Introduccón a la probabilidad

Slide 1: CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD Y EL CONTEO Los métodos estadísticos se utilizan para tomar decisiones basadas en el análisis de datos recopilados en experimentos de diseño minucioso. Puesto que la ciencia experimental no puede tener en cuenta toda posible contingencia, siempre habrá algo de incertidumbre, los métodos estadísticos sirven para evaluar el grado de incertidumbre de los resultados. Se los ha clasificado en tres categorías: ∗ Estadística descriptiva_ mediante técnicas analíticas y graficas ésta describe o representa visualmente un conjunto de datos. ∗ Estadística inferencial_ los métodos de la estadística inferencial permiten establecer conclusiones acerca de un gran grupo de objetos, observando solo una porción de objetos del grupo. De lo anterior, se denomina población al grupo total de objetos de los que se obtiene conclusiones; y muestra a una parte o subconjunto de la población que se obtiene y se usa para extraer las conclusiones de dicha población. ∗ Construcción de modelos_ desarrolla ecuaciones predictivas a partir de datos experimentales. INTERPRETACIÓN DE LAS PROBABILIDADES La probabilidad es un número entre 0 y 1 que indica cuan factible es que ocurra un

Slide 2: evento, si la probabilidad es cercana a 1 indica que es muy factible que ocurra el evento, si la probabilidad es cercana a 0 indica que poco factible que el evento ocurra, en ambos casos no signifique que el evento ocurrirá o no ocurrirá sino que se trata de un evento común en el primer caso y un evento poco usual en el segundo caso. Si la probabilidad es cercana a 1/2 indica que es igualmente factible que el evento ocurra o no. Para interpretar las probabilidades una vez que se conocen, se utilizan tres métodos: ∗ El enfoque personal_ asigna una probabilidad al evento en base a la opinión personal informada, la desventaja es que la precisión de la asignación depende de la exactitud de la información disponible y la capacidad de evaluar de manera correcta esa información ∗ El de frecuencia relativa_ se basa en la experimentación y observación repetidas, la desventaja es que el evento debe ser susceptible de repetirse, toda probabilidad obtenida de esta forma es una aproximación ∗ El clásico_ éste método puede usarse solamente cuando los posibles resultados del experimento son igualmente probables ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS El primer paso en el análisis de muchos experimentos es elaborar una lista de todos los posibles resultados del experimento, llamada espacio muestral, Uno de los sistemas para desarrollar el espacio muestral a medida que aumenta el número de posibilidades es el diagrama de árbol. Evento_ (en sentido matemático) se denomina así a todo subconjunto de un espacio muestral. Eventos mutuamente excluyentes_ se denominan así porque la presencia de un evento impide la presencia del otro.

Slide 3: PERMUTACIONES Y COMBINACIONES A medida que el experimento se torna más complejo las listas y árboles se vuelven inmanejables, por esto se requiere métodos de conteo alternos. Dos tipos comunes de problemas de conteo son el de permutaciones y el de combinaciones. Una permutación es un arreglo de objetos en un orden determinado. Una combinación es una selección de objetos sin orden alguno. Conteo de permutaciones Si se tiene un problema cuyo orden es de total importancia, se pregunta cuántas permutaciones o arreglos de los objetos dados son posibles, es usual que la respuesta se la obtenga con el principio de multiplicación. El principio de multiplicación_ mediante este principio se obtiene el número total de las formas en que puede ocurrir un evento, se usa en la resolución de problemas de permutación. La fórmula para calcular el número de permutaciones de n objetos distintos, de los cuales se toman r objetos en un momento dado, se expresa en el siguiente teorema: Teorema. El numero de permutaciones de n objetos distintos, de los cuales se toman r a la vez, denotados con n Pr n! Pr = (n − r )! n El principio de multiplicación es la primera opción que deberíamos tomar cuando se tenga un problema que incluye un orden, natural o impuesto. Conteo de combinaciones Los problemas de conteo en que la atención se centra en situaciones en las que el

Slide 4: orden es irrelevante, son problemas de combinaciones Teorema. El numero de combinaciones de n objetos distintos, de los cuales se  n  , esta dado por: seleccionan r a la vez, denotados con n C r o  r  n n! Cr =   =  r  r!(n − r )! n  Para distinguirse entre combinaciones y permutaciones y permutaciones debe buscarse las palabras claves “seleccionar” y “ordenar”, la primera indica que es un problema de combinaciones, y la segunda que se busca una permutación. Permutaciones de objetos que no se diferencian Las permutaciones de objetos que no se diferencian analizan problemas de permutaciones en las que es inevitable la repetición, y responde a la pregunta de cuántos ordenamientos distintos de n objetos son posibles si algunos de los objetos son idénticos y por lo tanto no se puede diferenciarlos La formula general del número total de ordenamientos distintos de estos objetos esta dada por: Permutaciones de objetos que no se diferencian n! n = n1 + n2 + ... + nk n1!n2 !..n K ! La estadística mediante sus métodos: el enfoque personal, el de frecuencia relativa y el clásico, permiten la asignación de una probabilidad frente a una situación en la que haya incertidumbre en la respuesta que se desea obtener.

Slide 5: Se puede interpretar el comportamiento de sucesos que se estén estudiando mediante el análisis de los métodos estadísticos. Se puede construir modelos en base a los resultados obtenidos. Para obtener las probabilidades que puede tener un problema expuesto es necesario, dadas las características del problema, determinar que enfoque probabilístico se va a utilizar para responder esta pregunta. La probabilidad del enfoque de la frecuencia relativa es una aproximación, con un número de ensayos altos pude llegar a ser muy precisa la probabilidad aproximada. Las permutaciones y combinaciones son métodos de conteo alternos cuando no se puede calcular la probabilidad con los métodos anteriores. Con el conteo de permutaciones es posible responder cuantos arreglos de los objetos dados son posibles. Con el conteo de combinaciones es posible responder cuantas selecciones de los objetos dados son posibles con no importa el orden en que se den. Con las permutaciones de objetos que no se diferencian es posible responder cuantos ordenamientos distintos de n objetos son posibles si algunos de los objetos no se pueden diferenciar.