Se revisan las propiedades mecánicas de sólidos, se dan ejemplos, preguntas de análisis y ejercicios propuestos

1. ELASTICIDAD
Profesor Dick Zambrano
Marzo 2014

2. Contenido
11.4 Esfuerzo, deformación y módulos de elasticidad
(Sears)
• Esfuerzo y deformación de Tensión y Compresión;
Esfuerzo y deformación de volumen; Esfuerzo y
deformación de corte.
11.5 Elasticidad y Plasticidad
Metas de aprendizaje
• Como analizar situaciones en las que un cuerpo se
deforma por tensión, compresión, presión o corte.
• Qué sucede cuando un cuerpo se estira tanto que se
deforma o se rompe.

3. Así como los electrones están unidos a sus núcleos por fuerzas
electromagnéticas, los átomos en un sólido también están ligados unos a otros
por fuerzas electromagnéticas. ESTA FUERZA ELECTROMAGNETICA ES LA
QUE SE REFIERE A LA FUERZA ELASTICA.
ESFUERZO Y DEFORMACION
Un sólido puede ser deformando en diferentes formas.
Estas pueden ser divididas en tres categorías:
Cambios en longitud Cambios en orientación
angular.
Tensión, compresión corte
Cambios
en
volumen

4. ESFUERZO.- Se lo define como la razón entre la fuerza y el
área. Sus unidades son N/m2
A
F

ESFUERZO DE TENSION
Area
larperpendicuFuerza

A
FTensión

A
Módulo de Young (Y): elasticidad en longitudes
F F
l

5. EJEMPLO 1
Para que se cumplan las condiciones de seguridad
necesarias, determinado cable de elevador ha de tener un
esfuerzo máximo de 68.9X106 N/m2. Si tiene que sostener un
elevador cargado con una masa total de 8820 kg, con una
aceleración máxima hacia arriba de 1.524 m/s2. ¿Cuál debe
se el diámetro del cable?
SOLUCION
F
mg
a
maFy 
mamgF 
 agmF 
+
 
4
2
d
agm
A
F



  

agm
d


4
md 0196.0

6. DEFORMACION UNITARIA
Si un cuerpo tiene una longitud inicial L y se estira o
comprime una cantidad L cuando se aplica un esfuerzo,
entonces la deformación unitaria es:
l
l

 es una cantidad adimensional
Experimentalmente se encuentra que  es proporcional
a la fuerza deformadora pero inversamente proporcional a la
sección transversal.
 YY
A
F

l
l
Y
A
F 


7. Módulo de Young

11. CURVA ESFUERZO - DEFORMACION UNITARIA
El límite de proporcionalidad es el esfuerzo hasta el que
se puede aplicar la ley de Hooke.
Cuando se aplica un esfuerzo igual al límite elástico el material
no se deforma permanentemente cuando se suprime el
esfuerzo pero ya no se puede aplicar la ley de Hooke.

13. EJEMPLO 2
El hueso humano tiene un módulo elástico de
aproximadamente Y = 1.5x1010 N/m2 en compresión. El
valor del límite elástico es σ = 1.7x108 N/m2. La sección
transversal total de los huesos de la pierna es 1x10-3 m2 y
su longitud 0.5m. a)¿Cuánto decrece esta longitud cuando
el hombre levanta un peso de 100 Kg.? b)¿Cuál es el
máximo peso que puede levantar antes de que sus piernas
queden deformadas permanentemente?

14. Módulo de corte (S): elasticidad de forma
El esfuerzo de corte se define como F/A, la relación de la fuerza
tangencial al área A de la cara a cortar. La deformación de corte
(c) se define como la relación x/h, donde  x es la distancia
horizontal que se mueve la cara cortada y h es la altura del objeto.
En términos de estas cantidades, el módulo de corte es

15. ESFUERZO DE CORTE O CIZALLADURA (t)
Se producen esfuerzos cortantes cuando planos
adyacentes dentro de un sólido se desplazan uno
con respecto al otro.
L
A
X
F

