1. -1-
TRIGONOMETRI
xxB(
(Bahan Ajar Kelas X Semester 2)
A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
1. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DARI SUATU SUDUT SEGITIGA SIKU-SIKU
Y
P(x,y)
r
x disebut absis
y disebut ordinat
r jari-jari
sudut positif diukur dari sumbu X berlawanan
arah putaran jarum jam.
y
0
x
X
2
2
r x y
Definisi :
sin
y
r
cos
ec
x
r
r
sec
x
y
x
x
ctg
y
cos
r
y
tg
Ketentuan di atas juga berlaku untuk kuadran II, III dan IV. Karena
x r dan y r maka berlaku
1 cos 1 dan 1 sin 1 . Khusus untuk tg dan ctg dapat bernilai setiap harga
positif dan negatif.
Secara umum, perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku sembarang adalah sebagai berikut :
sisi miring
(hipotenusa)
sisi di depan sudut (opposite)
sisi di samping sudut (adjacent)
Jadi :
depan
samping depan
sin
cos
tg
miring
miring
samping
1
1
1
ctg
sec
cos ec
tg
sin
cos
Contoh 1: Tentukan nilai
sin , cos dan tg dari gambar berikut :
a.
b.
c
q
b
p
r
a
Jawab
...
...
...
b. sin
...
: a.
sin
...
...
...
cos
...
cos
...
...
...
tg
...
tg
Matematika kelas 10 semester 2 - SMANSTARS LAKOSTA TP. 2013/2014
2. -2-
Contoh 2: Diketahui
Jawab
:
tg
4
. Tentukan sin dan cos !
3
4 ...
r ....
=
3 ...
...
....
sin =
...
tg
cos =
2. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA UNTUK
...
....
...
0 90
Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri pada sudut-sudut istimewa
pergunakan gambar sebagai berikut :
0 90 kita
Y
45
60
1
2
2
45
P(0,r)
1
30
1
3
P(r,0)
Dari gambar di atas jika kita nyatakan dengan tabel sebagai berikut :
cos
sin
tg
ctg
sec
cos ec
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0
30
45
60
90
C
Contoh 3:
Tentukan AC dan AB !
5
60
A
B
.....
....
AC
: tg 60 =
.....
Jawab
cos
.....
60
AB
....
.....
LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai
sin ,cos dan tg dari gambar berikut :
c
a)
b)
b
a
p
q
r
2.
Tentukan nilai
X
sin ,cos dan tg dari gambar berikut :
Matematika kelas 10 semester 2 - SMANSTARS LAKOSTA TP. 2013/2014
3. -3-
a)
B
b)
P
8
6
6
A
C
3.
60 B
A
6 2
R
Q
Jika DC = 6 cm, maka tentukan AB
45
D
4. Jika
C
sin
5. Jika tg
3
maka tentukan cos dan tg
10
2
maka tentukan sin
dan cos
6. Tentukan nilainya :
a.
230 30tg
sin cos 30
3 6
3
b.
tgsin
3 606 60
2 45 cos
sin 30
6
C
30
7.
Tentukan AB dan BC
B
12
A
3. SUDUT-SUDUT BERELASI
3.1 RELASI
DAN
180
180
P’(-x,y)
P(x,y)
3.2 RELASI
DAN
X
Y
sin
180
....
....
....
....
cos
180
....
....
tg
180
....
....
....
180
Y
P(x,y)
180
X
sin
180
....
....
....
....
cos
180
....
....
....
tg
180
....
....
P’(-x,-y)
Matematika kelas 10 semester 2 - SMANSTARS LAKOSTA TP. 2013/2014
4. -4-
3.3 RELASI
Y
DAN
360 ATAU
sin ....
360
sin
cos ....
360
cos
tg
360 ....
tg
P(x,y)
X
P’(x,-y)
3.4 RELASI
Y
DAN
90
....
sin
90
....
....
....
cos
90
....
....
tg
90
....
....
....
P’(y,x)
90 P(x,y)
3.5 RELASI
DAN
Y
90
P(x,y)
X
DAN
....
sin
90
....
....
....
cos
90
....
....
tg
90
....
....
....
90
P’(-y,-x)
3.6 RELASI
X
270
Y
P(x,y)
X
270
sin
270
....
....
....
....
cos
270
....
....
tg
270
....
....
....
P’(-y,-x)
3.7 RELASI
Y
DAN
270
P(x,y)
X
sin
270
....
....
....
....
cos
270
....
....
tg
270
....
....
....
270
P’(y,-x)
Matematika kelas 10 semester 2 - SMANSTARS LAKOSTA TP. 2013/2014
5. -5-
Contoh 1: Tentukan nilai dari :
a.
sin 150
b.
cos225
sin 150 = sin( … - … ) = sin …
b. cos225 = ….
c. tg 330 = ….
Jawab
: a.
c.
tg 330
= ….
LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilainya dari :
a.
sin 120
e.
cos330
cos135
m. sin150
i.
sin 135
f. tg150
j. tg 210
c.
n.
cos240
d.
g.
b.
sin 240
h.
cos120
l. tg 270
sin 180
o. tg 210
k.
cos 300
tg 300
3
maka tentukan cos dan tg
dan 90 180
5
2. Jika
sin
3. Jika
tg 3 dan 270 maka tentukan sin dan cos
360
4. Tentukan
a.
sin
untuk
1
2
0 360 :
dari
1
2
b. cos
2
c.
tg 3
5. Sederhanakan !
4 2 2 2
sin
225 315
cos
300 315
sin
cos
tg 2103
240 315
2
sin
2 330
sin
3
tg
b. 3
a.
