Clase 2. unidad_2

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Clase 2. unidad_2

  1. 1. Unidad 2 Números y Muestras <ul><li>Autor de la Presentación: Rolando Simon Titiosky </li></ul><ul><li>Bibliografía: </li></ul><ul><li>Ing Luis Zuloaga Rotta. Investigación de Operaciones, 2005. UNI FIIS, Peru. </li></ul><ul><li>Guido J. Pace (UNNE FCENA). Modelos y simulación, 1993. </li></ul>
  2. 2. Números ALEATORIOS Y PSEUDOALEATORIOS <ul><li>Sucesiones de dígitos equiprobables, entre 0 y 9, ubicados aleatoreamente en toda su extensión. </li></ul><ul><ul><li>Una Variable aleatoria es una función de valor real, definida sobre un espacio muestral de naturaleza azarosa. </li></ul></ul><ul><ul><li>El valor numérico resultante de un experimento, de una variable aleatoria, se llama número aleatorio. </li></ul></ul>
  3. 3. Métodos De Generación <ul><li>Métodos manuales: Generación de números con artificio manuales: bolillas, patentes de los autos, guía telefónica </li></ul><ul><ul><li>Ventajas: Son aleatorios y son Simples, </li></ul></ul><ul><ul><li>Desventajas: No reproducibles y Lentos </li></ul></ul><ul><li>Tablas de biblioteca: La mas importante: “A millón randon digist” editorial RAND, configurada con las radiaciones termoiónicas de un tubo de rayos catódicos. </li></ul><ul><ul><li>Ventaja: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Provienen de un fenómeno aleatorio </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>son reproducibles. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Se las puede estudiar y analizar rigurosamente antes de ser utilizada. </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Desventaja: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>No se obtiene en tiempo real. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Necesidades de memoria. </li></ul></ul></ul>
  4. 4. Métodos De Generación <ul><li>Métodos De Computación Analógica: Generados con procesos físicos aleatorios (Ej: una corriente eléctrica). </li></ul><ul><ul><li>Ventaja: Aleatorios. </li></ul></ul><ul><ul><li>Desventaja: No reproducible. </li></ul></ul><ul><li>Métodos De Computación Digital: Con computadoras: </li></ul><ul><ul><li>Provisión Externa: Se graba en memoria las tablas Randa. </li></ul></ul><ul><ul><li>Procesos Físicos Aleatorios: Usar algún dato interno de la computadora (temperatura, segundos, ciclos, cantidad de memoria asignada, etc). </li></ul></ul><ul><ul><li>Relación de recurrencia: Generar números pseudoaleatorios por medio de ecuaciones de recurrencia en las que necesariamente se tiene que dar un valor inicial o semilla para obtener los siguientes valores. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Ventaja: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Son reproducibles. </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>No afectan en demasía al procesador ni sobrecargan la memoria. </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Existe la posibilidad de su absoluta reproducción </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Desventaja: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Son pseudoaleatorios. </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Hay que probar la Calidad Aleatoria del método. </li></ul></ul></ul></ul>
