“Todos mis trabajos son juegos. Juegos serios" <br />(M.C.Escher)<br />
Nació en Leeuwarden (Holanda) en 1898. De niño no fue buen estudiante, sólo disfrutaba de las clases de Dibujo y tuvo que ...
En 1922 viajó a Italia, donde le recomendaron por su belleza la zona del Sur de Italia.<br /> Se trasladó a Ravelo, en una...
La solución para salir de aquella situación fue realmente propia de un genio como Escher. Propuso a una empresa de crucero...
	Es evidente la aportación de Escher a los recubrimientos en el espacio. <br />	Escher se inspiró en los mosaicos de la Al...
Otros aspecto evidente que relaciona a Escher con las matemáticas es el empleo de poliedros en sus dibujos. De esta obra, ...
A continuación, observa atentamente este mundo imposible de Escher.<br /> 	Se trata de una escalera en la que se puede sub...
El Mundo<br />        de las <br />Teselaciones<br />
¿Qué es una teselación?<br />
	Imaginemos a nuestra disposición una provisión infinita de piezas de rompecabezas, pero todas iguales: <br />	se dice que...
ACTIVIDAD 1<br />
Observa la siguiente figura<br />¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero? _______________________<br />¿En...
Observa la siguiente figura<br />¿Cuánto suman los ángulos interiores de un pentágono? __________________________<br />¿En...
Completa la siguiente tabla en tu libreta.<br />
Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.<br />________________...
	Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igu...
Como es fácil de imaginar, la diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita. <br /> Los matemáticos y en p...
Algunas teselaciones importantes<br />	Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre sí, se di...
	El reticulado cuadrado como el del 	tablero de ajedrez y
	La configuración hexagonal, como la 	de 	los paneles. </li></li></ul><li>Teselación de Triángulos<br />Teselación de Cuad...
	Podríamos seguir hablando de teselaciones semi-regulares, demi-regulares.... <br /> Las teselaciones que nosotros hemos h...
ACTIVIDAD 2<br />
En hoja de color trazar un cuadro y  rellenarlo con una misma pieza teselante sin dejar huecos:<br />En  una hoja <br />En...
ACTIVIDAD 3<br />
En hojas de colores trazar un cuadro de 20 x 20 y  rellenarlo con dos piezas teselantes sin dejar huecos:<br />En  una hoj...
Escher<br />
Este es uno de los ganadores 2006 del concurso de teselaciones organizado por los productores del software Tess. <br />Hay...
	Las teselaciones fueron popularizadas por M.C. Escher., por ejemplo en su cuadro "Aves y Peces" y muchos otros. Escher vi...
ACTIVIDAD 4<br />
CONSTRUYE UN TRINAGULO COMO EL DE LA FIGURA.<br />36°<br />36°<br />36°<br />15 CM<br />
	CUÁNTO MIDE CADA UNO DE LOS ÁNGULOS  DE ESTAS PIEZAS?<br />	 CORTA A LO LARGO DE LA LINEA PUNTEADA PARA OBTENER DOS TRIÁN...
ACTIVIDAD 5<br />
DISEÑOS QUE PUEDES HACER CON DOS PIEZAS.<br />(Triangulos escalenos. 20)<br />
DISEÑOS QUE PUEDES HACER CON MAS PIEZAS.<br />
¿CUALQUIER TRIÁNGULO SIRVE COMO PIEZA DE ROMPECABEZAS?<br />TRAZA CUALQUIER TRIÁNGULO SOBRE UNA HOJA  Y RECÓRTALO, UTILIZA...
¿CUALQUIER CUADRILÁTERO SIRVE COMO PIEZA DE ROMPECABEZAS?<br />TRAZA CUALQUIER CUADRILÁTERO SOBRE UNA HOJA  Y RECÓRTALO, U...
