |z2| → |z1 + z2| |z1| − |z2|.
  • 16 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u (iv) |z1 − z2| = |z1 + (−z2)| ≥ |z1| − | − z2 | = |z1| − |z2|. Nhˆn x´t. C´c bˆt d˘ng th´.c (iii) v` (iv) c`n c´ thˆ viˆt du.´.i a e . a a a ´ ’ u a o o e e ’ ´ o dang . (iii)∗. |z1 + z2 | |z1| − |z2| ; (iv)∗. |z1 − z2 | |z1| − |z2| . Thˆt vˆy ta c´ |z1 + z2| |z1| − |z2| v` |z1 + z2| |z2| − |z1 |. C´c a a . . o a a vˆ phai kh´c nhau vˆ dˆu do d´ nˆu lˆy vˆ phai du.o.ng th` thu du.o.c ´ ’ e a ` a e ´ ´ ´ ´ ’ o e a e ı . ∗ ´ ’ (iii) . Bˆt d˘ng th´ a a u.c (iv)∗ thu du.o.c t`. (iii)∗ b˘ng c´ch thay z2 bo.i ` ’ . u a a −z2. V´ du 3. Ch´.ng minh dˆng nhˆt th´.c ı . u ` o ´ a u |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2). Giai th´ y ngh˜ h`nh hoc cua hˆ th´.c d˜ ch´.ng minh. ’ ıch ´ ıa ı . ’ e u a u . ’ ’ ’ Giai. Gia su . z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 . Khi d´ o z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2), z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2 ), |z1 + z2|2 = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2)2 , |z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 . T`. d´ thu du.o.c u o . |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(x2 + y1 )2 + 2(x2 + y2 ) = 2(|z1 |2 + |z2 |2). 1 2 2 T`. hˆ th´.c d˜ ch´.ng minh suy r˘ng trong mˆ i h`nh b`nh h`nh tˆng c´c u e u a u . ` a ˜ o ı ı a o’ a b` phu.o.ng dˆ d`i cua c´c du.`.ng ch´o b˘ng tˆng c´c b` phu.o.ng ınh o a ’ a . o e ` a o’ a ınh o a ’ a . ’ o dˆ d`i cua c´c canh cua n´. . V´ du 4. Ch´.ng minh r˘ng nˆu |z1| = |z2| = |z3| th` ı . u ` a ´ e ı z3 − z2 1 z2 arg = arg · z3 − z1 2 z1 Giai. Theo gia thiˆt, c´c diˆm z1 , z2 v` z3 n˘m trˆn du.`.ng tr`n ’ ’ ´ e a e’ a ` a e o o .i tˆm tai gˆc toa dˆ. Ta x´t c´c vecto. z3 − z2; z3 − z1, z1 v` n`o d´ v´ a a o o ´ . o . o . e a a z2 (h˜y v˜ h` a e ınh).
  • ’ ˜ ınh .1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 17 B˘ng nh˜.ng nguyˆn do h` hoc, dˆ thˆy r˘ng ` a u e ınh . ˜ a a e ´ ` z3 − z2 arg = arg(z3 − z2 ) − arg(z3 − z1) z3 − z1v` g´c n`y nh` cung tr`n nˆi diˆm z1 v` z2 v` g´c o. tˆm a o a ın ´ ’ o o e a a o ’ a z2 arg = argz2 − argz1 z1 ´ ınh o o . y o ’ ınh .c˜ng ch˘n ch´ cung tr`n d´. Theo dinh l´ quen thuˆc cua h` hoc u a . . cˆp ta c´so a ´ o z3 − z2 1 z2 arg = arg · z3 − z1 2 z1V´ du 5. Ch´.ng minh r˘ng nˆu |z1| = |z2| = |z3 | = 1 v` z1 +z2+z3 = 0 ı . u ` a ´ e a ’ a a ’ ’ a ` . ´th` c´c diˆm z1, z2 v` z3 l` c´c dınh cua tam gi´c dˆu nˆi tiˆp trong ı a e a e o edu.`.ng tr`n do.n vi. o o . Giai. Theo gia thiˆt, ba diˆm z1, z2 v` z3 n˘m trˆn du.`.ng tr`n ’ ’ ´ e ’ e a ` a e o o .n vi. Ta t` dˆ d`i cua c´c canh tam gi´c.do . ım o a ’ a . a . + 1 T` dˆ d`i |z1 − z2|. Ta c´ ım o a . o |z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 = x2 + y1 + x2 + y2 − (2x1 x2 + 2y1 y2) 1 2 2 2 = 2(x2 + y1 ) + 2(x2 + y2 ) − [(x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2] 1 2 2 2 = 2|z1 |2 + 2|z2 |2 − 2|z1 + z2 |2.Nhu.ng z1 + z2 = −z3 v` |z1 + z2| = |z3|. Do d´ a o |z1 − z2|2 = 2|z1 |2 + 2|z2|2 − |z3|2 = 2 · 1 + 2 · 1 − 1 = 3v` t`. d´ a u o √ |z1 − z2| = 3 . √ √ 2+ Tu.o.ng tu. ta c´ |z2 − z3 | = 3, |z3 − z1 | = 3. T`. d´ suy ra . o u otam gi´c v´.i dınh z1 , z2, z3 l` tam gi´c dˆu. a o ’ a a `e
  • 18 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u V´ du 6. V´.i diˆu kiˆn n`o th` ba diˆm kh´c nhau t`.ng dˆi mˆt z1, ı . o ` e e a . ı e’ a u o o . ` z2 , z3 n˘m trˆn mˆt du o a e o .`.ng th˘ng. a’ . ’ + Giai. 1 Nˆ a ´u c´c diˆm z1, z2, z3 n˘m trˆn du.`.ng th˘ng cho tru.´.c e ’ e ` a e o ’ a o th` vecto ı . di t`. z2 dˆn z1 c´ hu.´.ng nhu. cua vecto. di t`. diˆm z3 dˆn u ´ e o o ’ u e ’ ´ e z1 ho˘c c´ hu.´.ng ngu.o.c lai. Diˆu d´ c´ ngh˜ l` c´c g´c nghiˆng cua a o o . . . ` o o e ıa a a o e ’ c´c vecto. n`y dˆi v´.i truc thu.c ho˘c nhu. nhau ho˘c sai kh´c g´c π. a a o o ´ . . a . a . a o Nhu .ng khi d´ ta c´ o o arg(z1 − z2 ) = arg(z1 − z3 ) + kπ, k = 0, 1. T`. d´ suy ra u o z1 − z2 arg = arg(z1 − z2 ) − arg(z1 − z3) = kπ, k = 0, 1. z1 − z3 z1 − z2 Nhu. vˆy sˆ ph´.c . ´ a o u c´ acgumen b˘ng 0 ho˘c b˘ng π, t´.c l` sˆ o ` a a ` . a u a o ´ z1 − z3 z1 − z2 l` sˆ thu.c. Diˆu kiˆn thu du.o.c l` diˆu kiˆn cˆn. ´ a o . `e e . . a ` e e ` . a z1 − z3 2+ Ta ch´.ng minh r˘ng d´ c˜ng l` diˆu kiˆn du. Gia su. u ` a o u a ` e e ’ . ’ ’ z1 − z2 = α, α ∈ R. z1 − z3 z1 − z2 Khi d´ Im o = 0. Hˆ th´.c n`y tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ th´.c e u a . o e u. z1 − z3 y1 − y3 x1 − x3 = · (1.5) y1 − y2 x1 − x2 Phu.o.ng tr` du.`.ng th˘ng qua diˆm (x1, y1) v` (x2, y2 ) c´ dang ınh o ’ a ’ e a o . y − y1 x − x1 = · (1.6) y2 − y1 x2 − x1 T`. (1.5) v` (1.6) suy ra diˆm (x3 , y3) n˘m trˆn du.`.ng th˘ng d´. u a ’ e ` a e o ’ a o V´ du 7. X´c dinh tˆp ho.p diˆm trˆn m˘t ph˘ng ph´.c thoa m˜n c´c ı . a . a . . ’ e e a . ’ a u ’ a a ` diˆu kiˆn: e e .
  • ’ ˜ ınh .1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 19 1) |z − 2| + |z + 2| = 5; 2) |z − 2| − |z + 2| > 3; 3) Re z c; 4) Im z < 0. Giai. 1) D˘ng th´.c |z − 2| + |z + 2| = 5 x´c dinh qu˜ t´ nh˜.ng ’ ’ a u a . y ıch u e’ ’diˆm cua m˘t ph˘ a . ’ ng m` tˆng khoang c´ch t`. d´ dˆn hai diˆm cho a a o ’ ’ a u o e ´ e’ .´.c F1 = −2 v` F2 = +2 l` h˘ng sˆ b˘ng 5. Theo dinh ngh˜a trongtru o a a ` a o ` ´ a ı . 5h` hoc giai t´ d´ l` du.`.ng ellip v´.i b´n truc l´.n b˘ng v` tiˆu ınh . ’ ıch o a o o a . o ` a a e 2 ’diˆm ±2. e e’ ’ a . ’ a ’ 2) Qu˜ t´ c´c diˆm cua m˘t ph˘ng C thoa m˜n diˆu kiˆn y ıch a a ` e e . a .`.ng hypecbˆn. D˘ng th´.c|z − 2| − |z + 2| = 3 l` du o o ’ a u |z − 2| − |z + 2| = 3x´c dinh nh´nh bˆn tr´i cua du.`.ng hypecbˆn v` bˆt d˘ng th´.c a . a e a ’ o o a a a´ ’ u a . `a ’|z − 2| − |z + 2| > 3 x´c dinh phˆn trong cua nh´nh d´. a o 3) Rez c ⇒ x c. D´ l` nu o a ’ .a m˘t ph˘ng bˆn phai du.`.ng th˘ng a ’ a e ’ o ’ a . ’ e ’x = c (kˆ ca du o .`.ng th˘ng x = c). ’ a 4) V` Im z = y ⇒ Im z < c ⇒ y < c. D´ l` nu.a m˘t ph˘ng du.´.i ı o a ’ a . ’ a o .`.ng th˘ng y = c (khˆng kˆ du.`.ng th˘ng d´).du o a’ o ’ e o ’ a oV´ du 8. X´c dinh tˆp ho.p diˆm trˆn m˘t ph˘ng ph´.c C du.o.c cho ı . a . a . . e’ e a . ’ a u . ’.i diˆu kiˆn:bo ` e e . 1) |z| = Rez + 1; 2) |z − 1| 2|z − i|; 3) |z − 2 + i|u2 − 2|z − 2 + i|u + 1 > 0 ∀ u ∈ R. 1 4) log3(2 + |z 2 + i|) + log27 = 0. (2 + |z 2 − i|)3 Giai. 1) Gia su. z = x + iy. Khi d´ t`. diˆu kiˆn ’ ’ ’ o u ` e e . |z| = Rez + 1 ⇒ x2 + y 2 = x + 1 ⇒ y 2 = 2x + 1.
  • 20 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u 1 D´ l` phu.o.ng tr` parabˆn v´.i dınh tai diˆm o a ınh o o ’ . e ’ − ; 0 v´.i truc dˆi o . o ´ .ng l` tia 2 x´ u a 1 γ = (x, y) ∈ R2 : x − ,y = 0 . 2 2) Gia su. z = x + iy. Khi d´ t`. diˆu kiˆn d˜ cho suy ra: ’ ’ o u ` e e a . |x − 1 + iy| 2|x + i(y − 1)| ⇒ (x − 1)2 + y 2 ≥ 2 x2 + (y − 1)2 1 2 4 2 8 ⇒ x+ + y− · 3 3 9 1 4 T`. d´ suy ra r˘ng diˆu kiˆn d˜ cho x´c dinh h`nh tr`n tˆm z0 = − +i u o ` a ` e e a . a . ı o a √ 3 3 2 2 v` b´n k´ a a ınh . 3 3) V` tam th´.c bˆc hai (dˆi v´.i u) o. vˆ tr´i cua diˆu kiˆn d˜ cho ı u a . ´ o o ´ ’ e a ’ ` e e a . .o.ng ∀ u ∈ R nˆn biˆt sˆ cua n´ ˆm, t´.c l` du e . ´ e o ’ oa u a |z − 2 + i|2 − |z − 2 + i| < 0 ⇒|z − 2 + i| < 1. D´ l` h` tr`n v´.i tˆm tai z0 = 2 − i v` b´n k´nh b˘ng 1. o a ınh o o a . a a ı ` a . diˆu kiˆn d˜ cho ta thu du.o.c 4) T` ` u e e a . . 2 + |z 2 + i| log3 =0 2 + |z 2 − i| 2 + |z 2 + i| ⇒ 2 − i| = 1 v` |z 2 + i| = |z 2 − i|. a 2 + |z T`. d´ suy r˘ng z 2 l` sˆ thu.c bˆt k`. Nhu.ng khi d´ z l` sˆ thu.c bˆt u o ` a ´ a o . ´ a y o a o . ´ ´ a k` ho˘c sˆ thuˆn ao bˆt k`. Nhu. vˆy chı c´ c´c diˆm n˘m trˆn c´c y a o. ´ ` ’ a ´ a y a . ’ o a ’ e ` a e a . . o a ’ . ` truc toa dˆ l` thoa m˜n diˆu kiˆn d˜ cho. a e e a . ` ˆ BAI TAP .
  • ’ ˜ ınh .1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 211. Ch´.ng minh r˘ng u ` a 1) |z1 · z2| = |z1 | · |z2 |; 2) |z1 ± z2 | |z1| + |z2|; 3) |z1 ± z2 | |z1| − |z2| .2. Xuˆt ph´t t`. c´c biˆu diˆn h`nh hoc, ch´.ng minh: ´ a a u a e’ ˜ ı e . u z 1) −1 |argz|; |z| 2) |z − 1| |z| − 1 + |z||argz|.3. Ch´.ng minh r˘ng nˆu gi´ tri ch´ argz = arg(a + ib) thoa m˜n u ` a ´ e a . ınh ’ adiˆu kiˆn −π < argz π th` n´ du.o.c t´nh theo cˆng th´.c ` e e . ı o . ı o u  arctg b  ´ nˆu a > 0, e   a   b ´ arg(a + ib) = arctg + π nˆu a < 0, b 0, e   a    arctg b − π nˆu a < 0, b < 0. ´ e a4. Ch´.ng minh r˘ng nˆu gi´ tri ch´ arg(a + ib) thoa m˜n diˆu kiˆn u ` a ´ e a . ınh ’ a ` e e .0 arg(a + ib) < 2π th`ı  arctg b  ´ nˆu a > 0, b > 0, e   a   b arg(a + ib) = arctg + 2π ´ nˆu a > 0, b < 0, e   a    arctg b + π ´ nˆu a < 0. e a b π π Chı dˆ n. Lu.u y r˘ng gi´ tri ch´ cua arctg ∈ − , ’ a˜ ´ a` a . ınh ’ . a 2 25. Ch´.ng minh r˘ng |a + b|2 + |a − b|2 = 4|a|2 nˆu |a| = |b|. u ` a ´ e6. Ch´.ng minh dˆng nhˆt th´.c u ` o ´ a u |1 − ab|2 − |a − b|2 = (1 + |ab|)2 − (|a| + |b|)2, a ∈ C, b ∈ C. Chı dˆ n. Su. dung hˆ th´.c |z|2 = zz. ’ ˜a ’ . e u .
  • 22 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u 7. Ch´.ng minh dˆng nhˆt th´.c u ` o ´ a u 1) |a + b|2 = (|a| + |b|)2 − 2 |ab| − Re(ab) . 2) |ab + 1|2 + |a − b|2 = (|a|2 + 1)(|b|2 + 1). 8. Ch´.ng minh r˘ng moi sˆ ph´.c z = −1 v` |z| = 1 dˆu c´ thˆ biˆu u ` a ´ . o u a ` o e e e ’ ’ diˆn du.´.i dang ˜ e o . 1 + ti z= , t ∈ R. 1 − ti Chı dˆ n. Biˆu diˆn t qua z v` ch´.ng minh t = t. ’ a˜ ’ e ˜ e a u 1 + |a| 9. Ch´.ng minh r˘ng nˆu Rea u ` a ´ e √ · 0 th` |1 + a| ı 2 ’ a˜ ’ Chı dˆ n. C´ thˆ ch´ o e u .ng minh b˘ng phan ch´.ng. ` a ’ u 10. Trong c´c sˆ ph´.c thoa m˜n diˆu kiˆn ´ a o u ’ a ` e e . |z − 25i| 15 h˜y t` sˆ c´ acgument du.o.ng nho nhˆt. ´ a ım o o ’ a ´ 11. T` acgumen cua c´c sˆ ph´.c sau dˆy ım ´ ’ a o u a π π π 1) cos − i sin · (DS. − ) 6 6 6 π π 2π 2) − cos + i sin · (DS. ) 3 3 3 3) cos ϕ − i sin ϕ. (DS. −ϕ) 4) − cos ϕ − i sin ϕ. (DS. π + ϕ) π 5) sin ϕ + i cos ϕ. (DS. − ϕ) 2 π 6) sin ϕ − i cos ϕ. (DS. ϕ − ) 2 π 7) − sin ϕ − i cos ϕ. (DS. − − ϕ ) 2
  • 1.4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ e ˜ o u e ´ o . . a 231.4 Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng e’ ˜ e ´ o u o . . gi´c aMoi sˆ ph´.c z = a + ib = 0 dˆu biˆu diˆn du.o.c du.´.i dang ´ . o u ` e ’ e ˜ e . o . z = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ) (1.7) √trong d´ r = |z| = a2 + b2, ϕ l` mˆt trong c´c acgumen cua n´. o a o. a ’ o Ph´p biˆu diˆn d´ du.o.c goi l` dang lu.o.ng gi´c cua sˆ ph´.c z. Dˆ e e’ ˜ o e . . a . . a ’ o u ´ ’ echuyˆn t`. dang dai sˆ sang dang lu.o.ng gi´c ta chı cˆn t`m mˆdun ’ e u . . o ´ . . a ’ ` ı a o . a ’v` mˆt trong c´c acgument cua n´. V` mˆdun v` acgumen cua tˆng a o o ı o a ’ o ’(hiˆu) hai sˆ ph´.c kh´ c´ thˆ biˆu diˆn qua mˆdun v` acgumen cua e. ´ o u o o e e ’ ’ ˜ e o a ’ ´c´c sˆ hang nˆn ph´p cˆng v` ph´p tr` a o . e e o a e u. du.´.i dang lu.o.ng gi´c l` khˆng o . a a o . .kha thi. Ngu.o.c lai, ph´p nhˆn, ph´p chia, ph´p nˆng lˆn l˜y th`.a v` ’ . . e a e e a e u u a .o.c thu.c hiˆn rˆt tiˆn lo.i du.´.i dang lu.o.ng gi´c.khai c˘n du . a . . ´ . e a e . o . . a ’ ’ Gia su . z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2),z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi d´ o + 1 z1z2 = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )] z1 r1 2+ = [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )], r2 = 0. z2 r2 3 z = rn [cos nϕ + i sin nϕ], n ∈ Z. + n √ ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ 4+ wk = n r cos + i sin , k = 0, n − 1. n n T`. 3+ suy ra u [cos ϕ + i sin ϕ]n = cos nϕ + i sin nϕ. (1.8)Cˆng th´.c (1.8) du.o.c goi l` cˆng th´.c Moivre. o u . . a o u Ph´p to´n nˆng sˆ e lˆn lu˜ th`.a ph´.c z = x + iy du.o.c dinh ngh˜a e a a ´ o e y u u . . ıbo.i cˆng th´.c ’ o u def ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y). (1.9) ’ Ch˘ng han a .
  • 24 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u e1+i = e(cos 1 + i sin 1), π π eπi/2 = cos + i sin = i, 2 2 πi e = cos π + i sin π = −1. T`. (1.9) khi z = iϕ ta thu du.o.c cˆng th´.c u . o u eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ (1.10) goi l` cˆng th´.c Euler. . a o u Moi sˆ ph´.c z = 0 dˆu c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang ´ . o u ` o e e e ’ ’ ˜ e o . z = reiϕ , (1.11) a o. a ’ o e e’ trong d´ r = |z|, ϕ l` mˆt trong c´c acgumen cua n´. Ph´p biˆu diˆn o ˜ e (1.11) du.o.c goi l` dang m˜ cua sˆ ph´.c. C˜ng nhu. dˆi v´.i dang lu.o.ng . . a . u ’ o u ´ u ´ o o . . gi´c ta c´: a o 1/ nˆu z1 = r1 eiϕ1 , z2 = r2 eiϕ2 th` ´ e ı z1z2 = r1 r2 ei(ϕ1+ϕ2 ) , (1.12) r1 z1/z2 = ei(ϕ1 −ϕ2 ) , (1.13) r2 2/ nˆu z = reiϕ th` ´ e ı z n = rn einϕ , (1.14) √ √ ϕ+2kπ n z = n rei n , k = 0, n − 1 (1.15) CAC V´ DU ´ I . ı . e’ ˜ a o u e ´ V´ du 1. Biˆu diˆn c´c sˆ ph´ .c sau dˆy du.´.i dang lu.o.ng gi´c a o . a √ √ . 1) −1 + i 3; 2) 2 + 3 + i. Giai. 1) T` mˆdun v` acgumen cua sˆ ph´.c d˜ cho: ’ ım o a ´ ’ o u a √ √ r= (−1)2 + ( 3)2 = 2; tg ϕ = − 3 .
  • 1.4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ e ˜ o u e ´ o . . a 25 π 2πT`. d´ ho˘c ϕ = −π/3, ho˘c ϕ = − + π = u o a . a. . V` sˆ ph´.c d˜ ı o´ u a 3 3 2π √cho thuˆc g´c phˆn tu. II nˆn ta chon ϕ = o o . ` a e . . T`. d´ −1 + i 3 = u o 3 2π 2π2 cos i sin . 3 3 2) T` modun v` acgumen: ım a √ √ √ √ |2 + 3 + i| = (2 + 3)2 + 1 = 8+4 3=2 2+ 3. √ ´ Nˆu ϕ = arg(2 + e 3 + i) th` ı √ √ √ 3 π 2+ 1+ 1 + coscos ϕ = 3 2+ 3 2 = 6 = cos π · √ = = 2 2+ 3 2 2 2 12T`. d´ suy r˘ng u o ` a √ √ π π 2 3+i=2 2+ 3 cos + i sin 12 12V´ du 2. Biˆu diˆn c´c sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ı . ’ e ˜ a o u e ´ o . . a 1) 1 + cos ϕ + i sin ϕ, −π < ϕ < π. 2) 1 + cos ϕ + i sin ϕ, π < ϕ < 2π. 1 + cos ϕ + i sin ϕ π 3) w = , 0<ϕ< · 1 + cos ϕ − i sin ϕ 2 ’ Giai. 1) Ta c´o ϕ ϕ |z| = 2(1 + cos ϕ) = 2 cos = 2 cos 2 2 π ϕ π ϕv` −π < ϕ < π ⇒ − < < ⇒ cos > 0. ı 2 2 2 2 Gia su. α = argz. Khi d´ ’ ’ o  1 + cos ϕ ϕ  cos α = ϕ = cos 2 ,   2 cos ϕ ϕ ϕ 2 ⇒ z = 2 cos cos + i sin . sin ϕ ϕ  2 2 2 sin α = ϕ = sin 2 ·    2 cos 2
  • 26 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u 2) Trong tru.`.ng ho.p n`y ta c´ o . a o ϕ ϕ r = |z| = 2(1 + cos ϕ) = 2 cos = −2 cos 2 2 π ϕ v` ı < < π. Gia su. α = argz. Khi d´ ’ ’ o 2 2 1 + cos ϕ ϕ ϕ cos α = ϕ = − cos 2 = cos −π , −2 cos 2 2 sin ϕ ϕ ϕ sin α = ϕ = − sin 2 = sin −π . −2 cos 2 2 T`. d´ suy r˘ng u o ` a ϕ ϕ ϕ 1 + cos ϕ + i sin ϕ = −2 cos cos − π + i sin −π . 2 2 2 3) Tru.´.c hˆt nhˆn x´t r˘ng |w| = 1 v` tu. sˆ v` mˆ u sˆ cua n´ c´ o e ´ a e a . ` ´ ˜ ´ ı ’ o a a o ’ o o ` modun b˘ng nhau. Ta t`m dang lu . a ı .o.ng gi´c cua tu. sˆ v` mˆ u sˆ. a ’ ´ ’ o a a o ˜ ´ . π X´t tu. sˆ: z1 = 1 + cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ 0, e ’ o ´ 2 |z1| = 2(1 + cos ϕ) , sin ϕ ϕ ϕ π π ϕ1 = argz1 = arctg = arctg tg = ∈ − , . 1 + cos ϕ 2 2 2 2 Tu.o.ng tu., dˆi v´.i mˆ u sˆ . o o´ ˜ ´ a o z2 = 1 + cos ϕ − i sin ϕ ta c´ o |z2| = 2(1 + cos ϕ) , − sin ϕ ϕ2 = argz2 = arctg 1 + cos ϕ ϕ ϕ ϕ π π = arctg − tg = arctg tg − =− ∈ − , . 2 2 2 2 2
  • 1.4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ e ˜ o u e ´ o . . a 27T`. d´ thu du.o.c u o . ϕ ϕ z2 = 2(1 + cos ϕ) cos − + i sin − 2 2v` do vˆy a a . ϕ ϕ 2(1 + cos ϕ) cos + i sin w= × 2 2 2(1 + cos ϕ) ϕ ϕ cos − + i sin − 2 2 = cos ϕ + i sin ϕ. √V´ du 3. 1) T´ ( 3 + i)126 ı . ınh 2) T´ acgumen cua sˆ ph´.c sau ınh ´ ’ o u w = z 4 − z 2 nˆu argz = ϕ v` |z| = 1. ´ e a √ π π ’ Giai. 1) Ta c´ 3 + i = 2 cos + i sin o . T`. d´ ´p dung cˆng u oa . o .c Moivre ta thu du.o.c: 6 6th´ u . √ 126π 126π ( 3 + i)126 = 2126 cos + i sin 6 6 = 2 [cos π + i sin π] = −2126 . 126 2) Ta c´ o w = z 4 − z 2 = cos 4ϕ + i sin 4ϕ − [cos 2ϕ − i sin 2ϕ] = cos 4ϕ − cos 2ϕ + i(sin 4ϕ + sin 2ϕ) = −2 sin 3ϕ sin ϕ + 2i sin 3ϕ cos ϕ = 2 sin 3ϕ[− sin ϕ + i cos ϕ]. 2kπ (2k + 1)π (i) Nˆu sin 3ϕ > 0 (t´.c l` khi ´ e u a <ϕ< , k ∈ Z) th` ı 3 3 π π w = 2 sin 3ϕ cos + ϕ + i sin +ϕ . 2 2 (2k − 1)π 2kπ (ii) Nˆu sin 3ϕ < 0 (t´.c l` khi ´ e u a <ϕ< , k ∈ Z) th` ı 3 3 w = (−2 sin 3ϕ)[sin ϕ − i cos ϕ].
  • 28 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u Ta t` dang lu.o.ng gi´c cua v = sin ϕ − i cos ϕ. Hiˆn nhiˆn |v| = 1. ım . . a ’ e’ e Ta t´ argv ınh − cos ϕ argv = arctg = arctg(−cotgϕ) sin ϕ π π = arctg − tg − ϕ = arctg tg ϕ − 2 2 π =ϕ− · 2 Nhu. vˆy nˆu sin 3ϕ < 0 th` a e . ´ ı π π w = (−2 sin 3ϕ) cos ϕ − + i sin ϕ − . 2 2 kπ ´ (iii) Nˆu sin 3ϕ = 0 ⇒ ϕ = e ⇒ w = 0. 3 Nhu. vˆya .  π + ϕ  ´ nˆu e 2kπ <ϕ< (2k + 1)π , 2  3 3  kπ argw = khˆng x´c dinh nˆu ϕ = o a . ´ e ,   3   ϕ − π ´ nˆu e (2k − 1)π <ϕ< 2kπ · 2 3 3 V´ du 4. Ch´.ng minh r˘ng ı . u ` a π 3π 5π 7π 1 1) cos + cos + cos + cos = . 9 9 9 9 2 2) cos ϕ + cos(ϕ + α) + cos(ϕ + 2α) + · · · + cos(ϕ + nα) (n + 1)α nα sin cos ϕ + = 2 2 · α sin 2 ’ Giai. 1) D˘ta . π 3π 7π S = cos + cos + · · · + cos , 9 9 9 π 3π 7π T = sin + sin + · · · + sin , 9 9 9 π π z = cos + i sin . 9 9
  • 1.4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ e ˜ o u e ´ o . . a 29Khi d´ o z(1 − z 8) S + iT = z + z 3 + z 5 + z 7 = 1 − z2 9 z−z z+1 1 1 = = = = π π 1 − z2 1 − z2 1−z 1 − cos − i sin 9 9 π π π 1 − cos + i sin sin = 9 9 =1+ 9 · π 2 2 π 2 2 1 − cos π 1 − cos + sin 9 9 9 1Do d´ S = · o 2 2) Tu.o.ng tu. nhu. trong 1) ta k´ hiˆu . y e . S = cos ϕ + cos(ϕ + α) + · · · + cos(ϕ + nα), T = sin ϕ + sin(ϕ + α) + · · · + sin(ϕ + nα), z = cos α + i sin α, c = cos ϕ + i sin ϕ.Khi d´ o c(1 − z n+1 )S + iT = c + cz + · · · + cz n = 1−z (cos ϕ + i sin ϕ)[1 − cos(n + 1)α − i sin(n + 1)α]= 1 − cos α − i sin α (n + 1)α (n + 1)α − π (n + 1)α − π (cos ϕ + i sin ϕ)2 sin cos + i sin= 2 2 2 α α−π α−π 2 sin cos + i sin 2 2 2 (n + 1)α nα (n + 1)α nα sin cos ϕ + sin sin ϕ += 2 2 + 2 2 i. α α sin sin 2 2T`. d´ so s´nh phˆn thu.c v` phˆn ao ta thu du.o.c kˆt qua. u o a ` a . a ` ’ a . e´ ’ ` B˘ng phu a .o.ng ph´p tu.o.ng tu. ta c´ thˆ t´nh c´c tˆng dang a o e ı’ a o ’ . . a1 sin b1 + a2 sin b2 + · · · + an sin bn , a1 cos b1 + a2 cos b2 + · · · + an cos bn
  • 30 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u ´ e a a. ´ ´ . e a o o o a e o . ´ nˆu c´c acgumen b1, b2, . . . , bn lˆp nˆn cˆp sˆ cˆng c`n c´c hˆ sˆ ´ ´ a1 , a2, . . . , an lˆp nˆn cˆp sˆ nhˆn. a e a o a . V´ du 5. T´ tˆng ı . ınh o ’ 1) Sn = 1 + a cos ϕ + a2 cos 2ϕ + · · · + an cos nϕ; 2) Tn = a sin ϕ + a2 sin 2ϕ + · · · + an sin nϕ. Giai. Ta lˆp biˆu th´.c Sn + iTn v` thu du.o.c ’ a . ’ e u a . Σ = Sn + iTn = 1 + a(cos ϕ + i sin ϕ) + a2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) + . . . + an (cos nϕ + i sin nϕ). D˘t z = cos ϕ + i sin ϕ v` ´p dung cˆng th´.c Moivre ta c´: a . aa . o u o an+1 z n+1 − 1 Σ = 1 + az + a2z 2 + · · · + an z n = az − 1 a (nhˆn tu. sˆ v` mˆ u sˆ v´.i − 1) ´ a ’ o a a o o ˜ ´ z n+2 n n+1 n+1 a a z −a z − +1 = 2 1 a2 − a z + +1 z 1 (do z + = 2 cos ϕ) z an+2 (cos nϕ + i sin nϕ) − an+1 [cos(n + 1)ϕ + i sin(n + 1)ϕ] = a2 − 2a cos ϕ + 1 −a cos ϕ + ai sin ϕ + 1 + a2 − 2a cos ϕ + 1 an+2 cos nϕ − an+1 cos(n + 1)ϕ − a cos ϕ + 1 = + a2 − 2a cos ϕ + 1 an+2 sin nϕ − an+1 sin(n + 1)ϕ + a sin ϕ +i · a2 − 2a cos ϕ + 1 B˘ng c´ch so s´nh phˆn thu.c v` phˆn ao ta thu du.o.c c´c kˆt qua cˆn ` a a a ` a . a ` ’ a . a e ´ ’ `a .o.c t´ du . ınh. ı . e’ ˜ V´ du 6. 1) Biˆu diˆn tg5ϕ qua tgϕ. e
  • 1.4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ e ˜ o u e ´ o . . a 31 2) Biˆu diˆn tuyˆn t´ sin5 ϕ qua c´c h`m sin cua g´c bˆi cua ϕ. e’ ˜ e ´ e ınh a a ’ o o ’ . ’ ˜ 4 4 3 e a a ’ a o o 3) Biˆu diˆn cos ϕ v` sin ϕ · cos ϕ qua h`m cosin cua c´c g´c bˆi. e . sin 5ϕ ’ Giai. 1) V` tg5ϕ = ı ` ’ ˜ nˆn ta cˆn biˆu diˆn sin 5ϕ v` cos 5ϕ e a e e a cos 5ϕqua sin ϕ v` cos ϕ. Theo cˆng th´.c Moivre ta c´ a o u o cos 5ϕ + i sin 5ϕ = (cos ϕ + i sin ϕ)5 = sin5 ϕ + 5i cos4 ϕ sin ϕ − 10 cos3 ϕ sin2 ϕ − 10i cos2 ϕ sin3 ϕ + 5 cos ϕ sin4 ϕ + i sin5 ϕ.T´ch phˆn thu.c v` phˆn ao ta thu du.o.c biˆu th´.c dˆi v´.i sin 5ϕ v` a ` a . a ` ’ a . ’ e u o o´ acos 5ϕ v` t`. d´ a u o 5 cos4 ϕ sin ϕ − 10 cos2 ϕ sin3 ϕ + sin5 ϕ tg5ϕ = cos5 ϕ − 10 cos3 ϕ sin2 ϕ + 5 cos ϕ sin4 ϕ (chia tu. sˆ v` mˆ u sˆ cho cos5 ϕ) ´ ’ o a a o ˜ ´ 5tgϕ − 10tg 3ϕ + tg5ϕ = · 1 − 10tg2ϕ + 5tg4 ϕ 2) D˘t z = cos ϕ + i sin ϕ. Khi d´ z −1 = cos ϕ − i sin ϕ v` theo a. o acˆng th´ o u.c Moivre: z k = cos kϕ + i sin kϕ, z −k = cos kϕ − i sin kϕ.Do d´ o z + z −1 z − z −1 cos ϕ = , sin ϕ = 2 2i k −k k −k z + z = 2 cos kϕ, z − z = 2i sin kϕ.´ ´ ’ aAp dung c´c kˆt qua n`y ta c´ . a e o z − z −1 5 z 5 − 5z 3 + 10z − 10z −1 + 5z −3 − z −5 sin5 ϕ = = 2i 32i (z − z ) − 5(z − z ) + 10(z − z −1 ) 5 −5 3 −3 = 32i 2i sin 5ϕ − 10i sin 3ϕ + 20i sin ϕ = 32i sin 5ϕ − 5 sin 3ϕ + 10 sin ϕ = · 16
  • 32 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u 3) Tu.o.ng tu. nhu. trong phˆn 2) ho˘c giai theo c´ch sau dˆy . ` a a . ’ a a eiϕ + e−iϕ 4 1 4iϕ 1+ cos4 ϕ = = e + 4e2iϕ + 6 + 4e−2iϕ + e−4iϕ 2 16 1 e4ϕi + e−4ϕi 1 e2ϕi + e−2ϕi 3 = + + 8 2 2 2 8 3 1 1 = + cos 2ϕ + cos 4ϕ. 8 2 8 eϕi − e−ϕi 4 eϕi + e−ϕi 3 2+ sin4 ϕ cos3 ϕ = 2i 2 1 2ϕi −2ϕi 3 ϕi = e −e e − e−ϕi 128 1 6ϕi = e − 3e2ϕi + 3e−2ϕi − e−6ϕi eϕi − e−ϕi 128 1 = e7ϕi − e5ϕi − 3e3ϕi + 3eϕi + 3e−ϕi − 3e−3ϕi 128 − e−5ϕi + e−7ϕi 3 3 1 1 cos ϕ − = cos 3ϕ − cos 5ϕ − cos 7ϕ. 64 64 64 64 V´ du 7. 1) Giai c´c phu.o.ng tr` ı . ’ a ınh + n n 1 (x + 1) − (x − 1) = 0 2+ (x + i)n + (x − i)n = 0, n > 1. 2) Ch´.ng minh r˘ng moi nghiˆm cua phu.o.ng tr`nh u ` a . e . ’ ı 1 + ix n 1 + ai = , n ∈ N, a ∈ R 1 − ix 1 − ai dˆu l` nghiˆm thu.c kh´c nhau. ` a e e . . a ’ ’ Giai. 1) Giai phu.o.ng tr` ınh + ´ e ’ 1 Chia hai vˆ cua phu .o.ng tr` cho (x − 1)n ta du.o.c ınh . x+1 n x+1 √ n 2kπ 2kπ =1⇒ = 1 = cos + i sin = εk , x−1 x−1 n n k = 0, 1, . . . , n − 1.
  • 1.4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ e ˜ o u e ´ o . . a 33T`. d´ suy r˘ng u o ` a x + 1 = εk (x − 1) ⇒ x(εk − 1) = 1 + εk .Khi k = 0 ⇒ ε0 = 1. Do d´ v´.i k = 0 phu.o.ng tr`nh vˆ nghiˆm. V´.i o o ı o e . ok = 1, n − 1 ta c´ o εk + 1 (εk + 1)(εk − 1) εk εk + εk − εk − 1x= = = εk − 1 εk − 1)(εk − 1) εk εk − εk − εk − 1 2kπ 2kπ −2i sin sin kπ = n = −i n = icotg , k = 1, 2, . . . , n − 1. 2kπ 2kπ n 2 − 2 cos 1 − cos n n 2+ C˜ng nhu. trˆn, t`. phu.o.ng tr`nh d˜ cho ta c´ u e u ı a o x+i n x+i √ π + 2kπ π + 2kπ = −1 ⇐⇒ = n −1 = cos + i sin x−i x−i n nhay l` a x+i (2k + 1)π (2k + 1)π = cos + i sin x−i n n (2k + 1)π = cos ψ + i sin ψ, ψ= · nTa biˆn dˆi phu.o.ng tr` ´ ’ e o ınh: x+i − 1 = cos ψ + i sin ψ − 1 x−i 2i ψ ψ ψ ⇔ = 2i sin cos − 2 sin2 x−i 2 2 2 1 ψ ψ 1 ψ ⇔ = sin cos − sin x−i 2 2 i 2 ψ ψ ψ = sin cos + i sin . 2 2 2
  • 34 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u T`. d´ suy ra u o 1 x−i= ψ ψ ψ sin cos + i sin 2 2 2 ψ ψ cos − i sin = 2 2 = cotg ψ − i. ψ 2 sin 2 Nhu. vˆy a . ψ ψ (2k + 1)π x − i = cotg − i ⇒ x = cotg = cotg , k = 0, n − 1. 2 2 2n 2) Ta x´t vˆ phai cua phu.o.ng tr`nh d˜ cho. Ta c´ ´ e e ’ ’ ı a o 1 + ai 1 + ai =1⇒ = cos α + i sin α 1 − ai 1 − ai v` t`. d´ a u o 1 + xi n 1 + ai α + 2kπ α + 2kπ = = cos + i sin , k = 0, n − 1. 1 − xi 1 − ai n n α + 2kπ T`. d´ nˆu d˘t ψ = u o e a´ . th` ı n cos ψ − 1 + i sin ψ ψ α + 2kπ x= = tg = tg , k = 0, n − 1. i[cos ψ + 1 + i sin ψ] 2 2n R˜ r`ng d´ l` nh˜.ng nghiˆm thu.c kh´c nhau. o a o a u e . . a V´ du 8. Biˆu diˆn c´c sˆ ph´.c sau dˆy du.´.i dang m˜: ı . ’ e ˜ a o u e ´ a o . u √ π π (− 3 + i) cos − i sin 1) z = 12 12 · 1−i √ 2) z = 3 + i.
  • 1.4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ e ˜ o u e ´ o . . a 35 √ π π ’ Giai. 1) D˘t z1 = − 3 + i, z2 = cos a . − i sin , z3 = 1 − i v` a 12 12biˆu diˆn c´c sˆ ph´.c d´ du.´.i dang m˜. Ta c´ e’ ˜ a o u o e ´ o . u o 5π z1 = 2e 6 i ; π π π π π z2 = cos − i sin = cos − + i sin − = e− 12 i ; √ 12π i −4 12 12 12 z3 = 2e .T`. d´ thu du.o.c u o . 5π π 2e 6 i · e− 12 i √ iπ z = √ − π i = 2e . 2e 4 √ 2) Tru.´.c hˆt biˆu diˆn sˆ ph´.c z1 = 3 + i du.´.i dang m˜. Ta c´ o e ´ e ’ ˜ o u e ´ o . u o √ π |z1| = 2; ϕ = arg( 3 + i) = , 6 √do d´ 3 + i = 2e 6 i . T`. d´ thu du.o.c π o u o . 4 √ √ ( π +2kπ) 6 3 + i = 2ei 4 4 wk = √ (12k+1)π 4 = 2ei 24 , k = 0, 3.V´ du 9. T´ c´c gi´ tri ı . ınh a a . √ 1) c˘n bˆc 3: w = 3 −2 + 2i a a . √ 2) c˘n bˆc 4: w = 4 −4 a a . 5 √ 3−i 3) c˘n bˆc 5: w = a a . . 8 + 8i Giai. Phu.o.ng ph´p tˆt nhˆt dˆ t´nh gi´ tri c´c c˘n th´.c l` biˆu ’ a o ´ ´ ’ a e ı a . a a u a e’ ˜ o u e ´diˆn sˆ ph´ .c du.´.i dˆu c˘n du.´.i dang lu.o.ng gi´c (ho˘c dang m˜) rˆi o a a´ o . a a . u ` o . .´p dung c´c cˆng th´.c tu.o.ng u.ng.a . a o u ´ 1) Biˆu diˆn z = −2 + 2i du.o.i dang lu.o.ng gi´c. Ta c´ ’ e ˜ e ´ . . a o √ √ 3π r = |z| = 8 = 2 2; ϕ = arg(−2 + 2i) = · 4
  • 36 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u Do d´ o 3π 3π 3 √ + 2kπ + 2kπ wk = 8 cos 4 + i sin 4 , k = 0, 2. 3 3 T`. d´ u o √ π π w0 = 2 cos + i sin = 1 + i, 4 4 √ 11π 11π w1 = 2 cos + i sin , 12 12 √ 19π 19π w2 = 2 cos + i sin . 12 12 2) Ta c´ o −4 = 4[cos π + i sin π] v` do d´ a o √ 4 π + 2kπ π + 2kπ wk = 4 cos + i sin , k = 0, 3. 4 4 T`. d´ u o √ π π w0 = 2 cos + i sin = 1 + i, 4 4 √ 3π 3π w1 = 2 cos + i sin = −1 + i, 4 4 √ 5π 5π w2 = 2 cos + i sin = −1 − i, 4 4 √ 7π 7π w3 = 2 cos + i sin = 1 − i. 4 4 3) D˘t a . √ 3−i z= · 8 + 8i √ 3+1 1 Khi d´ |z| = √ o = √ . Ta t´nh argz. Ta c´ ı o 64 + 64 4 2 √ π π 5π argz = arg( 3 − i) − arg(8 + 8i) = − − = − · 6 4 12
  • 1.4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ e ˜ o u e ´ o . . a 37Do vˆy a . 5π 5π 5 1 − + 2kπ − + 2kπwk = √ cos 12 + i sin 12 4 2 5 5 1 π 2kπ π 2kπ = √ cos − + + i sin − + , k = 0, 4. 2 12 5 12 5 ı . ınh o’V´ du 10. 1) T´ tˆng moi c˘n bˆc n cua 1. . a a . ’ ınh o ’ 2 n−1 2) T´ tˆng 1 + 2ε + 3ε + · · · + nε , trong d´ ε l` c˘n bˆc n o a a a. ’ .n vi.cua do . 3) T´ tˆng c´c lu˜ th`.a bˆc k cua moi c˘n bˆc n cua sˆ ph´.c α. ınh o’ a y u a . ’ . a a . ´ ’ o u ’ `a e ´ e a a a . ’ Giai. 1) Dˆu tiˆn ta viˆt c´c c˘n bˆc n cua 1. Ta c´ o √ n 2kπ 2kπ εk = 1 = cos + i sin , k = 0, n − 1. n nT`. d´ u o 2π 2π ε0 = 1, ε1 = ε = cos + i sin , n n 2kπ 2kπ εk = cos + i sin n n 2π 2π k = cos + i sin = εk , k = 1, 2, . . . , n − 1. n nNhu. vˆy moi nghiˆm cua c˘n bˆc n cua 1 c´ thˆ viˆt du.´.i dang a . . e . ’ a a . ’ ’ ´ o e e o . 1, ε, ε2 , . . . , εn−1 .Bˆy gi`. ta t´ a o ınh 1 − εn S = 1 + ε + ε2 + · · · + εn−1 = · 1−εNˆu n > 1 th` εn = 1 v` do d´ ´ e ı a o 1 − εn S= = 0. 1−ε
  • 38 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u 2) Ta k´ hiˆu tˆng cˆn t´ l` S. Ta x´t biˆu th´.c y e o . ’ ` ınh a a e ’ e u (1 − ε)S = S − εS = 1 + 2ε + 3ε2 + · · · + nεn−1 − ε − 2ε2 − · · · − (n − 1)εn−1 − nεn = 1 + ε + ε2 + · · · + εn−1 −nεn = −n 0(ε=1) v` εn = 1. ı Nhu. vˆy a . −n (1 − ε)S = −n → S = ´ nˆu ε = 1. e 1−ε ´ Nˆu ε = 1 th` e ı n(n + 1) S = 1 + 2 + ··· + n = · 2 3) Gia su. β0 l` mˆt trong c´c gi´ tri c˘n cua α. Khi d´ (v´.i ’ ’ a o . a a . a ’ o o α = 0) moi c˘n bˆc n cua α c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang t´ β0εk , . a a . ’ ’ ’ o e e ˜ e o . ıch 2kπ 2kπ k = 1, 2, . . . , n − 1, trong d´ εk = cos o + i sin l` c˘n bˆc n a a a . n n ’ cua 1. T`. d´ tˆng cˆn t` S b˘ng u o o ’ ` ım a ` a S = β0 + (β0ε1 )k + (β0ε2 )k + · · · + (β0 εn−1 )k k = β0 (1 + εk + εk + · · · + εk ) k 1 2 n−1 2mπ 2mπ k 2π 2π mk εk = m cos + i sin = cos + i sin n n n n (n−1)k = β0 1 + εk + ε2k + · · · + ε1 k 1 1 . Biˆu th´.c trong dˆu ngo˘ c vuˆng l` cˆp sˆ nhˆn. Nˆu εk = 1, t´.c l` e’ u ´ a a . o ´ ´ a a o a ´ e 1 u a o ´ k khˆng chia hˆt cho n th` e ı k 1 − εnk 1 k 1−1 S = β0 k = β0 = 0 (v` εn = 1). ı 1 1 − ε1 1 − εk 1
  • 1.4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ e ˜ o u e ´ o . . a 39 Nˆu εk = 1 t´.c l` k chia hˆt cho n, k = nq th` ´ e 1 u a ´ e ı nq nq S = β0 [1 + 1 + · · · + 1] = β0 n = nαq ı n (v` β0 = α). Nhu. vˆy a .  0 ´ ´ nˆu k chia hˆt cho n; e e S= nαq ´ nˆu k = nq, q ∈ Z. e ` ˆ BAI TAP .1. Biˆu diˆn c´c sˆ ph´.c sau dˆy du.´.i dang lu.o.ng gi´c e’ ˜ a o u e ´ a o . . a √ 2π 2π 1) −1 + i 3 (DS. 2 cos + i sin ) 3 3 √ 11π 11π 2) 3 − i (DS. 2 cos + i sin ) 6 6 √ 7π 7π 3) − 3 − i (DS. 2 cos + i sin ) 6 6 √ 3 i π π 4) + (DS. cos + i sin ) 2 2 6 6 √ − 3 1 5π 5π 5) + i (DS. cos + i sin ) 2 2 6 6 √ 1 3 5π 5π 6) − i (DS. cos + i sin ) 2 2 3 3 √ 1 3 4π 4π 7) − − i (DS. cos + i sin ) 2 2 3 3 √ √ 23π 23π 8) 2 + 3 − i (DS. 2 2 + 3 cos + i sin ) 12 12 √ √ 19π 19π 9) 2 − 3 − i (DS. 2 2 − 3 cos + i sin ) 12 122. Biˆu diˆn c´c sˆ ph´.c sau dˆy du.´.i dang lu.o.ng gi´c e’ ˜ a o u e ´ a o . . a 1) − cos ϕ + i sin ϕ (DS. cos(π − ϕ) + i sin(π − ϕ)) π π 2) − sin ϕ + i cos ϕ (DS. cos + ϕ + i sin + ϕ)) 2 2
  • 40 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u 3) cos ϕ − i sin ϕ (DS. cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)) 4) − cos ϕ − i sin ϕ (DS. cos(π + ϕ) + i sin(π + ϕ)) ` B˘ng c´ch d˘t α = θ + 2kπ, trong d´ 0 θ < 2π, ta c´: a a a . o o θ θ θ 5) 1+cos α+i sin α (DS. 2 cos cos +i sin v´.i 0 θ < π; o 2 2 2 θ θ + 2π θ + 2π −2 cos cos + i sin v´.i π θ < 2π) o 2 2 2 θ π−θ π−θ 6) 1 − cos α + i sin α (DS. 2 sin cos + i sin ) 2 2 2 7) sin α + i(1 + cos α) θ π−θ π−θ (DS. 2 cos cos + i sin v´.i 0 θ < π; o 2 2 2 θ 3π − θ 3π − θ −2 cos cos + i sin v´.i π θ < 2π) o 2 2 2 8) − sin α + i(1 + cos α) θ π+θ π+θ (DS. 2 cos cos + i sin v´.i 0 θ < π; o 2 2 2 θ 3π + θ 3π + θ −2 cos cos + i sin v´.i π θ < 2π) o 2 2 2 3. T´ ınh: √ π π 100 1 3 1) cos − i sin (DS. − − i ) 6 6 2 2 4 12 2) √ (DS. 212 ) 3+i √ ( 3 + i)6 3) (DS. −3, 2) (−1 + i)8 − (1 + i)4 √ √ (−i − 3)15 (−i + 3)15 4) + (DS. −64i) (1 − i)20 (1 + i)20 (1 + i)100 5) (DS. −2) (1 − i)96 + (1 + i)96 (1 + icotgϕ)5 6) (DS. cos(π − 10ϕ) + i sin(π − 10ϕ)) 1 − icotgϕ)5 √ (1 − i 3)(cos ϕ + i sin ϕ) 7) 2(1 − i)(cos ϕ − i sin ϕ) √ 2 π π (DS. cos 6ϕ − + i sin 6ϕ − ) 2 12 12
  • 1.4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ e ˜ o u e ´ o . . a 41 √ (1 + i 3)3n 8) (DS. 2) (1 + i)4n 1 14. Ch´.ng minh r˘ng z + = 2 cos ϕ ⇒ z n + n = 2 cos nϕ. u ` a z z5. H˜y biˆ a e’u diˆn c´c h`m sau dˆy qua sin ϕ v` cos ϕ ˜ a a e a a 2 3 1) sin 3ϕ (DS. 3 cos ϕ sin ϕ − sin ϕ) 2) cos 3ϕ (DS. cos3 ϕ − 3 cos ϕ sin2 ϕ) 3) sin 4ϕ (DS. 4 cos3 ϕ sin ϕ − 4 cos ϕ sin3 ϕ) 4) cos 4ϕ (DS. cos4 ϕ − 6 cos2 ϕ sin2 ϕ + sin4 ϕ) a e’ ˜ a a6. H˜y biˆu diˆn c´c h`m sau qua tgx e 4tgϕ − 4tg3 ϕ 1) tg4ϕ (DS. ) 1 − 6tg2 ϕ + tg4 ϕ 6tgϕ − 20tg3 ϕ + 6tg5ϕ 2) tg6ϕ (DS. ) 1 − 15tg2 ϕ + 15tg4 ϕ − tg6 ϕ7. Ch´.ng minh r˘ng u ` a 2 4 6 n nπ 1 − Cn + Cn − Cn + . . . = 2 2 cos · 4 1 3 5 7 n nπ Cn − Cn + Cn − Cn + . . . = 2 2 sin · 4 Chı dˆ n. T´ (1 + i)n b˘ng c´ch su. dung cˆng th´.c Moivre v` ’ ˜a ınh ` a a ’ . o u a ’. dung cˆng th´.c nhi th´.c Newton rˆi so s´nh phˆn thu.c v` phˆnsu . o u ` ` a ` . u o a a . a’ a o ´ .o.c.ao c´c sˆ thu du .8. Ch´.ng minh r˘ng u ` a π 3π 1 1) cos + cos = 5 5 2 π 3π 5π 1 2) cos + cos + cos = 7 7 7 2 2π 4π 1 3) cos + cos =− 5 5 2 2π 4π 6π 1 4) cos + cos + cos =− 7 7 7 2 2π 4π 6π 8π 1 5) cos + cos + cos + cos =− 9 9 9 9 2
  • 42 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u 9. Giai phu.o.ng tr` ’ ınh i−x n cotgα + i = , n ∈ N, α ∈ R. i+x cotgα − i α + kπ (DS. x = tg , k = 0, n − 1) n 10. Ch´.ng minh r˘ng nˆu A l` sˆ ph´.c c´ modun = 1 th` moi nghiˆm u ` a ´ e ´ a o u o ı . e . ’ cua phu.o.ng tr` ınh 1 + ix n =A 1 − ix dˆu l` nghiˆm thu.c v` kh´c nhau. ` a e e . . a a 11. Giai phu.o.ng tr` ’ ınh xn − naxn−1 − Cn a2xn−2 − · · · − an = 0. 2 a (DS. xk = √ , k = 0, n − 1) εk 2 − 1 Chı dˆ n. D`ng cˆng th´.c nhi th´.c Newton dˆ du.a phu.o.ng tr`nh ’ ˜a u o u . u e’ ı ` . n n n vˆ dang x = (x + a) − x . e 12. Giai phu.o.ng tr` ’ ınh x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0. kπ kπ (DS. xk = cos + i sin , k = 1, 2, 3, 4, 5) 3 3 13. Giai phu.o.ng tr` ’ ınh x5 + αx4 + α2 x3 + α3 x2 + α4 x + α5 = 0, α ∈ C, α = 0. kπ kπ (DS. xk = α cos + i sin , k = 1, 2, 3, 4, 5) 3 3 α Chı dˆ n. Vˆ tr´i l` tˆng cˆp sˆ nhˆn v´.i cˆng bˆi b˘ng . ’ a˜ ´ e a a o ’ ´ ´ a o a o o . ` o a x 14. Gia su. n ∈ N, n > 1, c = 0, c ∈ R. Giai c´c phu.o.ng tr`nh sau ’ ’ ’ a ı dˆy a
  • 1.4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ e ˜ o u e ´ o . . a 43 kπ 1) (x + c)n − (x − c)n = 0 (DS. x = −ccotg , k = 1, n − 1) n kπ 2) (x + ci)n − (x − ci)n = 0 (DS. x = −cicotg , k = 1, n − 1) n 3) (x + ci)n + i(x − ci)n = 0 (3 + 4k)π (DS. x = −cicotg , k = 0, n − 1) 4n 4) (x + ci)n − (cos α + i sin α)(x − ci)n = 0, α = 2kπ. α + 2kπ (DS. x = −cicotg , k = 0, n − 1) 2n15. T´ınh 1 1 Dn (x) = + cos x + cos 2x + · · · + cos nx . 2π 2 2n + 1 1 sin 2 x (DS. Dn (x) = ) 2π 2 sin x 2 ’u diˆn cos 5x v` sin 5x qua cos x v` sin x.16. 1) Biˆ e ˜ e a a 2π 2π 2) T´ cos ınh v` sin . a 5 5 (DS. 1) cos 5x = cos5 x − 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x, sin 5x = 5 cos4 x sin x − 10 cos2 x sin3 x + sin5 x. √ √ 2π 10 + 2 5 2π 5−1 2) sin = , cos = ) 5 4 5 4 2π ’ ˜ ’ Chı dˆ n. Dˆ t´ sin a e ınh cˆn su. dung biˆu th´.c cua sin 5x. ` a ’ . ’ e u ’ 5
  • Chu.o.ng 2Da th´.c v` h`m h˜.u ty- u a a u ’ 2.1 Da th´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 - u 2.1.1 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ ph´.c C . . . . . . . 45 - u e o ´ o u 2.1.2 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ thu.c R . . . . . . . 46 - u e o ´ o . 2.2 Phˆn th´.c h˜.u ty . . . . . . . . . . . . . . . 55 a u u ’2.1 Da th´.c - uDa th´.c mˆt biˆn v´.i hˆ sˆ thuˆc tru.`.ng sˆ P du.o.c biˆu diˆn do.n tri u o . ´ e o e o . ´ o . o ´ o . e’ ˜ e . .´.i dang tˆng h˜.u handu o . ’ o u . Q(x) = a0z n + a1z n−1 + · · · + an−1 z + an (2.1) ´ ´ ˜ ’ `trong d´ z l` biˆn, a0, a1 , . . . , an l` c´c sˆ; v` mˆ i tˆng dang (2.1) dˆu o a e a a o a o o . el` da th´ a u.c. K´ hiˆu: Q(z) ∈ P[z]. y e . Nˆu a0 , a1, . . . , an ∈ C th` ngu.`.i ta n´i r˘ng Q(z) l` da th´.c trˆn ´ e ı o o a ` a u e .`.ng sˆ ph´.c: Q(z) ∈ C[z]. Nˆu a0 , a1, . . . , an ∈ R th` Q(z) l` datru o ´ o u ´ e ı ath´.c trˆn tru.`.ng sˆ thu.c: Q(z) ∈ R[z]. u e o ´ o .