16. El esfuerzo cortante tc se define como la fuerza aplicada dividida
para el área del plano paralelo a la dirección de la fuerza.
A
F
c t
Deformación unitaria (cortante)
h
X
h
X
c



  tanpero
  tanc
pequeña.essi
continuación
h
A
X
F

17. 63. Figura 11.17 Esfuerzo de corte y deformación por corte

18. 62. Figura 11.16 Esfuerzo de volumen y deformación por volumen
Módulo volumétrico: elasticidad del volumen

19. En esta ecuación se inserta un signo negativo de modo que B es un
número positivo. Esta maniobra es necesaria porque un aumento
en presión (P positivo) causa una disminución en volumen (V
negativo) y viceversa.
La tabla 12.1 menciona módulos volumétricos para algunos
materiales. Si busca tales valores en una fuente diferente, puede
encontrar que se menciona el recíproco del módulo volumétrico. El
recíproco del módulo volumétrico se llama compresibilidad del
material.
𝑘 =
1
𝐵
= −
∆𝑉 𝑉0
∆𝑃
= −
1
𝑉0
∆𝑉
∆𝑃
(compresibilidad)
𝐵 =
𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
= −
∆𝐹 𝐴
∆𝑉 𝑉𝑖
=
∆𝑃
∆𝑉 𝑉𝑖

21. Donde S es el módulo de rigidez (cortante) el cual es una
constante de proporcionalidad.
O equivalentemente:
En analogía al módulo de Young:
aquí:
 Y
cSt 
h
X
A
F
S


unitariandeformació
esfuerzo
El valor del Módulo S es usualmente alrededor de 1/3 a 1/2 del
valor del módulo de Young.

22. EJEMPLO 3
Se transporta en un camión una gran pieza de
maquinaria la cual va sobre un bloque de caucho para
reducir vibraciones.
El bloque tiene 0.4 m de lado por 0.015 m de espesor.
La pieza de maquinaria tiene una masa de 5000 kg.
El camión se mueve a 10 m/s cuando toma una curva
con radio de curvatura de 50 m ¿Cuál es el
desplazamiento horizontal de la carga?
2
6
105
m
NS 
0.4m
0.4m
0.015m

23. EJEMPLO 4
Una barra de sección transversal A está sometida en sus extremos a
fuerzas tensoras F iguales y opuestas. Considere a un plano que corta a
la barra y que forma un ángulo  con un plano perpendicular a la misma.
a) ¿Cuál es el esfuerzo de tensión en este plano, en función de F, A y ?
b) ¿Cuál es el esfuerzo cortante en el plano, en función de F, A y ?
c) ¿Para qué valor de  es máximo el esfuerzo de tensión?
d) ¿Para qué valor de  es máximo el esfuerzo cortante?

24. EJEMPLO 5
Una barra cuadrada de acero, y otra
similar de aluminio tienen las
dimensiones indicadas en la
figura, Calcúlese la magnitud de
la fuerza P que hará que la
longitud total de las dos barras
disminuya 0.025 cm.
2626
107.0;102 cmkgfYcmkgfY Alacero 
40 cm
30 cm
P
Barra de Acero
5 x 5 cm.
Barra de Aluminio
10 x 10 cm.

25. a) Determinar el esfuerzo cortante medio en los pernos.
b) Determinar el esfuerzo normal máximo en la placa A
EJEMPLO 6
P=20KN
d=10mm
200mm
5mm

26. COEFICIENTE DE POISSON
La elongación producida por una fuerza F de tensión en
dirección de la fuerza va acompañada por una contracción en
la dirección transversal. Sin embargo, es incorrecto decir que
el volumen de la barra permanece constante.
Se debe suponer que el material bajo consideración es
HOMOGÉNEO ( sus propiedades mecánicas son
independientes del punto considerado)
También se debe suponer que el material es ISOTROPICO
(sus propiedades mecánicas son independientes de la
dirección considerada).