4. KOORDINAT KUTUB
Y
P(x,y)
Koordinat Cartesius P(x,y)
Koordinat Kutub P(r, )
r
X
Hubungan koordinat Cartesius dan koordinat Kutub :
1. Dari koordinat Cartesius ke Kutub
P(x,y) = P(r, )
2
2
r x y
y
tg arctg
y
x
x
2. Dari koordinat Kutub ke Cartesius
)
(, )
P(r, P x y
x rcos
y rsin
Contoh 1: Tentukan koordinat Cartesius dari titik P(10, 45
)
Matematika kelas 10 semester 2 - SMANSTARS LAKOSTA TP. 2013/2014
6. -6-
Jawab
:x=…
=…
y=…
=…
Jadi koordinat Cartesius P(….,….)
Contoh 2: Tentukan koordinat kutub dari titik Q(-3,-4)
Jawab
:r=…
=…
.... = …
....
Arctg
Jadi koordinat kutub Q(……,……)
LATIHAN SOAL
1. Tentukan koordinat Cartesius dari :
A 8,60
a.
e.
i.
b.
J 6,90
d.
d. D(0,5)
C 6,210
F 3300
,
j.
, 60
g. G 4
c.
f.
E3 2325
,
I 12,0
B10
,120
, 225
h. H 2
D 4,300
2. Tentukan koordinat Kutub dari :
a. A(5,5)
b. B(-4,4)
c. C(2, 2
e. E(-8,0)
f. F(-10,-10)
g.
i.
I ( 3,1)
3)
G 5 3,5
(
)
h.
H( , 3)
1
j. J(1,-1)
5. HUBUNGAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT
Y
2
x y2 r2
x rcos
y rsin
P(x,y)
r
0. X
Dari (1) dan (2) didapat hubungan :
2
x y2 r2
…
2....
cos
cossin ...... 2
sin
....
2
2
y ..........
......
.......
tg
x ..........
......
.......
Contoh 1: Jika
Jawab
:
cos
2
sin .....
sin
tg
........
Contoh 2: Buktikan
Jawab
:
8
, maka tentukan sin dan tg
10
.......
= ….
.......
sin ( tg
2) tg
cos
1
sin (2 ) ....
tg
cos
1
= ….
= ….
Matematika kelas 10 semester 2 - SMANSTARS LAKOSTA TP. 2013/2014
…(1)
…(2)
7. -7-
LATIHAN SOAL
1. Diketahui A lancip dan
2. Jika
cos
B
sinA
8
. Hitung cos A dan tg A !
17
9
B 180
, maka tentukan sin B dan tg B !
dan 90
15
3. Tunjukkan bahwa :
2
cos sin
120120
2 1
2
2
270
cos
1
b. sin 270
a.
4. Buktikan identitas berikut :
2 2 12 2
cos sin
1
2
tg
2
sin
b.
2
1 tg
1 sin 2
cos
c.
sin cos
1
cos
sin
sin P 2
cos P 2
cos sin
1
d. PP P
1 sec
1
ctg
e. cos sin
a.
f.
1 cos sin tgtg
2
2
2
2
6. PENGUKURAN SUDUT DENGAN DERAJAT DAN RADIAN
1
putaran =
360 atau 1
1
putaran
360
1 60' (menit) dan 1’ = 60’’ (detik)
Definisi : 1 radian adalah sudut pusat yang busurnya sama dengan jari-jari lingkarannya.
Q
r
O
r
P
1 rad = POQ jika busur PQ = r
Jadi radian yaitu ukuran sudut yang diperoleh dari perbandingan
panjang busur lingkaran dengan jari-jarinya.
Keliling
Q
Jadi
O
P
Jadi
1
lingkaran = r
2
POQ = 180 =
180 rad atau cukup ditulis dengan 180
180
180
57
57 ' '
, 45
296'
17
1 rad =
3
,
14
Contoh 1: Nyatakan
Jawab
:
120 dengan ukuran radian !
120 = ….
Contoh 2: Nyatakan
Jawab
:
4
dengan ukuran derajat !
3
4
= ….
3
Matematika kelas 10 semester 2 - SMANSTARS LAKOSTA TP. 2013/2014
r
r
rad
8. -8-
LATIHAN SOAL
1. Nyatakan ke dalam ukuran radian dari :
45
f. 330
90
g. 270
a.
b.
c.
135
d.
h.
360
2
3
5
f.
18
b.
3
5
e.
12
c.
3
2
420
d.
tg
240
j.
540
11
6
h. 30
1 ?
4. Tentukan nilai dari :
sin
d.
g. 2
3. Berapa radian ukuran
a.
5
3
e.
i.
2. Nyatakan ke dalam ukuran derajat dari :
a.
210
b.
sin
11
6
c.
cos
4
3
5
4
e. sin 30
B. FUNGSI TRIGONOMETRI
Domain fungsi trigonometri berupa himpunan sudut-sudut dan kodomainnya berupa bilangan real.
Fungsi trigonometri merupakan fungsi yang periodik, artinya pada selang sudut tertentu nilai fungsi itu
akan berulang sama nilainya. Periode sin dan cos adalah
180 atau .
360 atau 2 . Sedangkan periode tg adalah
Jadi sin x = sin (x + k. 2 )
cos x = cos (x + k. 2 )
tg x = tg (x + k. )
dimana k B
Contoh 1: Tentukan nilai dari :
sin 480
: a. sin 480 = …
b. cos960 = …
c. tg1290 = …
a.
Jawab
b.
cos960
c.
tg1290
1. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
1.1 Grafik y = sin x, y = cos x dan y = tg x pada
0 x360
Y = sin x
Y
1
X
0
30
60
90
120
150
180
210
-1
y = cos x
Matematika kelas 10 semester 2 - SMANSTARS LAKOSTA TP. 2013/2014
240
270
300
330
360