  5. 5. <ul><li>Uniformemente distribuido (sin recurrencia): </li></ul><ul><ul><li>Es recurrente cuando uno o varios elementos se repiten con mayor frecuencia teórica, => disminución de frecuencia de los demás números. </li></ul></ul><ul><ul><li>Estudiar la recurrencia de : 2, 6, 6, 8, 7, 6, 6, 6, 4, 7, 2, 6, 5, 6, 2,6,6,7, 6, 5, 4, 3, 3, 6, 6, 6, 2, 9,4,8,6,4,6, 9,6,3,7,6,9,6, 0. </li></ul></ul><ul><ul><li>Hay 40 Números, por lo tanto la frecuencia teórica de cada uno de los dígitos (del 0 al 9) deberá ser 4. </li></ul></ul><ul><ul><li>De una tabla de frecuencias se obtiene que el digito 6->F(6)=18 veces. </li></ul></ul>Propiedades de los Números aleatorios
  6. 6. <ul><li>Estadísticamente independientes (sin periodicidad): </li></ul><ul><ul><li>Tiene periodicidad cuando varios elementos, repetidos o no, formando una cadena, aparecen en la misma secuencia. </li></ul></ul><ul><ul><li>Estudiar periodicidad de: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>1,0,2,2,6,8,2,3,3,0,1,0,2,2,6,8,4,1,7,0,2,2,6,8, 7,6,5,3,3,5,1,0,2,2,6,8..... </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Secuencia periódica 02268. . de Frecuencia 4 </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>1,0,2,4,6,8,2,3,3,0,1,0,2,4,6,8,4,1,7,0,2,4,6,8, 7,6,5,3,3,5,1,0,2,4,6,8..... </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Secuencia periódica 02468. de Frecuencia 4 </li></ul></ul></ul></ul>Propiedades de los Números aleatorios
  7. 7. <ul><li>Reproducibles: Cuando el Método comienza con la misma Semilla, DEBE dar la misma secuencia de números Pseudoaleatoreos. </li></ul><ul><li>Rápidos , velocidad de generación acorde a las necesidades. </li></ul><ul><li>Mínimos de memoria. </li></ul>Propiedades de los Números Pseudoaleatorios <ul><li>Conclusiones: </li></ul><ul><li>Hay que verificar la calidad estadísticas de las series. Comprobarlas en tiempo de Ejecución es una perdida de tiempo, entonces se prueba la calidad estadística del Método. </li></ul><ul><li>Por la cantidad de números que se necesitan y por la velocidad de su ocurrencia, es imprescindible generarlos en la medida que se lo necesiten. </li></ul>
  8. 8. Método De Los Cuadrados Centrales Método De VON NEUMANN <ul><li>El 1er método para computadores. </li></ul><ul><li>Tomar un numero cualquiera de 4 dígitos y asignarlo como semilla (1er elemento de la serie), luego se lo debe elevar al 2 y obtener un numero de 8 cifras (si la cantidad de cifras es < 8, se lo debe completar con 0 a la izquierda). </li></ul><ul><li>Posteriormente se deben desechar los 2 primeros y los 2 últimos dígitos: Tomar solamente los dígitos centrales y asignarlo como el siguiente elemento de la sucesión. </li></ul><ul><li>Basta solo con repetir el procedimiento para obtener la cantidad de números aleatorios necesarios. </li></ul>Semilla: X0=5166. X 0 =5166; X 0 2 =26687556 X1=6875; X 1 2 =47265625 X2=2656; X 2 2 =07054336 X3=0543; X 3 2 =00294849 Hallar hasta X 7 , realizar un análisis de Periodicidad y Recurrencia
  9. 9. Von Neuman. Ejemplo <ul><li>Semilla: X0=5166. </li></ul><ul><li>X0= 5166; X0 2 =26687556 </li></ul><ul><li>X1= 6875; X1 2 =47265625 </li></ul><ul><li>X2= 2656; X2 2 =07054336 </li></ul><ul><li>X3= 0543; X3 2 =00294849 </li></ul><ul><li>X4= 2948; X4 2 =08690704 </li></ul><ul><li>X5= 6907; X5 2 =47706649 </li></ul><ul><li>X6= 7066; X6 2 =49928356 </li></ul><ul><li>X7= 9283; X7 2 =86174089 </li></ul><ul><li>Serie: 5,1,6,6,6,8,7,5,2,6,5,6,0,5,4,3,2,9,4,8,6,9,0,7,7,0,6,6,9,2,8,3 </li></ul><ul><li>Largo: 32 Números. Frecuencia Teórica=32/10= 3,2 </li></ul><ul><li>Periodicidad </li></ul><ul><li>El 66 aparece 2 veces </li></ul><ul><li>El 69 aparece 2 veces </li></ul><ul><li>… … </li></ul><ul><li>Recurrencia </li></ul><ul><li>El 6 aparece 8 veces </li></ul><ul><li>El 1 aparece 1 vez </li></ul>Cuando la semilla es un número Primo, Impar y Fraccionario se obtiene mejores Series.
