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Funciones lineales
1. FUNCIONES LINEALES ESC. SEC. ING. JORGE L. TAMAYO PROFESOR: C. JOEL VIVEROS JUAREZ MATEMATICAS SEGUNDO GRADO
2. Cuando recibes la factura de tu celular, podéis ver que el abono que pagarás a fin de mes está formado por un valor fijo y otro variable que depende de la cantidad de minutos que hablaste. Cantidad fija = $18 Cantidad variable = $0,20 cada minuto Con esta información podemos encontrar la relación entre los minutos que hablamos y el costo a pagar.
3. En primer lugar debemos ponernos de acuerdo sobre cuáles son las variables. t: es la letra con la que identificaremos el tiempo que vamos a hablar, es decir, la cantidad de minutos que usaremos el teléfono. El costo, por supuesto, depende del tiempo que hablamos. EL COSTO DEPENDE DEL TIEMPO
4. Es por esto que el costo es la variable dependiente Y el tiempo es la variable independiente.(t) Veamos algunos casos en particular: Si t = 42 minutos C = $0,20•42 +$18 C = $8,4 + $18 C = $26,40 Si t = 50 minutos C = $0,20•50+$18 C = $28 C = $10 + $18 Si t = 120 minutos C = $0,20•120+$18 C =$24 + $18 C = $42
5. Generalizando: Costo C= 0,20.t + 18 (donde t son los minutos hablados) Esto que acabamos de encontrar es la fórmula matemática para relacionar tiempo con costo en nuestra factura telefónica.
6. La característica particular que tienen las funciones lineales es que a variaciones iguales de x, corresponde siempre la misma variación en y. y 8 6 4 2 x -2 0 1 2 -1 Cada vez que x aumenta 1 y aumenta 2
7. Veamos otros ejemplos: y Es función lineal 4 3 2 x 1 2 3 Si x aumenta 1, ydisminuye 1 y disminuye de 4 a 3 x aumenta de 1 a 2 y disminuye de 3 a 2 x aumenta de 2 a 3
8. Se llama función lineal a la relación entre variables tal que su expresión sea: y = m x + b Dónde m: pendiente b: ordenada al origen
9. ¿Qué es la pendiente? Es la relación: m = Δ y variación en y Δ x variación en x En la función lineal la relación entre ∆y/∆x es siempre la misma para cada recta D y ∆y C ∆x B x ∆y A ∆x Siendo Δy = yB – yA= y D – y C Δx = xB – xA= x D – x C
10. En las funciones lineales existe una relación entre la variación de la variable independiente x y la variable dependiente y, que se mantiene constante. A esa relación se la llama pendiente
11. ¿Qué es la ordenada al origen? En la forma explícita de la recta, el término independiente, indica el lugar donde la gráfica de la recta corta al eje Y, y Eje de ordenadas y=mx+ b b Eje de abscisas x
12. y y = m x + b (Forma explícita) b x raíz m: pendiente b: ordenada al origen
13. La pendiente m se asocia a la inclinación de la recta y y m - m + x x
14. "Un padre que estuvo observando desde el balcón a su hijo Alberto como iba al colegio: - De casa salió a las 8.30 y fue seguidito hasta casa de su amigo Tomás. Lo esperó un rato sentado en el banco y luego se fueron juntos, muy despacio, hacia el colegio. Cuando ya estaban llegando, mi hijo se dio cuenta de que había dejado la cartera en el banco; volvió corriendo, la recogió y llegó a la escuela a las 9 en punto."
15. 7.- Un ciclista decide salir de ruta y durante un tiempo pedalea por un camino hasta que llega a una zona de descanso en donde se para para comer. A continuación, sigue avanzando durante otro rato más, momento en que decide volver a casa por el mismo camino que había elegido para la ida.
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17. ACTIVIDADES: Observando la gráfica anterior, responde: ¿A cuántos kilómetros de su casa decide parar a comer? ¿Qué tiempo había transcurrido cuando decide esa parada? ¿Cuánto tiempo ha estado comiendo? ¿Cuánto tarda en volver a casa desde que decide regresar? ¿En qué momento de la ida tenía el camino una pendiente más pronunciada? ¿Durante qué franja de tiempo pedaleó a más velocidad el ciclista? ¿Cuántos kilómetros ha recorrido entre la ida y la vuelta?
