Campo de Pensamiento Lógico Matemático
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    Campo de Pensamiento Lógico Matemático Campo de Pensamiento Lógico Matemático Document Transcript

    • SERIECuadernos de Currículo Colegios Públicos de excelencia para Bogotá Orientaciones curriculares para el campo de Pensamiento Matemático Bogotá: una Gran Escuela
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático Luis Eduardo Garzón ALCALDE MAYOR DE BOGOTA Francisco Cajiao RestrepoSECRETARIO DE EDUCACION DEL DISTRITO Liliana Malambo Martínez Subsecretaria de Planeación y Finanzas Marina Ortiz Legarda Subsecretaria Académica Ángel Pérez Martínez Subsecretario Administrativo  Gloria Mercedes Carrasco Ramírez Directora de Evaluación y Acompañamiento
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático Equipos de trabajoSubsecretaria Académica Grupo de investigaciónMarina Ortiz Legarda Saberes y EscuelaDirectora de Evaluación y Acompañamiento CoordinadorGloria Mercedes Carrasco Ramírez Jorge Castaño GarcíaSubdirector de Evaluación y AnálisisEdilberto Novoa Camargo Amparo Forero Sáenz Alexandra Oicatá OjedaEquipo de profesionales Faberth Diaz CelisSubsecretaría Académica Luis Alexander CastroHenry Charry Alvarez Mery Aurora PovedaHenry Figueredo Olarte Sara Melo FontechaJaneth Escobar CastilloLuz Claudia Gómez MurciaMabel Betancourt Mojica Agradecimientos especiales por la lecturaMartha Ayala Jara y comentarios al documento a:Vilma Gómez Pava Olga Lucía LeónCoordinación editorial Doctora en Educación MatemáticaHenry Figueredo Olarte Sandra ArévaloFotografías Magister en EducaciónArchivo digital, Secretaría de Educación Distrital Clara Emilse RojasCorrección de estilo Magister en Docencia de las MatemáticasL. Mercedes Rengifo B.Diagramación e ImpresiónImprenta Nacional de ColombiaISBN: 978-958-8312-38-5Distribución GratuitaDerechos Reservados  Prohibida la reproducción total o parcial de esta publicación sin la autorización de la Secretaría de Educación Distrital Avenida El Dorado No. 66-63 Bogotá, D.C. Colombia PBX: 3241000 Exts. 2140, 2149, 2211, 2141, 2142 www.sedbogota.edu.co www.redacademica.edu.co e-mail: enovoa@sedbogota.edu.co; jescobarc@sedbogota.edu.co; hfigueredo@sedbogota.edu.co. Bogotá, D.C. noviembre de 2007
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático Maestros y maestras que participaron en los talleres de Pensamiento Matemático Nombre ColegioÁlvaro Gómez Olaya IED BrazuelosBlanca Cecilia Niño IED BrazuelosJenny Martín Arango IED BrazuelosOliva Arciniegas IED BrazuelosAlirio Sánchez IED Carlos Alberto Lleras CamargoHaydé Herrera IED Carlos Alberto Lleras CamargoJahel Bautista Sánchez IED Carlos Alberto Lleras CamargoMaría Inés López IED Carlos Alberto Lleras CamargoOlga Cecilia Merchán IED Carlos Alberto Lleras CamargoAna ligia Ramírez Morales IED Carlos Arturo TorresAna Rosa Palacios IED Carlos Arturo TorresConstanza Osorio Meléndez IED Carlos Arturo TorresDora Emilse López IED Carlos Arturo TorresLuz Stella López IED Carlos Arturo TorresLuz Stella López Peláez IED Carlos Arturo TorresMaría Aracely García IED Carlos Arturo TorresMaría Mercedes Salamanca Rojas IED Carlos Arturo TorresFrancy Alba Bello Alvarado IED Escuela Nacional del ComercioPatricia Cruz Barrera IED Escuela Nacional del ComercioOmar López IED Fe y AlegriaPilar Cuervo Romero IED Fe y AlegriaNidia Janeth Ordoñez IED Garcés NavasDoris Barrera IED Gran ColombiaElsy Gonzales IED Gran ColombiaLibia Rodríguez Vásquez IED Gran ColombiaYamile Escobar Hurtado IED Gran ColombiaBeatriz Espinosa IED Magdalena OrtegaCristina Moya Cáceres IED Magdalena OrtegaHelena Prieto Neira IED Magdalena OrtegaMartha Suescu IED Magdalena OrtegaLuz Dary Riaño IED Manuel del Socorro RodríguezSandra Riaño IED Manuel del Socorro RodríguezSandra Riaño IED Manuel del Socorro RodríguezNestor Ávila IED Mochuelo AltoGloria Peñales IED Nestor Forero Alcalá Liliana Charria IED Nestor Forero AlcaláMaría Eugenia Salcedo IED Nestor Forero AlcaláMartha Méndez IED Nestor Forero AlcaláMatilde Guzmán IED Nestor Forero AlcaláRosalba Martínez Ruano IED Nestor Forero Alcalá
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela Nombre Colegio Teresa María Gaitana IED Nestor Forero Alcalá Martha Cortés IED Normal Superior Maria Montessori Consuelo Solano IED Rafael Bernal Jiménez María Gómez IED Rafael Bernal Jiménez Nelsy Yolanda Virgüez IED Rafael Bernal Jiménez Yolanda Luna IED Rafael Bernal Jiménez Alfonso Sánchez IED República de Colombia Esperanza Ortiz IED República de Colombia Evidalia Molina Alfonso IED República de Colombia Flor Beltrán Cárdenas IED República de Colombia Hilda Almanza IED República de Colombia Luz Myriam Alfonso Ortiz IED República de Colombia Nelly Rocío Orduz IED República de Colombia Cecilia Sánchez IED República Dominicana Clara Inés Herrera IED República Dominicana Gladys Mclean IED República Dominicana Janeth Soveida Rojas IED República Dominicana Judith Riaño IED República Dominicana María Irene Valencia IED República Dominicana Yolanda Becerra Martínez IED República Dominicana Gladys Restrepo de Zabala IED Villemar Héctor Fabio Esquivel IED Virrey José Solis José Salvador Salamanca IED Virrey José Solis Luis Fernando Pava IED Virrey José Solis Raquel Amaya IED Virrey José Solis Blanca Lucia Suárez IED Miguel de Cervantes Saavedra Carol Acosta IED Miguel de Cervantes Saavedra Cielo Cobos IED Miguel de Cervantes Saavedra Edilma Peraza IED Miguel de Cervantes Saavedra Flor Alba Duran Olivares IED Miguel de Cervantes Saavedra Javier Raúl Martínez IED Miguel de Cervantes Saavedra Julio Núñez IED Miguel de Cervantes Saavedra Lina Margarita Rivera IED Miguel de Cervantes Saavedra Luís Alfredo Cardona IED Miguel de Cervantes Saavedra Maria Liliana López IED Miguel de Cervantes Saavedra Marisol Cubides IED Miguel de Cervantes Saavedra Martha Calderón IED Miguel de Cervantes Saavedra Martha Robayo IED Miguel de Cervantes Saavedra Mónica Sánchez IED Miguel de Cervantes Saavedra Nancy Chiguasuque IED Miguel de Cervantes Saavedra Nidia Sánchez IED Miguel de Cervantes Saavedra Zulma Cifuentes IED Miguel de Cervantes Saavedra
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático Nombre ColegioAdriana Prada IED Pablo de TarsoAmparo Hernández IED Pablo de TarsoAngel Alberto García IED Pablo de TarsoArminda Sánchez IED Pablo de TarsoClaudia Valbuena IED Pablo de TarsoEsneda Gutiérrez IED Pablo de TarsoFlor María Herrera IED Pablo de TarsoJavier Guarnizo IED Pablo de TarsoJuan Rojas IED Pablo de TarsoLibia Hurtado IED Pablo de TarsoLuis Eduardo Quientero IED Pablo de TarsoLuz Dary Vásquez IED Pablo de TarsoLuz Marina Rodriguez IED Pablo de TarsoMarlén Páez IED Pablo de TarsoMartha Niño IED Pablo de TarsoOscar Duarte IED Pablo de TarsoSonia Montealegre IED Pablo de TarsoWilsón Gómez IED Pablo de TarsoYadira Reyes IED Pablo de TarsoCarmen Odilia Melo IED Paulo VICatalina Contreras Cruz IED Paulo VILida Rocío Bonilla IED Paulo VILuz Jenny Romero IED Paulo VIMaría Edid Alarcón IED Paulo VIRosalinda Ruiz IED Paulo VISonia Aidé Molina IED Paulo VIAlba Marina Salazar IED Policarpa SalavarrietaAlcira Inés Garzón IED Policarpa SalavarrietaBlanca Lilia Pabón IED Policarpa SalavarrietaErika Lozano IED Policarpa SalavarrietaGloria Isabel Garzón IED Policarpa SalavarrietaJuan de Dios López IED Policarpa SalavarrietaLeyla Hernández IED Policarpa SalavarrietaLuis Cardoso IED Policarpa SalavarrietaLuz Stella López Marín IED Policarpa SalavarrietaLuz Stella Sánchez IED Policarpa SalavarrietaMaría del Carmen González IED Policarpa Salavarrieta María Elisa Molina IED Policarpa SalavarrietaMaría Elvira Rodríguez IED Policarpa SalavarrietaMartha Velásquez IED Policarpa SalavarrietaNohora María Peña IED Policarpa SalavarrietaRocío Mahecha IED Policarpa Salavarrieta
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela Nombre Colegio Alirio Guerrero IED San José Andrei Álvarez IED San José Clara Peñuela IED San José Claudia Reyes IED San José Diana Mejía IED San José Dolly Quevedo IED San José Edgar Cárdenas IED San José Elvira Domínguez IED San José Elvira Quiroga IED San José Esperanza Fandiño IED San José Jairo Ortiz IED San José Maritza Martínez IED San José Marlén Granados IED San José Marlén Terán IED San José Natalia Henao IED San José Nidia Rodríguez IED San José Nubia Forero IED San José Pedro Farfán IED San José Sandra Zamora IED San José Stella Sánchez IED San José Yamile Gordo IED San José10
