Reconocimiento unidad 2

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Reconocimiento unidad 2

  1. 1. Sección doradaLa búsqueda de la sección dorada es una técnica simple, es la búsqueda de una sola variable depropósito general. Es similar que la utilizada en el método de bisección para localizar raíces.Recordando el método de bisección para encontrar las raíces se hace necesario ubicar un intervalodefinido donde se encuentre dicha raíz, y se especifica un valor inicial inferior x1 u un valor inicialsuperior x2. La presencia de una raíz entre estas fronteras se determina hallando f(x1) y f(x2) quedeben tener signos diferentes; y la raíz se localiza como el punto medio de este intervaloEl paso siguiente es establecer un intervalo más pequeño para hallar la aproximación de la raíz.Podemos ahora desarrollar un proceso similar para localizar la raíz óptima de una funciónunidimensional. Igualmente que el método de Bisección, se inicia definiendo un intervalo quecontenga una sola respuesta, es decir un intervalo que contenga un máximo, y por esto es llamadounimodal. Adoptando la misma nomenclatura del método de bisección. Pero en vez de buscar losdos valores función para detectar un cambio de signo, y por tanto el cero, se necesitaran tresvalores función para detectar si ocurre un máximo. Así, se ha de escoger un punto adicional dentrodel intervalo. Después se toma un cuarto punto.Si Rango de A = Rango de B el sistema es:Consistente y tenemos dos posibilidades: Si Rango de A = n el sistema tiene solución única y SiRango de A < n el sistema tendrá infinitas solucionesSi el vector b es cero se dice que el sistema es:HomogéneoEL GRADIENTE.Suponga que se tiene una función en dos dimensiones f(x, y). Un ejemplo podría ser su alturasobre una montaña (a, b) y quiere saber la pendiente en una dirección arbitraria. Una forma dedefinir la dirección es a lo largo de un nuevo eje h que forma un ángulo θ con el eje x. La elevacióna lo largo de este nuevo eje puede pensarse como una nueva función g. Si usted define su posicióncomo si estuviera en el origen de este eje (es decir, h=0), la pendiente en esta dirección podríadesignarse como g’(x). Esta pendiente, que es llamada derivada direccional, se puede calcular apartir de las derivadas parciales a los largo de los ejes x e y porDonde las derivadas son evaluadas con x=a y y=b.
  2. 2. Suponiendo que su meta es obtener la mayor elevación con el segundo paso, ahora la preguntalógica podría ser: ¿En qué dirección está el paso de ascenso? La respuesta es clara, porquematemáticamente se hace referencia a él como el gradiente, el cual se define comoEste vector también es referido como “del f”. El cual representa la derivada direccional de f(x,y) enel punto x=a y y=b.EJEMPLOUtilización del gradiente para evaluar la trayectoria de paso ascendenteEnunciado del problema: Emplee el gradiente para evaluar la dirección del paso ascendente parala funciónf(x, y)= xy2En el punto (2,2). Se considera que la x positiva está dirigida hacia el este y la y positiva apunta alnorte.Solución. Primero, la evaluación se puede determinar comof(4,2) = 2(2)2 = 8Ahora, las derivadas parciales pueden ser evaluadas,Las cuales se pueden usar para determinar el gradiente como∆f = 4i + 8jEl método de Gauss normal, presenta dos problemas, el primero proviene de encontrar enalguna de las sucesivas etapas, algún coeficiente diagonal igual a cero y el segundo es: debido alos errores de redondeo que se pueden producir en este métodoDebido a los errores de redondeo que se pueden producir en este métodoTeniendo en cuenta la lección anterior, entonces ¿Cuál de los siguientes métodos se consideracomo un método iterativo?:Método de Gauss-Seidel
  3. 3. INTERPOLACIÓNEn el capítulo 2 de la unidad 2 estudiaremos la aproximación de funciones disponibles en formadirecta (puntos tabulados), con funciones analíticas sencillas, o bien de aproximación de funcionescuya complicada naturaleza exija un remplazo por funciones más simples.La enorme ventaja de aproximar información discreta o funciones complejas, con funcionesanalíticas sencillas, radica en su mayor facilidad de evaluación y manipulación, situación necesariaen el campo de la ingeniería.Las funciones de aproximación se obtienen por combinaciones lineales de elementos de familiasde funciones denominadas elementales. En general tendrán la forma:a0g0(x) + a1g1(x) +…+angn(x),Donde ai, con i ? i ? n, son constantes por determinar gi(x) funciones de una familia particular. Losmonomios en x (x0, x1, x2,…) constituyen la familia o grupo más empleado; sus combinacionesgeneran aproximaciones del tipo polinomiala0 + a1x + a2x2 +…+ anxnAdemás del polinomial existen otros grupos como el exponencial y el grupo de las funciones deFourier. Y son lo más comunes por su facilidad de manejo en evaluaciones, integraciones,derivaciones, etc.Una de las técnicas que nos permite aproximar a un polinomio una serie de puntos, es el conocidocomo método de mínimos cuadrados, que en métodos numéricos esta detallado como ajuste decurvas, por su ajuste exacto. Y su modo de ajuste