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Relações binárias e funções prof. rodolfo uhlmann
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  • 1. COLÉGIO ESTADUAL SOL NASCENTE PROF.: Rodolfo de Freitas Uhlmann CONJUNTOS, RELAÇÕES BINÁRIAS E FUNÇÕESAplicações das relações e funções no cotidianoAo lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos,tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios decomunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo,agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas queencontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nosrótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química decosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os lugares. Ao interpretarmosestes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos deplano cartesiano.O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é explicado pela recombinação genéticados alelos (a,b,o) e este é um bom exemplo de uma aplicação do conceitode produto cartesiano. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussãosobre a interação de neurônios (células nervosas do cérebro).Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função dotamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em funçãoda intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressãodigital, percebemos quão importantes são os conceitos defunções paracompreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais...Observamos então que as aplicações de plano cartesiano, produto cartesiano,relações e funções estão presentes no nosso cotidiano.
  • 2. Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de ValoresO Plano CartesianoReferência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano sãohomenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemáticofrancês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nomecartesiano.O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendicularesentre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixoOX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um doseixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesianoortogonal.Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado denúmeros, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente.Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.
  • 3. O primeiro número indica a medidada do deslocamento a partir da origem para adireita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (sepositivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b) (b,a) se a b.Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendoque tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ânguloreto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário,conforme a figura, com as cores da bandeira do Brasil. Quadrante sinal de x sinal de y Ponto Segundo Primeiro não tem não tem (0,0) quadrante quadrante Primeiro + + (2,4) Segundo - + (-4,2) Terceiro Quarto Terceiro - - (-3,-7) quadrante quadrante Quarto + - (7,-2)Produto CartesianoDados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B,denotado por AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y)onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B. AxB = { (x,y): x A e y B }Observe que AxB BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, pordefinição: AxØ=Ø=ØxB.Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AxB possui mxnelementos.Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 paresordenados e será dado por:
  • 4. AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}Relações no Plano CartesianoSejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em AxB é qualquer subconjunto Rde AxB.A relação mostrada na figura acima é: R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) }Uma relação R de A em B pode ser denotada por R:A B.Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}e neste caso, temos algumas relações em AxB: 1. R1={(1,3),(1,4)} 2. R2={(1,3)} 3. R3={(2,3),(2,4)}Domínio e Contradomínio de uma RelaçãoAs relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de númerosreais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números
  • 5. reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se definir uma relação R:A B,onde A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma:O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é ocontradomínio da relação, denotado por CoDom(R). Dom(R) = { x A: existe y em B tal que (x,y) R} Im(R)={y B: existe x A tal que (x,y) R}Representações gráficas de relações em AxB:R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}
  • 6. Relações InversasSeja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, édefinida de B em A por: R-1 = { (y,x) BxA: (x,y) R }Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em AxB, definida por R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)}Então: R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}Observação: O gráfico da relação inversa R-1 é simétrico ao gráfico da relação R,em relação à reta y=x (identidade).Propriedades de Relações
  • 7. Reflexiva: Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionadoconsigo mesmo, ou seja, para todo x A: (x,x) R, isto é, para todo x A: xRx.Exemplo: Uma relação reflexiva em A={a,b,c}, é dada por: R = {(a,a),(b,b),(c,c)}Simétrica: Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y,implicar necessariamente que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer quesejam x A e y A tal que (x,y) R, segue que (y,x) R.Exemplo: Uma relação simétrica em A={a,b,c}, é: R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}Transitiva: Uma relação R é transitiva, se x está relacionado com y e y estárelacionado com z, implicar que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquerque sejam x A, y A e z A, se (x,y) R e (y,z) R então (x,z) R.Exemplo: Uma relação transitiva em A={a,b,c}, é: R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)}Anti-simétrica: Sejam x A e y A. Uma relação R é anti-simétrica se (x,y) R e (y,x) R implica que x=y. Alternativamente, uma relação é anti-simétrica: Se x e y sãoelementos distintos do conjunto A então x não tem relação com y ou (exclusivo) ynão tem relação com x, o que significa que o par de elementos distintos (x,y) doconjunto A poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja.Exemplo: Uma relação anti-simétrica em A={a,b,c}, é: R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c) }Relação de equivalênciaUma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalênciasobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.
  • 8. Exemplo: Se A={a,b,c} então a relação R em AxA, definida abaixo, é deequivalência: R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a) }Funções no Plano CartesianoReferência histórica: Leonhard Euler (1707-1783), médico, teólogo, astrônomo ematemático suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da MatemáticaPura e Aplicada, com destaque para a Análise - estudo dos processos infinitos -desenvolvendo a idéia de função. Foi o responsável também pela adoção dosímbolo f(x) para representar uma função de x. Hoje, função é uma das idéiasessenciais em Matemática.Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada variável x emA, um único y em B. Uma das notações mais usadas para uma função de A em B,é: f:A BQuatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada:  O domínio A da relação.  O contradomínio B da relação.  Todo elemento de A deve ter correspondente em B.  Cada elemento de A só poderá ter no máximo um correspondente no contradomínio B.Estas características nos informam que uma função pode ser vistageometricamente como uma linha no plano, contida em AxB, que só pode ser"cortada" uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta.Exemplo: A circunferência definida por R={(x,y) R²: x²+y²=a²}é uma relação que não é uma função, pois tomando a reta vertical x=0, obtemosordenadas diferentes para a mesma abscissa x.
