CóNicas

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CóNicas

  1. 1. Cónicas<br />Reseña Histórica<br />Secciones cónicas<br />Construcción en 3D<br />Lugar geométrico<br />Construcción de acuerdo a las ecuaciones<br />Algunos links importantes<br />
  2. 2. El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía. Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.<br />Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. <br />    Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira. Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada. <br />    En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). <br />    Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. El astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón.. Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica<br />
  3. 3. Secciones Cónicas: <br />Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.<br />La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.<br />El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.<br />Las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución. <br />Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.<br />
  4. 4. Elipse y Circunferencia<br />La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.<br />α < β <90º<br />La elipse es una curva cerrada.<br />La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.<br />β = 90º<br />La circunferencia es un caso particular de elipse.<br />
  5. 5. Hipérbola<br />La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica. <br />α > β<br />La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.<br />
  6. 6. Parábola<br />La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz. <br />α = β<br />La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.<br />
  7. 7. Construcciones en 3D<br />circunferencia<br />Elipse<br />
  8. 8. Construcciones en 3D<br />Hipérbola<br />Parábola<br />
  9. 9. Lugar GeométricoLa elipse puede definirse como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos,F y F', llamados focos, y un número fijo k, , la elipse es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya suma de distancias a F y F' es igual a k: d1 + d2 = kAdemás de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:Centro, O. Eje mayor, AA´. Eje menor, BB´. Distancia focal, OF.Algunas distancias características de la elipse se suelen designar con las letras siguientes:. El eje mayor mide 2a. . El eje menor mide 2b.. La distancia entre focos es 2c. Por ser rectángulo el triángulo OBF, se cumple la siguiente relación: a2 = b2 + c2La excentricidad de una elipse se obtiene así: e = c/aPuesto que c < a se verifica que 0 < e < 1, es decir, la excentricidad de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1.Las órbitas de todos los planetas son elipses, uno de cuyos focos es el Sol. Las más excéntricas son la de Plutón, e = 0,25 , y la Mercurio, e = 0,21. Los restantes planetas tienen órbitas con excentricidades inferiores a 0,1 , es decir, casi circulares.<br />Demostración con el programa GeoGebrahace clic<br />
  10. 10. Ahora, a buscar las ecuaciones de cada una de las cónicas <br />

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