Polígonos

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Método de construcción de polígonos regulares

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Polígonos

  1. 1. MÉTODO “DABEJA” PARA CONSTRUIR POLIGONOS REGULARES Y TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS, ISÓSCELES Y ESCALENOS
  2. 2. • Construcciones con regla y compás: En Grecia, los Elementos de Euclides fueron el primer modelo de sistema axiomático. • se preocuparon de construir sistemáticamente cada figura que imaginaban. Para tal fin crearon herramientas, entre ellos regla, compás especiales para trisecar ángulos.
  3. 3. • POLIGONOS REGULARES :Los polígonos que tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales se llaman polígonos regulares.
  4. 4. • Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los ángulos de sus vértices miden lo mismo (60°) • Triángulo isósceles: Tiene dos lados iguales • Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos son distintos.
  5. 5. Construir • OBJETIVO polígonos regulares de n-lados a través de puntos coordenados y ordenados en el plano cartesiano para aplicar diversos contenidos del pensamiento espacial
  6. 6. Surge de la necesidad de graficar en el tablero polígonos sin necesidad de emplear el compás y rotados respectos de la horizontal en diversos puntos cartesianos.
  7. 7. • El poco empleo que se da a los números reales en las construcciones geométricas permitiendo así que el concepto de continuidad de los números reales se olvide por la falta de práctica.
  8. 8. • La falta de utilización de herramientas de cálculo numérico como las calculadoras científicas y el papel milimetrado para facilitar las operaciones básicas y la graficación de figuras en el plano con mayor exactitud.
  9. 9. El no encontrar un método diferente al de regla, compás y transportador para la construcción de triángulos y polígonos regulares, que estuvieran en diferentes posiciones en el plano cartesiano.
  10. 10. CONSTRUCCION DEL TRIANGULO EQUILATERO. Construir un triángulo equilátero si: P1=(x1, y1) L=a cm.0 ≤ θ ≤ 360º ω= (360/n), n= al número de lados. Con estos datos se encuentran los dos puntos restantes en el plano cartesiano, empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por P2=(x2, y2) y P3=(x3, y3) siguiendo el siguiente proceso:
  11. 11. Para n= 3, entonces ω= (360/3), ω= 120º x2 – x1 = LCos θ x2 = LCos θ + x1 y2 - y1 = LSen θ y2 = LSen θ + y1 punto, P2=(x2, y2) para las coordenadas del punto P3(x3, y3) x3 – x2 = LCos (θ+ ω) x3 = LCos (θ+ ω) + x2 y y3 – y2 = LSen (θ+ ω) y3 = LSen (θ+ ω) + y2
  12. 12. DEMOSTRACION: • Definición. Todo polígono regular de n-lados tiene n-puntos coordenados y ordenados, P1(x1, y1) P2(x2, y2), P3(x3, y3), P4(x4, y4), P5(x5, y5), Pn-2(xn-2, yn-2). Pn-1(xn-1, yn-1), Pn(xn, yn). Los cuales surgen a partir de: • Xn = LCos (θ+ k ω) + xn-1 • yn = LSen (θ+ k ω) + yn-1 • Con K= n-2, 0 ≤ θ ≤ 360º respecto a la horizontal ω= (360/n), n= al número de lados y LЄ R • Para construir un polígono regular de tres lados n= 3, ω= (360/3)=120º • L=A unidades P1=(x1, y1)
  13. 13. DEMOSTRACION: X 2 X 1 = X 2 − X 1 Y2Y1 = Y2 − Y1 X 2 X1 Y2Y1 = COSθ = SENθ A A X 2 X 1 = ACOSθ Y2Y1 = ASENθ X 2 − X 1 = ACOSθ Y2 − Y1 = A SENθ X 2 = ACOSθ + X 1 Y2 = ASENθ + Y1
