Upcoming SlideShare
×

# Trigonometry

3,839 views
3,728 views

Published on

1 Comment
4 Likes
Statistics
Notes
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• thanks

Are you sure you want to  Yes  No
Views
Total views
3,839
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
198
Actions
Shares
0
367
1
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

### Trigonometry

1. 1. TRIGONOMETRY SINE &TRIGONOMETRY TRIGONOMETRY COSINE RATIOS IDENTITY RULE TRIANGLE AREA
2. 2. A. Trigonometri ratios hypotenuseRight-angle side  Right-angle side S opposite side O Sine  = hypotenuse h c cosine = adjacent side a t hypotenuse h o tan = opposite side a adjacent side
3. 3. Secant( sec )  = hypotenuse adjacent sideCosecant ( csc/cosec ) = hypotenuse opposite sideCotangen( cot )  = adjacent side opposite side
4. 4. Sisi miringsisi depan  Sisi samping de sisi depan Sinus  = sisi miring mi Cosinus  = sisi samping sa sisi miring sisi depan mi tangen = de sisi samping sa
5. 5. sisi miringSecan  = 1 =( sec ) cos  sisi sampingCosecan  = 1 sin  = sisi miring( csc ) sisi depanCotangen( cot / ctg )  = cos  sin  = sisi samping sisi depan
6. 6. Example 1 :It is known that triangle ABC is right angled on point B withAB = 3 cm, BC = 4 cm and measure of angle BAC = Determine the value of : a. Sine  d. sec  b. Cos  e. csc  c. Tan  f. cot  Solution : C AC2 = AB2 + BC24 cm 5 = 32 + 42 = 9 + 16  A = 25 B 3 cm AC = 25 AC = 5
7. 7. a. sin  = 4 5b. cos  = 3 5c. Tan  = 4 3d. sec  = 5 3 e. csc  = 5 4 f. cot  = 3 4
8. 8. Example 2 : = 1If sine then determine the value of : d. sec  3a. Sine b. Cosine  e. csc c. tangen  f. Cot  Solution :  8 b. cosine = 3 tangen  3 1 1 2 1 1 c. =  8 2 2 8 8 8 4 8 d. Sec  = 3 = 3 2 8 4 e. csc  = 3 f. cot  = 8 1
9. 9. Example 3 : Determine other trigonometric ratios values if it is known that cos  = 0,4 .  is an acute angle Solution : 21 1 sin  =  21 5 5 5 21 1 21 tan  =  21 2 2  5 2 sec  = 2 5 5 4 2 csc  =  210,4 =  21 21 10 5 2 2 cot  =  21 21 21
10. 10. Perbandingan Trigonometri sudut-sudut khusus ( sudut istimewa = Extraordinary angles ) Sudut-sudut khusus yang dimaksud adalah : 00, 300, 450, 600, 900Untuk menentukan perbandingan trigonometri sudut 00 dan 900Kita bisa gunakan lingkaran satuan di koordinat Cartesius.
11. 11. P(x,y) Titik P (x,y) terletak pada lingkaran satuan. y Garis OP membentuk sudut  o dengan sumbu x. N x Panjang ON adalah x satuan, panjang PN adalah y satuan dan y panjang OP adalah 1 satuan ( krn OP jari-jari lingkaran ) ONP adalah segitiga siku – siku .Perbandingan trigonometri untuk sudut  adalah sbb :sin  = y 1 = y, cos  = x = x, tan  = y x 1
12. 12. Jika  = 00, maka garis OP berimpit dengan sumbu x,dengan demikian posisi P adalah ( 1, 0 ), akibatnya :Sin 00 = y = 0Cos 00 = x = 1 y 0Tan 00 =  0 x 1Jika  = 900, maka garis OP berimpit dengan sumbu y,dengan demikian posisi P adalah ( 0, 1 ), akibatnya :Sin 900 = y = 1Cos 900 = x = 0 y 1Tan 900 =   tak terdefnisi x 0
13. 13. Untuk sudut 300, Perhatikan gambar dibawah ini: B  ABC siku – siku di C, 600 c  BAC = 300 dan  ABC = 600 a 300  ADC merupakan pencerminanA b 900 C dari  ABC terhadap AC Karena setiap sudut pada  ABD = 600, maka  ABD= sama sisi D sehingga AB = AD = BD = 2a atau c = 2a Dalam  ABC berlaku teorema Pythagoras : c2 = a2 + b2 (2a)2 = a2 + b2 b2 = 4a2 – a2 b = 3a 2 a 3
