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Progressões geométricas

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  • 1. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessãode números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior poruma quantidade fixa q, chamada razão. Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente,dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q =2. Cálculos do termo geral Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, apartir do primeiro, da seguinte maneira: a1 a2 a3 ... a20 ... an ... 2 19 n-1 a1 a1xq a1xq ... a1xq a1xq ... Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamadoenésimo termo, para qualquer progressão geométrica. an = a1 x qn-1 Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então: an = 2 x (1/2)n-1 Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula,obtemos: a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8 A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentementegrande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de suadefinição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesmaquantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pelamultiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí. Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r >0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente.Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seucomportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressãocresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim,quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.
  • 2. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com Soma dos n primeiros termos de uma PG Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn,vamos considerar o que segue:Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + anMultiplicando ambos os membros pela razão q vem:Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .qConforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . qObserve que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:Sn . q = Sn - a 1 + a n . qDaí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula dasoma, ou seja:Exemplo:Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)Temos:Observe que neste caso a1 = 1.5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitadaConsidere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições,podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior,encontraremos:Exemplo:Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo nafórmula, vem:
  • 3. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.comDessa equação encontramos como resposta x = 50.