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  1. 1. L´gica proposicional o 1/28 L´gica proposicional oA l´gica ´ a ciˆncia do racioc´ o e e ınio. Socrates ´ um homem. Todos os homens s˜o mortais. Logo Socrates ´ e a e mortal.A(s) l´gica(s) promove(m) um modelo formal do racioc´ o ınio. David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  2. 2. L´gica proposicional o 2/28 Motiva¸˜o caA l´gica ´ um dos fundamentos da Ciˆncia da Computa¸˜o (software e hardware): o e e ca • projeto de circuitos digitais: – circuitos s˜o basicamente uma rede de unidades de memoriza¸˜o a ca interconectados eletricamente atrav´s e de portas l´gicas (dispositivos f´ e o ısicos que implementam operadores l´gicos). o – requisitos sobre a interface de um circuito s˜o descritos atrav´s de diagramas a e temporais, que podem ser vistos como express˜es numa l´gica temporal o o • desenvolvimento de software: – condi¸˜es l´gicas permeam programas de computadores, co o – descri¸˜o do papel de um componente de software (contrato), ca – especifica¸˜o dos requisitos de um sistema; ca • verifica¸˜o: sistemas de dedu¸˜o, ou procedimento de decis˜o, corretos e, ca ca a possivelmente completos. David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  3. 3. L´gica proposicional o 3/28 L´gica ou l´gicas? o oExistem v´rios modelos para o racioc´ a ınio, correspondendo a v´rios tipos de l´gica: a o • L´gica proposicional, o • L´gica da primeira ordem (l´gica dos predicados), o o • L´gica de ordem superior, o • L´gica difusa; o • L´gica intuicionista. oE ainda: • L´gicas modais, o • L´gicais temporais, o • etc.Focaremos na l´gica cl´ssica proposicional e da primeira ordem. o a David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  4. 4. L´gica proposicional o 4/28 Express˜es booleanas oExistem dois valores booleanos: • verdadeiro (V, true, T, 1, , ...); • falso (F, false, F, 0, ⊥, ...).Uma express˜o booleana ´ composta por a e • variaveis l´gicas (que s˜o nomes representandos algum valor booleano); o a • operadores l´gicos (e, ou, n˜o, implica, etc.)a o a – sintaxe: denota¸˜o, aridade ca – semˆntica: tabelas verdade aUma express˜o booleana possui valor booleano. aUma express˜o booleana ´ chamada de f´rmula. a e o a Algumas l´gicas possuem outros operadores. o David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  5. 5. L´gica proposicional o 5/28 Vari´veis l´gicas a oS˜o tamb´m conhecidas como proposi¸˜es, ou proposi¸˜es atˆmicas. a e co co oUma proposi¸˜o ´ identificada por um nome e representa algum fato: ca e p: A velocidade do vento est´ maior que 50km/hora. a q: O banho est´ autorizado. aA f´rmula p → ¬q modela a asser¸˜o: o ca Quando a velocidade do vento ultrapassa os 50km/hora, ´ prohibido entrar e na agua. ´Nota¸˜o: Letras min´sculas (p, q, etc.) representam vari´veis (proposi¸˜es), ca u a coenquanto que letras mai´sculas (E, E1 , etc.) representam f´rmulas (p → q). u o David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  6. 6. L´gica proposicional o 6/28 O operador de nega¸˜o ¬ (not, !, ˜ , ) ca• O operador ¬ representa a nega¸˜o. ca ´• E um operador un´rio. a• A nega¸˜o de verdadeiro ´ falso, e a nega¸˜o de falso ´ verdadeiro. ca e ca e• Tabela verdade da nega¸˜o: ca E ¬E ⊥ ⊥ – Operadores l´gicos s˜o fun¸˜es que associam um valor booleano a um (ou o a co mais) valor(es) booleano(s). – A tabela verdade ´ uma nota¸˜o usada para definir essas fun¸˜es por e ca co enumera¸˜o dos casos. caDavid D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  7. 