  • 2.1. Da th´.c - u 45 ´ e ı a ’ o y e . . ´ Nˆu Q(z) = 0 th` bˆc cua n´ (k´ hiˆu degQ(z)) l` sˆ m˜ cao nhˆt a o u ´ a .a cua c´c sˆ hang = 0 cua da th´.c v` hˆ sˆ cua sˆ ´ ’cua moi lu˜ th` . y u ’ a o . ’ . ´ u a e o ’ o ´hang c´ lu˜ th`.a cao nhˆt d´ goi l` hˆ sˆ cao nhˆt. . o y u ´ a o . a e o . ´ ´ a ´ Nˆu P (z) v` Q(z) ∈ P[z] l` c˘p da th´ a e a a a u.c v` Q(z) = 0 th` tˆn tai ı ` . o .c˘p da th´.c h(z) v` r(z) ∈ P[z] sao cho a . u a + 1 P = Qh + r, 2+ ho˘c r(z) = 0, ho˘c degr < degQ. a . a .Dinh l´ B´zout. Phˆn du. cua ph´p chia da th´.c P (z) cho nhi th´.c-. y e `a ’ e u . u `z − α l` h˘ng P (α) (r = P (α)). a a2.1.1 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ ph´.c C - u e o ´ u oGia su. Q(z) ∈ C[z]. Nˆu thay z bo.i sˆ α th` ta thu du.o.c sˆ ph´.c ’ ’ ´ e ’ o ´ ı . o u´ Q(α) = a0αn + a1αn−1 + · · · + an−1 α + an .D.nh ngh˜ 2.1.1. Nˆu Q(α) = 0 th` sˆ z = α du.o.c goi l` nghiˆm-i ıa e´ ´ ı o . . a e . ’cua da th´ u.c Q(z) hay cua phu.o.ng tr`nh dai sˆ Q(z) = 0. ’ ı ´ . oD.nh l´ Descate. Da th´.c Q(z) chia hˆt cho nhi th´.c z − α khi v`-i y u ´ e . u achı khi α l` nghiˆm cua da th´.c P (z) (t´.c l` P (α) = 0). ’ a e . ’ u u aD.nh ngh˜ 2.1.2. Sˆ ph´.c α l` nghiˆm bˆi m cua da th´.c Q(z)-i ıa ´ o u a e . o . ’ unˆu v` chı nˆu Q(z) chia hˆt cho (z − α)m nhu.ng khˆng chia hˆt cho ´ e a ’ e ´ ´ e o ´ e(z − α)m+1 . Sˆ m du.o.c goi l` bˆi cua nghiˆm α. Khi m = 1, sˆ α goi ´ o . . a o ’. e. o´ .l` nghiˆm do a e .n cua Q(z). ’ . Trong tiˆt 2.1.1 ta biˆt r˘ng tˆp ho.p sˆ ph´.c C du.o.c lˆp nˆn b˘ng ´ e e ` ´ a a . o u . ´ . a e a . `c´ch gh´p thˆm v`o cho tˆp ho.p sˆ thu.c R mˆt nghiˆm ao x = i cua a e e a a. . o . ´ o. e ’ . ’phu .o.ng tr` x2 + 1 = 0 v` mˆt khi d˜ gh´p i v`o th` moi phu.o.ng ınh a o a e a ı . .tr` da th´.c dˆu c´ nghiˆm ph´.c thu.c su.. Do d´ khˆng cˆn phai ınh u ` o e e . u . . o o ` a ’s´ng tao thˆm c´c sˆ m´.i dˆ giai phu.o.ng tr` (v` thˆ C c`n du.o.c goi a . e ´ a o o e ’ ’ ınh ı e ´ o . .l` tru o a .`.ng d´ng dai sˆ). o o´ .Dinh l´ Gauss (dinh l´ co. ban cua dai sˆ).-. y . y ’ ’ . o ´
  • 46 Chu.o.ng 2. Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u a a u ’ Moi da th´.c dai sˆ bˆc n (n 1) trˆn tru.`.ng sˆ ph´.c dˆu c´ ´t . u . o a ´ . e o o u ` o ı ´ e ´ . nhˆt mˆt nghiˆm ph´ a o e u.c. . T`. dinh l´ Gauss r´t ra c´c hˆ qua sau. u . y u a e ’ . + 1 Moi da th´ a.c bˆc n (n 1) trˆn tru.`.ng sˆ ph´.c dˆu c´ d´ng n u . e o o u ` o u ´ e . nghiˆm nˆu mˆ i nghiˆm du.o.c t´nh mˆt sˆ lˆn b˘ng bˆi cua n´, t´.c l` e . e´ ˜ o e . . ı o o ` . ´ a a ` o ’ o u a . Q(x) = a0 (z − α1)m1 (z − α2)m2 · · · (z − αk )mk , (2.2) trong d´ αi = αj ∀ i = j v` m1 + m2 + · · · + mk = n. o a Da th´.c (2.1) v´.i hˆ sˆ cao nhˆt a0 = 1 du.o.c goi l` da th´.c thu u o e o. ´ ´ a . . a u gon. . 2+ Nˆu z0 l` nghiˆm bˆi m cua da th´.c Q(z) th` sˆ ph´.c liˆn ho.p ´ e a e. o . ’ u ´ ı o u e . v´.i n´ z 0 l` nghiˆm bˆi m cua da th´.c liˆn ho.p Q(z), trong d´ da o o a e . o . ’ u e . o th´u.c Q(z) du.o.c x´c dinh bo.i ’ . a . def Q(z) = a0 z n + a1z n−1 + · · · + an−1 z + an . (2.3) 2.1.2 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ thu.c R - u e o ´ . o Gia su. ’ ’ Q(z) = z n + a1z n−1 + · · · + an−1 z + an (2.4) l` da th´.c quy gon v´.i hˆ sˆ thu.c a1, a2, . . . , an. a u . . ´ o e o . Da th´.c n`y c´ t´ chˆt d˘c biˆt sau dˆy. u a o ınh a a ´ . e . a D.nh l´ 2.1.1. Nˆu sˆ ph´.c α l` nghiˆm bˆi m cua da th´.c (2.4) v´.i -i y ´ ´ e o u a e . o . ’ u o .c th` sˆ ph´.c liˆn ho.p v´.i n´ α c˜ng l` nghiˆm bˆi m cua . ´ hˆ sˆ thu e o . ´ ı o u e . o o u a e . o . ’ .c d´. da th´ o u Su. dung dinh l´ trˆn dˆy ta c´ thˆ t`m khai triˆn da th´.c v´.i hˆ ’ . . y e a o e ı’ ’ e u o e . ´ sˆ thu o . .c Q(z) th`nh t´ c´c th`.a sˆ. Vˆ sau ta thu.`.ng chı x´t da a ıch a u o ´ ` e o ’ e .c v´.i hˆ sˆ thu.c v´.i biˆn chı nhˆn gi´ tri thu.c nˆn biˆn d´ ta k´ ´ ´ th´ o e o . u . ´ o e ’ a . a . . e e o y hiˆu l` x thay cho z. e a .
  • 2.1. Da th´.c - u 47Dinh l´ 2.1.2. Gia su. da th´.c Q(x) c´ c´c nghiˆm thu.c b1, b2 , . . . , bm-. y ’ ’ u o a e . . .i bˆi tu.o.ng u.ng β1, β2, . . . , βm v` c´c c˘p nghiˆm ph´.c liˆn ho.p a1v´ o o . ´ a a a e u e . . .v` a1 , a2 v` a2 , . . . , an v` an v´.i bˆi tu.o.ng u.ng λ1 , λ2 , . . . , λn . Khi d´ a a a o o . ´ o Q(x) = (x − b1 )β1 (x − b2 )β2 · · · (x − bm )βm (x2 + p1 x + q1)λ1 × × (x2 + p2 x + q2)λ2 · · · (x2 + pn x + qb )λn . (2.5)D.nh l´ 2.1.3. Nˆu da th´.c Q(x) = xn + a1xn−1 + · · · + an−1 x + an-i y ´ e u .i hˆ sˆ nguyˆn v` v´.i hˆ sˆ cao nhˆt b˘ng 1 c´ nghiˆm h˜.u ty th` o . ´ a `v´ e o e a o e o . ´ ´ a o e . u ’ ı . o a o´nghiˆm d´ l` sˆ nguyˆn. e e Dˆi v´.i da th´.c v´.i hˆ sˆ h˜.u ty ta c´ ´ o o . ´ u o e o u ’ o-. y ´ e ´ ´ a o o ’Dinh l´ 2.1.4. Nˆu phˆn sˆ tˆi gian ( , m ∈ Z, m > 0) l` nghiˆm a e . mh˜ u.u ty cua phu.o.ng tr`nh v´.i hˆ sˆ h˜.u ty a0x +a1 x +· · ·+an−1 x+ ’ ’ ı o e o ´ u ’ n n−1 . .´.c cua sˆ hang tu. do an v` m l` u.´.c cua hˆ sˆ cao ´an = 0 th` l` u o ’ o . ı a . a a o ’ e o . ´ ´nhˆt a0 . a CAC V´ DU ´ I .V´ du 1. Gia su. P (z) = a0 z n + a1z n−1 + · · · + an−1 z + an . Ch´.ng ı . ’ ’ u `minh r˘ng: a 1+ Nˆu P (z) ∈ C[z] th` P (z) = P (z). ´ e ı 2+ Nˆu P (z) ∈ R[z] th` P (z) = P (z). ´ e ı Giai. 1+ Ap dung c´c t´ chˆt cua ph´p to´n lˆy liˆn ho.p ta thu ’ ´ . ´ a ınh a ’ e ´ a a e . .o.cdu . p(Z) = a0z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + an = a0z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + an = a0 (z)n + a1 (z)n−1 + · · · + an−1 z + an = P (z).
  • 48 Chu.o.ng 2. Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u a a u ’ 2+ Gia su. P (z) ∈ R[z]. Khi d´ ’ ’ o P (z) = a0 z n + a1z n−1 + · · · + an−1 z + an = a0 z n + a1z n−1 + · · · + an−1 z + an = a0 (z)n + a1(z)n−1 + · · · + an−1 z + an = a0 (z)n + a1(z)n−1 + · · · + an−1 z + an = P (z). T`. d´ c˜ng thu du.o.c P (z) = P (z) v` P (z) = P (z). u o u . ı V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng nˆu a l` nghiˆm bˆi m cua da th´.c ı . u ` a ´ e a e . o . ’ u P (z) = a0 z n + a1z n−1 + · · · + an−1 z + an , a0 = 0 th` sˆ ph´.c liˆn ho.p a l` nghiˆm bˆi m cua da th´.c ´ ı o u e . a e . o . ’ u P (z) = a0 z n + a1z n−1 + · · · + an−1 z + an (goi l` da th´.c liˆn ho.p ph´.c v´.i da th´.c P (z)). . a u e . u o u ’ . v´ du 1 ta c´ Giai. T` ı . u o P (z) = P (z). (2.6) ı a e . o . ’ V` a l` nghiˆm bˆi m cua P (z) nˆn e P (z) = (z − a)m Q(z), Q(a) = 0 (2.7) trong d´ Q(z) l` da th´.c bˆc n − m. T`. (2.6) v` (2.7) suy ra o a u a . u a P (z) = P (z) = (z − a)m Q(z) = (z − a)m Q(z). (2.8) Ta c`n cˆn ch´.ng minh r˘ng Q(a) = 0. Thˆt vˆy, nˆu Q(a) = 0 th` o ` a u ` a a a . . ´ e ı ` ´ b˘ng c´ch lˆy liˆn ho a a a e . .p ph´.c mˆt lˆn n˜.a ta c´ u o ` . a u o Q(a) = Q(a) = 0 ⇒ Q(a) = 0. Diˆu n`y vˆ l´. B˘ng c´ch d˘t t = z, t`. (2.8) thu du.o.c ` a o y ` e a a a . u . P (t) = (t − a)m Q(t), Q(a) = 0.
  • 2.1. Da th´.c - u 49D˘ng th´.c n`y ch´.ng to r˘ng t = a l` nghiˆm bˆi m cua da th´.c ’ a u a u ’ a` a e . o . ’ uP (t).V´ du 3. Ch´.ng minh r˘ng nˆu a l` nghiˆm bˆi m cua da th´.c v´.i ı . u ` a e´ a e . o . ’ u ohˆ sˆ thu.c P (z) = a0z n + a1z n−1 + · · · + an (a0 = 0) th` sˆ ph´.c liˆn . ´ e o . ´ ı o u eho.p a c˜ng l` nghiˆm bˆi m cua ch´ da th´.c d´. u a e o ’ ınh u o . . . Giai. T`. v´ du 1, 2 ta c´ ’ u ı . + o P (z) = P (z) (2.9) a a e . o . ’ o ev` do a l` nghiˆm bˆi m cua n´ nˆn P (z) = (z − a)m Q(z) (2.10)trong d´ Q(z) l` da th´.c bˆc n − m v` Q(a) = 0. o a u a . a ` Ta cˆn ch´ a u.ng minh r˘ng ` a P (z) = (z − a)m Q(z), Q(a) = 0. (2.11) Thˆt vˆy t`. (2.9) v` (2.10) ta c´ a a u . . a o P (z) = (z − a)m Q(z) = (z − a)m · Q(z) m = (z − a) Q(z) = (z − a)m Q(z)v` theo (2.9) ı Q(z) = Q(z) ⇒ Q(z) = Q(z). Ta c`n cˆn ch´.ng minh Q(a) = 0. Thˆt vˆy v` Q(a) = 0 nˆn o ` a u a a ı . . eQ(a) = 0 v` do d´ Q(a) = 0 v` dˆi v´.i da th´.c v´.i hˆ sˆ thu.c th` a o ´ ı o o u o e o . . ´ ıQ(t) = Q(t).V´ du 4. Giai phu.o.ng tr` z 3 − 4z 2 + 4z − 3 = 0. ı . ’ ınh ’ u. dinh l´ 4 suy r˘ng c´c nghiˆm nguyˆn cua phu.o.ng tr` Giai. T` . y ` a a e e ’ ınh .v´.i hˆ sˆ nguyˆn dˆu l` u.´.c cua sˆ hang tu. do a = −3. Sˆ hang tu. do o e o. ´ e ` a o ’ o . e ´ . ´ o . .
  • 50 Chu.o.ng 2. Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u a a u ’ a = −3 c´ c´c u.´.c l` ±1, ±3. B˘ng c´ch kiˆm tra ta thu du.o.c z0 = 3 o a o a ` a a ’ e . l` nghiˆm nguyˆn. T` o a e e u. d´ . z 3 − 4z 2 + 4z − 3 = (z − 3)(z 2 − z + 1) √ √ 1 3 1 3 = (z − 3)(z − + i z− −i 2 2 2 2 hay l` phu.o.ng tr` d˜ cho c´ ba nghiˆm l` a ınh a o e a . √ √ 1 3 1 3 z0 = 3, z1 = − i ; z2 = + i · 2 2 2 2 V´ du 5. Biˆu diˆn da th´.c P6 (z) = z 6 − 3z 4 + 4z 2 − 12 du.´.i dang: ı . e’ ˜ e u o . 1+ t´ c´c th`.a sˆ tuyˆn t´ ıch a u o ´ ´ e ınh; + .a sˆ tuyˆn t´nh v´.i tam th´.c bˆc hai v´.i hˆ sˆ u ´ ´ 2 t´ c´c th` o ıch a e ı o u a . o e o . ´ thu.c. . Giai. Ta t` moi nghiˆm cua da th´.c P (z). V` ’ ım . e . ’ u ı z 6 − 3z 4 + 4z 2 − 12 = (z 2 − 3)(z 4 + 4) nˆn r˜ r`ng l` e o a a √ √ z1 = − 3, z2 = 3, z3 = 1 + i, z4 = 1 − i, z5 = −1 + i, z6 = −1 − i. T`. d´ u o √ √ 1+ P6 (z) = (z − 3)(z + 3)(z − 1 −i)(z − 1 +i)(z + 1 − i)(z + 1 + i) 2+ B˘ng c´ch nhˆn c´c c˘p nhi th´.c tuyˆn t´nh tu.o.ng u.ng v´.i c´c ` a a a a a . . u ´ e ı ´ o a nghiˆm ph´.c liˆn ho.p v´.i nhau ta thu du.o.c e . u e . o . √ √ P6 (z) = (z − 3)(z + 3)(z 2 − 2z + 2)(z 2 + 2z + 2). V´ du 6. T` da th´.c hˆ sˆ thu.c c´ lu˜ th`.a thˆp nhˆt sao cho c´c ı . ım . ´ u e o . o y u ´ a ´ a a ´ o a e . ’ o sˆ z1 = 3, z2 = 2 − i l` nghiˆm cua n´.
  • 2.1. Da th´.c - u 51 Giai. V` da th´.c chı c´ hˆ sˆ thu.c nˆn c´c nghiˆm ph´.c xuˆt hiˆn ’ ı u . ´ ’ o e o . e a e . u ´ e a .t` u.ng c˘p liˆn ho.p ph´.c, ngh˜ l` nˆu z2 = 2 − i l` nghiˆm cua n´ th` a e . u ıa a e´ a e ’ o ı . . a e. ’ oz2 = 2 + i c˜ng l` nghiˆm cua n´. Do d´ u o P (z) = (z − 3)(z − 2 + i)(z − 2 − i) = z 3 − 7z 2 + 17z − 15.V´ du 7. Phˆn t´ da th´.c ı . a ıch u (x + 1)n − (x − 1)nth`nh c´c th`.a sˆ tuyˆn t´ a a u o ´ ´ e ınh. ’ Giai. Ta c´ o P (x) = (x + 1)n − (x − 1)n = [xn + nxn−1 + . . . ] − [xn − nxn−1 + . . . ] = 2nxn−1 + . . .Nhu. vˆy P (x) l` da th´.c bˆc n − 1 v´.i hˆ sˆ cao nhˆt b˘ng 2n. Dˆi a. a u a . . ´ o e o ´ ` a a ´ ov´.i da th´.c n`y ta d˜ biˆt (§1) nghiˆm cua n´: o u a a e ´ e . ’ o kπ xk = icotg , k = 1, 2, . . . , n − 1. nDo d´ o (x + 1)n − (x − 1)n π 2π (n − 1)π = 2n x − icotg x − icotg · · · x − icotg . n n n Khi phˆn t´ da th´.c trˆn tru.`.ng P th`nh th`.a sˆ ta thu.`.ng a ıch u e o a u o ´ og˘p nh˜ a u .ng da th´.c khˆng thˆ phˆn t´ch th`nh t´ch hai da th´.c c´ bˆc u o e’ a ı a ı u o a . . ´thˆp ho a .n trˆn c`ng tru.`.ng P d´. Nh˜.ng da th´.c n`y du.o.c goi l` da e u o o u u a . . ath´.c bˆt kha quy. u a ´ ’ Ch˘ng han: da th´.c x2 − 2 l` kha quy trˆn tru.`.ng sˆ thu.c v` ’ a . u a ’ e o ´ o . ı: √ √ x2 − 2 = (x − 2)(x + 2)
  • 52 Chu.o.ng 2. Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u a a u ’ nhu.ng bˆt kha quy trˆn tru.`.ng sˆ h˜.u ty. Thˆt vˆy, nˆu ´ a ’ e o ´ o u ’ a a . . ´ e x2 − 2 = (ax + b)(cx + d); a, b, c, d ∈ Q b ı ` th` b˘ng c´ch d˘t x = − ta c´ a a a . o a b2 √ b 2 −2=0⇒ 2=± a a √ v` a 2 l` sˆ h˜.u ty. Vˆ l´. ´ a o u ’ o y V´ du 8. Phˆn t´ da th´.c xn − 1 th`nh t´ch c´c da th´.c bˆt kha ı . a ıch u a ı a u a ´ ’ quy trˆn R. e Giai. Dˆu tiˆn ta khai triˆn da th´.c d˜ cho th`nh t´ch c´c th`.a ’ ` a e ’ e u a a ı a u ´ ´ sˆ tuyˆn t´ o e ınh xn − 1 = (x − ε0)(x − ε1) · · · (x − εn−1 ), 2kπ 2kπ εk = cos + i sin , k = 0, n − 1 n n v` t´ch ra c´c nhi th´.c thu.c. Ta c´ a a a . u . o 2kπ . ´ εk ∈ R nˆu e sin = 0 ⇒ 2k . n, 0 . k < n − 1. n T`. d´ u o . 1+ Nˆu n l` sˆ le th` diˆu d´ (2k . n) chı xˆy ra khi k = 0 (v` k < n) ´ e a o ’ ı ` o ´ e . ’ a ’ ı v` khi d´ ε0 = 1. a o 2+ Nˆu n l` sˆ ch˘ n (n = 2m) th` nghiˆm εk chı thu.c khi k = 0 e´ a o ˜ ´ a ı e . ’ . v` k = m. Do d´ ε0 = 1, εm = −1. Dˆi v´ a a o ´ o o .i c´c gi´ tri k c`n lai εk a . o . ´ khˆng l` sˆ thu o a o . .c. Dˆi v´.i c´c gi´ tri k n`y ta c´ ´ o o a a . a o 2(n − k)π 2kπ 2kπ sin = sin 2π − = − sin n n n v` do d´ a o εn−k = εk ⇒ ε1 = εn−1 , ε2 = εn−2 , . . .
  • 2.1. Da th´.c - u 53M˘t kh´c a . a 2kπ (x − εk )(x − εk ) = x2 − (εk + εk )x + εk εk = x2 − x · 2 cos + 1. nDo d´ o  n−1   2 2kπ (x − 1)  x2 − x · 2 cos ´ ´ a o ’ + 1 nˆu n l` sˆ le, e   n  k=1 n−2 xn − 1 = 2 2kπ (x − 1)(x + 1)  x2 − x · 2 cos +1   n   k=1  ´ ´ ˜ nˆu n l` sˆ ch˘ n. e a o a ` ˆ BAI TAP .1. Ch´.ng minh r˘ng sˆ z0 = 1 + i l` nghiˆm cua da th´.c u ` a ´ o a e . ’ u P4 (z) = 3z 4 − 5z 3 + 3z 2 + 4z − 2.T` c´c nghiˆm c`n lai. ım a e . o . √ √ −1 + 13 −1 − 13 (DS. z1 = 1 − i, z2 = , z3 = ) 6 62. Ch´.ng minh r˘ng sˆ z0 = i l` nghiˆm cua da th´.c u ` a ´ o a e . ’ u P4 (z) = z 4 + z 3 + 2z 2 + z + 1.T` c´c nghiˆm c`n lai. ım a e. o . √ √ −1 + 3i −1 − i 3 (DS. z1 = −i, z2 = , z3 = ) 2 23. X´c dinh bˆi cua nghiˆm z0 = 1 cua da th´.c a . o ’ . e . ’ u P4 (z) = z 4 − 5z 3 + 9z 2 − 7z + 2. (DS. 3)4. X´c dinh bˆi cua nghiˆm z0 = 2 cua da th´.c a . o ’ . e . ’ u P5 (z) = z 5 − 5z 4 + 7z 3 − 2z 2 + 4z − 8. (DS. 3)
  • 54 Chu.o.ng 2. Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u a a u ’ 5. T` da th´.c hˆ sˆ thu.c c´ lu˜ th`.a thˆp nhˆt sao cho sˆ z1 = i l` ım . ´ u e o . o y u ´ a ´ a ´ o a nghiˆm k´p v` z2 = −1 − i l` nghiˆm do e e a a e .n cua n´. ’ o . . (DS. z 6 + 2z 5 + 4z 4 + 4z 3 + 5z 2 + 2z + 2) 6. Phˆn t´ c´c da th´.c d˜ cho th`nh t´ c´c th`.a sˆ tuyˆn t´ a ıch a u a a ıch a u o ´ ´ e ınh 1) z 3 − 6z 2 + 11z − 6 (DS. (z − 1)(z − 2)(z − 3)) 2) 6z 4 − 11z 3 − z 2 − 4 √ √ 2 1+i 3 1−i 3 (DS. 6(z − 2) z + z− z− . 3 2 2 2 2 3) 3z 4 − 23z 2 − 36 (DS. 3(z − 3)(z + 3) z − i √ z + i√ ) 3 3 n 4) z − 1 (DS. (z − ε0 )(z − ε1) · · · (z − εn−1 ), 2kπ 2kπ εk = cos + i sin , k = 0, n − 1) n n 5) z 4 + 4 (DS. (z − 1 − i)(z − 1 + i)(z + 1 − i)(z + 1 + i)) 6) z 4 + 16 √ √ √ √ (DS. (z − 2(1 + i))(z − 2(1 − i))(z + 2(1 + i))(z + 2(1 − i))) 7) z 4 + 8z 3 + 8z − 1 √ √ (DS. (z − i)(z + i)(z + 4 − 17)(z + 4 + 17)) √ √ 3 1+i 7 1−i 7 8) z + z + 2 (DS. (z + 1) z − z− ) 2 2 7. Phˆn t´ c´c da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ thu.c th`nh c´c da th´.c bˆt a ıch a u e o ´ o . a a u a ´ ’ kha quy trˆn c`ng tru o e u .`.ng d´. o 1) x3 + x + 2 (DS. (x + 1)(x2 − x + 2)) √ √ 2) x4 + 16 (DS. (x2 − 2x 2 + 4)(x2 + 2 2x + 4)) √ √ 3) x4 + 8x3 + 8x − 1 (DS. (x2 + 1)(x + 4 − 17)(x + 4 + 17)) 4) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x − 3 √ √ 5−1 5+1 (DS. x − x+ (x2 + x + 3)) 2 2 4 √ 8k + 1 √ 5) x10 − 2x5 + 2 (DS. x2 − 2 10 2 cos π+ 52 ) k=0 20 6) x4 + x3 + x2 + x + 1
  • 2.2. Phˆn th´.c h˜.u ty a u u ’ 55 √ √ 5−1 5+1 (DS. x2 − x + 1 x2 + x+1 ) 2 2 Chı dˆ n. D˘t x2 l`m th`.a sˆ chung rˆi d`ng ph´p dˆi biˆn y = ’ ˜a a. a u o ´ ` u o e o e’ ´ 1x+ x n−1 kπ 7) x2n − 1 (DS. (x2 − 1) (x2 − 2x cos + 1)) k=1 n n 2kπ 8) x2n+1 − 1 (DS. (x − 1) x2 − 2x cos +1 ) k=1 2n + 12.2 Phˆn th´.c h˜.u ty a u u ’Mˆt h`m sˆ x´c dinh du.´.i dang thu.o.ng cua hai da th´.c dai sˆ tai o a . ´ o a . o . ’ u ´ . o .nh˜ u .ng diˆm m` mˆ u sˆ khˆng triˆt tiˆu goi l` phˆn th´.c h˜.u ty. e’ a ˜ o o a ´ e e . a a u u ’ . P (x) R(x) = , Q(x) = 0. Q(x) Nˆu degP < degQ th` R(x) goi l` phˆn th´.c h˜.u ty thu.c su.. Nˆu e´ ı . a a u u ’ . . ´ edegP degQ th` R(x) du . ı .o.c goi l` phˆn th´.c h˜.u ty khˆng thu.c su.. u u ’ o . a a . . Nˆ e´u degP degQ th` b˘ ı a `ng c´ch thu.c hiˆn ph´p chia P (x) cho a . e . e .o.cQ(x) ta thu du . P (x) P1 (x) = W (x) + (2.12) Q(x) Q(x) P1 (x)trong d´ W (x) l` da th´.c, c`n o a u o l` phˆn th´.c h˜.u ty thu.c su.. a a u u ’ . . Q(x) Vˆ sau ta chı x´t c´c phˆn th´.c h˜.u ty l` thu.o.ng cua hai da th´.c `e ’ e a a u u ’ a ’ udai sˆ v´.i hˆ sˆ thu.c (phˆn th´.c nhu. vˆy du.o.c goi l` phˆn th´.c h˜.u ´ . o o e o .. ´ a u a . . . a a u u .i hˆ sˆ thu.c). ’ o . ´ty v´ e o . Phˆn th´.c thu.c do.n gian nhˆt (c`n goi l` phˆn th´.c co. ban) l` a u . ’ ´ a o . a a u ’ anh˜.ng phˆn th´.c du.o.c biˆu diˆn tˆi gian bo.i mˆt trong hai dang sau u a u . e’ ˜ o ’ e ´ ’ o . .dˆy a A Bx + C I. ; II. ; A, B, C, p, q ∈ R. (x − α)m (x2 + px + q)m
  • 56 Chu.o.ng 2. Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u a a u ’ T`. dinh l´ Gauss v` c´c hˆ qua cua n´ ta c´ u . y a a e ’ ’ o . o P (x) Dinh l´. Moi phˆn th´.c h˜.u ty thu.c su. -. y . a u u ’ . e o . . o. ˜ . ´ . Q(x) hˆ sˆ thu c v´ i mˆ u a ´ sˆ c´ dang o o . Q(x) = (x − α)r (x − β)s · · · (x2 + p1 x + q1)m × × (x2 + p2 x + q2 ) · · · (x2 + ps x + qs )n (2.13) dˆu c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang tˆng h˜.u han c´c phˆn th´.c co. ban ` o e e e ’ ’ ˜ e o . o’ u . a a u ’ dang I v` II . a P (x) A B C = r + r−1 + ··· + + Q(x) (x − α) (x − α) x−α D E F + s + s−1 + ··· + + (x − β) (x − β) x−β ...... ... ... ... ... ... ... Gx + H Ix + H Lx + M + 2 m + 2 m−1 + ··· + 2 + (x + p1 x + q1) (x + p1 x + q1) x + p1 x + q1 ...... ... ... ... ... ... ... Nx + P Qx + R Sx + T + 2 n + 2 n−1 + ··· + 2 , (x + ps x + qs ) (x + ps x + qs ) x + ps x + qs (2.14) trong d´ A, B, . . . l` nh˜.ng h˘ng sˆ thu.c. o a u ` a ´ o . . vˆy c´c phˆn th´.c co. ban o. vˆ phai cua (2.14) s˘p xˆp theo Nhu a a a u ´ ’ ’ e ’ ’ ´ ´ a e . t` u.ng nh´m tu.o.ng u.ng v´.i c´c th`.a sˆ o. vˆ phai cua (2.13), trong d´ o ´ o a ´ ´ u o ’ e ’ ’ o sˆ sˆ hang cua mˆ i nh´m b˘ng sˆ m˜ cua lu˜ th`.a cua th`.a sˆ tu.o.ng ´ ´ o o . ’ ˜ o o ` a ´ o u ’ y u ’ u o ´ u ´.ng. Cˆn lu.u y r˘ng khi khai triˆn phˆn th´.c cu thˆ theo cˆng th´.c ` a ´ ` a e’ a u . e’ o u o o e o o e ` . ´ . ´ ’ a ´ ´ ˜ (2.14) mˆt sˆ hˆ sˆ c´ thˆ b˘ng 0 v` do d´ sˆ sˆ hang trong mˆ i nh´m a o o o . o o ’ .n sˆ m˜ cua th`.a sˆ tu.o.ng u.ng. c´ thˆ b´ ho o u ’ o e e ´ u o ´ ´ .c h`nh, dˆ t´nh c´c hˆ sˆ A, B, . . . ta s˜ su. dung c´c ’ Trong thu a . e ı a e o . ´ e ’ . a phu.o.ng ph´p sau. a
  • 2.2. Phˆn th´.c h˜.u ty a u u ’ 57 I. Gia su. da th´.c Q(x) chı c´ c´c nghiˆm thu.c do.n, t´.c l` ’ ’ u ’ o a e . . u a n Q(x) = (x − aj ), ai = aj ∀ i = j. j=1Khi d´ o n P (x) Aj = · (2.15) Q(x) j=1 x − ajDˆ x´c dinh Ak ta nhˆn hai vˆ cua (2.15) v´.i x − ak v` thu du.o.c ’ e a . a ´ e ’ o a . P (x) A1 Ak−1 n = Ak + + ··· + x − a1 x − ak−1 (x − aj ) j=1 j=k Ak+1 An + + ··· + (x − ak ). (2.16) x − ak+1 x − an Thay x = ak v`o (2.16) ta c´ a o P (ak ) Ak = n · (2.17) (ak − aj ) j=1 j=k Ak Nhu. vˆy dˆ t´ hˆ sˆ Ak cua phˆn th´.c ’ a e ınh e o . . ´ ’ a u ta x´a th`.a sˆ o u o ´ x − ak P (x) ’ ˜ o ’ a ´(x − ak ) khoi mˆ u sˆ cua ´ v` tiˆp theo l` thay x = ak v`o biˆu a e a a e’ Q(x)th´.c c`n lai. V` vˆy phu.o.ng ph´p n`y du.o.c goi l` phu.o.ng ph´p x´a. u o . ı a. a a . . a a o ´ II. Nˆu Q(x) c´ nghiˆm bˆi th` cˆng th´ e o e o ı o u.c (2.17) khˆng c`n su. dung o o ’ . . .du.o.c. Gia su. Q(x) = g m , trong d´ ho˘c g = x − α ho˘c g l` t´ c´c . ’ ’ o a . a . a ıch a .a sˆ l` tam th´.c bˆc hai v´.i hai biˆt sˆ ˆm. Trong tru.`.ng ho.p u ´th` o a u a . o . ´ e o a o . a ` a ’n`y ta cˆn khai triˆn P (x) theo c´c lu˜ th` e a y u .a cua g: ’ P (x) = a0 + a1g + a2g 2 + . . .
  • 58 Chu.o.ng 2. Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u a a u ’ trong d´ a0, a1, . . . l` h˘ng sˆ nˆu g = x − α v` l` da th´.c bˆc khˆng o a a ` ´ ´ o e a a u a . o vu ..o.t qu´ 1 trong tru.`.ng ho.p th´. hai (trong tru.`.ng ho.p n`y ta cˆn a o u o a `a . . thu.c hiˆn theo quy t˘c ph´p chia c´ du.). . e. ´ a e o ´ III. Dˆi v´ o o .i tru.`.ng ho.p tˆng qu´t, ta nhˆn hai vˆ cua (2.14) v´.i o ’ ´ e ’ . o a a o da th´.c Q(z) v` s˘p xˆp c´c sˆ hang o. vˆ phai d˘ng th´.c thu du.o.c u a ´ e a o . a ´ ´ ´ ’ a ’ e ’ u . .c v` thu du.o.c dˆng nhˆt th´.c gi˜.a hai da th´.c: mˆt da th`nh da th´ a a u . ` o ´ u a u u o . th´ a u .c l` P (x), c`n da th´.c kia l` da th´.c v´.i hˆ sˆ A, B, . . . chu.a du.o.c o u a u o e o ´ . . x´c dinh. Cˆn b˘ a . a a `ng c´c hˆ sˆ cua c´c lu˜ th`.a c`ng bˆc ta thu du.o.c a e o . ´ ’ a y u u a . . hˆ phu e .o.ng tr` tuyˆn t´ v´.i ˆn l` A, B, . . . . ınh ´ e ınh o a a ’ . Giai hˆ d´, ta t` du.o.c c´c hˆ sˆ A, B, . . . Phu.o.ng ph´p n`y goi ’ e o . ım . a e o . ´ a a . .o.ng ph´p hˆ sˆ bˆt dinh. l` phu a . ´ ´ a e o a . ’ o e a . . ´ ` Ta c´ thˆ x´c dinh hˆ sˆ b˘ng c´ch kh´c l` cho biˆn x trong dˆng e o a a a a ´ e ` o nhˆt th´.c nh˜.ng tri sˆ t`y y (ch˘ng han c´c gi´ tri d´ l` nghiˆm thu.c ´ a u u ´ . o u ´ ’ a . a a . o a e. . ’ ˜ ´ cua mˆ u sˆ). a o CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. Khai triˆn c´c phˆn th´.c h˜.u ty sau th`nh tˆng c´c phˆn ı . ’ e a a u u ’ a o’ a a th´ u.c co. ban ’ 2x3 + 4x2 + x + 2 x2 − 2x 1) , 2) · (x − 1)2 (x2 + x + 1) (x − 1)2 (x2 + 1)2 Giai. 1) V` tam th´.c bˆc hai x2 + x + 1 khˆng c´ nghiˆm thu.c nˆn ’ ı u a . o o e . . e 2x3 + 4x2 + x + 2 B1 B2 Mx + N R1 (x) = 2 (x2 + x + 1) = + 2 + 2 · (x − 1) (x − 1) (x − 1) x +x+1 ` ˜ o a ´ Quy dˆng mˆ u sˆ ta c´ o o 2x3 + 4x2 + x + 2 (x − 1)2 (x2 + x + 1) B1(x3 − 1) + B2 (x2 + x + 1) + (Mx + N)(x2 − 2x + 1) = · (x − 1)2 (x2 + x + 1)
  • 2.2. Phˆn th´.c h˜.u ty a u u ’ 59Cˆn b˘ng hˆ sˆ cua x0 , x1, x2 v` x3 trong c´c tu. sˆ ta thu du.o.c hˆ a a ` . ´ e o ’ a a ’ o ´ . e .phu.o.ng tr` ınh x3 B1 + B2 + N = 2, x2 B2 + M − 2N = 1, x1 B2 + N − 2M = 4, x0 B1 + M = 2.Giai hˆ phu.o.ng tr` ta c´ B1 = 2, B2 = 3, M = 0, N = 1. T`. d´ ’ e . ınh o u o 2 3 1 R1 (x) = + 2 + 2 · x − 1 (x − 1) x +x+1 2) Ta c´ o x2 − 2x A1 A2 M1 x + N1 M2 x + N2R2 = 2 (x2 + 1)2 = + 2 + + · (x − 1) x − 1 (x − 1) x2 + 1 (x2 + 1)2Quy dˆng mˆ u sˆ v` cˆn b˘ng c´c tu. sˆ ta c´ ` o ˜ o a a ` a ´ a a ’ o ´ ox2 − 2x = A1(x − 1)(x2 + 1)2 + A2 (x2 + 1)2 + (M1 x + N1 )(x − 1)2 (x2 + 1) + (M2x + N2 )(x − 1)2 . So s´nh c´c hˆ sˆ cua c´c lu˜ th`.a c`ng bˆc o. hai vˆ ta thu du.o.c a . ´ a e o ’ a y u u a ’ . ´ e . x5 A1 + M1 = 0, x4 − A1 + A2 − 2M1 + N1 = 0, x3 2A1 + 2M1 − 2N1 + M2 = 0, x2 − 2A1 + 2A2 − 2M1 + 2N1 + 2N1 − 2M2 + N2 = 1, x1 A1 + M1 − 2N1 + M2 − 2N2 = −2, x0 − A1 + A2 + N1 + N2 = 0.T`. d´ suy ra u o 1 1 1 A1 = , A2 = − , M1 = − , 2 4 2 1 1 N1 = − , M2 = − , N2 = 1 4 2
  • 60 Chu.o.ng 2. Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u a a u ’ v` do vˆy a a . 1 1 1 1 1 x2 − 2x − − x− − x+1 = 2 + 4 + 2 4 + 2 · (x − 1)2 (x2 + 1)2 x − 1 (x − 1)2 x2 + 1 (x2 + 1)2 V´ du 2. C˜ng hoi nhu. trˆn ı . u ’ e x4 1 1) R1 (x) = ; 2) R2 (x) = · x4 + 5x2 + 1 x4 + 1 Giai. 1) R1 (x) l` phˆn th´.c h˜.u ty khˆng thu.c su. nˆn dˆu tiˆn ’ a a u u ’ o . . e ` a e ` cˆn thu a .c hiˆn ph´p chia: e e . . x4 5x2 + 4 =1− 4 = 1 + R3 (x). x4 + 5x2 + 4 x + 5x2 + 4 Ch´ y r˘ng x4 + 5x2 + 4 = (x2 + 1)(x2 + 4), do d´ u´ a ` o 5x2 + 4 M1 x + N1 M2 x + N2 R3 = − 2 + 1)(x2 + 4) = + · (x x2 + 1 x2 + 4 Quy dˆng mˆ u sˆ v` so s´nh hai tu. sˆ ta thu du.o.c ` o ˜ o a a ´ a ’ o ´ . −5x2 − 4 = (M1 x + N1)(x2 + 4) + (M2 x + N2 )(x2 + 1) v` tiˆp theo l` cˆn b˘ng c´c hˆ sˆ cua c´c lu˜ th`.a c`ng bˆc cua x ta a e ´ a a ` a . ´ a e o ’ a y u u a ’ . .o.c hˆ phu.o.ng tr` thu du . e ınh . x3 M1 + M2 = 0, x2 N1 + N2 = −5, 1 16 ⇒ M1 = M2 = 0, N1 = , N2 = − · x1 4M1 + N − 2 = 0, 3 3 x0 4N1 + N − 2 = −4 Vˆy a . 1 1 16 1 R1 (x) = 1 + · 2 − · 2 · 3 x +1 3 x +4
  • 2.2. Phˆn th´.c h˜.u ty a u u ’ 61 √ √ 2) V` x4 + 1 = (x2 + 1)2 − 2x2 = (x2 + 2x + 1)(x2 − 2x + 1) nˆn ı e 1 M1 x + N1 M2 x + N2 R2 = = √ + √ · x4 +1 x2 + 2x + 1 x2 − 2x + 1T`. dˆng nhˆt th´.c u ` o ´ a u √ √ 1 ≡ (M1 x + N1)(x2 − 2x + 1) + (M + 2x + N2 )(x2 + 2x + 1),tiˆn h`nh tu.o.ng tu. nhu. trˆn ta c´ ´ e a . e o 1 1 M1 = −M2 = √ , N1 = N2 = · 2 2 2Do d´ o √ √ 1 1 x+ 2 1 x− 2 = √ √ − √ √ · x4 + 1 2 2 x2 + 2x + 1 2 2 x2 − 2x + 1V´ du 3. T` khai triˆn phˆn th´.c ı . ım ’ e a u x+1 x2 + 2x + 6 1) R1 (x) = ; 2) R2 (x) = · (x − 1)(x − 2)x (x − 1)(x − 2)(x − 4) Giai. 1) V` mˆ u sˆ chı c´ nghiˆm do.n 0, 1, 2 nˆn ’ ı ˜ o ’ o a ´ e . e x+1 A1 A2 A2 = + + · x(x − 1)(x − 2) x x−1 x−2 Ap dung cˆng th´.c (2.17) ta du.o.c ´ . o u . x+1 x=0 1 A1 = = ; (x − 1)(x − 2) x=0 2 x+1 x+1 3 A2 = = −2, A3 = = · x(x − 2) x=1 x(x − 1) x=2 2Vˆy a . 1 −2 3 R1 (x) = + + · 2x x − 1 2(x − 2)
  • 62 Chu.o.ng 2. Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u a a u ’ 2) Tu.o.ng tu. ta c´ . o x2 + 2x + 6 A1 B C R2 (x) = = + + (x − 1)(x − 2)(x − 4) x−1 x−2 x−3 V` mˆ u sˆ cua R2 (x) chı c´ nghiˆm do.n nˆn ı ˜ o ’ a ´ ’ o e . e x2 + 2x + 6 A= = 3, (x − 2)(x − 4) x=1 x2 + 2x + 6 B= = −7, (x − 1)(x − 4) x=2 x2 + 2x + 6 C= = 5. (x − 1)(x − 2) x=4 o Do d´ 3 7 5 R2(x) = − + · x−1 x−2 x−4 Nhˆn x´t. Trong mˆt sˆ tru.`.ng ho.p d˘c biˆt, viˆc khai triˆn phˆn a e . . ´ o o o . a . e . e. e’ a u.c h˜.u ty c´ thˆ thu du.o.c do.n gian ho.n v` nhanh ho.n. Ch˘ng han, th´ u ’ o e ’ ’ a ’ a . . .c 1 .c co. ban ’ ’ dˆ khai triˆn phˆn th´ e e a u 2 ’ th`nh tˆng c´c phˆn th´ a o a a u ’ x (1 + x2)2 ta c´ thˆ thu.c hiˆn nhu. sau: o e .’ e . 1 (1 + x2) − x2 1 1 2 (x2 + 1)2 = 2 2 2 = 2 2 − 2 x x (x + 1) x (x + 1) (x + 1)2 (1 + x2) − x2 1 = 2 (x2 + 1) − 2 x (x + 1)2 1 1 1 = 2− 2 − 2 · x x + 1 (x + 1)2 V´ du 4. Khai triˆn c´c phˆn th´.c h˜.u ty sau: ı . ’ e a a u u ’ x4 + 5x3 + 5x2 − 3x + 1 x5 + 3x4 + x3 − 2x2 + 2x + 3 1) ; 2) · (x + 2)5 (x2 + x + 1)3 Giai. 1) D˘t g = (x + 2). Khi d´ b˘ng c´ch khai triˆn tu. sˆ theo ’ a . o a ` a ’ e ’ o ´ c´c lu˜ th`.a cua x + 2 b˘ng c´ch ´p dung cˆng th´.c nhi th´.c Newton a y u ’ ` a a a . o u . u
  • 2.2. Phˆn th´.c h˜.u ty a u u ’ 63ta thu du.o.c .x4 + 5x3 + 5x2 − 3x + 1 = (x + 2)5 [(x + 2) − 2]4 + 5[(x + 2) − 2]3 + 5[(x + 2) − 2]2 − 3[(x + 2) − 2)] + 1= (x + 2)5 3 + 5g − g 2 − 3g 3 + g 4 3 5 1 3 1= 5 = 5+ 4− 3− 2+ g g g g g g 3 5 1 3 1= 5 + 4 − 3 − 3 + · (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x + 2) x+2 2) D˘t g = x2 + x + 1. D´ l` tam th´.c bˆc hai khˆng c´ nghiˆm a . o a u a . o o e .thu.c. Ap dung thuˆt to´n chia c´ du. ta c´ ´ a a o o . . . P (x) = x5 + 3x4 + x3 − 2x2 + 2x + 3 = (x2 + x + 1)(x3 + 2x2 − 2x − 2) + 6x + 5t´.c l` u a P = g · q1 + r1 , q1 = x3 + 2x2 − 2x − 2, r1 = 6x + 5.Ta lai chia q1 cho g v` thu du.o.c . a . q1 = gq2 + r2 , degq2 < deg(g) q2 = x + 1, r2 = −4x − 3.Nhu. vˆy a . P = gq1 + r1 = r1 + g(r2 + gq2) = r1 + r2 g + q2g 2 .T`. d´ suy ra u o P r1 r2 1 = 3 + 3 + q2 · g3 g g g 6x + 5 4x + 3 x+1 = 2 3 − 2 2 + 2 · (x + x + 1) (x + x + 1) x +x+1
  • 64 Chu.o.ng 2. Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u a a u ’ ` ˆ BAI TAP . Trong c´c b`i to´n sau dˆy, h˜y khai triˆn phˆn th´.c h˜.u ty d˜ a a a a a e’ a u u ’ a ’ cho th`nh tˆng h˜ a o u.u han c´c phˆn th´.c co. ban thu.c. ’ . a a u . 2x − 3 1. x(x2 − 1)(x2 − 4) 3 1 5 1 7 (DS. − + + + − ) 4x 6(x − 1) 6(x + 1) 24(x − 2) 24(x + 2) x+1 2 2x + 1 2. 3 (DS. − 2 + x + 1) ) x −1 3(x − 1) 3(x 1 3. 3 x (x − 1)4 10 4 1 10 6 3 1 (DS. + 2+ 3− + 2 − 3 + ) x x x x − 1 (x − 1) (x − 1) (x − 1)4 1 3 1 4. 4 2 (DS. − + (x − 1) 16(x − 1) 16(x − 1)2 3 1 1 1 + + + + ) 16(x + 1) 16(x + 1)2 4(x2 + 1) 4(x2 + 1)2 2x − 1 5. (x + 1)3 (x2 + x + 1) 2 1 3 2x − 1 (DS. − 2 − 3 − 2 ) x + 1 (x + 1) (x + 1) x +x+1 1 1 x x x 6. (DS. + 2 − 2 − 2 ) x(x2 + 1)3 x (x + 1)3 (x + 1)2 x + 1 x2 + 3x + 1 1 3 3 3x 7. (DS. + 3− + 2 ) x4(x2 + 1) x 4 x x x +1 x5 + 3x3 − x2 + 4x − 2 2x − 1 x−1 x 8. (DS. + 2 + 2 ) (x2 + 1)3 (x 2 + 1)3 (x + 1)2 x +1 x5 + 2x3 − 6x2 − 3x − 9 9. (x2 + x + 2)3 1 x−1 x−2 (DS. 2 3 + 2 2 + 2 ) (x + x + 2) (x + x + 2) x +x+2 2x − 1 10. x(x + 1)2 (x2 + x + 1)2
  • 2.2. Phˆn th´.c h˜.u ty a u u ’ 65 1 7 3 6x + 2 3x + 2 (DS. − + + 2 − 2 − 2 ) x x + 1 (x + 1) x + x + 1 (x + x + 1)2 x211. 2 (x + 1)(x2 + x + 1)2 1 1 x (DS. 2 + 2 − 2 ) x + 1 x + x + 1 (x + x + 1)2 112. 5 4 + x3 − x2 + x − 1 x −x 1 1 2x + 1 1 (DS. − 2+x+1 − 2 − x + 1) ) 3(x − 1) 6 x 2(x
  • Chu.o.ng 3Ma trˆn. Dinh th´.c a . -. u 3.1 Ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 a . 3.1.1 -. Dinh ngh˜ ma trˆn . . . . . . . . . . . . . 67 ıa a . 3.1.2 e a ´ C´c ph´p to´n tuyˆn t´ trˆn ma trˆn . . 69 a e ınh e a . 3.1.3 Ph´p nhˆn c´c ma trˆn . . . . . . . . . . . 71 e a a a . 3.1.4 e ’ Ph´p chuyˆn vi ma trˆn . . . . . . . . . . . 72 e . a . 3.2 Dinh th´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 -. u 3.2.1 . ´ Nghich thˆ . . . . . . . . . . e . . . . . . . . 85 3.2.2 D.nh th´.c . . . . . . . . . . . -i u . . . . . . . . 85 3.2.3 T´ chˆt cua dinh th´.c . . . ınh a ’´ . u . . . . . . . . 88 3.2.4 Phu.o.ng ph´p t´ dinh th´.c a ınh . u . . . . . . . . 89 3.3 . ’ Hang cua ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . 109 a . 3.3.1 -. Dinh ngh˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 ıa 3.3.2 Phu.o.ng ph´p t` hang cua ma trˆn . . . . 109 a ım . ’ a . 3.4 a . . ’ Ma trˆn nghich dao . . . . . . . . . . . . . . 118 3.4.1 -. Dinh ngh˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 ıa
  • 3.1. Ma trˆn a . 67 3.4.2 Phu.o.ng ph´p t` ma trˆn nghich dao . . . 119 a ım a . . ’3.1 Ma trˆn a .Gia su. P l` tru.`.ng sˆ n`o d´ (P = R, C). ’ ’ a o ´ o a o3.1.1 -. Dinh ngh˜ ma trˆn ıa a .Ta x´t bang h` ch˜. nhˆt lˆp nˆn t`. m × n sˆ cua P: e ’ ınh u a a e u . . ´ o ’ a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . .. . . . . . . am1 am2 . . . amnBang sˆ n`y du.o.c goi l` ma trˆn (hay ch´nh x´c ho.n: ma trˆn sˆ) ’ ´ o a . . a a . ı a a o . ´k´ch thu.´.c m × n. C´c sˆ aij , i = 1, m, j = 1, n du.o.c goi l` phˆn ı o a o ´ . . a ` a ’. cua ma trˆn, trong d´ i chı sˆ hiˆu h`ng, j chı sˆ hiˆu cˆt cua matu ’ a o ´ . ’ o e a ´ . . ’ o e o ’ .trˆn. a. y e . ’ K´ hiˆu: c´ thˆ d`ng mˆt trong c´c k´ hiˆu o e u o. a y e .     a11 a12 . . . a1n a11 a12 . . . a1n      a21 a22 . . . a2n   a21 a22 . . . a2n  A= . . . .  , hay  . . . .  hay  . . . .. . .  .   . . . .. . .  .  am1 am2 . . . amn am1 am2 . . . amn a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . .. . . . . . . am1 am2 . . . amn
  • 68 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u hay ng˘n gon ho.n ´ a . A = aij m×n = aij m×n = aij m×n . Tˆp ho.p moi (m × n)-ma trˆn du.o.c k´ hiˆu l` M(m × n). a . . . a . . y e a . ´u m = n th` ma trˆn A = aij Nˆ e ı a .o.c goi l` ma trˆn vuˆng du . . m×n . a a . o .`.ng k´ hiˆu: A = aij n .i ma trˆn ´ cˆp n (thu o a y e . n×n = aij 1 ). Dˆi v´ ´ o o a. n . aii , i = 1, n du.o.c goi l` nh˜.ng phˆn vuˆng A = aij 1 c´c phˆn tu o a `a ’ . . a u ` a ’ tu. du.`.ng ch´o. C´c phˆn tu. n`y lˆp th`nh du.`.ng ch´o ch´nh cua ma o e a ` a ’ a a a o e ı ’ . trˆn vuˆng. a. o Ma trˆn vuˆng m` moi phˆn tu. khˆng n˘m trˆn du.`.ng ch´o ch´ a . o a . ` a ’ o ` a e o e ınh ` ` dˆu b˘ng 0 (t´ a e a u.c l` aij = 0 ∀ i = j) goi l` ma trˆn du.`.ng ch´o: . a a . o e   d1    d2     ..  A= .  = diag[d1 d2 . . . dn ].    ..   .  dn Nˆu trong ma trˆn du.`.ng ch´o A moi phˆn tu. d1 = d2 = · · · = dn = 1 ´ e a . o e . `a ’ .o.c goi l` ma trˆn do.n vi cˆp n v` k´ hiˆu: th` ma trˆn d´ du . ı a o ´ . . a a . . a a y e .   1    1     ..  En = E =  . .    ..   .  1  0 ´ nˆu i = j e n Nhu. vˆy En = δij a . , trong d´ δij = o 1 1 ´ nˆu i = j. e
  • 3.1. Ma trˆn a . 69 Sau c`ng, (m × n)-ma trˆn dang u a . .   0 0 ... 0   0 0 . . . 0 Om×n = . .  . . ... . . . . . 0 0 ... 0goi l` ma trˆn - khˆng k´ thu.´.c m × n. Nˆu m = n th` k´ hiˆu On . a a . o ıch o ´ e ı y e . nhay O1 . . ´ . a. o ’ a Nhˆn x´t. 1) Ta nhˆn manh: ma trˆn A = aij m×n khˆng phai l` a e a . ´ ’mˆt sˆ, n´ l` mˆt Bang c´c sˆ. o o o a o . a o ´ 2) Ma trˆn k´ thu.´.c (1 × n) goi l` ma trˆn h`ng a ıch . o . a a a . a1, a2, . . . , anc`n ma trˆn (m × 1) goi l` ma trˆn cˆt o a . . a a o . .   a1    a2   .   .   .  am3.1.2 e a ´ C´c ph´p to´n tuyˆn t´ trˆn ma trˆn a e ınh e a .Gia su. moi ma trˆn du.o.c x´t l` trˆn c`ng mˆt tru.`.ng P (= R, C). ’ ’ . a . . e a e u o. o e a ´C´c ph´p to´n tuyˆn t´ trˆn tˆp ho a a e ınh e a .p c´c ma trˆn l` ph´p cˆng c´c a a e o a . . . .ma trˆn (chı dˆi v´.i c´c ma trˆn c`ng k´ch thu.´.c!) v` ph´p nhˆn ma a . ´ ’ o o a a u . ı o a e a .i mˆt sˆ v` ch´ng du.o.c dinh ngh˜a nh`. c´c ph´p to´n trˆn c´c a o . . ´trˆn v´ o o a u . . ı o a e a e a `phˆn tu ’ a ’ . cua ch´ng. u 1. Cho A = aij m×n , B = bij m×n . Ma trˆn C = cij m×n du.o.c a. . ’ ’goi l` tˆng cua A v` B nˆu . a o a ´ e cij = aij + bij ∀ i = 1, m, ∀ j = 1, n
  • 70 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u v` k´ hiˆu a y e . C = A+B [cij ] = [aij + bij ], i = 1, m, j = 1, n . 2. Gia su. A = aij m×n v` λ ∈ P. Ma trˆn C = cij ’ ’ a a . m×n du.o.c goi . . a ıch ’ l` t´ cua ma trˆn A v´ o a .i sˆ λ nˆu o ´ ´ e . cij = λaij ∀ i = 1, m, ∀ j = 1, n v` k´ hiˆu a y e . C = λA λA = λaij m×n ). Tru.`.ng ho.p d˘c biˆt khi λ = −1 ta viˆt (−1)A = −A v` goi −A o . a . e . ´ e a . a a o ’ . ´ l` ma trˆn dˆi cua ma trˆn A. a . C´c ph´p to´n tuyˆn t´ trˆn tˆp ho.p ma trˆn M(m × n) c´ c´c a e a ´ e ınh e a . . a . o a ınh a ´ t´ chˆt sau dˆy. a Gia su. A, B, C ∈ M(m × n) v` α, β ∈ P. Khi d´ ’ ’ a o I. A + B = B + A (luˆt giao ho´n). a . a II. A + (B + C) = (A + B) + C (luˆt kˆt ho.p). . ´ a e . III. A + Om×n = A. IV. A + (−A) = Om×n . V. 1 · A = A. VI. α(βA) = (αβ)A - luˆt kˆt ho.p dˆi v´.i ph´p nhˆn c´c sˆ. . ´ a e . ´ o o e a a o ´ VII. α(A + B) = αA + αB - luˆt phˆn bˆ cua ph´p nhˆn v´.i mˆt a . a o ’´ e a o o . ´ dˆi v´.i ph´p cˆng ma trˆn. sˆ o o ´ o e o . a. VIII. (α + β)A = αA + βA - luˆt phˆn bˆ cua ph´p nhˆn v´.i ma a . a o ’´ e a o trˆn dˆi v´.i ph´p cˆng c´c sˆ. a o o . ´ e o . a o ´ Hiˆu c´c ma trˆn A − B c´ thˆ dinh ngh˜a nhu. sau e a . a . ’ o e . ı def A − B = A + (−B).
