A função exponencial & trigonometria e aplicações
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    A função exponencial & trigonometria e aplicações A função exponencial & trigonometria e aplicações Document Transcript

    • A função exponencialA função exponencial natural é a função exp:R R+, definida como a inversa dafunção logarítmo natural, isto é:Ln[exp(x)]=x, exp[Ln(x)]=xO gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmonatural em relação à identidade dada pela reta y=x.Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos,então a imagem da função exp é o conjunto dos números reais positivos e como aimagem de Ln é o conjunto R de todos os números reais, então o domínio de exptambém é o conjunto R de todos os números reais.Observação: Através do gráfico de f(x)=exp(x), observamos que:1. exp(x)>0 se x é real)2. 0<exp(x)<1 se x<03. exp(x)=1 se x=04. exp(x)>1 se x>0No Ensino Médio, a função exponencial é definida a partir da função logarítmica eciclicamente define-se a função logarítmica em função da exponencial como:f(x)=exp(x), se e somente se, x=Ln(y)Para uma definição mais cuidadosa, veja Logaritmos.Exemplos: 1. Ln[exp(5)]=5 2. exp[ln(5)]=5 3. Ln[exp(x+1)1/2]=(x+1)1/2 4. exp[Ln((x+1)1/2]=(x+1)1/2 5. exp[3.Ln(x)]=exp(Ln(x³)]=x³ 6. exp[k.Ln(x)]=exp[Ln(xk)]=xk 7. exp[(7(Ln(3)-Ln(4)]=exp[7(Ln(3/4))]=exp[(Ln(3/4)]7)=(3/4)7A Constante e de EulerExiste uma importantíssima constante matemática definida por
    • e = exp(1)O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da funçãoexponencial, temos que:Ln(e)=1Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler(1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:e=2,718281828459045235360287471352662497757Conexão entre o número e e a função exponencialSe x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência debase e com expoente x, isto é:ex = exp(x)Significado geométrico de eTomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiroquadrante localizada sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então ovalor de v será igual a e.Propriedades básicas da função exponencialSe x e y são números reais e k é um número racional, então: 1. y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y). 2. exp[Ln(y)]=y para todo y>0. 3. Ln[exp(x)]=x para todo x real. 4. exp(x+y)=exp(x) exp(y) 5. exp(x-y)=exp(x)/exp(y) 6. exp(x.k)=[exp(x)]kSimplificações matemáticasPodemos simplificar algumas expressões matemáticas com as propriedades das funçõesexponenciais e logaritmos:
    • 1. exp[Ln(3)]=3. 2. Ln[exp(20x)]=20x. 3. exp[5.Ln(2)]=exp[Ln(25)]=25=32. 4. exp[2+5.ln(2)]=exp(2)exp(5.Ln(2))=32e².Outras funções exponenciaisPodemos definir outras funções exponenciais como g(x)=ax, onde a é um número realpositivo diferente de 1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o expoente é umnúmero racional r.Tomando x=ar na equação x=exp[Ln(x)], obtemos:ar=exp[Ln(ar)]Como Ln[ar]=r.Ln(a), a relação acima fica na forma:ar = exp[r.Ln(a)]Esta última expressão, juntamente com a informação que todo número real pode serescrito como limite de uma sequência de números racionais, justifica a definição parag(x)=ax, onde x é um número real:ax=exp[x.Ln(a)]Leis dos expoentesSe x e y são números reais, a e b são números reais positivos, então: 1. axay=ax+y 2. ax/ay=ax-y 3. (ax) y=ax.y 4. (a b)x=axbx 5. (a/b)x=ax/bx 6. a-x=1/axRelação de EulerSe i é a unidade imaginária e x é um número real, então vale a relação:eix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)Algumas AplicaçõesFunções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciênciasenvolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia,Biologia, Psicologia e outras. Vamos apresentar alguns exemplos com aplicações destasfunções.Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi encontrado morto em uma sala comtemperatura ambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo às 21:00 h econstatou que a mesma era de 32 graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e
    • tomou novamente a temperatura do corpo e constatou que a mesma estava a 30 grausCelsius. Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo, sabendo-se que atemperatura média de um corpo humano normal é de 37 graus Celsius?Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função exponencial decrescenteque passa pelos pontos (21,32) e (22,30) onde abscissas representam o tempo e asordenadas a temperatura do corpo.A curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da forma:f(t) = C eA tentão obtemos que:A = Ln(30)-Ln(32)C = 32/ (30/32)21A função exponencial que rege este fenômeno de resfriamento deste corpo é dada por:f(t) = 124,09468 e-0,0645385te quando f(t) = 37 temos que:t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutosque pode ser observado através do gráfico.Observação: Neste exemplo, usamos a construção de um gráfico e as propriedadesoperatórias das funções exponenciais e logarítmicas.Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por psicólogos e educadores na descriçãodo processo de aprendizagem, as curvas exponenciais realizam um papel importante.A curva básica para este tipo de estudo é da forma:f(x) = c - a e-k.xonde c, a e k são constantes positivas. Considerando o caso especial em que c=a temosuma das equações básicas para descrever a relação entre a consolidação daaprendizagem y=f(x) e o número de reforços x.