14. 14. Kita peroleh : a a = 1 b a 3 1sin 300 = = Sin 600 = = = 3 c 2a 2 c 2a 2 b a 3 1 a a 1cos 300 = = = 3 Cos 600 = = = c 2a 2 c 2a 2 1 a b a 3 a= Tan 600 = = = 3Tan 300 = = 3 a a b a 3 3
15. 15. Untuk sudut 450 Perhatikan gambar dibawah ini : B  ABC siku siku di C dan  BAC = 450 c Karena  BAC = 450 maka a  ABC = 450 sehingga  ABC 450 merupakan segitiga siku-siku samaA b C kaki ( a = b ) c2 = a2 + b2 = a2 + a2 = 2a2 c = 2a 2 = a 2
16. 16. B Kita peroleh : a 2 Sin 450 = a = 1 a 2 a 2 2 450 CA a a 1 Cos 450 = = 2 a 2 2 a Tan 450 = = 1 a Berdasarkan nilai perbandingan trigonometri diatas, kita dapat mengganti panjang sisi – sisi pada gambar menjadi a = b = 1 dan c = 2
17. 17. Tabel perbandingan trigonometri sbb :Trigonometry ratios Extraordinary angles = sudut – sudut istimewa 00 300 450 600 900 1 1 sine  0 1 2 2 2 2 3 1 1 cosine  1 2 3 1 2 1 2 0 2 tan  0 1 3 1 3 undefined 3
18. 18. Example 1 :Determine the value of :a. sin 30  cos 45  tan 45 0 0 0b. sin 30 2 0  cos 302Solution :a. sin 30  cos 45  tan 45 0 0 0 = 1 1 – 1 + 2 2 2 1 1 = 2– 2 2
19. 19. b. sin 30  cos 30 2 0 2 = sin 30   cos 30  0 2 0 2 2 1 2 =   + 1   3 2 2  1 3 =   +   4 4 = 1
20. 20. cos 450. cos 300  sin 450. sin 600c. tan 300. tan 600 1 1 1 1 2. 3 2. 3 = 2 2 2 2 1 3. 3 3 1 1 1 6.  6 6 = 4 4 = 2 1 1 .3 3 1 = 6 2
21. 21. B. IDENTITAS TRIGONOMETRI Teorema Phytagoras : y x2 + y2 = r2 Jika dibagi dengan r2 maka : x2 y2 r2 B 2  2  2 r r r r 2 2 2 y  x  y r         r  r  rx O x A cos   sin   1 2 2
22. 22. x2 + y2 = r2 x2 + y2 = r2Jika dibagi x2 maka : Jika dibagi y2 maka : 2 2 2 2 2 2 x y rx y r  2  2 2  2  2x 2 x x y y y 2 2 2  x  y r 2 2 2 x  y r                y  y  y x  x  x       1+tan2  = sec2  cot   1  csc  2 2
23. 23. contoh Buktikan : cos  21.  1  sin  1  sin  Ruas kiri = cos 2 1  sin  = 1  sin 2   a b 2 2  a  ba  b 1  sin  1  sin  1  sin   = 1  sin  = 1 sin 
24. 24. 2. cos A  sin Acos A  sin A  1  2 sin 2 A ruas kiri := cos A  sin Acos A  sin A= cos 2 A  sin 2 A= 1  sin A  sin A 2 2= 1 2 sin 2 A
25. 25. 3. 4  cos  1  tan   cos  2  2 ruas kiri = 4  cos  1  tan  2 = cos  sec  4  2   1  = cos   4   cos   2  1  = cos  . cos   2 2   cos   2 = cos  2
26. 26. 4. 1  cot   csc  2 2 Ruas kiri : = 1 cot  2 sin 2  cos 2  =  sin  2 sin 2  = sin 2   cos 2  sin  2 = 1 = csc 2  sin 2
27. 27. 5 1  tan  1  cos    tan 2 2 2  Ruas kiri : = sec  . sin  2 2 1 = . sin  2 cos  2 = sin  2 cos  2 = tan  2
28. 28. KOORDINAT KUTUB / POLAR P(x,y) P(r,  ) r r y y  O O x xKoordinat cartesius Koordinat polar/kutubsin  = y r= x2  y2 r y = r sin  tan  = y x xcos  = r y  = arc tan x = r cos  x
29. 29. Tentukan koordinat cartesius dari titik berikut :1. P ( 5, 450 )  Pr ,   x = r cos  y = r sin  = 5 cos 450 = 5 sin 450 = 5. 1 1 2 = 5. 2 2 2 5 5 = 2 = 2 2 2 5 5  Jadi koordinat cartesius P ( x,y ) adalah  2 , 2 2 2 
30. 30. 2. Tentukan koordinat polar dari titik P ( 4, – 4 ) P ( 4, – 4 )  P x , y  y r x y tan   2 2 x r  4   4 2 2 4 tan    1 4 r  32 r4 2   arc tan 1   3150 Jadi koordinat kutub P(4,– 4 ) adalah  P 4 2 , 3150 
31. 31. ATURAN SINUS C Lihat ACD Lihat BCD CD CD b a sin A  sin B  AC BC CD = AC sin A CD = BC sin B BA D CD = a sin B CD = b sin A c CD = CD b sin A = a sin B a b  sin A sin B
32. 32. C E a Lihat ACE Lihat ABEb AE AE sin C  sin B  AC AB B AE = AC sin C AE = AB sin BA c AE = b sin C AE = c sin B AE = AE b sin C = c sin B b c  sin B sin C a b c Jadi   sin A sin B sin C
