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Digitalización MAT-00
 

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    Digitalización MAT-00 Digitalización MAT-00 Document Transcript

    • DIGITALIZACIÓN DE LA MATERIA Nombre: Aníbal Fernando Bonilla Ambrossi Matrícula: 705366 Carrera: Ing. Sonido Y Acústica Tutor: Sono Daniel David El Conjunto de los números Reales Definición: Un número real es cualquier número que puede representarse en forma decimal. Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Subconjuntos Importantes de los Reales 1) Los números naturales o de conteo 2) Los enteros no negativos 3) Los enteros 4) Racionales a y b son enteros y b 0 División para cero 3 casos 1) 2)
    • 3) Respuesta Infinita R = Reales Q = Racionales Q´ = Irracionales Z = Enteros F = Fraccionarios N = Naturales Diferencia en la forma decimal de un número racional con su irracional. Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Todo número racional expresado en su forma racional o termina o es periódico.
    • Un número irracional en cambio la forma decimal ni termina ni es periódica. Ejemplos: 1) =1,4142… 2) = 1,73205… 3) π = 1,14159… 4) e = 2,718… Observación y notación de intervalos El conjunto de los números reales está ordenado. Esto significa que podemos comparar dos números reales cualesquiera. Símbolo a>b a<b a≥b a≤b Definición a-b es positivo a-b es negativo a-b es positivo o es 0 a-b es negativo o cero Se Lee a es mayor que b a es menor que b a es mayor o igual que b A es menor o igual que b Los símbolos <,>, ≤,≥ son símbolos de desigualdades. Recta numérica Resulta de asociar los puntos de una recta con los números reales. -∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 +∞ Recta numérica real Intervalos acotados de números reales Notación de Intervalo Tipo de Intervalo Notación de Desigualdad [a,b] Cerrado a≤x≤b (a,b) Abierto a<x<b Gráfico a b a b
    • [a,b) Semi abierto a≤x<b (a,b] Semi abierto a<x≤b Los números a,b son extremos de cada intervalo. Intervalos no acotados de números reales Notación de Intervalo Notación de Desigualdad [a, -∞) x≥a (a,+∞) x>a (-∞, +b] x≤b (-∞, +b) X<b Guía N°1 1. (-1;3) : -1 es mayor que x y x es menor que 3 -1 < x ≤ 3 -∞ +∞ 2. (-3;8] -3 < x ≤ 8 -3 menor que x y x menor o igual que 8 -3 8 3. X ≤ -7 x es menor o igual a -7 (-∞;-7] -∞ +∞ Gráfico
    • Expresiones Algebraicas Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionadas mediante operaciones algebraicas. Suma, resta, multiplicación, división, radicación, potenciación. Ejemplos: Términos: Definición.- Son cantidades separadas por signos (+;-) Jerarquía de Operaciones de mayor a menor Potenciación y radicación Multiplicación y división Suma y resta Se destruye la jerarquía de operaciones cuando existen signos de agrupación. Propiedades de los números reales Sean u,v y w números reales, variables o expresiones algebraicas. 1.- Propiedad Conmutativa Suma: u+v = v+u Multiplicación: uv=vu 2.- Propiedad Asociativa Suma: (v+v)+w= u+(v+w) 3- Propiedad de la Identidad
    • Suma: u+o=u 4.- Propiedad del Inverso: Suma: u+(-u) Multiplicación: u. = 1, u ≠ 0 5.- Propiedad Distributiva Multiplicación sobre la suma: U(v+w)=uv+uw (u+v)w=uw+vw Multiplicaciones sobre la resta u(v-w)=uv-uw (u-v)=uw-vw Propiedad del inverso activo Sean u y v números reales variables expresiones algebraicas. Propiedad: Propiedad 1) –u(-u) = u 2) (-u) * v = u * (-v) = -(u*v) 3) (-u) * (-v) = u* v 4) (-1) * (u) = -u 5) – (u+v) = (-u) + (-v) Ejemplo -(-2) = 2 (-4)*3 = 4* (-3) = - (-4*3) = -12 (-6) * (-8) = 6 * 8 = -10 -1* (10) = -10 -(7 + 9) = (-7) + (-9) = -16 Exponentes Enteros: Si a es un número real y n es un número entero o positivo. Exponente ( ) N veces a
    • Potencia n de a base Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Exponente 0 Definición: Si a es un número real diferente de 0. Ejemplos: Exponente Negativo Definición: Si a es un número real y n un número entero. Ejemplos: Principales Teoremas de Exponentes Teoremas 1. 2.
