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1 matematica binaria

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Matematica binaria: conversioni decimale/binario/esadecimale, notazione complemento a due, codifica caratteri con tabella ashii e unicode.

Matematica binaria: conversioni decimale/binario/esadecimale, notazione complemento a due, codifica caratteri con tabella ashii e unicode.

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  • 1. MATEMATICA BINARIA A cura di Jacques Bottel 1
  • 2. Rappresentare una quantità Il numero rappresenta una quantità astratta. Tale quantità può essere rappresentata in diversi modi: Base 5, estesa con la base 10 e 20 Base 12 (Sumeri e Assiro-babilonesi) Base 60 A cura di Jacques Bottel 2
  • 3. Il trionfo della base 10 La base che ha storicamente trionfato è la base 10, un felice compromesso, né troppo grande (con l'inconveniente di troppi segni elementari) né troppo piccola (con l'inconveniente di lunghe combinazioni di pochi segni). Inoltre, tale base è facile da utilizzare da noi esseri umani (abbiamo 10 dita). A cura di Jacques Bottel 3
  • 4. Le basi usate oggi Oggi utilizziamo: Base 10 in matematica Base 2 in elettronica Base 16 in informatica Base 60 per le coordinate geografiche e il tempo A cura di Jacques Bottel 4
  • 5. Basi a confronto… La base 10 ha 10 segni elementari: le cifre 0-…-9 La base 2 ha solo due segni elementari: 0 e 1 La base 16 ha 16 segni elementari: le cifre 0-…-9 e le lettere A-…-F A cura di Jacques Bottel 5
  • 6. Basi a confronto… Per ogni cifra:  Con la base 10 possiamo rappresentare dieci quantità (una per ogni segno elementare), con la base 2 due quantità, mentre con la base ben 16 sedici quantità. Dunque, a fronte di un numero maggiore di segni elementari, fissata la lunghezza (numero di cifre) del numero, si può rappresentare un numero maggiore di quantità. A cura di Jacques Bottel 6
  • 7. Perché il binario? In elettronica, il valore 1 e 0 corrispondono a una tensione elettrica, maggiore o minore di un dato valore. Dato che la tensione oscilla nel tempo, avere una sola soglia a cui prestare attenzione semplifica notevolmente la costruzione dei circuiti. A cura di Jacques Bottel 7
  • 8. Perché l’esadecimale? Quando i numeri sono grandi - e quindi lunghi da rappresentare con il sistema binario - si preferisce usare il sistema esadecimale. La numerazione esadecimale viene usata per:  indicare un indirizzo di memoria Es. ∀xA27B57F  Indicare un colore Esempio #AF04E0 A cura di Jacques Bottel 8
  • 9. Perché l’esadecimale? Quando i numeri sono grandi - e quindi lunghi da Si antepone # e ∀x prima del numero esadecimale rappresentare con il sistema binario -un numero decimaleusare il per distinguerlo da si preferisce nel caso in cui non contenga caratteri A-F sistema esadecimale. La numerazione esadecimale viene usata per:  indicare un indirizzo di memoria Es. ∀xA27B57F  Indicare un colore Esempio #AF04E0 A cura di Jacques Bottel 9
  • 10. Perché l’esadecimale? Quando i numeri sono grandi - e quindi lunghi da rappresentare con il sistema binario - si preferisce usare il sistema esadecimale. La numerazione esadecimale viene usata per:  indicare un indirizzo di memoria Es. ∀xA27B57F  Indicare un colore Esempio #AF04E0 Red A cura di Jacques Bottel 10
