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  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUMANGA ´ ´ DEPARTAMENTO ACADEMICO DE MATEMATICA Y F´ ISICA Tema: MEDICIONES DIRECTAS E INDIRECTAS Y CALCULO DE ERRORES Profesor: Lic. DIONISIO MENDEZ CONDE Alumnos: **** ´ AYACUCHO - PERU 2013 1
  2. 2. MEDICIONES DIRECTAS E INDIRECTAS Y CALCULO DE ERRORES I. OBJETIVOS: 1. Familiarizarse con el uso de los instrumentos de medida. 2. C´lculo de errores en mediciones. indirectas. a II. MATERIALES: - Una regla m´trica e - Un vernier - Un micr´metro o - Un cilindro de madera - Un paalelep´ ıpedo - Un esfera met´lica a ´ III. FUNDAMENTO TEORICO: a. ¿Que es medir? Es comparar la cantidad desconocida que queremos deter minar y una cantidad conocida de la misma magnitud, que elegimos como unidad. Al resultado de medir lo llamamos Medida. Cuando medimos algo se debe hacer con gran cuidado, para evitar alterar el sistema que observa mos. Por otro lado, no hemos de perder de vista que las medidas se realizan con alg´n tipo de error, debido a imperfecciones del instrumental o a limitaciones del medidor, u errores experimentales, por eso, se ha de realizar la medida de forma que la alteraci´n o producida sea mucho menor que el error experimental que se pueda cometer. La medida o medici´n diremos que es directa, cuando disponemos de un instrumento de o medida que la obtiene, as´ si deseamos medir la distancia de un punto a a un punto b, y ı disponemos del instrumento que nos permite realizar la medici´n, esta es directa. o b. ¿Para qu´ experimentamos? e B´sicamente experimentamos para saber como se mantiene una transformaci´n qu´ a o ımica ¿Qu´ es una transformaci´n qu´ e o ımica? Como reacciona el objeto por experimentar a distintos cambios al cual se le somete. c. Defina magnitud f´ ısica, magnitud escalar y vectorial 1. Magnitud F´ ısica: Una magnitud f´ ısica es una propiedad o cualidad medible de un sistema f´ ısico, es decir, a la que se le pueden asignar distintos valores como resultado de una medici´n o una relaci´n de medidas. Las magnitudes f´ o o ısicas se miden usando un patr´n que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa o propiedad que posea el objeto patr´n. Por ejemplo, se considera que el patr´n principal o o de longitud es el metro en el Sistema Internacional de Unidades. 2. Magnitud Escalar: Es la cantidad que queda suficientemente determinada al reconocer su valor num´rico y su unidad. Para operar con estas cantidades se sigue la regla e elemental del ´lgebra. a 3. Magnitud Vectorial: Es aquella que tiene magnitud, direcci´n y el sentido al mismo o tiempo. Una magnitud verctorial se representa con letra y la flecha encima. 2
  3. 3. d. Notaci´n Cientifica: o La notaci´n cient´ o ıfica (o notaci´n ´ o ındice est´ndar) es una manera r´pida de representar a a un n´mero utilizando potencias de base diez. Esta notaci´n se utiliza para poder expresar u o muy f´cilmente n´meros muy grandes o muy peque˜os. a u n Los n´meros se escriben como un producto: u a,10n a = numero real mayor que 1 y menor que 10 n = un numero entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud e. Clasificaci´n de Errores: o El error de medici´n se define como la diferencia entre el valor medido y el valor verdadeo ro. Afectan a cualquier instrumento de medici´n y pueden deberse a distintas causas. Las o que se pueden de alguna manera prever, calcular, eliminar mediante calibraciones y compensaciones, se denominan determin´ ısticos o sistem´ticos y se relacionan con la exactitud a de las mediciones. Los que no se pueden prever, pues dependen de causas desconocidas, o estoc´sticas se denominan aleatorios y est´n