    • 3. 4. 5. Guía N°2 Identifique la base. No calcule el valor 1. 2. Simplifique la base (expresión). Asuma que las variables del denominador no son cero. 3. 4. 5. Notación Científica Se dice que un número x está escrito en notación científica si donde Esta notación sirve para realizar operaciones con números muy grandes o muy pequeños. Ejemplos: Gúgol = Gúgolplex = Gúgol dúplex = Exponente Fraccionario Ejemplos: 1.
    • 2. Radicación Definición de raíz -n-sima: y cumple lo siguiente: Ejemplos: 1. 2. 3. 4. Definición de elementos de un radical Raíz n-sima de a Cantidad Subradical Simplificación de Radicales Fundamento 1 Ejemplo. Factorización Numérica 18 2 9 3 3 1 1
    • Fundamento 2: Ejemplo: Guía N°3 1. Evaluar las siguientes raíces. - = = = Guía N°4 Racionalización de denominadores En matemáticas no se acostumbra dejar radicales en un denominador. Para eliminar un radical de un denominador se debe hacerlo sin alterar el valor de la función. Fundamento:
    • Guía N°5 1. 2. 3. Simplifique la expresión 4. = = = 5. Polinomios Expresiones Algebraicas Es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionados mediante las relaciones algebraicas; suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación. Ejemplos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
    • Polinomios: Definición: Son expresiones algebraicas que tienen con su variable únicamente operaciones suma, resta o multiplicación. Ejemplos: 1. 2. – 3. Forma general de un polinomio en la variable. Un polinomio en una variable x tiene la siguiente forma. Grado: n Variable: x Término Independiente: Coeficiente Líder: Tipos de Polinimios Monomios: Los polinomios que tienen un termino igual. Binomios: Los polígonos que tienen dos términos igual. Trinomios: Los polinomios que tienen 3 términos o igual. Polinomios: Los polinomios que tienen más de 3 y los anteriores.
    • Guía N°6 1. Grado: 9 Coeficiente Líder: -8 2. Grado: 4 Coeficiente Líder: 7 Término Independiente: -14 Variable: x 3. Grado: 5 Coeficiente Líder: 1 Término Independiente: 3 Variable: q Operaciones con Polinomios Suma y resta: Para sumar o restar polinomios, se simplifican los términos semejantes (términos que tienen igual su parte literal) 4. 5. Guía n°6 Sume colocando un polinomio debajo del otro: y
    • Multiplicación de Polinomios 1. 2. 3. 4. 5. – 6. Ejemplo: Guía N°6 Regla Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del polinomio. Productos Notables Existe en el álgebra un tipo especial de multiplicaciones cuyo resultado se puede hacer directamente sin realizar la multiplicación. Algunos Productos Notables 1. Demostración 2. 3. Nota: Las variables a y b pueden ser expresiones algebraicas, no solo una variable.
