2014
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

2014

on

  • 1,487 views

Предзащита 2014

Предзащита 2014

Statistics

Views

Total Views
1,487
Slideshare-icon Views on SlideShare
1,487
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
2
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    2014 2014 Presentation Transcript

    • Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Физический факультет Булатов Олег Витальевич Численное моделирование течений в приближении мелкой воды на основе регуляризованных уравнений Специальность 05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
    • Содержание • Введение • Глава 1. Уравнения мелкой воды и их регуляризованный вид • Глава 2. Численный алгоритм и примеры одномерных задач • Глава 3. Численный алгоритм для двумерных течений • Глава 4. Численное моделирование задач цунами и течений в расширяющемся канале • Глава 5. Численный алгоритм для неструктурированных сеток • Заключение • Приложение. Особенности программной реализации.
    • Актуальное использование приближения мелкой воды Приближений мелкой воды используется для описания •гидравлических течений •береговых течений •течений в реках и озерах •течений в водозаборниках, технических сужениях и лотках •моделирования цунами •распространения волн прорыва и приливных бор в реках •распространения тяжелых газов и примесей в атмосферах планет •движения атмосферы в крупных масштабах, используемых при предсказании погоды
    • Моделирование цунами Волна цунами переливается через дамбу в городе Мияко префектуры Иватэ на северо-востоке Японии, 11 марта 2011 года.
    • Движения в атмосферах крупных масштабов, используемых при предсказании погоды
    • Связь КГД-уравнений с регуляризованными уравнениями мелкой воды Регуляризованные уравнения мелкой воды очень тесно связаны с КГД уравнениями [1]. Уравнения с регуляризирующими добавками можно напрямую получить из КГД уравнений без проведения процедуры усреднения и введения регуляризирующих членов. Из-за этого численные алгоритмы, разработанные для КГД уравнений [2] могут быть перенесены на регуляризованные уравнения мелкой воды. [1] Шеретов Ю.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь, Тверской государственный университет, 2000. [2] Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. Москва, Научный мир, 2007.
    • Уравнения мелкой воды (1)  ∂h + div (hu ) = 0 ∂t (2)    gh 2    ∂hu + div (hu ⊗ u ) + ∇ = hf − gh∇b ∂t 2 h(x,y,t) – толщина слоя жидкости b(x,y) – профиль дна ux(x,y,t), uy(x,y,t) – компоненты скорости fx, fy – внешние силы (сила трения о дно, сила Кориолиса) g=9.81m/s2 – ускорение свободного падения
    • Усреднение по времени 1 f ( x, t ) = ∆t ∂h (1) (2) ∂t  ∂ hu ∂t t + ∆t ∫ f ( x, t′)dt′ t  + div hu = 0   g h2    + div hu ⊗ u + ∇ = h f − g h ∇b 2 Разлагаем в ряд Тейлора, отбрасываем члены порядка O(τ2) ∂f ( x, t ) f ( x, t ) = f ( x , t ) + τ + O(τ 2 ) ∂t
    • Используем исходную систему уравнения для нахождения производных по времени. Производим подстановку. Например: 1 ∆t t + ∆t ∂hu x ∫ hu x dt → hu x + τ ∂t → t 2  ∂b ∂  1 2  ∂ (hu x ) ∂ (hu x u y )  hu x − τ  gh +  gh  + + − hf x  + O(τ 2 )  ∂x ∂x 2  ∂x ∂y    
    • Регуляризованные уравнения мелкой воды (1) (2) ∂h ∂jn + =0 ∂t ∂xn ∂huk ∂jnuk ∂  gh 2  ~ ∂b  fk − g  + +  2  = h  ∂t ∂xn ∂xk  ∂xk    ∂Π nk +  ∂x n  Дополнительные члены, которые содержат малый временной параметр τ. (3) (5) ~ ∂ (hum ) h = h −τ ∂xm Π nk (4)  ∂hunum  ∂ ( h + b) jn = hun − τ  − hf n   ∂x + gh ∂x  m n    ∂uk   ∂ ( h + b) ∂h ∂um  = τhu n  u m − f k  + τghδ nk  um  ∂x + g ∂x   ∂x + h ∂x   m k m m    
    • Численный алгоритм 1. 2. 3. 4. Интегро-интерполяционный метод Потоки апроксимируются центральными разностями Численная стабильность обеспечивается дополнительными слагаемыми с τ τ соотносится со временем, необходимым малому возмущению для преодоления расчетной ячейки ∆x τ =α gh 5. 6. 7. ∆x ∆t = min β Явная схема gh Условие Куранта для шага по времени Выполняется условие для покоящейся жидкости (well-balanced scheme)
    • Условия сухого дна 1. Для случая сухого дна используем ограничение на h. Если h<ε, тогда ui=0 (Ricchiuto, 2009) и τi=0 2. Ограничение на ε привяжем к размеру сетки Δx Например, в одномерном случае получим условие:  ∂b  ε ≥ ∆x    ∂x  x 0 b(x,y) – профиль дна