  • 11. Perché l’esadecimale? Quando i numeri sono grandi - e quindi lunghi da rappresentare con il sistema binario - si preferisce usare il sistema esadecimale. La numerazione esadecimale viene usata per:  indicare un indirizzo di memoria Es. ∀xA27B57F  Indicare un colore Esempio #AF04E0 Green A cura di Jacques Bottel 11
  • 12. Perché l’esadecimale? Quando i numeri sono grandi - e quindi lunghi da rappresentare con il sistema binario - si preferisce usare il sistema esadecimale. La numerazione esadecimale viene usata per:  indicare un indirizzo di memoria Es. ∀xA27B57F  Indicare un colore Esempio #AF04E0 Blue A cura di Jacques Bottel 12
  • 13. CONVERSIONI A cura di Jacques Bottel 13
  • 14. Scomponiamo i numeri! I numeri - per convenzione in base 10 - si possono scomporre. 1’536 Unità - 100 Decine - 101 Centinaia - 102 Migliaia - 103 A cura di Jacques Bottel 14
  • 15. Convertire in base 2! Calcoliamo i resti delle divisioni per 2 del numero in base 10. In questo esempio, convertiamo il numero 74. 74 37 18 9 4 2 1 0 1 0 1 0 0 1 A cura di Jacques Bottel Numero in binario: 1001010 15
  • 16. Convertire in base 16! Analogamente, calcoliamo i resti delle divisioni per 16 del numero in base 10. 74 4 A 4 Numero in binario: 4A A cura di Jacques Bottel 16
  • 17. Convertire in base 10! Numero esadecimale: 4A Procediamo con la conversione… (Ax160) + (4x160)= 10+64=74 A cura di Jacques Bottel 17
  • 18. Convertire in base 10! Numero binario: 1001010 Procediamo con la conversione… (0x20) + (1x21) + (0x22) + (1x23) + (0x24) + (0x25) + (1x26) = 2+8+64=74 A cura di Jacques Bottel 18
  • 19. Convertire con la calcolatrice  Aprire la calcolatrice di Windows 7.  Dal menù Visualizza, clicca su “Programmatore”.  Digitare il numero (preimpostata base 10) e selezionare una base per convertire la quantità. A cura di Jacques Bottel 19
  • 20. Somma di numeri binari Regole:     0+0= 0 0+1= 1 1+1= 0+rip 1+1+rip= 1+rip A cura di Jacques Bottel 111 1001010 + (74) 101111 = (47) 1111001 (121) 20
  • 21. Operazioni facili e veloci Alcune operazioni con i particolarmente semplici! numeri binari sono  Incremento unitario (somma 1) Il primo bit a 0 viene messo a 1 1001010 (74) A cura di Jacques Bottel 1001011 (75) 21
  • 22. Operazioni facili e veloci Alcune operazioni con i particolarmente semplici! numeri binari sono  Incremento unitario (somma 1) Il primo bit a 0 viene messo a 1 1001010 1001111 (79) A cura di Jacques Bottel 1001011 1010000 (80) 22
  • 23. Operazioni speciali  Divisione per due Se il primo bit è 0, basta eliminarlo! 1001010 100101 (74) (37) E se il primo bit è 1? Il numero non è divisibile per 2 (resto=1). 100101 (37) A cura di Jacques Bottel 23
  • 24. Numeri binari negativi La notazione complemento a 2 viene utilizzata per rappresentare i numeri negativi in binario. Per convertire un Bit di segno: 0 per i numeri positivi 1 per i numeri negativi numero decimale n negativo si deve:  Convertire |n| in binario 101111  Aggiungere il bit di segno 0010000 A cura di Jacques Bottel (47) 24
  • 25. Numeri binari negativi La notazione complemento a 2 viene utilizzata per rappresentare i numeri negativi in binario. Per convertire un numero decimale n negativo si deve:  Convertire |n|Complemento a 1 in binario 101111  Aggiungere il bit di segno 0010000  Invertire i bit 1101111  Sommare 1 1110000 (47) Complemento a 2 A cura di Jacques Bottel (-47) 25