PRODUCTO FINAL<br />EN  PAPEL CASCARON  DE ¼<br />TU PROPIA TESELACIÒN.<br />
FIN<br />
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Teselaciones

  1. 1. “Todos mis trabajos son juegos. Juegos serios" <br />(M.C.Escher)<br />
  2. 2. Nació en Leeuwarden (Holanda) en 1898. De niño no fue buen estudiante, sólo disfrutaba de las clases de Dibujo y tuvo que repetir curso. Posteriormente, en 1919, ingresó en la Escuela de Arquitectura y Diseño Ornamental de Haarlem, ya que su padre tenía gran interés en que estudiara arquitectura. Pero allí se descubrió que el camino de Escher estaba más en el arte decorativo que en la arquitectura, por lo que se decantó, con la resignada autorización de su padre, por el primero.<br /> A ello contribuyó el que era su profesor de artes gráficas, Samuel Jesserun De Mesquita, que se convertiría en su principal maestro. En cualquier caso, en la Escuela Escher tampoco deslumbró y cuando De Mesquita comprobó que su alumno tenía los conocimientos básicos del dibujo, le animó a que empezara a trabajar por su cuenta.<br />
  3. 3. En 1922 viajó a Italia, donde le recomendaron por su belleza la zona del Sur de Italia.<br /> Se trasladó a Ravelo, en una de cuyas pensiones Escher conoció a JettaUmiker, con la que se casaría en 1924. Jettatambién pintaba, dibujaba y no había recibido ninguna formación para ello. <br />La familia se trasladó a Roma, donde nació su primer hijo. Desde la capital hacían numerosos viajes a otras regiones de  Italia, de donde venían cargados de dibujos. Pero la llegada de Mussolini al poder convirtió progresivamente el ambiente desagradable para Escher al que, si bien no estaba interesado en la política, le disgustaba profundamente el fanatismo. Así que, cuando su hijo fue obligado a llevar el uniforme de la juventud fascista, la familia se trasladó a Suiza, donde Escher pasó dos años muy malos, nada inspirado por los nevados paisajes nevados. <br />
  4. 4. La solución para salir de aquella situación fue realmente propia de un genio como Escher. Propuso a una empresa de cruceros pagar algunos viajes con sus propios grabados y lo increíble es que la empresa aceptó por lo que la familia pudo realizar diversas escapadas por este método.<br /> En 1937 se mudó a Bélgica pero el ambiente no era bueno debido a la guerra así que la familia volvió a Holanda en 1941.<br /> En Holanda, el mal tiempo ayudó a que aumentara su producción. Su ritmo de trabajo fue constante durante esos años, con la sola excepción de 1962, cuando tuvo que ser operado.<br />Escher falleció el 27 de Marzo de 1972. Su última obra, "Serpientes" data de 1969.<br />
  5. 5.
  6. 6. Es evidente la aportación de Escher a los recubrimientos en el espacio. <br /> Escher se inspiró en los mosaicos de la Alhambra de Granada.<br /> Con una diferencia. Si el Islam prohibía las imágenes de animales o personas, el artista holandés no tenía esa limitación por lo que realizó todo tipo de recubrimientos de asombrosa complejidad. veamos un ejemplo de sus teselaciones (recubrimientos del plano). Los peces de diferentes colores que la forman, aunque a primera vista parecen superponerse, en realidad encajan perfectamente. Si observamos el dibujo, en un mismo "vértice" conviven tres cabezas y tres colas de pez.<br />
  7. 7.
  8. 8. Otros aspecto evidente que relaciona a Escher con las matemáticas es el empleo de poliedros en sus dibujos. De esta obra, "Stars" (1948), el propio Escher dijo: "Cuerpos regulares sencillos, dobles y triples flotan como estrellas por el vacío. En el centro se encuentra una construcción compuesta por tres octaedros regulares". Aparecen también otro tipo de poliedros en sus obras "Orden y Caos" (1950) y "Gravitación" (1952)<br />
  9. 9.
  10. 10.
  11. 11. A continuación, observa atentamente este mundo imposible de Escher.<br /> Se trata de una escalera en la que se puede subir y bajar sin que por ello varíe la altura. <br /> Si sigues de cerca a los monjes, no tendrás la menor duda de estar ascendiendo. Sin embargo, al dar una vuelta completa, ¡te encontrarás de nuevo en el mismo punto de partida! <br /> Se consigue esta idea de ascenso infinito porque la escalera está colocada horizontalmente, mientras que los demás detalles avanzan en forma de espiral.<br />
  12. 12.
  13. 13.
  14. 14.
  15. 15.
  16. 16.
  17. 17.
  18. 18.
  19. 19.
  20. 20.
  21. 21.
  22. 22.
  23. 23. El Mundo<br /> de las <br />Teselaciones<br />
  24. 24.
  25. 25. ¿Qué es una teselación?<br />
  26. 26. Imaginemos a nuestra disposición una provisión infinita de piezas de rompecabezas, pero todas iguales: <br /> se dice que la pieza es teselante cuando es posible acoplarlas entre sí sin huecos ni fisuras hasta recubrir por completo el plano; la configuración que en tal caso se obtiene recibe el nombre de mosaico o teselación.<br />
  27. 27. ACTIVIDAD 1<br />
  28. 28. Observa la siguiente figura<br />¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero? _______________________<br />¿En cuántos triángulos se pueden dividir los cuadriláteros? ________________________<br />
  29. 29. Observa la siguiente figura<br />¿Cuánto suman los ángulos interiores de un pentágono? __________________________<br />¿En cuántos triángulos se pueden dividir los pentágonos? ________________________<br />
  30. 30. Completa la siguiente tabla en tu libreta.<br />
  31. 31. Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.<br />_______________________________________<br />
  32. 32. Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, ropas,... <br /> El artista holandés M.C. Escher se divirtió teselando el plano con figuras de intrincadas formas, que recuerdan pájaros, peces, animales.... <br />
  33. 33. Como es fácil de imaginar, la diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita. <br /> Los matemáticos y en particular los geómetras se han interesado especialmente por las teselaciones poligonales; incluso las más sencillas de estas plantean problemas colosales. <br />
  34. 34. Algunas teselaciones importantes<br /> Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre sí, se dice que la teselación es regular. <br />  Ahora bien, sólo existen tres teselaciones o mosaicos regulares: <br /><ul><li> La malla de triángulos equiláteros.
