El exponente de un
número dice cuántas veces se
multiplica el número.
En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
En palabras:
82 se ...
Todo lo que necesitas saber...
Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas
de los exponentes") vienen de las si...
Leyes de los exponentes
Ejemplo: potencias de 5
... etc...
52 1 × 5 × 5 25
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5-1 1 ÷ 5 0,2
5-2 1 ÷ 5 ÷ 5 0,04
... etc...
Verás que...
Así que x2x3 =
La ley que dice que xmxn = xm+n
En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"?
Respuesta:
Primero "m" veces, desp...
Multiplicación de monomios
Para multiplicar expresiones algebraicas
veremos, en primer lugar, la más simple de ellas:
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Multiplicación de monomios
(−2x3) · (−5x) · (−3x4) =
(– 4a2b) (– ab2) =
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Multiplicación de monomios
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Para multiplicar un monomio por un polinomio,
utilizamos la propiedad distributiva de la multiplicación
con respecto a la ...
3 (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) =
3x2 (2x3 − 3x2 + 4x − 2) =
6x3 − 9x2 + 12x − 6
6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
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(– 2x)( x2 – 4x + 3) =
3ab ( a3 – 4a2 + 6a) =
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Nombre:
Grupo:
Nº de lista
Fecha:
Tema: 3a2x2 ( x5 – ...
Para multiplicar polinomios, multiplique cada
término del primer polinomio con cada término del
segundo polinomio, combine...
Se multiplica cada monomio del primer polinomio
por todos los elementos del segundo polinomio.
Se suman los monomios del m...
(3x4 + 5x3 − 2x + 3) (2x2 − x + 3) =
= 6x6 − 3x5 + 9x4 + 10x5 − 5x4 + 15x3 − 4x3 + 2x2 − 6x + 6x2 − 3x + 9
= 6x6 + 7x5 + 4...
Ejercicios
1) (x4 − 2x3 + 2x2 ) (x2 − 2x + 3) =
X4 – 2x3 + 2x2
X2 – 2x + 3
x6 – 2x5 + 2x4
– 2x5 + 4x4 – 4x3
+ 3x4 – 6x3 + ...
2X3 + 4x2 – x + 2
3X2 – 5x
6x5 + 12x4 – 3x3 + 6x2
– 10x4 – 20x3 + 5x2 – 10x
6X5 + 2x4 – 23x3 + 11x2 – 10x
– 5X3 – 6x2 + 4x...
1) ( y + 3)( y + 3) =
2) (z + 5)(z − 5) =
3) (m + 4) (m – 10) =
4) (x − 2)(x2 − 4x − 5)
5) (−2x + 3y)(x2 − 2xy − y2)
Ejerc...
1) y2 + 6y + 9
2) z 2 − 25
3) m2 – 6m – 40
4) x3 − 6x2 + 3x +10
5) − 2x3 + 7x2 y − 4xy2 − 3y3
Respuestas
1) ( a + 3)( a – 1) =
2) (a + 1)(a − 3) =
3) (m + 5) (m – 4) =
4) (x − 6)(x − 5)
5) (3 − x)(5 − x)
Ejercicios
6) (– a – 2)...
Ejercicios 1) (x2 + xy + y2 )(x – y) =
2) (a2 + b2 – 2ab)(a – b) =
3) (a2 + b2 + 2ab)(a + b) =
4) (x3 – 3x2 + 1)(x + 3) =
...
Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1
La ley que dice que xm/xn = xm-n
Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces
multiplicas "x"...
Ejercicios
– a3
– a2
=
a2b5
– a b2
a3b4c
a b2
– x3y4z2
– x y z2
– x y4z2
– x y2z4
– a3m4n2
– a m4 n4
m3n4
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...
División de monomios
Sólo se pueden dividir monomios con la misma
parte literal.
La división de monomios es otro monomio q...
18x6y2z5
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– 6x3y4z2
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– 3x3y4z2
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18x6y2z5
6x3yz2
=
12x3
4x
=
36x3y7z4
12x2y2 = – 6x3y4z2
– 3x2y2z2 =
36x3y4z2
– 3x3y4z2
=
3x2
3x3yz3
3xy5z4
2xy2
– 12
División de polinomios entre monomios
24x5y4 + 18x4y5 – 48x10y3
– 6x2y3
=
12x3y5 + 18x5y7 – 48x12y6
3x2y2
=
División de polinomios entre monomios
24x5y4 + 18x4y5 – 48x10y3
– 6x2y3
=
12x3y5 + 18x5y7 – 48x12y6
3x2y2
=
4xy3 + 6x3y5 –...