7. L´gica proposicional o 7/28 Propriedades da nega¸˜o caSeja E uma f´rmula. Qualquer que seja o valor de suas vari´veis, temos o a • Exatamente um de E e de ¬E ´ verdadeiro. e • Exatamente um de E e de ¬E ´ falso. e • Princ´ ıdo: Um entre E e de ¬E ´ verdadeiro. ıpio de ter¸o exclu´ c e • Princ´ ıpio de n˜o-contradi¸˜o: E e ¬E n˜o podem ser simultaneamente a ca a verdadeiros.Prova(s): direto da tabela-verdade da nega¸˜o. caVerifique que ¬(¬E) = E. David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  8. 8. L´gica proposicional o 8/28 Corre¸˜o ca E ¬E ¬⊥ = ⊥ ¬ =⊥• E e ¬(¬E) s˜o iguais se, e somente se, se igualam em todas as valora¸˜es a co E ¬(¬E) ıveis de E. poss´ ¬(¬ ) = ¬⊥ = ⊥ ¬(¬⊥) = ¬ =⊥David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  9. 9. L´gica proposicional o 9/28 O operador de disjun¸˜o: ∨ (+, or, |) ca• O operador ∨ representa a escolha num sentido n˜o exclusivo. a O aluno estudou regularmente ou recebeu ajuda (tamb´m pode ser que e os dois sejam verdadeiros).• E um operador bin´rio. ´ a• A f´rmula E1 ∨ E2 ´ verdadeira se e somente se pelo menos um de E1 e de E2 o e for verdadeira.• Tabela verdade da disjun¸˜o: ca E1 E2 E1 ∨ E2 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  10. 10. L´gica proposicional o 10/28• Existe um outro operador para o ou exclusivo (usado no projeto de circuitos, n˜o no de programas). a A solu¸˜o ´ ´cida ou b´sica (a solu¸˜o n˜o pode ser ao mesmo tempo ca e a a ca a a ´cida e b´sica). a• Na l´ ıngua natural, os dois operadores s˜o representados pela mesma palavra¿ a• Fonte de ambig¨idade. uDavid D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  11. 11. L´gica proposicional o 11/28 Propriedades da disjun¸˜o ca • A disjun¸˜o ´ associativa (verifique – com a tabela de verdade). ca e (E1 ∨ E2 ) ∨ E3 = E1 ∨ (E2 ∨ E3 ). • A disjun¸˜o ´ comutativa (verifique – com a tabela de verdade). ca e (E1 ∨ E2 ) = (E2 ∨ E1 ). n • Logo podemos escrever i=1 Ei = E1 ∨ E2 ∨ E3 ∨ . . . ∨ En sem ambig¨ idade. u • O falso ´ elemento neutro. e • O verdadeiro ´ elemento absorvente. eVerifique que E ∨ E = E. David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  12. 12. L´gica proposicional o 12/28 Corre¸˜o ca (E1 ∨ E2 ) ∨ E3 = E1 ∨ (E2 ∨ E3 ).• A f´rmula a provar depende de 3 valores: 23 = 8 casos diferentes. o E1 E2 E3 (E1 ∨ E2 ) ∨ E3 (E1 ∨ E2 ) ∨ E3 ⊥ ⊥ ⊥ (⊥∨⊥)∨⊥ = ⊥∨⊥ = ⊥ ⊥∨(⊥∨⊥) = ⊥∨⊥ = ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  13. 13. L´gica proposicional o 13/28 O operador de conjun¸˜o: ∧ (., and, juxtaposi¸˜o) ca ca• O operador ∧ representa a simultaneidade. O aluno ´ s´rio e ´ pontual na aula. e e e• E um operador bin´rio. ´ a• A f´rmula E1 ∧ E2 ´ verdadeira se e somente se E1 e E2 forem verdadeiras. o e• Tabela verdade da conjun¸˜o: ca E1 E2 E1 ∧ E2 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  14. 14. L´gica proposicional o 14/28 Propriedades da conjun¸˜o ca • A conjun¸˜o ´ associativa (verifique – com a tabela de verdade). ca e • A conjun¸˜o ´ comutativa (verifique – com a tabela de verdade). ca e n • Logo podemos escrever i=1 Ei = E1 ∧ E2 ∧ E3 ∧ . . . ∧ En sem ambig¨ idade. u • O verdadeiro ´ elemento neutro. e • O falso ´ elemento absorvente. eVerifique que E ∧ E = E. David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  15. 15. L´gica proposicional o 15/28 Algumas propriedades adicionaisLeis de De Morgan ¬(E1 ∨ E2 ) = (¬E1 ) ∧ (¬E2 ) ¬(E1 ∧ E2 ) = (¬E1 ) ∨ (¬E2 )Distributividade E ∧ (E1 ∨ E2 ) = (E ∧ E1 ) ∨ (E ∧ E2 ) E ∨ (E1 ∧ E2 ) = (E ∨ E1 ) ∧ (E ∨ E2 )Note a dualidade entre a conjun¸˜o e a disjun¸˜o. ca caVerifique a validade dessas leis com tabelas verdade. David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  16. 