ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

23,040 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
23,040
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
20,054
Actions
Shares
0
Downloads
76
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

  1. 1. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 3 ώρεςΘΕΜΑ 1 οΑ.Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα[α, β]. Αν• η f είναι συνεχής στο [α, β] και• f(α) ≠ f(β)δείξτε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον x0 ∈ (α, β)τέτοιος, ώστε f( x0 ) = η . Μονάδες 9Β.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιόσας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθεπρόταση.i) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f(α) < 0 και υπάρχει ξ ∈ (α, β) ώστε f(ξ) = 0, τότε κατ’ανάγκη f(β) > 0. Μονάδες 2ii) Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f −1 και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σημείοΑ με την ευθεία y = x, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της f −1 .Μονάδες 2  1 iii)Αν xlim ( f(x)) = 0 και f(x) > 0 κοντά στο x0 , τότε lim  → x0 ÷ = +∞ Μονάδες 2 x → x0  f(x)  lim f(x) = f(x 0 )iv) Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] όταν x → x για κάθε x0 ∈ (α, β) 0 Μονάδες 2v) Δίνεται η συνάρτηση f:R→R η οποία είναι συνεχής και 1-1 . Αν f(x)>x τότε f −1(x) < xΜονάδες 2vi) Αν η συνάρτηση f:R→R η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R τότε η f −1έχει πεδίο ορισμού διάστημα . Μονάδες 2Γ. Στις παρακάτω προτάσεις δίνονται περισσότερες από μία απαντήσεις .Να επιλέξετε τησωστή.i). Αν η f έχει πεδίο ορισμού το Α=[0,3] τότε η f(x-2) έχει πεδίο ορισμού το α) Β=[2,5] β) Β=[-1,6] γ) Β=[2,3] δ)Β=[2,4] Μονάδες 2ii). Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:R→R και (fοg)(x)=x+2 , g(x)=x-1 . Τότε η f είναι : α) f(x)=x+2 β) f(x)=2x-3 γ) f(x)= x+3 Μονάδες 2ΘΕΜΑ 2
  2. 2. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 2Αν η συνάρτηση f έχει τύπο f(x) = ln(x − 3) + x − 2 τότε :α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της f . Μονάδες 5β) Να λύσετε την εξίσωση : f(x)=x Μονάδες 4γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f −1 . Μονάδες 4δ) Δίνεται η συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το (0, +∞) και σύνολο τιμών το ( 3, +∞ ) τέτοιαώστε η fog να είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +∞) .i) Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +∞) . Μονάδες 6 g(8) − 3 >e ( ) g ex − 1 − g(8)ii) Να λύσετε στο (0, +∞) την ανίσωση ( ) g ex −1 − 3 Μονάδες 6ΘΕΜΑ 3 .  ημ(3αx)  , x<0  x  = 2Δίνεται η συνάρτηση f(x)α  2 + , x 0= .   3  1   x .ημ 2 ÷ − β , x> 0    x i) Να βρεθούν οι τιμές των α,β ∈ R ώστε η f να είναι συνεχής στο x0 = 0 . Μονάδες 6ii) Να βρείτε το όριο : lim f(x) . x → +∞ Μονάδες 6 g ( x)iii) Δίνεται η συνάρτηση g : R → R , αν α=1 και lim = 1 τότε x→0 x g(x) + xα) Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ R για τις οποίες ισχύει : lim = lim f(x) Μονάδες 5 − x → 0 g(x)λx x →0β) Αν η γραφική παράσταση της g δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον άξονα χ΄χ , νααποδείξετε ότι η g δεν είναι συνεχής . Μονάδες 4γ) Αν για τη συνάρτηση h:R → R γνωρίζουμε ότι είναι συνεχής στο R , h(x) ≠ 0 για κάθε g(x)x ∈ R και h(x) > για κάθε x ≠ 0 , να βρείτε το πρόσημο της h . Μονάδες 4 xΘΕΜΑ 4.Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R .