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático Tabla de contenidoPresentación 171. Orientaciones generales 211.1. Naturaleza del conocimiento matemático 241.1.1. El conocimiento matemático es una producción cultural 241.1.2. El conocimiento matemático no es un cuerpo teórico de verdades infalibles y objetivas 251.1.3. Los procesos de producción y de presentación del conocimiento matemático son distintos 251.1.4. Lo universal y lo particular en la producción del conocimiento matemático 261.2. Naturaleza de la educación matemática 271.2.1. La tríada didáctica componente activo de la actividad matemática 281.2.2. Potenciar el pensamiento matemático, propósito fundamental del quehacer en el aula 281.2.3. La transposición didáctica 301.3. Caracterización del campo de Pensamiento Matemático 301.3.1. El carácter operatorio del pensamiento 311.3.2. Implicaciones curriculares 34 112. Referentes para pensar una propuesta curricular 412.1. Principios orientadores 412.2. Tres componentes de la propuesta curricular: ejes, estrategias y subcampos del pensamiento 42
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela 2.3. Ejes curriculares 44 2.3.1. Razonamiento 44 2.3.2. Modelación 46 2.3.3. Comunicación y representación 48 2.4. Estrategias 48 2.4.1. La estrategia de resolución de problemas 50 2.4.2. La estrategia de conexiones 51 2.4.3. La estrategia de apropiación y aplicaciones tecnologías 53 2.5. Subcampos del Pensamiento Matemático 54 2.5.1. Subcampo del pensamiento numérico 56 2.5.2. Subcampo del pensamiento métrico 59 2.5.3. Subcampo del pensamiento espacial 65 2.5.3.1. Componentes del pensamiento espacial 67 2.5.4. Subcampo del pensamiento algebraico-variacional 70 2.5.5. Subcampo del pensamiento estadístico y aleatorio 73 2.5.5.1. Estadístico 74 2.5.5.2. Combinatorio 74 2.5.5.3. Probabilístico 75 3. El Pensamiento Matemático en el Primer Ciclo 79 3.1. Algunas tesis sobre el desarrollo del pensamiento matemático en el niño 80 3.2. Ejes curriculares 84 3.2.1. Eje de razonamiento 85 3.2.1.1. Énfasis recomendados e ideas para el aula 86 3.2.2. Eje de modelación 87 3.2.2.1. Énfasis recomendados e ideas para el aula 88 3.2.3. Eje de comunicación y representación 89 3.2.3.1. Énfasis recomendados e ideas para el aula 9012 3.2.4. Subcampos del Pensamiento Matemático 93 3.2.4.1. Cuantificación 93 3.2.4.2. Espacial-geométrico 93 3.2.4.3. Temporal 94
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático3.2.4.4. Estadístico y aleatorio 943.2.4.5. Algebraico-variacional 944. Pensamiento Matemático en el ciclo de educación básica A 974.1. Ejes curriculares 974.1.1. Razonamiento 974.1.2. Modelación 994.1.3. Comunicación y representación 1004.2. Subcampos del Pensamiento Matemático 1034.2.1. Pensamiento numérico 1034.2.2. Pensamiento métrico 1054.2.3. Pensamiento espacial 1084.2.4. Pensamiento variacional-algebraico 1104.2.5. Pensamiento estadístico y aleatorio 1115. Pensamiento Matemático en el ciclo de educación básica B 1175.1. Ejes curriculares 1175.1.1. Razonamiento 1175.1.2. Modelación 1195.1.3. Comunicación y representación 1215.2. Subcampos del Pensamiento Matemático 1245.2.1. Pensamiento numérico 1245.2.2 Pensamiento métrico 1265.2.3. Pensamiento espacial 1275.2.4. Pensamiento algebraico-variacional 1295.2.5. Pensamiento estadístico y aleatorio 130Bibliografía 131 13
    • SERIECuadernos de Currículo Presentación Bogotá: una Gran Escuela
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático “Es muy diciente el hecho de que la educación, que es la que tiende a comunicar los conocimientos, permanezca ciega ante lo que es el conocimiento humano, sus disposiciones, sus imperfecciones, sus dificultades, sus tendencias tanto al error como a la ilusión y no se preocupe en absoluto por hacer conocer lo que es conocer. La supremacía de un conocimiento fragmentado según las disciplinas impide a menudo operar el vínculo entre las partes y las totalidades y debe dar paso a un modo de conocimiento capaz de apre- hender los objetos en sus contextos, sus complejidades, sus conjuntos.” Edgar MorinEl desafío de la complejidad Estas publicaciones sobre las Orientacio- respuesta interrogan de manera más profundanes Curriculares para los ciclos de educación al individuo.inicial y básica que se entregan a los maestros La Ley 115 de 1994 (Ley General de Edu-y maestras de Bogotá y a la comunidad educa- cación), introdujo en su texto un concepto detiva en general, responden al firme propósito áreas obligatorias, que posteriormente en el cu-de la actual administración de la Secretaría de rrículo escolar se traduce en trece o catorce asig-Educación Distrital de avanzar en la transfor- naturas que debe “ver” el estudiante, situaciónmación de la escuela y la enseñanza, y hacen que conduce a que los estudiantes no aprendanparte de la propuesta de Colegios Públicos de casi nada verdaderamente importante.Excelencia. Por su parte el Ministerio de Educación Si hay algo complejo por su naturaleza, es el Nacional abandonó hace más de una décadaproceso de aprendizaje en los seres humanos. los estudios curriculares, asumiendo que cadaTodo el siglo XX se caracterizó por una inten- institución está en capacidad de abordar un temasa búsqueda de respuestas a este interrogante de tanta complejidad. En cambio, ha propuestovital y tanto la biología como la psicología como orientación un modelo de estándares ygeneraron luces que no puede ignorar el sis- competencias que tiende a simplificar en extre-tema educativo. El trabajo científico sobre la mo el proceso de enseñanza y verificación delcognición humana lanza enormes desafíos a la aprendizaje por parte de los educadores. Unpedagogía y pone grandes interrogantes sobre modelo como éste transforma la comprensiónla forma como se ha concebido hasta ahora la compleja de los fenómenos sociales, científi-organización escolar y el modo en que niños cos, simbólicos y  culturales, en un listado dey niñas se acercan al conocimiento. Cada vezresulta menos convincente la organización de habilidades independientes que cada maestrocurrículos centrados en conceptos disciplinares especializado debe asegurar que tengan sus es-que se traducen en una multitud de asignaturas tudiantes, pero, en cambio, queda relevado de ladispersas, en las cuales predomina el dominio obligación de orientar la reflexión profunda dede lenguajes específicos sobre la capacidad de los fenómenos físicos, sociales y culturales que 17interrogar desde la experiencia el mundo real, afectan la vida de cada individuo, de las comu-para pensarlo con la ayuda de las disciplinas. nidades y de la humanidad en su conjunto.Se supone, equivocadamente, que responder Frente a la responsabilidad del ser humanocorrectamente cuestiones planteadas desde de enfrentar la complejidad de la vida, se pro-unas teorías generales equivale a haber apren- pone la simplicidad de reducir el conocimientodido, independientemente de si la pregunta o la infantil y juvenil a un conjunto limitado de
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela competencias intelectuales, como si ellas, por profunda ruptura epistemológica, que de sí mismas, tuvieran el poder de desencadenar prioridad al aprendizaje como proceso de la reflexión individual y colectiva y conducir a reflexión permanente sobre la experiencia la expresión y la acción. cognitiva, en vez de centrarse sobre la orga- La Secretaría de Educación de Bogotá, ha nización secuencial de información fragmen- centrado su plan sectorial en la transforma- tada por disciplinas con el fin de facilitar la ción de la escuela y la enseñanza, buscando enseñanza y la homogenización. la excelencia en los colegios públicos, como Los textos que aquí se presentan son el condición esencial para garantizar de manera resultado de la reflexión propositiva sobre el plena el derecho a la educación. Esto supone un currículo, entendido como la forma de acercar conjunto de acciones concurrentes, que asumen a los niños, las niñas y los jóvenes al conoci- la complejidad del fenómeno educativo: infra- miento. No se trata de propuestas definitivas estructura, equipamiento, alimentación, salud, ni concluyentes; por el contrario, se presentan gratuidad, subsidios, transporte, ampliación de como propuestas potentes y provocadoras fru- espacios de aprendizaje, evaluación, formación to de un debate serio entre maestros, maestras, de educadores, derechos humanos, conviven- equipos pedagógicos locales