Nombre:
Grupo:
Nº de lista
Fecha:
Tema:
Ejercicios
3x2y3 – 5a2x4 =
– 3x2
a2 – ab =
a
3a3– 5ab2 – 6a2b3 =
– 2a
x3 – 4x2 + x =
x
4x8 – 10x6 – 5x4 =
2x 3
3a2 – 8m2n+20mn 2 =
– ...
6a8b9 – 3a6b6 + a2 b3 =
3a2b3
x4 – 5x3 – 10x2 + 15x =
– 5x
3a3 – 6a2b + 9ab2 =
3a
8m9n2 – 10m7n4 – 20m5n6 + 12m3n8 =
2m2
7...
– a + b – 8a2 + 12ab – 4b2 =
La división de polinomios, re realiza al igual que una división
aritmética.
PASOS:
 Se divid...
– a + b – 8a2 + 12ab – 4b2 =
+8a
8a2 – 8ab
Primero se divide
– 8a2 = +8a
– a
El resultado se escribe
8a (– a + b) = – 8a2 ...
– a + b – 8a2 + 12ab + 4b2 =
+8a
8a2 – 8ab
Se divide
–4ab = +4b
–a
El resultado se escribe
4b (– a + b) = – 4ab + 4b2
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+2x
– 14x2 + 6x
Primero se divide
14x2 = +2x
7x
El resultado se escribe
2x (7x – 3) = 14x2 – 6x se le antepone el sigo neg...
+2x + 4
– 14x2 + 6x
Primero se divide
28x = +4
7x
El resultado se escribe
4 (7x – 3) = 28x – 12 se le antepone el sigo neg...
Nombre:
Grupo:
Nº de lista
Fecha:
Tema:
Ejercicios
a + 3 a2 + 2a – 3 =
a + 1 a2 – 2a – 3 =
x + 5 X2 – 20 + x =
m – 6 m2 – 11m + 30 =
1
2
3
4
X + 5 X2 – 20 + x =
a + 2 6 + a2 + 5a
y + 2x 6X2 – xy - 2y2 =
X + 5 X2 + 15 – 8x =
5
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7
8
2y – 3x – 15X2 – 8y2 + 22xy =
a + 3b 5a2 + 8ab – 21b2 =
9
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Multipli division(algebraica)

  1. 1. El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64 En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"
  2. 2. Todo lo que necesitas saber... Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de las siguientes ideas: El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces. Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir.
  3. 3. Leyes de los exponentes
  4. 4. Ejemplo: potencias de 5 ... etc... 52 1 × 5 × 5 25 51 1 × 5 5 50 1 1 5-1 1 ÷ 5 0,2 5-2 1 ÷ 5 ÷ 5 0,04 ... etc... Verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).
  5. 5. Así que x2x3 = La ley que dice que xmxn = xm+n En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: Primero "m" veces, después otras "n" veces, en total "m+n" veces. Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5 x(2+3) = x5
  6. 6. Multiplicación de monomios Para multiplicar expresiones algebraicas veremos, en primer lugar, la más simple de ellas: saber, la multiplicación de monomio por monomio. Esta se realiza multiplicando los coeficientes numéricos y multiplicando la parte literal, aplicando las propiedades de las potencias. Por ejemplo, multipliquemos los monomios: axn · bxm = (a · b)xn + m (5x2 y3 z) (2 y2 z2) = 10 x2 y5 z3
  7. 7. Multiplicación de monomios (−2x3) · (−5x) · (−3x4) = (– 4a2b) (– ab2) = (– 5x3y) (xy2) = 5 ( – 2x2y3z) = ( – 5x2y3z) ( – 2xy) = ( – 18x3y2z5) (6wx3z2) = +4a3b3 – 5x4y3 – 10 x2y3z + 10 x3y4z – 108 wx6y2z7 – 30 x8
  8. 8. Multiplicación de monomios (– x2y3)(−4y3z4) = (+2x3) (– 5x3) = (12x3) (4x) = (a2b3) (3a2x) = ( – 4m2)(– 5mn2p) = ( 5a2y) (– 6x2) = Nombre: Grupo: Nº de lista Fecha: Tema: (abc)(cd) = (– 15x4y3)(−16a2x3) = (3a2b3)(−4x2y) = (3a2bx)(7b3x5) =
