Leccion evaluativa 2
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Leccion evaluativa 2 Leccion evaluativa 2 Document Transcript

  • Método de Mínimos cuadradosSuponga que se tiene el siguiente diagramaY le solicitan que ajuste una recta que la mayor parte de los datos. Para ello se desarrolla unaecuación de estimación llamada de Mínimos Cuadrados.El procedimiento del método de Mínimos Cuadrados es determinar la recta Ŷ= a + bX, dondeŶ= es la variable dependiente, o variable a predecira= Intercepto con la variable Yb= Es la pendiente de la recta.X= Variable independiente, información conocida parapredecir YEl objetivo del método es determinar los valores de a y b dela ecuación Ŷ= a + bX, para ello setiene las siguientes ecuaciones: yEjemplo:Suponga que un analista de una empresa Z le solicitan encontrar la recta de estimación deingresos y gastos, de modo que tiene los siguientes datos:Ingresos Y 20 25 34 30 40 31Gastos X 2 3 5 4 11 5 Ingresos Y 20 25 34 30 40 31 Gastos X 2 3 5 4 11 5En millones de pesos.Entonces él debe realizar las siguientes operaciones para determinar la recta de estimación quemás se ajuste:n=6
  • ∑X= 2+3+5+4+11+5= 30∑Y= 20+25+34+30+40+31= 180∑XY= (2+20)+ (3*25)+ (5*34)+ (4*30)+ (11*40)+ (5*31)= 1000∑X2= 22 +32 +52 +42 +112 +52 = 200(∑X)2 = (30)2 = 900Remplazamos en las fórmulas a y b y se obtiene los siguientes resultados:b= [(6) (1000) - (30) (180)]/ [(6) (200)- 900]= 600/300 = 2Esta estimación quiere decir que por cada millón gastado la empresa recibe 2 miles de ingresos ya= [180 - (2) (30)]/6 = 120/6 = 20Que significa que los ingresos mínimos son de 20 millones. La ecuación es entonces: Ŷ= 20 + 2XA partir de esta ecuación estimada se puede predecir los ingresos si los gastos son 7 millones, esdecir si X=7 luego: Ŷ= 20 + 2(7) = 34 millonesLa solución de siguiente sistema utilizando la eliminación de Gauss es:1) x1= 42) x2= 43) x1= 34) x2= 31y4Para las siguientes matrices el producto AB es igual:(15,12)Interpolación CuadráticaSi se dispone de tres puntos la búsqueda de una función se puede llevar a cabo con un polinomiode segundo orden (llamado también polinomio cuadrático o parábola). Una manera convenientepara este caso es:f(x) = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0) (x – x1) (1)Nótese que aunque la ecuación (1) parezca diferente de la ecuación general de un polinomiolineal, las dos ecuaciones son equivalentes.
  • Esto se puede demostrar si se multiplican en forma distributiva los términos de la ecuación (1) yobtenemos:f (x) = b2 x2 + (b1 – b2 x0 – b2 x1) x + (b0 – b1 x0 + b2 x0 x1) (2)Que si se agrupan los términos se tiene:f(x) = a2 x2 + a1 x + a0 (3)En donde:a2 = b2a1 = b1 – b2 x0 – b2 x1 (4)a0 = b0 – b1 x0 + b2 x0 x1De esta manera, las ecuación (1) es una fórmula alternativa que equivale al polinomio de segundogrado que une a los tres puntos.Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Para b0, seusa la ecuación (1) con X = X0, y se obtieneb0 = f(x0) (5)Sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (1) y evaluando en X =X1 se obtiene: (6)Y por último, las ecuaciones (5) y (6) se sustituyen en la ecuación (1), y se evalúa ésta en X = X2 y seobtiene: (7)Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, b1 aún representa la pendiente de lalínea que une los puntos X0 y X1. Por lo tanto, los primeros dos términos de la ecuación (1) sonequivalentes a la interpolación de X0 a X1. El último término, b2(X-X0)(X-X1), introduce la curvaturade segundo orden en la fórmula.Ejemplo:Ajústese el polinomio de segundo orden a los siguientes tres puntosX0 = 1 f (X0) = 0.0000 000
  • X1 = 4 f (X1) = 1.3862 944X2 = 6 f (X2) = 1.7917 595SOLUCIÓN:b0 = 0Luego:Sustituyendo estos valores en la ecuación de interpolación y se obtiene la fórmula cuadrática:f2 (X) = 0 + 0.4620981 (X - 1) - 0.05187312 (X - 1) (X - 4)Si se quiere evaluar en X = 2, se obtienef2 (2) = 0.5658443Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar:Un método directo para obtener la matriz inversaDe las siguientes matrices cuales se pueden invertir:Las matrices A y CTeniendo en cuenta el método de Gauss-Seidel para una matriz dada tenemos la siguienteecuación:Si se asume que x2y x3 son iguales a uno el resultado de x1 es aproximadamente igual a:2,72POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS
  • Dados n+1 datos:- El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguiente manera:f (x) = b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)(x-x1)+…+bn(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)Donde:b0=f(x0)b1=f [x1, x0]b2=f [x2, x1, x0]bn = f [xn,…, x0]Para calcular los coeficientes b0, b1,…, bn, es conveniente construir una tabla de diferenciasdivididas como la siguiente:Obsérvese que los coeficientes del polinomio de interpolación de Newton, se encuentran en laparte superior de la tabla de diferencias divididas.Ejemplo 1. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.Solución.Procedemos como sigue:
  • Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es:f (x) = 4+2(x+2)-0.25(x+2)(x+1)-0.3(x+2)(x+1)(x-2)Ejemplo 2. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:Y usar la información en la tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.Solución. Procedemos como sigue:Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton nos queda:f (x) = 5+3(x+3) – 1.66667(x+3)(x+2) - 020238(x+3)(x+2)(x)Teniendo en cuenta el ejemplo 1 de la página anterior, se observa que se encuentra una funcióno polinomio, de acuerdo a ello, el coeficiente del X3 de la función encontrada es:-0.3El polinomio que se obtiene al usar el método de Diferencias Divididas de Newton con lossiguientes datos:x 2 3 4f(x) -4 -1 6
  • Es:P(x)= -4+3(x-2)+2(x-2) (x-3)INTERPOLACIÓNEn este capítulo estudiaremos el importantísimo tema de la interpolación de datos. Veremos dostipos de interpolación: la interpolación polinomial y la interpolación segmentaria (splines).Comencemos dando la definición general.Definición. Dados n+1 puntos que corresponden a los datos:x x0 x1 … xny y0 y1 … ynY los cuales se representan gráficamente como puntos en el plano cartesiano,Si existe una función f(x) definida en el intervalo [x0, xn] (donde suponemos que x0<x1<…<xn, tal quef(xi)=yi para i = 0,1,2,…n, entonces a f(x) se le llama una función de interpolación de los datos,cuando es usada para aproximar valores dentro del intervalo [x0, xn], y se le llama función deextrapolación de los datos, cuando está definida y es usada para aproximar valores fuera delintervalo.Evidentemente pueden existir varios tipos de funciones que interpolen los mismos datos; porejemplo, funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones polinomiales,combinaciones de éstas, etc.El tipo de interpolación que uno elige, depende generalmente de la naturaleza de los datos que seestán manejando, así como de los valores intermedios que se están esperando.
  • Un tipo muy importante es la interpolación por funciones polinomiales. Puesto queevidentemente pueden existir una infinidad de funciones polinomiales de interpolación para unamisma tabla de datos, se hace una petición extra para que el polinomio de interpolación, seaúnico.Definición. Un polinomio de interpolación es una función polinomial que además de interpolar losdatos, es el de menor grado posible.Caso n=0Tenemos los datos:x x0y y0En este caso, tenemos que f(x)=y0 (polinomio constante) es el polinomio de menor grado tal quef(x0)=y0, por lo tanto, es el polinomio de interpolación.Caso n=1Tenemos los datos:x x0 x1y y0 y1En este caso, el polinomio de interpolación es la función lineal que une a los dos puntos dados. Porlo tanto, tenemos que es el polinomio de interpolación.La siguiente gráfica representa este caso:Observación.Vemos que en el polinomio de interpolación del caso n=1se encuentra como primer término,y0,que es el polinomio de interpolación del caso n=0.Continuemos:Caso n=2Tenemos los datos:
  • x x0 x1 x2y y0 y1 y2Para este caso, el polinomio de interpolación va a ser un polinomio de grado 2. Tomando encuenta la observación anterior, intuimos que el polinomio de interpolación será como sigue: término cuadráticoPor lo tanto, planteamos el polinomio de interpolación como siguef (x)= b0+b1(x- x0)+b2(x- x0)(x – x1)Si asignamos x=x0, se anulan los valores de b1 y b2, quedándonos el resultado:f (x0)= b0Como se debe cumplir que f(x0)= b0, entonces:y0= b0Si asignamos x=x1, el valor de b2 queda anulado, resultando lo siguiente:f (x1)= b0+b1(x1 - x0)Como se debe cumplir que f(x1)= y1 y ya sabemos qué y0= b0, entoncesy1=b0+b1(x1 - x0), de lo cual obtenemos el valor para b1:Si se tiene datos:x x0 x1y y0 y1En este caso, el polinomio de interpolación es:Una función lineal o polinomio linealLa interpolación de un polinomio de grado 2 se debe expresar mediante la expresión:f (x) = b0+b1(x - x0)+b2(x - x0)(x – x1)