  • 3.1. Ma trˆn a . 713.1.3 Ph´p nhˆn c´c ma trˆn e a a a .Ma trˆn A du.o.c goi l` tu.o.ng th´ch v´.i ma trˆn B nˆu sˆ cˆt cua ma a . . . a ı o a . ´ ´ . e o o ’trˆn A b˘ng sˆ h`ng cua ma trˆn B (t`. su. tu.o.ng th´ cua A v´.i B a . ` a ´ o a ’ a . u . ıch ’ o o .o.c r˘ng ma trˆn B tu.o.ng th´ch v´.i ma trˆnn´i chung khˆng suy ra du . a o ` a ı o a . .A). Cho ma trˆn A = aij m×n v` B = bij n×p . Ma trˆn C = cij m×p a. a a. .o.c goi l` t´ cua ma trˆn A v´.i ma trˆn B nˆu ´du . . a ıch ’ a . o a . e n cij = ais bsj . (3.1) s=1 K´ hiˆu C = AB v` n´i r˘ng “nhˆn bˆn phai ma trˆn A v´.i ma y e . a o ` a a e ’ a . otrˆn B” hay “nhˆn bˆn tr´i ma trˆn B v´ a a e a a o.i ma trˆn A”. a . . . T` u. (3.1) suy ra quy t˘c t` c´c sˆ hang cua t´ c´c ma trˆn: ´ ım a o . a ´ ’ ıch a a . ` n tu. cij d´.ng o. vi tr´ giao cua h`ng th´. i v` cˆt th´. j cua maphˆa ’ u ’ . ı ’ a u a o . u ’ `trˆn C = AB b˘ng tˆ a . a o’ng c´c t´ cua c´c phˆn tu. h`ng th´. i cua ma a ıch ’ a `a ’ a u ’trˆn A nhˆn v´ a a a o .i c´c phˆn tu. tu.o.ng u.ng cua cˆt th´. j cua ma trˆn ` a ’ ´ ’ o u ’ a . . .B.   a11 a12 . . . a1n         . .  ... ... ... ...  b11 bij b1p c . c1p        11   ai1 ai2 . . . ain  ×  .  .  .  =  . . . cij . . .  . . .    . . .      .  ... ... ... ...  bn1 bij bnp cm1 . cmp . am1 am2 . . . amn Ch´ ´. 1) N´i chung ph´p nhˆn ma trˆn khˆng c´ t´nh chˆt giao uy o e a a . o o ı ´ aho´n. a . a ’ a o e ` 2) T´ hai ma trˆn kh´c 0 c´ thˆ b˘ng ma trˆn khˆng. ıch a a . o 3) V´ ` .i diˆu kiˆn c´c ph´p to´n du.o.c viˆt ra c´ ngh˜a, ph´p nhˆn o e e a e a ´ e o ı e a . .ma trˆn c´ c´c t´ chˆt sau a o a ınh a . ´ I. (AB)C = A(BC) - luˆt kˆt ho.p. . ´ a e . II. α(AB) = (αA)B = A(αB), α ∈ P. a. a o e´ III. (A + B)C = AC + BC (luˆt phˆn bˆ ph´p nhˆn bˆn phai a e ’
  • 72 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u dˆi v´.i ph´p cˆng ma trˆn). ´ o o e o . a . . ´ IV. C(A + B) = CA + CB (luˆt phˆn bˆ ph´p nhˆn bˆn tr´i a a o e a e a ´ dˆi v´ o o .i ph´p cˆng ma trˆn). e o a . . 3.1.4 ’ Ph´p chuyˆn vi ma trˆn e e . a . Ph´p to´n trˆn c´c ma trˆn m` trong d´ c´c h`ng chuyˆn th`nh c´c e a e a a. a o a a e’ a a cˆt c`n c´c cˆt chuyˆ o o a o . . ’n th`nh c´c h`ng du.o.c goi l` ph´p chuyˆn vi ma e a a a . . a e ’ . e trˆn. a. Cho ma trˆn A = aij m×n . Ma trˆn thu du.o.c t`. ma trˆn A b˘ng a . a . . u a . ` a e ’ ph´p chuyˆn vi ma trˆn du . . a e . a .o.c goi l` ma trˆn chuyˆn vi dˆi v´.i ma trˆn a ’ e . o o´ a . . . .o.c k´ hiˆu l` AT . Nhu. vˆy: AT l` (n × m)-ma trˆn. A v` du . y e a a a a a . . . Ma trˆn vuˆng du . . a a o .o.c goi l` ma trˆn dˆi x´.ng nˆu AT = A v` du.o.c a o u´ ´ e a . . . goi l` ma trˆn phan x´ a a ’ u .ng nˆu AT = −A. Nhu. vˆy nˆu A = aij n l` ´ e a e ´ a . . . 1 ma trˆn dˆi x´.ng th` aij = aji ∀ i, j = 1, n v` nˆu A phan x´.ng th` a o u . ´ ı a e´ ’ u ı aij = −aji . Do d´ c´c phˆn tu e o a `a ’. trˆn du.`.ng ch´o ch´nh cua ma trˆn o e ı ’ a . ’ u phan x´ .ng l` b˘ng 0. a a ` CAC V´ DU ´ I . 1 2 5 6 V´ du 1. 1) Cˆng c´c ma trˆn ı . o . a a . v` a . 3 4 7 8 −1 2 −1 2) Nhˆn ma trˆn A = a a . v´.i sˆ λ = 3. o o ´ 4 0 1 Giai. 1) Hai ma trˆn d˜ cho c´ c`ng k´ch thu.´.c nˆn c´ thˆ cˆng ’ a a . o u ı o e o e o ’ . v´.i nhau. Theo dinh ngh˜a ph´p cˆng c´c ma trˆn ta c´ o . ı e o . a a . o 1 2 5 6 1+5 2+6 6 8 + = = . 3 4 7 8 3+7 4+8 10 12 −1 2 −1 −1 · 3 2 · 3 −1 · 3 2) λA = 3 · = = 4 0 1 4·3 0·3 1·3
  • 3.1. Ma trˆn a . 73 −3 6 −3 . 12 0 3V´ du 2. Trong tru.`.ng ho.p n`o th` ı . o . a ı: 1) c´ thˆ nhˆn bˆn phai mˆt ma trˆn h`ng v´.i mˆt ma trˆn cˆt ? ’ o e a e ’ o . a a . o o . a o . . ’ o e a e ’ 2) c´ thˆ nhˆn bˆn phai mˆt ma trˆn cˆt v´ o a o o .i mˆt ma trˆn h`ng ? o a a . . . . . Gia’ i. 1) Ma trˆn h`ng l` ma trˆn k´ch thu.´.c (1 × n) c`n ma trˆn a a . a a ı . o o a .cˆt l` ma trˆn k´ thu o o a a ıch .´.c (m × 1). Ph´p nhˆn ma trˆn h`ng (1 × n) e a a a . . .v´ o .i ma trˆn cˆt (m × 1) chı c´ thˆ nˆu n = m: a o ’ ´ ’ o e e . . 1×n · n×1 = 1×1t´.c l` kˆt qua ph´p nhˆn l` mˆt sˆ, cu thˆ l` u a e ´ ’ e . ´ a a o o . e a ’   b1    b2  a1 a2 . . . an  .  = a1b1 + a2b2 + · · · + an bn = c. . . bn 2) Ma trˆn cˆt A a o . .   a1    a2  A= .   .   .  aml` ma trˆn k´ thu.´.c (m × 1). Ma trˆn n`y tu.o.ng th´ch v´.i ma trˆn a a ıch . o a a . ı o a . ı .´.c (1 × n), t´.c l` ma trˆn h`ng. Nhu. vˆy ph´p nhˆn d˜ nˆuk´ch thu o u a a a a e a a e . .luˆn luˆn thu o o .c hiˆn du.o.c, cu thˆ l` e ’ a . . . . e     a1 a1b1 a1b2 . . . a1bn      a2   a2b1 a2b2 . . . a2bn   .  b1 b2 . . . bn =  . . . .  .   . . .. . .   .   . . .  am am b1 am b2 . . . am bn
  • 74 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u V´ du 3. T´ AB v` BA nˆu ı . ınh a ´ e   1 3 2 1   1) A = , B = 3. 0 1 2 3   −1 0 1 4 −1   2) A = , B =  1 3. 2 0 1 −1 1 ’ ´ Giai. 1) Theo quy t˘c nhˆn c´c ma trˆn ta c´ a a a a . o   1 3 2 1   3·1+2·3+1·3 12 AB = 3 = = . 0 1 2 0·1+1·3+2·3 9 3 T´ BA khˆng tˆn tai v` ma trˆn B khˆng tu.o.ng th´ v´.i ma ıch o `o . ı a . o ıch o trˆn A. a . 2) Ta c´ ma trˆn A tu.o.ng th´ch v´.i ma trˆn B. Do d´ o a . ı o a. o   −2 0 1 4 −1   AB =  1 3 2 0 1 −1 1 1 · (−2) + 4 · 1 + (−1)(−1) 1 · 0 + 4 · 3 + (−1) · 1 = 2 · (−2) + 0 · 1 + (1) · (−1) 2·0+0·3+1·1 3 11 = . −5 1 Tu.o.ng tu., ma trˆn B tu.o.ng th´ch v´.i . a . ı o ma trˆn A v` a . a   −2 −8 2   BA =  7 4 2 . 1 −4 2 0 1 V´ du 4. 1) Cho ma trˆn A = ı . a . . T` moi ma trˆn X giao ım . a . 0 0 ho´n v´.i A (AX = XA). a o
  • 3.1. Ma trˆn a . 75 1 2 2) T` moi ma trˆn giao ho´n v´.i ma trˆn A = ım . a . a o a . . −1 −1 1 1 1 1 3) T´ t´ ınh ıch . 0 0 −1 −1 ’ a a a . ´ ’ Giai. 1) V` A l` ma trˆn cˆp 2 nˆn dˆ c´c t´ch AX v` XA x´c ı e e a ı a a α βdinh, ma trˆn X c˜ng phai l` ma trˆn cˆp 2. Gia su. A = . a . u ’ a a a . ´ ’ ’ . γ δKhi d´o 0 1 α β γ δ AX = = , 0 0 γ δ 0 0 α β 0 1 0 α XA = = . γ δ 0 0 0 γT`. d´ nˆu AX = XA ⇒ γ = 0, α = δ. Do d´ moi ma trˆn ho´n vi u o e ´ o . a . a .v´ o.i ma trˆn d˜ cho dˆu c´ dang a a ` o . e . α β X= . 0 α x y 2) Tu.o.ng tu. nhu. trˆn, gia su. X = . e ’ ’ l` ma trˆn giao ho´n a a . a u v
  • 76 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u 1 2 v´.i ma trˆn A = o a . . Khi d´ o −1 −1 1 2 x y x y 1 2 = −1 −1 u v u v −1 −1 x + 2u y + 2v x − y 2x − y ⇒ = −x − u −y − v u − v 2u − v  x + 2u = x − y      −x − u = u − v x = u − 2v ⇒ ⇒ ; u, v t`y y. u ´ y + 2v = 2x − y  y = −2u     −y − v = 2u − v Vˆy ta thu du.o.c a . . u − 2v −2u X= , u, v t`y y. u ´ u v 1 1 1 1 0 0 ˜ a e ´ ` 3) Dˆ d`ng thˆy r˘ng a a = . T`. v´ du n`y u ı . a 0 0 −1 −1 0 0 suy ra r˘ng dˆi v´.i c´c ma trˆn nˆu AB = O th` khˆng nhˆt thiˆt ` a ´ o o a a e . ´ ı o ´ a e´ A = O ho˘c B = O. a . V´ du 5. Ma trˆn S = λEn , trong d´ En l` ma trˆn do.n vi cˆp n v` ı . a . o a a . . a´ a λ l` mˆt sˆ du.o.c goi l` ma trˆn vˆ hu.´.ng. Ch´.ng to r˘ng ma trˆn a o o. ´ . . a a o . o u ` ’ a a . .´.ng ho´n vi v´.i moi ma trˆn vuˆng c`ng cˆp. vˆ hu o o a . o a o u ´ a . . ’ ´ dung c´c t´ chˆt cua ma trˆn do.n vi ta c´ Giai. Ap . a ınh a ’ ´ a . . o SA = (λEn )A = λ(En A) = λA; AS = A(λEn ) = λ(AEn ) = λA, t´.c l` AS = SA dˆi v´.i moi ma trˆn vuˆng A cˆp n. u a ´ o o . a. o a´ a o ´ Cho A l` ma trˆn vuˆng, k l` sˆ tu a a o . . nhiˆn l´.n ho.n 1. Khi d´ t´ e o o ıch . k ma trˆn A du.o.c goi l` lu˜ th`.a bˆc k cua A v` k´ hiˆu Ak . Theo a . . . a y u a . ’ a y e .
  • 3.1. Ma trˆn a . 77dinh ngh˜ A0 = E. Nhu. vˆy . ıa a . def Ak = A × A × A × · · · × A ` k lˆn a ◦ A = E.V´ du 6. T` moi lu˜ th`.a cua ı . ım . y u ’ ma trˆn a .   0 1 0 0 0  0 1 0 A= . 0 0 0 1 0 0 0 0 ’ Giai. Ta c´ o       0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0  0 1 0  0  0 1  0 0  0 0 1 A2 =    = , 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a ˜ a ` e ´ av` dˆ thˆy r˘ng       0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0  0 0 1  0  0 1  0 0  0 0 0 A3 = A2A =    = , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0       0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1  0 0 0 0 0      A4 =    = . 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0C´c l˜y th`.a tiˆp theo cua ma trˆn A dˆu b˘ng 0. a u u ´ e ’ a . e ` ` aV´ du 7. Gia su. ı . ’ ’ 0 1 J= , E = E2×2 . −1 0
  • 78 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u Ch´.ng minh r˘ng u ` a 1) J 2 = −E. α β 2) Ma trˆn dang Z = αE + βJ = a . . du.o.c cˆng v` nhˆn . o . a a −β α v´.i nhau tu.o.ng tu. nhu. c´c sˆ ph´.c dang o . ´ a o u . Z = α + βi. ’ Giai. 1) Ta c´ o 0 1 0 1 −1 0 J2 = = = −E. −1 0 −1 0 0 −1 2) X´t Z1 = α1 E + β1J, Z2 = α2 E + β2J. Khi d´ theo dinh ngh˜a e o . ı e a ´ e ınh e a u . a ınh a ’´ c´c ph´p to´n tuyˆn t´ trˆn ma trˆn c`ng c´c t´ chˆt cua ch´ng, a u mˆt m˘t ta c´ o. a . o Z1 + Z2 = (α1 + α2 )E + (β1 + β2)J v` m˘t kh´c a a. a α1 β1 α 2 β2 α1 + α2 β1 + β2 Z 1 + Z2 = + = −β1 α1 −β2 α2 −(β1 + β2) α1 + α2 = (α1 + α2 )E + (β1 + β2)J. Dˆi v´.i ph´p nhˆn su. l´ giai c˜ng tu.o.ng tu.. ´ o o e a . y ’ u . V´ du 8. T´ An nˆu: ı . ınh ´ e 3 1 4 1 1) A = ; 2) A= . 0 3 0 3 Giai. Du.a v`o t´ chˆt cua ma trˆn vˆ hu.´.ng: ma trˆn vˆ hu.´.ng ’ . a ınh a ’ ´ a o o . a o o . ho´n vi v´ a . o .i moi ma trˆn c`ng cˆp, ta s˜ biˆu diˆn ma trˆn d˜ cho th`nh a u ´ a e e ’ ˜ e a a a . . .
  • 3.1. Ma trˆn a . 79tˆng ma trˆn vˆ hu.´.ng cˆng v´.i ma trˆn dang d˘c biˆt m` ph´p nˆng o’ a o o . o. o a . . a . e a e a .lˆn l˜y th` e u u.a du.o.c thu.c hiˆn do.n gian ho.n. e ’ . . . 3 1 3 0 0 1 ˜1) A= = + = B + B, 0 3 0 3 0 0 m 3 0 3m 0 m B = = (xem b`i 4. 3) du.´.i dˆy), a o a 0 3 0 3n ˜ 0 0 Bm = ∀m 2. 0 0Tiˆp theo do B B = BB nˆn ta c´ thˆ ´p dung cˆng th´.c ´ e ˜ ˜ e o ea’ . o u n ˜ (B + B)n = ˜ Cn B i B n−i i (3.2) i=0(xem b`i 5.3) du.´.i dˆy). Theo (3.2) ta c´ a o a o ˜ 1 ˜ 2 ˜ ˜ (B + B)n = B n + Cn B n−1 B + Cn B n−2 B 2 + · · · + B n ˜ = |do B m = 0, m 2| ˜ ˜ = B n + C1 B n−1 B = B n + nB n−1 B n 3n 0 n3n−1 0 0 1 = n = 0 3 0 n3n−1 0 0 3n 0 0 n3n−1 3n n3n−1 = + = . 0 3n 0 0 0 3n 2) Tu.o.ng tu. nhu. trˆn ta c´ . e o 4 1 3 0 1 1 ˜ A= = + = B + B. 0 3 0 3 0 0 m m 3 0 3m 0 B = = , (3.3) 0 3 0 3m m ˜ 1 1 1 1 Bm = = ∀m 1 (3.4) 0 0 0 0
  • 80 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u Tiˆp theo do B B = BB nˆn ta c´ thˆ ´p dung cˆng th´.c ´ e ˜ ˜ e o ea’ . o u ˜ ˜ ˜ ˜ An = (B + B)n = B n + Cn B n−1 B + Cn B n−2 B 2 + · · · + B n . 1 2 (3.5) ınh k ˜ Ta t´ Cn B n−k B k . Theo (3.3) v` (3.4) ta c´ a o k 3n−k 0 1 1 k 3 n−k 3n−k Cn 3n−k Cn 3n−k k k Cn = Cn = . 0 3n−k 0 0 0 0 0 0 (3.6) T`. (3.6), (3.3) v` (3.5) ta thu du.o.c u a . n n 3n 0 Cn 3n−k Cn 3n−k k k A = + 0 3n k=1 0 0  n n  3n + Cn 3n−k 0 + k Cn 3n−k k = k=1 k=1 . n 0 3 n n n V` 3n + ı Cn 3n−k = (3 + 1)n = 4n v` 0 + k a Cn 3n−k = k Cn 3n−k − k k=1 k=1 k=0 3n = 4n − 3n , do vˆy a . 4n 4n − 3n An = . 0 3n ` ˆ BAI TAP . ınh a ´ 1. T´ A + B, AB v` BA nˆu e 1 2 4 −4 1) A = , B= ; 3 4 0 i     1 −1 0 −2 1 2     2) A = 2 1 1, B= 0 4 5. 3 −1 2 2 −3 7
  • 3.1. Ma trˆn a . 81 5 −2 4 −4 + 2i (DS. 1) A + B = , AB = , 3 4+i 12 −12 + 4i −8 −8 BA = ; 3 4i     −1 0 2 −1 −3 −3     2) A + B =  2 5 6, AB = −2 3 16 , 5 −4 9 −2 −7 15   6 1 5   BA =  23 −1 14) −17 −12 112. T´ t´ c´c ma trˆn ınh ıch a a .       5 2 1 1 3 −2 1 3 2       1) 5 2 3 −3 −4 −5. (DS.  5 10 9 ) 6 5 2 2 1 3 −5 0 −7       3 4 9 5 6 4 11 9 13       2) 2 −1 6  8 9 7 . (DS. −22 −27 −17) 5 3 5 −4 −5 −3 29 32 26     1 2 −2   −1 2 0 1 3 −1 1 −2 4  4 6 6       3)   2 3 2. (DS.  ) 1 −2 5   12 −3 20 3 1 4 1 3 −2 1 5 2     2 1 3   1 1  4  2 1     7   4)    2 . (DS.  ) −2 1 −3 3 −1 1 2 1 9
  • 82 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u  1 1 1 −3 3 −1 1 2    0 0 5)  . (DS. ) 1 3 −5 1 1 1  0 0 1 −2     1 3 2 1     6) 2 3 2 1 . (DS. 6 4 2) 3 9 6 3 3. T´ c´c t´ AB v` BA nˆu ınh a ıch a ´ e   −1 3 0 −2 1 1  5 −1 3 1   1) A =  , B = . (DS. T´ch AB ı  3 0 −2 2 0 −1 4 4 1 2 khˆng tˆn tai v` ma trˆn A khˆng tu.o.ng th´ch v´.i ma trˆn B; BA = o ` . ı o a . o ı o a . 10 15 −5 ) 11 10 10   2 0 1 −4   2) A =  , B = 5 1 0 −3 . (DS. T´ch AB khˆng ı o 3 1  0 −1 tˆn tai v` A khˆng tu.o.ng th´ch v´.i B; BA = 11 −1 ) ` . ı o o ı o   1 5 3 1 2 3 4 6  8 2   3) A = , B =  . (DS. AB = 2 1 −2 3 1 2 −1 3 0 1 28 27 8 ıch o ` . , t´ BA khˆng tˆn tai) o 15 14 13 cos α − sin α cos β − sin β 4) A = , B= . cos α cos α sin β cos β
  • 3.1. Ma trˆn a . 83 cos(α + β) = sin(α + β) (DS. AB = BA = ) sin(α + β) cos(α + β)4. T´ c´c lu˜ th`.a cua ma trˆn An nˆu: ınh a y u ’ a . ´ e 1 1 1 n 1) A = . (DS. An = ) 0 1 0 1 Chı dˆ n. Su. dung phu.o.ng ph´p quy nap to´n hoc ’ a˜ ’ . a . a . cos ϕ − sin ϕ cos nϕ − sin nϕ 2) A = . (DS. An = ) sin ϕ cos ϕ sin nϕ cos nϕ   d1    d2     ..  3) A =  . . (DS. An = diag dn dn . . . dn ) 1 2 n    ..   .  dn     2 1 0 2 2n − 1 0     4) A = 0 1 0. (DS. 0 1 0) 0 0 1 0 0 25. Ch´.ng minh r˘ng nˆu AB = BA th` u ` a ´ e ı 2 2 2 1) (A + B) = A + 2AB + B . 2) A2 − B 2 = (A + B)(A − B). 3) (A + B)n = An + Cn An−1 B + Cn An−2 B 2 + · · · + B n . 1 2 Chı dˆ n. Su. dung phu.o.ng ph´p quy nap to´n hoc. ’ ˜ a ’ . a . a . ’ ’ Gia su . cho da th´.c P (x) = a0 + a1x + · · · + a + kxk . Khi d´ ma u otrˆn vuˆng a . o P (A) = a0E + a1 A + · · · + ak Ak , x=Adu.o.c goi l` gi´ tri cua da th´.c P (x) tai x = A v` biˆu th´.c . . a a . ’ u . a e ’ u k P (A) = a0E + aA + · · · + ak A goi l` da th´ ’ .c cua ma trˆn A. . a u a . . P (x) v` Q(x) l` hai da th´.c v´.i hˆ sˆ ∈ P v` A l` ma trˆn ’ ’6. Gia su a a u o e o . ´ a a a . o ´vuˆng cˆp n. Ch´ a u.ng minh r˘ng ` a
  • 84 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u 1) ϕ(x) = P (x) + Q(x) ⇒ ϕ(A) = P (A) + Q(A). 2) ψ(x) = P (x)Q(x) ⇒ ψ(A) = P (A)Q(A). 3) P (A)Q(A) = Q(A)P (A). 7. T` gi´ tri cua da th´.c ma trˆn ım a . ’ u a . 2 −1 0 0 1) P (x) = x2 − 5x + 3, A = . (DS. ) −3 3 0 0   1 −2 3   2) P (x) = 3x2 − 2x + 5, A = 2 −4 1. (DS. 3 −5 2   21 −23 15   −13 34 10) −9 22 25   0 1 0   3) P (x) = 3x5 − 4x4 − 10x3 + 3x2 − 7, A = 0 0 1. 0 0 0   −7 0 3   (DS.  0 −7 0 ) 0 0 −7 4) Ch´.ng minh r˘ng ma trˆn u ` a a.   1 2 −2   1 0 3  1 3 0 l` nghiˆm cua da th´.c P (x) = x3 − x2 − 9x + 9. a e. ’ u 5) Ch´.ng minh r˘ng ma trˆn u ` a a .   1 0 0   A = 0 1 0 0 0 3 l` nghiˆm cua da th´.c P (x) = x3 − 5x2 + 7x − 3. a e . ’ u
  • 3.2. D. nh th´.c -i u 858. Ch´.ng minh r˘ng nˆu A l` ma trˆn du.`.ng ch´o cˆp n v´.i c´c u ` a e´ a a . o e a ´ o a `a ’phˆn tu e . trˆn du.`.ng ch´o ch´ l` λ1 , λ2 , . . . , λn th` v´.i moi da th´.c o e ınh a ı o u .P (x) ma trˆn P (A) c˜ng l` ma trˆn du.`.ng ch´o v´.i c´c phˆn tu. trˆn a. u a a . o e o a ` a ’ e .`.ng ch´o ch´ l` P (λ1 ), P (λ2 ), . . . , P (λn ). H˜y x´t tru.`.ng ho.pdu o e ınh a a e o .khi A l` ma trˆn vuˆng cˆp 3. a a . o ´ a9. Ch´.ng minh r˘ng (An )T = (AT )n . u ` a ’ a ˜ .ng minh b˘ng phu.o.ng ph´p quy nap v` su. dung hˆ ` Chı dˆ n. Ch´ u a a . a ’ . e .th´ u .c (AB) = B A . T T T10. Ch´.ng minh r˘ng moi ma trˆn vuˆng A dˆu c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i u ` a . a. o ` o e e e ’ ’ ˜ e o o’ o a o u ´dang tˆng mˆt ma trˆn dˆi x´.ng v` mˆt ma trˆn phan x´.ng. a o a ’ u . . . . . 1 1 ’ a˜ Chı dˆ n. D˘t P = (A + AT ), Q = (A − AT ), A = P + Q. a . 2 23.2 Dinh th´.c -. u3.2.1 ´ Nghich thˆ . eMoi c´ch s˘p xˆp th´. tu. n phˆn tu. cua tˆp ho.p sˆ J = {1, 2, . . . , n} . a ´ e a ´ u . ` a ’ ’ a . . o´du.o.c goi l` mˆt ho´n vi cua n phˆn tu. d´. Sˆ c´c ho´n vi c´ thˆ c´ . . a o . a . ’ ` a ’ o o a ´ a . o e o ’ ’ `cua n phˆn tu ’ a ’ . cua J l` n!. Hai sˆ trong mˆt ho´n vi lˆp th`nh mˆt a ´ o o a . a a o . . . . ´ nˆu sˆ l´.n ho.n d´.ng tru.´.c sˆ b´ ho.n. Sˆ nghich thˆ cuanghich thˆ e e ´ o o ´ u ´ e o o ´ o . ´ ’ e .o.c k´ hiˆu l`ho´n vi (α1 , . . . , αn ) du . y e a a . . inv(α1 , α2, . . . , αn ), ´ . . a . ´d´ ch´ l` sˆ c˘p lˆp th`nh nghich thˆ trong ho´n vi. o ınh a o a a e a . .o.c goi l` ho´n vi ch˘ n nˆu sˆ nghich thˆ Ho´n vi {α1, . . . , αn } du . a . ˜ ´ ´ ´ . a a . a e o . e ’ o a ˜ a . a a . ’ e o a ´ ´ . ´ e a ’cua n´ l` ch˘ n v` goi l` ho´n vi le nˆu sˆ nghich thˆ l` le.3.2.2 Dinh th´.c -. uMˆ i ma trˆn vuˆng cˆp n (v` chı c´ ma trˆn vuˆng !) dˆu tu.o.ng u.ng ˜ o a . o ´ a a ’ o a . o ` e ´v´.i mˆt sˆ - goi l` dinh th´.c cua n´. o o o. ´ . a . u ’ o
  • 86 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u Gia su. cho ma trˆn vuˆng cˆp n trˆn ’ ’ a . o ´ a e tru.`.ng P(R, C): o   a11 a12 . . . a1n   n  a21 a22 . . . a2n  A = aij 1 =  .  . . .  (3.7)  . . . .. . .  .  an1 an2 . . . ann Dinh th´.c cua ma trˆn A l` mˆt sˆ thu du.o.c t`. c´c phˆn tu. cua . u ’ a . a o o. ´ . u a ` a ’ ’ . ´ ma trˆn theo quy t˘c sau dˆy: a a a .c cˆp n b˘ng tˆng dai sˆ cua n! sˆ hang; u ´ ` ’ ´ ´ 1) dinh th´ a . a o . o ’ o . ˜ ´ ’ . .c l` t´ch 2) mˆ i sˆ hang cua dinh th´ a ı o o . u ai1 j1 ai2 j2 · · · ain jn (3.8) cua n phˆn tu. cua ma trˆn m` c´. mˆ i h`ng v` mˆ i cˆt dˆu c´ d´ng ’ ` a ’ ’ a . a u ˜ ao a ˜ o ` o u o . e ` a ’ mˆt phˆn tu o . trong t´ n`y; ıch a . 3) sˆ hang ai1 j1 ai2 j2 · · · ain jn cua dinh th´.c c´ dˆu cˆng nˆu ho´n ´ o . ’ . u o a o ´ . ´ e a vi lˆp nˆn bo.i c´c sˆ hiˆu h`ng {i1, i2, . . . , in } v` ho´n vi lˆp nˆn bo.i . a e . ’ a o e a´ . a a . a e . ’ ´ . a o e o . a u ˜ a a u . ’ a o a c´c sˆ hiˆu cˆt {j1 , j2 , . . . , jn } l` c`ng ch˘ n ho˘c c`ng le v` c´ dˆu´ tr` u . (“ − ”) trong tru.`.ng ho.p ngu.o.c lai. o . . . K´ hiˆu: Dinh th´ ’ y e u .c cua ma trˆn A du.o.c k´ hiˆu l` a . . . . y e a . a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n det A, |A| hay . . . . .. . . . . . . . an1 an2 . . . ann Nhˆn x´t. 1) Nhu. vˆy, dˆ x´c dinh dˆu cua sˆ hang dinh th´.c ta a e . a . ’ e a . ´ a ’ o . ´ . u ` ınh cˆn t´ a s = inv(i1 , . . . , in ) σ = inv(j1 , . . . , jn ) v` khi d´ dˆu cua sˆ hang dinh th´.c l` dˆu cua th`.a sˆ (−1)s+σ . a ´ o a ’ o . ´ . u a a ’ ´ u o ´
  • 3.2. D. nh th´.c -i u 87 2) Nˆu ta viˆt c´c th`.a sˆ cua t´ch (3.8) theo th´. tu. t˘ng dˆn cua ´ e ´ e a ´ u o ’ ı u . a ` a ’ ´ .sˆ hiˆu h`ng: o e a ai1 j1 ai2 j2 · · · ainjn = a1α1 a2α2 · · · anαnth` ı det A = (−1)inv(α1 ,...,αn )a1α1 a2α2 · · · anαn . (3.9) (α1 ,...,αn ) o o ’ ´trong d´ tˆng lˆy theo moi ho´n vi (α1, α2 , . . . , αn ) cua c´c sˆ a . a . ’ a o ´1, 2, . . . , n. a . o ´ Trong ma trˆn vuˆng (3.7) ta cˆ dinh k (k < n) h`ng v` k cˆt n`o o . a a o a . ’ ’ . d´ l` c´c h`ng v´.i sˆ hiˆu i1 < i2 < · · · < ik v` c´c cˆt v´.id´. Gia su o a a a o ´ . o o e a a o o . ´ hiˆu j1 < j2 < · · · < jk . T`. c´c phˆn tu. n˘m trˆn giao cua h`ngsˆ e o . u a ` a ’ a ` e ’ av` c´c cˆt du . a a o .o.c chon ta c´ thˆ lˆp dinh th´.c cˆp k ’ . o e a . u a ´ . . ai1 j1 ai1 j2 . . . ai1 jk ai2 j1 ai2 j2 . . . ai2 jk . . . . .. . . . . . . . aik j1 aik j2 . . . aik jkDinh th´.c n`y du.o.c goi l` dinh th´.c con cˆp k cua ma trˆn A. K´ . u a . . a . u ´ a ’ a. y i1 i2 ...ikhiˆu M j1 j2 ···jk . e. Nˆu ta bo di c´c h`ng th´. i1 , i2, . . . , ik v` c´c cˆt th´. j1, j2 , . . . , jk ´ e ’ a a u a a o. uth` c´c phˆn tu. c`n lai cua ma trˆn A s˜ tao th`nh mˆt ma trˆn vuˆng ı a ` a ’ o . ’ a . e . a o. a . ocˆp n − k. Dinh th´.c cua ma trˆn vuˆng n`y l` dinh th´.c con cˆp ´ a . u ’ a . o a a . u ´ a .o.c goi l` phˆn b` (hay dinh th´.c con b`) ’n − k cua ma trˆn A v` du . a . a . a ` u a . u u i1 i2 ···ikcua dinh th´.c con M j1 j2 ···jk v` du.o.c k´ hiˆu l` Mj1 j2 ···jk . ’ . u a . y e a . i1 i2 ···ik Dinh th´ u .c con b` v´.i dˆu u o a ´ . (−1)(i1 +i2 +···+ik )+(j1 +j2 +···+jk ) i1 ···ikdu.o.c goi l` phˆn b` dai sˆ cua dinh th´.c con M j1 ···jk . . . a ` u . o ’ . a ´ u Tru.`.ng ho.p d˘c biˆt: dinh th´.c con b` Mij cua dinh th´.c con cˆp o . a. e. . u u ’ . u ´ a .o.c goi l` phˆn b` cua phˆn tu. aij cua A v` sˆ ’1 l` aij cua A du . a . a ` a u ’ `a ’ ’ a o ´Aij = (−1)i+j Mij goi l` phˆn b` dai sˆ cua phˆn tu. aij . . a ` a u . o ’ ´ `a ’
  • 88 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u 3.2.3 T´ chˆt cua dinh th´.c ´ ınh a ’ . u Dinh th´.c c´ c´c t´ chˆt sau . u o a ınh a ´ I. Qua ph´p chuyˆn vi ma trˆn, dinh th´.c cua n´ khˆng dˆi, t´.c e ’ e . a. . u ’ o o ’ o u T l` det A = det A . a T`. t´ chˆt b`nh d˘ng n`y gi˜.a c´c h`ng v` c´c cˆt cua dinh u ınh a ı ´ ’ a a u a a a a o ’ . . th´u .c suy ra r˘ng mˆt diˆu kh˘ng dinh n`o d´ d˜ d´ng v´.i h`ng th` ` a o ` e ’ a a o a u o a ı . . n´ c˜ng d´ng v´.i cˆt. Do d´ c´c t´ chˆt tiˆp theo dˆy chı cˆn ph´t o u u o o . o a ınh a e ´ ´ a ’ ` a a e’ biˆu cho h`ng. a II. Nˆu dˆi chˆ hai h`ng cho nhau th` dinh th´.c dˆi dˆu. ´ ’ ˜ e o o a ı . u o a’ ´ III. Th`.a sˆ chung cua moi phˆn tu. cua mˆt h`ng cua dinh th´.c u o ´ ’ . ` a ’ ’ o a . ’ . u c´ thˆ du o e ’ .a ra ngo`i dˆu dinh th´.c. a a . ´ u IV. Dinh th´.c c´ mˆt h`ng b˘ng 0 l` b˘ng 0. . u o o a . ` a a ` a V. Dinh th´ o u.c c´ hai h`ng giˆng nhau l` b˘ng 0. a ´ o a ` a . VI. Nˆu dinh th´.c c´ hai h`ng ty lˆ v´.i nhau th` n´ b˘ng 0. ´ e . u o a ’ e o . ı o ` a ´ VII. Nˆu c´c phˆn tu ’ e a `a ’ . cua h`ng th´. i cua dinh th´.c D c´ dang a u ’ . u o . aij = bij + ciJ , i = 1, n, j = 1, n th` dinh th´ ı . u.c D b˘ng tˆng hai dinh ` a o’ . th´u .c D1 + D2 , trong d´ dinh th´.c D1 c´ h`ng th´. i l` (bi1bi2 · · · bin ) o . u o a u a v` dinh th´ a . u.c D2 c´ h`ng th´. i l` (ci1 , ci2, . . . , cin ) c`n c´c h`ng kh´c o a u a o a a a l` c´c h`ng tu a a a .o.ng u.ng cua D. ´ ’ VIII. Nˆu dinh th´.c c´ mˆt h`ng l` tˆ ho.p tuyˆn t´nh cua c´c ´ e . u o o a . ’ a o . ´ e ı ’ a h`ng kh´c th` dinh th´ a a a ı . .c b˘ng 0. u ` IX. Dinh th´.c khˆng dˆi nˆu thˆm v`o mˆt h`ng n`o d´ mˆt tˆ . u o ’ ´ o e e a o a . . ’ a o o o ho.p tuyˆn t´ cua c´c h`ng kh´c. . ´ e ınh ’ a a a X. Dinh th´.c b˘ng tˆng c´c t´ch cua c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng . u `a o’ a ı ’ a ` a ’ ’ o a . n`o d´ v´ a o o .i phˆn b` dai sˆ tu.o.ng u.ng. ` a u . o ´ ´ n det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ain Ain = aij Aij . (3.10) j=1 Nhˆn x´t. Ngu.`.i ta c˜ng d`ng t´ chˆt X n`y dˆ l`m dinh ngh˜a a e . o u u ´ ınh a ’ a e a . ı dinh th´.c. . u
  • 3.2. D. nh th´.c -i u 89 XI. Tˆng c´c t´ cua c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng n`o d´ v´.i phˆn o’ a ıch ’ a `a ’ ’ o a . a o o ` a ´b` dai sˆ tu u . o .o.ng u.ng cua c´c phˆn tu. cua h`ng kh´c l` b˘ng 0: ´ ’ a ` a ’ ’ a a a ` a n aij Akj = 0, ∀ k = i; i, k = 1, n. j=1 Nhˆn x´t. C´c t´ chˆt I-III l` nh˜.ng t´nh chˆt co. ban. C´c t´nh a e . a ınh a ´ a u ı ´ a ’ a ı ´chˆt sau l` nh˜ a a u .ng hˆ qua cua ba t´ chˆt ˆy. e ’ ’ ´ ´ ınh a a .3.2.4 Phu.o.ng ph´p t´ dinh th´.c a ınh . uI. Dinh th´.c cˆp 1, cˆp 2 v` cˆp 3 du.o.c t´nh theo c´c cˆng th´.c . u a ´ ´ a a a´ . ı a o u |a11| = a11; a11 a12 = a11a22 − a12a21; (3.11) a21 a22 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a31 a32 a33 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33. Khi t´ dinh th´.c cˆp 3 ta c´ thˆ su. dung quy t˘c Surrus “dang ınh . u a ´ ’ o e ’ . ´ a . a a .`.ng song song” sau dˆytam gi´c” ho˘c “dang du o a . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • (+) (−) a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
  • 90 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u ⊕ ⊕ ⊕ II. T´ınh dinh th´.c cˆp n . u a ´ 1+ Khai triˆn dinh th´.c theo c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng ho˘c mˆt ’ e . u a ` a ’ ’ o a . a . o . o ınh a . ´ cˆt (t´ chˆt XI, (3.10)). 2 Su. dung c´c t´ chˆt cua dinh th´.c dˆ biˆn dˆi dinh th´.c d˜ + ’ . a ınh a ’ . ´ ’ ´ ’ u e e o . u a cho th`nh dinh th´ a u.c m´.i sao cho ngoai tr`. mˆt phˆn tu. ai j = 0, tˆt o ` a ’ 00 ´ . . u o . a ’ a ` . c`n lai cua h`ng th´. i0 (ho˘c cˆt j0 ) dˆu b˘ng 0. Khi ca c´c phˆn tu o . ’ a a ’ u a o e ` ` a . . d´ o det A = (−1)i0 +j0 ai0 j0 Mi0 j0 . Tiˆp theo l` l˘p lai qu´ tr`nh d´ dˆi v´.i Mi0 j0 l` dinh th´.c cˆp thˆp e´ a a .. a ı o o o´ a . u a´ ´ a ho.n mˆt do.n vi. o . . + 3 Su . ’. dung c´c t´ chˆt cua dinh th´.c dˆ biˆn dˆi dinh th´.c d˜ a ınh a ’ . ´ ’ ´ ’ u e e o . u a cho th`nh dinh th´ a u.c tam gi´c (t´.c l` dinh th´.c m` moi phˆn tu. o. a u a . u a . ` a ’ ’ . mˆt ph´ cua du.`.ng ch´o ch´nh dˆu b˘ng 0). Khi d´ dinh th´.c b˘ng o. ıa ’ o e ı e ` ` a o . u a ` t´ c´c phˆn tu. trˆn du.`.ng ch´o ch´nh. ıch a ` a ’ e o e ı + 4 Phu .o.ng ph´p truy hˆi: biˆn dˆi, khai triˆn dinh th´.c theo h`ng a ` o ´ ’ e o ’ e . u a ho˘c theo cˆt sao cho dinh th´.c d˜ cho c´ thˆ biˆu diˆn qua c´c dinh a. o . . u a ’ ’ o e e ˜ e a . th´ u u .c c`ng dang nhu.ng cˆp thˆp ho.n.´ a ´ a . + e’ ˜ . 5 Biˆu diˆn dinh th´ a e u.c d˜ cho du.´.i dang tˆng c´c dinh th´.c c`ng o . o’ a . u u ´ cˆp. a 6+ D`ng dinh l´ Laplace: Gia su. trong ma trˆn vuˆng A cˆp n ta u . y ’ ’ a . o ´ a chon mˆt c´ch t`y y m h`ng (hay m cˆt) 1 m n − 1. Khi d´ dinh . o a . u ´ a o . o . th´.c det A b˘ng tˆng c´c t´ cua moi dinh th´.c con cˆp m n˘m trˆn u ` a o’ a ıch ’ . . u ´ a ` a e c´c h`ng du.o.c chon nhˆn v´.i phˆn b` dai sˆ tu.o.ng u.ng cua ch´ng. a a . . a o `a u . o ´ ´ ’ u CAC V´ DU ´ I . ınh o´ . ´ V´ du 1. 1) T´ sˆ nghich thˆ trong ho´n vi 5 3 1 6 4 2 . ı . e a . 2) V´o.i nh˜.ng gi´ tri n`o cua i v` j th` sˆ hang a51a1ia2j a43a32 cua u a . a ’ a ´ ı o . ’ dinh th´.c cˆp 5 c´ dˆu tr`.. . u a ´ o a´ u
  • 3.2. D. nh th´.c -i u 91 Giai. 1) Dˆ t´ sˆ nghich thˆ tiˆn lo.i ho.n ca l` tiˆn h`nh nhu. ’ ’ e ınh o ´ . ´ . e e . ´ ’ a e a `sau: (i) dˆu tiˆn, t´ c´ bao nhiˆu sˆ d´ a e ınh o ´ e o u .ng tru.´.c sˆ 1 (gia su. c´ k1 o o ´ ’ ’ o o ` . ´ o ’ o ´ ’ ´ ´sˆ) rˆi gach bo sˆ 1 khoi ho´n vi; (ii) tiˆp dˆn t´ xem c´ bao nhiˆu a . e e ınh o e ´sˆ d´ o u .ng tru.´.c sˆ 2 (gia su. k2 ) rˆi gach bo sˆ 2 khoi ho´n vi; v.v... Khi o o ´ ’ ’ ` . o ’ o´ ’ a .d´ o inv(α1 , α2 , . . . , αn ) = k1 + k2 + · · · + kn .B˘ng phu.o.ng ph´p v`.a nˆu dˆ thˆy l` ` a a u e ˜ a a e ´ inv(531642) = 2 + 4 + 1 + 2 = 9. ’ o´ a ’ . ’ o e a a 2) C´c chı sˆ i v` j chı c´ thˆ nhˆn c´c gi´ tri sau dˆy: (a) i = 4, a a . aj = 5; ho˘c (b) i = 5 v` j = 4 v` v´ a a a ı o .i c´c gi´ tri kh´c cua i v` j t´ch a . a ’ a ı .d˜ cho ch´.a ´ nhˆt hai phˆn tu. cua c`ng mˆt cˆt. Dˆ x´c dinh dˆu a u ıt a ´ `a ’ ’ u o o . . ’ e a . ´ acua sˆ hang ta s˘p xˆp c´c th`.a sˆ cua t´ch theo th´. tu. t˘ng cua chı ´ ’ o . ´ ´ a e a ´ u o ’ ı u . a ’ ’ ´sˆ th´ o u . nhˆt rˆi t´ sˆ nghich thˆ cua ho´n vi c´c chı sˆ th´. hai. Ta a ` ınh o ´ o ´ ´ e ’ a . a ´ ’ o u .c´ o a1ia2j a32a43a51 +) Gia su. i = 4, j = 5 ⇒ inv(45231) = 8. Do vˆy v´.i i = 4, j = 5 ’ ’ a o . ´ hang d˜ cho c´ dˆu (+).sˆ . o a o a´ ’ ’ +) Gia su . i = 5, j = 4 ⇒ inv(54231) = 9. Do d´ sˆ hang d˜ cho ´ o o . ac´ dˆu tr`.. Vˆy sˆ hang d˜ cho chı c´ dˆu tr`. khi i = 5, j = 4. o a ´ u . ´ a o . a ’ o a ´ uV´ du 2. T´ c´c dinh th´.c sau dˆy ı . ınh a . u a 0 0 0 a14 1 4 2 4 0 0 a23 0 2 3 3 6 1) ∆1 = ; 2) ∆2 = 0 a32 0 0 3 2 1 2 a41 0 0 0 4 1 1 2
  • 92 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u Giai. 1) C´ thˆ t´ ∆1 b˘ng c´ch su. dung t´ chˆt X. ’ ’ o e ınh ` a a ’ . ´ ınh a 0 0 a23 1+4 ∆1 = (−1) a14 0 a32 0 a41 0 0 0 a32 = (−1)1+4 a14(−1)2+3a23 = a14a23a32a41. a41 0 Kˆt qua n`y c˜ng c´ thˆ thu du.o.c nh`. dinh ngh˜a dinh th´.c. Theo e´ ’ a u o e ’ . o . ı . u dinh ngh˜ ∆1 l` tˆ . ıa a o ’ng dai sˆ cua 4! = 24 sˆ hang, trong d´ chı c´ sˆ ´ . o ’ ´ o . o ’ o o ´ hang . a14a23a32a41 l` kh´c 0. V` ho´n vi cua c´c chı sˆ th´. hai ch˘ n nˆn sˆ hang c´ dˆu a a ı a . ’ a ´ ’ o u ˜ e o . a ´ o a´ cˆng. T`. d´ ta thu du.o.c ∆1 = a14a23a32a41. o. u o . ´ dung t´ chˆt XI ta c´ thˆ khai triˆn dinh th´.c theo cˆt 2) Ap . ınh a ´ o e ’ ’ e . u o. th´ u. nhˆt ´ a 3 3 6 4 2 4 4 2 4 4 2 4 ∆2 = 1 2 1 2 − 2 2 1 2 + 3 3 3 6 − 4 3 3 6 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 = 1 · 0 − 2 · 0 + 3 · 0 − 4 · 0 = 0. ’. a O dˆy moi dinh th´.c cˆp 3 dˆu c´ hai cˆt ty lˆ v´.i nhau, nˆn ch´ng u a ´ ` o e o ’ e o e u . . . . ` b˘ng 0. a V´ du 3. T´ c´c dinh th´.c ı . ınh a . u 2 0 1 3 1 1 1 2 3 −1 1 2 2 3 1 2 3 1 1) ∆1 = , 2) ∆2 = 1 4 0 −1 5 . 2 3 6 4 2 1 3 1 2 3 5 9 4 1 2 −1 3 1
  • 3.2. D. nh th´.c -i u 93 Giai. Ta biˆn dˆi c´c dinh th´.c dˆ thu du.o.c c´c sˆ 0 trong mˆt ’ ´ ’ e o a . u e ’ . a o ´ o . a o .´.c c´c k´ hiˆu: h2 − h1 → h c´ ngh˜ l` lˆyh`ng (cˆt). Ta quy u o a y e o ıa a a´ . . 2h`ng th´ a u . hai tr`. di h`ng th´. nhˆt dˆ thu du.o.c h`ng th´. hai m´.i. u a u ´ a e ’ a u o .Tu .o.ng tu. nhu. vˆy ta k´ hiˆu c´c ph´p biˆn dˆi theo cˆt. a y e a e ´ ’ e o o . . . . 1) Ta c´ o 1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 h2 − h1 → h2 0 1 1 −2 ∆1 = = 2 3 6 4 h3 − 2h1 → h3 0 1 2 −2 3 5 9 4 h4 − 3h1 → h4 0 2 3 5 1 1 −2 1+1 = 1 · (−1) 1 2 −2 2 3 5 1 1 −2 1 1 −2 = 1 2 −2 h2 − h1 → h2 = 0 1 0 2 3 5 2 3 5 1 −2 = 1 · (−1)2+2 = −1. 2 −5 2) Dˆ t´ ∆2 ta thu.c hiˆn ph´p biˆn dˆi: c1 − 2c3 → c1 ; c4 − 3c3 → ’ e ınh . e . e ´ ’ e oc4; c5 − c3 → c5 v` thu du.o.c a . 0 0 1 0 0 −5 1 2 −4 1 −5 1 −4 1 1 4 0 −1 5 1 4 −1 5∆2 = = a13A13 = 1 · (−1)1+3 −4 1 3 −1 5 −4 1 −8 −1 −4 1 3 −8 −1 3 2 6 2 3 2 −1 6 2 Dˆi v´.i dinh th´.c cˆp 4 v`.a thu du.o.c ta c˜ng tiˆn h`nh tu.o.ng tu.: ´ o o . u a ´ u . u ´ e a .
  • 94 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u c1 + 5c4 → c1; c2 − c4 → c2 ; c3 + 4c4 → c3 v` thu du.o.c a . 0 0 0 1 26 −1 19 26 −1 19 5 1+4 ∆2 = = a14A14 = 1 · (−1) −9 2 −12 −9 2 −12 −1 13 0 14 13 0 14 2 Nhu. vˆy ta d˜ du.a viˆc t´nh dinh th´.c cˆp 5 vˆ t´nh dinh th´.c cˆp 3. a . a e ı . . u a ´ ` ı e . u a ´ Dˆ t´ dinh th´.c cˆp 3 n`y ta c´ thˆ d`ng quy t˘c Sarrus ho˘c tiˆn ’ e ınh . u a ´ a o e u’ ´ a a e . . .n ca l` biˆn dˆi n´ theo h`ng: h2 + 2h1 → h v` c´ ho ’ a e o o ´ ’ a a o 2 26 −1 19 43 26 ∆2 = − 43 0 26 = −a12A12 = −(−1)(−1)1+2 = −264. 13 14 13 0 14 V´ du 4. T´ c´c dinh th´.c ı . ınh a . u 1 −1 3 −2 4 1 2 −1 5 0 3 2 0 1 1 5 6 3 1) ∆1 = , 2) ∆2 = 0 0 4 −1 −1 . −1 −2 3 5 0 6 4 2 3 2 4 −2 8 1 −1 3 −2 5 Giai. Ta s˜ t´ c´c dinh th´.c d˜ cho b˘ng phu.o.ng ph´p du.a vˆ ’ e ınh a . u a ` a a ` e dinh th´.c tam gi´c. . u a 1) Ta c´o 1 2 −1 5 1 2 −1 5 1 5 6 3 h2 − h1 → h2 0 3 7 −2 ∆1 = = . −1 −2 3 5 h3 + h1 → h3 0 0 2 10 2 4 −2 8 h4 − 2h1 → h4 0 0 0 −2 V` dinh th´.c tam gi´c b˘ng t´ c´c phˆn tu. trˆn du.`.ng ch´o ch´nh ı . u a ` a ıch a ` a ’ e o e ı nˆn e ∆1 = 1 · 3 · 2 · (−2) = −12.