  • 9. Neste caso Dom(R)=[-a,a] e CoDom(R)=[-a,a].Relações que não são funçõesSeja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) }não é uma função em AxB, pois associado ao mesmo valor a existem dois valoresdistintos que são 1 e 3.Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação R5 = { (a,1), (a,3), (b,2), (c,3) }não é uma função em AxB, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto Aestão associados a elementos do segundo conjunto B.
  • 10. Na sequência, apresentaremos alguns exemplos importantes de funções reaisFunções afim e linearesFunção afim: Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim éuma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax+b.Exemplos: 1. f(x)=-3x+1 2. f(x)=2x+7 3. f(x)=(1/2)x+4Se b é diferente de zero, o gráfico da função afim é uma reta que não passa pelaorigem (0,0).Função linear: Seja a um número real. Uma função linear é uma função f:R R quepara cada x em R, associa f(x)=ax.Exemplos:
  • 11. 1. f(x)=-3x 2. f(x)=2x 3. f(x)=x/2O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela origem (0,0).Função IdentidadeÉ uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=x. O gráfico daIdentidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também o terceiroquadrante em duas partes iguais.Funções constantesSeja b um número real. A função constante associa a cada x R o valor f(x)=b.Exemplos: 1. f(x)=1 2. f(x)=-7 3. f(x)=0O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixohorizontal).
  • 12. Funções quadráticasSejam a, b e c números reais, com a não nulo. A função quadrática é uma funçãof:R R que para cada x em R, f(x)=ax²+bx+c.Exemplos: 1. f(x)=x² 2. f(x)=-4 x² 3. f(x)=x²-4x+3 4. f(x)=-x²+2x+7O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola.Funções cúbicasSejam a, b, c e d números reais, sendo a diferente de zero. A função cúbica é umafunção f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax³+bx²+cx+d.Exemplos: 1. f(x)=x³
  • 13. 2. f(x)=-4x³ 3. f(x)=2x³+x²-4x+3 4. f(x)=-7x³+x²+2x+7O gráfico da função cúbica do item (a), se assemelha a uma parábola tanto noprimeiro como no terceiro quadrante, mas no primeiro os valores de f(x) sãopositivos e no terceiro os valores de f(x) são negativos.Domínio, contradomínio e imagem de uma funçãoComo nem toda relação é uma função, às vezes, alguns elementos poderão nãoter correspondentes associados para todos os números reais e para evitarproblemas como estes, costuma-se definir o Domínio de uma função f, denotadopor Dom(f), como o conjunto onde esta relação f tem significado.Consideremos a função real que calcula a raiz quadrada de um número real. Deveestar claro que a raiz quadrada de -1 não é um número real, assim como não sãoreais as raízes quadradas de quaisquer números negativos, dessa forma o domíniodesta função só poderá ser o intervalo [0, ), onde a raiz quadrada tem sentidosobre os reais.Como nem todos os elementos do contradomínio de uma função f estãorelacionados, define-se a Imagem de f, denotada por Im(f), como o conjunto detodos os elementos do contradomínio que estão relacionados com elementos dodomínio de f, isto é: Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }Observe que, se uma relação R é uma função de A em B, então A é o domínio e Bé o contradomínio da função e se x é um elemento do domínio de uma função f,então a imagem de x é denotada por f(x).Exemplos: Cada função abaixo, tem características distintas. 1. f:R R definida por f(x)=x² Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0, ) 2. f:[0,2] R definida por f(x)=x² Dom(f)=[0,2], CoDom(f)=R e Im(f)=[0,4] 3. A função modular é definida por f:R R tal que f(x)=|x|, Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0, ) e seu gráfico é dado por:
  • 14. 4. Uma semi-circunferência é dada pela função real f:R R, definida por Dom(f)=[-2,2], CoDom(f)=R, Im(f)=[0,2] e seu gráfico é dado por:Funções injetorasUma função f:A B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, semprepossuem imagens distintas em B, isto é: x1 x2 implica que f(x1) f(x2)ou de forma equivalente f(x1)=f(x2) implica que x1=x2Exemplos: 1. A função f:R R definida por f(x)=3x+2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x). 2. A função f:R R definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x=-1 temos f(-1)=6.