  14. 14. DEMOSTRACION: X 3 X 2 = X 3 − X 2 Y3Y2 = Y3 − Y2 X3X2 YY = COS (θ + ω ) 3 2 = SEN (θ + ω ) A A X 3 − X 2 = ACOS (θ + ω ) Y3 − Y2 = ASEN (θ + ω ) X 3 = ACOS (θ + ω ) + X 2 Y3 = ASEN (θ + ω ) + Y2
  15. 15. DEMOSTRACION: X 3 X 1 = X 1 − X 3 Y3Y1 = Y1 − Y3 X 3 X1 Y3Y1 = COS (θ + ω + ω ) = SEN (θ + ω + ω ) A A X 1 − X 3 = ACOS (θ + 2ω ) Y1 − Y3 = ASEN (θ + 2ω ) X 1 = ACOS (θ + 2ω ) + X 3 Y1 = ASEN (θ + 2ω ) + Y3
  16. 16. DEMOSTRACION: Angulo de rotación ∠ 1 p1 p2 =θ respecto horizonte c l Sea: p1 p2 Segmento proyectado l p1 p2 y p1c1llp2 c1 se De l obtiene: ∠c1 p1 p2 = θ = ∠c1 p2 p2 l l Trazamos p2 p2ll p3 p3 y ll p1c1 ll p3c1 Se obtiene ∠c1 p2 p2 = θ = ∠c1 p3 p3 l l ll l Se tiene: ∠ ω1l + ∠ ω1 = 180º , l ∠ ω 2 + ∠ ω 2 = 180º l ∠ ω 3 + ∠ ω 3 = 180º suplementarios
  17. 17. DEMOSTRACION: p p Y ∠ 1 p2 p3 = ω , ∠ 2 p3 p1 = ω 1 2 l l ∠ 3 p1 p2 = ωl , ∠ 2 p2 p3 = ω p pl 3 1 ∠ 3 p3 p1 = ω2 , ∠ 1 p1 p2 = ω p ll pl 3 Por ángulos suplementarios se tiene, ω +ωl =180º (1) 1 1 l ω2 +ω2 =180º (2) l ω3 +ω3 =180º (3) Desde el punto p 2 se tiene, ω3 +ω2 −ωl =180º (4) 1 Desde el punto p 3 se tiene, l ω +ω3 −ω2 =180º (5) 1 l ω2 +ω −ω3 =180º (6) 1 Igualando (1) y (5), (2) y (6) y (3) y (4) , respectivamente,
  18. 18. DEMOSTRACION: l ω +ωl = ω +ω3 −ω2 1 1 1 l ω3 = ωl +ω2 (7) 1 l l ω2 +ω2 = ω2 +ω −ω3 1 l l ω = ω2 +ω3 (8) 1 l ω3 +ω3 = ω3 +ω2 −ωl 1 l ω2 = ωl +ω3 1 (9) Sumando (8) y (9), (7) y (9), (7) y (8) l l ω +ω2 = ωl +ω2 + 2ω3 (10) 1 1 l l ω2 +ω3 = 2ωl +ω2 +ω3 (11) 1 l l ω +ω3 = ωl + 2ω2 +ω3 (12) 1 1 Igualando (10) y (11), (10) y (12), (11) y (12)
  19. 19. DEMOSTRACION: ωl +ωl +2ωl = 2ωl +ωl +ωl 1 2 3 1 2 3 ωl =ωl (13) 1 3 ωl +ωl +2ωl =ωl + 2ωl +ωl 1 2 3 1 2 3 ωl =ωl (14) 2 3 l l l l l l 2ω +ω +ω =ω + 2ω +ω 1 2 3 1 2 3 ωl =ωl (15) 1 2 De (13), (14) y (15) se concluye l l l ω =ω =ω. 1 2 3 l l l ω +ω +ω =180º 1 2 3 l l l ω =ω =ω =60º. 1 2 3 l l l ω +ω =ω +ω =ω +ω 1 1 2 2 3 3 ω =ω =ω =120º 1 2 3 ω +ω +ω =360º 1 2 3
  20. 20. •CONSTRUCCION DEL CUADRADO Construir un cuadrado sí: P1(x1, y1) L=a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º horizontal. ω= (360/n), n= al número de lados. Con estos datos se encuentran los puntos restantes en el plano cartesiano, empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por, P2(x2, y2), P3(x3, y3) P4(x4,y4) siguiendo el siguiente proceso:
  21. 21. n= 4, entonces ω= (360/4), ω= 90º x2=LCos θ + x1 y2= LSen θ + y1, P2(x2, y2) x3=LCos (θ+ ω)+x2, y3=LSen (θ+ ω)+ y2, P3(x3, y3) x4=LCos(θ+ P4(x4,y4) 2ω)+x3, y4=LSen (θ+ 2ω)+y3, Encontrando los demás puntos para graficar cualquier cuadrado.
  22. 22. •CONSTRUCCION DE UN PENTAGONO REGULAR. Construir un pentágono sí: P1(x1, y1) L = a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º Horizontal. ω= (360/n), n= al número de lados. Con estos datos se encuentran los puntos restantes en el plano cartesiano, empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por P2(x2, y2), P3(x3, y3), P4(x4, y4) y P5(x5 , y5). Siguiendo el siguiente proceso:
  23. 23. n= 5 entonces ω= (360/5), ω= 72º x2=LCos θ + x1 y2= LSen θ + y1, P2(x2, y2) x3=LCos (θ+ ω)+x2, y3=LSen (θ+ ω)+ y2, P3(x3, y3) x4=LCos(θ+ 2ω)+x3, y4=LSen (θ+ 2ω)+y3, P4(x4,y4) x5=LCos(θ+ 3ω)+x4, y5=LSen(θ+ 2ω)+y4,P5(x5, y5) Encontrando los demás puntos para graficar cualquier pentágono.