y grupos acadé- cia en la escuela… y, desde luego, renovación micos para que aporten al trabajo pertinente curricular. en el aula escolar y a la transformación de la Este desafío implica admitir y enfrentar el escuela. De esta forma, se supera también el reto de la complejidad. En este horizonte el concepto convencional de capacitación, que rol de los maestros y maestras es fundamental. reproduce modelos de enseñanza-aprendizaje Ellos y ellas deben ser asumidos como pro- tradicionales, para avanzar hacia modelos de fesionales de primera línea, con capacidad de experimentación colectiva en las aulas. Ya no asumir plenamente la labor que la sociedad les se trata de “enseñar” lo que dice el documento, ha encomendado en relación con la formación sino de “aprender” que pasa si unas hipótesis integral de las nuevas generaciones. Como pro- son confrontadas con la realidad. fesionales que se desempeñan en el mundo de la ciencia y la cultura, merecen el respeto y la El reto de la complejidad, como puede verse, consideración de sus capacidades intelectuales es esencial a la vida humana y, por tanto, a la que legitiman y dignifican su profesión. Por eso, educación como herramienta social para darle se les ha propuesto la tarea de estudiar y discutir calificación y pleno sentido a la vida. En el el desafío escolar con materiales que superan horizonte de la complejidad no hay respuestas la simplicidad de cartillas y documentos con fáciles, no hay fórmulas definitivas, no hay fórmulas elementales, invitándolos a trajinar certezas permanentes, no hay un orden indes- con elaboraciones de alto nivel académico pre- tructible. Por el contrario, vivir la complejidad paradas por grupos de profesionales vinculados implica saber moverse en la incertidumbre y la con las mejores universidades de la ciudad. provisionalidad.18 A cambio de un currículo prediseñado por Este es el reto que proponemos a los maes- áreas, asignaturas y resultados de aprendizaje, tros y maestras, convencidos de que quienes se ha propuesto la discusión de campos de han hecho de la educación y la pedagogía su pensamiento complejo, que permiten ver la vida y su profesión, estarán dispuestos a reco- interrelación de perspectivas diversas cuando rrer nuevos caminos de exploración intelectual se aborda la reflexión sobre los fenóme- que puedan enriquecer su propia vida y la de nos del mundo. Se trata de introducir una sus estudiantes.
    • SERIECuadernos de Currículo Orientaciones generales Bogotá: una Gran Escuela
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático 1. Orientaciones generales P ensar un currículo de matemáticas requiere plantearse preguntas de diferentes órdenes. Algunas, comolas que sugiere el documento de Lineamien- soluciones inmediatas y consensos simplistas. Es el esfuerzo profesional, tanto individual como colectivo, especialmente continuado que abre el camino para lograr no soluciones sinotos Curriculares de Matemática, publicado aproximaciones cada vez más elaboradas.por el MEN: ¿Qué son las matemáticas?, Este documento resulta de una tentativa en¿en qué consiste la actividad matemática en esta dirección. En diciembre de 2006 se ela-la escuela?, ¿para qué y cómo se enseñan las boró una primera propuesta de orientacionesmatemáticas?, ¿qué relación se establece entre curriculares para los ciclos de educación básicalas matemáticas y la cultura?, ¿cómo se puede A y básica B. En este año se conformaron dosorganizar el currículo de matemáticas?, ¿qué grupos de aproximadamente treinta y cincoénfasis es necesario hacer?, ¿qué principios, maestros y maestras que enseñan matemáticas.estrategias y criterios orientarían la evaluación Uno con profesores de los ciclos de básica Adel desempeño matemático de los alumnos?, y básica B y el otro con docentes del primerotras más podrían agregarse ¿el conocimiento ciclo. Con el primero se discutieron los plan-matemático es construido por los estudian- teamientos formulados en el documento ytes?, si es así, ¿cómo es esta construcción?, con el segundo los borradores para realizar¿cómo promoverla en la escuela? Seguramente una propuesta del primer ciclo. Esta es unael lector o lectora estará de acuerdo en que propuesta ampliada, y enriquecida con losestas preguntas no tienen respuestas fáciles, aportes de estos grupos y aunque es un exce-ni inmediatas y muchos menos concluyentes lente ejercicio, el trabajo no ha terminado, yy únicas. será provechoso para la educación del Distrito 21 Los estudiosos en matemática y en educa- entender que todavía requiere precisiones,ción matemática ofrecen respuestas distintas revisiones y aportes tanto de educadoresa estas preguntas, según sean los enfoques y como de investigadores. El compromiso deperspectivas que asuman. Se comprende en- los diferentes niveles del sistema educativo,tonces la complejidad de la tarea y la necesidad especialmente de los entes administrativosde entenderla como un problema que no tiene del Distrito, es grande, para gestar las con-
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela diciones reales –en tiempos, formación e las últimas décadas. Estos adelantos han posi- incentivos- que promuevan una discusión bilitado desarrollos importantes en materia de cada vez más fundamentada y comprometida investigaciones e innovaciones pedagógicas. en los colegios, las localidades y la ciudad. El Pero estos esfuerzos, en términos generales, compromiso de los maestros no es menor. No aún no se reflejan en el aula con la amplitud sólo porque hay que estudiar críticamente el y profundidad deseadas y necesarias. Sin em- documento, sino que es preciso enriquecerlo bargo, esta situación es resultante de múltiples con un conocimiento basado en el esfuerzo factores, y quizá convenga reconocer que permanente, donde los docentes cuestionen todavía existen vacíos en materia de políticas, las prácticas de los alumnos y reflexionen en el desarrollo de programas de formación sobre ellas soportados en las elaboraciones docente inicial y en servicio, así como en teóricas y las investigaciones. la promoción de grupos de investigación e Lo deseable es que este documento genere innovación que favorezcan la solidez de la un proceso que eleve las discusiones, las inves- comunidad matemática. Hay mucho camino tigaciones y las innovaciones a la altura de las por recorrer para transformar una enseñanza cuestiones y desarrollos alcanzados en el país centrada en la transmisión, en la memoriza- y en el mundo sobre educación matemática. Se ción mecánica de hechos matemáticos (defi- trata de hacer del ejercicio de educadores una niciones, algoritmos o técnicas) presentados actuación profesional consciente, documenta- de forma segmentada, por una enseñanza que da y responsable, capaz de problematizar prác- procura la comprensión genuina en la que ticas y de buscar caminos innovadores, que niños y jóvenes se enfrentan a situaciones in- incidan de forma significativa en las múltiples tegradas, permitiéndoles construir significados dificultades existentes al tratar de promover el propios de los hechos. pensamiento matemático de los estudiantes. Si bien se aprecia el esfuerzo de muchos La calidad de la enseñanza no se elevará úni- maestros por ofrecer a los estudiantes una ma- camente con la entrega de procedimientos y temática que resulte interesante y agradable, técnicas didácticas, o el ejercicio de acciones además de una enseñanza activa, lúdica y liga- de control, sino con el mejoramiento de las da a actividades cotidianas, en muchos casos condiciones de posibilidades de los maestros las acciones que se adelantan se trivializan. El y alumnos, y el compromiso de los docentes propósito de lograr que el aula se constituya de asumir el reto de complejizar sus compren- en un espacio que funcione “a la manera de una siones sobre la pedagogía y la didáctica. comunidad de pequeños matemáticos”, en la que A pesar de las limitaciones que se tengan que los alumnos se dedican a “hacer matemática”, reconocer y que algunos sectores académicos cede lugar a la tradición. La enseñanza con se encargan de evidenciar, son innegables los frecuencia continúa no teniendo un sentido, avances que en el país se han logrado en tér- pues los educandos son simples receptores de22 minos de las formulaciones sobre educación la información que entrega el profesor. matemática. El documento de lineamientos Este documento pone a consideración curriculares es una buena concreción de estos de los educadores matemáticos de Bogotá desarrollos. También son incuestionables los orientaciones a partir de las cuales se confi- progresos en la conformación de organizacio- gura lo que se ha atrevido llamar el campo del nes académicas de educadores matemáticos en Pensamiento Matemático.