  • 3.2. D. nh th´.c -i u 95 2) 1 −1 3 −2 4 1 −1 3 −2 4 0 3 2 0 1 0 3 2 0 1 ∆2 = 0 0 4 −1 −1 = 0 0 4 −1 −1 0 6 4 2 3 h4 − 2h2 → h4 0 0 0 2 1 1 −1 3 −2 5 h5 − h1 → h5 0 0 0 0 1 = 1 · 3 · 4 · 2 · 1 = 24.V´ du 5. T´ c´c dinh th´.c ı . ınh a . u a0 −1 0 0 ... 0 0 a1 x −1 0 . . . 0 0 a2 0 x −1 . . . 0 0 1) ∆n = . . . . . . . .. . . . . ; . . . . . . . . an−1 0 0 0 ... 0 −1 an 0 0 0 ... 0 x 7 4 0 0 ... 0 0 3 7 4 0 ... 0 0 2) ∆n = 0 3 7 4 ... 0 0 . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 ... 3 7 α + β αβ 0 ... 0 0 1 α + β αβ ... 0 0 0 1 α+β ... 0 0 3) ∆n = . . . .. . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . α + β αβ 0 0 0 ... 1 α+β
  • 96 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u Giai. 1) Khai triˆn ∆n+1 theo h`ng cuˆi (h`ng th´. n + 1) ta c´ ’ e’ a ´ a o u o −1 0 . . . 0 a0 −1 0 . . . 0 x −1 . . . 0 a1 x −1 . . . 0 ∆n+1 = (−1)n+1 an . . .. . +x . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . 0 0 . . . −1 an−1 0 0 ... x Dinh th´.c th´. nhˆt o. vˆ phai l` dinh th´.c tam gi´c (= (−1)n ), dinh . u u ´ a ’ e ´ ’ a . u a . th´u.c th´. hai l` dinh th´.c c`ng dang v´.i ∆1 nhu.ng cˆp n. Do vˆy u a . u u o ´ a a . . dinh th´ u.c ∆n+1 c´ thˆ biˆu diˆn bo.i hˆ th´.c truy hˆi sau dˆy: o e ’ e ’ ˜ e ’ e u ` o a . . ∆n+1 = an (−1)n (−1)n + x∆n . Dˆ thu du.o.c biˆu th´.c tˆng qu´t cua ∆n+1 ta x´t ∆1 v` ∆2: ’ e . e’ u o ’ a ’ e a a0 −1 ∆1 = a0; ∆2 = = a0 x − a1 . a1 x Nhu. vˆy ∆1 l` da th´.c bˆc 0 v´.i hˆ sˆ a0, c`n ∆2 l` da th´.c bˆc nhˆt a . a u a . o e o. ´ o a u a . ´ a v´.i hˆ sˆ a0 v` a1. o e o. ´ a Ta ch´.ng to r˘ng ∆n+1 c´ dang tu.o.ng tu.: u ` ’ a o . . ∆n+1 = a0 xn + a1xn−1 + · · · + an . Gia su. d˜ ch´.ng minh ∆n = a0xn−1 + · · · + an−1 . Khi d´ ’ ’ a u o ∆n+1 = an + x∆n = an + x(a0xn−1 + · · · + an−1 ) = a0 xn + a1xn−1 + · · · + an−1 x + an . 2) Khai triˆn dinh th´.c theo h`ng th´. nhˆt ta thu du.o.c hˆ th´.c ’ e . u a u ´ a . e u . ` truy hˆi: o ∆n = 7∆n−1 − 12∆n−2 ⇒ ∆n − 3∆n−1 = 4∆n−1 − 3 · 4∆n−2 = 4[∆n−1 − 3∆n−2 ].
  • 3.2. D. nh th´.c -i u 97T`. d´ suy ra u o ∆n − 3∆n−1 = 4n−2 (∆2 − ∆1) 7 4 ∆1 = 7, ∆2 = = 37 3 7v` do d´ a o ∆n − 3∆n−1 = 4n−2 [37 − 21] = 4n−2 · 42 = 4n .Nˆu t`. hˆ th´.c truy hˆi ta biˆn dˆi c´ch kh´c th` thu du.o.c ´ e u e u . ` o ´ ’ e o a a ı . ∆n − 4∆n−1 = 3[∆n−1 − 4∆n−2 ] = · · · = 3n−2 (∆2 − ∆1) = 3n−2 · 32 = 3n . Nhu. vˆy a . ∆n − 3∆n−1 = 4n ⇒ ∆n−1 = 4n − 3n n ∆n − 4∆n−1 = 3v` do d´ a o ∆n = 3∆n−1 + 4n = 4n+1 − 3n+1 . 3) Ta biˆu diˆn cˆt th´. nhˆt du.´.i dang c´c tˆng hai sˆ hang α +β, e’ ˜ o e . u a ´ o . a o ’ ´ o .
  • 98 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u 1 + 0, 0 + 0, . . . , 0 + 0 v` viˆt dinh th´.c du.´.i dang tˆng hai dinh th´.c ´ a e . u o . o’ . u α αβ 0 ... 0 0 1 α + β αβ ... 0 0 0 1 α+β ... 0 0 ∆n = . . . .. . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . α + β αβ 0 0 0 ... 1 α+β D1 β αβ 0 ... 0 0 0 α + β αβ ... 0 0 0 1 α+β ... 0 0 + . . . .. . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . α + β αβ 0 0 0 ... 1 α+β D2 = D1 + D2 . T´ D1 . Lˆy cˆt th´. hai tr`. di cˆt th´. nhˆt nhˆn v´.i β, lˆy cˆt ınh ´ . a o u u o . u ´ a a o ´ . a o th´. ba tr`. di cˆt th´. hai v`.a thu du.o.c nhˆn v´.i β, v.v... Kˆt qua ta u u o . u u . a o ´ e ’ thu du.o.c dinh th´.c tam gi´c . . u a α 0 0 ... 0 0 1 α 0 ... 0 0 0 1 α ... 0 0 D1 = . . . . = αn . . . . . . . .. . . . . . . 0 0 0 ... α 0 0 0 0 ... 1 α
  • 3.2. D. nh th´.c -i u 99 T´ D2 . Khai triˆn D2 theo cˆt th´. nhˆt ta thu du.o.c: ınh ’ e o . u ´ a . α + β αβ ... 0 0 1 α+β ... 0 0 . . . . .. . . . . = β∆n−1 . D2 = β . . . . . 0 0 . . . α + β αβ 0 0 ... 1 α+βNhu. vˆy ta thu du.o.c cˆng th´.c truy hˆi ∆n = αn + β∆n−1. a . . o u ` o Ta t´ mˆt v`i dinh th´ ` ınh o a . .c dˆu tiˆn u a e . α2 − β 2 ∆1 = α + β = ; α−β α + β αβ α3 − β 3 ∆2 = = α2 + αβ + β 2 = , 1 α+β α−β α + β αβ 0 ∆3 = 1 α + β αβ 0 1 α+β α4 − β 4 = α3 + α2 β + αβ 2 + β 4 = ; ................ α−β Ta s˜ ch´.ng minh r˘ng hˆ th´.c e u ` a e u . αm+1 − β m+1 ∆m = · (*) α−βd´ng v´.i m ∈ N bˆt k`. Ta ´p dung phu.o.ng ph´p quy nap to´n hoc. u o ´ a y a . a . a . ’ ’ Gia su . (∗) d´ng v´.i m = n−1. Ta ch´.ng minh n´ d´ng v´.i m = n. u o u o u oKhi m = n − 1 ta c´ o αn − β n ∆n−1 = ⇒ α−β αn − β n αn+1 − αn β + αn β − β n+1 αn+1 − β n+1∆n = α n + β = = · α−β α−β α−β
  • 100 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u Nhu. vˆy hˆ th´.c (∗) d´ng ∀ m ∈ N. Do d´ a e u . . u o αn+1 − β n−1 ∆n = · α−β ` ˆ BAI TAP . 1. X´c dinh a . ´ o . ´ sˆ nghich thˆ trong c´c ho´n vi. e a a . 1) (1 3 5 7 9 2 4 6 8). (DS. 10) 2) (9 8 7 6 5 4 3 2 1). (DS. 36) 3) (2 5 8 1 4 7 3 6 9). (DS. 12) 4) (7 5 4 6 1 2 3 9 8). (DS. 17) 2. Chon k v` sao cho ho´n vi . a a . a a . ’ 1) (7 4 3 k 8 5 2) l` ho´n vi le. (DS. k = 6, = 1) a a . ˜ 2) (k 3 4 7 2 6 5) l` ho´n vi ch˘ n. (DS. k = 8, = 1) a ˜ 3) (4 8 k 2 5 1 7) l` ho´n vi ch˘ n. (DS. k = 6, = 3) a a . a a a . ’ 4) (6 3 4 k 7 2 1) l` ho´n vi le. (DS. k = 5, = 8) ´ o . ´ 3. X´c dinh sˆ nghich thˆ trong c´c ho´n vi. a . e a a . n(n − 1) 1) n n − 1 n − 2 . . . 2 1. (DS. ) 2 n(n − 1) 2) 1 3 5 7 . . . 2n − 1 2 4 6 . . . 2n. (DS. ) 2 n(n + 1) 3) 2 4 6 . . . 2n 1 3 5 . . . 2n − 1. (DS. ) 2 3n(n − 1) 4) 2n − 1 2n − 3 . . . 5 3 1 2n 2n − 2 . . . 6 4 2. (DS. ) 2 4. Trong c´c t´ sau dˆy, t´ch n`o l` sˆ hang cua dinh th´.c cˆp 7; a ıch a ı a a o .´ ’ . u a ´ ´ a ’ o . ´ x´c dinh dˆu cua sˆ hang d´. a . o 1) a43a53a63a15a23a34a71. (DS. Khˆng phai) o ’ ´ ´ . 2) a23a67a54a16a35a41a72. (DS. Sˆ hang c´ dˆu cˆng) o . o a o 3) a15a28a74a36a61a43. ’ (DS. Khˆng phai) o ´ ´ . 4) a72a16a33a55a27a61a44. (DS. Sˆ hang c´ dˆu cˆng) o . o a o
  • 3.2. D. nh th´.c -i u 1015. Trong c´c t´ sau dˆy, t´ n`o l` sˆ hang cua dinh th´.c cˆp tu.o.ng a ıch a ıch a a o . ´ ’ . u a ´u´.ng x´c dinh dˆu cua sˆ hang d´. a . ´ a ’ o . ´ o 1) a43a61a52a13a25a34. (DS. Khˆng phai) o ’ 2) a27a63a14a56a35a41a72. (DS. L` sˆ hang cua dinh th´.c cˆp 7 ´ a o . ’ . u a ´v´.i dˆu +) o a ´ 3) a15a28a75a36a81a43. (DS. Khˆng phai) o ’ 4) an1 an−1 2 . . . a1n. n(n−1) (DS. L` sˆ hang cua dinh th´.c cˆp n v´.i dˆu (−1) 2 ) ´ a o . ’ . u a ´ o a ´ 5) a12a23 . . . ak,k+1 . . . an−1,n an1 . (DS. L` sˆ hang cua dinh th´.c cˆp n v´.i dˆu (−1)n−1 ) ´ a o . ’ . u a ´ o a ´ 6) a13a24a35 . . . an−2,n an−1,1 an2 . (DS. Sˆ hang cua dinh th´.c cˆp n v´.i dˆu “+”) ´ o . ’ . u a ´ o a´6. X´c dinh c´c sˆ k v` sao cho trong dinh th´.c cˆp 6: a . a o ´ a . u a ´ 1+ C´c t´ sau l` sˆ hang cua n´ v´.i dˆu “−”: a ıch ´ a o . ’ o o a ´ 1) a62a35ak3 a44a 6a21. (DS. k = 5, = 1) 2) a1k a25a44a6 a52a31. (DS. k = 6, = 3) 2+ C´c t´ sau l` sˆ hang c´ dˆu +: a ıch ´ a o . o a ´ 3) a63a16a5 a45a2k a31. (DS. k = 2, = 4) 4) ak5 a21a34a13a 6a62. (DS. k = 5, = 4)7. Trong dinh th´.c cˆp n . u a ´ 1) t´ c´c phˆn tu. cua du.`.ng ch´o ch´nh l` sˆ c´ dˆu g` ? ıch a `a ’ ’ o e ı ´ ´ a o o a ı (DS. +) 2) t´ c´c phˆn tu. cua du.`.ng ch´o phu c´ dˆu g` ? ıch a `a ’ ’ o e ´ . o a ı o a´ e´ a . ´ (DS. C´ dˆu “+” nˆu n = 4k ho˘c n = 4k + 1; v` c´ dˆu “−” a o a ´nˆu n = 4k + 2 ho˘c n = 4k + 3) e a .8. T´ c´c dinh th´.c cˆp hai: ınh a . u a´ a2 ab a2 + ab + b2 a2 − ab + b2 1) 2) ab b2 a+b a−b cos α − sin α sin α cos α 3) 4) sin α cos α sin β cos β
  • 102 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u 1 logb a a + bi c + di 2 5) 6) ; i − 1. loga b 1 −c + di a − bi (1 − t)2 2t 1+t 2 1 + t2 ε ε 2π 2π 7) 8) , ε = cos + i sin . 2t (1 + t)2 −1 ε 3 3 − 1 + t2 1 + t2 (DS. 1) 0; 2) −2b3 ; 3) 1; 4) sin(α − β); 5) 0; 6) a2 + b2 + c2 + d2 ; 7) −1; 8) −1) 9. T´ c´c dinh th´.c cˆp ba ınh a . u a ´ 3 2 1 a b c 1) 2 5 3 2) b c a 3 4 3 c a b cos α sin α cos β sin α sin β 3) − sin α cos α cos β cos α sin β . 0 − sin β cos β 1 i 1+i a2 + 1 ab ac 4) −i 1 0 ; i2 = −1, 5) ab b2 + 1 bc 2 1−i 0 1 ac bc c +1 sin α cos α 1 1 1 ε 2π 2π 6) sin β cos β 1 7) 1 1 ε2 , ε = cos + i sin 3 3 sin γ cos γ 1 ε2 ε ε a+b c 1 8) b+c a 1 c+a b 1 (DS. 1) 8; 2) 3abc − a3 − b3 − c3; 3) 1; 4) −2; 5) 1 + a2 + b2 + c2 ; 6) sin(α − β) + sin(β − γ) + sin(γ − α); 7) −3; 8) 0)
  • 3.2. D. nh th´.c -i u 10310. T´ dinh th´.c Vandermonde ınh . u 1 1 1 1 1 a b c d a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3 (DS. (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c)) Chı dˆ n. Lˆy c´c cˆt tr`. di cˆt th´. nhˆt rˆi khai triˆn dinh th´.c ’ a ˜ ´ a a o u. o . u a ` ´ o ’ e . uthu du.o.c theo h`ng th´. nhˆt v` tiˆp tuc nhu. vˆy dˆi v´.i dinh th´.c . a u ´ a a e . ´ ´ a o o . . u ´cˆp ba. a11. T´ dinh th´.c ınh . u 1 1 1 0 0 1 2 3 0 0 0 1 1 1 1 0 x1 x2 x3 x4 0 x2 x 2 x 2 x 2 1 2 3 4 (DS. (x3 − x2 )(x4 − x2)(x4 − x3 ) − 2(x3 − x1 )(x4 − x1 )(x4 − x3)) Chı dˆ n. D`ng dinh l´ Laplace cho h`ng th´. nhˆt v` th´. hai v` ’ a˜ u . y a u ´ a a u a ’ ˜chı dˆ n cho b`i 10. a a12. T´ dinh th´.c b˘ng c´ch khai triˆn (theo c´c phˆn tu. cua h`ng ınh . u a ` a ’ e a `a ’ ’ aho˘c cˆt): a o . . a 3 0 5 0 b 0 2 1) . (DS. abcd) 1 2 c 3 0 0 0 d 1 1 1 a 2 2 1 b 2) theo c´c phˆn tu. cˆt th´. tu.. a ` a ’ o . u 3 2 1 c 1 2 3 d 1 A. T. Vandermonde (1735-1796) l` nh` to´n hoc Ph´p. a a a . a
  • 104 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u (DS. 4a − c − d) a 1 1 1 b 0 1 1 3) theo c´c phˆn tu. cua cˆt th´. nhˆt. a ` a ’ ’ o . u ´ a c 1 0 1 d 1 1 0 (DS. 2a + b − c + d) 1 2 −1 2 2 −1 −2 1 4) theo c´c phˆn tu. cua h`ng th´. ba. a ` a ’ ’ a u a b c d −2 −1 1 2 (DS. −5a − 5b − 5c − 5d) 2 3 5 −4 3 −5 4 2 5) theo c´c phˆn tu. h`ng th´. hai. a ` a ’ a u −4 2 3 5 5 4 −2 3 (DS. −2858) −5 1 −4 1 1 4 −1 5 6) theo c´c phˆn tu. h`ng th´. nhˆt a ` a ’ a u ´ a −4 1 −8 −1 3 2 6 2 (DS. −264) 13. D`ng dinh ngh˜ dˆ t´nh c´c dinh th´.c sau u . ’ ıa e ı a . u 1 0 0 1) 2 2 1 . (DS. 1) 3 3 2 logb a 1 0 2) 0 2 0 . (DS. 1) 2 1 loga b
  • 3.2. D. nh th´.c -i u 105 1 0 0 2 3 0 0 4 3) . (DS. 4) 0 5 6 0 0 7 8 0 0 0 3 4 0 0 4 3 4) . (DS. −21) 1 2 0 0 2 1 0 0 a1 0 0 ... 0 a1 a1 0 ... 0 5) . . . .. . . (DS. an ) 1 . . . . . . . . . an an−1 an−2 . . . a1 0 ... 0 0 −1 0 . . . 0 −2 0 n(n+1) 6) 0 . . . −3 0 0 . (DS. (−1) 2 n!) . .. . . . . . . .. . . . . −n . . . 0 0 0 1 a a ... a 0 2 a ... a 7) 0 0 3 ... a. (DS. n!) . . . . . . .. . . . . . . . 0 0 0 ... n 0 ... 0 0 a1 0 . . . 0 a2 a1 n(n−1) 8) 0 . . . a3 a2 a1 . (DS. (−1) 2 a1a2 . . . an ) . . .. . . . . . . . . . . . an . . . a3 a2 a1
  • 106 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u 2 1 0 4 −1 2 0 4 9) . (DS. 0) −2 3 0 5 −3 4 0 6 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 10) 2 3 0 0 0. (DS. 0) 3 2 0 0 0 1 2 0 0 0 14. Giai c´c phu.o.ng tr`nh ’ a ı 1 1 4 4 −1 3 − x2 3 3 1) = 0. (DS. x1,2 = ±3; x3,4 = ±3) 7 7 5 5 −7 −7 6 x2 − 3 1 2 3 4 −2 2 − x 1 7 2) = 0. (DS. x1 = 6; x2 = 5) 3 6 4 + x 12 −4 x − 14 2 3 1 x x 2 x3 1 2 4 8 3) = 0. (DS. x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4) 1 3 9 27 1 4 16 64 15. T´ c´c dinh th´.c cˆp n ınh a . u a ´ 2 2 3 ... n −1 0 3 ... n 1) −1 −2 0 . . . n. (DS. n!) . . . . . .. . . . . . . . . −1 −2 −3 . . . 0 ’ ˜ Chı dˆ n. Thˆm h`ng a e a th´. nhˆt v`o moi h`ng cua dinh th´.c b˘t u ´ a a . a ’ . u ´ a
  • 3.2. D. nh th´.c -i u 107dˆu t`. h`ng th´. hai. ` u a a u 1 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 2) 2 2 3 ... 2. (DS. −2(n − 2)!) . . . . . . .. . . . . . . . 2 2 2 ... n Chı dˆ n. Lˆy moi h`ng (kˆ t`. h`ng th´. ba) tr`. di h`ng th´. hai, ’ ˜a ´ a . a ’ e u a u u a u ´sau d´ lˆy h`ng th´ o a a u. hai tr`. di h`ng th´. nhˆt nhˆn v´.i 2. u a u a ´ a o x a1 a2 . . . an−1 1 a1 x a2 . . . an−1 1 a1 a2 x . . . an−1 1 3) . . . . . . (DS. (x − a1)(x − a2) · · · (x − an)) . . . . . . .. . . a1 a2 a3 . . . x 1 a1 a2 a3 . . . an 1 Chı dˆ n. Lˆy tˆt ca c´c cˆt cua dinh th´.c tr`. di cˆt cuˆi c`ng ’ ˜ a ´ ´ a a ’ a o ’ . . u u o. ´ o unhˆn tu a .o.ng u.ng v´.i a1, a2, . . . , an . ´ o 0 1 1... 1 1 0 1... 1 4) 1 1 0... 1 . (DS. (−1)n−1 (n − 1)) . . . . . . .. . . . . . . . 1 1 1 . . . 0 n×n Chı dˆ n. Thˆm cho cˆt th´. nhˆt tˆt ca c´c cˆt c`n lai; sau d´ lˆy ’ ˜ a e o. ´ ´ u a a ’ a o o . . o a´moi h`ng kˆ t`. h`ng th´. hai tr`. di h`ng th´. nhˆt. . a ’ e u a u u a u ´ a 1 n n ... n n 2 n ... n 5) n n 3 . . . n . (DS. (−1)n n!) . . . ... . . . . . . . . . n n n ... n Chı dˆ n. Lˆy c´c h`ng th´. nhˆt, th´. hai, ... th´. n − 1 tr`. di h`ng ’ a ˜ ´ a a a u a ´ u u u ath´. n. u
  • 108 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u 1 x1 x2 . . . xn−1 xn 1 x x2 . . . xn−1 xn 1 x1 x . . . xn−1 xn 6) . . .. . . (DS. (x−x1)(x−x2) · · · (x−xn )) . . . . . .. 1 x1 x2 . . . x xn 1 x1 x2 . . . xn−1 x ’ ˜ Chı dˆ n. a Nhˆn h`ng th´. a a u nhˆt v´.i (−1) rˆi cˆng v´.i tˆt ca c´c ´ a o ` o o . ´ o a ’ a h`ng c`n lai. a o . 1 2 3 ... n−1 n 1 3 3 ... n−1 n 1 2 5 ... n−1 n 7) . . . .. . . (DS. (n − 1)!) . . . . . . . . . 1 2 3 . . . 2n − 3 n 1 2 3 . . . n − 1 2n − 1 Chı dˆ n. Nhˆn h`ng th´. nhˆt v´.i (−1) rˆi cˆng v´.i tˆt ca c´c ’ ˜a a a u ´ a o ` o o . ´ o a ’ a h`ng c`n lai. a o . a b0 ... 0 0 0 ab ... 0 0 . .. .. . 8) . . . .. . . . . . (DS. an + (−1)n+1 bn ) 0 0 0 ... a b b 0 0 ... 0 a a0 a1 a2 . . . an−1 an −y1 x1 0 ... 0 0 9) 0 −y2 x2 ... 0 0 . . . . . . . .. . . . . . . . 0 0 0 . . . −yn xn (DS. a0 x1x2 · · · xn + a1y1 x2 · · · xn + a2 y1y2 x3 · · · xn + · · · + an y1 y2 · · · yn ) Chı dˆ n. Khai triˆn dinh th´.c theo cˆt cuˆi dˆ thu du.o.c hˆ th´.c ’ a ˜ ’ e . u o . ´ ’ o e . e u . truy hˆ ` i. o
  • . ’3.3. Hang cua ma trˆn a . 109 1 2 3 4 ... n −1 n −1 x 0 0 ... 0 0 . . . . . . .. . . . . . . 10) . . . . . . . 0 0 0 0 ... x 0 0 0 0 0 ... −1 x (DS. ∆n = x∆n−1 + n, ∆n = xn−1 + 2xn−2 + · · · + (n − 1)x + n) Chı dˆ n. Khai triˆn dinh th´.c theo cˆt cuˆi. ’ a˜ ’ e . u o . ´ o3.3 . ’ Hang cua ma trˆn a .3.3.1 -. Dinh ngh˜ ıaSˆ nguyˆn r > 0 du.o.c goi l` hang cua ma trˆn A nˆu n´ thoa m˜n o´ e . . a . ’ a . ´ e o ’ a `hai diˆu kiˆn sau dˆy: e e . a (i) Ma trˆn A c´ ´ nhˆt mˆt dinh th´.c con kh´c 0 cˆp r. a . o ıt a ´ o . . u a a´ (ii) Moi dinh th´ u.c con cˆp r + 1 v` cˆp cao ho.n (nˆu c´) cua ma a´ a a´ ´ e o ’ . . a. ` `trˆn A dˆu b˘ng 0. e a Hang cua ma trˆn A thu.`.ng du.o.c k´ hiˆu l` r(A), rA ho˘c rank(A). . ’ a . o . y e a . a . T` . u . dinh ngh˜ suy ra: ıa ´ a) Dˆi v´ o o .i (m × n)-ma trˆn A ta c´: 0 r(A) min(m; n). a o . b) r = r(A) = 0 khi v` chı khi moi phˆn tu. cua ma trˆn dˆu b˘ng a ’ . `a ’ ’ . e ` a ` a0. c) Dˆi v´.i ma trˆn vuˆng cˆp n ta c´ r(A) = n ⇔ detA = 0. ´ o o a . o ´ a o3.3.2 Phu.o.ng ph´p t` hang cua ma trˆn a ım . ’ a . Phu.o.ng ph´p I (phu.o.ng ph´p dinh th´.c bao) du.a trˆn dinh a a . u . e . ıa . ’ a ` o a .´.c sau dˆyngh˜ hang cua ma trˆn, gˆm c´c bu o a . (i) T` mˆt dinh th´ ım o . u.c con n`o d´ kh´c 0; gia su. d´ l` dinh th´.c a o a ’ ’ o a . u .∆r = 0.
  • 110 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u (ii) T´ tiˆp c´c dinh th´.c con ∆r+1 cˆp r + 1 bao dinh th´.c ∆r ´ ınh e a . u ´ a . u .c l` dinh th´.c con ∆r+1 ch´.a dinh th´.c con ∆r ) nˆu ch´ng tˆn tai. (t´ a . u u u . u ´ e u ` . o +) Nˆu tˆt ca c´c dinh th´.c con cˆp r + 1 dˆu b˘ng 0 th` kˆt luˆn ´ ´ e a ’ a . u ´ a e ` ` a ı e ´ a . r(A) = r. + Nˆu c´ mˆt dinh th´.c con cˆp r + 1 kh´c 0 (∆r+1 = 0) th` t´nh ´ e o o . . u ´ a a ı ı tiˆp c´c dinh th´.c con cˆp r + 2 bao dinh th´.c ∆r+1 d´ (nˆu ch´ng ´ e a . u ´ a . u o e ´ u ` . ´ tˆn tai). Nˆu moi dinh th´ a o e .c cˆp r + 2 dˆu b˘ng 0 th` r(A) = r + 1, u ´ ` e a ` ı . . ´ c`n nˆu c´ mˆt dinh th´ o e o o . u.c con cˆp r + 2 kh´c 0 th` quy tr`nh lai tiˆp ´ a a ı ı ´ . . e tuc. . Phu.o.ng ph´p II du.a trˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp thu.c hiˆn a . e a e ´ e o ’ ´ a . e . trˆn ma trˆn d˜ cho. e a a . Dinh ngh˜ C´c ph´p biˆn dˆi sau dˆy trˆn ma trˆn du.o.c goi l` c´c -. ıa. a e ´ ’ e o a e a . . . a a ´ ’ ph´p biˆn dˆi so a e e o . cˆp: ´ o ’ ˜ 1+ Dˆi chˆ hai h`ng (ho˘c hai cˆt) cho nhau. o a a . o . + ´ ` . cua mˆt h`ng (ho˘c cˆt) v´.i mˆt sˆ 2 Nhˆn tˆt ca c´c phˆn tu ’ a a ’ a a ’ o a . a o . . o . ´ o o kh´c 0. a 3+ Cˆng v`o mˆt h`ng cua ma trˆn mˆt h`ng kh´c sau khi nhˆn o . a o a . ’ a . o a . a a .i mˆt sˆ t`y y = 0. v´ o . ´ o o u ´ Dinh l´. Hang cua ma trˆn l` bˆt biˆn qua c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp. -. y . ’ a a a e . ´ ´ a e ´ e o ’ ´ a Khi thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn ma trˆn ta luˆn quy . e a . e ´ ’ e o ´ a e a. o .´.c r˘ng dˆu A ∼ B c´ ngh˜ l` mˆt ma trˆn thu du.o.c t`. ma trˆn uo a ` ´ a o ıa a o a . . . u a . ’ kia bo a.i c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp v` r(A) = r(B). e ´ ’ e o ´ a a CAC V´ DU ´ I . ı . ım . ´ V´ du 1. T` hang r(A) nˆu e   −1 0 0 1    0 1 1 2   A= 1  1 1 1    4 2 3 1 3 1 2 0
  • . ’3.3. Hang cua ma trˆn a . 111 Giai. Ta t` hang cua ma trˆn d˜ cho theo phu.o.ng ph´p I. Hiˆn ’ ım . ’ a a . a ’ enhiˆn ma trˆn A c´ dinh th´ e a o . u.c con . −1 0 ∆2 = = −1 = 0. 0 1Ta t´ c´c dinh th´.c con ∆3 bao ∆2. Ta c´ ınh a . u o −1 0 0 (1) 1 1 ∆3 = 0 1 1 = (−1) = 0; 1 1 1 1 1 −1 0 0 ∆(2) 3 = 0 1 1 = −1 = 0. 4 2 3Nhu. vˆy c´ mˆt dinh th´.c bao ∆3 = 0. Ta t´ dinh th´.c bao cua (2) a o o . . . u ınh . u ’ (2)∆3 . Ta c´o −1 0 0 1 (1) 0 1 1 2 δ4 = =0 1 1 1 1 4 2 3 1(tai sao ?). T`. d´ suy ra r(A) = 3. . u oV´ du 2. T` hang r(A) nˆu ı . ım . ´ e   1 −3 2 5   −2 4 3 1   A =  0 −2 7 11      7 −15 −7 2  −1 1 5 6 Giai. Ta giai theo phu.o.ng ph´p I. Hiˆn nhiˆn ma trˆn A c´ dinh ’ ’ a ’ e e a . o .th´ u.c con 1 −3 ∆2 = = −2 = 0. −2 4
  • 112 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u Tˆt ca c´c dinh th´.c con bao ∆2 : ´ a ’ a . u 1 −3 2 1 −3 5 1 −3 2 −2 4 3 ; −2 4 1 ; −2 4 3 ; 0 −2 7 0 −2 11 7 −15 −7 1 −3 5 1 −3 2 1 −3 5 −2 4 1 ; −2 4 3 ; −2 4 3 7 −15 2 −1 1 5 −1 1 6 ` ` dˆu b˘ng 0. Do d´ r(A) = 2. e a o V´ du 3. B˘ng c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp, t´ hang cua ı . ` a a e ´ ’ e o ´ ınh . a ’ c´c ma trˆn a a .   −1 0 0 1     1 2 3 5 0 1 1 2     1) A = 3 −1 4 −2; 2) B =  1 1 1  1.    5 3 10 8 4 2 3 1 3 1 2 0 Giai. 1) Ta thu.c hiˆn ph´p biˆn dˆi so. cˆp theo h`ng v` thu du.o.c ’ . e . e ´ ’ e o ´ a a a .   1 2 3 5   A = 3 −1 4 −2 h2 − 3h1 → h2 ∼ 5 3 10 8 h3 − 5h1 → h3     1 2 3 5 1 2 3 5     ∼ 0 −7 −5 −7  ∼ 0 −7 −5 −17 . 0 −7 −5 −17 h3 − h2 → h3 0 0 0 0 . a e ’ e o o . ` D´ l` ma trˆn h` thang v` hiˆn nhiˆn n´ c´ hang b˘ng 2. Do d´ o a a ınh a o r(A) = 2.
  • . ’3.3. Hang cua ma trˆn a . 113 2) Ta c´ o     −1 0 0 1 −1 0 0 1      0 1 1 2  0 1 1 2    B =  1 1 1 1 h3 + h1 → h3 ∼  0 1 1 2 h3 − h2 → h3          4 2 3 1 h5 + 4h1 → h4  0 2 3 5 h4 − 2h2 → h4 3 2 1 0 h5 + 3h1 → h5 0 1 2 3 h5 − h2 → h5       −1 0 0 1 −1 0 0 1 −1 0 0 1        0 1 1 2  0 1 1 2  0 1 1 2      ∼  0 0 0 0 ∼  0 0 1 1     ∼  0 0 1 1 .          0 0 1 1  0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 h5 − h3 → h5 0 0 0 0 T`. d´ thu du.o.c r(B) = 3. u o .V´ du 4. T´ ı . ınh ’ a hang cua c´c ma trˆn . a .     1 2 4 5 2 1 3 2 0 5 2  3 1 1 3  2  6 9 7 12 1) A =   ; 2) B =  . 0 1 7 9 1 −2 −5 2 4 5 1 3 11 14 3 1 4 8 4 20 Giai. 1) Ta thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi sau: ’ . e a . e ´ ’ e o     1 2 4 5 2 1 2 4 5 2 2  3 1 1  −0 3  −1 −7 −9 −1  A= ∼  0 1 7 9 1  0 1 7 9 1  1 3 11 14 3 0 1 7 9 1     1 2 4 5 2 1 2 4 5 2 0  1 7 9  0 1 1  7 9 1 1 2 4 5 2 ∼ ∼ ∼ 0 1 7 9 1 0 0 0 0 0 0 1 7 9 1 0 1 7 9 1 0 0 0 0 0T`. d´ suy r˘ng r(A) = 2. u o ` a
  • 114 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u 2) Ta thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi . e a . e ´ ’ e o     1 3 2 0 5 1 3 2 0 5  2  6 9  0 7 12  0 7 2 5  B = ∼  −2 −5 2 4 5  0 1 4 15 6 1 4 8 4 20 0 1 6 4 15     1 3 2 0 5 1 3 2 0 5 0 1 6  4  0 1 15  6 4 15  ∼ ∼  0 0 5 7 2  0 0 5 7 2 0 1 6 4 15 0 0 0 0 0 T`. d´ suy r˘ng r(B) = 3. u o ` a ` ˆ BAI TAP . ım . ’ a T` hang cua c´c ma trˆn: a . 1 2 1. A = . (DS. r(A) = 2) 3 −1 −1 3 2. A = . (DS. r(A) = 1) 2 −6 1 2 3. A = . (DS. r(A) = 1) 3 6   1 2   4. A = 3 4. (DS. r(A) = 2) 5 6 1 −2 1 5. A = . (DS. r(A) = 2) −1 4 3
  • . ’3.3. Hang cua ma trˆn a . 115   0 1 3  6. A = 0 3 −1. (DS. r(A) = 2) 0 2 0   1 −2 3  7. A = 2 −4 6. (DS. r(A) = 2) 5 1 4   1 3 2  8. A =  2 6 4 . (DS. r(A) = 1) −1 3 −2   1 −2 4 0  9. A = −1 3 5 1. (DS. r(A) = 3) 2 −1 4 0 Su. dung c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp dˆ t`m hang cua ma trˆn: ’ . a e ´ ’ e o ´ ’ a e ı . ’ a .   −1 0 3 −2  10. A =  2 3 −1 −3. (DS. r(A) = 2) 3 6 1 −8   2 −2 1 −3 1 −1  11. A =  . (DS. r(A) = 3)  5 4 1  1 0 0   4 9 0 7 2 −1 1  6 0 3 12. A =   (DS. r(A) = 4)  0 −1 2 1 −3 4 −3 −1 9 6   −1 −3 −2 1 −3  4  1 2 4 −113. A =  . (DS. r(A) = 3) −6 9 −1 −2 6  4 6 1 12 −4
  • 116 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u   2 −9 −5 −2 9 −5    4 4 3 7 −4 4    14. A = −2 −3 −1 −3 3 −3.   (DS. r(A) = 4)    2 2 −1 2 −6 2  −1 1 3 −1 1 −1 ım . ’ a ` T` hang cua ma trˆn b˘ng . a phu.o.ng ph´p dinh th´.c bao: a . u   1 1 0 0 0   2 3 0 0 0   15. A = 0 0 5 0 0.   (DS. r(A) = 5)   0 0 0 6 0 0 0 0 0 8   1 2 3 4   −1 3 0 1    16. A =  2 4 1 8 .   (DS. r(A) = 3)    1 7 6 9 0 10 1 10   1 1 3 3 2   17. A = 2 2 −1 −1 4 (DS. r(A) = 2) 1 1 3 3 2   2 4 −2 3 3 1   18. A = −1 −2 1 1 7 2. (DS. r(A) = 2) 1 2 −1 4 10 3   1 1 2 3 −1   0 2 1 2 2   0 0 3 3 −3. 19. A =  (DS. r(A) = 4) 0  0 0 4 0    1 3 6 12 −2 1 3 3 5 1
  • . ’3.3. Hang cua ma trˆn a . 11720. V´.i gi´ tri n`o cua λ th` ma trˆn o a . a ’ ı a . λ −1 A= 1 2 1 o . `c´ hang b˘ng 1 ? (DS. λ = − ) a 2 o.i gi´ tri n`o cua λ th` hang r(A) = 2, nˆu21. V´ a . a ’ ı . ´ e   λ 0 1   7 A =  3 4 1? (DS. λ = ) 9 1 −1 222. V´.i gi´ tri n`o cua λ th` hang r(A) = 3 nˆu o a . a ’ ı . ´ e   1 0 −1   A = 2 λ − 2 3 ? (DS. λ = 2) 1 0 423. V´.i gi´ tri n`o cua λ th` hang r(A) = 3 nˆu o a . a ’ ı . ´ e   1 0 λ   A = 2 3 4 ? (DS. ∀ λ ∈ R) 0 0 824. V´.i gi´ tri n`o cua λ th` hang: 1) r(A) = 1; 2) r(A) = 2; o a . a ’ ı . ´3) r(A) = 3 nˆu: e   1 λ 2   A = 2 1 4? 4 2 8 1 1 (DS. 1) λ = ` . ; 2) λ = ; 3) Khˆng tˆn tai) o o 2 2
  • 118 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u 3.4 a . . ’ Ma trˆn nghich dao 3.4.1 -. Dinh ngh˜ ıa ´ . o ´ a ı a . o ´ a ’ Nˆu A l` ma trˆn vuˆng cˆp n th` ma trˆn vuˆng B cˆp n thoa m˜n e a a a ` diˆu kiˆn e e . AB = BA = En trong d´ En l` ma trˆn do.n vi cˆp n du.o.c goi l` ma trˆn nghich dao o a a . . a´ . . a a . . ’ ´ dˆi v´ o o .i ma trˆn A v` du.o.c k´ hiˆu l` B = A−1 . a a . . y e a . Nhu a. vˆy theo dinh ngh˜a ı . . AA−1 = A−1 A = En . -i . o o a. . ’ a ’ D.nh l´. Ma trˆn vuˆng A c´ ma trˆn nghich dao khi v` chı khi ma y a o ´ e u.c l` khi detA = 0) v` khi d´ trˆn A khˆng suy biˆn (t´ a a a o . 1 A−1 = PA , (3.12) detA   A11 A21 . . . An1    A12 A22 . . . An2  PA =  .  . . .   . . . .. . .  .  A1n A2n . . . Ann trong d´ Aij l` phˆn b` dai sˆ cua phˆn tu. aij (i, j = 1, n) cua ma o a ` a u . o ’´ ` a ’ ’ trˆn A. Ma trˆn PA du.o.c goi l` ma trˆn phu ho.p cua ma trˆn A. a . a . . . a a . . . ’ a . T´ chˆt ınh a ´ + ´ ’ 1 Nˆu ma trˆn A c´ ma trˆn nghich dao v` m = 0 th` ma trˆn e a . o a . . a ı a . o a . . ’ a mA c˜ng c´ ma trˆn nghich dao v` u 1 −1 (mA)−1 = A . m
  • . . ’3.4. Ma trˆn nghich dao a 119 2+ Nˆu A v` B l` hai ma trˆn vuˆng c`ng cˆp v` dˆu c´ ma trˆn ´ e a a a . o u a a ` o ´ e a . . ’nghich dao th` ı (AB)−1 = B −1 A−1 . 3+ Nˆu A c´ ma trˆn nghich dao A−1 th` A−1 c˜ng c´ ma trˆn ´ e o a . . ’ ı u o a . ’ anghich dao v` . −1 A−1 = A.3.4.2 Phu.o.ng ph´p t` ma trˆn nghich dao a ım a . . ’ Phu.o.ng ph´p I gˆm c´c bu.´.c sau a ` o a o .´.c 1. T´ detA Bu o ınh ´ + Nˆu detA = 0 th` A khˆng c´ ma trˆn nghich dao. e ı o o a . . ’ + Nˆu detA = 0 th` chuyˆn sang bu.´.c 2. ´ e ı ’ e o .´.c 2. T` ma trˆn phu ho.p PA . T`. d´ ´p dung cˆng th´.c Bu o ım a u o a o u . . . .(3.12) ta thu du . .o.c ma trˆn A−1 . a. Phu .o.ng ph´p II (phu.o.ng ph´p Gauss-Jordan) a a Dˆu tiˆn ta viˆt ma trˆn do.n vi c`ng cˆp v´.i ma trˆn A v`o bˆn ` a e ´ e a . . u ´ a o a . a e ’phai ma trˆn A v` thu du . a a .o.c ma trˆn a . . M = A|En . (3.13) Tiˆp theo thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c h`ng cua ´ e . e a . e ´ e o ’ ´ a e a a ’ e’ma trˆn M dˆ du a .a khˆi ma trˆn A vˆ ma trˆn do.n vi En c`n khˆi En ´ o a ` e a o ´ o . . . .trong (3.13) th`nh ma trˆn B: a a. A|En −→ En |B .Khi d´ B = A−1 . o CAC V´ DU ´ I .
  • 120 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u V´ du 1. T` ma trˆn nghich dao dˆi v´.i c´c ma trˆn sau: ı . ım a . . ´ ’ o o a a .   1 0 −2 1 −7     3 5 −2 −5 4 2 0 3      1) A = 1 −3 2  ; 2) A =  1  6 7 8 9    6 7 −3  2 6 5 9 2  3 −2 1 0 1 ’ Giai. 1) Ta c´ detA = 10 = 0. Do d´ ma trˆn A trong 1) c´ o o a . o a ’ `a u . o ’ a ´ `a ’. cua n´ b˘ng: ma trˆn nghich dao. Phˆn b` dai sˆ cua c´c phˆn tu ’ o a` . . A11 = −5; A12 = 15; A13 = 25; A21 = 1; A22 = 3; A23 = 9; A31 = 4; A32 = −8; A33 = −14. T`. d´ theo cˆng th´.c (3.12) ta c´ u o o u o   1 1 2   − −5 1 4  2 10 5  1      3 3 4 A−1 =  15 3 −8  =  − . 10  2 10 5 25 9 −14  5 9 7 − 2 10 5 2) Ta t´ detA. Lˆy h`ng th´. ba cˆng v`o h`ng th´. nhˆt ta c´ ınh ´ a a u o . a a u ´ a o 2 6 5 9 2 −5 4 2 0 3 detA = 1 6 7 8 9 =0 2 6 5 9 2 3 −2 1 0 1 v` trong ma trˆn thu du.o.c c´ h`ng th´. nhˆt v` th´. tu. giˆng nhau. ı a . . o a u ´ a a u ´ o Nhu. vˆy ma trˆn A trong 2) l` ma trˆn suy biˆn, do d´ n´ khˆng c´ a. a. a a . e´ o o o o a . . ’ ma trˆn nghich dao. V´ du 2. D`ng c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp t` ma trˆn nghich dao dˆi ı . u a e ´ ’ e o ´ a ım a . . ’ o ´
  • . . ’3.4. Ma trˆn nghich dao a 121v´.i ma trˆn o a .     2 0 4 2 3 4     1) A =  1 −1 −2 ; 2) A = 2 6 8  . −1 2 3 2 6 12 ’ Giai. 1) Ta lˆp ma trˆn a . a .   2 0 4 1 0 0   M =  1 −1 −2 0 1 0 . −1 2 3 0 0 1 1Nhˆn h`ng th´. nhˆt v´.i ta thu du.o.c a a u ´ a o . 2   1 1 0 2 0 0  2    M −→  1 −1 −2 0 1 0 h2 − h1 → h2 −→   −1 2 3 0 0 1 h3 + h1 → h3   1 1 0 2 2 0 0  1  −→ 0 −1 −4  − 1 0  2  1 0 2 5 0 1 2   1 1 0 2 0 0  2   h2 (−1)→h2 1  − − − − 0 1 4 − − − → −1 0  −→  2  1 h − 2h2 → h3 0 2 5 0 1 3 2   1 1 0 2 2 0 0  1  −→ 0 1 4  −1 0  −→  2  1 1 h × (− 3 ) → h3 0 0 −3 − 2 1 3 2
  • 122 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u     1 1 4 2 1 0 2 2 0 0  h − 2h3 → h1  1 0 0 6 3 3   1  1  1 5 4  0 1 4 −1 0  − − − − − 0 1 0   2  −−− −→ − 6 3 4   1 2 1  h2 − 4h3 → h2  1 2 1 0 0 1 − − 0 0 1 − − 6 3 3 6 3 3 T`. d´ suy r˘ng u o ` a   1 4 2  6 3 3   1 5 4  A−1 = −  6 3   1 3  2 1 − − 6 3 3 2) Ta lˆp ma trˆn a . a .   2 3 4 1 0 0   M = 2 6 8 0 1 0 . 2 6 12 0 0 1 Thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp . e a . e ´ ’ e o ´ a   h2 − h1 → h2 2 3 4 1 0 0   M − − − − − 0 3 4 −−−−→ −1 1 0 h3 − h1 → h3 0 3 8 −1 0 1   2 3 4 1 0 0   − − − − − 0 3 4 −−−−→ −1 1 0 h3 − h2 → h3 0 0 4 0 −1 1   h1 − h3 → h1 2 3 0 1 1 −1   h2 − h3 → h2 0 3 0 −1 2 −1 −−−→ 0 0 4 −− − − 0 −1 1
  • . . ’3.4. Ma trˆn nghich dao a 123   h1 − h2 → h1 2 0 0 2 −1 0   − − − − 0 3 0 −−−→ −1 2 −1 0 0 4 0 −1 1   1 h1 ( 1 ) → h1 1 0 0 2  1 − 2 0     −− − −  −−−→ 1 2 1 0 1 0 − −  h2 ( 1 ) → h 2  3  3 3 3   1 1  h3 ( 4 ) → h 4 0 0 1 1 0 −  4 4 T`. d´ suy r˘ng u o ` a   1 1 − 0  2    −1  1 2 1 A = − −   3 3 3  1 1  0 − 4 4V´ du 3. Ch´.ng minh c´c t´ chˆt sau dˆy cua dinh th´.c ı . u a ınh a ´ a ’ . u −1 −1 1) detA = (detA) . ´ o e´ 2) Nˆu A v` B khˆng suy biˆn th` t´ AB c˜ng khˆng suy biˆn e a ı ıch u o ´ ev` a (AB)−1 = B −1 A−1 . −1 3) A−1 = A. −1 T 4) AT = A−1 . Giai. 1) Ta s˜ ´p dung cˆng th´.c t´nh dinh th´.c cua t´ch hai ma ’ ea . o u ı . u ’ ı a . o u ´trˆn vuˆng c`ng cˆp A v` B: a a detAB = detA · detBTa c´ o AA−1 = E ⇒det(AA−1) = detE = 1 ⇒detA · detA−1 = 1 ⇒ (detA)−1 = det(A−1 ).
  • 124 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u 2) Ta c´ o (B −1 A−1)(AB) = B −1 (A−1A)B = B −1 B = E v` t`. d´ suy ra B −1 A−1 = (AB)−1. Tu.o.ng tu. B −1 A−1 (AB) = E v` a u o . a −1 −1 ’ ’ do d´ ma trˆn B A l` ma trˆn nghich dao cua ma trˆn AB. o a. a a . . a . −1 3) Ta thˆ´y A−1 a ´t m` t´ch cua n´ nhˆn v´.i l` ma trˆn duy nhˆ a a . a a ı ’ o a o −1 ` A b˘ng E. Nhu a .ng ma trˆn A c˜ng c´ t´ chˆt d´. Nhu. vˆy 3) a u o ınh a o ´ a . . .o.c ch´.ng minh. du . u −1 T 4) Dˆ ch´.ng minh AT ’ e u = A−1 ta x´t d˘ng th´.c AA−1 = E. e a ’ u . d´ ´p dung t´ chˆt cua ma trˆn chuyˆn vi ta c´ T` o a u ınh a ’ ´ a ’ e . o . . (AA−1)T = E ⇒ (A−1 )T AT = E ⇒ (A−1 )T = (AT )−1 theo dinh ngh˜ ma trˆn nghich dao. . ıa a . . ’ V´ du 4. 1) Ch´.ng minh r˘ng nˆu A l` ma trˆn vuˆng thoa m˜n ı . u ` a ´ e a a . o ’ a diˆu kiˆn A2 − 3A + E = O th` A−1 = 3E − A. ` e e. ı 2) Ch´ u.ng minh r˘ng (E − A)−1 = E + A + A2 nˆu A3 = O. ` a ´ e Giai. 1) T` ` ’ . diˆu kiˆn d˜ cho ta c´ u e e a o . E = 3A − A2 = A(3E − A). Do vˆy a . detA · det(3E − A) = detE = 1 v` do d´ detA = 0, t´.c l` A c´ ma trˆn nghich dao. Do a o u a o a . . ’ E = A(3E − A) → A−1E = A−1 A(3E − A) ⇒ A−1 = 3E − A. 2) Ta c´ thˆ nhˆn ma trˆn E − A v´.i E + A + A2. Nˆu ch´ng l` ’ o e a a . o e´ u a ma trˆn nghich dao nhau th` kˆt qua l` ma trˆn do.n vi. Ta c´ a . . ’ ı e´ ’ a a . . o (E − A)(E + A + A2) = E − A + A − A2 + A2 − A3 = E − A3 = E
  • . . ’3.4. Ma trˆn nghich dao a 125v` theo gia thiˆt A3 = O. T`. d´ suy ra diˆu phai ch´.ng minh. ı ’ ´ e u o ` e ’ uV´ du 5. T` ma trˆn nghich dao dˆi v´.i ma trˆn ı . ım a . . ´ ’ o o a . α β A= . γ δ ’ ’ o e ` . . . ’ `a ’ ´ ` Giai. Dˆ tˆn tai ma trˆn nghich dao ta cˆn gia thiˆt r˘ng detA = a e aαδ − γβ = 0. V´ o.i gia thiˆt d´ ta t`m c´c phˆn b` dai sˆ: A11 = δ; ’ ´ e o ı a ` a u . o ´A12 = −γ; A21 = −β; A22 = α. Do d´ o 1 δ −β A−1 = . αδ − γβ −γ α T`. v´ du n`y ta r´t ra quy t˘c t` ma trˆn nghich dao v´.i ma u ı . a u ´ a ım a . . ’ o . ´trˆn cˆp 2: a a a . . ’ ’ a a . ´ ` Ma trˆn nghich dao cua ma trˆn cˆp hai b˘ng t´ cua mˆt sˆ a ıch ’ . ´ o o a u.c cua n´ nhˆn v´.i ma trˆn m` du.`.ng l` nghich dao cua dinh th´ ’ o a o ’ ’ . a a o . . e ınh a a . ’ ch´o ch´ l` ho´n vi cua hai phˆn tu ’ ` a ’ . cua du.`.ng ch´o ch´nh cua o e ı ’ n´ v` c´c phˆn tu. cua du.`.ng ch´o th´. hai c˜ng ch´nh l` c´c o a a `a ’ ’ o e u u ı a a ` phˆn tu ’ a ’ . cua du.`.ng ch´o th´. hai cua ma trˆn d˜ cho nhu.ng v´.i o e u ’ a a o . ´ .o.c lai. dˆu ngu . . a 6 5 ’ Ch˘ng han, nˆu A = a . ´ e th` ı 2 2 1 2 −5 A−1 = . 2 −2 6V´ du 6. 1) Gia su. A l` ma trˆn khˆng suy biˆn. H˜y giai c´c phu.o.ng ı . ’ ’ a a . o ´ e a ’ atr` ma trˆn: ınh a. AX = B, Y A = B. 2) Giai c´c phu.o.ng tr` trong 1) nˆu ’ a ınh ´ e 7 3 1 2 A= , B= . 2 1 0 −1
  • 126 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u Giai. Nhˆn bˆn tr´i hai vˆ cua phu.o.ng tr` AX = B v´.i A−1 v` ’ a e a ´ e ’ ınh o a thu .c hiˆn c´c ph´p t´ dai sˆ tu.o.ng u.ng ta c´ e a e ınh . o ´ ´ o . . A−1AX = A−1 B ⇒ EX = A−1 B ⇒ X = A−1B. Tu.o.ng tu. . Y AA−1 = BA−1 ⇒ Y E = BA−1 ⇒ Y = BA−1. R˜ r`ng l` nˆu A−1 v` B khˆng giao ho´n th` X = Y . o a a e´ a o a ı 2) V´.i o 7 3 1 1 −3 1 −3 A= ⇒ A−1 = = 2 1 detA −2 7 −2 7 T`. d´ u o 1 −3 1 2 1 5 X = A−1B = = , −2 7 0 −1 −2 −11 1 2 1 −3 −3 11 Y = BA−1 = = . 0 −1 −2 7 2 −7 ` ˆ BAI TAP . ım a . . ’ ’ a a . ´ e u ` . T` ma trˆn nghich dao cua ma trˆn d˜ cho (nˆu ch´ng tˆn tai) o 2 −1 1 5 1 1. . (DS. ) 3 5 13 −3 2 0 1 1 2 1 2. . (DS. ) 3 −2 3 3 0     1 −1 3 −9 11 −5   1   3. 5 1 2 . (DS.  7 −4 13 ) 41 1 4 −1 19 −5 6
  • . . ’3.4. Ma trˆn nghich dao a 127   1 2 −3   ` .4. 3 −1 5 . (DS. Khˆng tˆn tai) o o 5 3 −1     2 −3 0 13 15 −12   1  5. −1 1 4. (DS. −  17 10 −8 ) 25 3 −2 5 −1 −5 −1     1 0 1 6 −3 0   1 6.  0 0 2. (DS. −2 −2 2) 6 −1 3 1 0 3 0     −1 3 4 3 −11 2   1 7.  0 1 2. (DS. − 0 −5 +2) 3 0 1 5 0 1 −1     3 2 −1 1 −12 5    8. 1 1 2 . (DS. −1 17 −7) 2 2 5 0 −2 1     1 0 0 1 0 0      1 1   1 1   √ √   √ −√ 9. 0 2 2 . (DS. 0 2 2 )      1 1   1 1  0 −√ √ 0 √ √ 2 2 2 2     1 2 2 1 2 2   1 10. 2 1 −2. (DS. 2 1 −2) 9 2 −2 1 2 −2 1   1 1   2 1 −1 −1 2 2       3 111. 3 1 −2. (DS.  3 − − )  2 2 3 1 0  1 1  0 − 2 2
  • 128 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u   1 1 1   −1 5 2 − 3 6 2       1 1 12.  1 4 1. (DS.  0 − )  2 2 1 2 1  1 7 3  − 3 6 2   2 2 5   −  1 4 1  9 9 9     2 1 1  13.  1 1 4. (DS.  − )  9 9 9  −1 2 2  1 2 1  − 9 9 9     1 −3 −1 17 15 −1     14. −1 4 1 . (DS.  1 1 0 ) 1 9 −2 13 12 −1   −1 2 3 4 1  −1 0 0  15.  . ` . (DS. Khˆng tˆn tai) o o 3 −5 −1 −3 2 1 0 3     1 1 1 1 1 −1 0 0 0 1 1 1 0 1 −1 0      16.  . (DS.  ) 0 0 1 1 0 0 1 −1 0 0 0 1 0 0 0 1     1 1 0 0 0 −1 1 0 −1 0 1 1  1 1 −1 0      17.  . (DS.  )  0 0 1 1 −1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 −1     1 2 −1 2 5 −2 −5 4 2 5 −3 5 −2 1 11 −9     18.  . (DS.  ) 0 0 5 4  0 0 5 −4 0 0 6 5 0 0 −6 5
  • . . ’3.4. Ma trˆn nghich dao a 129     1 3 −5 7 1 −3 11 −38 0  1 2 −3 0 1 −2 7   19.  . (DS.  ) 0 0 1 2  0 0 1 −2  0 0 0 1 0 0 0 1   a11 0 ... 0    0 a22 . . . 0 20.  .  . . .. . . , a11a12 · · · ann = 0. .   . . . .  .. 0 0 . ann  1  0 ... 0  a11   1   0 ... 0   a22  (DS.  )  .. . . .. .  .   . . . .  1  0 0 ... ann     1 −1 0 . . . 0 0 1 1 1 ... 1     0 1 −1 . . . 0 0  0 1 1 ... 1     0 0 1 ... 0 0  21. 0 0 1 ... 1.   (DS.  . . . . . . . )  .. . . .. . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . .    . 0 0  0 . . . 1 −1  0 0 0 .. 1 .. 0 0 0 . 0 1     1 a a2 . . . an 1 −a 0 . . . 0 0  n−1    0 1 a ... a  0 1 −a . . . 0  0    22. 0  0 1 . . . an−2 . (DS. 0 0   1 ... 0 ) 0  . . . .. .  . . . ..  .. . . . . . .  . . . . . . . . 1 −a 0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 0 123. V´.i gi´ tri n`o cua λ th` c´c ma trˆn sau dˆy c´ ma trˆn nghich o a . a ’ ı a a . a o a . . ’dao:
  • 130 Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i . u     1 −2 2 λ 2 0     1) λ 3 0; 2)  2 λ 1 . 2 1 1 0 1 λ 9 √ (DS. 1) λ = ; 2) λ = 0, λ = ± 5) 4 24. T` ma trˆn X thoa m˜n c´c phu.o.ng tr`nh ım a. ’ a a ı 2 −1 1 −1 1 1 0 1) X= . (DS. ) 3 1 0 1 5 −3 5 3 1 −2 1 −5 2 2) X = . (DS. ) 2 1 3 −1 13 −5 2 −1 3 1 1 −1 6 −3 3) X = . (DS. ) 1 0 −1 2 3 0 11 −2 4) AX + B = 2C, trong d´ o       1 1 1 1 −1 2 2 3 0       A = 0 1 1 , B =  0 3 4 , C = 4 −3 5 . 0 0 1 −2 0 −1 1 −1 0   −5 16 −8   (DS.  4 −7 5 ) 4 −2 1 5) XA − 2B = E, trong d´ o     1 −1 3 1 3 −2     A = −2 5 7 , B = −1 2 0 . −1 1 2 3 −1 4   −21 45 −156 1   (DS. −21 15 −21 ) 15 51 20 −79 25. Gia su. A l` ma trˆn cˆp n v` (E + A)k = O v´.i sˆ tu. nhiˆn k ’ ’ a a a . ´ a ´ o o . e n`o d´. Ch´.ng minh r˘ng ma trˆn A khˆng suy biˆn. a o u ` a a . o ´ e
  • . . ’3.4. Ma trˆn nghich dao a 13126. Ch´.ng minh r˘ng c´c ma trˆn A + E v` A − E khˆng suy biˆn u ` a a a . a o ´ e ’ ´ 2v` nghich dao nhau nˆu A = O. a . e27. Ch´.ng minh r˘ng ma trˆn A + E v` A2 + E − A khˆng suy biˆn u ` a a . a o ´ ev` nghich dao nhau nˆu A3 = O. a . ’ ´ e28. Ch´.ng minh r˘ng nˆu A, B, C l` nh˜.ng ma trˆn khˆng suy biˆn u ` a ´ e a u a . o ´ e −1 −1 −1 ’th` ABC v` C B A l` nghich dao nhau. ı a a .29. Ma trˆn vuˆng A cˆp n du.o.c goi l` dˆng dang v´.i ma trˆn vuˆng a . o a´ . . a ` o . o a . oc`ng cˆp B nˆu tˆn tai ma trˆn kha nghich T sao cho B = T −1AT . u a´ ´ o e ` . a . ’ .Ch´u.ng minh c´c t´ chˆt sau cua ma trˆn dˆng dang: a ınh a ´ ’ a ` . o . + a ` ` 1 Moi ma trˆn dˆu dˆng dang v´ e o o.i ch´ n´. ınh o . . . + 2 Nˆ ´u A dˆng dang v´.i B th` B dˆng dang v´.i A. e `o . o ı ` o . o + ´ e ` 3 Nˆu A dˆng dang v´ o o.i B, c`n B dˆng dang v´.i C th` A dˆng o ` o o ı ` o . .dang v´ o.i C. . Chı dˆ n. 1+ Ap dung hˆ th´.c E −1 = E. 2+ Nhˆn bˆn phai hˆ ’ ˜ a ´ . e u . a e ’ e .th´ u.c B = T −1 AT v´.i T −1 v` nhˆn bˆn tr´i v´.i T . 3+ Ap dung dinh o a a e a o ´ . .ngh˜ıa.30. Ma trˆn vuˆng du.o.c goi l` ma trˆn tru.c giao nˆu AAT = AT A = a. o . . a a . . ´ eE, ngh˜ l` ma trˆn chuyˆn vi AT b˘ng ma trˆn nghich dao A−1 cua ıa a a . ’ e . ` a a . . ’ ’A. Ch´u.ng minh c´c t´ chˆt sau cua ma trˆn tru.c giao: a ınh a ´ ’ a . . + 1 Nˆ ´u A tru.c giao th` A tru.c giao. e . ı −1 . + 2 T´ c´c ma trˆn tru ıch a a .c giao c`ng cˆp l` ma trˆn tru.c giao. u ´ a a a . . . . + ´ 3 Nˆu A l` ma trˆn tru e a a .c giao th` AT c˜ng l` ma trˆn tru.c giao. ı u a a . . . . + 4 Dinh th´ u .c cua ma trˆn tru.c giao l` b˘ng ±1. ’ a a a ` . . . ’ a Chı dˆ ˜ n 4+ . Xuˆt ph´t t`. AAT = E v` ´p dung dinh l´ det(AB) = ´ a a u aa . . ydetAdetB.