    • Условие покоящейся жидкости для выпирающей поверхности с сухой областью (well-balanced scheme)
    • Задача Римана с сухим дном (разрушение плотины H 1:0) α = 0.2 β = 0.1
    • Задача Римана со ступенькой
    • Задача Римана hL=7m, hR=0.01m со ступенькой
    • Задача Римана hL=7m, hR=1m со ступенькой
    • Задача Римана hL=7m, hR=4m ступенькой
    • Задача Римана hL=10m, hR=0.2m со ступенькой
    • Задача Римана hL=10m, hR=2m со ступенькой
    • Зависимость ошибки L1(h) от уменьшения шага сетки Δx ∑ h −h L ( h) = ∑h 1 ex i i i ex i i
    • Зависимость ошибки L1(hu) от уменьшения шага сетки Δx ∑ hu −h L (hu ) = ∑h u 1 i i ex ex i i i ex ex i i i u
    • Сравнение численного решения с аналитическим волновым решением Кэри и Гринспана. Постановка задачи. Жидкость покоится. Показано изначальное распределение высоты жидкости
    • Сравнение численного и аналитического решения Кэри и Гринспана Профиль скорости в момент времени t=5с для различных сеток ∆x = 0.1м, ∆x = 0.05м, ∆x = 0.025м
    • Сравнение численного и аналитического решения Кэри и Гринспана Положение береговой точки в зависимости от времени для различных сеток ∆x = 0.1м, ∆x = 0.05м, ∆x = 0.025м
    • Набегание цунами на берег с постоянным наклоном (ISEC Benchmark problem #1)
    • Набегание цунами на берег с постоянным наклоном Движение свободной поверхности жидкости около берега
    • Набегание цунами на берег с постоянным наклоном Возмущение свободной поверхности (сравнение с аналитическими результатами)
    • Набегание цунами на берег с постоянным наклоном Движение береговой точки
    • Набегание цунами на берег сложной формы (ISEC Benchmark problem #2) (Note↓) Note: Постановку задачи для ISEC Benchmark можно найти на ресурсе: http://isec.nacse.org/workshop/2004_cornell/benchmark.html
    • Зависимость от времени возмущения свободной поверхности в точке 5; (x,y) = (4.521,1.196)
    • Набегание цунами на берег сложной формы
    • Распределения толщины жидкости и линий тока для момента времени t=17с
    • Распределения толщины жидкости и линий тока для момента времени t=18с
    • Экспериментальная установка для изучения распространения волн прорыва в канале
    • Изменение высоты жидкости h начиная с момента времени t=0с до t=80с
    • Распределения толщины жидкости h и линий тока начиная с момента времени t=0с до t=80с
    • Сравнение экспериментальных и численных результатов для Точки 1 (x=2м, y=2.5м) Серая область – возмущение свободной поверхности в эксперименте Сплошная линия – метод Годунова Пунктирная линия – Численные результаты нашего расчета
    • Сравнение экспериментальных и численных результатов для Точки 6 (x=4м, y=0.5м) Серая область – возмущение свободной поверхности в эксперименте Сплошная линия – метод Годунова Пунктирная линия – Численные результаты нашего расчета
    • Основные результаты • Построены регуляризованные уравнения мелкой воды. На их основе созданы численные алгоритмы для решения задач гидродинамики в этом приближении. • Построены аналитические и численные решения для задач Римана над подстилающей поверхностью в виде ступеньки и уступа • Построено расширение алгоритма для расчета задач с сухим дном • Проведено численное моделирование задачи о набегании цунами на берег сложной формы и задачи о распространении волны прорыва при разрушении шлюза. Постановка задач соответствует данным эксперимента. • Разработан алгоритм решения регуляризованных уравнений на неструктурированных сетках • Предложенные алгоритмы реализованны в виде комплекса программ
    • Список публикаций 1. 2. 3. 4. Елизарова Т.Г., Булатов О.В. Численное моделирование течений газа на основе квазигидродинамических уравнений. Вестник Московского университета, серия 3. Физика. Астрономия, 2009, No 6, c.29-33 Elizarova T.G., Bulatov O.V. Regularized shallow water equations and a new method of numerical simulation of the open channel flows. Computers & Fluids 46, 2011, P. 206-211 О.В. Булатов, Т.Г. Елизарова. Регуляризованные уравнения мелкой воды и эффективный метод численного моделирования течений в неглубоких водоемах. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2011, том 51, № 1, с. 170-184 О.В. Булатов. Аналитические и численные решения уравнений Сен-Венана для некоторых задач о распаде разрыва над уступом и ступенькой дна. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2014, том 54, № 1, с. 150-164