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# Exercices avec les solutions d'analyse complexe

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### Transcript

• 1. |z1 &#x2212; z2|2+ |z1 + z2|2= 2(|z1|2+ |z2|2).z &gt; 0, montrer quez1 + z2&gt; 0 si et seulement si |z| &lt; 1.limn&#x2192;+&#x221E;n inn + 1, limn&#x2192;+&#x221E;n1 + i2n.z &#x2212; 1)3 &#x2212; 1 = 0, z4 + 2 = 0 et z5 &#x2212; 1 = i.Si ImImD&#xE9;partement des sciences et technologie2i&#xE8;me ann&#xE9;e TD1 Fonctions d&#x2019;une variable complexe 2012/2013Ecrire les nombres complexes suivantes a la forme algebrique( )51031;21;2121iiii+&#xF8F7;&#xF8F8;&#xF8F6;&#xF8EC;&#xF8ED;&#xF8EB; ++&#x2212;11lim 62++&#x2192; zziz,Exercice 1Exercice 2Exercice 3Exercice 4Exercice 5UNIVERSITE LARBI BEN M HIDI OUM EL BOUAGHID&#xB4;emontrer l&#x2019;identit&#xB4;e&#x2019;R&#xB4;esoudre les &#xB4;equations(Calculer les limites suivantes :suivantes :djeddi.kamel@gmail.com
• 2. Exercice 1Exercice 2|z1 &#x2212; z2|2+ |z1 + z2|2= |z1|2&#x2212; 2 z1 z2 + |z2|2+|z1|2+ 2 z1 z2 + |z2|2= 2(|z1|2+ |z2|2).z1z2z1 z2z1 z2Exercice 3Solution. Posant z = x + i y, on az1 + z2=(x + i y)(1 + x2 &#x2212; y2 &#x2212; i 2xy)(1 + x2 &#x2212; y2)2 + 4x2y2=&#x2212;2x2y + y + x2y &#x2212; y3(1 + x2 &#x2212; y2)2 + 4x2y2&gt; 0si et seulement siy(1 &#x2212; x2&#x2212; y2) &gt; 0.( )5 55 31 31 3 2 32( )2 2ii e i+ = = &#x2212;&#x3C0;i31616 &#x2212;=ieei ii===&#xF8F7;&#xF8F8;&#xF8F6;&#xF8EC;&#xF8ED;&#xF8EB; + 254101021&#x3C0;&#x3C0;iiiiiii5453543)21()21()21(2121 2&#x2212;&#x2212;=&#x2212;&#x2212;=&#x2212;+&#x2212;=+&#x2212;2i&#xE8;me ann&#xE9;e TD1 Fonctions d&#x2019;une variable complexe 2012/20131Solutions des exercicesIm Imdjeddi.kamel@gmail.com
• 3. Exercice 5Solution. Directement de la formule pour la racine cubique d&#x2019;un nombrecomplexe, les trois solutions de l&#x2019;&#xB4;equation (z &#x2212; 1)3 &#x2212; 1 = 0 sont1 + cos2&#x3C0;3+ i sin2&#x3C0;3, 1 + cos4&#x3C0;3+ i sin4&#x3C0;3et 2.De m&#x2C6;eme, pour z4 + 2 = 0, on obtient4&#x221A;2 cos3&#x3C0;4+ i sin3&#x3C0;4,4&#x221A;2 cos5&#x3C0;4+ i sin5&#x3C0;44&#x221A;2 cos7&#x3C0;4+ i sin7&#x3C0;4et4&#x221A;2 cos&#x3C0;4+ i sin&#x3C0;4.Pour l&#x2019;&#xB4;equation z5 &#x2212; 1 = i, on a10&#x221A;2 cos&#x3C0;20+ i sin&#x3C0;20,10&#x221A;2 cos3&#x3C0;20+ i sin3&#x3C0;20,10&#x221A;2 cos5&#x3C0;20+ i sin5&#x3C0;20,10&#x221A;2 cos7&#x3C0;20+ i sin7&#x3C0;20et10&#x221A;2 cos9&#x3C0;20+ i sin9&#x3C0;20.Solution. La premi`ere limite n&#x2019;existe pas : les valeurs adh&#xB4;erentes decette suite sont en e&#xFB00;et les nombres &#x2212;1, &#x2212;i, 1, i. La deuxi`eme limiteest 0 puisque1 + i2=1&#x221A;2&lt; 1.Exercice 431)1)(1(1lim11lim 242262=+&#x2212;++=++&#x2192;&#x2192; zzzzzziziz2