  • Chu.o.ng 4Hˆ phu.o.ng tr` e . ´ ınh tuyˆn t´ e ınh 4.1 Hˆ n phu.o.ng tr` e. ınh v´.i n ˆn c´ dinh th´.c o ’ o . a u kh´c 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 a 4.1.1 Phu.o.ng ph´p ma trˆn . . . . . . . . . . . . 133 a a . 4.1.2 Phu.o.ng ph´p Cramer . . . . . . . . . . . . 134 a 4.1.3 Phu.o.ng ph´p Gauss . . . . . . . . . . . . . 134 a 4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` e u ´ a . ´ ınh tuyˆn t´ e ınh . . . 143 4.3 Hˆ phu.o.ng tr` e . ´ ınh tuyˆn t´ ` ´ e ınh thuˆn nhˆt . . 165 a a4.1 Hˆ n phu.o.ng tr` e . ınh v´.i n ˆn c´ dinh o a’ o . th´.c kh´c 0 u aHˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ trˆn tru.`.ng sˆ P du.o.c goi l` hˆ Cramer1 e. ınh ´ e ınh e o ´ o . . a e . ´u sˆ phu.o.ng tr` b˘ng sˆ ˆn v` dinh th´.c cua ma trˆn co. ban (manˆ o e ´ ınh a` o ’ ´a a . u ’ a . ’ . . ´ a e o ’ e a atrˆn hˆ sˆ) cua hˆ l` kh´c khˆng. . o 1 G. Cramer (1704-1752) l` nh` to´n hoc Thuy S˜ a a a . . ı.
  • 4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c kh´c 0 e . ınh o ’ a o . u a 133 Hˆ Cramer c´ dang e . o .  a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = h1 ,   a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn = h2 , (4.1) ... ... ... ... ... ...     an1 x1 + an2x2 + · · · + ann xn = hnhay du.´.i dang ma trˆn o . a . AX = H (4.2)trong d´ o       a11 a12 . . . a1n x1 h1        a21 a22 . . . a2n   x2   h2  A=  . . , X =  . , . H= .  . · · · . . .. . .  .  . . an1 an2 . . . ann xn hnho˘c a .         a11 a12 a1n h1          a21   a22  a  h   .  x1 +  .  x2 + · · · +  2n  xn =  .2  .  .   .   .  .  .   .   .  . . an1 an2 ann hn4.1.1 Phu.o.ng ph´p ma trˆn a a .V` detA = 0 nˆn tˆn tai ma trˆn nghich dao A−1. Khi d´ t`. (4.2) ta ı e ` . o a . . ’ o uthu du.o.c . A−1 AX = A−1 H ⇒ EX = X = A−1H. a e . . e . ´Vˆy hˆ nghiˆm duy nhˆt l` a a X = A−1 H. (4.3)Tuy nhiˆn viˆc t` ma trˆn nghich dao n´i chung l` rˆt ph´.c tap nˆu e e ım . a . . ’ o a a´ u . ´ ecˆp cua ma trˆn A l´.n. ´ a ’ a . o
  • 134 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh 4.1.2 Phu.o.ng ph´p Cramer a Nghiˆm duy nhˆt cua hˆ Cramer du.o.c x´c dinh theo cˆng th´.c e . ´ ’ a e . . a . o u Cramer: det(Aj ) xj = , j = 1, n (4.4) detA trong d´ Aj l` ma trˆn thu du.o.c t`. ma trˆn A b˘ng c´ch thay cˆt o a a. . u a . ` a a o . th´ u. j bo.i cˆt c´c hˆ sˆ tu. do H, v` c´c cˆt kh´c gi˜. nguyˆn. ’ o a e o . ´ a a o a u e . . . 4.1.3 Phu.o.ng ph´p Gauss a Nˆi dung chu yˆu cua phu.o.ng ph´p Gauss (hay thuˆt to´n Gauss) l` o . ’ e ’´ a a . a a ’. liˆn tiˆp c´c ˆn cua hˆ. Thuˆt to´n Gauss du.a trˆn c´c ph´p biˆn khu e e a a ’ e ´ ’ a a e a e ´ e . . . o’ . cˆp hˆ phu.o.ng tr` dˆi so a e ´ . ınh. D´ l` c´c ph´p biˆn dˆi: o a a e ´ ’ e o 1+ Nhˆn mˆt phu.o.ng tr`nh n`o d´ cua hˆ v´.i mˆt sˆ kh´c 0. a o . ı a o ’ e o . . ´ o o a + 2 Thˆm v`o mˆt phu e a o .o.ng tr` n`o d´ cua hˆ mˆt phu.o.ng tr` ınh a o ’ e o ınh . . . kh´c nhˆn v´.i mˆt sˆ t`y y. a a o . ´ o o u ´ 3+ Dˆi chˆ hai phu.o.ng tr`nh cua hˆ. o ’ ˜ o ı ’ e . Dinh l´. Moi ph´p biˆn dˆi so. cˆp thu.c hiˆn trˆn hˆ phu.o.ng tr`nh -. y . e ´ e o ’ ´ a . e . e e . ı ` (4.1) dˆu du e e .a dˆn mˆt hˆ phu.o.ng tr` m´.i tu.o.ng du.o.ng. ´ o e ınh o . . Viˆc thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn hˆ phu.o.ng tr`nnh e. . e a . e ´ e o ’ a´ e e. ı (4.1) thu .c chˆt l` thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c h`ng ´ a a . e a e ´ e o ’ ´ a e a a . . ’ cua ma trˆn mo oa . rˆng cua hˆ. ’ . ’ e . . Do d´ sau mˆt sˆ o o o o . ´ bu.´.c biˆn dˆi ta thu du.o.c hˆ (4.1) tu.o.ng du.o.ng ´ ’ e o . e . .i hˆ tam gi´c v´ e o . a  b11x1 + b12x2 + · · · + b1n xn = h1    b22x2 + · · · + b2n xn = h2  ... ... ...    bnn xn = hn T`. d´ r´t ra xn , xn−1 , . . . , x2 , x1. u o u
  • 4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c kh´c 0 e . ınh o ’ a o . u a 135 CAC V´ DU ´ I .V´ du 1. Giai c´c hˆ phu.o.ng tr` sau b˘ng phu.o.ng ph´p ma trˆn ı . ’ a e . ınh ` a a a.  x1 + x2 + x3 = 4,  1) x1 + 2x2 + 4x3 = 4, (4.5)   x1 + 3x2 + 9x3 = 2.  3x1 + 2x2 − x3 = 1, 2) x1 + x2 + 2x3 = 2, (4.6)   2x1 + 2x2 + 5x3 = 3. ’ Giai. 1) Ta k´ hiˆu y e .       1 1 1 x1 4       A = 1 2 4 , X = x2  , H = 4 . 1 3 9 x3 2Khi d´ phu.o.ng tr` (4.5) c´ dang o ınh o . AX = H. e o a . . ’ aV` detA = 2 = 0 nˆn A c´ ma trˆn nghich dao v` do vˆy hˆ (4.5) c´ ı a e . . o e . ´nghiˆm duy nhˆt: a X = A−1 H. ˜ a a ` ´ aDˆ d`ng thˆy r˘ng e   3 −3 1  5 3 − 4 −  A−1 = 2 2  1 1  −1 2 2v` do d´ a o     3 −3 1   x1   4   − 5 4 − 3     x2  =  2 2  4 .  1 1  2 x3 −1 2 2
  • 136 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh Thu.c hiˆn ph´p nhˆn ma trˆn o. vˆ phai ta thu du.o.c . e . e a a ’ e ’ . ´ . x1 = 3 · 4 − 3 · 4 + 1 · 2 = 2, 5 3 x2 = − · 4 + 4 · 4 − · 2 = 3, 2 2 1 1 x3 = · 4 − 1 · 4 + · 2 = −1. 2 2 2) Viˆt ma trˆn A cua hˆ v` t`m A−1: ´ e a . ’ e a ı .     3 2 −1 1 −12 5     A = 1 1 2  ⇒ A−1 = −1 17 −7 . 2 2 5 0 −2 1 T`. d´ suy r˘ng u o ` a        x1 1 −12 5 1 −8        x2  = −1 17 −7 2 =  12  x3 0 −2 1 3 −1 t´.c l` u a x1 = 8, x2 = 12, x3 = −1. V´ du 2. Ap dung quy t˘c Cramer, giai c´c hˆ phu.o.ng tr` ı . ´ . ´ a ’ a e . ınh  x1 + 2x2 + 3x3 = 6,  1) 2x1 − x2 + x3 = 2, (4.7)   3x1 − x2 − 2x3 = 2.  x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = 6,    2x1 + 3x2 − 4x3 + 4x4 = 7,  2) (4.8) 3x1 + x2 − 2x3 − 2x4 = 9,     x1 − 3x2 + 7x3 + 6x4 = −7. Giai. 1) Ap dung cˆng th´.c (4.4) ’ ´ . o u det(Aj ) xj = , j = 1, 3 detA
  • 4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c kh´c 0 e . ınh o ’ a o . u a 137trong d´ o 1 2 3 6 2 3 detA = 3 −1 1 = 30 = 0; detA1 = 2 −1 1 = 30; 3 1 −2 2 1 −2 1 6 3 1 2 6 detA2 = 2 2 1 = 30; detA3 = 2 −1 2 = 30. 3 2 −2 3 1 2T`. d´ suy ra u o x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1. 2) T´ dinh th´.c cua hˆ: ınh . u ’ e . 1 −2 3 −1 2 3 −4 4 detA = = 35. 3 1 −2 −2 1 −3 7 6V` detA = 0 nˆn hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt v` nghiˆm du.o.c t` theo ı e e o . e . ´ a a e . . ımcˆng th´.c (4.4). Ta t´ c´c dinh th´.c o u ınh a . u 6 −2 3 −1 −7 3 −4 4 det(A1) = = 70, 9 1 −2 −2 −7 −3 7 6
  • 138 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh 1 6 3 −1 2 −7 −4 4 det(A2 ) = = −35, 3 9 −2 −2 1 −7 7 6 1 −2 6 −1 2 3 −7 4 det(A3 ) = = 0, 3 1 9 −2 1 −3 −7 6 1 −2 3 6 2 3 −4 −7 det(A4 ) = = −70. 3 1 −2 9 1 −3 7 −7 Do d´ o det(A1) det(A2) x1 = = 2, x2 = = −1, detA detA det(A3) det(A4) x3 = = 0, x4 = = −2. detA detA V´ du 3. Ap dung phu.o.ng ph´p Gauss giai c´c hˆ phu.o.ng tr`nh ı . ´ . a ’ a e . ı 1) x1 − 2x3 = −3, −2x1 + x2 + 6x3 = 11, −x1 + 5x2 − 4x3 = −4. 2) 2x1 − x2 + 3x3 − x4 = 9, x1 + x2 − 2x3 + 4x4 = −1, 3x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 0, 5x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = 9.
  • 4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c kh´c 0 e . ınh o ’ a o . u a 139 Giai. 1) Lˆp ma trˆn mo. rˆng v` thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi: ’ a . a . ’ o . a . e a . e ´ ’ e o     1 0 −2 −3 1 0 −2 −3     A = −2 1 6 11  h2 + 2h1 → h2 −→ 0 1 2 5  −1 5 −4 −4 h3 + h1 → h3 0 5 −6 −7   1 0 −2 −3   −→ 0 1 2 5 . h3 − 5h2 → h3 0 0 −16 −32T`. d´ suy ra u o  x1 − 2x3 = −3   x2 + 2x3 = 5 ⇒ x1 = 1, x2 = 1, x3 = 2.   −16x3 = −32 2) Lˆp ma trˆn mo. rˆng v` thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp: a . a . ’ o . a . e a . e ´ ’ e o ´ a     2 −1 3 −1 9 h1 → h2 1 1 −2 4 −1 1 1 −2 4 h → h −1 2 2 −1 3 −1 9   1     −→   3 2 −1 3 0  3 2 −1 3 0  5 −2 1 −2 9 5 −2 1 −2 9   −→ 1 1 −2 4 −1 0 −3 7 −9 h2 − 2h1 → h2  11  h2 → h3    −→ h3 − 3h1 → h3 0 −1 5 −9 3  h3 → h2 h4 − 5h1 → h4 0 −7 11 −22 14
  • 140 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh   1 1 −2 4 −1 0  −1 5 −9 3   −→   0 −3 7 −9 11  h3 − 3h2 → h3 0 −7 11 −22 14 h4 − 7h2 → h4   1 1 −2 4 −1 0  −1 5 −9 3   −→   0 0 −8 18 2  0 0 −24 41 −7   1 1 −2 4 −1 0  −1 5 −9 3   −→   0 0 −8 18 2  h4 − 3h3 → h4 0 0 0 −13 −13 T`. d´ suy ra r˘ng x1 = 1, x2 = −2, x3 = 2, x4 = 1. u o ` a ` ˆ BAI TAP . Giai c´c hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ sau ’ a e . ı ´ e ınh  x1 − x2 + 2x3 = 11,  1. x1 + 2x2 − x3 = 11, . (DS. x1 = 9, x2 = 2, x3 = 2)   4x1 − 3x2 − 3x3 = 24.  x1 − 3x2 − 4x3 = 4,   2. 2x1 + x2 − 3x3 = −1, . (DS. x1 = 2, x2 = −2, x3 = 1)   3x1 − 2x2 + x3 = 11.  2x1 + 3x2 − x3 = 4,  3. x1 + 2x2 + 2x3 = 5, . (DS. x1 = x2 = x3 = 1)   3x1 + 4x2 − 5x3 = 2.
  • 4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c kh´c 0 e . ınh o ’ a o . u a 141  x1 + 2x2 + x3 = 8, 4. −2x1 + 3x2 − 3x3 = −5, . (DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3)   3x1 − 4x2 + 5x3 = 10.  2x1 + x2 − x3 = 0,  5. 3x2 + 4x3 = −6, . (DS. x1 = 1, x2 = −2, x3 = 0)   x1 + x3 = 1.  2x1 − 3x2 − x3 + 6 = 0, 6. 3x1 + 4x2 + 3x3 + 5 = 0, . (DS. x1 = −2, x2 = 1, x3 = −1)   x1 + x2 + x3 + 2 = 0.  x2 + 3x3 + 6 = 0,  7. x1 − 2x2 − x3 = 5, . (DS. x1 = 3, x2 = 0, x3 = −2)   3x1 + 4x2 − 2x = 13.  2x1 − x2 + x3 + 2x4 = 5,    x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 4, 8. . 5x1 + 4x2 + 3x3 = 2,    3x1 − 3x2 − x3 − 6x4 = −6. 1 2 4 (DS. x1 = , x2 = − , x3 = 1, x4 = ) 3 3 3  x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = −8,  2x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 19, 9. . 4x1 − x2 + x3 + x4 = −1,    3x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −2. 1 3 1 (DS. x1 = − , x2 = , x3 = − , x4 = 3) 2 2 2  x1 − x3 + x4 = 3,    2x1 + 3x2 − x3 − x4 = 2, 10. . 5x1 − 3x4 = −6    x1 + x2 + x3 + x4 = 2. (DS. x1 = 0, x2 = 1, x3 = −1, x4 = 2)
  • 142 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh  2x1 + 3x2 + 8x4 = 0,   x2 − x3 + 3x4 = 0,  11. . x3 + 2x4 = 1,    x1 + x4 = −24 (DS. x1 = −19, x2 = 26, x3 = 11, x4 = −5)  3x1 + x2 − x3 + x4 = 0,  2x1 + 3x2 − x4 = 0, 12. . x1 + 5x2 − 3x3 = 7,   3x2 + 2x3 + x4 = 2, (DS. x1 = −1, x2 = 1, x3 = −1, x4 = 1)  x1 − 2x2 + x3 − 4x4 − x5 = 13,     x1 + 2x2 + 3x3 − 5x4 = 15,    13. x2 − 2x3 + x4 + 3x5 = −7, .   x1 − 7x3 + 8x4 − x5 = −30,    3x1 − x2 − 5x5 = 4.  (DS. x1 = 1, x2 = −1, x3 = 2, x4 = −2, x5 = 0)  x1 + x2 + 4x3 + x4 − x5 = 2,     x1 − 2x2 − 2x3 + 3x5 = 0,    14. 4x2 + 3x3 − 2x4 + 2x5 = 2, .   2x1 − x3 + 3x4 − 2x5 = −2,    3x1 + 2x2 − 5x4 + 3x5 = 3.  2 3 4 (DS. x1 = , x2 = − , x3 = , x4 = 0, x5 = 0) 5 5 5
  • 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a . ınh ´ e ınh 1434.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a . ınh ´ e ınhTa x´t hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´nh gˆm m phu.o.ng tr` v´.i e e u ´ a . ınh ´ e ı ` o ınh o ’n ˆn a  a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = b1 ,    a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn = b2 ,  (4.9) ... ... ... ... ...     am1x1 + am2x2 + · · · + amn xn = bm ,v´.i ma trˆn co. ban o a . ’   a11 a12 . . . a1n   A = . . . . . . . . . . . .  am1 am2 . . . amnv` ma trˆn mo. rˆng a a . ’ o .   a11 a12 . . . a1n b1   A = . . . . . . . . . . . . ... am1 am2 . . . amn bmHiˆn nhiˆn r˘ng r(A) r(A) v` mˆ i dinh th´.c con cua A dˆu l` dinh ’ e e ` a ˜ ı o . u ’ ` a . eth´u .c con cua A nhu.ng khˆng c´ diˆu ngu.o.c lai. Ta luˆn luˆn gia thiˆt ’ o o ` e o o ’ ´ e . .r˘ng c´c phˆn tu. cua ma trˆn A khˆng dˆng th`.i b˘ng 0 tˆt ca. ` a a `a ’ ’ a . o ` o o ` a ´ a ’ Ngu.`.i ta quy u.´.c goi dinh th´.c con kh´c 0 cua mˆt ma trˆn m` o o . . u a ’ o . a . a ´ a ’ o a ` ’cˆp cua n´ b˘ng hang cua ma trˆn d´ l` dinh th´ a o a . u.c con co. so. cua n´. ’ ’ o . . Gia su. dˆi v´.i ma trˆn d˜ cho ta d˜ chon mˆt dinh th´.c con co. so.. ’ ’ o o ´ a a . a . o . . u ’Khi d´ c´c h`ng v` c´c cˆt m` giao cua ch´ng lˆp th`nh dinh th´.c o a a a a o . a ’ u a . a . u . so. d´ du.o.c goi l` h`ng, cˆt co. so..con co ’ o ’ . . a a o .D.nh ngh˜ 1+ Bˆ c´ th´. tu. n sˆ (α1 , α2 , . . . , αn ) du.o.c goi l` nghiˆm-i ıa. o o u . . o´ . . a e . ’ e ´cua hˆ (4.9) nˆu khi thay x = α1 , x = α2 , . . . , x = αn v`o c´c phu e a a .o.ng . ınh ’ ´ e ’tr` cua (4.9) th` hai vˆ cua mˆ i phu ı ˜ o .o.ng tr`nh cua (4.9) tro. th`nh ı ’ ’ a ` ´dˆng nhˆt. o a
  • 144 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh 2+ Hˆ (4.9) du.o.c goi l` tu.o.ng th´ nˆu c´ ´ nhˆt mˆt nghiˆm v` e. . . a ´ ıch e o ıt a ´ o . e . a goi l` khˆng tu.o.ng th´ch nˆu n´ vˆ nghiˆm. ´ . a o ı e o o e . + 3 Hˆ tu e .o.ng th´ du.o.c goi l` hˆ x´c dinh nˆu n´ c´ nghiˆm duy ıch ´ . . . a e a . . e o o e . ´ a a . a e o . ´ e o o ` nhˆt v` goi l` hˆ vˆ dinh nˆu n´ c´ nhiˆu ho e .n mˆt nghiˆm. o e . . . Dinh l´ Kronecker-Capelli.2 Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ (4.9) -. y e . ı ´ e ınh tu.o.ng th´ch khi v` chı khi hang cua ma trˆn co. ban b˘ng hang cua ı a ’ . ’ a . ’ ` a . ’ ma trˆn mo o a . rˆng cua hˆ, t´.c l` r(A) = r(A). ’ . ’ e u a . . ´ .i hˆ tu.o.ng th´ ngu.`.i ta goi c´c ˆn m` hˆ sˆ cua ch´ng lˆp ’ Dˆi v´ e o o . ıch o . a a . ´ a e o ’ u a . nˆn dinh th´ e . u .c con co. so. cua ma trˆn co. ban l` ˆn co. so., c´c ˆn c`n ’ ’ a ’ aa ’ ’ a a o ’ . .o.c goi l` ˆn tu. do. lai du . ’ . . . aa .o.ng ph´p chu yˆu dˆ giai hˆ tˆng qu´t l`: ´ ’ Phu a ’ e e ’ e o . ’ a a ´ ´ 1. Ap dung quy t˘c Kronecker-Capelli. . a 2. Phu .o.ng ph´p khu. dˆn c´c ˆn (phu.o.ng ph´p Gauss). a ’ ` a a a ’ a Quy t˘c Kronecker-Capelli gˆm c´c bu.´.c sau. ´ a ` o a o 1+ Khao s´t t´ tu.o.ng th´ cua hˆ. T´ hang r(A) v` r(A) ’ a ınh ıch ’ e ınh . . a a) Nˆu r(A) > r(A) th` hˆ khˆng tu.o.ng th´ch. ´ e ı e o . ı ´ b) Nˆu r(A) = r(A) = r th` hˆ tu e ı e .o.ng th´ ıch. T`m dinh th´.c con ı u . . . so. cˆp r n`o d´ (v` do vˆy r ˆn co. so. tu.o.ng u.ng xem nhu. du.o.c co ’ a ´ a o a a a’ ’ ´ . . chon) v` thu du . e a .o.c hˆ phu.o.ng tr` tu.o.ng du.o.ng gˆm r phu.o.ng tr` ınh ` o ınh . . .i n ˆn m` (r × n)-ma trˆn hˆ sˆ cua n´ ch´.a c´c phˆn tu. cua dinh ’ ` v´ o a a . . ´ a e o ’ o u a a ’ ’ . th´ u .c con co. so. d˜ chon. C´c phu.o.ng tr` c`n lai c´ thˆ bo qua. ’ a . a ınh o . o e ’ ’ 2+ T` nghiˆm cua hˆ tu.o.ng du.o.ng thu du.o.c ım e . ’ e. . a) Nˆu r = n, ngh˜ l` sˆ ˆn co. so. b˘ng sˆ ˆn cua hˆ th` hˆ c´ ´ e ıa a o a ´ ’ ’ ` a ´ ’ o a ’ e ı e o . . nghiˆm duy nhˆ a o e e . a´t v` c´ thˆ t`m theo cˆng th´.c Cramer. ’ ı o u ´ b) Nˆu r < n, ngh˜a l` sˆ ˆn co ’ e e ı a o a ´ ’ . so. b´ ho.n sˆ ˆn cua hˆ th` ta ´ ’ ’ o a e ı . chuyˆ e ’n n − r sˆ hang c´ ch´.a ˆn tu. do cua c´c phu.o.ng tr`nh sang ´ . o o u a ’ . ’ a ı ´ phai dˆ thu du.o.c hˆ Cramer dˆi v´.i c´c ˆn co. so.. Giai hˆ n`y ta vˆ e ’ e ’ . e . ´ o o a a ’ ’ ’ e a . thu du . a.o.c c´c biˆu th´.c cua c´c ˆn co. so. biˆu diˆn qua c´c ˆn tu. do. ’ e u ’ a a ’ ’ e ’ ˜ e ’ a a . 2 L. Kronecker (1823-1891) l` nh` to´n hoc D´.c, a a a . u A. Capelli (1855-1910) l` nh` to´n hoc Italia. a a a .
  • 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a . ınh ´ e ınh 145D´ l` nghiˆm tˆng qu´t cua hˆ. Cho n − r ˆn tu. do nh˜.ng gi´ tri cu o a e . o’ a ’ e . ’ a . u a . . ’thˆ t`y y ta t` du . a e u ´ ım .o.c c´c gi´ tri tu.o.ng u.ng cua ˆn co. so.. T`. d´ thu a . ´ ’ a ’ ’ u odu.o.c nghiˆm riˆng cua hˆ. . e . e ’ e . Tiˆp theo ta tr` b`y nˆi dung cua phu.o.ng ph´p Gauss. ´ e ınh a o . ’ a o ’ o’ a o e ’ Khˆng giam tˆng qu´t, c´ thˆ cho r˘ng a11 = 0. Nˆi dung cua ` a o . ’phu.o.ng ph´p Gauss l` nhu. sau. a a + 1 Thu .c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c phu.o.ng tr` cua e a e ´ ’ e o ´ a e a ınh ’ . .hˆ dˆ thu du.o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng m` b˘t dˆu t`. phu.o.ng tr` th´. hai . ’ e e . e . a ´ ` u a a ınh umoi phu .o.ng tr` dˆu khˆng ch´.a ˆn x1. K´ hiˆu hˆ n`y l` S (1). ınh ` e o u a ’ y e e a a . . . 2 C˜ng khˆng mˆt tˆng qu´t, c´ thˆ cho r˘ng a22 = 0. Lai thu.c + u o ´ ’ a o a o e ’ ` a . .hiˆn c´c ph´p biˆ o e a . e ´n dˆi so. cˆp trˆn c´c phu.o.ng tr` cua hˆ S (1) (tr`. e ’ ´ a e a ınh ’ e . ura phu .o.ng tr` th´. nhˆt du.o.c gi˜. nguyˆn!) nhu. d˜ l`m trong bu.´.c ınh u ´ a u e a a o . +1 ta thu du . e .o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng m` b˘t dˆu t`. phu.o.ng tr`nh th´. ba ´ a a a ` u ı u .moi phu.o.ng tr` dˆu khˆng ch´.a ˆn x2 ,... . ınh ` e o u a ’ 3+ Sau mˆt sˆ bu.´.c ta c´ thˆ g˘p mˆt trong c´c tru.`.ng ho.p sau . ´ o o o o e a ’ . o . a o .dˆy. a a) Thˆy ngay du.o.c hˆ khˆng tu.o.ng th´ch. ´ a . e o . ı b) Thu du . .o.c mˆt hˆ “tam gi´c”. Hˆ n`y c´ nghiˆm duy nhˆt. o e a e a o e ´ a . . . . c) Thu du.o.c mˆt “hˆ h` thang” dang . o . e ınh . .  a11x1 + a12x2 + ... + a1n xn = h1,     b22x2 + ... + b2n xn = h2 ,     ... ... ... ...    brr xr + · · · + brn xn = hr ,   0 = hr+1 ,    ... ...      0 =h . m ´ a o ´Nˆu c´c sˆ hr+1 , . . . , hm e kh´c 0 th` hˆ vˆ nghiˆm. Nˆu hr+1 = a ı e o . e . e´· · · = hm = 0 th` hˆ c´ ı e o . nghiˆm. Cho xr+1 = α, . . . , xm = β th` e . ıthu du ..o.c hˆ Cramer v´.i e o ˆn l` x1, . . . , xr . Giai hˆ d´ ta thu du.o.c ’ a a ’ e o . . .
  • 146 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh e . a e . ’ nghiˆm x1 = x1 ; x2 = x2, . . . , xr = xr v` nghiˆm cua hˆ d˜ cho l` e a . a (x1 , x2 , . . . , xr , α, . . . , β). Lu.u y r˘ng viˆc giai hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´nh b˘ng phu.o.ng ´ ` a e . ’ e . ı ´ e ı ` a ph´p Gauss thu a .c chˆt l` thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c ´ a a . e a e ´ ’ e o a´ e a . . h`ng cua ma trˆn mo. rˆng cua hˆ du.a n´ vˆ dang tam gi´c hay dang a ’ a. ’ o . ’ e. o ` . e a . h` thang. ınh CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. Giai hˆ phu.o.ng tr` ı . ’ e . ınh  3x1 − x2 + x3 = 6,    x1 − 5x2 + x3 = 12,    2x1 + 4x2 = −6,   2x1 + x2 + 3x3 = 3,     5x1 + 4x3 = 9. ’ ım . ’ a Giai. 1. T` hang cua c´c ma trˆn a .     3 −1 1 3 −1 1 6     1 −5 1 1 −5 1 12      A= 2 4 0 ,  A = 2 4 0  −6      2 1 3 2 1 3 3  5 0 4 5 0 4 9 Ta thu du.o.c r(A) = r(A) = 3. Do d´ hˆ tu.o.ng th´ch. . o e . ı Ta chon dinh th´.c con co. so. l` . . u ’ a 1 −5 1 ∆= 2 4 0 2 1 3 v` ∆ = 36 = 0 v` r(A) = 3 v` c´c ˆn co. so. l` x1, x2, x3 . ı a a a a ’ ’ a
  • 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a . ınh ´ e ınh 147 2. Hˆ phu.o.ng tr` d˜ cho tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ e . ınh a o e .  x1 − 5x2 + x3 = 12,   2x1 + 4x2 = −6,   2x1 + x2 + 3x3 = 3. Sˆ ˆn co. so. b˘ng sˆ ˆn cua hˆ nˆn hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt l` x1 = 1, ´ ’ oa ’ ` a ´ ’ oa ’ e e e o . . e . ´ a ax2 = −2, x4 = 1.V´ du 2. Giai hˆ phu.o.ng tr` ı . ’ e . ınh  x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 7,   2x1 + 4x2 + 5x3 − x4 = 2,   5x1 + 10x2 + 7x3 + 2x4 = 11. ’ Giai. T` ım ’ a hang cua c´c ma trˆn . a .     1 2 −3 4 1 2 −3 4 7     A = 2 4 5 −1 , A = 2 4 5 −1 2 5 10 7 2 5 10 7 2 11Ta thu du.o.c r(A) = r(A) = 2. Do d´ hˆ tu.o.ng th´ch. . o e . ı ’ ´ Ta c´ thˆ lˆy dinh th´ o e a . u.c con co. so. l` ’ a 2 −3 ∆= 4 5v` ∆ = 22 = 0 v` cˆp cua dinh th´.c = r(A) = 2. Khi chon ∆ l`m ı a a ´ ’ . u . adinh th´ u.c con, ta c´ x2 v` x3 l` ˆn co. so.. o a aa ’ ’ . Hˆ d˜ cho tu e a .o.ng du.o.ng v´.i hˆ o e . . x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 7, 2x1 + 4x2 + 5x3 − x4 = 2hay 2x2 − 3x3 = 7 − x1 − 4x4 , 4x2 + 5x3 = 2 − 2x1 + x4.
  • 148 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh ’ o e ’ e . ´ 2. Ta c´ thˆ giai hˆ theo quy t˘c Cramer. D˘t x1 = α, x4 = β ta a a . c´ o 2x2 − 3x3 = 7 − α − 4β, 4x2 + 5x3 = 2 − 2α + β. Theo cˆng th´.c Cramer ta t`m du.o.c o u ı . 7 − α − 4β −3 2 − 2α + β 5 41 − 11α − 17β x2 = = , 22 22 2 7 − α − 4β 4 2 − 2α + β −24 + 18β x3 = = · 22 22 Do d´ tˆp ho.p c´c nghiˆm cua hˆ c´ dang o a. . a e . ’ e o . . 41 − 11α − 17β 9β − 12 α; ; ; β ∀ α, β ∈ R 22 11 V´ du 3. B˘ng phu.o.ng ph´p Gauss h˜y giai hˆ phu.o.ng tr` ı . ` a a a ’ e . ınh  4x1 + 2x2 + x3 = 7,   x1 − x2 + x3 = −2, 2x1 + 3x2 − 3x3 = 11,     4x1 + x2 − x3 = 7. ’ . e e ’ e . o’ ˜ Giai. Trong hˆ d˜ cho ta c´ a11 = 4 = 0 nˆn dˆ cho tiˆn ta dˆi chˆ e a o o hai phu .o.ng tr` dˆu v` thu du.o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng ınh `a a . e .  x1 − x2 + x3 = −2,  4x1 + 2x2 + x3 = 7,  2x1 + 3x2 − 3x3 = 11,     4x1 + x2 − x3 = 7.
  • 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a . ınh ´ e ınh 149Tiˆp theo ta biˆn dˆi ma trˆn mo. rˆng ´ e ´ ’ e o a . ’ o.   1 −1 1 −2 4 2  1 7  h2 − 4h1 → h2 A=  2 3 −3 11  h3 − 2h1 → h3 4 1 −1 7 h4 − 4h1 → h4   1 −1 1 −2 0 6 −3  15   −→   → 0 5 −5 15  0 5 −5 15 h4 − h3 → h4   1 −1 1 −2 0 6 −3  15  h2 × 5 → h2  −→   −→ 0 5 −5 15  h3 × 6 → h3 0 0 0 0     1 −1 1 −2 h3 − h2 → h3 1 −1 1 −2 0 30 −15  75   0 30 −15  75   −→   −→  . 0 30 −30 90  0 0 −15 15  0 0 0 0 0 0 0 0T`. d´ thu du.o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng u o . e .  x1 − x2 + x3 = −2  30x2 − 15x3 = 75   −15x3 = 15v` do d´ thu du.o.c nghiˆm x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1. a o . e .V´ du 4. Giai hˆ phu.o.ng tr` ı . ’ e . ınh  x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = −1,    2x1 + 2x2 + 3x4 + x5 = 1,    2x3 + 2x4 − x5 = 1,   −2x3 + 4x4 − 3x5 = 7,     6x3 + 3x4 − x5 = −1.
  • 150 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh Giai. 1) B˘ng c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp (chı thu.c hiˆn trˆn c´c ’ ` a a e ´ e o ’ a´ ’ . e . e a a a . rˆng A du.o.c du.a vˆ ma trˆn bˆc thang ’ . h`ng !) ma trˆn mo o ` e a a . . . .   1 1 1 1 1 −1   0 0 −2 1 −1 3    A −→ 0 0 0 3 −2  4 .    0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 2) Ma trˆn n`y tu.o.ng u.ng v´.i hˆ phu.o.ng tr` a a . ´ o e . ınh  x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = −1,  −2x3 + x4 − x5 = 3,   3x4 − 2x5 = 4. hˆ n`y tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ d˜ cho v` c´ x1, x3, x4 l` ˆn co. so., c`n e a . o e a. a o a a’ ’ o x2 , x5 l` ˆn tu. do. ’ aa . 3) Chuyˆn c´c sˆ hang ch´.a ˆn tu. do sang vˆ phai ta c´ ’ e a o . ´ ’ u a . ´ e ’ o  x1 + x3 + x4 = −1 − x2 − x5 ,  −2x3 + x4 = 3 + x5,   3x4 = 4 + 2x5. 4) Giai hˆ n`y (t`. du.´.i lˆn) ta thu du.o.c nghiˆm tˆng qu´t ’ e a . u o e . e . o’ a −3 − 3x2 − x5 x1 = , 2 −5 − x5 4 + 2x5 x3 = , x4 = · 6 3 V´ du 5. Giai hˆ phu.o.ng tr` ı . ’ e . ınh  x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 1,  x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 5x5 = 2,   2x1 + 11x2 + 12x3 + 25x4 + 22x5 = 4.
  • 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a . ınh ´ e ınh 151 Giai. Ta thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c h`ng cua ma ’ . e a . e ´ ’ e o ´ a e a a ’trˆn mo o a . rˆng: ’ . .   1 3 5 7 9 1   A = 1 −2 3 −4 5 2 h2 − h1 → h2 −→ 2 11 12 25 22 4 h3 − 2h1 → h3   1 3 5 7 9 1   −→ 0 −5 −2 −11 −4 1 −→ 0 5 2 11 4 2 h3 + h2 → h3   1 3 5 7 9 1   −→ 0 −5 −2 −11 −4 1 0 0 0 0 0 3 T`. d´ suy r˘ng r(A) = 3; r(A) = 2 v` do vˆy r(A) > r(A) v` hˆ u o ` a a a . a e.d˜ cho khˆng tu a o .o.ng th´ ıch. .V´ du 6. Giai v` biˆn luˆn hˆ phu.o.ng tr` theo tham sˆ λ: ı . ’ a e . a e . . ınh ´ o  λx1 + x2 + x3 = 1,  x1 + λx2 + x3 = 1,   z1 + x2 + λx3 = 1. ’ Giai. Ta c´ o   λ 1 1   A =  1 λ 1  ⇒ detA = (λ + 2)(λ − 1)2 = D, 1 1 λtiˆp theo dˆ d`ng thu du.o.c ´ e ˜ a e . Dx1 = Dx2 = Dx3 = (λ − 1)2 . 1+ Nˆu D = 0, t´.c l` nˆu (λ + 2)(λ − 1)2 = 0 ⇔ λ = −2 v` λ = 1 ´ e u a e ´ ath` hˆ d˜ cho c´ nghiˆm duy nhˆt v` theo c´c cˆng th´.c Cramer ta c´ ı e a . o e . ´ a a a o u o 1 x1 = x2 = x3 = · λ+2
  • 152 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh 2+ Nˆu λ = −2 th` D = 0 v` ta c´ ´ e ı a o   −2 1 1   −2 1 A =  1 −2 1  ⇒ r(A) = 2 =0 , 1 −2 1 1 −2   −2 1 1 1   A =  1 −2 1 1 . 1 1 −2 1 B˘ng c´ch thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c ma trˆn A ta ` a a . e a . e ´ ’ e o a´ e a a . .o.c r(A) = 3. thu du . Do d´ v´.i λ = −2 th` r(A) > r(A) v` hˆ vˆ nghiˆm. o o ı a e o . e . + e´ ı a ˜ a a e ´ ` 3 Nˆu λ = 1 th` detA = 0 v` dˆ thˆy r˘ng r(A) = r(A) = 1 < 3 (sˆ ˆn cua hˆ l` 3). T`. d´ suy ra hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm phu thuˆc hai ´ ’ oa ’ e a . u o e o o o . ´ e . . o . ´ tham sˆ: x1 + x2 + x3 = 1. o V´ du 7. Giai v` biˆn luˆn hˆ phu.o.ng tr` theo tham sˆ ı . ’ a e . a e . . ınh ´ o  λx1 + x2 + x3 = 1,   x1 + λx2 + x3 = λ,   x1 + x2 + λx3 = λ2 . Giai. Dinh th´.c cua hˆ b˘ng ’ . u ’ e ` . a λ 1 1 D = 1 λ 1 = (λ − 1)2 (λ + 2). 1 1 λ ´ . e . ´ Nˆu D = 0 ⇔ λ1 = 1, λ2 = −2 th` hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt. Ta t´nh e ı e o a ı
  • 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a . ınh ´ e ınh 153Dx1 , Dx2 , Dx3 : 1 1 1 Dx1 = λ λ 1 = −(λ − 1)2 (λ + 1), λ2 1 λ λ 1 1 Dx2 = 1 λ 1 = (λ − 1)2 , 1 λ2 λ λ 1 1 Dx3 = 1 λ λ = (λ − 1)2 (λ + 1)2 . 1 1 λ2T`. d´ theo cˆng th´.c Cramer ta thu du.o.c u o o u . λ+1 1 (λ + 1)2 x1 = − , x2 = , x3 = · λ+2 λ+2 λ+2 Ta c`n x´t gi´ tri λ = 1 v` λ = −2. o e a . a Khi λ = 1 hˆ d˜ cho tro. th`nh e a . ’ a  x1 + x2 + x3 = 1,  x1 + x2 + x3 = 1,   x1 + x2 + x3 = 1. . ´ . . o . ´ o ´ .Hˆ n`y c´ vˆ sˆ nghiˆm phu thuˆc hai tham sˆ. Nˆu d˘t x2 = α, e a o o o e e ax3 = β th` ı x1 =1 − α − β, α, β ∈ R,v` nhu. vˆy tˆp ho.p nghiˆm c´ thˆ viˆt du.´.i dang (1 − α − a a . a . . e . o ’ ´ e e o .β; α; β; ∀ α, β ∈ R). Khi λ = −2 th` hˆ d˜ cho tro. th`nh ı e a . ’ a  −2x1 + x2 + x2 = 2,   x1 − 2x2 + x3 = −2,   x1 + x2 − 2x3 = 4.
  • 154 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh B˘ng c´ch cˆng ba phu.o.ng tr` lai v´.i nhau ta thˆy ngay hˆ d˜ cho ` a a o . ınh . o ´ a e a . vˆ nghiˆm. o e . V´ du 8. X´t hˆ phu.o.ng tr`nh ı . e e . ı  x1 + 2x2 + λx3 = 3,   3x1 − x2 − λx3 = 2,   2x1 + x2 + 3x3 = µ. V´.i gi´ tri n`o cua c´c tham sˆ λ v` µ th` o a . a ’ a ´ o a ı . e . ´ 1) hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt ? e o a 2) hˆ vˆ nghiˆm ? e o . e . . ´ 3) hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm ? e o o o e. ’ ´ Giai. Ta viˆt c´c ma trˆn e a a .     1 2 λ 1 2 λ 3     A = 3 −1 −λ ; A = 3 −1 −λ 2 2 1 3 2 1 3 µ Ta c´ o 1 2 λ D = detA = 3 −1 −λ = 2λ − 21. 2 1 3 T`. d´ u o 1+ Hˆ d˜ cho c´ nghiˆm duy nhˆt khi v` chı khi e a . o e . ´ a a ’ 21 detA = 0 ⇔ λ = , µ t`y y. u ´ 2 ’ . 2+ Dˆ hˆ vˆ nghiˆm dˆu tiˆn n´ phai thoa m˜n e e o e ` . a e o ’ ’ a 21 detA = 0 ⇔ λ = · 2 21 Khi λ = th` detA = 0 v` do vˆy ı a a . 2 r(A) < 3.
  • 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a . ınh ´ e ınh 155 1 2V` dinh th´.c ı . u = −7 = 0 nˆn: e 3 −1 21 r(A) = 2 khi λ = · 2 . y e a . o e . a ’Theo dinh l´ Kronecker-Capelli hˆ d˜ cho vˆ nghiˆm khi v` chı khi r(A) > r(A) = 2.Ta t`m diˆu kiˆn dˆ hˆ th´.c n`y thoa m˜n. Cu thˆ l` t` r(A) khi ı ` e ’ . e e e u a . ’ a ’ . e a ım 21λ = . Ta c´ o 2   21 1 2 3 h1 × 2 → h  2  1  21  A = 3 −1 − 2  h2 × 2 → h2 −→  2  2 1 3 µ   2 4 21 6   −→ 6 −2 −21 4  h2 − 3h1 → h2 −→ 2 1 3 µ h3 − h1 → h3   2 4 21 6   −1 −→ 0 −14 −84 −14  h2 × → h2 −→ 14 0 −3 −18 µ−6     2 4 21 6 2 4 21 6    −→ 0 1 6 1  −→ 0 1 6 1  0 −3 −18 µ − 6 h3 + 3h1 → h3 0 0 0 µ−3T`. kˆt qua biˆn dˆi ta thu du.o.c u e ´ ´ ’ ’ e o .  2 nˆu µ = 3, ´ e r(A) = 3 nˆu µ = 3, ´ e
  • 156 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh ı e e a . o e . ´ V` r(A) = 2 nˆn hˆ d˜ cho vˆ nghiˆm nˆu e 21 λ= v` µ = 3. a 2 3+ Hˆ d˜ cho c´ vˆ sˆ nghiˆm khi v` chı khi e a . o o o ´ e . a ’ r(A) = r(A) = r < 3 t´.c l` khi hang cua A v` A b˘ng nhau nhu.ng b´ ho.n sˆ ˆn cua hˆ l` u a . ’ a ` a e ´ ’ oa ’ e a . 3. T` a. lˆp luˆn trˆn suy r˘ng hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm nˆu u . a e ` a e o o o ´ e ´ e . . .  λ = 21 , r(A) = r(A) = 2 ⇔ 2 µ = 3. Khi d´ hˆ d˜ cho tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ o e a . o e . 2x1 + 4x2 = 6 − 21α, α = x3, 6x1 − 2x2 = 4 + 21α. 3 a e . ’ o a v` nghiˆm cua n´ l` 1 + α, 1 − 6α, α ∀ α ∈ R . 2 ` ˆ BAI TAP . Giai c´c hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ’ a e . ı ´ e ınh 6x1 + 3x2 + 4x3 = 3; 1. 3x1 − x2 + 2x3 = 5. 7 18 − 15x1 (DS. x2 = − , x3 = , x1 t`y y) u ´ 5 10 x1 − x2 + x3 = −1, 2. 2x1 + x2 − x3 = 5. 4 + 2x3 7 − x3 (DS. x1 = , x2 = , x3 t`y y) u ´ 3 3
  • 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a . ınh ´ e ınh 157 x1 + x2 + 2x3 + x4 = 1,3. x1 − 2x2 − x4 = −2. 1 (DS. x3 = (−2x1 + x2 − 1), x4 = x1 − 2x2 + 2, 2 x1 , x2 t`y y) u ´  x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 1,4. 2x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0,   5x1 + 3x2 + 8x3 + x4 = 1. 14 2 1 6 7 2 (DS. x1 = − x3 + x4 + , x2 = − x3 − x4 + , 11 11 11 11 11 11 x3 , x4 t`y y) u ´  3x1 + 5x2 + 2x3 + 4x4 = 3, 5. 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 1,   5x1 + 9x2 − 2x3 + 2x4 = 9. (DS. Hˆ vˆ nghiˆm) e o . e .  x1 + 2x2 + 3x3 = 14,    3x1 + 2x2 + x3 = 10,  6. x1 + x2 + x3 = 6,   2x1 + 3x2 − x3 = 5,     x1 + x2 = 3.  (DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3)  x1 + 3x2 − 2x3 + x4 + x5 = 1, 7. x1 + 3x2 − x3 + 3x4 + 2x5 = 3,   x1 + 3x2 − 3x3 − x4 = 2. (DS. Hˆ vˆ nghiˆm) e o . e .  5x1 + x2 − 3x3 = −6,   2x1 − 5x2 + 7x3 = 9, 8. 4x1 + 2x2 − 4x3 = −7,    5x1 − 2x2 + 2x3 = 1. 1 1 3 (DS. x1 = − , x2 = , x3 = ) 3 6 2
  • 158 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh  x1 + x2 + x3 + x4 = 1,   x1 + x2 − 2x3 − x4 = 0, 9. x1 + x2 − 4x3 + 3x4 = 2,    x1 + x2 + 7x3 + 5x4 = 3. 2 − 3x2 − 2x4 1 − 2x4 (DS. x1 = , x3 = , x2 , x4 t`y y) u ´ 3 3  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5,   x2 + 2x3 + 3x4 = 1, 10. x1 + 3x3 + 4x4 = 2,    x1 + x2 + 5x3 + 6x4 = 1. 15 3 13 (DS. x1 = , x2 = , x3 = − , x4 = 2) 4 2 4  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 30,   −x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 10, 11. x2 − x3 + x4 = 3,    x1 + x2 + x3 + x4 = 10. (DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4)  5x1 + x2 − 3x3 = −6,   2x1 − 5x2 + 7x3 = 9,  12. 4x1 + 2x2 − 4x3 = −7,    5x1 − 2x2 + 2x3 = 1. 1 1 3 (DS. x1 = − , x2 = , x3 = ) 3 6 2  x1 − x2 + x3 − x4 = 4,    x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 8,  13. 2x1 + 4x2 + 5x3 + 10x4 = 20,    2x1 − 4x2 + x3 − 6x4 = 4. 3 1 (DS. x1 = 6 − x3 − x4, x2 = 2 − x3 − 2x4 , x3 v` x4 t`y y) a u ´ 2 2
  • 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a . ınh ´ e ınh 159  x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 2,    3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 = −3,14. −2x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = 5,     3x1 + 3x3 − 10x4 = 8. (DS. Hˆ vˆ nghiˆm) e o . e .  x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 1,   2x1 − x2 − 2x3 − 3x4 = 2, 15. 3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = −5,   2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = 11. 2 43 13 7 (DS. x1 = , x2 = − , x3 = , x4 = − ) 3 18 9 18  x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1,   x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = −1,16. 3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 5,    2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = 4. (DS. x1 = −17x3 + 29x4 + 5, x2 = 10x3 − 17x4 − 2, x3, x4 t`y y) u ´  x1 − 5x2 − 8x3 + x4 = 3,    3x1 + x2 − 3x3 − 5x4 = 1, 17. x1 − 7x3 + 2x4 = −5,    11x2 + 20x3 − 9x4 = 2. (DS. Hˆ vˆ nghiˆm) e o . e.   x2 − 3x3 + 4x4  = −5,  x 1 − 2x3 + 3x4 = −4,18. 3x1 + 2x2 − 5x4  = 12,   4x1 + 3x2 − 5x3 = 5. (DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1, x4 = −1) Khao s´t t´ tu.o.ng th´ cua c´c hˆ phu.o.ng tr`nh sau dˆy ’ a ınh ıch ’ a e . ı a  x1 + x2 + x3 − x4 = 0,19. x1 − x2 − x3 + x4 = 1,   x1 + 3x2 + 3x3 − 3x4 = 0.