  10. 10. Método De Fibonacci <ul><li>Tiene 3 parámetros de tres a siete dígitos c/u y primos </li></ul><ul><li>Los dos 1eros se asignarán como 1er (V 1 ) y 2do elemento (V 2 ) de la serie, </li></ul><ul><li>Un parámetro de control (A > MAX(V 1 , V 2 )) . </li></ul><ul><li>El 3er elemento y los siguientes se obtendrán con el modelo de generación : </li></ul><ul><li>V n+1 = V n + V n-1 + k.A </li></ul><ul><li>Donde: K = 0 si V n + V n-1  A </li></ul><ul><li>-1 en otro caso </li></ul><ul><li>Notar que es como el Método de Congruencias donde K=1 y m=A </li></ul>
  11. 11. Ejemplo Fibbonaci V n+1 = V n + V n-1 + k.A K=(Vn + Vn-1  A)? 0:-1 / A > [V1, V2]
  12. 12. Prueba Estadística de CHI cuadrado: X 2 <ul><li>Verifica la calidad estadística de los números/métodos que se utilizarán. </li></ul><ul><ul><li>Prueba de frecuencias para verificar si hay recurrencia. </li></ul></ul><ul><li>Cuanto más se aproxima a cero el valor de chi-cuadrado, más ajustadas están ambas distribuciones. </li></ul><ul><ul><li>n: pruebas independientes: cantidad de Números/dígitos generados </li></ul></ul><ul><ul><li>f i : Frecuencia de un determinado suceso. La frecuencia de uno de los dígitos generados en toda la serie. </li></ul></ul><ul><ul><li>La Frecuencia teórica del suceso es n*p i . </li></ul></ul><ul><li>Si X2<X E Entonces la serie es Equiprobable. </li></ul><ul><li>Debemos encontrar un X E en la tabla X 2 que nos asegure la EquiProbabilidad de nuestra Serie. </li></ul><ul><li>E (nivel de significación) típico:0,1 </li></ul><ul><li>X E =14,684 </li></ul>
  13. 13. Ejemplo 1 CHI cuadrado: X 2 <ul><li>Ejemplo: someter a un test de X 2 la siguiente serie: 8,1,4,7,0,3,6,9,2,5,8,1,4,7,0,3,6,9,2,5,8, 1,4,7,0,3,6,9,2,5,8,1,4,7,0,3,6,9,2,5,8. </li></ul>N=41, K=10 n*Pi=4,1 E=0,1 X E =14,684 0,21951<<14, 684 Los Números SON Equiproblables
  14. 14. Ejemplo 2 CHI cuadrado: X 2 <ul><li>Someter a un test de X2 la siguiente serie:8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8 </li></ul>N=41, K=10 n*Pi=4,1 E=0,1 X E =14,684 61,68>>14, 684 Los Números NO SON Equiproblables
  15. 15. Muestras Artificiales <ul><li>Autor de la Presentación: Rolando Simon Titiosky </li></ul><ul><li>Bibliografía: Construido en base a extractos de: </li></ul><ul><li>Extracto de: Guido J. Pace (UNNE FCENA). Modelos y simulación,1993. </li></ul><ul><li>Ing Luis Zuloaga Rotta. Investigación de Operaciones, 2005. UNI FIIS, Peru. </li></ul><ul><li>Wikipedia.org </li></ul>
  16. 16. Muestras Artificiales <ul><li>Los números aleatorios por si solos no son directamente utilizables, a menos que posean la distribución real </li></ul><ul><ul><li>Es necesario construir sucesiones numéricas a partir del conocimiento estadísticos de la variable en cuestión. </li></ul></ul><ul><li>Los métodos pueden ser definidos como:. </li></ul><ul><ul><li>General: Técnica para modelar cualquier distribución de probabilidades. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Para Variables Continuas y/o Discretas: Números Índices </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Especial: Las muestras artificiales deben ajustarse a una determinada distribución, conocida y formalizada. Presentamos algunos casos, pero en la vida práctica, puede ser necesario la investigación de otras distribuciones especiales. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Para Variables Continuas: Distribución Uniforme y Distribución Normal </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Para Variables Discretas: Distribución Bernoulli y Distribución Binomial </li></ul></ul></ul>
