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Funcio continua Funcio continua Presentation Transcript

  • LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8
  • CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 8.6 * 1º BCS
  • CONTINUIDAD GRÁFICA
    • Una función se dice que es continua en todo su dominio cuando podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz del papel.
    • Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3
    1 - 1 0 y=x+1 Función continua en R 1 - 1 0 y=e x Función continua en R - 1 0 1 y=x – x 3 Función continua en R
  • CONTINUIDAD GRÁFICA
    • Una función se dice que es continua en todo su dominio cuando podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz del papel.
    • Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6
    1 - 1 0 y=2 – x 2 Función continua en R 0 1 y=log x Función continua en R + -3 -2 -1 0 1 y= √(1 – x) F. continua en (-oo, 1]
    • Ejemplo 7
    • Función continua en R, excepto en x=2
    • En x=2 hay una discontinuidad, pues la función no existe en dicho punto.
    • x=2 no forma parte del dominio de la función.
    CONTINUIDAD GRÁFICA 1 2 x 2 – 3.x + 2 y = --------------- x – 2
    • Ejemplo 8
    • Función continua en R, excepto en x=1
    • En x=1 hay una discontinuidad, pues en ese punto su valor es 0.
    • x=1 forma parte del dominio de la función.
    4 -2 -1 0 1 2 4 – x 2 , si x<>1 y = 0 , si x=1
    • Ejemplo 9
    • Función continua en R, excepto en x=0
    • En x=0 la función existe y vale 1.
    • Pero a la izquierda de 0 la función vale 1 (y=1) y a la derecha del 0 la función vale 0 (y=0).
    • Hay una discontinuidad en x=0, un salto finito.
    CONTINUIDAD GRÁFICA 1 0 x + 1 , si x ≤0 y = – x , si x>0
    • Ejemplo 10
    • Función continua en R, excepto en x=0
    • En x=0 hay una discontinuidad, pues en ese punto no existe la función y a la izquierda del 0 su valor baja hasta – oo.
    • x=0 no forma parte del dominio.
    -2 -1 0 1 2 x 2 – 2 , si x<0 y = log x , si x>0
  • CONTINUIDAD DE FUNCIONES
    • Una función y=f(x) se dice que es continua en un punto x=a, cuando se cumplen tres condiciones:
    • 1) Existe la función en ese punto, existe f(a).
    • Es decir, ‘a’ forma parte del dominio de la función.
    • 2) Existe el límite de la función en dicho punto, lím f(x)
    • x  a
    • Si la función en dicho punto está troceada, el límite por la derecha debe coincidir con el límite por la izquierda para que exista dicho límite.
    • 3) El valor de la función en dicho punto coincide con el límite:
    • f(a) = lím f(x)
    • x  a
    • Como aun no se ha dado el concepto y el cálculo de límites, más adelante se volverá a este esquema para estudiar la continuidad de una función en un punto.
  • TIPOS DE DISCONTINUIDADES
    • Para estudiar la continuidad de una función hay que hacerlo en todo su dominio de definición . En aquellos puntos singulares del dominio o en aquellos puntos que no pertenezcan al dominio de la función, estudiaremos detenidamente la función y determinaremos el tipo de discontinuidad que pueda presentar.
    • 1) EVITABLE , que es cuando no existe la función en dicho punto, pero sí el límite.
    • 2) DE 1ª ESPECIE , cuando el valor de la función en dicho punto no coincide con el límite.
    • 3) DE 2ª ESPECIE SALTO FINITO , cuando no existe el límite, al no coincidir el límite derecho con el izquierdo.
    • 4) DE 2ª ESPECIE SALTO INFINITO , cuando uno de los límites derecho o izquierdo, o los dos, son más o menos infinito.
  • Ejemplo 1
    • x – 4 , si x < 2  Función lineal
    • Sea f(x) =
    • - 2 , si x ≥ 2  Función constante
    • A la izquierda de x=2 ( función lineal ) es continua.
    • A la derecha de x=2 ( función constante) es continua.