  3. 3. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 3Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετε ότι :Ι) Η ευθεία ψ=-2x+3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο μετετμημένη x0 ∈ (0,1). Μονάδες 4 1 2 f  ÷ + 2f  ÷ΙΙ) Υπάρχει μοναδικό x0 ∈ (0,1) τέτοιο ώστε 2 5 Μονάδες 4 f(x0 ) =   3III) Να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(2x)=f(3x)+f(4x) , x ∈ [0,1] Μονάδες 5ΙV)Δίνεται ότι όταν x ∈ [x1 , x 2 ] τότε η f έχει σύνολο τιμών το [α+2,α+4] .Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του α ∈ R ώστε η f(x)=0 να έχει μια ακριβώς ρίζα 1x0 στο [x1 , x 2 ] και να βρεθεί το όριο lim+ x → x0 f(x) . Μονάδες 6 1 1v) Δίνεται η συνάρτηση g: ( 0,1 → R με g(x)=  − + 2 να βρείτε τα όρια f(x) x 1 1 g ÷ g ÷ lim g(x) e x + 2 xα) x → 0+ β) lim Μονάδες 6 x → +∞ 1 g ÷ e x +1 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
  4. 4. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 3Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετε ότι :Ι) Η ευθεία ψ=-2x+3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο μετετμημένη x0 ∈ (0,1). Μονάδες 4 1 2 f  ÷ + 2f  ÷ΙΙ) Υπάρχει μοναδικό x0 ∈ (0,1) τέτοιο ώστε 2 5 Μονάδες 4 f(x0 ) =   3III) Να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(2x)=f(3x)+f(4x) , x ∈ [0,1] Μονάδες 5ΙV)Δίνεται ότι όταν x ∈ [x1 , x 2 ] τότε η f έχει σύνολο τιμών το [α+2,α+4] .Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του α ∈ R ώστε η f(x)=0 να έχει μια ακριβώς ρίζα 1x0 στο [x1 , x 2 ] και να βρεθεί το όριο lim+ x → x0 f(x) . Μονάδες 6 1 1v) Δίνεται η συνάρτηση g: ( 0,1 → R με g(x)=  − + 2 να βρείτε τα όρια f(x) x 1 1 g ÷ g ÷ lim g(x) e x + 2 xα) x → 0+ β) lim Μονάδες 6 x → +∞ 1 g ÷ e x +1 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
  5. 5. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 3Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετε ότι :Ι) Η ευθεία ψ=-2x+3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο μετετμημένη x0 ∈ (0,1). Μονάδες 4 1 2 f  ÷ + 2f  ÷ΙΙ) Υπάρχει μοναδικό x0 ∈ (0,1) τέτοιο ώστε 2 5 Μονάδες 4 f(x0 ) =   3III) Να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(2x)=f(3x)+f(4x) , x ∈ [0,1] Μονάδες 5ΙV)Δίνεται ότι όταν x ∈ [x1 , x 2 ] τότε η f έχει σύνολο τιμών το [α+2,α+4] .Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του α ∈ R ώστε η f(x)=0 να έχει μια ακριβώς ρίζα 1x0 στο [x1 , x 2 ] και να βρεθεί το όριο lim+ x → x0 f(x) . Μονάδες 6 1 1v) Δίνεται η συνάρτηση g: ( 0,1 → R με g(x)=  − + 2 να βρείτε τα όρια f(x) x 1 1 g ÷ g ÷ lim g(x) e x + 2 xα) x → 0+ β) lim Μονάδες 6 x → +∞ 1 g ÷ e x +1 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
  6. 6. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 3Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετε ότι :Ι) Η ευθεία ψ=-2x+3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο μετετμημένη x0 ∈ (0,1). Μονάδες 4 1 2 f  ÷ + 2f  ÷ΙΙ) Υπάρχει μοναδικό x0 ∈ (0,1) τέτοιο ώστε 2 5 Μονάδες 4 f(x0 ) =   3III) Να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(2x)=f(3x)+f(4x) , x ∈ [0,1] Μονάδες 5ΙV)Δίνεται ότι όταν x ∈ [x1 , x 2 ] τότε η f έχει σύνολο τιμών το [α+2,α+4] .Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του α ∈ R ώστε η f(x)=0 να έχει μια ακριβώς ρίζα 1x0 στο [x1 , x 2 ] και να βρεθεί το όριο lim+ x → x0 f(x) . Μονάδες 6 1 1v) Δίνεται η συνάρτηση g: ( 0,1 → R με g(x)=  − + 2 να βρείτε τα όρια f(x) x 1 1 g ÷ g ÷ lim g(x) e x + 2 xα) x → 0+ β) lim Μονάδες 6 x → +∞ 1 g ÷ e x +1 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

×