  • 15. Funções sobrejetorasUma função f:A B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelomenos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deveser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y emB existe x em A tal que y=f(x).Exemplos: 1. A função f:R R definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função. 2. A função f:R (0, ) definida por f(x)=x² é sobrejetora, pois todo elemento pertecente a (0, ) é imagem de pelo menos um elemento de R pela função. 3. A função f:R R definida por f(x)=2x não é sobrejetora, pois o número -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio.Funções bijetorasUma função f:A B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.Exemplo: A função f:R R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e bijetora.Funções Pares e ÍmparesFunção par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se quef(x)=f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo verticalOY.Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois f(-x)=x²=f(x). Observe o gráfico de f! Outrafunção par é g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x).
  • 16. Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem-seque f(-x)=-f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origemdo sistema cartesiano.Exemplo: As funções reais f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) e g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x). Veja o gráfico para observar a simetria emrelação à origem.Funções crescentes e decrescentesFunção crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e y noDomínio de f, com x<y, tivermos f(x)<f(y). Isto é, conforme o valor de x aumenta, ovalor da imagem de x pela função também aumenta.Exemplo: Seja a função f:R R definida por f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e b=2,obtemos f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)<f(b) então afunção é crescente.Função decrescente: Uma função f é decrescente, se para quaisquer x e y doDomínio de f, com x<y, tivermos f(x)>f(y). Isto é, conforme o valores de xaumentam, os valores da imagem de x pela função f diminuem.
  • 17. Exemplo: Seja a função f:R R definida por f(x)=-8x+2. Para a=1 e b=2, obtemosf(a)=-6 e f(b)=-14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)>f(b), a função édecrescente.Funções CompostasDadas as funções f:A B e g:B C, a composta de f com g, denotada por g©f, é afunção definida por (g©f)(x)=g(f(x)). gof pode ser lida como "g bola f". Para que acomposição ocorra o CoDom(f)=Dom(g).Exemplo: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x-4. Ascomposições fog e gof são possíveis e neste caso serão definidas por: (f©g)(x)=f(g(x))=g(7x-4)=4(7x-4)+2=28x-14 (g©f)(u)=g(f(u))=g(4u+2)=7(4u+2)-4=28u+10Como a variável u não é importante no contexto, ela pode ser substituída por x eteremos: (g©f)(x)=g(f(x))=g(4x+2)=7(4x+2)-4=28x+10Observação:Em geral, f©g é diferente de g©f.Exemplo: Consideremos as funções reais definidas por f(x)=x²+1 e g(x)=2x-4.Então: (f©g)(x)=f(g(x))=f(2x-4)=(2x-4)²+1=4x²-16x+17 (g©f)(x)=g(f(x))=g(x²+1)=2(x²+1)-4=2x²-2Funções Inversas
  • 18. Dada uma função bijetora f:A B, denomina-se função inversa de f à função g:B Atal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamosa função inversa de f por f-1.Observação importante: Se g é a inversa de f e f é a inversa de g, valem asrelações: g©f=IA e f©g=IBonde IA e IB são, respectivamente, as funções identidades nos conjuntos A e B.Esta característica algébrica permite afirmar que os gráficos de f e de sua inversade g são simétricos em relação à função identidade (y=x).Exemplo: Sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e a função f:A B definida porf(x)=2x e g:B A definida por g(x)=x/2. Observemos nos gráficos as situações dassetas indicativas das ações das funções.Obtenção da inversa: Seja f:R R, f(x)=x+3. Tomando y no lugar de f(x), teremosy=x+3. Trocando x por y e y por x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3.Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3. Assim fog=gof=Identidade. Com ográfico observamos a simetria em relação à reta identidade.Operações com FunçõesDadas as funções f e g, podemos realizar algumas operações, entre as quais:
  • 19.  (f+g)(x) = f(x)+g(x)  (f-g)(x) = f(x)-g(x)  (f.g)(x) = f(x).g(x)  (f/g)(x) = f(x)/g(x), se g(x) 0.Funções PolinomiaisUma função polinomial real tem a forma f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + aosendo Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f) dependente de f.Observação: A área de um quadrado pode ser representada pela função realf(x)=x² onde x é a medida do lado do quadrado e o volume de um cubo pode serdado pela função real f(x)=x³ onde x é a medida da aresta do cubo. Esta é a razãopela qual associamos as palavras quadrado e cubo às funções com as potências 2e 3.Aplicação: As funções polinomiais são muito úteis na vida. Uma aplicação simplespode ser realizada quando se pretende obter o volume de uma caixa (sem tampa)na forma de paralelepípedo que se pode construir com uma chapa metálicaquadrada com 20 cm de lado, com a retirada de pequenos quadrados de lado iguala x nos quatro cantos da chapa. Concluímos que V(x)=(20-2x)x² e com esta funçãoé possível obter valores ótimos para construir a caixa. Construída por Rossana M.M.Pereira e Ulysses Sodré. Atualizada em 24/mar/2005.