    • Miramos si es continua en el punto x=2
    • 1) f(2) = 2 – 4 = – 2
    • Es decir, x = 2 es un punto del dominio de la función.
    • 2) Lím f(x) = 2 – 4 = -2 Lím f(x) = -2
    • x  2- x  2+
    • El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe dicho límite y vale - 2.
    • 3) f(2) = lím f(x)  - 2 = - 2
    • x  2
    • La función es también continua en x = 2. Es continua en R
  • Ejemplo 2
    • x 2 – 9 , si x < 3  Función cuadrática
    • Sea f(x) =
    • x - 3 , si x > 3  Función lineal
    • A la izquierda de x=3 ( función cuadrática ) es continua.
    • A la derecha de x=3 ( función lineal) es continua.
    • Miramos si es continua en el punto x=3
    • 1) f(3) = NO existe.
    • Es decir, x=3 no es un punto del dominio de la función.
    • 2) Lím f(x) = 3 2 – 9 = 0 Lím f(x) = 3 – 3 = 0
    • x  3- x  3+
    • El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe dicho límite y vale 0.
    • 3) f(3) <> lím f(x) , al no existir f(3)
    • x  3
    • La función en x=3 presenta una DISCONTINUIDAD EVITABLE.
  • Ejemplo 3
    • x 2 – 2 , si x ≤ 1  Función cuadrática
    • Sea f(x) =
    • e x , si x > 1  Función exponencial
    • A la izquierda de x=1 ( función cuadrática ) es continua.
    • A la derecha de x=1 ( función exponencial) es continua.
    • Miramos si es continua en el punto x=1
    • 1) f(1) = 1 2 – 2 = 1-2= -1
    • Es decir, x=1 es un punto del dominio de la función.
    • 2) Lím f(x) = 1 2 – 2 = 1 – 2=- 1 Lím f(x) = e 1 = e
    • x  1- x  1+
    • El límite por la izquierda NO coincide con el límite por la derecha, luego NO existe límite.
    • 3) No se puede cumplir al no existir límite.
    • La función en x=1 presenta una DISCONTINUIDAD de 2ª ESPECIE CON SALTO FINITO.
  • Ejemplo 4
    • x 2 – 2 , si x ≤ 1  Función cuadrática
    • Sea f(x) =
    • ln (x – 1) , si x > 1  Función logarítmica
    • A la izquierda de x=1 ( función cuadrática ) es continua.
    • A la derecha de x=1 ( función logarítmica) es continua.
    • Miramos si es continua en el punto x=1
    • 1) f(1) = 1 2 – 2 = 1-2= -1
    • Es decir, x=1 es un punto del dominio de la función.
    • 2) Lím f(x) = 1 2 – 2 = 1 – 2=- 1 Lím f(x) = ln (1 – 1) = ln 0+ = - oo
    • x  1- x  1+
    • El límite por la izquierda NO coincide con el límite por la derecha, luego NO existe límite.
    • 3) f(1) <> lím f(x) , al no existir límite.
    • x  1
    • La función en x=1 presenta una DISCONTINUIDAD de 2ª ESPECIE CON SALTO INFINITO.
  • Ejemplo 5
    • Hallar el valor de k para que la función sea continua en todo R
    • x 2 – 2 , si x ≤ 2
    • Sea f(x) =
    • x – k , si x > 2
    • A la izquierda de x=2 ( función cuadrática ) es continua.
    • A la derecha de x=1 ( función lineal ) es continua.
    • Miramos si es continua en el punto x=2
    • 1) f(2) = 2 2 – 2 = 4-2= 2
    • Es decir, x=2 es un punto del dominio de la función.
    • 2) Lím f(x) = 2 2 – 2 = 4 – 2 = 2 Lím f(x) = 2 - k
    • x  2- x  2+
    • Para que exista el límite ambos límites laterales deben ser iguales: 2 = 2 – k  Luego, en este caso k debe ser 0.
    • 3) Si k = 0 f(2) = lím f(x) , pues 2 = 2
    • x  2
    • Si k = 0, la función también es continua en x=2, y por tanto en todo R.