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Leccion evaluativa 1 Metodos Numéricos
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Leccion evaluativa 1 Metodos Numéricos

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  • 1. Definiciones BásicasDígitos Significativos:Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de izquierda a derecha;empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan las celdasque guardan la mantisa.Exactitud:Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se suponerepresenta.Precisión:Se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad, a esto se refiere cuandose habla de doble precisión, dependiendo de la máquina que estemos utilizando.Errores Inherentes o Heredados:Son errores en los valores numéricos con que se va a operar, pueden deberse a dos causas:sistemáticos o accidentales.Errores Sistemáticos:Debidos a la imprecisión de los aparatos de medición.Errores Accidentales:Debidos a la apreciación del observador y otras causas.Errores de Truncamiento:Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. Sucede cuando setoman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma sólo un número finito deintervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora pocosofisticada sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dígitoperdido.Error de Redondeo:Se ocasiona debido a las limitaciones propias de la máquina para representar cantidades querequieren un gran número de dígitos.Dependiendo de cómo se redondea puede ser de dos formas.Error de Redondeo Inferior:
  • 2. Se desprecian los dígitos que no pueden conservarse dentro de la localización de memoriacorrespondiente (pensando de una manera estricta, este caso puede considerarse como un errorde truncamiento).Error de Redondeo Superior:Este caso tiene dos alternativas, según el signo del número en particular.a) Para números positivos, el último que puede conservarse en la localización de memoria seincrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es > 5.b) Para números negativos, el último dígito que puede conservarse en la localización de memoriase reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es < 5.Las definiciones:A. “Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de izquierda aderecha; empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño quepermitan las celdas que guardan la mantisa”B. “Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. Sucede cuandose toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma sólo un número finito deintervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora pocosofisticada sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dígitoperdido.”Son definiciones de:1. Error de Redondeo2. Error de Truncamiento3. Dígitos Significativos4. Error relativoLos ítems 2 y 3En la siguiente pregunta encontrará un texto que deberá emparejarla con su respectivarespuesta correcta.Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se suponerepresenta = ExactitudSon errores en los valores numéricos con que se va a operar, pueden deberse a dos causas:sistemáticos o accidentales = Errores Inherentes o HeredadosErrores debidos a la apreciación del observador y otras causas = Errores AccidentalesErrores debidos a la imprecisión de los aparatos de medición. = Errores SistemáticosError absoluto, error relativo y cifras significativas.
  • 3. Sea p el valor exacto de una cantidad y sea p* su valor aproximado. Se define error absolutocomo:El error absoluto mide la diferencia entre el valor exacto de una cantidad y su valor aproximado.De esta manera se puede afirmar que alguien ha medido la longitud de un campo de futbol o lalongitud de un bolígrafo con un error de un centímetro. Sin embargo, dicho error no tiene lamisma importancia en ambos casos. Para cuantificar la importancia del error respecto del valorexacto de una cierta cantidad p se introduce el concepto de error relativo, que se define como:Se puede notar que el error relativo no está definido para p=0. La ecuación anterior muestra queel error relativo es una cantidad adimensional, que habitualmente se expresa en porcentaje (%).Lo importante a resaltar es que generalmente no se conoce el valor exacto de la cantidad p. Enconsecuencia, tampoco se puede conocer ni el error absoluto ni el error relativo cometido, portanto hay que conformarse con el cálculo de una cota del error.Ya conocido la definición cuantitativa del error relativo, se puede plantear cual es la cota de errorde redondeo cometido al almacenar un número. Como se es conocido, los números reales sealmacenan en coma flotante. Por ejemplo, los números ±23,487 se guardan como ±0,23487x102.El ultimo numero escrito simbólicamente se puede representar por ±mx10bDonde 0 < m < 1y representa la mantisa y b es un numero entero que indica el exponente. Porejemplo si tenemos un número t de digitas destinados a la representación de la mantisa (sesupone que t no incluye la posición del signo). Por consiguiente, si una persona realiza unoscálculos trabajando en base diez, coma flotante y utilizando cinco dígitos para la mantisa (t=5),puede representar los siguientes números: 0,23754x102, 0,10000x105, 0,19875x10-3, etc.El numero 0,3352x103 tiene como mantisa a:0,3352El error absoluto entre p=0,253 y p*=0,532 es0,279MÉTODO DE LA BISECCIÓNEl método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:
  • 4. Teorema del Valor IntermedioSea f(x) continua en un intervalo [a, b] y supongamos que f(a) < f (b). Entonces para cada z tal quef(a) < z < f(b), existe un x0 Î(a, b) tal que f(x) = z. La misma conclusión se obtiene para el caso quef(a) > f(b).Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función continua en un intervalocerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzartodos los valores intermedios.En particular, si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamentez=0, y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir x0 Î(a, b) tal quef(x0)=0, es decir, debe haber por lo menos una raíz de f(x) en el intervalo (a, b).El método de bisección sigue los siguientes pasos:Sea f(x) continua,i) Encontrar valores iniciales xa, xb tales que f(xa) y f(xb) tienen signos opuestos, es decir,f(xa) . f(xb) < 0ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre xay xb:iii) Evaluar f(xr) . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:f(xa) . f(xr) < 0En este caso, tenemos que f(xa) y f(xr) tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentraen el intervalo [xa , xr].f(xa) . f(xr) > 0En este caso, tenemos que f(xa) y f(xr) tienen el mismo signo, y de aquí que f(xr) y f(xb) tienensignos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo [xr , xb] .f(xa) . f(xr) = 0En este caso se tiene que. f(xr) = 0 y por lo tanto ya localizamos la raíz.El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:|Ea|<|Es|
  • 5. Es decir,EjemploAproximar la raíz de f(x) = e-x – ln x hasta que |Ea|< 1%SoluciónSabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz de f(x) se localiza enel intervalo [1; 1,5]. Así que este intervalo es nuestro punto de partida; sin embargo, para poderaplicar el método de bisección debemos checar que f(1) y f(1,5) tengan signos opuestos.En efecto, tenemos quef(1) = e-1 – ln 1 = e-1 > 0Mientras quef(1,5) = e-1 ln (1,5) = - 0,18233 < 0Cabe mencionar que la función f(x) sí es continua en el intervalo [1; 1,5]. Así pues, tenemos todoslos requisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección. Comenzamos:i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a la raíz):ii) Evaluamos f(1,25) = e-1,25 – ln ( 1,25) = 0,0636 > 0iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos la siguiente tabla:Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1,25; 1,5].En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, puesto quesolamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso con el nuevo intervalo[1,25; 1,5].
  • 6. Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la aproximaciónactual y la aproximación previa:Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.Evaluamos f(1,375) = e-1,375 – ln (1,375) = -0,06561 < 0,y hacemos la tabla:Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1,25; 1,375].Calculamos el punto medio,Y calculamos el nuevo error aproximado:El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo.Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:Aprox. a la raíz Error aprox.1.251.375 9.09%1.3125 4.76%1.28125 2.43%
  • 7. 1.296875 1.20%1.3046875 0.59%Así, obtenemos como aproximación a la raízUtilizando el método de Bisección para la función f(x)= x2 - 10x + 22, se encontrara que la terceraiteración entre los valores x= 6 y x = 8 de la función f(x) es:6,75Utilizando el método de Bisección para la función f(x)= x2 - 10x + 22, se encontrara que la terceraiteración entre los valores x= 6 y x = 8 de la función f(x) es:6,75Método de Newton RaphsonEste método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia delos métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino quebasa su fórmula en un proceso iterativo.Supongamos que tenemos la aproximación xi a la raíz xr de f(x),Trazamos la recta tangente a la curva en el punto (xi, f(xi)); ésta cruza al eje x en un punto xi+1 queserá nuestra siguiente aproximación a la raíz xr.Para calcular el punto xi+1, calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tienependientem = f’ (xi)Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:y – f (xi) = f’ (xi) (x – xi)
  • 8. Hacemos y=0:-f (xi) = f’ (xi) (x – xi)Y despejamos x:Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure queencontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos adicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo casose dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace conuna rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.También observe que en el caso de que f’ (xi)=0, el método no se puede aplicar. De hecho, vemosgeométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto nointercepta al eje x en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso xi mismo es unaraíz de f’(xi).Ejemplo 1Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de f(x)= e-x-ln x, comenzando con x0 =1 y hasta que ??a? < 1%.SoluciónEn este caso, tenemos queDe aquí tenemos que:Comenzamos con x0 = 1 y obtenemos:
  • 9. En este caso, el error aproximado es,Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.Resumimos los resultados en la siguiente tabla:Aprox. a la raíz Error aprox.11.268941421 21.19%1.309108403 3.06%1.309799389 0.052%De lo cual concluimos que , la cual es correcta en todos sus dígitos. Lamisma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raíces n-ésimas de númerosreales positivos.Observe que cuando el método de Newton-Raphson converge a la raíz, lo hace de una forma muyrápida y de hecho, observamos que el error aproximado disminuye a pasos agigantados en cadapaso del proceso. Aunque no es nuestro objetivo establecer formalmente las cotas para loserrores en cada uno de los métodos que hemos estudiado, cabe mencionar que si existen estascotas que miden con mayor precisión la rapidez ó lentitud del método en estudioUtilizando el método de Newton-Raphson para determinar la primera iteración de la funciónf(x)=x10-1, cuando el valor inicial de x es x0=0,5X1 = 51,65Complete correctamente el enunciado teniendo en cuenta la lectura anterior: Se observa quecuando el método de Newton-Raphson converge a la raíz, lo hace de una forma _____________y de hecho, observamos que el error aproximado ______________Muy rápida y disminuyeMÉTODO DE ITERACIÓN DEL PUNTO FIJOEste método se aplica para resolver ecuaciones de la formax= g(x)
  • 10. Si la ecuación es f(x) = 0, entonces puede despejarse x ó bien sumar x en ambos lados de laecuación para ponerla en la forma adecuada.Ejemplos:1) La ecuación cos x - x = 0 se puede transformar en cos x = x.2) La ecuación tan x – e-x = 0 se puede transformar en x - tan x – e-x = x.Dada la aproximación xi, la siguiente iteración se calcula con la fórmula:xi+1 = g(xi)Supongamos que la raíz verdadera es xr, es decir,xr = g(xr)Restando las últimas ecuaciones obtenemos:xr - xi+1 = g(xr) - g(xi)Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si g(x) es continua en [a, b] ydiferenciable en (a, b) entonces existe ?Î(a, b) tal que .En nuestro caso, existe € en el intervalo determinado por xi y xr tal que:De aquí tenemos que:g(xr) – g(xi) = g’ (€) . ( xr – xi)O bien,xr – xi+1 = g’ (€) . ( xr – xi)Tomando valor absoluto en ambos lados,|xr – xi+1|=|g’(€)||xr – xi|Observe que el término |xr – xi+1| es precisamente el error absoluto en la (i +1)-ésima iteración,mientras que el término |xr – xi| corresponde al error absoluto en la i- ésima iteración.Por lo tanto, solamente si |g’ (€) |< 1, entonces se disminuirá el error en la siguiente iteración. Encaso contrario, el error irá en aumento.
  • 11. En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si |g’(x)|<1 para x en unintervalo [a, b] que contiene a la raíz y donde g(x) es continua y diferenciable, pero diverge si|g’(x)| >1 en dicho intervalo.Analicemos nuestros ejemplos anteriores:En el ejemplo 1, g(x) = cos x y claramente se cumple la condición de que|g’ (x)|<1. Por lo tanto el método sí converge a la raíz.En el ejemplo 2, g(x)=x+tanx–e-x y en este caso, |g’(x)|=|1+sec2x + e-x| > 1. Por lo tanto, el métodono converge a la raíz.Para aclarar el uso de la fórmula veamos dos ejemplos:EjemploUsar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = cosx - x, comenzandocon x0=0 y hasta que |€a|< 1%.SoluciónComo ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz.Aplicando la fórmula iterativa tenemos,x1 = g(x0) = cos 0 = 1Con un error aproximado de 100%Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,x2 = g(x1) = cos 1 = 0,540302305Y un error aproximado de 85,08%.Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que seobtiene es:x13 = 0,7414250866Con un error aproximado igual al 0,78%.EjemploUsar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = x2 – 5x - ex, comenzandocon x0 = 0 y hasta que |€a|< 1%.
  • 12. SoluciónSi despejamos la x del término lineal, vemos que la ecuación equivale aDe donde,En este caso, tenemos que Un vistazo a la gráfica,Nos convence que |g’(x)|<1, para xÎ[-1; 1], lo que es suficiente para deducir que el método síconverge a la raíz buscada.Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:x1 = g(x0) = -0,2Con un error aproximado del 100%.Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:x2 = g(x1) = -0,1557461506Con un error aproximado igual al 28.41%.En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%.Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
  • 13. Aprox. a la raíz Error aprox.0-0.2 100%-0.1557461506 28.41%-0.1663039075 6.34%-0.163826372 1.51%-0.164410064 0.35%De donde vemos que la aproximación buscada es:x5 = -0,164410064Al usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = x2 – 5x - ex,comenzando con x0 = 0 y hasta que |a|< 1%. , se encontró que el valor de la iteración x 1 = g(x0)es igual a:-0,2El método de iteración del punto fijo converge a la raíz si:|g’(x)|<1 para x en un intervalo [a, b]