  9. 9. Para multiplicar un monomio por un polinomio, utilizamos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición y/o sustracción, esto es: Multiplicación de monomio por polinomios
  10. 10. 3 (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 3x2 (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2 4ax2 (3x2 − 6x + 7= 12ax4 − 24ax3 + 28ax2 – 2x (3x3 − x2) = 2ax3 (8x2y− 3y2) = – 6x4 + 2x3 16ax5y − 6ax3y2
  11. 11. (– 2x)( x2 – 4x + 3) = 3ab ( a3 – 4a2 + 6a) = – ab( a2 – 2ab + b2) = Nombre: Grupo: Nº de lista Fecha: Tema: 3a2x2 ( x5 – 6x3 – 8x) = – 4m3x ( m4 – 3m2n2 + 7n4) = ax3y ( x3 – 4x2y + 6xy2) = – 4a4m2 ( a3 – 5a2b – 8 ab2) = – 4x2 ( x3 – 3x2 + 5x – 6) = – 3a2x3(x4 – 6x3 + 8x2 – 7x + 5) = 3bx3 (a4 – 6a3x – 9a2x2 – 8) =
  12. 12. Para multiplicar polinomios, multiplique cada término del primer polinomio con cada término del segundo polinomio, combine los términos semejantes y exprese el resultado lo más simple posible. Ejemplos: Multiplicación de polinomios 1) (a + 3)(a +1) = a(a)+ a(1)+ 3(a)+ 3(1) = a2 + a + 3a + 3 = a2 + 4a + 3 2) (x + 2)(x2 − 4x −1)= x(x2 )+ x(−4x) + x(−1) + 2(x2 ) + 2(−4x) + 2(−1)= x3 − 4x2 − x + 2x2 − 8x − 2= x3 − 2x2 − 9x − 2
  13. 13. Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio. Se suman los monomios del mismo grado. También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo: = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x)
  14. 14. (3x4 + 5x3 − 2x + 3) (2x2 − x + 3) = = 6x6 − 3x5 + 9x4 + 10x5 − 5x4 + 15x3 − 4x3 + 2x2 − 6x + 6x2 − 3x + 9 = 6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 − 9x + 9 6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 − 9x + 9 También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
  15. 15. Ejercicios 1) (x4 − 2x3 + 2x2 ) (x2 − 2x + 3) = X4 – 2x3 + 2x2 X2 – 2x + 3 x6 – 2x5 + 2x4 – 2x5 + 4x4 – 4x3 + 3x4 – 6x3 + 6x2 X6 – 4x5 + 9x4 – 10x3 + 6x2
  16. 16. 2X3 + 4x2 – x + 2 3X2 – 5x 6x5 + 12x4 – 3x3 + 6x2 – 10x4 – 20x3 + 5x2 – 10x 6X5 + 2x4 – 23x3 + 11x2 – 10x – 5X3 – 6x2 + 4x – 3 – 5x + 6 25x4 + 30x3 – 20x2 + 15x – 30x3 – 36x2 + 24x – 18 25X4 – 56x2 + 39x – 18 3) (− 5x3 − 6x2 + 4x − 3) (− 5x + 6) = 2) (2x3 + 4x2 − x + 2) (3x2 − 5x) =
  17. 17. 1) ( y + 3)( y + 3) = 2) (z + 5)(z − 5) = 3) (m + 4) (m – 10) = 4) (x − 2)(x2 − 4x − 5) 5) (−2x + 3y)(x2 − 2xy − y2) Ejercicios
  18. 18. 1) y2 + 6y + 9 2) z 2 − 25 3) m2 – 6m – 40 4) x3 − 6x2 + 3x +10 5) − 2x3 + 7x2 y − 4xy2 − 3y3 Respuestas
  19. 19. 1) ( a + 3)( a – 1) = 2) (a + 1)(a − 3) = 3) (m + 5) (m – 4) = 4) (x − 6)(x − 5) 5) (3 − x)(5 − x) Ejercicios 6) (– a – 2) (– a – 3) = 7) (3x – 2y) (y + 2x) = 8) (– 4y + 5x) (– 3x + 2y) = 9) (5a – 7b) (a + 3b) = 10) (7x – 3) (4 + 2x) = Nombre: Grupo: Nº de lista Fecha: Tema:
  20. 20. Ejercicios 1) (x2 + xy + y2 )(x – y) = 2) (a2 + b2 – 2ab)(a – b) = 3) (a2 + b2 + 2ab)(a + b) = 4) (x3 – 3x2 + 1)(x + 3) = 5) (a3 – a + a2)(a – 1) = 6) (m4 + m2n2 + n4)(m2 – n2) = 7) (x3 – 2x2 + 3x – 1)(2x + 3) = 8) (3y3 + 5 – 6y)(y2 + 2) = 9) (m3 – m2 + m – 2)(am + a) = 10) (3a2 – 5ab + 2b2)(4a – 5b) = Nombre: Grupo: Nº de lista Fecha: Tema:
  21. 21. Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1 La ley que dice que xm/xn = xm-n Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces. Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2 (Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.) Esta ley también te muestra por qué x0=1