    • A função:f(x) = c - a e-k.xcresce rapidamente no começo, nivela-se e então aproxima-se de sua assíntota y=c.Estas curvas também são estudadas em Economia, na representação de várias funçõesde custo e produção.Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on thePrinciple of Population" formulou um modelo para descrever a população presente emum ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certapopulação no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naqueleambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecidaentre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presenteem um instante t:N(t)=No ertonde No é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia coma espécie de população.O gráfico correto desta função depende dos valores de No e de r. Mas sendo uma funçãoexponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função y=Kex.Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre apopulação.Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento decada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.Consideremos por exemplo uma população de bactérias em um certo ambiente. Deacordo com esta equação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de doisdias, estaria formando uma camada em volta da terra de 30 cm de espessura. Assim,enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a população obedece ao modeloN=Noert. Na realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente oferece resistência ao seucrescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, aquantidade disponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,...Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindonormalmente. Se num certo instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horashavia 600 bactérias. Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas da últimacontagem?No instante inicial havia 200 bactérias, então No=200, após 12 horas havia 600bactérias, entãoN(12)=600=200 er12
    • logoe12r=600/200=3assimln(e12r)=ln(3)Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que 12r=ln(3), assim:r=ln(3)/12=0,0915510Finalmente:N(48) = 200 e48.(0,0915510) = 16200 bactériasEntão, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48 horas do início da contagem,haverá 16200 bactérias.Desintegração radioativa: Os fundamentos do estudo da radioatividade ocorrerram noinício do século por Rutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, detal modo que após algum tempo, sem qualquer influência externa sofrem transições paraum átomo de um novo elemento químico e durante esta transição eles emitem radiações.Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai.Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No onúmero de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante dedecaimento, então:N(t) = No e-k.testa constante de decaimento k, tem valores diferentes para substâncias diferentes,constantes que são obtidas experimentalmente.Na prática usamos uma outra constante T, denominada meia-vida do elemento químico,que é o tempo necessário para que a quantidade de átomos da substância decaia pelametade.Se N=No/2 para t=T, temosNo/2 = No e-k.TassimT=Ln(2)/kNa tabela, apresentamos indicadores de meia-vida de alguns elementos químicos: Substância Meia-vida T Xenônio 133 5 dias Bário 140 13 dias Chumbo 210 22 anos Estrôncio 90 25 anos Carbono 14 5.568 anos Plutônio 23.103 anos Urânio 238 4.500.000.000 anosPara o Carbono 14, a constante de decaimento é:
    • k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por anoTrigonometria e aplicaçõesIntroduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triânguloretângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomosde uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio.A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já seusava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas pormétodos comuns.Algumas aplicações da trigonometria são:  Determinação da altura de um certo prédio.  Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.  Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.  Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.  Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.Triângulo RetânguloÉ um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventagraus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internosde um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominadoscomplementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ânguloscomplementares.Para ver mais detalhes sobre triângulos clique aqui.
    • Lados de um triângulo retânguloOs lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados deacordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é ahipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos. Termo Origem da palavra Cathetós: Cateto (perpendicular) Hypoteinusa: Hipotenusa Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações: Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida a Hipotenusa A = Ângulo reto A=90° b Cateto B = Ângulo agudo B<90° c Cateto C = Ângulo agudo C<90°Para ver mais detalhes sobre ângulos clique aqui.Nomenclatura dos catetosOs catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulosob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado porc, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é ocateto adjacente ao ângulo C. Ângulo Lado oposto Lado adjacente C c cateto oposto b cateto adjacente B b cateto oposto c cateto adjacenteUm dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos nonosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricasno triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.Propriedades do triângulo retângulo 1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
    • 2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos. 3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.A hipotenusa como base de um triângulo retânguloTomando informações da mesma figura acima, obtemos: 1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a. 2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a. 3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.Projeções de segmentosIntroduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início destetrabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é aprojeção oblíqua do prédio sobre o solo.Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter asprojeções destes segmentos sobre a reta.Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas porAB, sendo que no último caso A=B é um ponto.Projeções no triângulo retângulo
    • Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo. 1. m = projeção de c sobre a hipotenusa. 2. n = projeção de b sobre a hipotenusa. 3. a = m+n. 4. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média geométrica.Relações Métricas no triângulo retânguloPara extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retânguloABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo Aserá decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes. Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor ABC a b c ADC b n h ADB c h mAssim:a/b = b/n = c/ha/c = b/h = c/mb/c = n/h = h/mlogo:a/c = c/m equivale a c² = a.ma/b = b/n equivale a b² = a.na/c = b/h equivale a a.h = b.ch/m = n/h equivale a h² = m.n
    • Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c²com b², obtemos:c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²que resulta no Teorema de Pitágoras:a² = b² + c²A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.Funções trigonométricas básicasAs Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados dotriângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes datrigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x. Função Notação Definição medida do cateto oposto a x seno sen(x) medida da hipotenusa medida do cateto adjacente a x cosseno cos(x) medida da hipotenusa medida do cateto oposto a x tangente tan(x) medida do cateto adjacente a xTomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então oseno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seucateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno ecosseno desse ângulo.
    • sen(x)= CO H = CO 1cos(x)= CA H = CA 1tan(x)= CO CA = sen(x) cos(x)Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importanterelação:cos²(x) + sen²(x) = 1