• 4. D&#xB4;eterminer l&#x2019;ensemble des points o`u les fonctions suivantes sontd&#xB4;erivables au sens complexe (on proc`edera directement puis `a l&#x2019;aide des &#xB4;equationsde Cauchy-Riemann) :a) z &#x2192; zb) z &#x2192; zzer que les fonctions suivantes sont holomorphes :c) z &#x2192;z = x + iy &#x2208; C x, y &#x2208; R f(z) = x2 + ixy3.C f &#x2208; H( ) ?= {z &#x2208; C ; Re(z) &gt; 0} z= x + iy &#x2208; x, y &#x2208; Rf(z) = ln |z| + i Arc tanyx&#xB7;f &#x2208; H( ).c)d)z &#x2192;z &#x2192; .a)b)z &#x2192; sur C.z &#x2192; sur C.zezy ix+|z| 2sinza, b, cf (z) = ax + by + i (cx + dy1- Montr2-Pour , avec , on poseExiste-t-il un ouvert non vide de tel queSoit , avec , onProuver queles conditions sur les constantes reellesrendent la fonction ) .holomorphequi. S iD&#xB4;eterminerD&#xE9;partement des sciences et technologiesUNIVERSITE LARBI BEN M HIDI OUM EL BOUAGHI&#x2019;2i&#xE8;me ann&#xE9;e TD2 Fonctions d&#x2019;une variable complexe 2012/2013:posefonctions holomorphes de Cauchy-Rconditions iemannExercice 1.Exercice 2.Exercice 3.Exercice 4.et leset d&#xB4;Professeur DJEDDI Kamelz3sur C.
• 5. Solution. On aux = a , vy = d , uy = b et vx = c.Il est donc n&#xB4;ecessaire et su&#xFB03;sant que a = d et que b = &#x2212;c. On a alorsf(z) = (a + i c)(x + i y).Exercice 2.2-Notons u = Re(f), v = Im(f). Il vient :ux(z) = 2x , uy(z) = 0 , vx(z) = y3, vy(z) = 3xy2.Si U &#x2282; C est un ouvert non vide tel que f|U &#x2208; H(U), on obtient en particulieruy(z) = &#x2212;vx(z) pour tout z &#x2208; U, donc Im(z) = 0 pour tout z &#x2208; U. C&#x2019;est absurde,puisque {z &#x2208; C ; Im(z) = 0} est d&#x2019;int&#xE9;rieur vide.Exercice 3.Il est imm&#xE9;diat que f est de classe C1 sur l&#x2019;ouvert U. D&#x2019;autre part, pourz = x + iy &#x2208; U, on trouve facilement :ux(z) =xx2 + y2, uy(z) =yx2 + y2, vx(z) =&#x2212;yx2 + y2, vy(z) =xx2 + y2&#xB7;Ainsi, f v&#xE9;ri&#xFB01;e les conditions de Cauchy-Riemann sur U. D&#x2019;o&#xF9; f &#x2208; H(U).Exercice 4.Pour w = sin z, on au = sin x y et v = cos x yde telle sorte queux = cos x y = vy et uy = sin x y = &#x2212;vx.ch shch shb)Solutions des exercices2i&#xE8;me ann&#xE9;e TD2 Fonctions d&#x2019;une variable complexe 2012/2013Solution. Pour w = z3, on au = x3&#x2212; 3xy2et v = 3x2y &#x2212; y3de telle sorte queux = 3x2&#x2212; 3y3= vy et uy = &#x2212;6xy = &#x2212;vx .c)