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático Estas orientaciones asumen como punto la dicotomía entre pensamientos y sistemas mate-de referencia la propuesta de la Secretaría de máticos. Se habla de pensamiento como unaEducación sobre los Colegios públicos de excelencia unidad producto de dos procesos indisolubles,para Bogotá (SED, 2006), así como los Linea- los desarrollos cognitivos del estudiante a lomientos Curriculares de Matemática elaborados largo de su desarrollo mental (intelectual) y lapor el Ministerio de Educación (MEN, 98) y apropiación compresiva de las herramientasla versión de los estándares 2006 del MEN. matemáticas que logra como fruto de la ac-Con relación a estos últimos, más que seguir ción de la escuela y de la acción social generalla propuesta específica de la secuencia y distri- (se entiende que estas herramientas no sonbución de estándares a lo largo de los niveles, únicamente informaciones, definiciones yse tuvo en cuenta la primera parte, en la que procedimientos que se aplican para resolverse define lo que allí se llama los cinco procesos problemas sino instrumentos para pensar elde la actividad matemática y los pensamientos mundo). Por eso en esta propuesta el lectory subsistemas. El primero de estos referentes, no encontrará la acostumbrada diferenciael de Colegios Públicos de Excelencia, invita a que desde varios años se hace en el país entreconsiderar el aprendizaje de la matemática no pensamiento y sistema.como la simple acumulación fragmentada de El documento contiene cinco capítulos. Eninformación a lo largo de un año escolar, sino el primero se realizan formulaciones genera-como un proceso que responde a dos criterios: les sobre la naturaleza de la matemática y deEl primero indica que el desarrollo del co- la educación matemática y en el segundo, senocimiento matemático es una construcción formulan las orientaciones curriculares. Allícontinua que necesita de varios años para se hacen desarrollos amplios de los diferentesconsolidar cambios importantes, mientras que subcampos. Cada uno de los tres capítulosel segundo destaca que este proceso requiere siguientes registra los desarrollos específicosdarse en experiencias de enseñanza que pro- para cada uno de los tres ciclos. En ellos securan un conocimiento más integrador, en el encontrarán orientaciones sobre el énfasis queque se establezcan relaciones más estrechas se propone hacer y sugerencias para el trabajoentre los diferentes sistemas del conocimiento en el aula de ese ciclo en los ejes. Un desarrollomatemático y de éste con otras campos del más en detalle de los subcampos en cada ciclo,saber. Con relación a los otros dos referen- en el que se ofrezcan orientaciones sobre lostes, el de los lineamientos y estándares, ha de énfasis convenientes, podrá ser parte de undecirse que se aceptan su espíritu y enfoque, desarrollo posterior.aunque el lector o lectora encontrará algunasdiferencias en el momento de la concreción de Se agradece la participación entusiasta enla estructura curricular, en particular cuando se la discusión de este material de los maestrosdefine lo que en el documento de lineamientos y maestras de los colegios distritales que aten-se reconoce como el eje de los procesos y en la dieron la invitación que realizó la Secretaría 23relación que se establece entre pensamientos de Educación, así como los aportes valiososy sistemas matemáticos. En cuanto al primer que realizaron de forma sistemática durantepunto, se reduce el número de procesos de- la discusión de la primera versión. Comofinidos por el MEN porque algunos de ellos parte del interés por vincular a los docentes alse consideran estrategias y no procesos. Con desarrollo de esta propuesta de orientacionesrelación al segundo punto, se busca romper curriculares, la SED organizó dos grupos de
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela trabajo: uno conformado por maestros del tura de los diferentes grupos humanos. De esto primer ciclo (de preescolar a segundo grado) se desprenden dos consecuencias: una, que y el otro con profesores y profesoras de los ese cuerpo teórico disciplinar que reconocido ciclos de educación básica A y B. A lo largo como “-La Matemática1”, es una producción de cuatro talleres con cada grupo se presen- fruto de la historia humana y por lo tanto del taron las propuestas de orientaciones en los encuentro –incluso conflictivo- de diferentes respectivos ciclos, se invitaron conferencistas culturas.2 Dos, existen diferentes producciones que ofrecieron fundamentos conceptuales, los matemáticas que diversos grupos humanos maestros discutieron las propuestas e hicieron han construido en su intento de explicarse aportes importantes. Dicho trabajo se tuvo el mundo y satisfacer sus necesidades vitales. en cuenta en la formulación de la versión que Aunque estos conocimientos no posean el aquí se presenta. mismo carácter universal y no ofrezcan la misma solidez teórica alcanzada por lo que se denomina como la “Matemática Universal”, 1.1. Naturaleza del tienen importancia en tanto que se constituyen conocimiento matemático en herramientas utilizadas por los miembros Aproximar una respuesta sobre la natura- del grupo que las producen. leza del conocimiento matemático y de los Hoy en día, puede parecer extraño que esta objetos que construye el cuerpo teórico de forma de ver la Matemática no haya sido evi- la matemática requiere entender cuál es el dente en el pasado. Sin embargo, las cosas no proceso de producción de este conocimiento. son tan simples como aparentan. No es tan Precisamente en las líneas se plantean algunas sencillo ofrecer respuestas a preguntas como: ideas consideradas importantes para la formu- ¿los objetos de la Matemática y la actividad ma- lación de algunas propuestas de orientaciones temática son de la misma naturaleza que los de curriculares en el campo del pensamiento otras ciencias, por ejemplo las ciencias físicas o matemático. las ciencias sociales?, ¿existe alguna diferencia, entre la naturaleza del número y la de la ley 1.1.1 El conocimiento matemático de gravedad?, ¿el proceso de construcción del es una producción cultural conocimiento matemático es semejante al pro- ceso de construcción del conocimiento físico? A partir de la segunda mitad del siglo pa- Es importante que el maestro reflexione pro- sado se hacen desplazamientos orientados a fundamente y de forma documentada sobre reconocer que el conocimiento matemático, estas preguntas. No como un mero ejercicio así como cualquier otro conocimiento, es una académico, sino para construir sus propias y producción social, histórica y cultural. A partir de los desarrollos de la filosofía, la sociología 1 Siguiendo a Bishop, se escribirá Matemática en mayúscula para24 del conocimiento, la antropología y la episte- referirse al cuerpo disciplinar de la matemática. Y matemática en minúscula para ese conocimiento más local, producido por los mología sobre la naturaleza y el proceso de grupos humanos específicos a los largo de su experiencia vital. producción del conocimiento, particularmente 2 Hay trabajos desde diferentes perspectivas. Desde la filosofía, del científico y más específicamente del ma- Lakatos (1976), Davis y Hersh (1980), y Tymoczko (1986). Desde la antropología y con trabajos más cercanos a la temático, hoy se reconoce (aunque se vivan educación matemática, (1986). Bishop A, en sus estudios de profundos debates) que la matemática es una “Enculturación Matemática” y D’Ambrosio U., en sus trabajos sobre Etnomatemática, Además los aportes de Brousseau (1986), actividad humana y como tal pertenece a la cul- Chevallard (1997), entre otros.