  • 26. Differenza vs somma Fare la somma di una quantità negativa equivale a farne la differenza perché a-b=a+(-b). Dimostrazione a-b = a-b a-b= a+0-b a-b= a+(1x0)-(1b) a-b= a+1(0-b) a-b= a+1(0-b) a-b= a+(-b) A cura di Jacques Bottel SOLO LEGGERE, NON STUDIARE! Identità Introduco l’elem. neutro rispetto alla somma Introduco l’elem. neutro rispetto al prodotto Raccoglimento (applico la propr. distributiva) Elimino l’elem. neutro (prodotto e somma) 26
  • 27. Esercizio: differenza Esercizio Convertire e sommare i numeri a=121 e b=-11 Svolgimento Converto a=121 Dato che stiamo trattando una somma, possiamo applicare la propr. commutativa! 1111001 Converto il b=|11|, per poi farne il complemento a 2 1011 A cura di Jacques Bottel 27
  • 28. Esercizio: differenza Quando un addendo è negativo, la lunghezza degli operandi deve essere uguale! Numero 121… 01111001 L=8 Numero -11… 01011 L=4 00001011 Aggiungo 0 fino ad arrivare alla lunghezza desiderata (Lmax) Aggiungo il bit di segno: 0 per i numeri positivi 1 per i numeri negativi L=Lmax A cura di Jacques Bottel 28
  • 29. Esercizio: differenza Ora facciamo il complemento 1 2 di n=11: Complemento a a  Partiamo da n=11, L=8 0 0 0 0 1 0 1 1 (11)  Invertiamo i bit 11110100  Sommiamo 1 1 1 1 1 0 1 0 1 (-11) Complemento a 2 Ora il numero è negativo e il bit di segno è 1 A cura di Jacques Bottel 29
  • 30. Esercizio: differenza Ora posso procedere a sommare i numeri… Regole:     0+0= 0 0+1= 1 1+1= 0+rip 1+1+rip= 1+rip 1 11 1 1 01111001 + (121) 11110101 = (-11) 101101110 A cura di Jacques Bottel (110) 30
  • 31. Codifica dei caratteri Dato che il computer tratta solo numeri binari, per gestire i caratteri è stato necessario stabilire una codifica, cioè stabilire come devono essere interpretati i numeri, ovviamente non più come una quantità. È quindi nata lo standard ASCII (American Standard Code for Information Interchange), ossia una tabella che attribuisce ai numeri da 0 a 127 (primi 7 bit di un byte) un preciso significato, in questo caso una lettera dell’alfabeto. A cura di Jacques Bottel 31
  • 32. A cura di Jacques Bottel 32
  • 33. Lo standard Unicode Lo standard ASCII fu poi esteso (codifica a 8 bit). L’estensione ha permesso di aggiungere le lettere accentate (ISO 8859-1 è l’estensione per i linguaggi dell’Europa Occidentale). Oggi si usa lo standard Unicode che è un’ulteriore estensione della tabella ASCII (codifica fino a 32 bit). L’estensione ha permesso di aggiungere lettere con segni grafici particolari come ç, ë, ê, ø, ž. Periodicamente vengono rilasciate nuove versioni del formato Unicode, compatibili con le versioni precedenti (retrocompatibili). A cura di Jacques Bottel 33
  • 34. Verifica se hai capito… Domande:  Perché si utilizza la base 2 in elettronica e la base 16 in informatica?  Che cos’è e a che cosa serve lo standard ASCII? Illustra le differenze con lo standard Unicode. A cura di Jacques Bottel 34
  • 35. E ora che avete capito… memorizzate! A cura di Jacques Bottel 35
  • 36. MA NON HAI ANCORA FINITO… A cura di Jacques Bottel 36
  • 37. DEVI METTERE IN PRATICA CIÒ CHE HAI IMPARATO… A cura di Jacques Bottel 37
  • 38. Esercizi pratici Esercizi:  Converti il numero 575 in esadecimale. Converti il numero 95 in binario. Riconverti i numeri appena convertiti in decimale.  Fai la somma tra i numeri 112 e -13 A cura di Jacques Bottel 38
  • 39. Ora hai davvero finito! A cura di Jacques Bottel 39

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