16. L´gica proposicional o 16/28 An´lise de f´rmulas a o• Para uma determinada atribui¸˜o das suas vari´veis, uma f´rmula pode ter o ca a o valor verdadeiro ou falso.• Esse valor ´ calculado a partir dos valores das sub-f´rmulas e das e o tabelas-verdade apresentadas anteriormente. Exemplo, determinar o valor de ¬(p ∧ q) ∨ (r ∧ ¬q), para p = q = e r = ⊥: ¬q = ⊥ p∧q = r ∧ ¬q = ⊥ ¬(p ∧ q) = ⊥ ¬(p ∧ q) ∨ (r ∧ ¬q) = ⊥David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  17. 17. L´gica proposicional o 17/28 Tautologia, contradi¸˜o, contingˆncia e satisfatibilidade ca eDefini¸˜o: Um modelo de uma express˜o booleana E ´ uma atribui¸˜o das ca a e cavari´veis de E que torna essa express˜o verdadeira. a a • Uma express˜o booleana ´ satisfat´ se possui um modelo. a e ıvel • Uma express˜o booleana ´ uma tautologia, ou v´lida, quando qualquer a e a atribui¸˜o das suas vari´veis ´ um modelo. ca a e • Uma express˜o booleana ´ uma contradi¸˜o se n˜o possui modelo. a e ca a • Uma express˜o booleana ´ uma contingˆncia quando ´ num uma tautologia, a e e e nem uma contradi¸˜o. caQuest˜o: Se ¬E ´ uma contradi¸˜o (´ satisfat´ a e ca e ıvel, ´ uma tautologia), que podemos econcluir sobre E?Quest˜o: Como utilizar a tabela verdade para determinar a classifica¸˜o de uma a caexpress˜o booleana? a David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  18. 18. L´gica proposicional o 18/28 Conseq¨ˆncia l´gica ue oDado Γ = {E1 , . . . , En } um conjunto de f´rmulas. o • Γ ´ chamada de teoria. e • Um modelo de Γ ´ uma atribui¸˜o das vari´veis de E1 , ... En que ´ modelo de e ca a e cada E1 ,...En . • Uma express˜o E ´ conseq¨ˆncia l´gica de Γ se qualquer modelo de Γ ´ um a e ue o e modelo de E. • E notado Γ |= E. ´ • Se Γ = {}, ent˜o notamos |= E. a • |= E quando E ´ uma tautologia. e David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  19. 19. L´gica proposicional o 19/28 T´cnicas de verifica¸˜o de express˜es booleanas: e ca oTabelas verdade: Pr´tico para provas manuais; aC´lculo proposicional: Aplica¸˜o das leis; a caSistemas dedutivos: Dedu¸˜o natural, tableaux anal´ ca ıticos, axiomatiza¸˜es; coDavis e Putnam: procedimento de decis˜o da satisfatibilidade, a implementa¸˜es modernas tratam express˜es com at´ milhares de vari´veis; co o e aDiagramas de decis˜o bin´ria: estrutura de dados canˆnica para representar a a o express˜es booleanas, o v´rias opera¸˜es adicionais (quantifica¸˜o, substitui¸˜o), a co ca ca implementa¸˜es tratam express˜es com at´ centenas de vari´veis. co o e aComo um procedimento de decis˜o de satisfatibilidade pode ser utilizado em um aprocedimento de decis˜o de tautologia? a David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  20. 20. L´gica proposicional o 20/28 Prova e conseq¨ˆncia l´gica ue oConsiderando um sistema de prova σ (por exemplo dedu¸˜o natural). caSe, aplicando σ a partir de um conjunto de f´rmulas Γ, conseguimos derivar uma o f´rmula E, escrevemos: o Γ σEUm sistema de prova σ ´ correto quando, cada vez que Γ e σ E ent˜o Γ |= E. aUm sistema de prova σ ´ completo quando, cada vez que Γ |= E ent˜o Γ e a σ E. David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  21. 