  • 160 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh (DS. Hˆ khˆng tu.o.ng th´ch) e o . ı  x1 + x2 + x3 + x4 = 1,  20. x1 + x2 + 2x3 + x4 = 0,   x1 + x2 − x3 + x4 = 3. (DS. Hˆ tu.o.ng th´ e. ıch)  x1 − 2x2 + x3 + x4 = 1,  21. x1 − 2x2 + x3 − x4 = −1,   x1 − 2x2 + x3 + 5x4 = 5. (DS. Hˆ tu.o.ng th´ e. ıch)  x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7,   3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 = −2, 22. x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23,     5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = 12. (DS. Hˆ tu.o.ng th´ e . ıch)  2x1 + x2 − x3 + x4 = 1,    3x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2,  23. 5x1 + x2 − x3 + 2x4 = −1,    2x1 − x2 + x3 − 3x4 = 4. (DS. Hˆ khˆng tu.o.ng th´ch) e o . ı  3x1 + x2 − 2x3 + x4 − x5 = 1,   2x1 − x2 + 7x3 − 3x4 + 5x5 = 2, 24. x1 + 3x2 − 2x3 + 5x4 − 7x5 = 3,    3x1 − 2x2 + 7x3 − 5x4 + 8x5 = 3. (DS. Hˆ khˆng tu.o.ng th´ch) e o . ı  5x1 + 7x2 + 4x3 + 5x4 − 8x5 + 3x6 = 1,  25. 2x1 + 3x2 + 3x3 − 6x4 + 7x5 − 9x6 = 2,   7x1 + 9x2 + 3x3 + 7x4 − 5x5 − 8x6 = 5. (DS. Hˆ tu.o.ng th´ e. ıch)
  • 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a . ınh ´ e ınh 161 Khao s´t t´ tu.o.ng th´ v` giai c´c hˆ phu.o.ng tr`nh (nˆu hˆ ’ a ınh ıch a ’ a e . ı ´ e e .tu.o.ng th´ıch)  2x1 − x2 + 3x3 = 3,   3x1 + x2 − 5x3 = 0, 26. 4x1 − x2 + x4 = 3,    x1 + 3x2 − 13x3 = −6. (DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1)  2x1 − x2 + x3 − x4 = 1,   2x1 − x2 − 3x4 = 2, 27. 3x1 − x3 + x4 = −3,   2x1 + 2x2 − 2x3 + 5x4 = −6. 5 4 (DS. x1 = 0, x2 = 2, x3 = , x4 = − ) 3 3  2x1 + x2 + x3 = 2,   x1 + 3x2 + x3 = 5, 28. x1 + x2 + 5x3 = −7,   2x1 + 3x2 − 5x3 = 14. (DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = −2)  2x1 + 3x2 + 4x3 + 3x4 = 0, 29. 4x1 + 6x2 + 9x3 + 8x4 = −3,   6x1 + 9x2 + 9x3 + 4x4 = 8. 7 3x2 (DS. x1 = − , x3 = −1, x4 = −1, x2 t`y y) u ´ 2 2  3x1 + 3x2 − 6x3 − 2x4 = −1,    6x1 + x2 − 2x4 = −2, 30. 6x1 − 7x2 + 21x3 + 4x4 = 3,   9x1 + 4x2 + 2x4 = 3,    12x1 − 6x2 + 21x3 + 2x4 = 1.  7 11 16 (DS. x1 = , x2 = −4, x3 = − , x4 = ) 5 5 5
  • 162 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh  x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1,   3x1 − x2 − x3 − 2x4 = −4, 31. 2x1 + 3x2 − x3 − x4 = −6,   x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = −4. (DS. x1 = x2 = −1, x3 = 0, x4 = 1)  x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 6,   2x1 − x2 − 2x3 − 3x4 = 8,  32. 3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 4,    2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = −8. (DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1, x4 = −2)  x2 − 3x3 + 4x4 = −5,  x1 − 2x3 + 3x4 = −4, 33. 3x1 + 2x2 − 5x4 = 12,     4x1 + 3x2 − 5x3 = 5. (DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1, x4 = −1)  x1 + x2 − x3 + x4 = 4,  2x1 − x2 + 3x3 − 2x4 = 1, 34. x1 − x3 + 2x4 = 6,   3x1 − x2 + x3 − x4 = 0. (DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4)  x1 + x2 + x3 + x4 = 0,     x2 + x3 + x4 + x5 = 0,    35. x1 + 2x2 + 3x4 = 2,   x2 + 2x3 + 3x4 = −2,    x3 + 2x4 + 3x5 = 2.  (DS. x1 = 1, x2 = −1, x3 = 1, x4 = −1, x5 = 1)
  • 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a . ınh ´ e ınh 163  3x1 − x2 + x3 + 2x5 = 18,     2x1 − 5x2 + x4 + x5 = −7, 36. x1 − x4 + 2x5 = 8,   2x2 + x3 + x4 − x5 = 10,     x1 + x2 − 3x3 + x4 = 1.  (DS. x1 = 5, x2 = 4, x3 = 3, x4 = 1, x5 = 2)
  • 164 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh ’ a e Giai v` biˆn luˆn hˆ . a e . . phu.o.ng tr` tuyˆn t´ theo tham sˆ  ınh ´ e ınh ´ o x1 + 2x2 + 3x3 = −1,  37. 2x1 + 2x2 + 2x3 = 3,   5x1 + 6x2 + 7x3 = λ. ´ e. o’ (DS. a) Nˆu λ = 4 nghiˆm tˆng qu´t l` x1 = 5 + x3 , e a a −7 − 4x3 x2 = , x3 t`y y; u ´ 2 b) Nˆu λ = 4 hˆ khˆng tu.o.ng th´ch) e´ e o . ı  2x1 − x2 + λx3 = 0,   38. x1 − 2x2 − 2x3 = −3,   x1 + x2 + 3x3 = −1. ´ e o . e . ´ (DS. a) Nˆu λ = 1, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt e a −5λ − 11 2λ − 22 4 x1 = , x2 = , x3 = ; 3(λ − 1) 3(λ − 1) λ−1 b) Nˆu λ = 1 hˆ khˆng tu.o.ng th´ch) ´ e e o . ı  λx1 + x2 + x3 = 1, 39. x1 + λx2 + x3 = 1,   x1 + x2 + λx3 = 1. ´ e o . e . ´ (DS. a) Nˆu λ = −2, 1 hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt x1 = x2 = x3 = e a 1 λ+2 b) Nˆu λ = −2 hˆ khˆng tu.o.ng th´ e´ e o . ıch; ´ . ´ e . . o. ´ c) Nˆu λ = 1 hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm phu thuˆc hai tham sˆ v` x1 + e e o o o o a x2 + x3 = 1)  x1 + x2 + 2x3 = −3,  40. 3x1 + 2x2 + 4x3 = a,   5x1 + 3x2 + 6x3 = a2 . (DS. a) Nˆu a = −1 ho˘c a = 3 hˆ tu.o.ng th´ch v` x1 = 5, ´ e a . e . ı a x2 = −8 − 2x3 , x3 t`y y; u ´ b) Nˆu a = −1, a = 3 th` hˆ khˆng tu.o.ng th´ch) ´ e ı e o . ı
  • 4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt e . ınh ´ e ınh ` a ´ a 165  (1 + λ)x1 + x2 + x3 = 1,  41. x1 + (1 + λ)x2 + x3 = λ,   x1 + x2 + (1 + λ)x3 = λ2 . ´ e o . e . ´ (DS. a) Nˆu λ(λ + 3) = 0 hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt e a 2 − λ2 2λ − 1 λ3 + 2λ2 − λ − 1 x1 = , x2 = , x3 = · λ(λ + 3) λ(λ + 3) λ(λ + 3) b) Nˆu λ = 0 ho˘c λ = −3 hˆ khˆng tu.o.ng th´ch) ´ e a . e o . ı  x1 + x2 + x3 + λx4 = 1,    x1 + x2 + λx3 + x4 = −1,42. x1 + λx2 + x3 + x4 = 0,     λx1 + x2 + x3 + x4 = 0. a e o . e . ´ (DS. a) Khi λ = −3 v` λ = 1 hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt; a 1 1 x1 = 0, x2 = 0, x3 = − , x4 = · λ−1 λ−1 . o’ b) Khi λ = −3 nghiˆm tˆng qu´t l` e a a 1 1 1 x1 = + x4; x2 = + x4 , x3 = + x4; x3 t`y y; u ´ 4 4 2 c) Khi λ = 1 hˆ khˆng tu.o.ng th´ch) e o . ı4.3 Hˆ phu.o.ng tr` e. ´ ınh thuˆn ınh tuyˆn t´ e ` a nhˆt a´Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ du.o.c goi l` hˆ thuˆn nhˆt nˆu sˆ hang tu. e. ınh ´ e ınh . . a e . ` a ´ ´ ´ a e o . . ’ ˜do cua mˆ i phu o .o.ng tr` dˆu b˘ng 0. e ` ınh ` a e . ` a ´ Hˆ thuˆn nhˆt c´ dang a o .  a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = 0,  ... ... ... ... ... (4.10)   am1x1 + am2x2 + · · · + amn xn = 0.
  • 166 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh Hˆ phu.o.ng tr` thuˆn nhˆt luˆn luˆn tu.o.ng th´ v` n´ c´ ´ nhˆt e . ınh ` a ´ a o o ıch ı o o ıt a ´ l` nghiˆm-khˆng. Nghiˆm n`y du . a e o e a .o.c goi l` nghiˆm tˆm thu.`.ng. e ` . . . a . a o D.nh l´. 1+ Hˆ (4.10) c´ nghiˆm khˆng tˆm thu.`.ng khi v` chı khi -i y e . o e. o ` a o a ’ ’ a ’ e e hang cua ma trˆn cua hˆ b´ ho o a ’ e o .n sˆ ˆn cua hˆ d´. ´ ’ . . . . 2 Hˆ thuˆn nhˆt n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ nghiˆm khˆng tˆm + e . ` a ´ a ınh o ’ a o e . o `a thu.`.ng khi v` chı khi dinh th´.c D cua hˆ b˘ng 0. o a ’ . u ’ e `. a ’ ’ Gia su . x1 = α1, x2 = α2, . . . , xn = αn l` nghiˆm khˆng tˆm thu.`.ng a e o ` a o . n`o d´ cua hˆ (4.10). Nghiˆm n`y c´ thˆ xem nhu. mˆt h`ng gˆm n a o ’ e . e. a o e ’ o a . ` o ` a ’ phˆn tu . e1 = (α1 , α2 , . . . , αn ). Khi d´ theo dinh ngh˜ h`ng λe1 = (λα1 , . . . , λαn ) c˜ng l` nghiˆm o . ıa, a u a e . ’ ’ ’ . h`ng cua (4.10). Gia su a e2 = (β1, β2 , . . . , βn ) l` mˆt nghiˆm kh´c cua (4.10). Khi d´ h`ng tˆ ho.p tuyˆn t´ a o. e . a ’ o a ’ o . ´ e ınh def λe1 + µe2 = λ1 α1 + µβ1 , λ1 α2 + µβ2, . . . , λαn + µβn ) c˜ng l` nghiˆm cua (4.10). T`. d´: moi tˆ ho.p tuyˆn t´ c´c nghiˆm u a e . ’ u o . o .’ ´ e ınh a e . ’ e . ` a´ u a e . ’ o cua hˆ thuˆn nhˆt (4.10) c˜ng l` nghiˆm cua n´. a Dinh ngh˜ 1. 1+ C´c h`ng e1 , e2, . . . , em du.o.c goi l` phu thuˆc tuyˆn -. ıa a a . . a . o. ´ e t´nh nˆu c´ thˆ t`m du.o.c c´c sˆ γ1 , γ2 , . . . , γm khˆng dˆng th`.i b˘ng 0 ı ´ e o e ı ’ . a o ´ o ` o o ` a sao cho γ1 e1 + γ2 e2 + · · · + γm em = 0. (4.11) 2+ Nˆu c´c sˆ γi , i = 1, m nhu. vˆy khˆng tˆn tai (t´.c l` d˘ng ´ e a o ´ a. o ` o . u a a ’ th´.c (4.11) chı thoa m˜n khi γ1 = γ2 = · · · = γm = 0) th` ngu.`.i ta u ’ ’ a ı o o ` a o a . . ´ n´i r˘ng e1, e2, . . . , em dˆc lˆp tuyˆn t´ e ınh. -. e o a . . . ´ Dinh ngh˜ 2. Hˆ dˆc lˆp tuyˆn t´ c´c nghiˆm ıa e ınh a e . e1, e2, . . . , em
  • 4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt e . ınh ´ e ınh ` a ´ a 167cua hˆ phu.o.ng tr` (4.10) du.o.c goi l` hˆ nghiˆm co. ban cua n´ nˆu ’ e . ınh . . a e . e . ’ ’ o e ´ ˜ ’ ` a o .mˆ i nghiˆm cua hˆ (4.10) dˆu l` tˆ ho o e e e ’ .p tuyˆn t´nh cua c´c nghiˆm ´ e ı ’ a e . . .e1, e2, . . . , em .Dinh l´ (vˆ su. tˆn tai hˆ nghiˆm co. ban). Nˆu hang cua ma trˆn-. y ` . `e o . e . e . ’ ´ e . ’ a .cua hˆ (4.10) b´ ho.n sˆ ˆn th` hˆ (4.10) c´ hˆ nghiˆm co. ban. ’ e . e ´ ’ oa ı e. o e . e . ’
  • 168 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh Phu.o.ng ph´p t` hˆ nghiˆm co. ban a ım e . e . ’ . so. (gia su. d´ l` x1 , . . . , xr ) v` thu `a e ` a a . ’ 1) Dˆu tiˆn cˆn t´ch ra hˆ ˆn co ’ ea ’ ’ o a a du.o.c hˆ . e .  a11x1 + · · · + a1r xr = −a1r+1xr+1 − · · · − a1n xn ,  ... ... ... ... ... ... ... (4.12)   ar1x1 + · · · + arr xr = −arr+1xr+1 − · · · − arn xn . 2) Gia su. hˆ (4.12) c´ nghiˆm l` ’ ’ e . o e a . (i) (i) xi = α1 , α2 , . . . , α(i) ; xr+1, . . . , xn ) ; r i = 1, r. Cho c´c ˆn tu. do c´c gi´ tri ’ a a . a a . xr+1 = 1, xr+2 = 0, . . . , xn = 0 ta thu du.o.c . (1) (1) e1 = α1 , α2 , . . . , α(1) ; 1, 0, . . . , 0 r Tu.o.ng tu., v´.i xr+1 = 0, xr+2 = 1, xr+3 = 0, . . . , xn = 0 ta c´ . o o (2) e2 = α1 , . . . , α(2); 0, 1, 0, . . . , 0 , . . . r v` sau c`ng v´.i xr+1 = 0, . . . , xn−1 = 0, xn = 1 ta thu du.o.c a u o . (k) ek = (α1 , . . . , α(k) , 0, . . . , 1), r k = n − r. Hˆ c´c nghiˆm e1, e2, . . . , ek v`.a thu du.o.c l` hˆ nghiˆm co. ban. e a . e . u . a e . e . ’ CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. T` nghiˆm tˆng qu´t v` hˆ nghiˆm co. ban cua hˆ phu.o.ng ı . ım e o . ’ a a e . e . ’ ’ e . tr` ınh 2x1 + x2 − x3 + x4 = 0, 4x1 + 2x2 + x3 − 3x4 = 0.
  • 4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt e . ınh ´ e ınh ` a ´ a 169 Giai. 1) V` sˆ phu.o.ng tr` b´ ho.n sˆ ˆn nˆn tˆp ho.p nghiˆm cua ’ ı o´ ınh e ´ ’ oa e a . . e . ’hˆ l` vˆ han. e a o . . Hiˆn nhiˆn hang cua ma trˆn cua hˆ b˘ng 2 v` trong c´c dinh th´.c ’ e e . ’ a ’ e ` . . a ı a . u ´con cˆp 2 c´ dinh th´ a o . u.c con 2 −1 = 0. 4 1Do vˆy hˆ d˜ cho tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ a e a . . o e . 2x1 − x3 = −x1 − x4, 4x1 + x3 = −2x2 + 3x4 .T`. d´ suy ra u o −3x2 + 2x4 5 x1 = , x3 = x 4 . (4.13) 6 3Do d´ tˆp ho.p nghiˆm cua hˆ c´ dang o a. . e . ’ e o . . −3α + 2β 5 ; α; β; β ∀ α, β ∈ R (*) 6 3 2) Nˆu trong (4.13) ta cho c´c ˆn tu. do bo.i c´c gi´ tri lˆn lu.o.t ´ e ’ a a . ’ a a . ` a . `ng c´c phˆn tu. cua c´c cˆt dinh th´.cb˘ a a ` a ’ ’ a o . . u 1 0 (= 0) 0 1th` thu du.o.c c´c nghiˆm ı . a e . 1 1 5 e1 = − ; 1; 0; 0 v` e2 = a ; 0; ; 1 . 2 3 3D´ l` hˆ nghiˆm co. ban cua hˆ phu.o.ng tr`nh d˜ cho v` nghiˆm tˆng o a e . e . ’ ’ e . ı a a e . o’qu´t cua hˆ d˜ cho c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang a ’ e a . ’ ’ o e e ˜ e o . 1 1 5 X = λe1 + µe2 = λ − ; 1; 0; 0 + µ ; 0; ; 1 2 3 3
  • 170 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh o a a a ` a ´ trong d´ λ v` µ l` c´c h˘ng sˆ t`y y: o u ´ −3λ + 2µ 5 X= ; λ; µ; µ ∀ λ, µ ∈ R . 6 3 Khi cho λ v` µ c´c gi´ tri sˆ kh´c nhau ta s˜ thu du.o.c c´c nghiˆm a a a . o a´ e . a e . riˆng kh´c nhau. e a ı . ’ e V´ du 2. Giai hˆ .  x1 + 2x2 − x3 = 0,  −3x1 − 6x2 + 3x3 = 0,   7x1 + 14x2 − 7x3 = 0. Giai. Hˆ d˜ cho tu.o.ng du.o.ng v´.i phu.o.ng tr` ’ e a . o ınh x1 + 2x2 − x3 = 0. T`. d´ suy ra nghiˆm cua hˆ l`: u o e . ’ e a . x1 = −2x2 + x3 , x2 = x2 , x3 = x3 ; x2 v` x3 t`y y, a u ´ hay du.´.i dang kh´c o . a e = (−2x2 + x3 ; x2; x3). Cho x2 = 1, x3 = 0 ta c´ o e1 = (−2; 1; 0), lai cho x2 = 0, x3 = 1 ta thu du.o.c . . e2 = (1, 0, 1). a o a . . ´ e ınh a . e . ’ e ` o Hai h`ng e1 v` e2 l` dˆc lˆp tuyˆn t´ v` moi nghiˆm cua hˆ dˆu c´ a a . e dang . X = λe1 + µe2 = (−2λ + µ; λ; µ)
  • 4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt e . ınh ´ e ınh ` a ´ a 171 o a ´trong d´ λ v` µ l` c´c sˆ t`y y. a a o u ´V´ du 3. T` nghiˆm tˆng qu´t v` hˆ nghiˆm co. ban cua hˆ phu.o.ng ı . ım e o . ’ a a e . e. ’ ’ e .tr` ınh  x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0,  x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 7x5 = 0, 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 + 5x5 = 0,   x1 + 5x2 + 7x3 + 6x4 + 10x5 = 0. Giai. B˘ng c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp, dˆ d`ng thˆy r˘ng hˆ d˜ cho ’ ` a a e ´ ’ e o ´ a ˜ a e ´ ` a a e a . o e ’ .a vˆ hˆ bˆc thang sau dˆyc´ thˆ du ` e a e . . a  x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0,  x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0,   x4 = 0.Ta s˜ chon x1 , x2 v` x4 l`m ˆn co. so.; c`n x3 v` x5 l`m ˆn tu. do. Ta e . a a a ’ ’ o a ’ a a .c´ hˆ o e.  x1 + 3x2 + 2x4 = −3x3 − 4x5 ,  x2 + x4 = −2x3 − 3x5 ,   x4 = 0. Giai hˆ n`y ta thu du.o.c nghiˆm tˆng qu´t l` ’ e a . . e . o’ a a x1 = 3x3 + 5x5 , x2 = −2x3 − 3x5 , x4 = 0.Cho c´c ˆn tu. do lˆn lu.o.t c´c gi´ tri b˘ng x3 = 1, x5 = 0 (khi d´ ’ a a . ` a . a a . a ` ox1 = 3, x2 = 2, x3 = 1, x4 = 0, x5 = 0) v` cho x3 = 0, x5 = 1 (khi d´ a ox1 = 5, x2 = 3, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 1) ta thu du.o.c hˆ nghiˆm co. ban . e . e . ’ e1 = (3; −2; 1; 0; 0), e2 = (5; −3; 0; 0; 1).
  • 172 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh T`. d´ nghiˆm tˆng qu´t c´ thˆ viˆt du.´.i dang u o e . o’ a o e e ’ ´ o . X = λ(3; −2; 1; 0; 0) + µ(5; −3; 0; 0; 1) = (3λ + 5µ; −2λ − 3µ; λ; 0; µ); ∀ λ, µ ∈ R. B˘ng c´ch cho λ v` µ nh˜.ng gi´ tri sˆ kh´c nhau ta thu du.o.c c´c ` a a a u a . o a ´ . a a ` nghiˆm riˆng kh´c nhau. Dˆng th` e e o o.i, moi nghiˆm riˆng c´ thˆ thu e e o e ’ . . . du.o.c t`. d´ b˘ng c´ch chon c´c hˆ sˆ λ v` µ th´ch ho.p. . u o ` a a . a e o . ´ a ı .
  • 4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt e . ınh ´ e ınh ` a ´ a 173 ` ˆ BAI TAP . Giai c´c hˆ phu.o.ng tr` thuˆn nhˆt ’ a e . ınh ` a a´  x1 + 2x2 + 3x3 = 0, 1. 2x1 + 3x2 + 4x3 = 0, .   3x1 + 4x2 + 5x3 = 0. (DS. x1 = α, x2 = −2α, x3 = α, ∀ α ∈ R)  x1 + x2 + x3 = 0, 2. 3x1 − x2 − x3 = 0, . (DS. x1 = x2 = x3 = 0)   2x1 + 3x2 + x3 = 0. 3x1 − 4x2 + x3 − x4 = 0,3. 6x1 − 8x2 + 2x3 + 3x4 = 0. 4α − β (DS. x1 = , x2 = α, x3 = β, x4 = 0; α, β ∈ R t`y y) u ´ 3 3x1 + 2x2 − 8x3 + 6x4 = 0,4. x1 − x2 + 4x3 − 3x4 = 0. −α + 4β (DS. x1 = 0, x2 = α, x3 = β, x4 = ; α, β ∈ R t`y y) u ´  3 x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = 0, 5. x1 + x2 − x3 + 2x4 = 0,   4x1 − 5x2 + 8x3 + x4 = 0. 1 3 (DS. x1 = − α, x2 = α, x3 = α, x4 = 0; α ∈ R t`y y) u ´ 4 4 3x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0, 6. x1 + x2 − x3 − x4 = 0,   5x1 + x2 − x3 = 0. α 5α (DS. x1 = − , x2 = + β, x3 = α, x4 = β; α, β ∈ R t`y y) u ´ 4 4  2x1 + x2 + x3 = 0,   3x1 + 2x2 − 3x3 = 0,7. x1 + 3x2 − 4x3 = 0,    5x1 + x2 − 2x3 = 0.
  • 174 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh α 9α (DS. x1 = , x2 = , x3 = α; α ∈ R t`y y) u ´ 7 7
  • 4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt e . ınh ´ e ınh ` a ´ a 175 T` nghiˆm tˆng qu´t v` hˆ nghiˆm co. ban cua c´c hˆ phu.o.ng ım e . o’ a a e . e . ’ ’ a e .tr` ınh 9x1 + 21x2 − 15x3 + 5x4 = 0,8. 12x1 + 28x2 − 20x3 + 7x4 = 0. 7 5 . o’ (DS. Nghiˆm tˆng qu´t: x1 = − x2 + x3, x4 = 0. e a 3 3 Hˆ nghiˆm co. ban e1 = (−7, 3, 0, 0), e2 = (5, 0, 3, 0)) e . e . ’  14x1 + 35x2 − 7x3 − 63x4 = 0, 9. −10x1 − 25x2 + 5x3 + 45x4 = 0,   26x1 + 65x2 − 13x3 − 117x4 = 0. . o’ (DS. Nghiˆm tˆng qu´t: x3 = 2x1 + 5x2 − 9x3. e a Hˆ nghiˆm co. ban: e1 = (1, 0, 2, 0); e2 = (0, 1, 5, 0); e3 = e . e . ’(0, 0, −9, 1))  x1 + 4x2 + 2x3 − 3x5 = 0, 10. 2x1 + 9x2 + 5x3 + 2x4 + x5 = 0,   x1 + 3x2 + x3 − 2x4 − 9x5 = 0. . o’ (DS. Nghiˆm tˆng qu´t: x1 = 2x3 + 8x4 , x2 = −x2 − 2x4; x5 = 0. e a Hˆ nghiˆm co. ban: e1 = (2, −1, 1, 0, 0); e2 = (8, −2, 0, 1, 0) e . e . ’  x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0,  3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0,11. 4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0,    3x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0. . ’ (DS. Nghiˆm tˆng qu´t: x1 = 8x3 − 7x4 , x2 = −6x3 + 5x4 . e o a Hˆ nghiˆm co. ban: e1 = (8, −6, 1, 0), e2 = (−7, 5, 0, 1)) e . e . ’  x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0,   2x1 + 4x2 + 2x3 − x4 = 0,12. x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 0,   4x1 + 8x2 − 2x3 + x4 = 0. . ’ (DS. Nghiˆm tˆng qu´t x1 = −2x2 , x4 = 2x3 . e o a Hˆ nghiˆm co. ban: e1 = (−2, 1, 0, 0), e2 = (0, 0, 1, 2)) e . e . ’
  • 176 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e . ı ´ e ınh  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 0,    2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 + x5 = 0,   13. 3x1 + 4x2 + 5x3 + x4 + 2x5 = 0,   x1 + 3x2 + 5x3 + 12x4 + 9x5 = 0,    4x1 + 5x2 + 6x3 − 3x4 + 3x5 = 0. e o . ’ (DS. Nghiˆm tˆng qu´t x1 = x3 +15x5 , x2 = −2x3 − 12x5 , x4 = x5. a Hˆ nghiˆm co ’ e e . ban: e1 = (1, −2, 1, 0, 0), e2 = (15, −12, 0, 1, 1)) . .
  • Chu.o.ng 5Khˆng gian Euclide o Rn 5.1 -. ` Dinh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ ıa o e a o o. ´ a e . ban vˆ vecto. . . . . . . . . . . 177 kh´i niˆm co ’ ` e . 5.2 Co. so.. Dˆi co. so. . . . . . . . . . . . . . . . . 188 ’ -o ’ ’ 5.3 Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn201 o ’ . a’ 5.4 ´ ’ ´ Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ . . . . . . . . . . . 213 e e o e ınh 5.4.1 -. Dinh ngh˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 ıa 5.4.2 a ’ Ma trˆn cua ph´p bdtt . e . . . . . . . . . . . 213 5.4.3 C´c ph´p to´n . . . . . . . . . . . . . . . . 215 a e a 5.4.4 Vecto. riˆng v` gi´ tri riˆng . . . . . . . . . 216 e a a . e5.1 -. ıa o ` Dinh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` e a mˆt sˆ kh´i niˆm co. ban vˆ vecto. o o . ´ a e . ’ ` e1◦. Gia su. n ∈ N . Tˆp ho.p moi bˆ c´ thˆ c´ (x1, x2, . . . , xn ) gˆm n ’ ’ a . . . o o e o . ’ ` osˆ thu.c (ph´.c) du.o.c goi l` khˆng gian thu.c (ph´.c) n-chiˆu v` du.o.c ´ o . u . . a o . u ` e a .
  • 178 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn k´ hiˆu l` Rn (Cn ). Mˆ i bˆ sˆ d´ du.o.c chı bo.i y e a . ˜ . ´ o o o o . ’ ’ x = (x1, x2, . . . , xn ) v` du.o.c goi l` diˆm hay vecto. cua Rn (Cn ). C´c sˆ x1 , . . . , xn du.o.c a . . a e ’ ’ a o ´ . goi l` toa dˆ cu . a . o . ’ a diˆm (cua vecto.) x hay c´c th`nh phˆn cua vecto. x. e’ ’ a a ` a ’ Hai vecto . x = (x1 , . . . , xn ) v` y = (y1, . . . , yn ) cua Rn du.o.c xem l` a ’ a . ` ´ b˘ng nhau nˆu c´c toa dˆ tu a e a . o .o.ng u.ng cua ch´ng b˘ng nhau ´ ’ u ` a . xi = yi ∀ i = 1, n. C´c vecto. x = (x1, . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) c´ thˆ cˆng v´.i nhau a o e o’ . o v` c´ thˆ nhˆn v´.i c´c sˆ α, β, . . . l` sˆ thu.c nˆu khˆng gian du.o.c x´t ’ a o e a o a o ´ ´ a o . e ´ o . e .c v` l` sˆ ph´.c nˆu khˆng gian du.o.c x´t l` khˆng l` khˆng gian thu a a o u e a o ´ ´ o e a o . . gian ph´u.c. Theo dinh ngh˜ 1+ tˆng cua vecto. x v` y l` vecto. . ıa: o’ ’ a a def x + y = (x1 + y1, x2 + y2 , . . . , xn + yn ). (5.1) 2+ t´ cua vecto. x v´.i sˆ α hay t´ch sˆ α v´.i vecto. x l` vecto. ıch ’ o o ´ ı ´ o o a def αx = xα = (αx1 , αx2 , . . . , αxn ). (5.2) Hai ph´p to´n 1+ v` 2+ thoa m˜n c´c t´nh chˆt (tiˆn dˆ) sau dˆy e a a ’ a a ı ´ a e ` e a n n I. x + y = y + x, ∀ x, y ∈ R (C ), II. (x + y) + z = x + (y + z) ∀ x, y, z ∈= Rn (Cn ), III. Tˆn tai vecto.- khˆng θ = (0, 0, . . . , 0) ∈ Rn sao cho ` . o o n x + θ = θ + x = x, IV. Tˆn tai vecto. dˆi −x = (−1)x = (−x1, −x2, . . . , −xn ) sao cho ` . o ´ o x + (−x) = θ, V. 1 · x = x,
  • 5.1. D. nh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ kh´i niˆm co. ban vˆ vecto. -i ıa o ` a o o a e e . ´ . ’ ` e 179 VI. α(βx) = (αβ)x, α, β ∈ R (C), VII. (α + β)x = αx + βx, VIII. α(x + y) = αx + αytrong d´ α v` β l` c´c sˆ, c`n x, y ∈ Rn (Cn ). o a a a o o ´D.nh ngh˜ 5.1.1. 1+ Gia su. V l` tˆp ho.p khˆng rˆ ng t`y y v´.i c´c-i ıa ’ ’ a a . . o ˜ o u ´ o a ` a ’phˆn tu . du.o.c k´ hiˆu l` x, y, z, . . . Tˆp ho.p V du.o.c goi l` khˆng gian . y e a . a . . . . a otuyˆn t´ (hay khˆng gian vecto.) nˆu ∀ x, y ∈ V x´c dinh du.o.c phˆn ´ e ınh o e´ a . . `atu’. x + y ∈ V (goi l` tˆng cua x v` y) v` ∀ α ∈ R (C) v` ∀ x ∈ V x´c ’ ’ . a o a a a adinh du . .o.c phˆn tu. αx ∈ V (goi l` t´ch cua sˆ α v´.i phˆn tu. x) sao ` a ’ ’ o´ `a ’ . . a ı ocho c´c tiˆn dˆ I-VIII du.o.c thoa m˜n. a e ` e . ’ a ´ Khˆng gian tuyˆn t´ v´ o e ınh o .i ph´p nhˆn c´c phˆn tu. cua n´ v´.i c´c e a a ` a ’ ’ o o a ´sˆ thu o . .c (ph´.c) du.o.c goi l` khˆng gian tuyˆn t´ thu.c (tu.o.ng u.ng: u ´ . . a o e ınh . ´ph´.c). u Khˆng gian Rn c´ thˆ xem nhu. mˆt v´ du vˆ khˆng gian tuyˆn o o e ’ o ı . ` . e o ´ e ınh, c´c v´ du kh´c s˜ du . e `t´ a ı . a e .o.c x´t vˆ sau. V` trong gi´o tr`nh n`y ta e a a ı aluˆn gia thiˆt r˘ng c´c khˆng gian du.o.c x´t l` nh˜.ng khˆng gian thu.c. o ’ e ` ´ a a o . e a u o .2◦. Cho hˆ gˆm m vecto. n-chiˆu e ` . o ` e x1 , x2, . . . , xm. (5.3)Khi d´ vecto. dang o . y = α1 x1 + α2x2 + · · · + αm xm ; α1 , α2, . . . , αm ∈ R.du.o.c goi l` tˆ ho.p tuyˆn t´ cua c´c vecto. d˜ cho hay vecto. y biˆu . . a o . ’ ´ e ınh ’ a a e’diˆn tuyˆn t´ du.o.c qua c´c vecto. (5.3). ˜ e ´ e ınh . aDinh ngh˜ 5.1.2. 1+ Hˆ vecto. (5.3) du.o.c goi l` hˆ dˆc lˆp tuyˆn-. ıa e . . . a e o a . . . ´ e e u ’ ´t´ (dltt) nˆu t` a ınh . d˘ng th´.c vecto. u λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λm xm = θ (5.4)k´o theo λ1 = λ2 = · · · = λm = 0. e
  • 180 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn 2+ Hˆ (5.3) goi l` hˆ phu thuˆc tuyˆn t´nh (pttt) nˆu tˆn tai c´c sˆ e. . a e . . o . ´ e ı ´ o e ` . a o ´ λ1 , λ2 , . . . , λm khˆng dˆng th`.i b˘ng 0 sao cho d˘ng th´.c (5.4) du.o.c o ` o o ` a ’ a u . ’ thoa m˜n. a Sˆ nguyˆn du.o.ng r du.o.c goi l` hang cua hˆ vecto. (5.3) nˆu ´ o e . . a . ’ e . ´ e a) C´ mˆt tˆp ho.p con gˆm r vecto. cua hˆ (5.3) lˆp th`nh hˆ dltt. o o a .. . ` o ’ e . a . a e . ` b) Moi tˆp con gˆm nhiˆu ho ` .n r vecto. cua hˆ (5.3) dˆu phu thuˆc ’ e ` . a . o e . e . o . ´n t´ tuyˆ ınh. e Dˆ t` hang cua hˆ vecto. ta lˆp ma trˆn c´c toa dˆ cua n´ ’ e ım . ’ e . a . a a . o ’ o . .   a11 a12 . . . a1n    a21 a22 . . . a2n  A=  . . .   . . . . .. . .  .  am1 am2 . . . amn D.nh l´. Hang cua hˆ vecto. (5.3) b˘ng hang cua ma trˆn A c´c toa -i y . ’ e . ` a . ’ a . a . o ’ dˆ cua n´. . o . d´, dˆ kˆt luˆn hˆ vecto. (5.3) dltt hay pttt ta cˆn lˆp ma trˆn T` o e e u ’ ´ a e ` a a . a . . . . ’ toa dˆ A cua ch´ng v` t´nh r(A): . o u a ı ´ 1) Nˆu r(A) = m th` hˆ (5.3) dˆc lˆp tuyˆn t´ e ı e. o a . . ´ e ınh. ´ 2) Nˆu r(A) = s < m th` hˆ (5.3) phu thuˆc tuyˆn t´ e ı e . . o . ´ e ınh. CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. Ch´.ng minh r˘ng hˆ vecto. a1 , a2, . . . , am (m > 1) phu thuˆc ı . u ` a e. . o. ´n t´ khi v` chı khi ´t nhˆt mˆt trong c´c vecto. cua hˆ l` tˆ ho.p tuyˆ ınh e a ’ ı ´ o a . a ’ e a o . ’ . ´ e ınh ’ a tuyˆn t´ cua c´c vecto o . . c`n lai. Giai. 1+ Gia su. hˆ a1 , a2, . . . , am phu thuˆc tuyˆn t´ ’ ’ ’ e . . o . ´ e ınh. Khi d´ o tˆn tai c´c sˆ α1 , α2, . . . , αm khˆng dˆng th`.i b˘ng 0 sao cho ` . a o o ´ o `o o ` a α1 a1 + α2 a2 + · · · + αm am = θ. Gia su. αm = 0. Khi d´ ’ ’ o αi am = β1a1 + β2a2 + · · · + βm−1am−1 , βi = αm
  • 5.1. D. nh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ kh´i niˆm co. ban vˆ vecto. -i ıa o ` a o o a e e . ´ . ’ ` e 181t´.c l` am biˆu diˆn tuyˆn t´ qua c´c vecto. c`n lai. u a e’ ˜ e ´ e ınh a o . + 2 Ngu . . .o.c lai, ch˘ng han nˆu vecto. am biˆu diˆn tuyˆn t´ qua ’ a ´ e ’ e ˜ e ´ e ınh .a1, a2, . . . , am−1 am = β1 a1 + β2a2 + · · · + βm−1 am−1th` ta c´ ı o β1 a1 + β2a2 + · · · + βm−1 am−1 + (−1)am = θ.Do d´ hˆ d˜ cho phu thuˆc tuyˆn t´ v` trong d˘ng th´.c trˆn c´ hˆ o e a . . o . ´ e ınh ı ’ a u e o e .sˆ o a a . e ’ a ´ cua am l` kh´c 0 (cu thˆ l` = −1). ’V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng moi hˆ vecto. c´ ch´.a vecto.-khˆng l` hˆ ı . u ` a . e . o u o a e . . . ´n t´phu thuˆc tuyˆ ınh. o e Giai. Vecto.- khˆng luˆn luˆn biˆu diˆn du.o.c du.´.i dang tˆ ho.p ’ o o o ’ e ˜ e . o . ’ o .tuyˆn t´ cua c´c vecto. a1, a2 , . . . , am : ´ e ınh ’ a θ = 0 · a1 + 0 · a2 + · · · + 0 · am o . ıa e . . o . ´Do d´ theo dinh ngh˜ hˆ θ, a1, . . . , am phu thuˆc tuyˆn t´ (xem v´ e ınh ıdu 1). .V´ du 3. Ch´.ng minh r˘ng moi hˆ vecto. c´ ch´.a hai vecto. b˘ng ı . u ` a . e . o u ` a a e. . o . ´nhau l` hˆ phu thuˆc tuyˆn t´ e ınh. ’ ’ ’ Giai. Gia su . trong hˆ a1, a2, . . . , an c´ hai vecto. a1 = a2. Khi d´ e o o . ’ ´ta c´ thˆ viˆt o e e a1 = 1 · a2 + 0 · a3 + · · · + 0 · amt´.c l` vecto. a1 cua hˆ c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang tˆ ho.p tuyˆn t´ u a ’ e o e e . ’ ’ ˜ e o . ’ o . ´ e ınhcua c´c vecto. c`n lai. Do d´ hˆ phu thuˆc tuyˆn t´ (v´ du 1). ’ a o . o e . . o . ´ e ınh ı .V´ du 4. Ch´.ng minh r˘ng nˆu hˆ m vecto. a1, a2, . . . , am dˆc lˆp ı . u ` a ´ e e . o a . . ´n t´ th` moi hˆ con cua hˆ d´ c˜ng dˆc lˆp tuyˆn t´tuyˆ ınh ı . e e . ’ e o u . o a . . ´ ınh. e ’ Giai. Dˆe’ cho x´c dinh ta x´t hˆ con a1 , a2, . . . , ak , k < m v` ch´.ng a . e e . a u `minh r˘ng hˆ con n`y dˆc lˆp tuyˆn t´ a e. a o a . . ´ e ınh.
  • 182 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn Gia su. ngu.o.c lai: hˆ con a1, a2, . . . , ak phu thuˆc tuyˆn t´ ’ ’ . . e . . o . ´ e ınh. Khi d´ ta c´ c´c d˘ng th´.c vecto. o o a a ’ u α1 a1 + α2 a2 + · · · + αk ak = θ o o ıt a ´ o . . ´ a e o a ´ trong d´ c´ ´ nhˆt mˆt trong c´c hˆ sˆ α1 , α2, . . . , αk kh´c 0. Ta viˆt e d˘ng th´.c d´ du.´.i dang a’ u o o . α1 a1 + α2 A2 + · · · + αk ak + αk+1 ak+1 + · · · + αm am = θ trong d´ ta gia thiˆt αk+1 = 0, . . . , αm = 0. D˘ng th´.c sau c`ng n`y o ’ ´ e ’ a u u a ch´.ng to hˆ a1 , a2, . . . , am phu thuˆc tuyˆn t´ u ’ e. . o . ´ ˜ e ınh. Mˆu thuˆ n. a a V´ du 5. Ch´.ng minh r˘ng hˆ vecto. cua khˆng gian Rn ı . u ` a e . ’ o e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), ... ... ... ... en = (0, . . . , 0, 1) a o a . . ´ l` dˆc lˆp tuyˆn t´ e ınh. Giai. T`. d˘ng th´.c vecto. ’ u a ’ u α1 e1 + α2 e2 + · · · + αn en = θ ` suy ra r˘ng a (α1 , α2, . . . , αn ) = (0, 0, . . . , 0) ⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0. a o e . o a . . ´ v` do d´ hˆ e1, e2, . . . , en dˆc lˆp tuyˆn t´ e ınh. V´ du 6. Ch´.ng minh r˘ng moi hˆ gˆm n + 1 vecto. cua Rn l` hˆ phu ı . u ` a . e ` . o ’ a e. . o . ´n t´ thuˆc tuyˆ ınh. e Giai. Gia su. n + 1 vecto. cua hˆ l`: ’ ’ ’ ’ e a. a1 = (a11, a21, . . . , an1 ) a2 = (a12, a22, . . . , an2 ) ... ... ... ... an+1 = (a1,n+1, a2,n+1 , . . . , an,n+1 ).
  • 5.1. D. nh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ kh´i niˆm co. ban vˆ vecto. -i ıa o ` a o o a e e . ´ . ’ ` e 183Khi d´ t`. d˘ng th´.c vecto. o u a ’ u x1a1 + x2 a2 + · · · + xn an + xn+1 an+1 = θsuy ra  a11x1 + a12x2 + · · · + a1n+1 xn+1 = 0,   ... ... ... ... ... ...   an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann+1 xn+1 = 0.D´ l` hˆ thuˆn nhˆt n phu.o.ng tr` v´.i (n + 1) ˆn nˆn hˆ c´ nghiˆm o a e . ` a a´ ınh o ’ a e e o . e . o ` a .`.ng v`khˆng tˆm thu o a (x1 , x2, . . . , xn , xn+1 ) = (0, 0, . . . , 0). o . ıa e a e a . . o . ´Do d´ theo dinh ngh˜ hˆ d˜ x´t l` phu thuˆc tuyˆn t´ e ınh.V´ du 7. T` hang cua hˆ vecto. trong R4 ı . ım . ’ e. a1 = (1, 1, 1, 1); a2 = (1, 2, 3, 4); a3 = (2, 3, 2, 3); a4 = (2, 4, 5, 6). ’ Giai. Ta lˆp ma trˆn c´c toa dˆ v` t`m hang a . a a . o a ı . . . ’ o cua n´. Ta c´ o     1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 h − h → h 0 1 2 3   2 1 2  A=  −→   → 2 3 2 3 h3 − 2h1 → h3 0 1 0 1 h3 − h2 → h3 3 4 5 6 h4 − 3h1 → h4 0 1 2 3 h4 − h2 → h4   1 1 1 1 0 1 2  3  −→  . 0 0 −2 −3 0 0 0 0T`. d´ suy r˘ng r(A) = 3. Theo dinh l´ d˜ nˆu hang cua hˆ vecto. u o ` a . y a e . ’ e . `b˘ng 3. a
  • 184 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn V´ du 8. Khao s´t su. phu thuˆc tuyˆn t´ gi˜.a c´c vecto. cua R4: ı . ’ a . . o . ´ e ınh u a ’ a1 = (1, 4, 1, 1); a2 = (2, 3, −1, 1); a3 = (1, 9, 4, 2); a4 = (1, −6, −5, −1). Giai. Lˆp ma trˆn m` c´c h`ng cua n´ l` c´c vecto. d˜ cho v` t`m ’ a . a . a a a ’ o a a a a ı ’ o hang cua n´ .   1 4 1 1 2 3 −1 1    S=  ⇒ r(A) = 2. 1 9 4 2  1 −6 −5 −1 Do d´ hang cua hˆ vecto. b˘ng 2. V` c´c phˆn tu. cua dinh th´.c con o . ’ e . ` a ı a ` a ’ ’ . u 1 4 ∆= = −5 = 0 2 3 n˘m o. hai h`ng dˆu nˆn a1 v` a2 dˆc lˆp tuyˆn t´nh, c`n a3 v` a4 biˆu ` a ’ a ` a e a o a . . ´ e ı o a ’ e diˆn tuyˆn t´ qua a1 v` a2. [Lu.u y r˘ng moi c˘p vecto. cua hˆ dˆu ˜ e ´ e ınh a ´ ` a . a. ’ e `. e ´ dˆc lˆp tuyˆn t´ v` ta c´ c´c dinh th´ o a e ınh ı o a . u.c con cˆp hai sau dˆy = 0: ´ a a . . 1 4 1 4 2 3 2 3 1 9 , , , , .] 1 9 1 −6 1 9 1 −6 1 −6 Ta t` c´c biˆu th´.c biˆu diˆn a3 v` a4 qua a1 v` a2. ım a ’ e u e’ ˜ e a a ´ Ta viˆt e a3 = ξ1 a1 + ξ2 a2 hay l` a (1, 9, 4, 2) = ξ1 · (1, 4, 1, 1) + ξ2 · (2, 3, −1, 1) ⇒ (1, 9, 4, 2) = (ξ1 + 2ξ2 , 4ξ1 + 3ξ2 , ξ1 − ξ2 , ξ1 + ξ2 )
  • 5.1. D. nh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ kh´i niˆm co. ban vˆ vecto. -i ıa o ` a o o a e e . ´ . ’ ` e 185v` thu du.o.c hˆ phu.o.ng tr` a . e . ınh  ξ1 + 2ξ2 = 1,   4ξ1 + 3ξ2 = 9, ξ1 − ξ2 = 4,    ξ1 + ξ2 = 2.Ta han chˆ hai phu.o.ng tr` dˆu. Dinh th´.c cua c´c hˆ sˆ cua hai . ´ e ınh ` a . u ’ a e o ’ . ´phu.o.ng tr` n`y ch´ l` dinh th´.c ∆ chuyˆn vi. V` ∆ = 0 nˆn hˆ ınh a ınh a . u ’ e . ı e e .hai phu .o.ng tr` ınh ξ1 + 2ξ2 = 1 4ξ1 + 3ξ2 = 9 e . ´c´ nghiˆm duy nhˆt l` ξ1 = 3, ξ2 = −1. Do d´ o a a o a3 = 3a1 − a2. Tu.o.ng tu. ta c´ . o a4 = 2a2 − 3a1. ` ˆ BAI TAP .1. Ch´.ng minh r˘ng trong khˆng gian R3 : u ` a o 1) Vecto. (x, y, z) l` tˆ ho.p tuyˆn t´ cua c´c vecto. e1 = (1, 0, 0), ’ a o . ´ e ınh ’ ae2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). 2) Vecto. x = (7, 2, 6) l` tˆ ho.p tuyˆn t´nh cua c´c vecto. a1 = ’ a o . ´ e ı ’ a(−3, 1, 2), a2 = (−5, 2, 3), a3 = (1, −1, 1).2. H˜y x´c dinh sˆ λ dˆ vecto. x ∈ R3 l` tˆ ho.p tuyˆn t´ cua c´c a a . ´ o ’ e a o .’ ´ e ınh ’ avecto. a1 , a2, a3 ∈ R3 nˆu: ´ e 1) x = (1, 3, 5); a1 = (3, 2, 5); a2 = (2, 4, 7); a3 = (5, 6, λ).
  • 186 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn (DS. λ = 12) 2) x = (7, −2, λ); a1 = (2, 3, 5); a2 = (3, 7, 8); a3 = (1, −6, 1). (DS. λ = 15) 3) x = (5, 9, λ); a1 = (4, 4, 3); a2 = (7, 2, 1); a3 = (4, 1, 6). (DS. ∀ λ ∈ R) 3. Ch´.ng minh r˘ng trong khˆng gian R3 : u ` a o 1) Hˆ ba vecto. e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) l` hˆ dltt. e . a e. ´ 2) Nˆu thˆm vecto e e . x ∈ R3 bˆt k` v`o hˆ th` hˆ ´ a y a e ı e . . {e1, e2, e3, x} . o . ´ l` phu thuˆc tuyˆn t´ a e ınh. 3) Hˆ gˆm bˆn vecto. bˆt k` cua R3 l` pttt. e ` . o ´ o ´ a y ’ a 4. C´c hˆ vecto. sau dˆy trong khˆng gian R3 l` dltt hay pttt: a e . a o a 1) a1 = (1, 2, 1); a2 = (0, 1, 2); a3 = (0, 0, 2). (DS. Dltt) 2) a1 = (1, 1, 0); a2 = (1, 0, 1); a3 = (1, −2, 0). (DS. Dltt) 3) a1 = (1, 3, 3); a2 = (1, 1, 1); a3 = (−2, −4, −4). (DS. Pttt) 4) a1 = 1, −3, 0); a2 = (3, −3, 1); a3 = (2, 0, 1). (DS. Pttt) 5) a1 = (2, 3, 1); a2 = (1, 1, 1); a3 = (1, 2, 0). (DS. Pttt) 5. Gia su. v1, v2 v` v3 l` hˆ dˆc lˆp tuyˆn t´ ’ ’ a a e o a . . . e ınh. Ch´.ng minh r˘ng hˆ ´ u ` a e . sau dˆy c˜ng l` dltt: a u a 1) a1 = v1 + v2 ; a2 = v1 + v3; a3 = v1 − 2v2 . 2) a1 = v1 + v3 ; a2 = v3 − v1; a3 = v1 + v2 − v3 . 6. Ch´.ng minh r˘ng c´c hˆ vecto. sau dˆy l` phu thuˆc tuyˆn t´ u ` a a e . a a . o. ´ e ınh. ´ .i hˆ vecto. n`o th` vecto. b l` tˆ ho.p tuyˆn t´ cua c´c vecto. Dˆi v´ e o o . a ı ’ a o . ´ e ınh ’ a c`n lai ? o . 1) a1 = (2, 0, −1), a2 = (3, 0, −2), a3 = (−1, 0, 1), b = (1, 2, 0). (DS. b khˆng l` tˆ ho.p tuyˆn t´ o ’ a o . ´ e ınh) 2) a1 = (−2, 0, 1), a2 = (1, −1, 0), a3 = (0, 1, 2); b = (2, 3, 6). (DS. b l` tˆ ho.p tuyˆn t´ ’ a o . ´ e ınh)
  • 5.1. D. nh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ kh´i niˆm co. ban vˆ vecto. -i ıa o ` a o o a e e . ´ . ’ ` e 1877. T` sˆ cu.c dai c´c vecto. dltt trong c´c hˆ vecto. sau dˆy ım o .´ . a a e . a 1) a1 = (2, 3, −1, 4); a2 = (−1, 1, 2, 0); a3 = (0, 0, 1, 1); a4 = (1, 4, 1, 4); a5 = (2, 3, 0, 5). (DS. = 3) 2) a1 = (1, 0, 0, 0); a2 = (0, 1, 0, 0); a3 = (0, 0, 1, 0) a4 = (0, 0, 0, 1); a5 = (1, 2, 3, 4). (DS. = 4) 3) a1 = (1, 1, 1, 1); a2 = (1, 1, 1, 0); a3 = (1, 1, 0, 0); a4 = (1, 0, 0, 0); a5 = (1, 2, 3, 4). (DS. = 4) ’ ˜ a . . . ˜ . a a . o a o o ’ o a . o ’ Chı dˆ n. Lˆp ma trˆn c´c toa dˆ m` mˆ i cˆt cua n´ l` toa dˆ cua a . . cua hˆ rˆi t´ hang cua ma trˆn.vecto ’ e ` ınh . ’ . o a .8. C´c hˆ vecto. sau dˆy trong khˆng gian R4 l` dltt hay pttt a e . a o a 1) a1 = (1, 2, 3, 4), a2 = (1, 2, 3, 4). (DS. Pttt) 2) a1 = (1, 2, 3, 4), a2 = (1, −2, −3, −4). (DS. Pttt) 3) a1 = (1, 2, 3, 4), a2 = (3, 6, 9, 12). (DS. Pttt) 4) a1 = (1, 2, 3, 4), (a2 = (1, 2, 3, 5). (DS. Dltt) 5) a1 = (1, 0, 0, 0), a2 = (0, 1, 0, 0), a3 = (0, 0, 1, 0), a4 = (0, 0, 0, 1) v` a l` vecto. t`y y cua R4 . (DS. Pttt) a a u ´ ’ 6) a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (0, 1, 1, 1), a3 = (0, 0, 1, 1), a4 = (0, 0, 0, 1). (DS. Dltt) 7) a1 = (1, 2, 3, 4), a2 = (3, 6, 9, 12), a3 = (1, 2, 3, 6). (DS. Pttt)9. C´c hˆ vecto. sau dˆy dltt hay pttt. Trong tru.`.ng ho.p pttt h˜y chı a e . a o . a ’ra mˆt su o . . pttt. H˜y chı ra mˆt hˆ con cu.c dai n`o d´ l` dltt. a ’ o e . . . . . a o a 1) a1 = (2, 1, −2, −1), a2 = (−9, 5, −6, 21), a3 = (2, −5, −1, 3), a4 = (−1, −1, −1, 5), a5 = (−1, 2, −3, 4). (DS. a1 + a2 + a3 − 3a4 − 2a5 = θ; a1, a2, a3, a4) 2) a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (2, 0, 1, −1), a3 = (3, −4, 0, −1), a4 = (13, −10, 3, −2). (DS. 2a1 + a2 + 3a3 − a4 = θ; a1, a2, a3) 3) a1 = (1, −1, 1, −1), a2 = (2, 0, 1, −1), a3 = (3, −1, 1, −1), a4 = (4, −2, 1, −2). (DS. Hˆ dˆc lˆp tuyˆn t´ e o a . . . ´ e ınh) 4) a1 = (1, 2, −2, −1), a2 = (−1, 0, 2, 1), a3 = (0, 1, 0, 1), e o a . . . ´ a4 = (3, 6, 0, 4). (DS. Hˆ dˆc lˆp tuyˆn t´ e ınh)
  • 188 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn 10. T´ hang r cua hˆ vecto. v` chı r˜ hˆ d˜ cho l` pttt hay dltt: ınh . ’ e . a ’ o e a . a 1) a1 = (1, −2, 2, −8, 2), a2 = (1, −2, 1, 5, 3), a3 = (1, −2, 4, −7, 0). e o a . . . ´ (DS. r = 3, hˆ dˆc lˆp tuyˆn t´ e ınh) 2) a1 = (2, 3, 1, −1), a2 = (3, 1, 4, 2), a3 = (1, 2, 3, −1), a4 = (1, −4, −7, 5). (DS. r = 3, hˆ pttt) e . 3) a1 = (2, −1, −3, 2, −6), a2 = (1, 5, −2, 3, 4), a3 = (3, 4, −1, 5, 7), a4 = (3, −7, 4, 1, −7), a5 = (0, 11, −5, 4, −4). (DS. r = 3 hˆ pttt) e . 4) a1 = (2, 1, 4, −4, 17), a2 = (0, 0, 5, −7, 9), a3 = (2, 1, −6, 10, −11), a4 = (8, 4, 1, 5, 11), a5 = (2, 2, 9, −11, 10). (DS. r = 5, hˆ dltt) e . 5.2 Co. so.. Dˆi co. so. ’ -o ’ ’ Dinh ngh˜ 5.2.1. Hˆ vecto. E1 , E2, . . . , En gˆm n vecto. cua khˆng -. ıa e . ` o ’ o gian vecto . Rn du.o.c goi l` mˆt co. so. cua n´ nˆu ’ ’ o e ´ . . a o . 1) hˆ E1 , E2 , . . . , En l` hˆ dltt; e . a e . 2) moi vecto . x ∈ Rn dˆu biˆu diˆn tuyˆn t´ du.o.c qua c´c vecto. `e ’ e ˜ e ´ e ınh a . . ’ e cua hˆ E1 , . . . , En . . Ch´ y r˘ng co. so. cua Rn l` mˆt hˆ c´ th´. tu. bˆt k` gˆm n vecto. u´ ` a ’ ’ a o e o u . a y ` . . ´ o ´ e ınh ’ o dˆc lˆp tuyˆn t´ cua n´. o a . . Diˆu kiˆn 2) c´ ngh˜a r˘ng ∀ x ∈ Rn , ∃(x1, x2, . . . , xn ) sao cho ` e e . o ı a ` x = x1E1 + x2E2 + · · · + xn En , (5.5) trong d´ x1 , x2, . . . , xn l` toa dˆ cua vecto. x trong co. so. E1 , E2 , . . . , En o a . o ’. ’ v` (5.5) goi l` khai triˆn vecto. x theo co. so. E1, E2 , . . . , En . a . a ’ e ’ Y ngh˜ co. ban cua kh´i niˆm co. so. l`: c´c ph´p to´n tuyˆn t´ ´ ıa ’ ’ a e . ’ a a e a ´ e ınh trˆn c´c vecto e a . trong co. so. cho tru.´.c chuyˆn th`nh c´c ph´p to´n trˆn ’ o ’ e a a e a e ´ a o a . o ’ c´c sˆ l` toa dˆ cua ch´ng. . u -. Dinh l´ 5.2.1. Trong khˆng gian Rn : y o 1) Toa dˆ cua mˆt vecto. dˆi v´.i mˆt co. so. l` duy nhˆt. . o ’ . o . ´ o o o . ’ a ´ a
  • 5.2. Co. so.. Dˆi co. so. ’ -o ’ ’ 189 2) Moi hˆ dltt gˆm n vecto. dˆu lˆp th`nh co. so. cua khˆng gian . e . ` o ` a e . a ’ ’ o nR . Ta x´t vˆn dˆ: Khi co. so. thay dˆi th` toa dˆ cua mˆt vecto. trong e a `´ e ’ ’ o ı . o ’ . o . nkhˆng gian R thay dˆ e o ’i thˆ n`o ? o ´ a ’ ’ Gia su . trong khˆng gian Rn c´ hai co. so. o o ’ E :E1 , E2, . . . , En - “co. so. c˜” ’ u (5.6) E :E1, E2 , . . . , En - “co. so. m´.i” ’ o (5.7)V` E1 , E2, . . . , En ∈ Rn nˆn ı e  E1 = t11ε1 + t21ε2 + · · · + tn1 εn ,   E2 = t12ε1 + t22ε2 + · · · + tn2 εn ,  (5.8) ... ... ... ... ...     En = t1n ε1 + t2n ε2 + · · · + tnn εn . C´ thˆ n´i r˘ng co. so. E1, . . . , En thu du.o.c t`. co. so. E1 , E2 , . . . , En ’ o e o a ` ’ . u ’nh`. ma trˆn o a.   t11 t12 . . . t1n    t21 t22 . . . t2n  TEE =   . . .. .  (5.9)  . . . . . . .  tn1 tn2 . . . tnntrong d´ cˆt th´. i cua ma trˆn (5.9) ch´nh l` c´c toa dˆ cua vecto. Ei o o . u ’ a . ı a a . o ’ .trong co . so. (5.6). ’ Ma trˆn T = TEE trong (5.9) du.o.c goi l` ma trˆn chuyˆn t`. co. a . . . a a . ’ e uso. (5.6) dˆn co. so. (5.7). Dinh th´.c cua ma trˆn chuyˆn detT = 0 ’ ´ e ’ . u ’ a . ’ ev` trong tru.`.ng ho.p ngu.o.c lai th` c´c vecto. cˆt (v` do d´ c´c vecto. ı o . . . ı a o . a o aE1, . . . , En ) l` phu thuˆc tuyˆn t´ a . o. ´ e ınh. . vˆy dˆ t` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. c˜ sang co. so. m´.i dˆu Nhu a e ım ’ a ’ e u ’ u ’ o ` a . .tiˆn ta cˆn khai triˆn c´c vecto. cua co. so. m´.i theo co. so. c˜. Tiˆp d´ e ` a ’ e a ’ ’ o ’ u ´ e ota lˆp ma trˆn m` cˆt th´. i cua n´ l` c´c toa dˆ cua vecto. th´. i cua a. a . a o . u ’ o a a . o ’ . u ’ . so. m´.i trong co. so. c˜. D´ ch´ l` ma trˆn chuyˆn.co ’ o ’ u o ınh a a ’ e .