  22. 22. Ejercicios – a3 – a2 = a2b5 – a b2 a3b4c a b2 – x3y4z2 – x y z2 – x y4z2 – x y2z4 – a3m4n2 – a m4 n4 m3n4 – m4c5 – a4b2c4 – a4b4c2 b4c2 – a b2c2 – a3b4c2 b2c = = = = = = = = = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
  23. 23. División de monomios Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal. La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base. axn / bxm = (a : b)xn − m
  24. 24. 18x6y2z5 6x3yz2 =12x3 4x = 36x3y7z4 12x2y2 = – 6x3y4z2 – 3x2y2z2 = 36x3y4z2 – 3x3y4z2 =
  25. 25. 18x6y2z5 6x3yz2 = 12x3 4x = 36x3y7z4 12x2y2 = – 6x3y4z2 – 3x2y2z2 = 36x3y4z2 – 3x3y4z2 = 3x2 3x3yz3 3xy5z4 2xy2 – 12
  26. 26. División de polinomios entre monomios 24x5y4 + 18x4y5 – 48x10y3 – 6x2y3 = 12x3y5 + 18x5y7 – 48x12y6 3x2y2 =
  27. 27. División de polinomios entre monomios 24x5y4 + 18x4y5 – 48x10y3 – 6x2y3 = 12x3y5 + 18x5y7 – 48x12y6 3x2y2 = 4xy3 + 6x3y5 – 16x10y4 – 4x3y – 3x2y2 + 8x8
  28. 28. Nombre: Grupo: Nº de lista Fecha: Tema: Ejercicios
  29. 29. 3x2y3 – 5a2x4 = – 3x2 a2 – ab = a 3a3– 5ab2 – 6a2b3 = – 2a x3 – 4x2 + x = x 4x8 – 10x6 – 5x4 = 2x 3 3a2 – 8m2n+20mn 2 = – 2m 1 2 3 4 5 6
  30. 30. 6a8b9 – 3a6b6 + a2 b3 = 3a2b3 x4 – 5x3 – 10x2 + 15x = – 5x 3a3 – 6a2b + 9ab2 = 3a 8m9n2 – 10m7n4 – 20m5n6 + 12m3n8 = 2m2 7 8 9 10
  31. 31. – a + b – 8a2 + 12ab – 4b2 = La división de polinomios, re realiza al igual que una división aritmética. PASOS:  Se divide el primer término del polinomio divisor, entre el primer término del polinomio dividendo.  El resultado será el primer término del polinomio cociente, y multiplicará al polinomio divisor  Al producto de esta multiplicación se le antepone el signo negativo para invertirle los signos y se le resta al polinomio divisor.
  32. 32. – a + b – 8a2 + 12ab – 4b2 = +8a 8a2 – 8ab Primero se divide – 8a2 = +8a – a El resultado se escribe 8a (– a + b) = – 8a2 + 8ab se le antepone el sigo negativo – (– 8a2 + 8ab) = 8a2 – 8ab y se reducen términos 0 – 4ab se repite el procedimiento
  33. 33. – a + b – 8a2 + 12ab + 4b2 = +8a 8a2 – 8ab Se divide –4ab = +4b –a El resultado se escribe 4b (– a + b) = – 4ab + 4b2 – (– 4ab + 4b2) = 4ab – 4b2 0 – 4ab + 4b2 + 4b 4ab – 4b2 0
  34. 34. +2x – 14x2 + 6x Primero se divide 14x2 = +2x 7x El resultado se escribe 2x (7x – 3) = 14x2 – 6x se le antepone el sigo negativo – (14x2 – 6x) = – 14x2 + 6x y se reducen términos 0 + 28x se repite el procedimiento 7x – 3 14X2 + 22x – 10
  35. 35. +2x + 4 – 14x2 + 6x Primero se divide 28x = +4 7x El resultado se escribe 4 (7x – 3) = 28x – 12 se le antepone el sigo negativo – (28x – 12) = – 28x + 12 y se reducen términos 0 + 28x – 10 7x – 3 14X2 + 22x – 10 – 28x + 12 0 + 2
  36. 36. Nombre: Grupo: Nº de lista Fecha: Tema: Ejercicios
  37. 37. a + 3 a2 + 2a – 3 = a + 1 a2 – 2a – 3 = x + 5 X2 – 20 + x = m – 6 m2 – 11m + 30 = 1 2 3 4
  38. 38. X + 5 X2 – 20 + x = a + 2 6 + a2 + 5a y + 2x 6X2 – xy - 2y2 = X + 5 X2 + 15 – 8x = 5 6 7 8
  39. 39. 2y – 3x – 15X2 – 8y2 + 22xy = a + 3b 5a2 + 8ab – 21b2 = 9 10

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