consiste en encontrar una función polinomialque pase por los puntos dados y que satisfaga la condición de minimizar la suma de susdesviaciones elevadas al cuadrado.Una vez obtenido el polinomio de aproximación, este se puede usar para obtener otros puntosadicionales a los existentes, mediante una evaluación conocida como interpolación.Los puntos más relevantes de este capítulo, las cuales estudiaremos y estará sentado en la lecciónevaluativa son la Interpolación como concepto, Los polinomios de Lagrange, las diferenciasdivididas, la aproximación polinomial de Newton, el método de mínimos cuadrados (como ajustede Curvas) y algunos conceptos de la transformada de Fourier.Polinomios de interpolación de LagrangeUn polinomio de interpolación de Lagrange, p se define en la forma:
  4. 4. en donde l0,l1,…, ln son polinomios que dependen sólo de los nodos tabulados x0, x1,…,xn, pero node las ordenadas y0, y1,…,yn. La fórmula general del polinomio li(x)es:Para el conjunto de nodos x0, x1,…,xn, estos polinomios son conocidos como funciones cardinales.Utilizando estos polinomios en la ecuación obtenemos la forma exacta del polinomio deinterpolación de LaGrange.Ejemplo: Suponga la siguiente tabla de datos:x 5 -7 6 0y 1 -23 -54 -954Construya las funciones cardinales para el conjunto de nodos dado y el polinomio de interpolaciónde LaGrange correspondiente.Las funciones cardinales, empleando la expresión, resultan ser:El polinomio de interpolación de LaGrange es:p3(x) = l0(x)-23l1(x)-54l2(x)-954l3(x)De acuerdo al ejemplo realizado en la lectura anterior, se encontró que el coeficiente delpolinomio de LaGrange l3(x) es:-954Una de las técnicas que nos permite aproximar a un polinomio una serie de puntos, es elconocido como método de mínimos cuadrados, que en métodos numéricos esta detallado como:Ajuste de curvasInterpolación por diferencias divididas de NewtonEl caso más sencillo se presenta cuando queremos interpolar dos puntos, (x0, y0), (x1, y1),obteniéndose la muy conocida función lineal que une dos puntos:
  5. 5. Si los puntos pertenecen a la gráfica de una función f(x), la pendiente , que tiene unaforma de diferencias divididas, representa una aproximación muy global de la primera derivada def(x), con x variando en el intervalo [x0, x1].En el caso de tres puntos (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), en principio se busca el polinomio deinterpolación de grado dos de la forma P(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1)Al evaluar el polinomio en cada uno de los tres puntos y despejando b1, b2, y b3, se obtiene:Una forma sencilla de hacer los cálculos anteriores es determinando sucesivamente las entradasde un arreglo triangular:Donde f[xi] = yi para i = 0, 1, 2. En la diagonal de este arreglo triangular aparecen los valores b0, b1y b2.A manera de ejemplo con una cantidad mayor de puntos, determinemos por el método dediferencias divididas de Newton el polinomio interpolante que pasa por los puntos (1, 4), (3, 1),(4.5, 5) y (7,3). El arreglo triangular en este caso toma la forma específica:Se concluye entonces que
  6. 6. Teniendo en cuenta el ejemplo para visualizar el método de Interpolación de DiferenciasDivididas de Newton, se halló que los coeficientes de x y x3 son:-13,4619 y -0,3429En el caso de tres puntos (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), en principio se busca el polinomio deinterpolación de:Grado dosAjuste de curvasEl ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y queposiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Esta sección es una introduccióntanto a la interpolación (cuando se espera un ajuste exacto a determinadas restricciones) y alajuste de curvas/análisis de regresión (cuando se permite una aproximación).Ajuste de líneas y curvas polinómicas a puntosEmpecemos con una ecuación polinómica de primer grado: y= ax + bEsta línea tiene pendientea. Sabemos que habrá una línea conectando dos puntos cualesquiera.Por tanto, una ecuación polinómica de primer grado es un ajuste perfecto entre dos puntos.Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de segundo grado, obtenemos: y = ax2 + bx + cEsto se ajustará exactamente a tres puntos. Si aumentamos el orden de la ecuación a la de unpolinomio de tercer grado, obtenemos: y = ax3 + bx2 + cx + dQue se ajustará a cuatro puntos.Una forma más general de decirlo es que se ajustará exactamente a cuatro restricciones. Cadarestricción puede ser un punto, un ángulo o una curvatura (que es el recíproco del radio, o (1/R).Las restricciones de ángulo y curvatura se suelen añadir a los extremos de una curva, y en talescasos se les llama condiciones finales. A menudo se usan condiciones finales idénticas paraasegurar una transición suave entre curvas polinómicas contenidas en una única spline. Tambiénse pueden añadir restricciones de orden alto, como "el cambio en la tasa de curvatura". Esto, porejemplo, sería útil en diseños de intercambios en trébol para incorporaciones a autopistas, paraentender las fuerzas a las que somete a un vehículo y poder establecer límites razonables develocidad.