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticogenuinas explicaciones, ya que las compren- producto terminado. Un panorama tal de lasiones que sobre ellas se tengan condicionan matemática tiene poderosas consecuenciaslo que se hace –o se deja de hacer- en el aula. educativas. Los fines de la enseñanza de laUna forma será cómo el pedagogo proceda; matemática requieren incluir la facultadpor ejemplo, si piensa las figuras geométricas de los aprendices para crear su propiocomo objetos físicos (así como las fuerzas de conocimiento matemático; la matemáti-los campos gravitacionales generadas por los ca puede ser reformada,3 al menos en lacuerpos en razón de su masa) y otra si conside- escuela, para permitir a más grupos accederra que éstas son construcciones que resultan de a sus conceptos, y a la riqueza y el poder quecomparar las formas de las caras de los objetos su conocimiento conlleva; el contexto social ytridimensionales que se pueden manipular en los usos y prácticas de la matemática puedenel mundo físico. En el primer caso orientará ya no ser legítimamente dejadas de lado, lossu acción como si la enseñanza debiera tratar valores implícitos de la matemática requierende ayudar a los estudiantes a abstraer la forma ser encarados. Cuando la matemática es vistade los objetos. En el segundo, buscará ir más de esta manera necesita ser estudiada en losallá de registros perceptivos, pretendiendo que contextos vivos los cuales son significativos ylos estudiantes construyan relaciones entre los relevantes para los aprendices, incluyendo suselementos que determinan esas formas y que lenguajes, culturas y vivencias cotidianas, tantoestablezcan relaciones entre ellas. como sus experiencias de referencia escolar.1.1.2. El conocimiento matemático 1.1.3. Los procesos de producción no es un cuerpo teórico de y de presentación del verdades infalibles y objetivas conocimiento matemático Independientemente de la discusión filosó- son distintosfica sobre si los objetos últimos de la Matemá- El proceso de construcción del conoci-tica como disciplina se ocupan de universales miento matemático, como el de cualquier otroque transcienden las particularidades de la conocimiento, es distinto del que se sigue paracultura y el tiempo, los trabajos referidos pro- su presentación. Incluso podría decirse que seponen que ésta se deje de percibir como un dan en direcciones opuestas. Mientras el pro-cuerpo de verdades infalibles y objetivas y que ceso de producción de conocimiento matemá-por el contrario, se piense que es cambiante tico se parece más a ensayos poco rigurosos yy falible, como cualquier otro conocimiento poco sistemáticos, más similares a un acto deproducto de la invención humana. Este hecho creación que a un proceso de cadenas deduc-no se limita a los confines de la epistemología tivas como aparece en los libros, el proceso dede la matemática; también tiene que ver con la presentación ante las comunidades de pares 25enseñanza. Paul Ernest (1991), dice: como un proceso sistemático y coherente, en Si es reconocido que la matemática es una este caso, regido exclusivamente por el razo-construcción falible y social, entonces es namiento deductivo. Los titubeos del procesoun proceso de indagación y acercamientoal conocer, un campo de creación e inven- 3 Con Chevallard (1991), se puede decir que necesariamente es transformada, reformulada (aunque se hagan inconscientemente)ción expandiéndose continuamente, no un como fruto de la transposición didáctica.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela de creación se ocultan, lamentablemente en los 1.1.4. Lo universal y lo particular manuales universitarios usados en la formación en la producción del académica de los futuros educadores matemáti- conocimiento matemático cos y en muchos de los que se utilizan con los niños y jóvenes, el conocimiento matemático Algunos autores y educadores matemáticos creen encontrar en el derrumbe de las ideas aparece como si fuera un producto acabado, de infabilidad y de universalidad de la Mate- hecho que hace que los aprendices se formen mática, la negación de cualquier posibilidad una idea inadecuada del verdadero proceso de de encontrar invariantes y regularidades en el construcción del conocimiento matemático. proceso de producción del conocimiento, por Brousseau (1986), comenta: lo cual asumen un nuevo absolutismo, toda Antes de comunicar lo que piensa que construcción matemática es “absolutamente ha encontrado, un investigador tiene que relativa”. Sin embargo, autores como Bishop determinarlo: no es fácil distinguir, en el (1999) reconocen una Matemática universal y admiten la universalidad en lo que podría reco- laberinto de las reflexiones, cuáles son nocerse como unas matemáticas académicas, susceptibles de convertirse en un saber a pesar de identificar prácticas matemáticas nuevo, e interesante para los otros; las elementales que son utilizadas en diferentes demostraciones obtenidas, pocas veces grupos culturales. Bishop, no sólo reconoce coinciden con las conjeturas previas; hay una matemática “erudita”, o “universal”, sino que proponerse toda una reorganización además unas actividades matemáticas univer- de los conocimientos más próximos, sales que están presentes en todos los grupos anteriores o nuevos. humanos al buscar la satisfacción de sus ne- cesidades básicas. Muestra la existencia de seis También es necesario suprimir todas las actividades matemáticas que todos los grupos reflexiones inútiles, la huella de los errores humanos realizan y a partir de las cuales han cometidos y los caminos erráticos... . construido sus propios conocimientos en su Cuando se enseña matemáticas o cualquier mundo de experiencias vitales. Estas activida- otro campo del saber, no sólo se acerca a los des son: contar, localizar, medir, diseñar, jugar estudiantes a unos conocimientos, sino tam- y explicar. Sobre la relación entre lo universal bién a visiones sobre cómo se construye ese y lo particular este autor dice: conocimiento, sus métodos, y sus formas de He argumentado la propuesta de que validación. En ese sentido, se les está ayudan- existen seis actividades “universales” do también a construir ideas, que harán parte esenciales que constituyen el fundamen- de lo que muestran en sus actitudes al estudiar to para el desarrollo de las matemáticas y aprender matemática. El que los estudiantes en la cultura. También he mostrado que todas las culturas han desarrollado asuman el papel de simples receptores y/o me-26 necesariamente su propia tecnología morizadores, el que exhiban poca capacidad simbólica de la matemática, como res- argumentativa, el que muchas veces se resis- puesta a las “demandas” del entorno, tan y se consideren incapaces de enfrentar lo experimentadas a través de estas activi- nuevo a partir de sus propias comprensiones, dades. Sin embargo, como resultado de es fruto, en gran medida, de la forma como ciertos desarrollos intraculturales y tam- se les enseña la matemática. bién de la interacción y el conflicto entre
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático culturas diferentes, ha aparecido una gama de hechos en órdenes diferentes. Va línea de desarrollo concreta e inidentifi- desde los fines que una sociedad se fija como cable. Esto ha dado lugar a las Matemá- deseables de alcanzar por sus niños y jóvenes ticas, la disciplina internacionalizada que después de un proceso de formación, los conocemos hoy, una versión muy poten- programas y políticas que se implementan te de las matemáticas en la cultura. y los controles que se ejercen; pasa por el Estas consideraciones son importantes para estudio de las formas como se transfieren losla enseñanza, ya que en un sentido llaman conocimientos de la disciplina a la situacionesla atención sobre la necesidad de reconocer de enseñanza en el aula (programas de forma-los saberes propios de los estudiantes como ción de los futuros maestros y de maestros enmiembros del grupo en el que se inscribe su servicio, la producción de materiales de divul-existencia y, en otro sentido complementario gación del conocimiento disciplinar dirigidosque es la de enriquecer estos saberes con la a estudiantes y a quienes están vinculadosapropiación comprensiva del conocimiento de a enseñanza) y llega a las concreciones quela matemática académica. Es ilustrativo el he- se hacen en las instituciones escolares (lascho paradójico observado por el profesor de formas de planear, de evaluar, los periodossectores populares con aquellos niños que en académicos que se organizan, los controlesla calle se muestran hábiles para hacer cuentas que se hacen, la intensidad y periodicidad dey fracasan en la aritmética de la escuela. Este los horarios, las expectativas de los padres dehecho llama la atención sobre la necesidad familia) y las de aula (las experiencias que sede rescatar, en el aula, las producciones