    • Ejercicios Guía N°7 9. Escriba el polinomio a b a b y 3y 14. 15. 16. 17. 20
    • FACTORIAZACIÓN DE POLIGONOS Definición: Es un proceso algebraico que consiste en transformar sumas y restas en productos. Ejemplo: Factorizar: Factor común: Proceso: Se escribe factor común (cantidad contenida en todos los términos) ”x”. Se abre un paréntesis y dentro de el se escribe la respuesta en dividir cada término para el factor común. GUÍA N°8 1. 2. 3. FACTOR A veces un polinomio de 4 o más términos no tiene factor común general. En este caso pueden agruparse los términos para sacar factor común, y luego si es posible un factor común general con lo que el polinomio que da factorado. Nota: La agrupación no siempre permite factorar al polinomio por lo que es necesario agrupar de otra manera e intentar factorar nuevamente al polinomio. Determine el factor común por agrupación 15. Forma a Forma b
    • 18. TRINMIO DE LA FORMA Procedimiento: 1. Se escriben dos paréntesis [(. 2. Se escribe x en ambos paréntesis, en este caso la variable correspondiente es “x”. 3. En el primer paréntesis se escribe el signo del segundo término el trinomio y en el segundo el producto de los signos del segundo por el tercer término del trinomio. 4. Se buscan 2 números que sumados algebraicamente den el coeficiente del segundo término del trinomio y que multiplicados de el tercer término del trinomio. Ejercicios: El polinomio es primo por que no existen factores. TRINOMIO DE LA FORMA Procedimiento: 1. Multiplicar y dividir el trinomio por el primer coeficiente. 2. Aplicar el procedimiento para el trinomio de la forma 3. Simplificar la respuesta Ejemplos: 42.
    • Demostración: 41. Solución: El polinomio es primo no existen factores. 48.
    • DIFERENCIA DE CUADRADOS Fundamento: Ejemplo: 52. 57. 59. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS 1. 2. Ejemplo Guía N°9 1. 2. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL CASO DE FATORIZAIÓN AL QUE CORRESPONDE UN EJERCICIO 1. Si es solo un término el polinomio ya que esta factorado. 2. Factor común por agrupación: Si no hay factor común contar el número de términos (cantidades separadas con signos + o -)3. Si son 2 términos diferencia de cuadrados + o – de , suma o diferencia de potencia al cuadrado. 4. Si son 3 términos trinomio al cuadrado perfecto, trinomio de la forma 5. Si son 4 o más términos: Factor común por agrupación. Guía N°9 1. 2. 3. 4. 5. 6.
    • EXPRESIONES RACIONALES Son expresiones de la forma . Son fracciones que resultan de dividir 2 polinomios, es decir. Ejemplos: VALORES EXCLUIDOS DEL DOMINIO DE UNA FRACCIÓN Nota: Se deben excluir del dominio de una fracción los valores de la variable que hagan 0 a 1 o más denominaciones. Ejemplos: 1. En el ejemplo 1 el dominio son todos los números reales excepto el “2” 2. En el ejemplo 2 el dominio son todos los reales excepto “3”. 3. 4. En el ejemplo 4 el dominio es todos los números reales, menos
    • Ejercicios propuestos por los estudiantes: Guía 6: 1. Guía 7: 2. 5 2x Guía 8: 3. Guía 9: 4. 5. 10x 4 25 10x
    • SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS Fundamento: Ejemplo Guía N 10: OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES Multiplicación: Fundamento: DIVISIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES Fundamento: SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES Fundamento: Proceso: Para sumar y restar 1. Se factoran los denominadores.
    • 2. Se halla un común denominador que contenga a todos los denominadores o el producto de ellos. 3. Se divide el común denominador para cada uno de los denominadores y cada resultado se multiplica por cada uno de los numeradores. Sumar y Restar SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS O COMPUESTAS Son fracciones que tienen otras fracciones en su numerador o denominador. Pasos simplificados: 1. Se deben realizar las operaciones de su numerador y denominador hasta que quede una fracción en cada uno de ellos. 2. Se realiza la división de las 2 fracciones resultantes. Ejemplo: NÚMEROS COMPLEJOS
    • Ejemplos: 1. 2. 3. 4. 5. 4 IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS Ejemplo: Guía N° 13 18. 19. 20. OPERACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS Suma y Resta con números complejos: Para sumar o restar números complejos, se simplifican términos semejantes. Ejemplos Guía Número 13: 1. (9-5i)+(8+9i) = 9-5i+8+9i = 17+4i 2. (4+5i)-(2+i) = 2+4i 3. 5i+(-9-i) = 5i-9-i = 4i-9 4. — — 5. 6.
    • MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Se multiplica como el producto de 2 binomios cualesquiera, se toma en cuenta Ejemplo Guía Número 13 1. 2. 3. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Se debe multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Conjugado: Ejemplos: 1.
    • EXPRESIONES ALGEBRÁICAS Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables), y números (constantes) relacionados mediante operaciones algebraicas. (Suma, resta, multiplicación y división). Ejemplos: 1. 2. 3. 4. Nota: Los términos son cantidades separadas por signos „+‟ o „-‟. Ecuaciones y Desigualdades Ecuaciones lineales en una variable o de primer grado: Son ecuaciones de la forma 0. donde a y b son números reales y a diferente de Ejemplos: 1. 2. 3. 4. Resolución de una ecuación de primer grado: Fundamento: 1. 2. 3. 4. 1. Se realizan las operaciones que tenga la ecuación hasta expresarla en la forma 2. Se despeja a
    • Ejercicios Guía N° 14 1. 2. 3. 4. INECUACIONES DE PRIMExR GRADO Son desigualdades de la forma Fundamentos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1
    • RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE Se realiza las operaciones que se encuentre en la inecuación, hasta dejarle en la forma Se despeja x 1. Solución: Gráfica 2. – Solución: Gráfica: )
    • INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Fundamento: 1. 2. Ejemplo: Resolver: Solución: Gráfica ∞- ∞ Ejercicios Guía N°15 8. Solución: Gráfica: -∞ 2 12 +∞
    • INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Fundamento: 1. 2. Ejemplo: Resolver: Grafica: -1 4 ∞ -∞ Ejercicios Guía N°15 1. Gráfica: 2 -∞ 2. 12 ∞
    • Gráfica: -∞ -2 16 ∞ Ejercicios Guía N°16 Resolver las ecuaciones cuadráticas utilizando factoreo. 1. 2. Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando las propiedades de la propiedad de la raíz cuadrada. 1. 2. Resolver la ecuación cuadrática completando el trinomio cuadrado perfecto. 1.
    • Gráfica de una operación cuadrática en 2 variables Fundamento: 1. Forma de la ecuación. La gráfica siempre es una parábola. 2. Si “a” es positiva entonces la parábola se abre hacia arriba.
    • 3. Si “a” es negativa: La abscisa del vértice se encuentra con la siguiente fórmula. Ejercicios Guía N°17 1. a=1; b=6; c=8 a es positiva, la parábola se abre hacia arriba. Solución Algebraica Intervalos con el eje X
    • Gráfica: DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real “a” se representa y se obtiene de la siguiente forma Ejemplo: 1. 2. – Resuelva la ecuación en valor absoluto o determine si la ecuación no tiene soluciones. Comprobación: 7=7; 7=7 Nota: En el valor absoluto es importante por lo que se debe comprobar su solución necesariamente.
    • 18. SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Resolver: Solución Algebraica:
    • Solución Gráfica: Igualamos a Y 1. 2. ECUACIONES RACIONALES Fundamento: Se debe excluir a la situación los valores de x que dan divisiones a ‘o’. Inecuaciones Polinomiales: Son ecuaciones de la formula donde P(x) es un polinomio. Ejemplo: 1. 2. 3. Solución de una inecuación polinomial. MÉTODO ABREVIADO El método abreviado se aplica a inecuaciones polinomiales comparadas con ‘o’ en las que todas las variables tienen coeficientes positivos. Procedimiento: 1. Se ubican en la recta numérica todos los valores que hacen ‘0’ a cada factor de pimer grado, con lo que la recta numérica queda divide en intervalos.
    • 2. Se colocan signos a los intervalos de derecha a izquierda, iniciando por el ‘+’, ‘-‘. 3. Se describe la solución como la unión de los intervalos positivos o negativos, según la inecuación sea >’0’ o < ‘0’. Cuando es ≤0 ≥ se incluyen los extremos de los intervalos. Nota: Si hay factores elevados al cuadrado o potencias pares no influyen en la respuesta y pueden ir omitidos.