  35. 35. El reticulado cuadrado como el del tablero de ajedrez y
  36. 36. La configuración hexagonal, como la de los paneles. </li></li></ul><li>Teselación de Triángulos<br />Teselación de Cuadrados<br />Teselación de Hexágonos <br />
  37. 37. Podríamos seguir hablando de teselaciones semi-regulares, demi-regulares.... <br /> Las teselaciones que nosotros hemos hecho, siguiendo los pasos de Escher,  no siguen formas regulares, sino que representan animales, caras,...<br />
  38. 38.
  39. 39.
  40. 40.
  41. 41.
  42. 42. ACTIVIDAD 2<br />
  43. 43. En hoja de color trazar un cuadro y rellenarlo con una misma pieza teselante sin dejar huecos:<br />En una hoja <br />En una hoja<br />En una hoja<br />En una hoja<br />
  44. 44. ACTIVIDAD 3<br />
  45. 45. En hojas de colores trazar un cuadro de 20 x 20 y rellenarlo con dos piezas teselantes sin dejar huecos:<br />En una hoja <br />En una hoja<br />En una hoja<br />
  46. 46. Escher<br />
  47. 47.
  48. 48. Este es uno de los ganadores 2006 del concurso de teselaciones organizado por los productores del software Tess. <br />Hay algunos mosaicos muy interesantes, ingeniosos y algunos estéticamente muy atractivos. Tessella es una palabra griega que significa "pequeño cuadrado", y el término teselación o embaldosado denota una forma de cubrir un plano mediante repeticiones de una misma figura.<br />
  49. 49.
  50. 50. Las teselaciones fueron popularizadas por M.C. Escher., por ejemplo en su cuadro "Aves y Peces" y muchos otros. Escher visitó Alhambra, en el sur de España, y quedó muy impresionado por las decoraciones usadas por los Moros. Los Musulmanes por su religión tienen prohibido el uso de iconografía religiosa, y por lo tanto la decoración de sus templos consiste principalmente en motivos geométricos (además los árabes siempre fueron excelentes geómetras).<br />
  51. 51.
  52. 52.
  53. 53.
  54. 54.
  55. 55.
  56. 56.
  57. 57.
  58. 58.
  59. 59.
  60. 60.
  61. 61.
  62. 62.
  63. 63.
  64. 64. ACTIVIDAD 4<br />
  65. 65. CONSTRUYE UN TRINAGULO COMO EL DE LA FIGURA.<br />36°<br />36°<br />36°<br />15 CM<br />
  66. 66. CUÁNTO MIDE CADA UNO DE LOS ÁNGULOS DE ESTAS PIEZAS?<br /> CORTA A LO LARGO DE LA LINEA PUNTEADA PARA OBTENER DOS TRIÁNGULOS.<br /> CONSTRUYE 10 TRIÁNGULOS DE UN TIPO Y DE UN SOLO COLOR Y 10 DEL OTRO EN OTRO COLOR.<br /> CON TUS 20 TRIÁNGULOS ARMA UN DISEÑO COMO SI FUERA UN ROMPECABEZAS<br />
  67. 67. ACTIVIDAD 5<br />
  68. 68. DISEÑOS QUE PUEDES HACER CON DOS PIEZAS.<br />(Triangulos escalenos. 20)<br />
  69. 69. DISEÑOS QUE PUEDES HACER CON MAS PIEZAS.<br />
  70. 70. ¿CUALQUIER TRIÁNGULO SIRVE COMO PIEZA DE ROMPECABEZAS?<br />TRAZA CUALQUIER TRIÁNGULO SOBRE UNA HOJA Y RECÓRTALO, UTILIZALO COMO PATRÓN Y RECORTA OTROS 10 DEL MISMO TAMAÑO PERO DE DIFERENTE COLOR Y ARMA UN DISEÑO.<br />
  71. 71. ¿CUALQUIER CUADRILÁTERO SIRVE COMO PIEZA DE ROMPECABEZAS?<br />TRAZA CUALQUIER CUADRILÁTERO SOBRE UNA HOJA Y RECÓRTALO, UTILIZALO COMO PATRÓN Y RECORTA OTROS 10 DEL MISMO TAMAÑO PERO DE DIFERENTE COLOR Y ARMA UN DISEÑO.<br />
  72. 72.
  73. 73.
  74. 74.
  75. 75.
  76. 76.
  77. 77.
  78. 78. PRODUCTO FINAL<br />EN PAPEL CASCARON DE ¼<br />TU PROPIA TESELACIÒN.<br />
  79. 79. FIN<br />
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