noformalizadas, no académicas, es decir, cómo desarrollan, cómo se desarrollan, los apoyosestos niños hacen cuentas para que el maestro que se ofrecen a los estudiantes, las formaspueda conocerlas, descubrir los significados de comunicación que se establecen entre losdel número sobre las que descansan y en esa alumnos y entre el profesor y los educandos,medida contribuirles a sistematizarlas, pro- en general como se da el mundo de interac-moviendo en ellos la producción de escrituras ciones en el aula, las concepciones que tiene elque interpreten los significados alcanzados. maestro de lo que enseña y para qué lo enseña,Es por eso que el maestro debe ayudarles a al igual la de los estudiantes sobre ese objetocomplejizar sus comprensiones del sistema de que aprenden, de cómo deben aprenderlo yescritura y lectura de los números, con el fin de para qué deben aprenderlo, las actitudes epromover el tránsito a los algoritmos forma- intereses como aprendices). El espectro deles. En otras palabras, el hecho de destacar la análisis de ese espacio de la práctica socialimportancia de los conocimientos locales no denominado educación matemática es bas-excluye la responsabilidad que tiene la escuela tante amplio, incluye lo que según D´Amorede acercar a los estudiantes al conocimiento (2006) Godino y Batanero (1998) proponenmatemático universal. llamar como Educación Matemática, es decir lo relativo a la teoría, desarrollo y práctica de 271.2. Naturaleza de la la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, educación matemática y la investigación cuyo objetivo es “identificar, caracterizar y comprender los fenómenos Un análisis de ese espacio de la práctica y procesos que condicionan la enseñanza ysocial que se puede incluir bajo el nombre de aprendizaje de la matemática”; para efectosEducación matemática, engloba una amplia de este documento en lo que sigue se hacen
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela algunas consideraciones más circunscritas a El saber que se presenta al estudiante no los niveles de la institución escolar y del aula, es el saber “sabio” o el saber “erudito”, el es decir más cercanas a lo que es propio de saber que llega al aula es transformado para la didáctica. hacerlo apto para la enseñanza El vértice del Brousseau (1986) menciona que “la didác- profesor se refiere al conjunto de todo lo que tica de las matemáticas estudia las actividades actúa sobre el alumno y sobre lo que él actúa; didácticas, es decir, las actividades que tienen está relacionado con la actividad que hace por objeto la enseñanza, evidentemente en lo en el aula cuando interactúa con los otros que tienen de específicas respecto de las ma- y con el saber. El vértice del estudiante está temáticas”. Un poco más adelante el mismo relacionado con el conjunto de acciones que autor precisa que se refieren a los compor- realiza para transponer el aprendizaje, para tamientos cognitivos de los alumnos, pero crear situaciones didácticas y acompañar al también a los tipos de situaciones puestas en estudiante en la construcción de sus propias juego para enseñarles y sobre todo a los fenó- construcciones. Cada uno de los lados de menos a los cuales da lugar la comunicación este triángulo constituye subsistemas que es del saber. Por su parte Sierpinska y Lerman necesario estudiar en detalle para dar cuenta (1996) destacan que “la didáctica matemática de este gran sistema didáctico. no sólo trata de los contenidos matemáticos La relación pedagógica además de estar que se enseñan, sino que también tienen que mediada por el saber, ante todo es una rela- ver con los procesos inherentes en las prác- ción entre personas, allí están presentes ex- ticas de enseñanza-aprendizaje, los procesos pectativas, intereses, motivaciones, creencias cognitivos de los niños y las comprensiones y roles institucionales de maestros y alumnos. de los profesores, todo inmerso en ambientes Las interacciones sociales de los actores en el escolares”. aula construyen allí una organización social en la que se dan liderazgos y se establecen re- 1.2.1. La tríada didáctica laciones de poder. Estos elementos también componente activo de la hacen parte del análisis del sistema didáctico. actividad matemática Estas especificidades hacen que cada expe- riencia didáctica sea única, razón por la que Son Chevallard y Joshua, (1982) quienes no existe una transferencia de experiencia instauran el uso del triángulo maestro, estu- didáctica como un simple traspaso, más bien diante y saber como herramienta para analizar los fenómenos presentes en el proceso de existe la posibilidad de reconstrucción. enseñanza-aprendizaje. 1.2.2. Potenciar el pensamiento Profesor matemático, propósito28 fundamental del quehacer en el aula El papel del maestro al enseñar es el de potenciar el desarrollo (o construcción) del Estudiante Saber pensamiento matemático de los estudiantes. Algunos autores preferirían no hablar de
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticoenseñanza, porque entienden este término su cognición y que no está enseñando a loscomo simple transmisión, como entrega alumnos sobre matemáticas.de conocimientos que el estudiante debe ¿Cómo potenciar el pensamiento mate-memorizar. Otros quisieran no utilizar ex- mático del estudiante? Diseñando experien-presiones como desarrollo o construcción cias para que se involucre en actividades queporque para ellos la primera expresión lo pongan en el papel de hacer matemática.la entienden como un proceso resultado Estas experiencias son vivencias en las quede la maduración fisiológica y la segunda los educandos se apropian de un problemacomo si este proceso fuera únicamente que tienen que resolver, por lo que logranresponsabilidad del estudiante, por lo que llenarlo de sentido y movilizan sus propiosconsideran que se niega la posibilidad de conocimientos para configurar posibles ca-intervención pedagógica. Se propone man- minos de solución. Estas experiencias sontener el término de enseñanza para insistir invitaciones a pensar, a dialogar, a debatir,en la acción de orientar, dirigir, señalar a la búsqueda colectiva.que tiene quien enseña. Estas acciones soncontrarias a la de transmitir información. Para elaborar este tipo de experienciasEn lugar de entender la palabra desarrollo Brousseau sugiere que los maestros realicencomo el despliegue de un proceso de madu- un estudio epistémico e histórico de losración, se puede entender como el proceso conceptos a enseñar. Entre más claro seacomplejo resultante de múltiples factores, para el docente el significado del concep-uno de ellos tiene que ver con el proceso to en el sistema teórico de la matemática,de desarrollo fruto del complejo sistema las condiciones históricas y culturales dede interrelaciones entre lo fisiológico y el la emergencia del concepto; el estudio demedio físico, social y cultural; pero además la psicogénesis del concepto y un análisisde éste, está el de las construcciones de los didáctico (Guzmán 1989), mayores son lasestudiantes fruto de sus experiencias con posibilidades que puede ofrecer a sus estu-el mundo natural, social y cultural, inclui- diantes, tanto por el diseño de las experien-das las experiencias extraescolares y las cias didácticas como por la interpretaciónescolares. El saber (entendido como saber de lo que hacen sus alumnos y del tipo degenuino) que construye el alumno no es interpelaciones que conviene hacer.fruto exclusivo de la acción escolar, es más Las situaciones o experiencias didácticasbien el resultado de la interacción de las se caracterizan porque el estudiante se en-construcciones propias de los educandos al frenta a situaciones en las que se apropiaintentar comprender y darle sentido a cada de un problema; en la búsqueda de caminosuna de sus experiencias, entre ellas lo que de solución, unas veces entre los alumnosse enseña en la escuela. Esta forma de ver, sin la intervención directa del profesor ypuede ayudar a entender la enseñanza más otras, entre los educandos y el profesor, 29allá de intentar transmitir un conocimiento, se comunican y negocian las tentativas deno obliga a entender como lo sugiere Con- solución. Las intervenciones del docentefrey (1990, citado por Sierpinska y Lermans, están orientadas a ayudar a enriquecer las1996), que una nueva didáctica consiste en discusiones, a tener en cuenta posicionesque el profesor reconozca que él les está en- contrarias, a requerir intentos de validación,señando a sus estudiantes cómo desarrollar a precisar y ampliar conclusiones.