relacionados con la precisi´n del instrumento. a a o En este art´ ıculo vamos a comentar los principales errores de medici´n y sus fuentes. o Tipos de errores de medici´n. Atendiendo a su naturaleza los errores cometidos en una o medici´n admiten una clasificaci´n en dos grandes vertientes: errores aleatorios y errores sistem´ticos. o o a - Error aleatorio. No se conocen las leyes o mecanismos que lo causan por su excesiva complejidad o por su peque˜a influencia en el resultado final. Para conocer este tipo de errores primero debemos de n realizar un muestreo de medidas. Con los datos de las sucesivas medidas podemos calcular su media y la desviaci´n t´ o ıpica muestral. Con estos par´metros se puede obtener la Distribuci´n normal caracter´ a o ıstica N [u, s], y la podemos acotar para un nivel de confianza dado. Las medidas entran dentro de la campana con unos m´rgenes determinados para un nivel de confianza a que suele establecerse entre el 95 % y el 98 %. - Error Sistem´tico. Permanecen constantes en valor absoluto y en el signo al medir una magnitud a en las mismas condiciones, y se conocen las leyes que lo causan. Para determinar un error sistem´tico se a deben de realizar una serie de medidas sobre una magnitud Xo, se debe de calcular la media aritm´tica e de estas medidas y despu´s hallar la diferencia entre la media y la magnitud X0 . e Error Sistem´tico =| media − X0 |{ a Causas de errores de medici´n. Aunque es imposible conocer todas las causas del error es cono veniente conocer todas las causas importantes y tener una idea que permita evaluar los errores m´s a frecuentes. Las principales causas que producen errores se pueden clasificar en: Error debido al instrumento de medida. Error debido al operador. Error debido a los factores ambientales. Error debido a las tolerancias geom´tricas de la propia pieza. e Errores debidos al instrumento de medida. Cualquiera que sea la precisi´n del dise˜o y fabricaci´n o n o de un instrumento presentan siempre imperfecciones. A estas, con el paso del tiempo, les tenemos que sumar las imperfecciones por desgaste. Error de alineaci´n. o Error de dise˜o y fabricaci´n. n o Error por desgaste del instrumento. Debido a este tipo de errores se tienen que realizar verificaciones peri´dicas para comprobar si se mantiene dentro de unas especificaciones. o Error por precisi´n y forma de los contactos. o Errores debidos al operador. El operador influye en los resultados de una medici´n por la impero fecci´n de sus sentidos as´ como por la habilidad que posee para efectuar las medidas. Las tendencias o ı existentes para evitar estas causas de errores son la utilizaci´n de instrumentos de medida en los que o elimina al m´ximo la intervenci´n del operador. a o 3
  4. 4. Error de mal posicionamiento. Ocurre cuando no se coloca la pieza adecuadamente alineada con el instrumento de medida o cuando con peque˜os instrumentos manuales se miden piezas grandes en relan ci´n de tama˜o. Otro ejemplo es cuando se coloca el aparato de medida con un cierto ´ngulo respecto a o n a la dimensi´n real que se desea medir. o Error de lectura y paralaje. Cuando los instrumentos de medida no tienen lectura digital se obtiene la medida mediante la comparaci´n de escalas a diferentes planos. Este hecho puede inducir a lecturas o con errores de apreciaci´n, interpolaci´n, coincidencia, etc. Por otra parte si la mirada del operador no o o est´ situada totalmente perpendicular al plano de escala aparecen errores de paralaje. a Errores que no admiten tratamiento matem´tico. Error por fatiga o cansancio. a Errores debidos a los factores ambientales. El m´s destacado y estudiado es el efecto de la tema peratura en los metales dado que su influencia es muy fuerte. Error por variaci´n de temperatura. Los o objetos met´licos se dilatan cuando aumenta la temperatura y se contraen al enfriarse. Este hecho se a modeliza de la siguiente forma. Variaci´n de longitud =Coeficiente de dilataci´n espec´ o o ıfico x longitud de la pieza x variaci´n temperatura o ∆L = α.L.