• 6. Exercice 1D&#xE9;terminer le rayon de convergence des s&#xE9;ries enti&#xE8;resa)n 0n2+ 13nznb)n 0e&#x2212;n2znc)n 1ln nn2z2nd)n 0nnn!z3nSoit anznR.D&#xE9;terminer le rayon de convergence de la s&#xE9;rie enti&#xE8;re anz2n.Calculer la somme de la s&#xE9;rie enti&#xE8;re suivante pour tout nombre complexe zS(z) =&#x221E;n=1ch nz2nn!.1) Calculer la somme des s&#xE9;ries enti&#xE8;res suivantes pour tout nombre complexe zS(z) =&#x221E;n=0(1 + i)n znn!et T(z) =&#x221E;n=0(1 &#x2212; i)n znn!.2) En d&#xE9;duire le d&#xE9;veloppement en s&#xE9;rie enti&#xE8;re de ez cos z, ez sin z, ,Exercice 5R et calculer pour tout z de [ &#x2212;R, R ] k, la sommeS(x) =&#x221E;n=1znn(n + 1).e 0 des fonctions d&#xE9;&#xFB01;nieskkkparf11111( (et pr&#xE9;ciser les rayons de convergence.) =zsin) = cosz chz z zz zfsh z zln(1- -)&#x2212;f11111( ) =z f11111( ) =z f11111( ) =zetf11111, l&#x2019;ensemble D domaine deconvergence.1nsin 1 +1nlne)n 1f)n 1zn znUNIVERSITE LARBI BEN M HIDI OUM EL BOUAGHI&#x2019;2i&#xE8;me ann&#xE9;e TD3 Fonctions d&#x2019;une variable complexe 2012/2013une s&#xE9;rie enti&#xE8;re de rayon de convergenceS&#xE9;rie enti&#xE8;re,D&#xE9;terminer le d&#xE9;veloppement en s&#xE9;rie enti&#xE8;re au voisinage dd&#xE9;veloppement en s&#xE9;rie enti&#xE8;re/1 2 3 4 5iExercice 2Exercice 3Exercice 4Exercice 6D&#xE9;partement des sciences et de latechnologierayon de convergence, domaine de convergence,D&#xE9;terminer le rayon de convergenceR&#xE9;sponsable de module DJEDDI amelK
• 7. CorrectionsExercice 1 :a) un(z) = n2+13n zn. Pour tout z = 0, un+1(z)un(z) &#x2192; |z|3 donc R = 3.b) un(z) = zne&#x2212;n2. Pour tout z &#x2208; C, n2un(z) &#x2192; 0 donc R = +&#x221E;.c) un(z) = ln nn2 z2n. Pour tout z = 0, un+1(z)un(z) = ln(n+1)ln nn2(n+1)2 |z|2&#x2192; |z|2doncR = 1.d) un(z) = nnn! z3n. Pour tout z = 0, un+1(z)un(z) = (n+1)nnn |z|3&#x2192; e |z|3doncR = e&#x2212;1/3.Notons R le rayon de convergence de anz2n.Pour |z| &lt;&#x221A;R, z2&lt; R et donc an(z2)n= anz2nest absolumentconvergente.Pour |z| &gt;&#x221A;R, z2&gt; R