33. 33. Contoh 1Diket  ABC dengan A  300 Panjang sisi BC = 2 cm,Dan panjang sisi AB = 4 cm. Tentukan besar sudut danPanjang sisi yang belum diketahui. C a c b  2 sin A sin C 0 30 2  4A 4 B 0 sin 30 sin C 2 sin C = 4 sin 300 1 4. sin C  2 1 2 C  90 0
34. 34. b  c a 2 2 B  180  (30  90 ) 0 0 0 b  4 2 2 2 B  60 0 b  16  4 b  12 b2 32. Diket  ABC A  300 , C  450 dan panjang sisi AB = 5 cm. Tentukan besar sudut B dan panjang sisi a dan sisi b
35. 35. A 30 0 B  180  (30  45 ) 0 0 0 b 5 B  1050 450 C B a a c 5  a sin A sin C 2 a sin 450 = 5 sin 300 5 2 a . 1 1 2 2 a. 2  5. 2 2 5 1 a 2 5. 2 a 2 1 2 2
36. 36. b c  b  a sin B sin C sin B sin A b 5 5  2 sin 105 0 sin 45 b  2 0 sin 1050 sin 30b sin 450 = 5 sin 1050 5 2 . sin 1050b . 0,707  5. 0,97 b 2 0 5. 0,97 sin 30 b  1 0,707 5. 2 .0,97 4,85 b 2 b  1 0,707 2 b  6,859 b  6,859
37. 37. ATURAN COSINUS C Lihat ACD b BD = AB – AD a AD cos A  BD = c – b cos A AC D BA AD = AC cos A c AD = b cos A Lihat ACD Lihat BDCCD 2  AC 2  AD 2 CD 2  BC 2  BD 2  b  b cos A  a  c  b cos A 2 2 2 2CD2  b 2  b 2 cos 2 A  a 2  (c 2  2bc cos A  b 2 cos 2 A) CD2  a 2  c 2  2bc cos A  b 2 cos 2 A
38. 38. CD2 = CD2a  c  2bc cos A  b cos A  b  b cos A 2 2 2 2 2 2 2 a  b  c  2bc. cos A 2 2 2Rumus untuk mencari sisi : a  b  c  2bc. cos A 2 2 2 b  a  c  2ac. cos B 2 2 2 c  a  b  2ab. cos C 2 2 2
39. 39. Untuk mencari besarnya sudut : b c a 2 2 2 cos A  2bc a c b2 2 2 cos B  2ac a b c2 2 2 cos C  2ab
40. 40. Contoh 1: Diketahui segitiga ABC dengan a = 6 cm, b = 4 cm dan C  1200 Hitunglah panjang c. Jawab :A c  a  b  2ab. cos C 2 2 2 cb=4 1200 c  6  4  2.6.4. cos120 2 2 2 0 B C a=6  1 c  36  16  2.6.4.   2  2 c  76 2 c  76  c  2 19
41. 41. 2. Dalam segitiga ABC diketahui C  600 panjang sisi b = 6 cm, panjang sisi c = 2 13 cm Tentukan panjang sisi a. C c  a  b  2.a.b. cos C 2 2 2b=6 600 ? 2 13   a 2 2  6  2.a.6. cos 60 2 0 1 B 52  a  36  12a  2A c  2 13 2 52  a  36  6a 2 a  6a  16  0 2 a  8a  2  0 a 8  a  2
42. 42. 3. Sebuah segitiga KLM dengan panjang sisi KL = 12 cm panjang sisi KM = 10 cm dan panjang sisi LM =2 31 cm Tentukan besar sudut K l 2  m2  k 2 M cos K  2.l.m10 2 31 10 2  12 2  (2 31) 2 cos K  12 L 2.10.12K 100  144  124 cos K  240 120 1 cos K   240 2  K  60 0
43. 43. FORMULA OF RELATED ANGLE TRIGONOMETRIC RATIOS ( RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI )A. ANGLE  WITH 900    B X ,Y  Y=X A x y r 900   B(X,Y)  r y  O C X A
44. 44. xsin   sin   y r r ycos   cos   x r r xtan   tan   y y x Relasi di kwadran I   sin 90    cos  0 cos 90 0     sin  tan 90 0     cot 
45. 45. y ysin   y sin   r r xcos    cos   x r r y tan    tan   y x B x r r y y   -x  o  x A x -y r -y r y y sin   sin    r r xcos    x cos   r r ytan   y tan    x x
46. 46. Relasi di kwadran II  sin 180    sin  0cos 180 0      cos  Relasi dikwadrat IVtan 1800      tan    sin 360     sin  0 cos 360 0     cos  tan 360      tan  Relasi dikwadran III 0  sin 180     sin  0cos 180 0      cos tan 1800     tan 
47. 47. x sin    r y y sin   cos   -x r r x x cos   tan    r y r y y tan    x r y  x xsin    r  sin   xcos    y r -y r r y cos    x x rtan    y y x x -x tan    y
48. 48. Relasi dikwadran II :  sin 90    cos  0cos 90 0      sin  Relasi dikwadran IV :tan 90 0      cot   0  sin 270     cos  Relasi dikwadran III : cos 270 0     sin   sin 270     cos  0 tan 270 0      cot cos 270 0      sin tan 270 0     cot 
49. 49. Matur Nuwun