∆T Errores debidos a las tolerancias geom´tricas de la propia pieza. Las superficies geom´tricas e e reales de una pieza implicadas en la medici´n de una cota deben presentar unas variaciones aceptables. o Errores de deformaci´n. La pieza puede estar sometida a fuerzas en el momento de la medici´n por debajo o o del limite el´stico tomando cierta deformaci´n que desaparece cuando cesa la fuerza. a o Errores de forma. Se puede estar midiendo un cilindro cuya forma aparentemente circular en su secci´n o presente cierta forma oval. Errores de estabilizaci´n o envejecimiento. Estas deformaciones provienen del cambio en la estructura o interna del material. El temple de aceros, es decir, su enfriamiento r´pido, permite que la fase austen´ a ıtica se transforme a fase martens´ ıtica, estable a temperatura ambiente. Estos cambios de geometr´ son muy ıa poco conocidos pero igualmente tienen un impacto importante. f. C´lculo de errores en mediciones indirectas: a No siempre es posible realizar una medida directa, porque existen variables que no se pueden medir por comparaci´n directa, es por lo tanto con patrones de la misma naturaleza, o porque el valor a medir es o muy grande o muy peque˜o y depende de obst´culos de otra naturaleza, etc. Medici´n indirecta es aquella n a o en la que una magnitud buscada se estima midiendo una o m´s magnitudes diferentes, y se calcula la a magnitud buscada mediante c´lculo a partir de la magnitud o magnitudes directamente medidas. a IV. PROCEDIMIENTO: - Medir con regla m´trica el ancho y largo de la mesa de laboratorio (realice 6 mediciones e en todo el contorno del sal´n y anote los datos en la Tabla N 01). o - Con el Vernier, medir la altura y el di´metro de un cilindro de madera (realice 6 a mediciones y anote sus datos en la Tabla N 02) - Con el Vernier medir el di´metro de una esfera de hierro tabla N 3 (realice 6 mediciones) a - Con el vernier, medir el di´metro mayor, menor y altura de un tronco de cono (realice 6 a mediciones y anote sus datos en la Tabla N 04) V. TOMA DE DATOS: 4
  5. 5. Datos: ¯ ¯ L = 199,92cm A = 96,56cm Area = L.A Area = 19304,27cm2 Soluci´n: o Area = Area(L.A) ∆L = 0,29cm ∆Area = σArea .∆L + σArea .∆A σL σA ∆Area = A.∆L + L.∆A A.∆L+L.∆A ∆Area Area = Area ∆Area = ∆L + ∆A Area L A 0,29cm 0,05cm ∆Area = ( 199,92cm + 96,56cm ).Area ∆Area = 37,99cm2 Por lo tanto : a. Error Absoluto(∆X) = (19304,27 + 37,99)cm2 b. Error relativo(er ) = 0,001 c. Error porcentual(e %) = 0,19 % Datos: ´ RESPECTO AL AREA: ¯ = 32,66mm ¯ A D = 26,86mm r = 13,43mm ¯ Area = 2π.r.A Area = 2755,95mm2 Soluci´n: o Area = Area(r.A) ∆r = 0,07mm ∆Area = σArea .∆r + σArea .∆A σr σA ∆Area = 2.π.A.∆r + 2.π.r.∆A ∆Area 2.π.A.∆r+2.π.r.∆A Area = Area ∆Area ∆r ∆A Area = r + A 1,63mm 0,07mm ∆Area = ( 13,43mm + 32,66mm ).Area ∆Area = 151,91mm2 Por lo tanto : a. Error Absoluto(∆X) = (2755,95 + 151,91)mm2 b. Error relativo(er ) = 0,24 c. Error porcentual(e %) = 25,01 % Datos: RESPECTO AL VOLUMEN: ¯ ¯ A = 32,66mm D = 26,86mm r = 13,43mm ¯ Area = π.r2 .A V olumen = 18506,23mm3 Soluci´n: o V olumen = V olumen(r.A) ∆r = 0,07mm ∆V olumen = σV olumen .∆r + σV olumen .∆A σr σA ∆Area = 2.π.r.A.∆r + π.r2 .∆A 2 ∆V Olumen 2.π.r.A.∆r+π.r .∆A V olumen = V olumen ∆r,2 ∆V olumen ∆A V olumen = r + A 0,14mm 1,63mm ∆V olumen = ( 13,43mm + 32,66mm ).V olumen ∆V olumen = 1116,52mm3 Por lo tanto : a. Error Absoluto(∆X) = (18506,23 + 1116,52)mm3 b. Error relativo(er ) = 0,06 c. Error porcentual(e %) = 6,03 % 5 ∆A = 0,05cm ∆A = 1,63mm ∆A = 1,63mm