et donc an(z2)n= anz2nest grossi&#xE8;rementdivergente.On en d&#xE9;duit R =&#x221A;R.an &#x223C;1n. R = 1 .Pour x = &#x2212;1 la s&#xE9;rie de terme g&#xE9;n&#xE9;ral anxn ne converge pas absolument, mais elle convergecar elle est altern&#xE9;e, puisque la suite (sin(1/n)) d&#xE9;cro&#xEE;t et converge vers 0. Pour x = 1 la s&#xE9;riediverge. Alorse)A = ] &#x2212;1, 1 [ et C = [ &#x2212;1, 1 [ .ln 1 +1n&#x223C;1n, .Lorsque x = 1, il r&#xE9;sulte de l&#x2019;&#xE9;quivalent pr&#xE9;c&#xE9;dent que la s&#xE9;rie de terme g&#xE9;n&#xE9;ral ln(1 + 1/n)diverge par comparaison &#xE0; la s&#xE9;rie harmonique.Lorsque x = &#x2212;1, il r&#xE9;sulte de la croissance de la fonction logarithme que la suite (ln(1 + 1/n))est d&#xE9;croissante. Par ailleurs, puisqu&#x2019;elle est &#xE9;quivalente &#xE0; (1/n), la suite (ln(1 + 1/n)) convergevers 0. Alors la s&#xE9;rie de terme g&#xE9;n&#xE9;ral (&#x2212;1)n ln(1 + 1/n) est altern&#xE9;e et converge donc, mais ellene converge pas absolument. On en d&#xE9;duit queA = ] &#x2212;1, 1 [ et C = [ &#x2212;1, 1 [ .f)cos z =&#x221E;n=0(&#x2212;1)n z2n(2n)!, sin z =&#x221E;n=0(&#x2212;1)n z2n+1(2n + 1)!,ch z =&#x221E;n=0z2n(2n)!, sh z =&#x221E;n=0z2n+1(2n + 1)!&#xB7;On remarquera que, si z &#x2208; C :ch(iz) = cos z , sh(iz) = i sin z.UNIVERSITE LARBI BEN M HIDI OUM EL BOUAGHI&#x2019;2i&#xE8;me ann&#xE9;e TD3 Fonctions d&#x2019;une variable complexe 2012/2013amelKDJEDDI1Exercice 2:Exercice 3:
• 8. En &#xE9;crivantch n =en + e&#x2212;n2,on aS(z) =&#x221E;n=1en + e&#x2212;n2z2nn!,doncS(z) =12&#x221E;n=1(ez2)nn!+&#x221E;n=1(e&#x2212;1z2)nn!,et &#xFB01;nalementS(z) =12eez2&#x2212; 1 + ez2/e&#x2212; 1 ,ou encoreS(z) =12eez2+ ez2/e&#x2212; 1 .Toutes les s&#xE9;ries enti&#xE8;res apparaissant dans le calcul pr&#xE9;c&#xE9;dent sont de rayon in&#xFB01;ni. La sommeest donc valable pour tout z complexe.1) On a, pour tout nombre z complexe,S(z) = e(1+i)z= ez(cos z + i sin z) .2) Si l&#x2019;on &#xE9;crit,1 + i =&#x221A;2 ei&#x3C0;/4,on obtient doncS(z) =&#x221E;n=02n/2ein&#x3C0;/4 znn!.et de m&#xEA;me,T(z) = e(1&#x2212;i)z= ez(cos z &#x2212; i sin z) ,s&#x2019;&#xE9;critT(z) =&#x221E;n=02n/2e&#x2212;in&#x3C0;/4 znn!.Alors, puisqueezcos z =12(S(z) + T(z)) et ezsin z =12i(S(z) &#x2212; T(z)) ,amelKProf DJEDDI2Exercice 4:Exercice 5:
• 9. on obtientezcos z =&#x221E;n=02n/2cosn&#x3C0;4znn!et ezsin z =&#x221E;n=02n/2sinn&#x3C0;4znn!.Si l&#x2019;on posean =1n(n + 1),on aan &#x223C;1n2,etanan+1=n + 2n,tend vers R = 1. De plus la s&#xE9;rie converge absolument si |x| = 1 par comparaison &#xE0; une s&#xE9;rie deRiemann.En d&#xE9;composant la fraction en &#xE9;l&#xE9;ments simples, on obtient1n(n + 1)=1n&#x2212;1n + 1.Or les s&#xE9;ries enti&#xE8;res de coe&#xFB03;cients 1/n et 1/(n + 1) sont de rayon 1, donc, si |x| &lt; 1,S(x) =&#x221E;n=1xnn&#x2212;&#x221E;n=1xnn + 1.Alors, si x = 0,S(x) =&#x221E;n=1xnn&#x2212;1x&#x221E;n=1xn+1n + 1.et doncS(x) =&#x221E;n=1xnn&#x2212;1x&#x221E;n=2xnn= &#x2212; ln(1 &#x2212; x) &#x2212;1x(&#x2212; ln(1 &#x2212; x) &#x2212; x)= 1 &#x2212;x &#x2212; 1xln(1 &#x2212; x) .Par ailleurs S(0) = 0.Il r&#xE9;sulte du th&#xE9;or&#xE8;me d&#x2019;Abel que le r&#xE9;sultat pr&#xE9;c&#xE9;dent est encore valable en 1 et en &#x2212;1, et doncS(1) = limx&#x2192;1&#x2212;S(x) = 1 et S(&#x2212;1) = limx&#x2192;&#x2212;1+S(x) = 1 &#x2212; 2 ln 2 .amelKProf DJEDDI3Exercice 6:
• 10. UNIVERSITE LARBI BEN M HIDI OUM EL BOUAGHI&#x2019;2i&#xE8;me ann&#xE9;e TD4 Fonctions d&#x2019;une variable complexe 2012/2013D&#xE9;partement des sciences et technologieR&#xE9;sponsable de module DJEDDI amelKdelaCalculer l&#x2019;int&#xB4;egrale &#xAF;zdz, o`u est le chemin joignant le point (1, 1)long de la parabole d&#x2019;&#xB4;equation y = x2.Calculer (z2 + 3z)dz le long du cercle |z| = 2, du point (2, 0) au point (0, 2).a)sin ( z2) + cos ( z2)(z 1) (z 2)dz;b)e2z(z + 1)4 dzCalculerC d&#xB4;esignant le cercle unit&#xB4;e parcouru dans le sens positif, calculerCdz2z2 &#x2212; 5z + 2.Csin6z(z &#x2212; &#x3C0;/6)2dz.a)b)Soit le cercle de rayon 3 et le centre 2iCalculer l&#x2019;indice de ou c = 2iCalculer longueur de joignant le point (3; 2) au point ( 3; 2)La formule int&#xE9;grale de CauchyCalculerExercice 4Exercice 3au point (2, 4) le))Exercice 22Exercice 11 o&#xF9; est le cercle jzj = 3:
• 11. CorrectionsUNIVERSITE LARBI BEN M HIDI OUM EL BOUAGHI&#x2019;2i&#xE8;me ann&#xE9;e TD4 Fonctions d&#x2019;une variable complexe 2012/2013amelKDJEDDI1Le chemin est param&#xE9;tr&#xE9; par t &#x2192; (t, t2), o&#xF9; t &#x2208; [1, 2]. On a donc, le long du chemin,z = t + it2, dz = (1 + 2it)dt, et doncI =21(t &#x2212; it2)(1 + 2it)dt = 9 +73i.Exercice 2On peut param&#xE9;trer l&#x2019;arc de cercle par z = 2eit, 0 &#x2264; t &#x2264; &#x3C0;. Il vientI =&#x3C0;/20(4e2it+ 6eit)2ieitdt =&#x2212;83i &#x2212;443,apr&#xE8;s un petit calcul... Une autre fa&#xE7;on de proc&#xE9;der est de remarquer que, dans l&#x2019;ouvert C, lafonction z &#x2192; z2 + 3z admet une primitive, &#xE9;gale &#xE0; F : z &#x2192; z3/3 + 3z2/2. On a alors, et ceci ned&#xE9;pend en fait pas du chemin suivi :I = F(2) &#x2212; F(2i).Bien s&#xFB;r, on doit trouver le m&#xEA;me r&#xE9;sultat !Exercice 3Exercice 1
• 12. amelKProf DJEDDI2De1(z 1) (z 2)=1z 21z 1, on tireICsin ( z2) + cos ( z2)(z 1) (z 2)dz =ICsin ( z2) + cos ( z2)z 2dzICsin ( z2) + cos ( z2)z 1dzL&#x2019;application de la formule de Cauchy pour a = 2 et a = 1 donneICsin ( z2) + cos ( z2)z 2dz = 2 i sin 22+ cos 22= 2 i;ICsin ( z2) + cos ( z2)z 1dz = 2 i sin 12+ cos 12= 2 i;car z = 1 et z = 2 sont &#xE0; l&#x2019;int&#xE9;rieur de C et sin ( z2) + cos ( z2) est holomorphe dans C. L&#x2019;int&#xE9;graleconsid&#xE9;r&#xE9;e vaut donc 2 i ( 2 i) = 4 i.b) Soit f (z) = e2zet a = 1, la formule int&#xE9;grale de Cauchy s&#x2019;&#xE9;critf(n)(a) =n!2 iICf (z)(z a)n+1 dz:Si n = 3, alors f000(z) = 8e2zet f000( 1) = 8e 2. Dans ces conditions la formule (1) devient8e 2=3!2 iICe2z(z a)4 dz;d&#x2019;o&#xF9; l&#x2019;on tire la valeur de l&#x2019;int&#xE9;grale consid&#xE9;r&#xE9;e83ie 2.6. C d&#xB4;esignant le cercle unit&#xB4;e parcouru dans le sens positif, calculerCdz2z2 &#x2212; 5z + 2.Solution. D&#xB4;ecomposons en fractions partielles. On obtient12z2 &#x2212; 5z + 2=131z &#x2212; 2&#x2212;1z &#x2212; 1/2et en vertu du th&#xB4;eor`eme et de la formule de Cauchy,Cdz2z2 &#x2212; 5z + 2=13 Cdzz &#x2212; 2&#x2212;Cdzz &#x2212; 1/2= &#x2212;2&#x3C0;i3.Exercice 4
• 13. UNIVERSITE LARBI BEN M HIDI OUM EL BOUAGHI&#x2019;Fonctions d&#x2019;une variable complexe 2012/2013D&#xE9;partement des sciences et technologieR&#xE9;sponsable de module DJEDDI amelKdelaExercice 1Calculer l&#x2019;int&#xE9;graleI =&#x221E;&#x2212;&#x221E;sin x dxx2 + 2x + 2&#xB7;Calculer l&#x2019;int&#xE9;grale :I =&#x221E;&#x2212;&#x221E;dxx2 + 2ix + 2 &#x2212; 4i&#xB7;En d&#xE9;duire les valeurs:&#x221E;&#x2212;&#x221E;(x2+ 2)dxx4 + 8x2 &#x2212; 16x + 20&#x221E;&#x2212;&#x221E;(4 &#x2212; 2x)dxx4 + 8x2 &#x2212; 16x + 20I11 =I =12&#x221E;&#x2212;&#x221E; x2 + x +&#xB7;dx1Calculer int&#xE9;grales:&#x221E;&#x2212;&#x221E; x6 +dx1,lesExercice 2ExerciceTh&#xE9;or&#xE8;me des r&#xE9;sidus et applications352i&#xE8;me ann&#xE9;e TD