18. CÓMO GRAFICAR UNA RECTA Supongamos que queremos graficar la recta: Existen varias formas de hacerlo: Utilizando una tabla de valores B)Ubicando la ordenada al origen y usando el concepto la pendiente
19. A - Utilización de la tabla de valores En este caso vamos a asignarle valores a la variable x, reemplazamos en la función, y obtenemos el valor de la variable y. Con estos valores formamos puntos (x;y) que luego ubicamos sobre el sistema de ejes cartesianos. Veamos como hacerlo: Vamos a graficar la recta tomo valores de x (los que quiera), y los reemplazo en la función: x -3 -1 0 1 3
21. ACTIVIDAD 1 EN HOJAS MILIMETRICAS TRAZA LAS GRAFICAS DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. NOTA: Una gráfica por ejercicio Y = 2X – 3 X = {1, 2, 3, 4, 5} 1 Y = 3X + 2 X = {1, 2, 3, 4, 5} 2 3 Y = 4X – 1 X = {1, 2, 3, 4, 5} 4 Y = X + 2 X = {1, 2, 3, 4, 5} Y = X – 5 X = {1, 2, 3, 4, 5} 5
22. ACTIVIDAD 2 EN HOJAS MILIMETRICAS TRAZA LAS GRAFICAS DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. NOTA: Un mismo plano cartesiano para las 3 gráficas y = 2X – 5 Y = 2X – 1 Y = 2X + 3 X = { – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} 1 2 y = – 2X – 3 Y = – 2X + 2 Y = – 2X + 5 X = { – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
23. ACTIVIDAD 3 EN HOJAS MILIMETRICAS TRAZA LAS GRAFICAS DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. NOTA: Un mismo plano cartesiano para las 3 gráficas y = – 2X – 2 y = X – 2 Y = 4X – 2 X = { – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} 1 2 y = – 3X + 3 Y = – X + 3 Y = 3X + 3 X = { – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
24. ACTIVIDAD 4 EN HOJAS MILIMETRICAS TRAZA LAS GRAFICAS DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. NOTA: Un mismo plano cartesiano para las 3 funciones FUNCIONES DE LA FORMA y = mx + b Y = 3x -4 Y = 3x Y = 3x + 3 y = - 3x – 2 y = x - 2 y = 2x - 2 y = -2x + 5 y = -2x +1 y = -2x – 3 x={ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
25. Cómo hallar la ecuación de una recta Supongamos que conozco dos de los puntos por donde pasa una recta: P1 (2; 4) P2 (-1; -3) y Y quiero conocer la ecuación de la función lineal 4 y = m x + b -1 Voy a mostrar dos formas para encontrarla: x Método A 2 Método B -3
26. Método A: Sé que la recta debe incluir a los puntos P1 (2;4) P2 (-1;-3) reemplazo entonces por ambos puntos en la fórmula de la recta , y = m x + b, ubicando el primer valor del par en x y el segundo en y (2;4) 4 = m . 2 + b 4 = 2 m + b Ecuación I (-1;-3) -3 = m. (-1) + b - 3 = -m + b Ecuación II despejo b de ecuaciónII b = -3 +m Ecuación III Reemplazo en ecuaciónI
27. Continuación: 4 = 2 m + (- 3 + m) 4 = 2 m - 3 + m 4 + 3 = 2 m + m 7 = 3 m 7 : 3 = m reemplazo en ecuaciónIII Si Con lo que queda:
28. Método B: P1 (2; 4) P2 (-1;-3) Sé que la recta debe incluir a los puntos: También sabemos que la pendiente “m” es la variación en y sobre la variación en x ó Reemplazo con los valores de los puntos: Con lo que la ecuación quedaría: I Todavía falta conocer el valor de b, para hacerlo puedo usar alguno de los puntos que tenia como dato, reemplazando en el x e y de la expresión I, usaré el (2;4): Con lo que resulta:
29. FUNCIÓN y = mx + n Su gráfica es una recta que NO pasa por el origen de coordenadas (0,0). La ecuación y = mx + n corresponde a una recta de pendiente m y que corta al eje Y en el punto (0,n). n se llama ordenada en el origen.
38. Funciones cuadráticas f(x) = ax² + bx +c Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:
39. ACTIVIDAD 5 EN HOJAS MILIMETRICAS TRAZA LAS GRAFICAS DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. NOTA: Un mismo plano cartesiano para las 3 funciones FUNCIONES DE LA FORMA y = ax2 + b Y = x2 + 4 Y = x2 + 1 Y = x2 – 2 y = x2 y = 2x2 y = 3x2 y = – x2 + 3 y = – x2 + 1 y = – x2 – 3 x={ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
41. ACTIVIDAD 6 EN HOJAS MILIMETRICAS TRAZA LAS GRAFICAS DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. NOTA: Un mismo plano cartesiano para las 3 funciones FUNCIONES DE LA FORMA y = (x2 + b) Y = (x + 4)2 Y =(x + 1)2 Y =(x – 2)2 y = (x + 5)2 y = (x + 3)2 y = (x – 4)2 y = (x + 2)2 y = (x – 1)2 y = (x2 – 3)
42. ACTIVIDAD 7 EN HOJAS MILIMETRICAS TRAZA LAS GRAFICAS DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. NOTA: Un mismo plano cartesiano para las 3 funciones FUNCIONES DE LA FORMA y = (x2 + b) Y = (x + 2)2 + 1 Y =(x + 4)2 – 2 Y =(x – 2)2 – 3 y = (x – 5)2 – 4 y = (x + 1)2 + 2 y = (x – 1)2 + 5
43. Funciones de 2º grado La función cúbica Es la de forma a: y = ax3 + bx2 + cx + d Ejemplo: y = 2x3 + 3x2 – 12x. Generamos una tabla de valores, graficamos y verificamos el dominio y el recorrido. X –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 Y –32 9 20 13 0 –7 4 45
44. ACTIVIDAD 8 EN HOJAS MILIMETRICAS TRAZA LAS GRAFICAS DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. NOTA: Un plano cartesiano para cada función Y = x3 Y = x3+ 1 Y = x3– 1 y = x3 – 4 y = x3 + 2
45. ACTIVIDAD 9 EN HOJAS MILIMETRICAS TRAZA LAS GRAFICAS DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. NOTA: Un plano cartesiano para cada función Y = x3 + 2x Y = x3 + x2 y = x3 – x2 – x y = x3 + 2x + 1 y = x3 + x2+ x
46. Funciones racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomios: Por ejemplo: Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:
49. ACTIVIDAD 10 EN HOJAS MILIMETRICAS TRAZA LAS GRAFICAS DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. NOTA: Un plano cartesiano para cada función 2 1 1 1 Y = + 1 Y = – 2 X X X ={ – 4, – 2, – 1, – ½, – ¼, ¼, ½, 1, 2, 4}
50. Una función racional está definida en todo IR excepto en los puntos donde el denominador se anula. En su dominio de definición, las funciones racionales son continuas e indefinidamente derivables.