  6. 6. Datos: ´ RESPECTO AL AREA: ¯ = 60,44mm D r = 30,22mm ¯ Area = 4.π.r2 Area = 11476,21mm2 Soluci´n: o Area = Area(r) ∆r = 0,10mm ∆Area = σArea .∆r σr ∆Area =8.π.r.∆r 8.π.r.∆r ∆Area Area = Area ∆Area ∆r Area = r 0,20mm ∆Area = ( 30,22mm ).Area ∆Area = 75,95mm2 Por lo tanto : a. Error Absoluto(∆X) = (11476,21 + 75,95)mm2 b. Error relativo(er ) = 0,006 c. Error porcentual(e %) = 0,65 % Datos: RESPECTO AL VOLUMEN: ¯ D = 60,44mm r = 30,22mm ¯ 4 V olumen = 115545,16mm3 V olumen = 3 .π.r3 Soluci´n: o V olumen = V olumen(r) ∆r = 0,10mm ∆V olumen = σV olumen .∆r σr ∆V olumen =4.π.r2 .∆r ∆V olumen 4.π.r 2 .∆r V olumen = V olumen ∆Area = 1147,56mm3 Por lo tanto : a. Error Absoluto(∆X) = (115545,16 + 1147,56)mm2 b. Error relativo(er ) = 0,009 c. Error porcentual(e %) = 0,91 % Como las desviaciones estandar son menores que el error relativo del vernier entonces solo calculamos la desviaci´n estandar, de cada uno de ellos. o ∆d = 0,04 ∆D = 25,18 DENSIDAD DEL HIERRO: V M asa olumen DENSIDAD DE LA MADERA: V M asa olumen ∆A = 28,03 6
  7. 7. VII. CUESTIONARIO: ¿Qu´ son cifras significativas?: e Las cifras significativas (o ’d´ ıgitos significativos’) representan el uso de una o m´s escala a de incertidumbre en determinadas aproximaciones. Se dice que 2,7 tiene 2 cifras significativas, mientras que 2,70 tiene 3. Para distinguir los ceros que son significativos de los que no son, estos ultimos suelen indicarse como potencias de 10. Tambi´n cuando no se e ´ pueden poner m´s de tres cifras simplemente se le agrega un numero a el otro si es 5 o a mayor que 5 y si es menor simplemente se deja igual. Ejemplo 5,36789 solo se pueden mostrar tres cifras as´ que se le suma un numero a el 6 por que el 7 es mayor que 5 as´ que ı ı queda 5,37 y si el numero es menor que cinco as´ 5,36489 y se cortan queda 5,36 por que ı el 4 es menor que 5. ¿Que tipos de errores ha podido observar en los experimentos realizados?: 1. Los errores frecuentes que se cometen viene a ser la falta de concentracion del alumno a la hora de realizar los trabajos. 2. En el laboratorio los errores se notan claramente al volver a medir una y otra vez. Dadas las medidas directar X = (5,12 +− 0,30)mm, Y = (17,04 +− 0,10)mm, y una magnitud fisica G = x3 .y 2 . Determinar el error absoluto, porcentual y exprese el resultado de G. Soluci´n: o x = 5,12mm ¯ y = 17,04mm ¯ ∆x = 0,30mm ∆y = 0,10mm G = G(x, y) 3 2 3 2 .y .y ∆G = x δx .∆x + x δy .∆y 2 2 ∆G = (3x .y ).∆x + (2.x3 .y).∆y ∆G 3 2 G = x .∆x + y .∆y ∆G = (0,17 + 0,01)38969,43 ∆G = 7014,49mm2 Por lo tanto : a. Error Absoluto(∆X) = (38969,43 + 7014,49)mm3 b. Error relativo(er ) = 0,17 c. Error porcentual(e %) = 17,1 % VIII. CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS: *1. En conclusi´n recolectar los datos implica seleccionar un instrumento de mayor o precisi´n para no llegar a obtener errores grandes en la magnitudes de las medidas de o alg´ n objeto. u *2. No hay medici´n perfecta, pero el error de medici´n debe reducirse a l´ o o ımites tolerables. *3. La precisi´n del vernier fue mayor a la regla m´trica por la cantidad de cifras o e significativas que difiere en ellos. IX. BIBLIOGRAFIA: 1.- F´ ısica general y experimental: j. Goldemberg. Vol. I 2.- F´ ısica experimental: skires f´ ısica I 3.- las paginas webs. - www.Medici´n - Wikipedia, la enciclopedia libre. o - www.Medicion directa e indirecta instrumentos y m´todos. e - www.Precisi´n y exactitud - Wikipedia, la enciclopedia libre o 7

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