  17. 17. Método especial cuando el fenómeno no se ajusta a distribución alguna y posee una variable Discreta (Se puede discretizar variables continuas) o Continuas. f(x): función de densidad de probabilidades, es la derivada de F(x). F(X): función de distribución de probabilidades de X. <ul><li>El Método Opera así: Obtener TABLA con Marcas </li></ul><ul><li>Obtener Dígitos Aleatorios. Ej: 5 y 3= 53 </li></ul><ul><li>Verificar a que marca corresponde 53  D </li></ul><ul><li>Próximo elemento de la Muestra : D. </li></ul><ul><li>SI “NO FIN” ir paso 1 </li></ul>Números Índices <ul><li>Creación de la Tabla de los Números Índices </li></ul><ul><li>Hay que definir las Marcas o Ítems discretos de la tabla </li></ul><ul><li>Definir las f(x) para c/Marca: </li></ul><ul><ul><li>Si el evento ‘x’ ocurre ‘n’ veces y se han realizado ‘z’ experimentos </li></ul></ul><ul><ul><li>La f(x)=(n/z) </li></ul></ul><ul><li>Calcular la F(x) para c/ Marca como Sumatoria de las f(x) antecesoras </li></ul>99 85 50 24 7 N.I Sup 86 51 25 8 0 N.I Inf 1,00 0,86 0,51 0,25 0,08 F(X) 0,14 0,35 0,26 0,17 0,08 f(x) E D C B A Marca 
  18. 18. Metodo Especial: Variable Continua Útil donde todos los sucesos A i tiene la misma probabilidad de ocurrencia entre los límites (a,b) de la serie: X=a+(b-a)*u u: elemento de la sucesión aleatoria en 0  u  1 a: Origen del intervalo. b: Final del intervalo. x: elemento de la muestra. Si desconoce los valores a y b, pero se sabe E(X) y V(X) (media y varianza), entonces se puede hacer: Distribuciones Uniforme:
  19. 19. Ejemplo de Distribución Uniforme
  20. 20. Distribución de Bernoulli <ul><li>Metodo Especial: Variable Discreta </li></ul><ul><li>Aplica a variables aleatorias que pueden tener solo 2 valores. </li></ul><ul><ul><li>Ejemplos: 0 y 1; Si/No; Alto/Bajo; Llueve o no llueve. </li></ul></ul><ul><li>Sean Y 1 ,Y 2 ,... Y n elementos de una Muestra Artificial con distribución uniforme en el intervalo (0,1), </li></ul><ul><li>Los elementos X k de una Muestra Artificil con distribución de Bernoulli de parámetro p , se define como: </li></ul><ul><ul><li>si Y k  p X k = 1 </li></ul></ul><ul><ul><li>si Y k > p X k = 0 </li></ul></ul>
  21. 21. Ejemplo de Bernoulli <ul><li>Parámetros de la Distribución: p=75% </li></ul><ul><ul><li>p=0,75 </li></ul></ul><ul><ul><li>q=0,25 </li></ul></ul><ul><li>Muestra: </li></ul><ul><ul><li>si Y k  p X k = 1 </li></ul></ul><ul><ul><li>si Y k > p X k = 0 </li></ul></ul>1 0,18 1 0,27 0 0,83 1 0,54 1 0,40 1 0,47 1 0,50 0 0,93 1 0,35 1 0,29 Muestra X k Aleatorio. U k
  22. 22. Distribución Binomial <ul><li>Es una serie de “n” pruebas repetidas e independientes de Bernoulli con parámetro p. </li></ul><ul><li>Parámetros </li></ul><ul><ul><li>N= serie de pruebas repetidas e independientes de Bernoulli </li></ul></ul><ul><ul><li>P= Parametro de Bernoulli ( q = 1 – p ) </li></ul></ul><ul><ul><li>E(x) = n * p </li></ul></ul><ul><ul><li>v(x) =  2 = n * p * q </li></ul></ul><ul><li>Sean y1, y2, ... yn una muestra artificial de Beroulli de parámetro E(x) = p </li></ul><ul><li>  n </li></ul><ul><li>X k =  y j </li></ul><ul><li>j=1 </li></ul><ul><li>Cada X k corresponde a un elemento de la muestra artificial Binomial con Distribución con parámetros n, p. </li></ul><ul><li>La variable X k puede tomar valores entre: </li></ul><ul><ul><ul><li>0: si todos los experimentos han sido fracaso </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>n: si todos los experimentos han sido éxitos </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Un valor x, (0< x < n) implica que han tenido éxito x experimentos de Bernoulli. </li></ul></ul>
  23. 23. Distribución Binomial. Ejemplo

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