  24. 24. GENERALIZACION PARA N-LADOS Luego, con los demás polígonos regulares de más lados se pueden construir siguiendo el mismo método. Generalizando así: Para construir cualquier polígono regular de n-lados partiendo de P1(x1,y1) L=a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º Horizontal. ω= (360/n), n= al número de lados, entonces para la consecución de cada punto se tendrá:
  25. 25. GENERALIZACION PARA N-LADOS Para las componentes en el eje horizontal X (abscisas), x2 = LCos θ + x2-1 x2 = LCos θ + x1 x3 = LCos (θ+ ω) +x3-1 x3=LCos (θ+ ω) + x2 x4=LCos (θ+ 2ω)+x4-1 x4=LCos (θ+ 2ω) + x3 x5 = LCos (θ+ 3ω)+x5-1 x5=LCos (θ+ 3ω) + x4 . . . Xn = LCos (θ+ k ω) + xn-1
  26. 26. GENERALIZACION PARA N-LADOS De igual forma para las componentes en y (ordenadas), y2 =LSen θ + x2-1 y2 =LSen θ + y1 y3 =LSen (θ+ ω) + y3-1 y3 =LSen (θ+ ω) + y2 y4 =LSen (θ+ 2ω) + y4-1 y4 =LSen (θ+ 2ω) +y3 y5 =LSen (θ+ 3ω) + y5-1 y5 =LSen (θ+ 3ω) +y4 . . . yn = LSen (θ+ k ω) + yn-1 Encontrando los puntos respectivos denotados por: P2=(x2, y2), P3=(x3, y3), P4=(x4,y4),…Pn=(xn,yn).
  27. 27. CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ISOSCELES P1=(x1, y1) L1y2= a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º 0<ω<180º ω≠ 120º ángulo suplementario respecto a los lados L1y3 Con estos datos se encuentran los dos puntos restantes en el plano cartesiano, empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por P2=(x2, y2) y P3=(x3, y3) con el siguiente proceso: x2 – x1 = LCos θ y y2 - y1 = LSen θ x2 = LCos θ + x1 y y2 = LSen θ + y1 punto P2=(x2, y2) Luego, x3–x2 =LCos(θ+ ω) y y3-y2 =LSen (θ+ ω) x3 =LCos(θ+ ω)+x2 y y3 =LSen(θ+ ω)+y2 punto P3=(x3, y3)
  28. 28. CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ISOSCELES Variante: Para encontrar el valor del lado tres L3 y el ángulo α en el triángulo isósceles se hace necesario abordar las siguientes fórmulas conocidas: L3 = ( x 3 − x 2 ) 2 + ( y3 − y 2 ) 2 Valor distancia entre dos puntos 180= 2α+ω´ y 180= ω+ω´ luego, 2α + ω´ = ω + ω´ α=ω 2 Valor del ángulo α, propiedad de los Triángulos isósceles
  29. 29. CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ESCALENO Para construir un triángulo escaleno también existen variantes pero se conserva el principio del método: Sea P1=(x1, y1) L1= a cm. L2=b cm. a ≠ b. 0 ≤ θ ≤ 360º y 0<ω<180º Con estos datos se encuentran los dos puntos restantes en el plano cartesiano, empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por, P2=(x2, y2) y P3=(x3, y3) con el siguiente proceso:
  30. 30. CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ESCALENO x2 – x1 = L1Cos θ y x2 = LCos θ + x1 y2 - y1 = L1Sen θ y y2=LSenθ + y1 entonces, P2=(x2, y2) Luego, x3–x1 =L2Cos(θ+ω) y y3-y1=L2Sen(θ+ω) x3=L2Cos(θ+ ω)+x2 y y3=L2Sen(θ+ω)+y2 así, P3=(x3, y3) Variante: Para encontrar el valor del lado tres L3 y el ángulo α en el triángulo isósceles se hace necesario abordar las siguientes fórmulas conocidas
  31. 31. CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ESCALENO •L = 3 ( x 3 − x 2 ) 2 + ( y 3 − y 2 ) 2 Distancia entre dos puntos. Para el ángulo α se emplea la ley de senos, respecto a ω, los lados L2 y L3 s e n α =s e nω L L 2 3 −1 L 2sen ω   α = sen   L  3   Y para el ángulo φ, la propiedad fundamental de ángulos internos de un triángulo φ + α+ ω´ = 180º φ = 180º-(α+ ω´ )
  32. 32. FIN
  33. 33. MÉTODO “DABEJA” GRACIAS DANIEL BEJARANO SEGURA Licenciado en Matemáticas y Física dabejase@yahoo.es

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