  • 190 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn Gia su. vecto. a ∈ Rn v` ’ ’ a a = x1 ε1 + x2ε2 + · · · + xn εn , a = y1 E1 + y2E2 + · · · + yn En . Khi d´ quan hˆ gi˜.a c´c toa dˆ cua c`ng mˆt vecto. dˆi v´.i hai co. so. o e u a . o ’ u . . o . ´ o o ’ kh´c nhau (5.6) v` (5.7) du.o.c mˆ ta nhu. sau a a . o ’  x1 = t11y1 + t12y2 + · · · + t1n yn ,    x2 = t21y1 + t22y2 + · · · + t2n yn ,  (5.10) ... ... ... ... ...     xn = tn1 y1 + tn2y2 + · · · + tnn yn . hay l` a X = TEE Y, (5.11)     x1 y1      x2   y2  X =  . , . Y =. . . . xn yn T`. d´ c˜ng suy ra u o u −1 Y = TEE X. (5.11*) CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. Trong khˆng gian R3 hˆ c´c vecto. E1 (1, 0, 0), E2 (0, 2, 0), ı . o e a . . so. cua n´. E3 (0, 0, 3) l` co ’ ’ o a Giai. 1) Hˆ vecto. E1 , E2 , E3 l` hˆ dˆc lˆp tuyˆn t´nh. Thˆt vˆy, ’ e . a e o a . . . ´ e ı a a . . ’ ng th´.c vecto. d˘ a u α1 E1 + α2 E2 + α3 E3 = (0, 0, 0) ⇔ α1 (1, 0, 0) + α2 (0, 2, 0) + α3 (0, 0, 3) = (0, 0, 0) ⇔ (α1 , 2α2 , 3α3 ) = (0, 0, 0) ⇔ α1 = α2 = α3 = 0.
  • 5.2. Co. so.. Dˆi co. so. ’ -o ’ ’ 191 2) Gia su. x ∈ R3 , x = (ξ1 , ξ2 , ξ3). Khi d´ ’ ’ o ξ2 ξ3 x = ξ1 (1, 0, 0) +(0, 2, 0) + (0, 0, 3) 2 3 ξ2 ξ3 = ξ1 E1 + E2 + E3 2 3t´.c l` x l` tˆ ho.p tuyˆn t´ cua E1 , E2, E3 . u a a o . ’ ´ e ınh ’V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng trong khˆng gian R3 c´c vecto. E1 = ı . u ` a o a(2, 1, 1), E2 = (1, 3, 1), E3 = (−2, 1, 3) lˆp th`nh mˆt co. so.. T` toa a. a o. ’ ım . o ’dˆ cua vecto . x = (−2, −4, 2) theo co. so. d´. ’ o . Giai. 1) Hˆ E1 , E2 , E3 l` dltt. Thˆt vˆy gia su. α1 E1 + α2E2 + α3E3 = ’ e . a a a . . ’ ’θ⇔  2α1 + α2 − 2α3 = 0,  α1 + 3α2 + α3 = 0,   α1 + α2 + 3α3 = 0. . a a e . `a ´ a e o ’ oHˆ n`y c´ detA = 0 v` l` hˆ thuˆn nhˆt nˆn n´ chı c´ nghiˆm tˆm e a o e ` . athu.`.ng α1 = α2 = α3 = 0 v` do d´ E1 , E2 , E3 dˆc lˆp tuyˆn t´nh. Theo o a o o a . . ´ e ıdinh l´ 1 (phˆn 2) c´c vecto. n`y lˆp th`nh co. so. cua R3 . . y ` a a a a. a ’ ’ ’ ’ 2) Dˆ khai triˆn vecto e e . x = (−2, −4, 2) theo co. so. E1 , E2 , E3 ta d˘t ’ a. x = λ1 E1 + λ2 E2 + λ3 E3v` t`. d´ a u o  2λ1 + λ2 − 2λ3 = −2,  λ1 + 3λ2 + λ3 = −4,   λ1 + λ2 + 3λ3 = 2.Hˆ n`y c´ nghiˆm l` λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 1. Vˆy trong co. so. e a o . e. a a . ’E1 , E2, E3 vecto. x c´ toa dˆ l` (1, −2, 1). o . o a.V´ du 3. Ch´.ng minh r˘ng ba vecto. E1 = (1, 0, −2), E2 = (−4, −1, 5), ı . u ` aE3 = (1, 3, 4) lˆp th`nh co. so. cua R3 . a . a ’ ’
  • 192 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn Giai. Ta c´ thˆ t` hang cua hˆ ba vecto. d˜ cho. Ta c´ ’ ’ o e ım . ’ e . a o       1 0 −2 1 0 −2 1 0 −2       4 −1 5  −→ 0 −1 13  −→ 0 −1 13  . 1 3 4 0 3 6 0 0 45 T`. d´ suy ra r˘ng hang cua hˆ vecto. d˜ cho b˘ng 3 v` do vˆy hˆ d´ u o ` a . ’ e . a ` a a a e o . . a o a ´ e ınh. Theo dinh l´ 1 n´ lˆp th`nh mˆt co ’ l` dˆc lˆp tuyˆn t´ y o a a o . so.. . . . . . V´ du 4. Gia su. trong co. so. E1 , E2 vecto. x c´ toa dˆ l` 1; −2. T`m ı . ’ ’ ’ o . o a. ı . d´ trong co. so. E1 = E1 , E2 = E1 + E2 . . o ’ toa dˆ cua vecto o . ’ Giai. Dˆu tiˆn ta viˆt ma trˆn chuyˆn t`. co. so. E1 , E2 dˆn E1 , E2. ’ `a e ´ e a . ’ e u ’ ´ e Ta c´ o E1 = 1 · e1 + 0 · e2, E2 = 1 · e1 + 1 · e2. Do d´ o 1 1 1 −1 T = ⇒ T −1 = . 0 21 0 1 Ap dung cˆng th´.c (11*) ta c´ ´ . o u o y1 x1 1 −1 1 3 = T −1 = = . y2 x2 0 1 −2 −2 Do d´ y1 = 3, y2 = −2. o V´ du 5 (ph´p quay truc toa dˆ). H˜y dˆ n ra cˆng th´.c biˆn dˆi c´c ı . e . . o . a ˜ a o u ´ ’ e o a toa dˆ cua vecto. trong R2 trong mˆt co. so. thu du.o.c t`. co. so. ch´ . o ’. o . ’ . u ’ ınh ´ t˘c e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) sau ph´p quay truc toa dˆ g´c ϕ. a e . . o o.
  • 5.2. Co. so.. Dˆi co. so. ’ -o ’ ’ 193 H` 5.1 ınh Giai. T`. h` v˜ suy ra r˘ng vecto. e∗ lˆp v´.i c´c vecto. e1 v` e2 ’ u ınh e ` a 1 a . o a ac´c g´c tu a o .o.ng u.ng b˘ng ϕ v` ϕ − π . Do d´ toa dˆ cua e∗ trong co. so. ´ ` a a o . o ’ 1 ’ 2 . πe1, e2 l` cos ϕ v` cos ϕ − a a = sin ϕ: 2 e∗ = cos ϕ · e1 + sin ϕ · e2 1 πVecto. e∗ lˆp v´.i e1 v` e2 c´c g´c tu.o.ng u.ng b˘ng + ϕ v` ϕ. Do d´ 2 a. o a a o ´ ` a a o 2 πtoa dˆ cua n´ trong co. so. e1, e2 l` cos . o ’ o . ’ a + ϕ = − sin ϕ v` cos ϕ: a 2 e∗ = − sin ϕ · e1 + cos ϕ · e2 . 2 Nhu. vˆy a . e∗ = cos ϕ · e1 + sin ϕ · e2 , 1 e∗ = − sin ϕ · e1 + cos ϕ · e2 . 2v` t`. d´ a u o cos ϕ − sin ϕ Tee∗ = sin ϕ cos ϕ −1 cos ϕ sin ϕ Tee∗ = . − sin ϕ cos ϕDo vˆy c´c toa dˆ cua vecto. trong co. so. c˜ v` m´.i liˆn hˆ bo.i c´c hˆ a a . o ’ . . ’ u a o e e ’ a e . .th´ u.c x = x∗ cos ϕ − y ∗ sin ϕ, y = x∗ sin ϕ + y ∗ cos ϕ. x∗ = x cos ϕ + y sin ϕ, y ∗ = −x sin ϕ + y cos ϕ.
  • 194 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn V´ du 6. Gia su. x = (3, −1, 0) l` vecto. cua R3 v´.i co. so. E1 , E2 , E3 . ı . ’ ’ a ’ o ’ T` toa dˆ cua x dˆi v´.i co. so. ım . o ’. ´ o o ’ E1 = 2E1 − E2 + 3E3 , E2 = E1 + E3 , E3 = −E2 + 2E3 . Giai. T`. c´c khai triˆn E1, E2 v` E3 theo co. so. E1 , E2 , E3 ta c´ ma ’ u a ’ e a ’ o a . ’ trˆn chuyˆn e   2 1 0   T = −1 0 −1 3 1 2 t`. co. so. E1 , E2 , E3 sang co. so. E1 , E2, E3 . u ’ ’ Ta k´ hiˆu x1 , x2, x3 l` toa dˆ cua x trong co. so. E1 , E2 , E3. Ta c´ y e . a . o ’ . ’ o     x1 3   −1   x2 = T −1 x3 0   1 −2 −1   V` T −1 ı = −1 4 2  nˆn e −1 1 1        x1 1 −2 −1 3 5        x2  = −1 4 2  −1 = −7 . x3 −1 1 1 0 −4 Vˆy trong co. so. m´.i E1 , E2 , E3 ta c´ a . ’ o o x = (5, −7, −4). V´ du 7. Trong khˆng gian R2 cho co. so. E1 , E2 v` c´c vecto. E1 = ı . o ’ a a e1 − 2e2, E2 = 2e1 + e2 , x = 3e1 − 4e2 .
  • 5.2. Co. so.. Dˆi co. so. ’ -o ’ ’ 195 1+ Ch´.ng minh r˘ng E1 , E2 lˆp th`nh co. so. cua R2 . u ` a a . a ’ ’ 2+ T` toa dˆ vecto. x trong co. so. E1 , E2 . ım . o . ’ + ım . o ’ 3 T` toa dˆ cua vecto . x trong co. so. E2, E1 . ’ . ’ + . a a . o ’ Giai. 1 Ta lˆp ma trˆn c´c toa dˆ cua E1 v` E2 : a . . a 1 −2 A= ⇒ detA = 5 = 0. 2 1Do d´ hˆ hai vecto. E1 , E2 l` dltt trong khˆng gian 2-chiˆu R2 nˆn n´ o e . a o ` e e olˆp th`nh co ’ a a . so.. . 2 Trong co. so. d˜ cho vecto. x c´ toa dˆ l` (3, −4). Gia su. trong + ’ a o . o a . ’ ’co. so. E1 , E2 vecto. x c´ toa dˆ (x1, x2 ). Ta lˆp ma trˆn chuyˆn t`. co. ’ o . o . a . a . ’ e uso. E1 , E2 dˆn co. so. E1 , E2 : ’ ´ e ’ 1 2 1 1 2 T = ⇒ T −1 = −2 1 5 −2 1 oKhi d´   11 x1 3 x1 1 1 −2 3 1 11   = T −1 ⇒ = = =  5 . x2 −4 x2 5 2 1 −4 5 2 2 5 11 +2Vˆy x1 = a . , x2 = . 5 5 3+ V` E1 , E2 l` co. so. cua R2 nˆn E2 , E1 c˜ng l` co. so. cua R2 . Ma ı a ’ ’ e u a ’ ’ ’trˆn chuyˆn t` a e u . co. so. E1 , E2 dˆn co. so. E2 , E1 c´ dang ’ ´ e ’ o . .   2 2 1 1 −2 −1 3 1 −2  A∗ = , A∗−1 = − =− =5 1 −2 5 −1 2 −4 5 −11 11 5 2 11Do d´ x1 = , x2 = o trong co. so. E2 , E1. ’ 5 5V´ du 8. Trong khˆng gian R3 cho co. so. E1 , E2 , E3 n`o d´ v` trong ı . o ’ a o a . so. d´ c´c vecto. E1 , E2 , E3 v` x c´ toa dˆ l` E1 = (1, 1, 1); E2 =co ’ o a a o . o a .(1, 2, 2), E3 = (1, 1, 3) v` x = (6, 9, 14). a
  • 196 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn 1+ Ch´.ng minh r˘ng E1 , E2 , E3 c˜ng lˆp th`nh co. so. trong R3 . u ` a u a . a ’ 2+ T` toa dˆ cua x trong co. so. E1, E2 , E3 . ım . o ’ . ’ ’ Giai. 1 tu + .o.ng tu. nhu. trong v´ du 7, hang cua hˆ ba vecto. ı . ’ e . . . E1 , E2 , E3 b˘`ng 3 nˆn hˆ vecto. d´ dˆc lˆp tuyˆn t´nh trong khˆng a e e . o o a . . ´ ı e o ` e o a gian 3-chiˆu nˆn n´ lˆp th`nh co ’ ’ e a . so. cua R3. . 2+ Dˆ t` toa dˆ cua x trong co. so. E1 , E2 , E3 ta c´ thˆ tiˆn h`nh ’ e ım . o ’ . ’ ’ ´ o e e a theo hai phu.o.ng ph´p sau. a (I) V` E1 , E2, E3 lˆp th`nh co. so. cua R3 nˆn ı a. a ’ ’ e x = x1 E1 + x2E2 + x3E3 ⇒ (6, 9, 14) = x1 (1, 1, 1) + x2(1, 2, 2) + x3(1, 1, 3) a o a e . ’ e v` do d´ x1, x2, x3 l` nghiˆm cua hˆ .  x1 + x2 + x3 = 6,   1 5 x1 + 2x + x3 = 9, ⇒ x1 = , x2 = 3, x3 = ·   2 2 x1 + 2x2 + 3x3 = 14. (II) Lˆp ma trˆn chuyˆn t`. co. so. E1 , E2 , E3 a . a . ’ e u ’ sang co. so. E1 , E2, E3 : ’     1 1 1 4 −1 −1   −1 1  TEE = 1 2 1 ⇒ TEE = −2 2 0 . 2 1 2 3 0 −1 1 Do d´ o         1 x1 6 1 2   −1   1    x2  = TEE  9  = 6 =  3  2 5 x3 14 5 2 v` thu du.o.c kˆt qua nhu. tronng (I). a . e ´ ’ ` ˆ BAI TAP .
  • 5.2. Co. so.. Dˆi co. so. ’ -o ’ ’ 1971. Ch´.ng minh r˘ng c´c hˆ vecto. sau dˆy l` nh˜.ng co. so. trong khˆng u ` a a e . a a u ’ o 4gian R : 1) e1 = (1, 0, 0, 0); e2 = (0, 1, 0, 0); e3 = (0, 0, 1, 0); e4 = (0, 0, 0, 1). 2) E1 = (1, 1, 1, 1); E2 = (0, 1, 1, 1); E3 = (0, 0, 1, 1); E4 = (0, 0, 0, 1).2. Ch´.ng minh r˘ng hˆ vecto. do.n vi: u ` a e . . e1 = (1, 0, . . . , 0); e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1) n−1 n−1lˆp th`nh co. so. trong Rn . Co. so. n`y du.o.c goi l` co. so. ch´ t˘c. a . a ’ ’ a . . a ’ ınh ´ a3. Ch´.ng minh r˘ng hˆ vecto. u ` a e . E1 = (1, 0, . . . , 0), E2 = (1, 1, . . . , 0), ... ... ... En = (1, 1, . . . , 1)l` mˆt co. so. trong Rn . a o. ’4. Ch´.ng minh r˘ng hˆ vecto. u ` a e . E1 = (1, 2, 3, . . . , n − 1, n), E2 = (1, 2, 3, . . . , n − 1, 0), ... ... ... ... ... En = (1, 0, 0, . . . , 0, 0)lˆp th`nh co. so. trong khˆng gian Rn . a . a ’ o5. H˜y kiˆm tra xem mˆ i hˆ vecto. sau dˆy c´ lˆp th`nh co. so. trong a ’ e ˜ e o . a o a . a ’khˆng gian R4 khˆng v` t` c´c toa dˆ cua vecto. x = (1, 2, 3, 4) trong o o a ım a . o ’ . ˜ . so. d´.mˆ i co ’ o o 1) a1 = (0, 1, 0, 1); a2 = (0, 1, 0, −1); a3 = (1, 0, 1, 0); a4 = (1, 0, −1, 0). (DS. 3, −1, 2, −1) 2) a1 = (1, 2, 3, 0); a2 = (1, 2, 0, 3); a3 = (1, 0, 2, 3);
  • 198 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn 2 1 1 a4 = (0, 1, 2, 3). (DS. , − , , 1) 3 6 2 3) a1 = (1, 1, 1, 1); a2 = (1, −1, 1, −1); a3 = (1, −1, 1, 1); 3 1 a4 = (1, −1, −1, −1). (DS. , − , 1, −1) 2 2 4) a1 = (1, −2, 3, −4); a2 = (−4, 1, −2, 3); a3 = (3, −4, 1, −2); 13 7 13 17 a4 = (−2, 3, −4, 1). (DS. − , − , − , − ) 10 10 10 10 Nhˆn x´t. Ta nh˘c lai r˘ng c´c k´ hiˆu e1, e2 , . . . , en du.o.c d`ng dˆ a e . ´ a . a ` a y e . . u ’ e chı c´c vecto. do.n vi cua truc xi (i = 1, 2, . . . , n): ’ a . ’ . ei = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1) n−1 n−1 6. T` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1, e2, e3 dˆn co. so. e2 , e3, e1. ım  a  e u . ’ ’ ´ e ’ 0 0 1   (DS. 1 0 0) 0 1 0 7. T` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1, e2, e3, e4 dˆn co. so. e3 , e4, e2, e1. ım a. ’ e u ’ ´ e ’   0 0 0 1 0 0 1 0   (DS.  ) 1 0 0 0 0 1 0 0 −1 1 8. Cho ma trˆn a . l` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1 , e2 dˆn co. so. a a. ’ e u ’ ´ e ’ 2 0 E1 , E2 . T`m toa dˆ cua vecto. E1 , E2 . ı . o ’ . (DS. E1 = (−1, 2); E2 = (1, 0)) 9. Gia su. ’ ’   1 2 −1   3 1 0  2 0 1
  • 5.2. Co. so.. Dˆi co. so. ’ -o ’ ’ 199l` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1, e2, e3 dˆn co. so. E1 , E2 , E3 . T`m toa dˆ a a . ’ e u ’ ´ e ’ ı . o . ’cua vecto . E2 trong co. so. e1, e2, e3. (DS. E2 = (2, 1, 0)) ’10. T` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1, e2, e3 dˆn co. so. ım a . ’ e u ’ ´ e ’ E1 = 2e1 − e3 + e2 ; E2 = 3e1 − e2 + e3; E3 = e3.   2 3 0   (DS.  1 −1 0) −1 1 111. T` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1, e2, e3 dˆn co. so. ım a. ’ e u ’ ´ e ’ E1 = e2 + e3; E2 = −e1 + 2e3; E3 = e1 + e2.   0 −1 1   (DS. 1 0 1) 1 2 012. T` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1, e2, e3 , e4 dˆn co. so. ım a. ’ e u ’ ´ e ’ E1 = 2e2 + 3e3 + e4; E2 = e1 − 2e2 + 3e3 − e4 ; E3 = e1 + e4 ; E4 = 2e1 + e2 − e3 + e4.   0 1 1 2 2 −2 0 1    (DS.  ) 3 3 0 −1 1 −1 1 113. Cho 2 1 −1 2l` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1, e2 dˆn co. so. E1 , E2 . T` toa dˆ cua c´c a a. ’ e u ’ ´ e ’ ım . o ’ a .vecto . e1 , e2 trong co. so. E1 , E2 . ’ 2 1 1 2 (DS. e1 = , . e2 = − , ) 5 5 5 5 ’ a Chı dˆ ˜ n. T`. ma trˆn d˜ cho t` khai triˆn E1 , E2 theo co. so. e1, e2. u a a . ım e’ ’ . d´ t` khai triˆn e1, e2 theo co. so. E1 , E2.T` o ım u ’ e ’
  • 200 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn 14. Cho ma trˆn a .   1 −1 3   5 1 2 1 4 −1 l` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1 , e2, e3 a a . ’ e u ’ dˆn co. so. E1 , E2 , E3 . T`m toa dˆ ´ e ’ ı . o . vecto. e2 trong co. so. E1 , E2, E3 . ’ 11 4 5 (DS. e2 = ,− ,− ) 41 41 41 15. Cho ma trˆn a .   1 0 1   0 0 2 −1 3 1 l` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1 , e2, e3 dˆn co. so. E1 , E2 , E3 . T`m toa dˆ a a. ’ e u ’ ´ e ’ ı . o . c´c vecto a . e1 , e2, e3 trong co. so. E1 , E2 , E3 . ’ 1 1 1 1 1 (DS. e1 = 1, , 0 , e2 = − , − , , e3 = 0, , 0 ) 3 2 3 2 3 16. Trong co ’ . so. e1 , e2 vecto. x c´ toa dˆ l` (1; 2). T` toa dˆ cua o . o a ım . o ’ . . . d´ trong co. so. E1 = e1 + 2e2 ; E2 = −e1 + e2 . vecto o ’ 1 4 (DS. x = − , − ) 3 3 17. Trong co ’ . so. e1, e2 vecto. x c´ toa dˆ l` (−3; 1). T`m toa dˆ cua o . o a . ı . o ’ . vecto. d´ trong co. so. E1 = −2e1 + e2 ; E2 = e2. o ’ 3 1 (DS. x = ,− ) 2 2 18. Trong co ’ . so. e1, e2, e3 vecto. x c´ toa dˆ l` (−1; 2; 0). T` toa dˆ o . o a ım . o . . ’ cua vecto o . d´ trong co. so. E1 = 2e1 − e2 + 3e3, E2 = −3e1 + e2 − 2e3 ; ’ E3 = 4e2 + 5e3. (DS. (−0, 68; −0, 12; 0, 36)) 19. Trong co. so. e1, e2, e3 vecto. x c´ toa dˆ l` (1, −1, 0). T` toa dˆ ’ o . o a. ım . o . ’ . d´ trong co. so.: E1 = 3e1 + e2 + 6e3 , E2 = 5e1 − 3e2 + 7e3 , cua vecto o ’ E3 = −2e1 + 2e2 − 3e3 .
  • 5.3. Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn o ’ . a’ 201 (DS. x = (−0, 6; 1, 2; 1, 6))20. Trong co. so. e1, e2, e3 vecto. x c´ toa dˆ l` (4, 0, −12). T`m toa ’ o . o a. ı . o ’ . d´ trong co. so. E1 = e1 + 2e2 + e3, E2 = 2e1 + 3e2 + 4e3,dˆ cua vecto o ’ .E3 = 3e1 + 4e2 + 3e3. (DS. x = (−4, −8, 8))21. Trong khˆng gian v´.i mˆt co. so. l` e1, e2, e3 cho c´c vecto. E1 = o o o . ’ a ae1 + e2, E2 = 2e1 − e2 + e3, E3 = e2 − e3. 1) Ch´.ng minh r˘ng E1 , E2 , E3 lˆp th`nh co. so.. u ` a a . a ’ 2) T` toa dˆ cua vecto. x = e1 + 8e2 − 5e3 trong co. so. E1 , E2 , E3 . ım . o ’. ’ (DS. x = (3, −1, 4))22. Trong co. so. e1, e2, e3 cho c´c vecto. a = (1, 2, 3), b = (0, 3, 1), ’ ac = (0, 0, 2), d = (4, 3, 1). Ch´ u.ng minh r˘ng c´c vecto. a, b, c lˆp th`nh ` a a a a . . so. v` t` toa dˆ cua vecto. d trong co. so. d´.co ’ a ım . o ’ ’ o . 5 14 (DS. d 4, − , − ) 3 35.3 Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c o ’ . ’ chuˆn aKhˆng gian tuyˆn t´ thu.c V du.o.c goi l` khˆng gian Euclid nˆu trong o ´ e ınh . . . a o ´ eV du.o.c trang bi mˆt t´ vˆ hu.´.ng, t´.c l` nˆu v´.i mˆ i c˘p phˆn tu. . . o ıch o . o u a e o´ ˜ a o . ` a ’ ` .o.ng u.ng v´.i mˆt sˆ thu.c (k´ hiˆu l` x, y ) sao chox, y ∈ V dˆu tu e ´ o . ´ o o . y e a . ´∀ x, y, z ∈ V v` sˆ α ∈ R ph´p tu a o e .o.ng u.ng d´ thoa m˜n c´c tiˆn dˆ sau ´ o ’ a a e ` edˆy a (I) x, y = y, x ; (II) x + y, z = x, z + y, z ; (III) αx, y = α x, y ; ´ (IV) x, x > 0 nˆu x = θ. e Trong khˆng gian vecto. Rn dˆi v´.i c˘p vecto. a = (a1, a2, . . . , an ), o ´ o o a .
  • 202 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn b = (b1, b2, . . . , bn ) th` quy t˘c tu.o.ng u.ng ı ´ a ´ n a, b = ai bi = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn (5.12) i=1 s˜ x´c dinh mˆt t´ vˆ hu.´.ng cua hai vecto. a v` b. e a . o ıch o o . ’ a . vˆy khˆng gian Rn v´.i t´ch vˆ hu.´.ng x´c dinh theo cˆng Nhu a o o ı o o a . o . th´.c (5.12) tro. th`nh khˆng gian Euclid. Do d´ khi n´i vˆ khˆng gian u ’ a o o o ` o e n o ’u l` t´ vˆ hu.´.ng trong d´ x´c dinh theo Euclid R ta luˆn luˆn hiˆ a ıch o o e o o a . (5.12). Gia su. x ∈ Rn . Khi d´ sˆ ’ ’ o o ´ x, x du.o.c goi l` dˆ d`i (hay chuˆn) . . a o a . a’ cua vecto. x v` du.o.c k´ hiˆu l` x . Nhu. vˆy ’ a . y e a . a . def x = x, x (5.13) Vecto. x v´.i dˆ d`i = 1 du.o.c goi l` du.o.c chuˆn h´a hay vecto. do.n o o a. . . a . ’ a o vi. Dˆ chuˆn h´a mˆt vecto. kh´c θ bˆt k` ta chı cˆn nhˆn n´ v´.i sˆ . ’ e ’ a o o . a ´ a y ’ `a a o o o ´ 1 λ= . x Dˆ d`i c´ c´c t´ chˆt o a o a ınh a . ´ 1+ x = 0 ⇔ x = θ. 2+ λx = |λ| x , ∀ λ ∈ R. 3+ | x, y | x y (bˆt d˘ng th´.c Cauchy-Bunhiakovski) ´ ’ a a u 4+ x + y x + y (bˆt d˘ng th´.c tam gi´c hay bˆt d˘ng ´ ’ a a u a ´ ’ a a th´.c Minkovski). u T`. bˆt d˘ng th´.c 3+ suy r˘ng v´.i hai vecto. kh´c θ bˆt k` x, y ∈ Rn ´ ’ u a a u ` a o a ´ a y ` o ta dˆu c´ e | x, y | x, y 1 ⇔ −1 1. x cos y x y x, y ´ Sˆ o c´ thˆ xem nhu. cosin cua g´c ϕ n`o d´. G´c ϕ m` o e ’ ’ o a o o a x y x, y cos ϕ = , 0 ϕ π (5.14) x y
  • 5.3. Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn o ’ . a’ 203du.o.c goi l` g´c gi˜.a hai vecto. x v` y. . . a o u a Hai vecto . x, y ∈ Rn du.o.c goi l` vuˆng g´c hay tru.c giao nˆu t´ ´ . . a o o . e ıch .´.ng cua ch´ng b˘ng 0: x, y = 0.vˆ hu o o ’ u ` a Hˆ vecto. a1, a2 , . . . , am ∈ Rn du.o.c goi l` hˆ tru.c giao nˆu ch´ng e. . . a e .. ´ e utru.c giao t`.ng dˆi mˆt, t´.c l` nˆu ai , aj = 0 ∀i = j. u o o u a e ´ . . Hˆ vecto. a1, a2 , . . . , am ∈ Rn du.o.c goi l` hˆ tru.c giao v` chuˆn e. . . a e . . a a’h´a (hay hˆ tru.c chuˆn) nˆu o e . . a’ ´ e  0 ´ nˆu i = j e ai , ai = δij = 1 ´ nˆu i = j eDinh l´ 5.3.1. Moi hˆ tru.c giao c´c vecto. kh´c khˆng dˆu l` hˆ dˆc-. y . e . . a a o ` a e o e . . a . ´lˆp tuyˆn t´ e ınh. Hˆ gˆm n vecto. E1 , E2 , . . . , En ∈ Rn du.o.c goi l` co. so. tru.c giao e ` . o . . a ’ . ´ . so. gˆm c´c vecto. tru.c giao t`.ng dˆi mˆt.nˆu n´ l` mˆt co ’ ` e o a o o a u o o . . . o n ` Trong khˆng gian R tˆn tai nh˜ o . u.ng co. so. d˘c biˆt tiˆn lo.i du.o.c ’ a e e . . . . .goi l` nh˜ .ng co. so. tru.c chuˆn (vai tr` nhu. co. so. Dˆc´c vuˆng g´c ’ . ’ ’ e a . a u a o o o ’ ıch).trong h` hoc giai t´ ınh . Hˆ gˆm n vecto. E1 , E2 , . . . , En ∈ Rn du.o.c goi l` mˆt co. so. tru.c e ` . o . . a o . ’ . ’ a ’ n ´chuˆn cua R nˆu c´c vecto a u e a . n`y t`.ng dˆi mˆt tru.c giao v` dˆ d`i cua o o a o a ’ . . .mˆ˜ i vecto. cua hˆ dˆu b˘ng 1, t´.c l` o ’ e ` ` . e a u a  0 nˆu i = k, ´ e (Ei , Ek ) = 1 nˆu i = k. ´ eDinh l´ 5.3.2. Trong moi khˆng gian Euclid n-chiˆu dˆu tˆn tai co.-. y . o ` ` ` . e e o ’. tru.c chuˆn.so . a’ Dˆ c´ diˆu d´ ta c´ thˆ su. dung ph´p tru.c giao h´a Gram-Smidth ’ e o ` oe ’ o e ’ . e . odu .a mˆt co. so. vˆ co. so. tru.c chuˆn. Nˆi dung cua thuˆt to´n d´ nhu. o ’ `e ’ . a’ o ’ a a o . . .sau Gia su. E1 = a1. Tiˆp d´ ph´p du.ng du.o.c tiˆn h`nh theo quy nap. ’ ’ ´ e o e . . ´ e a .
  • 204 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn Nˆu E1 , E2 , . . . , Ei d˜ du.o.c du.ng th` Ei+1 c´ thˆ lˆy ´ e a . . ı ’ ´ o e a i Ei+1 = ai+1 + αj aj , j=1 trong d´ o ai+1 , Ej αj = − , j = 1, i Ej , Ej du.o.c t` t`. diˆu kiˆn Ei+1 tru.c giao v´.i moi vecto. E1 , E2 , . . . , Ei . . ım u ` e e . . o . CAC V´ DU ´ I . 1. Trong c´c ph´p to´n du.´.i dˆy ph´p to´n n`o l` t´ch vˆ hu.´.ng cua a e a o a e a a a ı o o ’ hai vecto. x = (x1, x2 , x3), y = (y1, y2 , y3) ∈ R3 : 1) x, y = x2y1 + x2 y2 + x2 y3 ; 1 2 2 2 3 2 2) x, y = x1y1 + 2x2y2 + 3x3 y3; 3) x, y = x1y1 + x2y2 − x3 y3. Giai. 1) Ph´p to´n n`y khˆng l` t´ vˆ hu.´.ng v` n´ khˆng thoa ’ e a a o a ıch o o ı o o ’ e ` ’ ıch o m˜n tiˆn dˆ III cua t´ vˆ hu o a e .´.ng: αx, y = α2 x2y1 + α2 x2y2 + α2 x2 y3 = α(x2y1 + x2y2 + x2y3 ) 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 2) Ph´p to´n n`y l` t´ vˆ hu.´.ng. Thˆt vˆy, hiˆn nhiˆn c´c tiˆn e a a a ıch o o a a . . ’ e e a e ` e a ’ a e’ a e ` dˆ I v` II thoa m˜n. Ta kiˆm tra c´c tiˆn dˆ III v` IV. e a ’ ’ Gia su . x = (x , x , x ), x = (x , x , x ) ∈ R3 . Khi d´ o 1 2 3 1 2 3 x + x , y = (x1 + x1 )y1 + 2(x2 + x2 )y2 + 3(x3 + x3 )y3 = (x1y1 + 2x2y2 + 3x3 y3) + (x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 ) = x ,y + x ,y . ´ Tiˆp theo ta x´t e e x, x = x2 + 2x2 + 3x2 1 2 3 0 v` a x, x = 0 ⇔ x2 + 2x2 + 3x2 = 0 ⇔ x1 = x2 = x3 = 0 ⇔ x = θ. 1 2 3
  • 5.3. Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn o ’ . a’ 205V´ du 2. T` dˆ d`i c´c canh v` g´c trong tai A cua tam gi´c v´.i ı . ım o a a . . a o . ’ a o ’dınh A(2, 1, −2, −3), B(2, −1, 2, 1) v` C(6, 5, −2, −1). a −→ −→ −→ Giai. Ta t` toa dˆ cua c´c vecto. AB, AC v` BC. Ta c´ ’ ım . o ’ . a a o−→ −→ −→AB(0, −2, 4, 4), AC(4, 4, 0, 2), BC(4, 6, −4, −2). Ap dung dinh ngh˜ dˆ d`i vecto. trong co. so. tru.c chuˆn ta c´ ´ . . ıa o a . ’ . a’ o −→ √ AB = 02 + (−2)2 + 42 + 42 = 36 = 6 −→ −→ √v` tu.o.ng tu. AC = 6, BC = 6 2. Theo cˆng th´.c (5.14) ta c´ a . o u o −→ −→ AB, AC 0 · 4 + (−2) · 4 + 4 · 0 + 4 · 2 cos A = = = 0. AB · AC 6·6 πDo d´ A = . o 2V´ du 3. Ch´.ng minh r˘ng trong bˆt d˘ng th´.c Cauchy-Bunhiakovski ı . u ` a ´ ’ a a u| a, b | a · b dˆu b˘ng “=” dat du.o.c khi v` chı khi a v` b phu a ` ´ a . . a ’ a . o. ´thuˆc tuyˆn t´ e ınh. ’ ´ Giai. 1) Nˆu a = λb th` e ı 2 | a, b | = | λb, b = |λ| b = λb · b = a b .Ngu.o.c lai, nˆu | a, b | = a b th` . . ´ e ı a, b a, b a, b a, b 2 a− b, a − b = a 2−2 a, b + b 2= b 2 b 2 b 2 b 4 2 a 2 b 2 a 2 b 2 b 2 = a −2 + = 0. b 2 b 4Nhu.ng t´ vˆ hu.´.ng x, x = 0 ⇔ x = θ. T`. d´ suy ra r˘ng a = ıch o o u o ` a a, b b, t´.c l` a, b phu thuˆc tuyˆn t´ u a . o . ´ e ınh. b 2V´ du 4. Hˆ c´c vecto. do.n vi trong Rn v´.i t´ vˆ hu.´.ng (5.12) ı . e a . . o ıch o o e1 = (1, 0, 0, . . . , 0) e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) ... ... ... ... en = (0, 0, 0, . . . , 1)
  • 206 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn l` mˆt v´ du vˆ co. so. tru.c chuˆn trong Rn . Co. so. n`y goi l` co. so. a o ı . ` . e ’ . a’ ’ a . a ’ ch´nh t˘c trong Rn . ı ´ a Giai. Hiˆn nhiˆn ei , ej = 0 ∀ i = j, ej = 1 ∀ j = 1, n. T`. d´ ’ ’ e e u o thu du.o.c diˆu cˆn ch´.ng minh. . ` ` e a u V´ du 5. Toa dˆ cua vecto. a ∈ Rn bˆt k` dˆi v´.i co. so. tru.c chuˆn ı . . o ’. ´ a y o o´ ’ . ’ a b˘ng t´ vˆ hu.´.ng cua vecto. d´ v´.i vecto. co. so. tu.o.ng u.ng. ` a ıch o o ’ o o ’ ´ ’ ’ ’ Giai. Gia su. a ∈ Rn v` E1 , E2 , . . . , En l` mˆt co. so. tru.c chuˆn cua a a o ’ . ’ a ’ . n R . Khi d´ o n a= λi Ei . i=1 Nhˆn vˆ hu.´.ng d˘ng th´.c n`y v´.i Ek , k = 1, 2, . . . , n ta thu du.o.c a o o ’ a u a o . a, Ek = λk , k = 1, 2, . . . , n. Do d´ o n a= a, Ei Ei ∀ a ∈ Rn . i=1 Sˆ λk = a, Ek k = 1, 2, . . . , n ch´ l` toa dˆ cua vecto. a ∈ Rn theo ´ o ınh a . o ’ . . so. tru.c chuˆn d˜ cho. co ’ . ’ a a V´ du 6. 1) Trong khˆng gian R3 v´.i t´ vˆ hu.´.ng (5.12) cho co. ı . o o ıch o o ’ so. E1 = (1, 2, 1); E2 = (1, 1, 0); E3 = (2, 0, 0). H˜y d`ng phu.o.ng ph´p a u a tru.c giao h´a dˆ t` co. so. tru.c giao trong R3 t`. co. so. d˜ cho. . o e ım’ ’ . u ’ a 3 2) Trong khˆng gian R v´ ıch o o o .i t´ vˆ hu.´.ng (5.12) cho co. so. E1 = o ’ (1, −1, 1), E2 = (2, −3, 4), E3 = (2, 2, 6). H˜y du.ng co. so. tru.c chuˆn a . ’ . a’ trong R3 theo co. so. d˜ cho. ’ a ’ .´.c hˆt ta chon E1 = E1 = (1, 2, 1). Tiˆp theo d˘t Giai. 1) Tru o e ´ ´ e a . . E2 = E2 + λE1 sao cho E2 , E1 = 0, t´.c l` u a E2 , E1 = E1 , E2 + λ E1 , E1 = 0.
  • 5.3. Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn o ’ . a’ 207Nhu.ng E1 , E1 = 0 (cu thˆ l` > 0) v` E1 = E1 = θ. Do d´ ’ . e a ı o E1 , E2 (1, 2, 1), (1, 1, 0) 1 λ=− =− 2 + 22 + 12 =− · E1 , E1 1 2Do d´ o 1 1 1 E2 = (1, 1, 0) − (1, 2, 1) = , 0, − . 2 2 2 ´ Tiˆp theo d˘t e a . E3 = E3 + αE1 + βE2sao cho E3 , E1 = E3 , E2 = 0. Tu.o.ng tu. nhu. trˆn, t`. diˆu kiˆn . e u ` e e . 1 . diˆu kiˆn E3 , E2 = 0 ta c´ β = −2. E3 , E1 = 0 ta c´ α = − v` t` ` o a u e e . o 3Do d´ o 1 2 2 2 E3 = E3 − E1 − 2E2 = ,− , 3 3 3 3v` thu du.o.c co. so. tru.c giao a . ’ . 1 1 2 2 2 E1 = (1, 2, 1), E2 = , 0, − , E3 = ,− , . 2 2 3 3 3 2) Tu.o.ng tu. nhu. phˆn 1), dˆu tiˆn ta d˘t . ` a ` a e a . E1 = E1 = (1, −1, 1) E2 = E2 + λE1sao cho E2 , E1 = 0. T`. d´ thu du.o.c u o . E1 , E2 2+3+4 λ=− =− = −3, E1 , E1 3v` do d´ a o E2 = (−1, 0, 1).
  • 208 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn ´ Tiˆp theo ta t` e ım E3 = E3 + αE1 + βE2 sao cho E3 , E1 = 0, E3 , E2 = 0 v` t`. d´ thu du.o.c a u o . E1 , E3 E2 , E3 α=− = −2; β=− = −2. E1 , E1 E2, E2 Nhu. vˆy a . E3 = (2, 4, 2). Sau c`ng ta chuˆn h´a c´c vecto. E1, E2 , E3 v` thu du.o.c co. so. tru.c u ’ a o a a . ’ . ’ chuˆn a 1 1 1 1 1 e1 = √ , − √ , √ , e2 = − √ , 0, √ , 3 3 3 2 2 1 2 1 e3 = √ , √ , √ . 6 6 6 V´ du 7. H˜y bˆ sung cho hˆ tru.c giao gˆm ba vecto. trong R4 : ı . a o ’ e . . ` o 1 1 7 7 b1 = (1, 1, 1, 1), b2 = (2, 2, −2, −2), b3 = − , , − , 2 2 2 2 dˆ thu du.o.c co. so. tru.c giao trong khˆng gian d´. e’ . ’ . o o ’ ’ ’ ` Giai. Ta c´ thˆ bˆ sung b˘ng hai c´ch o e o a a 1+ V` sˆ vecto. cua hˆ d˜ cho nho ho.n 4 (l` sˆ chiˆu cua khˆng ı o ´ ’ e a . ’ a o ´ ` e ’ o 4 4 gian R ) nˆn trong khˆng gian R ta c´ thˆ chon vecto e o ’ o e . . a4 sao cho hˆe . vecto. b1, b2 , b3, a4 dˆc lˆp tuyˆn t´nh v` sau d´ ´p dung ph´p tru.c giao o a ´ e ı a oa e . . . . h´a Gram-Smidth. o 2+ Ta c´ thˆ chon vecto. x = (x1, x2, x3, x4 ) dˆng th`.i tru.c giao v´.i o e . ’ ` o o . o c´c vecto a . b1 , b2, b3, t´.c l` thu du.o.c hˆ phu.o.ng tr` u a . e. ınh x1 + x2 + x3 + x4 = 0, 2x1 + 2x2 − 2x3 − 2x4 = 0, 1 1 7 7 − x1 + x2 − x3 + x4 = 0. 2 2 2 2
  • 5.3. Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn o ’ . a’ 209Ch˘ng han, t`. hˆ d´ ta c´ x = (7, −7, −1, 1). ’ a . u e o. oV´ du 8. 1+ Ch´.ng to r˘ng c´c vecto. x1 = (1, 1, 1, 2) v` x2 = ı . u ’ a ` a a(1, 2, 3, −3) l` tru.c giao v´.i nhau. a . o 2+ H˜y bˆ sung cho hˆ hai vecto. d´ dˆ thu du.o.c co. so. tru.c giao a o ’ e . o e’ . ’ . ’ 4cua R . Giai. 1+ Ta c´ ’ o x1 , x2 = 1 · 1 + 1 · 2 + 1 · 3 − 2 · 3 = 0.Do d´ ch´ng tru.c giao. o u . + ’ ’ 2 Gia su . x3 = (α, β, γ, 0), trong d´ α, β, γ du.o.c x´c dinh t`. c´c o . a . u a `diˆu kiˆn x3 , x1 = 0, x3 , x2 = 0 t´ a e e u.c l` . α+β+γ =0 α + 2β + 3γ = 0.T`. d´ x3 = (1, −2, 1, 0). u o Bˆy gi`. ta s˜ bˆ sung thˆm cho hˆ vecto. x1, x2 , x3 mˆt vecto. n˜.a. a o e o’ e e . o . uGia su. x4 = (α, β, γ, δ), trong d´ c´c toa dˆ α, β, γ, δ du.o.c x´c dinh ’ ’ o a . o . . a . . c´c d˘ng th´.c:t` a a u ’ u x4 , x1 = 0, x4 , x2 = 0, x4 , x2 = 0.T`. d´ u o α + β + γ + 2δ = 0, α + β + 3γ − 3δ = 0, α − 2β + γ = 0.T`. d´ thu du.o.c x4 = (−25, −4, 17, 6). Nhu. vˆy ta d˜ bˆ sung thˆm u o . a . a o ’ ehai vecto. x3, x4 v` thu du.o.c hˆ vecto. tru.c giao x1, x2, x3 , x4 trong a e . . .khˆng gian 4-chiˆ o ` u. D´ l` co. so. tru.c giao. e o a ’ . ` ˆ BAI TAP .
  • 210 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn 1. Gia su. a = (a1, a2), b = (b1 , b2) l` nh˜.ng vecto. t`y y cua R2 . Trong ’ ’ a u u ´ ’ c´c quy t˘c sau dˆy, quy t˘c n`o x´c dinh t´ vˆ hu.´.ng trˆn R2 : a ´ a a ´ a a a . ıch o o e 1) a, b = a1b1 + a2b2. 2) a, b = ka1b1 + a2b2 , k, = 0. 3) a, b = a1b1 + a1b2 + a2 b1. 4) a, b = 2a1b1 + a1b2 + a2b1 + a2b2. 5) a, b = 3a1b1 + a1b2 + a2b1 − a2 b2. (DS. 1), 2) v` 4) x´c dinh t´ vˆ hu.´.ng a a . ıch o o 3) v` 5) khˆng x´c dinh t´ vˆ hu.´.ng). a o a . ıch o o 2. Trong khˆng gian Euclide R4, x´c dinh g´c gi˜.a c´c vecto.: o a . o u a 5 1) a = (1, 1, 1, 1), b = (3, 5, 1, 1). (DS. arccos ) 6 π 2) a = (1, 1, 1, 1), b = (3, −5, 1, 1). (DS. ) 2 3) a = (1, 1, 1, 1), b = (−3, −3, −3, −3). (DS. π) 3. Trong khˆng gian Euclid R4 , t` dˆ d`i cua c´c canh v` c´c g´c o ım o a ’ a . . a a o ’ a a ’.i c´c vecto. a, b, a + b nˆu cua tam gi´c lˆp bo a ´ e . 1) a v` b nhu. trong 2.1) a 2) a v` b nhu. trong 2.2) a 3) a = (2, −1, 2, 4), b = (2, −1, 2, −4). √ 5 (DS. 1) a = 2, b = 6, a + b = 2 15, cos(a, b) = , 6 7 13 cos(a, a + b) = √ ; cos(b, a + b) = √ ; 2) a = 2, b = 6, 2 15 6 15 √ 1 a + b = 2 10, cos(a, b) = 0, cos(a, a + b) = √ , cos(b, a + b) = 10 3 7 √ ; 3) a = 5, b = 5, a + b = 6, cos(a, b) = − , 10 25 4 4 cos(a, a + b) = , cos(b, a + b) = ) 5 15 4. Ch´ u.ng minh r˘ng trong khˆng gian Euclide ` a o 1) a ⊥ a ⇔ a = θ. 2) Nˆu vecto. a ⊥ bi ∀ i = 1, s th` a tru.c giao v´.i moi tˆ ho.p tuyˆn e´ ı . o . o .’ ´ e ınh ’ t´ cua b1, . . . , bs.
  • 5.3. Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn o ’ . a’ 211 3) Hˆ c´c vecto. kh´c khˆng v` tru.c giao v´.i nhau t`.ng dˆi mˆt l` e a . a o a . o u o o a . e o a . . . ´hˆ dˆc lˆp tuyˆn t´ e ınh.5. Gia su. mˆt tam gi´c trong khˆng gian Euclide du.o.c lˆp nˆn bo.i ’ ’ o . a o . a e . ’c´c vecto a . a, b, a + b. Ch´.ng minh: u 1) dinh l´ Pithago: Nˆu a ⊥ b ⇒ a + b 2 = a 2 + b 2. . y ´ e 2) dinh l´ dao cua dinh l´ Pithago: Nˆu a + b 2 = a 2 + b . y ’ ’ . y ´ e 2 ⇒a ⊥ b. 3) dinh l´ h`m cosin: . y a 2 2 2 a+b = a + b +2 a b cos(a, b). 4) bˆt d˘ng th´.c tam gi´c ´ ’ a a u a a − b a+b ≤ a + b . Chı dˆ n. Su. dung bˆt d˘ng th´.c Cauchy-Bunhiakovski. ’ a˜ ’ . ´ ’ a a u6. Ch´.ng minh r˘ng trong h` b`nh h`nh du.ng trˆn hai vecto. a v` b u ` a ınh ı a . e a o’tˆng c´c b` phu a ınh .o.ng dˆ d`i cua c´c du.`.ng ch´o b˘ng tˆng c´c b`nh o a ’ a o e a ` o’ a ı .phu.o.ng dˆ d`i c´c canh o a a . . 2 2 2 a+b + a−b =2 a + 2 b 2.7. Ch´.ng minh r˘ng nˆu c´c vecto. a1, a2, . . . , am cua khˆng gian u ` a ´ e a ’ oEuclide l` t`.ng dˆi mˆt tru.c giao th` a u o o . . ı 2 2 2 a1 + a2 + · · · + am = a1 + a2 + · · · + am 2 . Chı dˆ n. X´t t´ vˆ hu.´.ng ’ a˜ e ıch o o a1 + a2 + · · · + am , a1 + a2 + · · · + am8. Ap dung qu´ tr` tru.c giao h´a dˆi v´.i c´c hˆ vecto. sau dˆy cua ´ . a ınh . ´ o o o a e . a ’Rn : 1) a1 = (1, −2, 2), a2 = (−1, 0, −1), a3 = (5, −3, −7).
  • 212 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn 2 2 1 (DS. E1 = a1 = (1, −2, 2); E2 = − , − , − ; E3 = (6, −3, −6)) 3 3 3 2) a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (3, 3, −1, −1), a3 = (−2, 0, 6, 8). (DS. E1 = a1 = (1, 1, 1, 1); E2 = (2, 2, −2, −2), E3 = (−1, 1, −1, 1)) 3) a1 = (1, 1, 1, 1); a2 = (3, 3, −1, −1); a3 = (−1, 0, 3, 4). (DS. E1 = a1 = (1, 1, 1, 1), E2 = (2, 2, −2, −2), E3 = − 1 1 7 7 , ,− , ) 2 2 2 2 9. Tru.c chuˆn h´a c´c hˆ vecto. sau dˆy cua khˆng gian R4 : . ’ a o a e . a ’ o 1) a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 1, −3, −3), a3 = (4, 3, 0, −1). 1 1 1 1 1 1 1 1 (DS. E1 = , , , , E2 = , , − , − , E3 = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ,− , ,− ) 2 2 2 2 2) a1 = (1, 2, 2, 0), a2 = (1, 1, 3, 5), a3 = (1, 0, 1, 0). 1 2 2 1 1 5 (DS. E1 = , , , 0 , E2 = 0, − √ , √ , √ , 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 17 8 5 E3 = √ , − √ , √ , − √ ) 78 3 78 3 78 3 78 10. Ch´.ng to r˘ng c´c hˆ vecto. sau dˆy trong R4 l` tru.c giao v` bˆ u ’ a ` a e . a a . a o’ a e o e ’ ’ sung cho c´c hˆ d´ dˆ tro a . th`nh co. so. tru.c giao: ’ . . 1) a1 = (1, −2, 1, 3), a2 = (2, 1, −3, 1) (DS. Ch˘ng han, c´c vecto. a3 = (1, 1, 1, 0), a4 = (−1, 1, 0, 1)) ’ a . a 2) a1 = (1, −1, 1, −3), a2 = (−4, 1, 5, 0). (DS. Ch˘ng han, c´c vecto. a3 = (2, 3, 1, 0) v` a4 = (1, −1, 1, 1)) ’ a . a a 11. Ch´.ng to r˘ng c´c vecto. sau dˆy trong R4 l` tru.c giao v` bˆ sung u ’ ` a a a a . a o ’ cho c´c hˆ d´ dˆ tro. th`nh co. so. tru.c giao v` chuˆn h´a c´c co. so. d´ a e o e ’ a . ’ ’ . a ’ a o a ’ o 1) a1 = (1, −1, 1, −1), a2 = (1, 1, 1, 1). 1 1 1 1 1 1 1 1 (DS. E1 = , − , , − , E2 = , , , , E3 = − 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 √ , 0, √ , 0 , 2 2
  • e ´ o e ’ ´5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e ınh 213 1 1 E4 = 0, − √ , 0, √ ) 2 2 2) a1 = (1, −1, −1, 3), a2 = (1, 1, −3, −1) √ 1 1 1 3(DS. E1 = √ ,− √ ,− √ , , E2 = √ 2 3 2 3 2 3 2 1 1 3 1 √ , √ ,− ,− √ , 2 3 2 3 2 2 3 2 1 1 1 2 1 E 3 = √ , √ , √ , 0 , E4 = − √ , √ , 0, √ ) 6 6 6 6 6 65.4 ´ o ’ ´ Ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ e e e ınh5.4.1 -. Dinh ngh˜ ıaAnh xa L : Rn → Rn biˆn khˆng gian Rn th`nh ch´nh n´ du.o.c goi l`´ . ´ e o a ı o . . a ´ ’ ´ ’ n ´ e o ’mˆt ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ (bdtt) cua khˆng gian R nˆu n´ thoa o . e e o e ınh o `m˜n hai diˆu kiˆn sau dˆy a e e . a (i) V´ o.i hai vecto. a v` b ∈ Rn bˆt k` a ´ a y L(a + b) = L(a) + L(b). (5.15) (ii) V´.i vecto. a ∈ Rn bˆt k` v` ∀ λ ∈ R ta c´ o ´ a y a o L(λa) = λL(a). (5.16)Hai diˆu kiˆn (5.15) v` (5.16) tu.o.ng du.o.ng v´.i diˆu kiˆn: ` e e . a o ` e e . L(λ1 a + λ2 b) = λ1 L(a) + λ2 L(b). T`. dinh ngh˜ suy ra: nˆu hˆ vecto. a1, a2, . . . , am ∈ Rn l` pttt th` u . ıa ´ . e e a ı e a . anh f(a1 ), . . . , f (am ) c˜ng l` pttt.hˆ c´c vecto ’ u a .5.4.2 a . ’ Ma trˆn cua ph´p bdtt eGia su. trong khˆng gian Rn ta cˆ dinh mˆt co. so. (E) n`o d´: ’ ’ o ´ o . o . ’ a o E = {E1 , E2 , . . . , En }. (5.17)
  • 214 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn o o e’ Khi d´ ∀ x ∈ Rn ta c´ khai triˆn x = x1 E1 + x2 2 + · · · + xn En . Moi ma trˆn vuˆng A = aij n×n dˆu . a . o `e x´c dinh ph´p bdtt L theo a . e cˆng th´ o u.c      y1 a11 a12 . . . a1n x1   y   a21 a22 . . .    2  a2n   x2   = . · · ·   . . .. . .  .  .  .  (5.18) . . . .  .  yn an1 an2 . . . ann xn N´i c´ch kh´c: dˆ thu du.o.c toa dˆ anh y = L(x) ta cˆn nhˆn ma trˆn o a a ’ e . . o’ . ` a a a . .i cˆt toa dˆ cua x. Viˆt ra chi tiˆt ta c´ A v´ o . o ’ o . e´ ´ e o . y1 = a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn , ... ... ... ... ... ... (5.19) yn = an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn . Ngu.o.c lai, trong co. so. d˜ chon (5.17) mˆ i ph´p bdtt L dˆu tu.o.ng . . ’ a . ˜ o e ` e u.ng v´.i mˆt ma trˆn A = aij cˆp n v` su. t´c dˆng cua ph´p bdtt ´ o o. a . ´ a a . a o . ’ e .o.c thu.c hiˆn theo cˆng th´.c (5.18) hay (5.19). du . e o u . . Viˆc t` ma trˆn cua ph´p bdtt du.o.c tiˆn h`nh nhu. sau e ım . a ’ . e . ´ e a 1+ T´c dˆng L lˆn c´c vecto. co. so. cua (5.17) v` thu du.o.c anh a o . e a ’ ’ a . ’ L(Ei ), i = 1, n. 2+ Khai triˆn c´c anh L(Ei ) theo co. so. (5.17): ’ e a ’ ’  L(E1 ) = a11E1 + a21E2 + · · · + an1 En ,   L(E2 ) = a12E1 + a22E2 + · · · + an2 En ,  (5.20) ... ... ... ... ...     L(E ) = a1n E1 + a2nE2 + · · · + ann En . T`. c´c toa dˆ trong (5.20) ta lˆp ma trˆn A sao cho toa dˆ cua vecto. u a . o . a . a . . o ’ .