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela 1.2.3. La transposición didáctica el acto de la transposición didáctica está ligado por la institucionalidad.5 Como ya se dijo el saber “sabio”, o el saber de la disciplina matemática se transforma para Este proceso prolongado de transposición adaptarlo en conocimiento para ser enseñado. didáctica muestra la diferencia entre la mate- Este proceso es uno de los eslabones de la su- mática como disciplina y la matemática escolar. cesión de cambios que el saber disciplinar sufre Reconocer el carácter necesario de este proceso antes de llegar al aula descrito por Chevallard. de transposición es importante en el momento Éste se inicia en el mismo acto de creación del del diseño de las experiencias de enseñanza ya conocimiento disciplinar, ya que el matemático, que pone al descubierto no sólo la imposibi- al presentar sus construcciones a la comunidad lidad de llevar a la enseñanza el conocimiento matemática lo “limpia” de los errores, obstá- disciplinar tal cual está reconocido por la comu- culos y de posibles fracasos que enfrentó en nidad matemática, sino la necesidad objetiva de su etapa de construcción, como también del la educación como negociación de significados. contexto específico que promovió sus reflexio- La negociación de significados no es tanto el nes. Este nuevo conocimiento se formaliza, deseo loable producto de los mayores ideales despersonaliza, descontextualiza, se abre a la democráticos, sino un acto inherente a la co- generalización, a aplicaciones diferentes. “El municación humana, de ahí que la enseñanza proceso de transposición didáctica comienza debe esforzarse en potenciarla. cuando el matemático se dispone a comunicar sus resultados a sus colegas matemáticos” 1.3. Caracterización del (Chevallard, 1991). campo de Pensamiento Después de que este conocimiento hace par- Matemático te del cuerpo disciplinar, comienza una nueva etapa de cambio. Las personas encargadas del Siguiendo a Piaget y a Vergnaud podría diseño curricular justifican la inserción de este afirmarse que el campo del Pensamiento nuevo conocimiento en los currículos, ofrecen Matemático se ocupa del desarrollo de esa directivas sobre el papel que éste debe jugar. Las dimensión lógico-matemática, entendida diferentes instancias que median estas innova- como la capacidad de establecer relaciones ciones hasta llegar al profesor (formación de y de operar con éstas. Esta capacidad no maestros, editoriales). Una última etapa que se surge únicamente de las potencialidades presenta se da cuando el profesor genera una cognitivas de los sujetos, adquiridas como nueva transformación del saber para presen- miembros de la especie humana, ni tampoco tarlo a los estudiantes y ellos en el esfuerzo de se dan exclusivamente en el desarrollo de un comprender y aprender,4 generan significados sujeto en su interacción con el medio físico. propios, el proceso de enseñar debe velar30 porque cada vez sean más próximos a los sig- 5 Según Sierpiska y Lerman (1996) afirma que Chevallard considera nificados de la disciplina. Como se reconoce, que todo conocimiento es conocimiento de una institución. La investigación profesional en matemáticas es una institución, la escuela otra, la familia otra. Las matemáticas también ‘viven’ en la industria y los negocios. Pueden vivir en cada una de estas instituciones, pero, por medio de adaptación, se convierten en 4 Según Chevallard y Joshua (1982), el aprendiz tiene que hacer una matemática diferente. Los estudios epistemológicos de las el resultado como propio, creando una camino personal para su matemáticas deberían investigar las fuentes, modos de control, comprensión y encarnándolo en el contexto de los problemas en y mecanismos de crecimiento de las matemáticas en todos los los está trabajando actualmente. ‘nichos ecológicos’ en que viven.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento MatemáticoEn su surgimiento también están involucra- En su oposición a una concepción empiristados los significados que va construyendo en del conocimiento, afirma que “no descubrimosel esfuerzo de apropiarse de las herramientas las propiedades del objeto si no agregamos algunasimbólicas producidas por la cultura, que en cosa a la percepción” y que lo que agregamosnuestro caso se relaciona directamente con el es un conjunto de cuadros lógico-matemáticosconocimiento matemático escolar. que son los únicos que posibilitan las lecturas Podría afirmarse entonces que este campo perceptivas. Para este autor la experiencia no es accesible jamás sino por intermedio de los cua-tiene que ver con ayudar a los niños y jóvenes dros lógico-matemáticos.a construir y apropiarse (comprensivamente)de las herramientas simbólicas y tecnológicas Gardner (1994) retoma esta postura alde la matemática escolar, que los haga sujetos definir lo que él distingue como inteligenciacada vez más capaces de establecer relaciones lógico-matemática:y operar con éstas en diferentes situaciones Los orígenes de esta forma de pensa-y contextos, para conocer y actuar creativa y miento se pueden encontrar en una con-críticamente como ciudadanos. frontación con el mundo de los objetos Esta forma de pensar el campo del Pensa- (en su ordenación y reordenación y en lamiento Matemático tiene una gran incidencia evaluación de la cantidad), el individuoen términos de: integrar diferentes procesos se vuelve más capaz para apreciar laspresentes en el pensamiento matemático escolar acciones que uno puede efectuar sobrey no escolar, integrar los diferentes subcampos los objetos, las relaciones que se obtienenque componen el conocimiento matemático y entre estas acciones, las declaraciones (oestablecer relaciones con otros campos del co- proposiciones) que uno puede hacer res-nocimiento humano. En otras palabras, permite pecto de las acciones reales o potencialesver el campo no como un espacio en el que se y las relaciones entre estos enunciados.estudian exclusivamente contenidos sino en el No es conveniente descartar la tesis deque se desarrolla el pensamiento. Piaget al identificar en la actividad de pensar de los sujetos una dimensión operatoria1.3.1. El carácter operatorio del asociada a una capacidad de establecer rela- pensamiento ciones y ejecutar operaciones al enfrentarse a la resolución de problemas de diversa na- Piaget distingue dos dimensiones del pensa- turaleza, aunque los debates actuales en estemiento una física y otra lógico-matemática: campo evidencian la poca capacidad expli- Existen dos formas de experiencia: cativa que tiene el estructuralismo genético la física, consistente en actuar sobre los para dar cuenta de la actividad intelectual objetos para obtener un conocimiento de los sujetos, al presuponer la existencia de 31 por abstracción a partir de estos objetos unas estructuras cognitivas que evolucionan mismos y la experiencia lógico-matemática, a lo largo del proceso de desarrollo de estos, en la que se actúa sobre los objetos pero pasando por ciertas etapas que se encargarían por abstracción de conocimientos a partir de determinar la totalidad o parte de su acti- de la acción y no ya más de los propios vidad intelectual. La investigación cognitiva objetos (Piaget, 1972). actual insiste en reconocer que la capacidad