21. L´gica proposicional o 21/28 Equivalˆncia (↔, ⇔) e • O operador ↔ ´ chamado equivalˆncia. e e Se o aluno estuda regularmente, ser´ aprovado, caso contr´rio ser´ a a a reprovado. • E um operador bin´rio. ´ a • E1 ↔ E2 ´ verdadeira quando E1 e E2 tem o mesmo valor. e • Tabela verdade da eq¨ivalˆncia: u e E1 E2 E1 ↔ E2 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥E1 : o aluno estuda regularmente; E2 : o aluno ser´ aprovado. a David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  22. 22. L´gica proposicional o 22/28 Propriedades da eq¨ ivalˆncia u e• Comutativa: E1 ↔ E2 = E2 ↔ E1 .• Sim´trica: E1 ↔ E1 . e• E1 = E2 se e somente se E1 ↔ E1 .• Duas f´rmulas E e E2 s˜o iguais (ou eq¨ivalentes) se e somente se E1 ↔ E2 for o a u uma tautologia.• Princ´ ıpio de substitui¸˜o de iguais: se E1 ↔ E2 ´ uma tautologia, e E1 ocorre ca e em E, E ´ equivalente a E , formado por substitui¸˜o de E1 por E2 em E. e ca• Por exemplo: (p ∧ (¬(¬q))) ↔ (p ∧ q) pois q ↔ (¬(¬q)) ´ uma tautologia. eDavid D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  23. 23. L´gica proposicional o 23/28 Operadores l´gicos: implica¸˜o (→, ⇒) o ca• O operador → ´ chamado implica¸˜o. e ca Quando um aluno estuda regularmente, ele ´ aprovado. e• Implicitamente, estamos entendendo que alunos que n˜o estudam regularmente a acabam sendo reprovados. O operador → n˜o modela essa informa¸˜o. a ca• Tabela verdade da implica¸˜o: ca E1 : o aluno estuda regularmente; E1 E2 E1 → E2 E2 : o aluno ´ aprovado. Como e ⊥ ⊥ interpretar as duas primeiras li- nhas da tabela com essas pro- ⊥ posi¸˜es ? co ⊥ ⊥David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  24. 24. L´gica proposicional o 24/28 Propriedades da implica¸˜o ca • E1 → E2 = (¬E1 ) ∨ E2 . • ¬E1 → ¬E2 = E2 → E1 ; • E1 ↔ E2 = E1 → E2 ∧ E2 → E1 . • Γ |= E1 → E2 se e somente se Γ ∪ {E1 } |= E2 .Na express˜o E1 → E2 , E1 ´ chamado o antecedente (ou premissa), e E2 o a econsequente (ou conclus˜o). a David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  25. 25. L´gica proposicional o 25/28 Exerc´ ıcio p: A velocidade do vento est´ maior que 50km/hora. a q: O banho est´ autorizado. aA express˜o p → ¬q modela a asser¸˜o: a ca Quando a velocidade do vento ultrapassa os 50km/hora, est´ prohibido a entrar na agua. ´O que modelam as asser¸˜es: (p ∧ (p → ¬q)) → ¬q e ((¬p) ∧ (p → ¬q)) → q ? coVerifique se s˜o tautologias. a David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  26. 26. L´gica proposicional o 26/28 Conven¸˜es de nota¸˜o co caH´ uma conven¸˜o sobre a precedˆncia dos operadores l´gicos: ¬ ´ o operador de a ca e o emaior precedˆncia, seguido de ∧ e ∨, seguido de → e ↔. e • ((¬p) ∧ (p → q)) → (¬q) pode ser escrito ¬p ∧ (p → q) → ¬q. David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  27. 27. L´gica proposicional o 27/28 Conclus˜es o• L´gica proposicional: sintaxe e semˆntica; o a• operadores l´gicos cl´ssicos; o a• l´gica ´ um modelo matem´tico do racioc´ o e a ınio.• Socrates ´ um homem. Todos os homens s˜o mortais. Logo Socrates ´ mortal. e a e – p: Socrates ´ um homem. e – q: Todos os homens s˜o mortais. a – r: Socrates ´ mortal. e – Na l´gica proposicional, p ∧ q → r n˜o ´ uma tautologia. o a e – Conclus˜o: o modelo fornecido pela l´gica proposicional n˜o ´ a o a e suficientemente expressivo.David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
  28. 28. L´gica proposicional o 28/28 Bibliografia• L´gica para Computa¸˜o, Cap´ o ca ıtulo 1. Fl´vio Soares Corrˆa da Silva, Marcelo a e Finger, Ana Cristina Vieira de Melo. Editora Thomson Learning, 2006.• Introdu¸˜o ` L´gica para a Ciˆncia da Computa¸˜o. Abe, Jair Minoro. [[[ ca a o e ca BCZM ]]]David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007 e c DIMAp/UFRN
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