27. Coeficiente de Poisson (e)
axialunitariandeformació
altransversunitariandeformació
e
x
y


e  El esfuerzo está aplicado en el eje X
E
E x
xxx

  xy e 
E
x
y

e 
A pesar de que el esfuerzo ha sido
aplicado en el eje X, existe una
deformación en Y y en X.
Similarmente:
E
x
z

e 

28. Se observa que y= z
¿significa que ΔLy=ΔLz ?
La respuesta es NO, porque depende de las
dimensiones iniciales de los lados Ly y Lz
F F
continuación

29. EJEMPLO 7
Una barra de 500 mm de largo y 16 mm de diámetro
incrementa su longitud en 300 m y decrece en diámetro
en 2.4 m cuando se somete a una carga axial de 12 kN.
Determine el módulo de Young (Y) y el coeficiente de
Poisson (ε ) del material.
L= 500 mm = 0.5 m
ΔL = 300x10-6 m
Δd = -2.4x10-6
d = 0.016 m
F =12000NF
y
z
ΔL
d
LLL
d
L
d
ΔL
L
d

30. Ahora se van a aplicar esfuerzos en todas las caras de un prisma.
xx Y 
Y
x
x

 
xy
x
y
e


e 
Y
x
y
e
 
xx
y
y
z
z x
y
z
xz
x
z
e


e 
Y
x
z
e
 

31. Y
x
x

 
Y
x
y
e
 
Y
x
z
e
 
continuación
yy Y 
Y
y
y

 
yx
y
x
e


e 
Y
y
x
e
  Y
y
z
e
 
Y
y
y

 
xx
y
y
z
z x
y
z

32. continuación
YYY
zyx
x
ee
 
YYY
zyx
y
ee
 
YYY
zyx
z
ee
 
GENERALIZACION
DE LA LEY
DE HOOKE
Los signos son
válidos si todos los
esfuerzos son de
tensión.

33. EJEMPLO 8
Un bloque de acero se somete a
una presión uniforme en todas
sus caras. El lado AB se
contrae 24 m. Determine:
a) El cambio de longitud en
los otros dos lados.
b) La presión P aplicada a las
caras del bloque.
0.29200  eGPaY
YYY
zyx
x
ee
  Pzyx  
Y
P
Y
P
x
e

2
  12  e
Y
P
x
x
40mm
80mm
60m
m 


y
z
A B
C
D
3
6
1080
1024







AB
AB
x
L
L

4
103 
x

34. Ejemplo 7: Determinar la deformación en el extremo
libre B de la barra AB causada por su propio peso.
Dicha barra tiene un área transversal constante A y un
peso por unidad de longitud de p0.
dx
dl
  dxl 
dx
Y
l 
  
 
dx
YxA
xP
l 
  xpxP 0   AxA  dx
AY
xp
l  0
 
 Ll
xdx
AY
p
dl
0
0
0
L
x
AY
p
l
0
20
2

AY
Lp
l
2
2
0

AY
LLp
l
2
)( 0

AY
PL
l
2

Donde P es el
peso de la barra.
L
A
B
x
P(x)=p0x
Peso

35. Para las tres partes de esta pregunta rápida, elija de las siguientes
opciones la respuesta correcta para el módulo elástico que
describa la correspondencia entre esfuerzo y deformación para el
sistema de interés: a) módulo de Young, b) módulo de corte, c)
módulo volumétrico, d) ninguna de estas opciones.
i) Un bloque de hierro se desliza a través de un suelo horizontal. La
fuerza de fricción entre el bloque y el suelo hace que el bloque se
deforme. ii) Un artista del trapecio se balancea a través de un arco
circular. En la parte baja de la oscilación, los alambres que
sostienen al trapecio son más largos que cuando el trapecista
simplemente cuelga del trapecio debido a la tensión aumentada en
ellos. iii) Una nave espacial lleva una esfera de acero a un planeta
en el que la presión atmosférica es mucho mayor que en la Tierra.
La mayor presión hace que el radio de la esfera disminuya.

36. Hormigón pretensado

37. 61. Figura 11.15 Tensión y compresión en una viga apoyada en
ambos extremos

38. Problema Propuesto: Una varilla de 1.05 m de longitud con peso despreciable está
sostenida en sus extremos por alambres A y B de igual longitud . El área transversal
de A es de 2.00 mm2, y la de B, 4.00 mm2.El módulo de Young del alambre A es de
1.80 x10 11Pa; el de B, 1.20 x1011 Pa. ¿En qué punto de la varilla debe colgarse un
peso w con la finalidad de producir: a) esfuerzos iguales en A y B? b) ¿Y
deformaciones iguales en A
y B?