  7. 7. Si tenemos más de n + 1 restricciones (siendo n el grado del polinomio), aún podemos hacer pasarla curva polinómica por ellas. No es seguro que vaya a existir un ajuste exacto a todas ellas (peropodría suceder, por ejemplo, en el caso de un polinomio de primer grado que se ajusta a trespuntos colineales). En general, sin embargo, se necesita algún método para evaluar cadaaproximación. El método de mínimos cuadrados es una manera de comparar las desviaciones.Ahora bien, podríamos preguntarnos la razón de querer un ajuste aproximado cuando podríamossimplemente aumentar el grado de la ecuación polinómica para obtener un ajuste exacto. Existenvarias:  Incluso si existe un ajuste exacto, no quiere decir necesariamente que podamos encontrarlo. Dependiendo del algoritmo que se use, podríamos encontrar un caso divergente, donde no se podría calcular el ajuste exacto, o el coste computacional de encontrar la solución podría ser muy alto. De cualquier modo, tendríamos que acabar aceptando una solución aproximada.  Quizá prefiramos el efecto de promediar datos cuestionables en una muestra, en lugar de distorsionar la curva para que se ajuste a ellos de forma exacta.  Los polinomios de orden superior pueden oscilar mucho. Si hacemos pasar una curva por los puntos A y B, esperaríamos que la curva pase también cerca del punto medio entre A y B. Esto puede no suceder con curvas polinómicas de grados altos, ya que pueden tener valores de magnitud positiva o negativa muy grande. Con polinomios de grado bajo existen más posibilidades de que la curva pase cerca del punto medio (y queda garantizado que pasará exactamente por ahí, en los de primer grado).  Los polinomios de orden bajo tienden a ser suaves y las curvas de los polinomios de orden alto tienden a ser "bulbosas". Para definir esto con más precisión, el número máximo de puntos de inflexión de una curva polinómica es n-2, donde n es el orden de la ecuación polinómica. Un punto de inflexión es el lugar de una curva donde cambia de radio positivo a negativo. Obsérvese que la "bulbosidad" de los polinomios de orden alto es sólo una posibilidad, ya que también pueden ser suaves, pero no existen garantías, al contrario que sucede con los polinomios de orden bajo. Un polinomio de grado quince podría tener, como máximo, trece puntos de inflexión, pero podría tener también doce, once, o cualquier número hasta cero.Ahora que hemos hablado del uso de grados demasiado bajos para conseguir un ajuste exacto,comentemos qué sucede si el grado de una curva polinómica es mayor del necesario para dichoajuste. Esto es malo por las razones comentadas anteriormente si los polinomios son de ordenalto, pero también nos lleva a un caso en que exista un número infinito de soluciones. Porejemplo, un polinomio de primer grado (una línea) restringido por un único punto, en lugar de losdos habituales, nos dará un número infinito de soluciones. Esto nos trae el problema de cómocomparar y escoger una solución única, lo que puede ser un problema tanto para humanos comopara el software. Por esta razón es mejor escoger el polinomio de menor grado posible paraobtener un ajuste exacto en todas las restricciones, y quizá incluso un grado menor si es aceptableuna aproximación al ajuste.
  8. 8. Teniendo en cuenta la lectura entonces: "Un polinomio de grado quince podría tener, comomáximo":Trece puntos de inflexiónEl polinomio y = ax3 + bx2 + cx + d de tercer grado se ajusta a:Cuatro puntos

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