• 14. CorrectionsUNIVERSITE LARBI BEN M HIDI OUM EL BOUAGHI&#x2019;2i&#xE8;me ann&#xE9;e TD Fonctions d&#x2019;une variable complexe 2012/2013amelKDJEDDI1Exercice 1!1&amp;%0 6dx1x1I .(converge car )1dxx1dxx1dx1x11 21 61 6 !!!111%AA&amp;Soit ! &amp;%C 61zdzJ o&#xF9; - . ;L#% R,RC et R &gt; 1.Des 6 p&#xF4;les simples, seuls 65i6ie,i,e\$\$sont dans C. G H)e(sRe)i(sRe)e(sRei2J 6/5i6/i \$\$&amp;&amp;\$% .6ez61lim1zezlim)e(sRe6/5i5ez66/iez6/i6/i6/i\$#/\$/\$%()**+,%()**+,&amp;#% \$\$.1zdz1xdx326e6i6ei2JRR 666/i6/5i! !# ;\$#\$#&amp;&amp;&amp;%\$%()**+,&amp;#&amp;\$%;-R Rii\$65i\$67i\$611i\$6eee e!; 1/1//&amp;B/&amp;JR6R601zdz01z1z d&#x2019;o&#xF9;321xdx6\$%&amp;!11#et31xdx0 6\$%&amp;!1.5
• 15. amelKProf DJEDDI2Posons f(z) =1z2 + 2iz + 2 &#x2212; 4i&#xB7; Les p&#xF4;les de f sont simples et on a z1 = 1 + i etz2 = &#x2212;1 &#x2212; 3i, Im(z2) &lt; 0, est &#xE0; rejeter.Les conditions sont toutes v&#xE9;ri&#xFB01;&#xE9;es, on a alors,&#x221E;&#x2212;&#x221E;dxx2 + 2ix + 2 &#x2212; 4i= 2&#x3C0;iRes(f, 1 + i).Res(f, 1+i) = limz&#x2212;&#x2192;1+i(z&#x2212;1&#x2212;i)f(z) = limz&#x2212;&#x2192;1+i(z&#x2212;1&#x2212;i)1z2 + 2iz + 2 &#x2212; 4i= limz&#x2212;&#x2192;1+i12z + 2i=12 + 4i&#xB7;Finalement,I = 2&#x3C0;i &#xB7;12 + 4i=2&#x3C0;5+ i&#x3C0;5&#xB7;Remarquons que, f(x) =1x2 + 2ix + 2 &#x2212; 4i=(x2+ 2) &#x2212; i(2x &#x2212; 4)(x2 + 2)2+ (2x &#x2212; 4)2=(x2+ 2) &#x2212; i(4 &#x2212; 2x)x4 + 8x2 &#x2212; 16x + 20,d&#x2019;o&#xF9; l&#x2019;on d&#xE9;duit, &#x221E;&#x2212;&#x221E;(x2+ 2)dxx4 + 8x2 &#x2212; 16x + 20=2&#x3C0;5,&#x221E;&#x2212;&#x221E;(4 &#x2212; 2x)dxx4 + 8x2 &#x2212; 16x + 20=&#x3C0;5&#xB7;I =&#x221E;&#x2212;&#x221E;sin x dxx2 + 2x + 2&#xB7;Soit f(z) =eizz2 + 2z + 2, on a deux p&#xF4;les simples z1 = &#x2212;1 + i, et z2 = &#x2212;1 &#x2212; i ce dernier est&#xE0; rejeter.On a donc Res(f, &#x2212;1 + i) = limz&#x2212;&#x2192;&#x2212;1+i(z + 1 &#x2212; i)f(z) = limz&#x2212;&#x2192;&#x2212;1+i(z + 1 &#x2212; i)eizz2 + 2z + 2=e&#x2212;1&#x2212;i2i&#xB7;Finalement,&#x221E;&#x2212;&#x221E;eixdxx2 + 2x + 2= 2&#x3C0;ie&#x2212;1&#x2212;i2i= &#x3C0; e&#x2212;1&#x2212;i= &#x3C0; e&#x2212;1(cos 1&#x2212;i sin 1) d&#x2019;o&#xF9; l&#x2019;on d&#xE9;duit,I =&#x221E;&#x2212;&#x221E;sin x dxx2 + 2x + 2= &#x2212;&#x3C0; e&#x2212;1sin 1,J =&#x221E;&#x2212;&#x221E;cos x dxx2 + 2x + 2= &#x3C0; e&#x2212;1cos 1.Exercice 2Exercice 3