  • e ´ o e ’ ´5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e ınh 215L(Ei ), i = 1, n l` cˆt th´. i cua A, t´.c l` a o. u ’ u a   a11 a12 . . . a1n    a21 a22 . . . a2n  A= .  . . .. .   . . . . .  .  an1 an2 . . . ann o a a ’D´ l` ma trˆn cua ph´p bdtt. . e Ta lu.u y r˘ng khi thay dˆi co. so. th` ma trˆn cua ph´p biˆn dˆi ´ `a o’ ’ ı a . ’ e ´ e o ’tuyˆn t´ s˜ thay dˆi. Gia su. ma trˆn chuyˆn t`. co. so. (E) dˆn co. so. ´ e ınh e o’ ’ ’ a . ’ e u ’ ´ e ’(E ) du.o.c k´ hiˆu l` TEE , trong d´ . y e a . o E = {E1 , E2 , . . . , En }v` A l` ma trˆn ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ L theo co. so. (5.17). Khi d´, a a a . e ´ ’ e o ´ e ınh ’ o a ’ma trˆn B cua L theo co ’ . so. (E ) liˆn hˆ v´.i ma trˆn A cua n´ theo e e o a ’ o . . .co. so. (5.17) bo.i cˆng th´.c ’ ’ o u −1 B = TEE ATEE (5.21)hay l` a −1 A = TEE BTEE (5.22)5.4.3 C´c ph´p to´n a e aGia su. A v` B l` hai ph´p bdtt cua khˆng gian Rn v´.i ma trˆn tu.o.ng ’ ’ a a e ’ o o a .u´.ng l` A = aij v` B = bij t`y y. a a u ´ + ’ ´ ’ 1 Tˆng A + B l` ph´p biˆn dˆi C sao cho o a e e o C(x) = A(x) + B(x) ∀ x ∈ Rnv´.i ma trˆn tu.o.ng u.ng l` C = A + B = aij + bij . o a . ´ a
  • 216 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn 2+ T´ c´c ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ A v´.i sˆ thu.c α ∈ R l` ph´p ıch a e ´ ’ e o ´ e ınh o o .´ a e ´ biˆn dˆ e o ’i αA sao cho (αA)(x) = αA(x) v´.i ma trˆn l` α aij . o a a . + ıch a e ´ ’ 3 T´ AB l` ph´p biˆn dˆi e o C(x) = A(B(x)) v´.i ma trˆn l` C = A · B. o a a . 5.4.4 Vecto. riˆng v` gi´ tri riˆng e a a . e Vecto. kh´c khˆng x ∈ Rn du.o.c goi l` vecto. riˆng cua ph´p biˆn dˆi a o . . a e ’ e ´ e o ’ tuyˆn t´ L nˆu t` du.o.c sˆ λ sao cho d˘ng th´.c sau thoa m˜n ´ e ınh ´ e ım . o ´ ’ a u ’ a L(x) = λx. (5.23) Sˆ λ du.o.c goi l` gi´ tri riˆng cua ph´p bdtt L tu.o.ng u.ng v´.i vecto. ´ o . . a a . e ’ e ´ o riˆng x. e C´c t´ chˆt cua vecto. riˆng a ınh a ’ ´ e 1+ Mˆ i vecto. riˆng chı c´ mˆt gi´ tri riˆng. ˜ o e ’ o o a . e . + ´ 1 2 2 Nˆu x v` x l` c´c vecto e e a a a . riˆng cua ph´p bdtt L v´.i c`ng mˆt ’ e o u o. ’ 1 2 gi´ tri riˆng λ th` tˆng x + x c˜ng l` vecto e a . e ı o u a . riˆng cua L v´.i gi´ tri ’ o a . riˆng λ. e 3+ Nˆu x l` vecto. riˆng cua L v´.i gi´ tri riˆng λ th` moi vecto. αx e´ a e ’ o a . e ı . (α = 0) c˜ng l` vecto e u a . riˆng cua L v´.i gi´ tri riˆng λ. ’ o a . e Nˆu trong khˆng gian Rn d˜ chon mˆt co. so. x´c dinh th` (5.23) c´ e´ o a . o . ’ a . ı o ’ ´ .´.i dang ma trˆn thˆ viˆt du o . e e a . AX = λX (5.24) v` khi d´: moi cˆt kh´c khˆng thoa m˜n (5.24) du.o.c goi l` vecto. riˆng a o . o . a o ’ a . . a e ’ cua ma trˆn A tu a .o.ng u.ng v´.i gi´ tri riˆng λ. ´ o a . e .
  • e ´ o e ’ ´5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e ınh 217 V` λX = λEX, trong d´ E l` ma trˆn do.n vi nˆn (5.24) c´ thˆ ı o a a . . e o e ’viˆt du.´.i dang ´ e o . (A − λE)X = 0v` du.´.i dang toa dˆ ta thu du.o.c a o . . o . .  (a11 − λ)x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = 0,    a21x1 + (a22 − λ)x2 + · · · + a2n xn = 0,  (5.25) ... ... ... ... ...   an1 x1 + an2x2 + · · · + (ann − λ)xn = 0. Dˆ t` c´c vecto. riˆng, tru.´.c hˆt cˆn t` nghiˆm kh´c 0 cua hˆ ’ e ım a e ´ a o e ` ım e . a ’ e . . ’ a hˆ (5.25) tˆn tai khi v` chı khi dinh th´.c(5.25). Nghiˆm kh´c 0 cu e e a . ` . o a ’ . u ’ o a ` .c l`cua n´ b˘ng 0, t´ a u a11 − λ a12 ... a1n a21 a22 − λ ... a2n |A − λE| = . . .. . = 0. (5.26) . . . . . . . an1 an2 . . . ann − λ Phu.o.ng tr` (5.26) du.o.c goi l` phu.o.ng tr` d˘c tru.ng cua ma ınh . . a ınh a. ’trˆn A, c`n c´c nghiˆm cua n´ goi l` c´c sˆ d˘c tru.ng hay gi´ tri riˆng a. o a e . ’ o . a a o a ´ . a . e ’ .o.c c´c sˆ d˘c tru.ng λ1 , λ2 , . . . , λn tacua ma trˆn A. Sau khi t` du . a o a a ım ´ . .cˆn thay gi´ tri λi v`o (5.25) dˆ t`m c´c toa dˆ x1, . . . , xn cua vecto. ` a a . a ’ e ı a . o . ’riˆng tu.o.ng u.ng. e ´ CAC V´ DU ´ I .V´ du 1. Cho L : R2 → R2 ı . (a1 , a2) −→ L(a1 , a2) = (a1 + a2, 2a1 ). 1+ Ch´.ng minh r˘ng L l` ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ u ` a a e ´ ’ e o ´ e ınh. + ım a ’ . so. ch´ t˘c e = {e1 , e2}. 2 T` ma trˆn cua L theo co ’ ınh ´ a .
  • 218 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn Giai. 1+ Gia su. x = (x1, x2 ), y = (y1, y2). Khi d´ ’ ’ ’ o αx + βy = α(x1 , x2) + β(y1, y2) = (αx1 + βy1, αx2 + βy2) v` do d´ a o L(αx + βy) = L(αx1 + βy1, αx2 + βy2) = αx1 + βy1 + αx2 + βy2, 2(αx1 + βy1) = α(x1 + x2) + β(y1 + y2), α2x1 + β2y1 = α(x1 + x2), α2x1 + β(y1 + y2), β2y1 = α(x1 + x2, 2x1 ) + β(y1 + y2, 2y1 ) = αL(x1 , x2) + βL(y1 , y2) = αL(x) + βL(y). Nhu. vˆy L l` ph´p bdtt. a . a e + ’ ’ ´ ’ ´ ’ 2 Dˆ t` ma trˆn cua ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ L ta khai triˆn e ım a . e e o e ınh e anh L(e1 ) v` L(e2 ) theo co. so. ch´ t˘c. Ta c´ ’ a ’ ınh ´ a o L(e1 ) = L(1, 0) = (1, 2 · 1) = L(1, 2) = 1 · e1 + 2 · e2, L(e2 ) = L(0, 1) = (1, 2 · 0) = L(1, 0) = 1 · e1 + 0 · e2. T`. d´ thu du.o.c u o . 1 1 A= . 2 0 V´ du 2. X´t khˆng gian R3 v´.i co. so. E: E1 = (1, 1, 1), E2 = (0, 1, 1), ı . e o o ’ E3 = (0, 0, 1) v` ph´p biˆn dˆi L : R3 → R3 x´c dinh bo.i d˘ng th´.c a e ´ ’ e o a . ’ a ’ u L[(u1 , u2, u3)] = (u1, u2 − u1 , u3 − u1) ∀ u = (u1 , u2, u3 ) ∈ R3 . 1+ Ch´.ng minh r˘ng L l` ph´p bdtt. u ` a a e 2 T` ma trˆn cua L trong co. so. d˜ chon. + ım a ’ . ’ a .
  • e ´ o e ’ ´5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e ınh 219 Giai. 1+ Gia su. x = (x1, x2 , x3), y = (y1 , y2, y3) ∈ R3 v` α, β ∈ R. ’ ’ ’ aTa c´ o L(αx + βy) = L α(x1 , x2, x3) + β(y1, y2, y3 ) = L (αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3) = αx1 + βy1, αx2 + βy2 − αx1 − βy1, αx3 + βy3 − αx1 − βy1 = αx1 , α(x2 − x1), α(x3 − x1) + βy1, β(y2 − y1), β(y3 − y2) = α(x1, x2 − x1 , x3 − x1 ) + β(y1, y2 − y1, y3 − y1 ) = αL(x) + βL(y). . a e ´ ’ e o a ´Vˆy L l` ph´p biˆn dˆi phˆn tuyˆn t´ a e ınh. 2+ Dˆ t` ma trˆn cua L dˆi v´.i co. so. E1 , E2 , E3 ta c´ ’ e ım a ’ . ´ o o ’ oL(E1 ) = L(1, 1, 1) = (1, 1 − 1, 1 − 1) = (1, 0, 0) = E1 + 0 · E2 + 0 · E3 ,L(E2 ) = L(0, 1, 1) = (0, 1, 1) = 0 · E1 + 1 · E2 + 1 · E3 ,L(E3 ) = L(0, 0, 1) = (0, 0, 1) = 0 · E1 + 0 · E2 + 1 · E3 .T`. d´ suy r˘ng ma trˆn cua L dˆi v´.i co. so. d˜ cho l` u o ` a a ’ . ´ o o ’ a a   1 0 0   A = 0 1 0 . 0 1 1V´ du 3. Trong khˆng gian R3 cho co. so. ch´ t˘c e = {e1, e2, e3} v` ı . o ’ ınh ´ a aE = {E1 , E2 , E3 }, E1 = 2e1 − e2 + 3e3 , E2 = e1 + e3, E3 = −e2 + 2e3 l` amˆt co. so. kh´c v` gia su. L : R3 → R3 l` ´nh xa du.o.c x´c dinh theo o . ’ a a ’ ’ aa . . a . . so. {e1, e2 , e3} nhu. sauco ’ x = (x1, x2, x3 ) −→ f(x) = (x, x1 + x2 , x1 + x2 + x3) 1+ T` toa dˆ cua vecto. x = 3e1 − e2 = (3, −1, 0) dˆi v´.i co. so. ım . o ’ . ´ o o ’(E1 , E2, E3 ). 2+ Ch´.ng minh r˘ng L l` ph´p bdtt. u ` a a e
  • 220 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn 3+ T` ma trˆn cua L theo co. so. {e1 , e2, e3} v` {E1 , E2 , E3 }. ım a ’ . ’ a ’ + ’ Giai. 1 Ma trˆn chuyˆn t` a e u . co. so. {e1, e2 , e3} dˆn co. so. (E1 , E2 , E3 } ’ ´ e ’ . l`: a     2 1 0 1 −2 −1   −1   TeE = −1 0 −1 ⇒ TeE −1 4 2 . 3 1 2 −1 1 1 Gia su. (x∗ , x∗, x∗) l` toa dˆ cua x dˆi v´.i co. so. {E1 , E2 , E3 }. Khi ’ ’ 1 2 3 a . o ’ . ´ o o ’ d´ o          x∗ 1 x1 1 −2 −1 3 5  ∗ −1        x2 = TeE x2  = −1 4 2  −1 = −7 . x∗ 3 x3 −1 1 1 0 −4 Vˆy toa dˆ cua x dˆi v´.i co. so. E1 , E2 , E3 l` (5, −7, −4) v` do d´ x = a . o ’ . . ´ o o ’ a a o 5E1 − 7E2 − 4E3 . 2+ Viˆc ch´.ng minh L l` ph´p bdtt du.o.c tiˆn h`nh tu.o.ng tu. nhu. e . u a e . ´ e a . v´ du 2. ı . 3+ Gia su. f (x) = (y1 , y2, y3). Khi d´ ´p dung (5.18) ta c´ ’ ’ oa . o f (x1 , x2, x2 ) = (x1 , x1 + x2, x1 + x2 + x3 ) = (y1 , y2, y3). Do vˆy trong co. so. ch´ t˘c ta c´ a . ’ ınh ´ a o        y1 x1 1 0 0 x1        y2  =  x1 + x2  = 1 1 0 x2  y3 x1 + x2 + x3 1 1 1 x3 v` do d´ a o   1 0 0   A = 1 1 0 . 1 1 1
  • e ´ o e ’ ´5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e ınh 221 Gia su. B l` ma trˆn cua L theo co. so. E1 , E2, E3 . Khi d´ ’ ’ a a ’ . ’ o     1 −2 −1 1 0 0 2 1 0 −1     B = TeE ATeE = −1 4 2  1 1 0 −1 0 1 −1 1 1 1 1 1 3 1 2   −4 −3 1   =  10 7 −2 . 3 2 0V´ du 4. Gia su. L : R3 → R3 v` L∗ : R3 → R3 l` hai ph´p biˆn dˆi ı . ’ ’ a a e ´ ’ e o ´ 3 e ınh ’tuyˆn t´ cua R , trong d´o L(x1 , x2, x3) = (x2 + x3 , −2x1, x1 + x2 ), L∗ (x1 , x2, x3) = (c1 − x2 , 2x3, 2x2 + x3 ).T` L + L∗ , L ◦ L∗ , L∗ ◦ L v` ma trˆn cua ch´ng. ım a a ’ . u ’ Giai. Ta c´: o 1) (L + L∗ )(x1 , x2, x2) = L(x1, x2 , x3) + L∗ (x1 , x2, x3) = (x2 + x3, −2x1 , x1 + x3) + (x1 − x2, 2x3 , 2x2 + x3) = (x1 + x3, −2(x1 − x3 ), x1 + 3x2 + x3 ).T`. d´ ph´p biˆn dˆi L + L∗ c´ thˆ du.o.c cho bo.i cˆng th´.c u o e ´ ’ e o o e ’ . ’ o u y1 = x1 + x3 , y2 = −2x1 + 2x3, y3 = x1 + 3x2 + x3v` ma trˆn AL+L∗ cua L + L∗ c´ dang a a . ’ o .   1 0 1   AL+L∗ = −2 0 2 . 1 3 1
  • 222 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn Ta lu.u y r˘ng t`. c´c cˆng th´.c cho L v` L∗ ta c´ ´ `a u a o u a o     0 1 1 1 −1 0     AL = −2 0 0 , AL∗ = 0 0 2 1 1 0 0 2 1 v` thu du.o.c AL+L∗ b˘ng ph´p cˆng AL v´.i AL∗ . a . ` a e o . o 2) Ta c´o (L ◦ L∗ )(x) = L[L∗ (x)] = L x1 − x2, 2x3 , 2x2 + x3) = 2x3 + 2x2 + x3, −2(x1 − x2), x1 − x2 + 2x3 = (2x2 + 3x3, −2x1 + 2x2 , x1 − x2 + 2x3 ) v` tu.o.ng tu. nhu. trˆn ta c´ a . e o   0 2 3   AL◦L∗ = −2 2 0 1 −1 2 (Lu.u y r˘ng AL◦L∗ = AL × AL∗ ). ´ ` a 3) Tru.`.ng ho.p L∗ ◦ L du.o.c giai tu.o.ng tu. 2). o . . ’ . V´ du 5. 1) Ch´.ng minh r˘ng trong co. so. e = {e1, e2} cua khˆng ı . u ` a ’ ’ o 2 gian R vecto . x = e1 − 3e2 l` vecto. riˆng cua ph´p bdtt L c´ ma trˆn a e ’ e o a. . so. e l` trong co ’ a 2 1 A= 3 0 v` v´.i gi´ tri riˆng λ = −1. a o a . e 2) T` gi´ tri riˆng v` vecto. riˆng cua ph´p bdtt x´c dinh bo.i c´c ım a . e a e ’ e a . ’ a phu.o.ng tr` y1 = 5x1 + 4x2 , y2 = 8x1 + 9x2 . ınh Giai. 1) Tru.´.c hˆt ta lu.u y r˘ng vecto. x = θ. ’ o e ´ ´ a` ` Ta cˆn ch´ a u.ng to L(x) = −x. Thˆt vˆy, ta c´ ’ a a o . . 2 1 1 −1 1 L(x) = = =− = −x. 3 0 −3 3 −3
  • e ´ o e ’ ´5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e ınh 223Nhu. vˆy L(x) = −x v` do d´ x l` vecto. riˆng u.ng v´.i gi´ tri riˆng a . a o a e ´ o a . eλ = −1. o . e ´ ’ 2) 1+ Ta c´ ma trˆn cua ph´p biˆn dˆi l` a ’ e o a 5 4 . 8 9Phu.o.ng tr` d˘c tru.ng c´ dang ınh a . o . 5−λ 4 = 0 ⇔ λ2 − 14λ + 13 = 0 8 9−λ λ1 = 1, ⇔ λ2 = 13. 2+ Ca hai gi´ tri λ = 1 v` λ = 13 dˆu l` c´c gi´ tri riˆng. ’ a . a ` a a e a . e 3+ Dˆ t` toa dˆ cua c´c vecto. riˆng ta c´ hai hˆ phu.o.ng tr`nh ’ e ım . o ’ a . e o e . ı ´tuyˆn t´ e ınh (5 − λ1 )ξ1 + 4ξ2 = 0, (5 − λ2 )ξ1 + 4ξ2 = 0, (I) (II) 8ξ1 + (9 − λ1 )ξ2 = 0. 8ξ1 + (9 − λ2 )ξ2 = 0. i) V` λ1 = 1 nˆn hˆ (I) c´ dang ı e e . o . 4ξ1 + 4ξ2 = 0, 8ξ1 + 8ξ2 = 0.T`. d´ suy ra ξ2 = −ξ1 , do d´ nghiˆm cua hˆ n`y c´ dang ξ1 = α1, u o o e. ’ e a o . .ξ2 = −α1, trong d´ α1 l` dai lu . o a . .o.ng t`y y. V` vecto. riˆng kh´c khˆng u ´ ı e a onˆn c´c vecto ´ e a . u.ng v´.i gi´ tri riˆng λ1 = 1 l` c´c vecto. u(α1, −α1), o a . e a atrong d´ α1 = 0 l` t`y y. o a u ´ ii) Tu.o.ng tu. khi λ2 = 13 hˆ (II) tro. th`nh . e. ’ a −8ξ1 + 4ξ2 = 0, 8ξ1 − 4ξ2 = 0,
  • 224 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn t´.c l` ξ2 = 2ξ1 . D˘t ξ1 = β ⇒ ξ2 = 2β. Vˆy hˆ (II) c´ nghiˆm l` u a a. a e . . o e a . ξ1 = β, ξ2 = 2β. V` vecto e ı . riˆng kh´c khˆng nˆn c´c vecto. riˆng u.ng a o e a e ´ o.i gi´ tri λ2 = 13 l` c´c vecto. v(β, 2β). v´ a . a a V´ du 6. T` gi´ tri riˆng v` vecto. riˆng cua ph´p biˆn dˆi tuyˆn ı . ım a . e a e ’ e ´ e o ’ ´ e t´ L v´.i ma trˆn ınh o a . 1 2 A= . 5 4 Giai. Da th´.c d˘c tru.ng cua ph´p biˆn dˆi L ’ u a . ’ e ´ ’ e o 1−λ 2 P (λ) = = λ2 − 5λ − 6. 5 4−λ N´ c´ hai nghiˆm thu.c λ1 = 6, λ2 = −1. C´c vecto. d˘c tru.ng du.o.c o o e . . a a . . t`m t` ı u . hai hˆ phu.o.ng tr` e ınh . (1 − λi )ξ1 + 2ξ2 = 0, i = 1, 2. 5ξ1 + (4 − λi )ξ2 = 0, V` dinh th´.c cua hˆ = 0 nˆn mˆ i hˆ chı thu vˆ mˆt phu.o.ng tr` ı . u ’ e . e ˜ . o e ’ ` o e . ınh. ξ1 2 1+ V´.i λ1 = 6 ta c´ 5ξ1 − 2ξ2 = 0 ⇒ o o = v` do d´ ta c´ thˆ a o o e ’ ξ2 5 lˆy vecto. riˆng tu.o.ng u.ng l` u = (2, 5) (ho˘c moi vecto. αu, α ∈ R, ´ a e ´ a a . . α = 0) ξ1 2+ V´.i λ2 = −1 ta c´ ξ1 + ξ2 = 0 ⇒ o o = −1 v` vecto. riˆng tu.o.ng a e ξ2 u.ng l` v = (1, −1) (hay moi vecto. dang βv, β = 0). ´ a . . V´ du 7. T` c´c gi´ tri riˆng v` vecto. riˆng cua ph´p biˆn dˆi tuyˆn ı . ım a a . e a e ’ e ´ ’ e o ´ e t´ L trˆn R3 v´.i ma trˆn theo co. so. ch´ t˘c l` ınh e o a. ’ ınh ´ a a   1 1 4   A =  2 0 −4 −1 1 5
  • e ´ o e ’ ´5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e ınh 225 Giai. Ta c´ da th´.c d˘c tru.ng cua ma trˆn A l` ’ o u a . ’ a . a 1−λ 1 4 det(A − λE) = 2 −λ −4 = −λ3 + 6λ2 − 11λ + 6 −1 1 5−λv` a  λ1 = 1,  det(A − λE) = 0 ⇐⇒ λ2 = 2, λ3 = 3. Gia su. x = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = 0 l` vecto. riˆng u.ng v´.i gi´ tri riˆng λ. ’ ’ a e ´ o a . e a e . ’ e . `Khi d´ x l` nghiˆm cua hˆ thuˆn nhˆt o a ´ a  (1 − λ)ξ1 + ξ2 + 4ξ3 = 0,  2ξ1 − λξ2 − 4ξ3 = 0, (*)   −ξ1 + ξ2 + (5 − λ)ξ3 = 0. 1+ Khi λ = 1 ta c´ o  ξ2 + 4ξ3 = 0, (∗) ⇒ 2ξ1 − ξ2 − 4ξ3 = 0,   −ξ1 + ξ2 + 4ξ3 = 0. . o’ ⇒ nghiˆm tˆng qu´t l` (0, −4α, α), α = 0 t`y y. e a a u ´ Vˆy v´.i gi´ tri riˆng λ1 = 1 ta c´ c´c vecto. riˆng u.ng v´.i n´ l` a o . a . e o a e ´ o o a(0, −4α, α), α ∈ R, α = 0. 2+ Khi λ = 2 ta c´ o  −ξ1 + ξ2 + 4ξ3 = 0, (∗) ⇒ 2ξ1 − 2ξ2 − 4ξ3 = 0,   −ξ1 + ξ2 + 3ξ3 = 0⇒ hˆ c´ nghiˆm tˆng qu´t l` (β, β, 0), β = 0 v` do d´ vecto. riˆng u.ng e o . e o . ’ a a a o e ´v´ o.i λ = 2 l` (β, β, 0), β = 0. a
  • 226 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn 3+ Khi λ = 3, thu.c hiˆn tu.o.ng tu. nhu. o. 1+ v` 2+ ta thu du.o.c . e . . ’ a . . riˆng tu.o.ng u.ng (2γ, 0, γ), γ = 0 t`y y. vecto e ´ u ´ V´ du 8. T` gi´ tri riˆng v` vecto. riˆng cua ph´p bdtt v´.i ma trˆn ı . ım a . e a e ’ e o a .   7 −12 6   A = 10 −19 10 . 12 −24 13 Giai. Phu.o.ng tr` d˘c tru.ng ’ ınh a . 7−λ −12 6 P (λ) = 10 −19 − λ 10 =0 12 −24 13 − λ c´ nghiˆm λ1 = λ2 = 1, λ1 = −1. C´c vecto. d˘c tru.ng du.o.c x´c dinh o e . a a . . a . t` u. hai hˆ phu.o.ng tr` e ınh . (7 − λi )ξ − 12η + 6ζ = 0, 10ξ − (19 + λi )η + 10ζ = 0, 12ξ − 24η + (13 − λi )ζ = 0; i = 1, 2. 1+ Khi λ = 1 ta c´ o 6ξ − 12η + 6ζ = 0, 10ξ − 20η + 10ζ = 0, 12ξ − 24η + 12ζ = 0. Hang cua ma trˆn (goi l` ma trˆn d˘c tru.ng) (A − λ1 E) cua hˆ n`y . ’ a . . a a a . . ’ e a . l` b˘ng r = 1. Do d´ hˆ tu.o.ng du.o.ng v´.i mˆt phu.o.ng tr` a a` o e. o o . ınh ξ − 2η + ζ = 0. T`. d´ suy r˘ng hˆ c´ hai nghiˆm dˆc lˆp tuyˆn t´ u o ` a e o . e . o a . . ´ ’ e ınh, ch˘ng han a . u = (4, 5, 6), v = (3, 5, 7).
  • e ´ o e ’ ´5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e ınh 227 2+ Khi λ2 = −1 ta c´ o 8ξ − 12η + 6ζ = 0, 10ξ − 18η + 10ζ = 0, 12ξ − 24η + 14ζ = 0.Hang cua ma trˆn (A−λ3 E) cua hˆ b˘ng r = 2. Do d´ hˆ tu.o.ng du.o.ng . ’ a . ’ e ` . a o e. .i hˆ hai phu.o.ng tr`v´ e o . ’ o o . ınh. Nghiˆm riˆng cua n´ c´ dang w = (3, 5, 6). e e .Nhu a. vˆy u, v, w l` c´c vecto. riˆng cua ph´p bdtt d˜ cho. a a e ’ e a .V´ du 9. Cho ma trˆn ı . a . 0 1 A= . 1 0T` ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ L tu.o.ng u.ng v´.i ma trˆn d´. ım e ´ ’ e o ´ e ınh ´ o a o . ’ ’ ’ Giai. Gia su. x = ae1 + be2 l` vecto. t`y y cua m˘t ph˘ng. Dˆ t`m a u ´ ’ a ’ a ’ e ı . e ´ ’ e o ´ e ınh ` a ’ o ’ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ ta cˆn chı r˜ anh y = Ax. Ta c´ o 0 1 a b y= = = be1 + ae2. 1 0 b aNhu. vˆy ph´p biˆn dˆi L c´ t´ chˆt l`: thay dˆi vai tr` cua c´c toa a . e ´ ’ e o o ınh a a´ o’ o ’ a .dˆ cua mˆ i vecto. x ∈ R2 . T`. d´ suy r˘ng L l` ph´p phan xa gu.o.ng o ’ . ˜ o u o ` a a e ’ . ´dˆi v´ o o .i du.`.ng phˆn gi´c th´. nhˆt. o a a u ´ a ` ˆ BAI TAP . Trong c´c b`i to´n (1 - 11) h˜y ch´.ng to ph´p biˆn dˆi d˜ cho l` a a a a u ’ e ´ ’ e o a a e a ım a ’ u . so. ch´ t˘c.ph´p bdtt v` t` ma trˆn cua ch´ng theo co ’ ınh a ´ .1. Ph´p biˆn dˆi L l` ph´p quay moi vecto. cua m˘t ph˘ng xOy xung e ´ ’ e o a e . ’ a . ’ aquanh gˆc toa dˆ mˆt g´c ϕ ngu.o.c chiˆu kim dˆng hˆ. ´ o . o o o. . . ` e ` o ` o cos ϕ − sin ϕ (DS. AL = ) sin ϕ cos ϕ
  • 228 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn 2. Ph´p biˆn dˆi L l` ph´p quay khˆng gian thu.c ba chiˆu mˆt g´c ϕ e ´ ’ e o a e o . ` e o o . xung quanh truc Oz. .   cos ϕ − sin ϕ 0   (DS.  sin ϕ cos ϕ 0) 0 0 1 3. Ph´p biˆn dˆi L l` ph´p chiˆu vuˆng g´c vecto. a ∈ R3 lˆn m˘t e ´ e o ’ a e ´ e o o e a . ’ ph˘ng xOy. a   1 0 0   (DS. 0 1 0) 0 0 0 4. Ph´p biˆn dˆi L l` t´ vecto. y = [a, x], trong d´ a = a1 x1 + a2x2 + e ´ ’ e o a ıch o . cˆ dinh cua R3 . ´ a3 x3 l` vecto o . a ’   0 −a3 a2   (DS.  a3 0 −a1) −a2 a1 0 Chı dˆ n. Su. dung ph´p biˆu diˆn t´ vecto. du.´.i dang dinh th´.c. ’ a˜ ’ . e ’ e ˜ ıch e o . . u e ´ e o ’ a e e ’ o ´ o ` ´ 5. Ph´p biˆn dˆi L l` ph´p biˆn dˆi dˆng nhˆt trong khˆng gian a o ` n . so.. n-chiˆu R trong moi co ’ e .   1 0 ... 0    0 1 . . . 0 (DS. E =  . . .   . . . . . ) .  . . . 0 0 ... 1 6. L l` ph´p a e ´ ’ o e o ` ` biˆn dˆi dˆng dang L(x) = αx trong khˆng gian n-chiˆu. . o e   α 0 ... 0   0 α . . . 0 (DS.  . . .. . ) . . . . . . . 0 0 ... α
  • e ´ o e ’ ´5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e ınh 229 ´ ’7. Ph´p biˆn dˆi L c´ dang L(x) = x2 e1 + x3 e2 + x4 e3 + x1e4 trong d´ e e o o . ox = x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4 e4.   0 1 0 0 0 0 1 0   (DS.  ) 0 0 0 1 1 0 0 0 ´ e o ’ a e ´8. Ph´p biˆn dˆi L l` ph´p chiˆu vuˆng g´c khˆng gian 3-chiˆu lˆn e e o o o ` e etruc ∆ lˆp v´ a a o .i c´c truc toa dˆ nh˜.ng g´c b˘ng nhau, t´.c l` (Ox, ∆) = ` . . . . o u . o a u a(Oy, ∆) = (Oz, ∆) = α.   1 1 1 3 3 3   1 1 1 (DS.  ) 3 3 3 1 1 1 3 3 3 Chı dˆ n. Su. dung t´ chˆt cua cosin chı phu.o.ng cua g´c bˆt k` ’ a ˜ ’ . ınh a ’´ ’ ’ o a y ´ 2 2 2cos α + cos α + cos α = 1.9. Ph´p biˆn dˆi L l` ph´p chiˆu R3 theo phu.o.ng song song v´.i m˘t e ´ ’ e o a e ´ e o a . ’ph˘ng vecto a . e2, e3 lˆn truc toa dˆ cua vecto. e1 e o ’ . . .   1 0 0   (DS. 0 0 0) 0 0 0 2π e ´ e o’10. Ph´p biˆn dˆi L l` ph´p quay R3 mˆt g´c ϕ = a e o o . xung quanh 3du.`.ng th˘ng cho trong R bo.i phu.o.ng tr`nh x1 = x2 = x3 . o ’ a 3 ’ ı   0 0 1   ´ (DS. a) 1 0 0 nˆu quay t`. e1 dˆn e2 , e u ´ e 0 1 0   0 1 0   ´ b) 0 0 1 nˆu quay t`. e2 dˆn e1 ) e u ´ e 1 0 0
  • 230 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn Trong c´c b`i to´n (12-22) cho hai co. so. (e) : e1, e2 , . . . , en v` a a a ’ a ’ n ’ ´ (E) : E1 , E2, . . . , En cua khˆng gian R v` ma trˆn AL cua ph´p biˆn o a a . e e o’ ´ dˆi tuyˆn t´ L trong co ’ e ınh . so. (e). T` ma trˆn cua L trong co. so. (E). ım a ’ ’ . Phu.o.ng ph´p chung l`: (i) t`m ma trˆn chuyˆn T t`. co. so. (e) dˆn co. a a ı a. ’ e u ’ ´ e so. (E); (ii) T` ma trˆn T −1; (iii) T`m BL = T −1 AT . ’ ım a. ı 17 6 5 0 11. AL = , E1 = e1 − 2e2, E2 = 2e1 + e2). (DS. ) 6 8 0 20 −3 1 −2 3 12. AL = , E1 = e2 , E2 = e1 + e2. (DS. ) 2 −1 1 −2 2 4 −3 14 13. AL = , E1 = e2 − 2e1 , E2 = 2e1 − 4e2. (DS. ) −3 3 −3 8 1 0 5 6 14. AL = , E1 = 3e1 + 2e2 , E2 = 2e1 + 2e2 . (DS. ) 2 −4 −6 −8   0 −2 1   15. AL = 3 1 0, E1 = 3e1 + e2 + 2e3 , E2 = 2e1 + e2 + 2e3 , 2 −1 1   −85 −59 18   E3 = −e1 + 2e2 + 5e3 . (DS.  121 84 −25) −13 −9 3   15 −11 5   16. AL = 20 −15 8, E1 = 2e1 + 3e2 + e3 , E2 = 3e1 + 4e2 + e3, 8 −7 6   1 0 0   E3 = e1 + 2e2 + 2e3 . (DS. 0 2 0) 0 0 3   2 −1 0   17. AL = 0 1 −1. E1 = 2e1 + e2 − e3, E2 = 2e1 − e2 + 2e3 , 0 0 1
  • e ´ o e ’ ´5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e ınh 231   −2 11 7   E3 = 3e1 + e3. (DS. −4 14 8 ) 5 −15 −8 2 1 3 318. AL = , e1 = 3E1 − E2 , e2 = E1 + E2 . (DS. ) 0 3 0 2 −1 4 2 719. AL = , e1 = E1 + E2 , e2 = 2E1 . (DS. ) 5 0 2 −3   1 2 −3  20. AL =  0 3 1 , e1 = E1 , e2 = 3E1 + E2 , e3 = 2E1 + E2 + 2E3 . −1 2 5   −1 18 −3   (DS. −1 8 0 ) −2 10 2   2 −1 0  21. AL = 0 1 −1, e1 = 2E1 + E2 − E3 , e2 = 2E1 − E2 + 2E3 , 0 0 1   3 −10 −8   e3 = 3E1 + E2 . (DS. −1 8 5 ) 2 −13 −722. Trong c´c ph´p biˆn dˆi sau dˆy t`. R3 → R3 ph´p biˆn dˆi n`o a e ´ e o ’ a u e ´ ’ e o a ´ ’ ´ 3l` tuyˆn t´ (gia thiˆt x = (x1, x2 , x3) ∈ R ) a e ınh e 1) L(x1 , x2, x3) = (x1 + 2x2 + 3x3 , 4x1 + 5x2 + 6x3 , 7x1 + 8x2 + 9x3 ); 2) L(x1 , x2, x3) = (x1 +3x2 +4, 5x3 ; 6x1 +7x2 +9x3; 10, 5x1 +12x2 +13x3 ) 3) L(x1 , x2, x3 ) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2 ). 4) L(x1 , x2, x3 ) = (x1 , x2 + 1, x3 + 2). 5) L(x1 , x2, x3 ) = (x2 + x3, 2x1 + x3, 3x1 − x2 + x3 ). 6) L(x1 , x2, x3 ) = (2x1 + x2 , x1 + x3, x2 ). 3 7) L(x1 , x2, x3 ) = (x1 − x2 − x3, x3 , x2).
  • 232 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn (DS. 1), 2), 3), 5), 7) l` ph´p bdtt; 4), 6) - khˆng) a e o 23. T` phu.o.ng tr`nh d˘c tru.ng v` sˆ d˘c tru.ng cua ph´p bdtt L ım ı a . ´ . a o a ’ e ´ nˆu e 1) L(e1 ) = 2e1; L(e2 ) = 5e1 + 3e2 ; L(e3 ) = 3e1 + 4e2 − 6e3 , trong d´ e1, e2 , e3 l` co. so. cua khˆng gian. (DS. (λ + 6)(λ − 2)(λ − 3) = 0) o a ’ ’ o 2) L(e1) = −e1, L(e2) = 2e1 + 5e2, L(e3 ) = 2e1 − e2 + 3e3 + 5e4 , L(e4 ) = e1 + 7e2 + 4e3 + 6e4 , trong d´ e1, e2 , e3, e4 l` co. so. cua khˆng o a ’ ’ o gian. (DS. (λ + 1)(λ − 5)(λ2 − 9λ − 2) = 0) 3) L(e1 ) = 2e1 + 2e3 , L(e2 ) = 2e1 + 2e2 , L(e3 ) = −2e2 + 2e3 ; e1 , e2, e3 l` co. so. cua khˆng gian. (DS. λ3 − 6λ2 + 12λ = 0) a ’ ’ o 24. Gia su. trong co. so. e = {e1 , e2} ph´p bdtt L c´ ma trˆn l` ’ ’ ’ e o a a . 3 5 AL = −1 4 c`n trong co. so. E = {E1 , E2 }, E1 = e1 − e2, E2 = e1 + 2e2 ph´p bdtt o ’ e ∗ L c´ ma trˆn o a. 0 −2 AL∗ = . 1 1 ım a ’ a . e ´ ’ T` ma trˆn cua c´c ph´p biˆn dˆi: e o 1) L + L∗ trong co. so. e1, e2; ’ ∗ . so. E1 , E2 . 2) L + L trong co ’ 1 10 13 1 1 13 (DS. 1) ; 2) ) 3 5 14 3 −3 23 25. Gia su. trong co. so. e = {e1 , e2, e3} ph´p bdtt L c´ ma trˆn ’ ’ ’ e o a .   2 0 −2   AL = 1 1 0  3 0 −1
  • e ´ o e ’ ´5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e ınh 233c`n trong co. so. E = {E1 , E2 , E3}, E1 o ’ = e1 +2e2 , E2 = e1 −e3, E3 = e2 +e3ph´p bdtt L∗ c´ ma trˆn e o a .   0 3 0   AL∗ = 0 1 −2 . 1 2 0 ım a ’ . e ´ ’T` ma trˆn cua ph´p biˆn dˆi: e o   6 −2 −2   1) L + L∗ trong co. so. e. (DS. 16 −6 7 ) ’ 8 −2 3   −2 −4 4   2) L + L∗ trong co. so. E. (DS.  4 12 −8) ’ 8 17 −726. Gia su. trong co. so. e = {e1, e2} ph´p bdtt L c´ ma trˆn ’ ’ ’ e o a . −1 2 AL = 0 1c`n trong co. so. E = {E1 , E2}, E1 = 2e1 + e2 , E2 = e1 − e2 ph´p bdtt o ’ e ∗L c´ ma trˆn o a. 3 −2 AL∗ = . 1 0 ım a ’ a . e ´ ’ T` ma trˆn cua c´c ph´p biˆn dˆi e o −1 −1 1) L ◦ L∗ trong co. so. e. (DS. ’ ) 0 2 −1 7 2) L∗ ◦ L trong co. so. e. (DS. ’ ) 0 2 1 −1 −2 3) L ◦ L∗ trong co. so. E. (DS. ’ ) 3 −7 4
  • 234 Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide o Rn 1 7 −10 4) L∗ ◦ L trong co. so. E. (DS. ’ ) 3 1 −4 2 −1 27. Gia su. ph´p bdtt L c´ ma trˆn ’ ’ e o a . trong co. so. E = ’ 5 −3 {E1 , E2 }, E1 = (−3, 7), E2 = (1, −2) v` trong co. so. E ∗ = {E1 , E2 }, a ’ ∗ ∗ 1 3 E1 = (−6, −7), E2 = (−5, 6) ph´p bdtt L∗ c´ ma trˆn l` ∗ ∗ e o a a . . T` ım 2 7 ma trˆn cua L ◦ L∗ trong co. so. m` c´c vecto. trˆn du.o.c cho. a ’ . ’ a a e . 109 93 (DS. ) 34 29 Chı dˆ n. T` c´c ma trˆn chuyˆn co. so. Tea , Teb v` ´p dung ’ ˜a ım a a . ’ e ’ a a . cˆng th´ o u.c (5.22) dˆ t` ma trˆn AL v` AL∗ trong co. so. e. T`. d´ ’ e ım a a ’ u o . AL◦L∗ = AL · AL∗ . Trong c´c b`i to´n (28-31) h˜y x´c dinh trong c´c vecto. d˜ cho a a a a a . a a vecto. n`o l` vecto. riˆng cua ph´p bdtt v´.i ma trˆn d˜ cho (trong co. a a e ’ e o a a . ’. n`o d´). so a o 1 0 1 0 0 28. A = ; x1 = , x2 = , x3 = . (DS. x2 v` x3 ) a −2 1 2 3 −1 1 −1 −1 2 1 29. A = ; x1 = , x2 = , x3 = . −6 2 3 −4 2 (DS. x1 v` x3 ) a         0 0 2 1 1 2         30. A = 2 0 0; x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2. (DS. x3) 0 2 0 3 5 2         0 1 0 −1 1 −4         31. A = 6 3 2; x1 =  2 , x2 =  0 , x3 =  0 . (DS. x2) 3 0 1 0 −3 1 Trong c´c b`i to´n (32-35) h˜y t`m c´c vecto. riˆng cua ph´p biˆn a a a a ı a e ’ e ´ e ’ ´ dˆi tuyˆn t´ du . o e ınh .o.c cho trong mˆt co. so. n`o d´ bo.i ma trˆn A. o ’ a o ’ a . .
  • e ´ o e ’ ´5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e ınh 235 2 4 4 132. A = . (DS. α, β v´.i α = 0, β = 0 bˆt k`) o ´ a y −1 −3 −1 −1 3 −4 −2 133. A = . (DS. α, β v´.i α = 0, β = 0 bˆt k`) o ´ a y −2 1 1 1         1 2 −2 −2 0 6        34. A = 1 0 3 . (DS.  1  α, 1 β, −7 γ, 1 3 0 1 1 5 ´t k`) α = 0, β = 0, γ = 0 bˆ y a       1 0 2 −2 0       ´35. A = 0 3 0. (DS.  0  α, 1 β; α = 0, β = 0 bˆt k`) a y 0 0 0 1 036. Cho ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ L : R2 → R2 nhu. sau e ´ ’ e o ´ e ınh L : (x1, x2 ) −→ (5x1 + 4x2 , 8x1 + 9x2 ).T` gi´ tri riˆng v` vecto. riˆng cua L. ım a . e a e ’ (DS. λ1 = 1, u = (α, −α), α = 0; λ2 = 13, v = (β, 2β), β = 0)37. T` gi´ tri riˆng v` vecto. riˆng cua ma trˆn ım a . e a e ’ a .   2 −1 1   A = −1 2 −1 0 0 1 (DS. λ1 = λ2 = 1, u = (α, α), α = 0; λ3 = 3, v = (β, −β), β = 0) .
  • Chu.o.ng 6Dang to`n phu.o.ng v` u.ng . a a ´dung dˆ nhˆn dang du.`.ng v` . ’ e a . . o am˘t bˆc hai a a . .6.1 Dang to`n phu.o.ng . aDa th´.c d˘ng cˆp bˆc hai cua c´c biˆn x1, x2 , . . . , xn du.o.c goi l` dang u a ’ ´ . a a ’ a ´ e . . a .to`n phu a .o.ng cua n biˆn d´: ’ ´ e o n n n ϕ(x1, . . . , xn ) = aij xi xj = aij xi xj . (6.1) i=1 j=1 i,j=1D´ l` ph´p tu.o.ng u.ng d˘t tu.o.ng u.ng mˆ i vecto. x = (x1, x2, . . . , xn ) ∈ o a e ´ a. ´ ˜ oRn v´.i sˆ ϕ(x1, . . . , xn ). o o ´ ´ . Nˆu d˘t e a     x1 a11 a12 . . . a1n      x2   a21 a22 . . . ann  X=   . , A =  . . .. .  .  . . . .  .  . . .  xn an1 an2 . . . ann
  • 6.1. Dang to`n phu.o.ng . a 237th` thu du.o.c ı . ϕ(x1, x2, . . . , xn ) = X T AX. (6.2)D.nh l´. Nˆu C l` ma trˆn cua ph´p bdtt thu.c hiˆn trˆn c´c biˆn-i y ´ e a a. ’ e . e . e a ´ ecua dang to`n phu.o.ng (6.1) v´.i ma trˆn A th` dang to`n phu.o.ng m´.i ’ . a o a . ı . a o .o.c c´ ma trˆn l` C T AC.thu du . o a a . Dang to`n phu a .o.ng dang . . α1x2 + α2 x2 + · · · + αn x2 1 2 n (6.3)khˆng ch´.a c´c sˆ hang v´.i t´ cua c´c biˆn kh´c nhau (v` do d´ n´ o u a o . ´ o ıch ’ a ´ e a a o oc´ ma trˆn du o o a .`.ng ch´o) du.o.c goi l` dang to`n phu.o.ng ch´o hay dang e . . . a . a e . ınh ´ch´ t˘c.a Tiˆp theo ta tr` b`y nˆi dung cua c´c phu.o.ng ph´p du.a dang ´ e ınh a o . ’ a a .to`n phu a .o.ng vˆ dang ch´ t˘c. ` . e ınh ´ a6.1.1 Phu.o.ng ph´p Lagrange a-. ` ´ ’ ´Dinh l´ Lagrange. B˘ng ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ khˆng suy biˆn y a e e o e ınh o ´ e .i c´c biˆn x1 , . . . , xn moi dang to`n phu.o.ng dˆu du.a du.o.c vˆ ´ ` ´dˆi v´ a o o e . . a e . ` e . ınh ´dang ch´ t˘c. a Tinh thˆn co. ban cua phu.o.ng ph´p Lagrange l` nhu. sau. ` a ’ ’ a a + ´ ´ o . a e o . ´ 1 It nhˆt mˆt trong c´c hˆ sˆ aii kh´c khˆng. a a o ’ o’ a o e ’ ` a ´ Khˆng giam tˆng qu´t, c´ thˆ cho r˘ng a11 = 0 (nˆu khˆng th` o e o ı a ´ o . o a`d´nh sˆ lai). Khi d´ b˘ng ph´p tr´ mˆt b` phu e ıch o ınh .o.ng du t`. cum tˆt ’ u . a´ . ’ a o . ´ca c´c sˆ hang ch´ u.a x1 ta c´ o 2 ϕ(·) = αy1 + ϕ2(x2 , x3, . . . , xn ) y1 = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λn xn a a ` a ´trong d´ λ1 , λ2 , . . . , λn l` c´c h˘ng sˆ, ϕ2 (x2 , . . . , xn ) l` dang to`n o o a . aphu .o.ng chı c`n n − 1 biˆn (khˆng c`n x1 ). Dˆi v´.i ϕ2 (x2, . . . , xn ) ta ’ o ´ e o o ´ o olai thu .c hiˆn thuˆt to´n nhu. v`.a tr`nh b`y,... e a a u ı a . . . .
  • 238 Chu.o.ng 6. Dang to`n phu.o.ng v` u.ng dung . a a´ . 2+ Tru.`.ng ho.p aii = 0 ∀ i = 1, n nh˜.ng aij = 0 (i = j) du.o.c du.a o . u . ` .`.ng ho.p trˆn b˘ng ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ khˆng suy biˆn vˆ tru o e e a ` e ´ e o ’ ´ e ınh o ´ e . xj = yj + yi xk = yk , k = j V´ du 1. Du.a dang to`n phu.o.ng ı . . a ϕ(x1, x2, x3 ) = x2 + x2 + x2 + 4x1x2 + 4x1 x3 + 4x2 x3 1 2 3 ` . ınh ´ vˆ dang ch´ t˘c. e a Giai. Nh´m c´c sˆ hang c´ ch´.a x1 th`nh mˆt cum v` tr´ t`. ’ o ´ a o . o u a o . . a ıch u cum d´ mˆt b` phu o o ınh .o.ng du ta c´ ’ o . . ϕ(·) = (x2 + 4x1 x2 + 4x1 x3 ) + x2 + x2 + 4x2 x3 1 2 3 = (x1 + x2 + 2x3)2 − (2x2 + 2x3 )2 + x2 + x2 + 4x2x3 2 3 = (x1 + 2x2 + 2x3 )2 − 3x2 − 3x2 − 4x2 x3. 2 3 Nh´m c´c sˆ hang c´ ch´.a x2 rˆi tr´ch b`nh phu.o.ng ta c´ o ´ a o . o u ` ı o ı o 2 5 ϕ(·) = (x1 + 2x2 + 2x3 )2 − 3(x2 + x3)2 − x2. 3 3 3 u e ´ ’ e o ´ e ınh o ´ D`ng ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ khˆng suy biˆn e  2 y1 = x1 + 2x2 + 2x3   x1 = y1 − 2y2 − y3  3 2 2 y2 = x 2 + x 3 ⇒ x2 = y2 − y3 3   3  y3 = x3 x3 = y3 ta thu du.o.c . 2 2 5 2 ϕ(·) = y1 − 3y2 − y3 . 3 V´ du 2. Du.a dang to`n phu.o.ng ı . . a ϕ(x1, x2 , x3) = x1x2 + 2x1 x3 + 4x2 x3
  • 6.1. Dang to`n phu.o.ng . a 239 ` . ınh ´vˆ dang ch´ t˘c. e a Giai. V` a11 = a22 = a33 = 0 nˆn dˆu tiˆn thu.c hiˆn ph´p biˆn dˆi ’ ı e ` a e . e . e ´ ’ e oso. bˆ khˆng suy biˆn thu du.o.c sˆ hang c´ b` phu.o.ng: o o . e´ . o .´ o ınh  x1 = y1   x2 = y1 + y2 (6.4)   x3 = y3v` thu du.o.c a . ϕ(·) = y1(y1 + y2) + 2y1y3 + 4(y1 + y2)y3 2 = y1 + y1 y2 + 6y1 y3 + 4y2 y3.Xuˆt ph´t t`. dang to`n phu.o.ng m´.i thu du.o.c, tu.o.ng tu. nhu. trong ´ a a u . a o . .v´ du 1 ta c´ ı . o 1 2 1 2 ϕ(·) = y1 + y2 + 3y3 − y2 + 3y3 + 4y2 y3 2 2 1 2 1 = y1 + y2 + 3y3 − y 2 + y2y3 − 9y 3. 2 4Thu.c hiˆn ph´p biˆn dˆi khˆng suy biˆn . e . e ´ ’ e o o ´ e 1 z1 = y1 + y2 + 3y3 , 2 z2 = y2, z3 = y3v´.i ph´p biˆn dˆi ngu.o.c o e ´ ’ e o .  1 y1 = z1 − z2 − 3z3 ,   2 y2 = z2 , (6.5)    y3 = z3ta thu du.o.c . 2 1 2 2 ϕ(·) = z1 − z2 + z2z3 − 9z3 . 4
  • 240 Chu.o.ng 6. Dang to`n phu.o.ng v` u.ng dung . a a´ . Nh´m c´c sˆ hang c´ ch´.a z2 ta c´ o ´ a o . o u o 1 ϕ(·) = z1 − (z2 − 2z3 )2 − 8z3 . 2 2 4 Thu.c hiˆn ph´p biˆn dˆi khˆng suy . e . e ´ ’ e o o ´ biˆn e   u1 = z1,   z1 = u1,   u2 = z2 − 2z3 , ⇒ z2 = u2 + 2u3 , (6.6)     u3 = z3 z3 = u3 Sau ba ph´p biˆn dˆi liˆn tiˆp (6.4)-(6.6) dang d˜ cho c´ dang du.`.ng e ´ ’ e o e ´ e . a o . o ch´o e 1 ϕ(·) = u2 − u2 − 8u2 . 1 4 2 3 ’ Dˆ t` ma e ım trˆn cua ph´p biˆn dˆi ho.p ta cˆn nhˆn c´c ma trˆn cua a ’ . e ´ e o .’ ` a a a a . ’ (6.4), (6.5) v` (6.6). Ta c´ a o     1   1 1 0 0 1 − −3 1 0 0 1 − −4  2    2     1 1 0 0 1   0 1 2 =  0  1 1 −2 = C.  2  0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Do ph´p biˆn dˆi khˆng suy biˆn du.a dang ϕ vˆ dang ch´ t˘c l` e ´ ’ e o o ´ e . ` . e ınh ´ a a  1 x1 = u1 − u2 − 4u3 ,   2  1 x2 = u1 + u2 − 2u3 , 2    x3 = u3 . ’ ’ Dˆ kiˆm tra ta t´ t´ C T AC. e e ınh ıch Ta c´ o