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela operatoria del sujeto siempre está condiciona- la unidad centímetro, hasta recubrirla en su da por los contenidos del pensamiento con los totalidad. Pero esta no es la única, ni la más que éste opera. Además, que estas capacidades importante relación que podemos establecer operatorias son construidas por sujetos inscri- entre estos dos sistemas. tos en contextos culturales y están soportadas Ambos, el número y la medida, surgen de la o mediadas por las herramientas simbólicas que necesidad de cuantificar la extensión, que para han producido los grupos humanos a lo largo el primer caso corresponde a una colección y de su historia. Sin embargo, parece conveniente para el segundo a una magnitud. Al comparar mantener dos tesis fundamentales de la expli- dos números o dos medidas se puede decir cación que ofrece el estructuralismo genético una de las tres cosas siguientes: “a es más de Piaget y son: El pensamiento es operatorio que b”, “a es menos que b” o, “a es igual a b”. y esta dimensión está presente cuando el su- Para que el estudiante esté en capacidad de jeto intenta darle significado a la información dominar lo relativo al número y a la medida, que recibe del mundo exterior y existe cierto no basta con que sea capaz de establecer estas carácter universal de algunas formas como los relaciones; lo más importante es construir la sujetos organizan (operan) la información. capacidad de operar con ellas. Con el desarrollo de los estudios cognitivos completaremos diciendo que la universalidad Esta capacidad operatoria supone por una está determinada en el interjuego que el sujeto parte la composición de la relación directa con establece en sus experiencias con el mundo la inversa. En el número se dirán cosas como: físico y con las herramientas simbólicas propias “La colección A tiene más elementos que la co- de la cultura en la que está inscrito. lección B, pero menos que C”. En lo referente a la medida se podrán decir cosas como: “En la A continuación se ilustra mediante un ejem- vasija A cabe menos líquido que en la vasija B, plo lo que significa aceptar el carácter opera- pero más que en C”. Expresiones que podrán torio del pensamiento y las implicaciones en el ser comprendidas en tanto se tenga la capacidad plano de la educación matemática y las relacio- de coordinarlas y representarse mentalmente nes entre los contenidos que se enseñan. que en ambos casos “A está entre B y C”. Este El orden está presente en los diferentes sis- ejemplo elemental, al que generalmente puede temas del conocimiento matemático escolar. enfrentarse un niño de corta edad, puede verse Aunque en muchas prácticas de enseñanza de forma más compleja de la siguiente manera: el número y la medida se abordan como dos En una situación en la que ya no se trata de una procesos no sólo distintos sino independien- colección A particular, sino de un conjunto de tes, desde el punto de vista de la organización colecciones A que superan en la cantidad de de los conocimientos de la matemática escolar elementos a B, a la vez que es superada por y de los procesos cognitivos involucrados, en- la cantidad de la colección C. Por ejemplo,32 contramos que sus conexiones son profundas. cuando se presenta un gráfico en el que se Lo más inmediato es reconocer que el número representa la cantidad de gasolina consumida está en la medida, en tanto que allí tenemos por un automóvil según el kilometraje recorrido que contar como cuando decimos “ese palo y se obtiene esta información: el consumo C mide 45 cm”. Nos podemos imaginar que (en galones) es 5<C<10, para los kilómetros esta expresión puede significar que a lo largo recorridos R es 140<R<280. Estos enunciados de ese palo se coloca, una tras otra 45 veces abstractos no podrán comprenderse y menos
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticose podrán poner en relación si no se está en los alumnos la tarea de integrarlos. Tarea quecapacidad de componer las relaciones “mayor” en muchos casos no se realiza.y “menor”. Pero estas capacidades operatorias no sólo En general, todas aquellas situaciones que están presentes en los contenidos de la matemá-lleven al manejo de conjuntos acotados inferior tica, también están presentes en otros sistemasy superiormente, requieren esa capacidad del conceptúales Esquema como estos, en los quepensamiento de operar con la relación inversa aparecen tres clases, una incluida en la otra,y la directa. Esto es lo que reconoce el profesor en cualquier sistema de clasificación, como lasde undécimo cuando enseña intervalos en los taxonomías de la zoología y la biología, o cual-reales x>a y x<b, representándolos como a< quier otro, se tendría un orden de inclusiones de clases de clases.x<b o b> x> a o de forma gráfica sobre la rectanumérica como: Esquemas como estos, en los que aparecen a tres clases, una incluida en la otra, se pueden a<x<b encontrar en muchos contenidos de la mate- b mática y en contenidos externos a ésta. Por Adicionalmente a la capacidad de componer ejemplo en el subcampo de lo geométrico: silas relaciones inversa y directa, por otra parte, la clase C corresponde a la clase de los cuadri-supone manejar la transitividad. La transitivi- láteros, la B a la de los paralelogramos y la A a la de los rectángulos, entonces es correctodad desde el punto de vista cognitivo no es afirmar que A está incluido en B, que a su vezotra cosa que la capacidad de comparar dos está incluido en C; de ahí que A esté tambiénelementos A y B de forma indirecta, a través incluido en C. Otros ejemplos se pueden ilus-de las comparaciones de éstos con un tercero trar desde cualquier taxonomía de la zoologíaC. Por ejemplo, cuando se dice que “en la caja o de la botánica.A hay más objetos que en C y en C hay más Conviene insistir ahora en tres puntos paraque B”; de ahí se infiere que necesariamente precisar la caracterización que se ha hecho delen A hay más que B6. Obsérvese que estos campo del Pensamiento Matemático:enunciados son reproducibles en el caso delas medidas de cualquier magnitud (longitud, • Las formas de operar con las relacionescapacidad, peso, etc.). establecidas entre los conceptos involu- crados en los diferentes contenidos que Este ejemplo del manejo del orden en el se estudian en el campo de la matemáticanúmero y la medida, ilustra que efectivamente o en cualquier otro, no agotan todas lasla compresión de diferentes sistemas concep- posibilidades y necesidades de compren-tuales correspondientes a subcampos diferentes sión. Cuando los estudiantes tratan dedel conocimiento matemático, hace demandas comprender los sistemas de conceptoslógicas comunes. Desconocer este hecho limita que se les enseñan, no se limitan a operaral profesor para ofrecer apoyos más adecuados con estos conceptos, sino que además 33a sus estudiantes, lo que hace que muchas veces establecen relaciones o vinculaciones dese presenten los conceptos de estos sistemas tipo experiencial. Esto es como decir quede manera desarticulada, dejando en manos de un niño no resuelve un problema como “Daniel se quedó con 7 canicas después de perder6 La comparación entre A y B no se hace de forma directa. Se infiere 5, ¿cuántas canicas tenía en un comienzo?”, por- gracias a que A y B se compararon con C. que se limite a organizar la información
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela contenida en un esquema aditivo numérico la pretensión de que después sean aplicadas (algunos autores dicen estructura), sino a contenidos particulares. Tampoco deben porque además se representa episódica- ser vistas como prerrequisitos que deben mente la situación de juego, recupera su enseñarse antes de la comprensión de los experiencia y con ello es capaz de entender contenidos. El niño, va capacitándose para que el enunciado le habla de un episodio operar porque el profesor propicia condi- parecido a lo que él hace cuando juega, ciones para ello, a través de los múltiples pero que en este caso la situación es narrada sistemas de conceptos que le enseña. de forma incompleta ya que le falta el dato inicial. Esta segunda forma de proceder es muy propia del niño que todavía no posee 1.3.2. Implicaciones curriculares un esquema más o menos elaborado, ra- De las ideas hasta aquí expuestas se despren- zón por la que se representa el problema den consecuencias que inciden en el currículo. A reproduciendo la acción que evoca. Pero, continuación se exponen algunas consideraciones a medida que avanza en su pensamiento aditivo, la reproducción de la acción no que se destacan por tener más impacto al tratar de es tan episódica, hasta llegar a niveles en formular algunas orientaciones curriculares. los que opera con las partes y el todo en abstracto, proceso este que se hace posible Adecuar a las posibilidades del gracias a los progresos en la apropiación de pensamiento de los estudiantes los representaciones simbólicas. contenidos a enseñar • Las formas de operar no se construyen Lo que se planee enseñar ha de adecuarse a los independientemente de los contenidos niveles del desarrollo del pensamiento alcanzado sobre los que se aplica. El proceso de construcción es más bien un proceso de o próximos a ser alcanzados por los estudiantes.7 reconstrucción constante en cada conte- Como ya se ha dicho, la comprensión de un nido. Es decir, el estudiante reconstruirá sistema conceptual8 requiere establecer relacio- el orden en el número, en la medida, en lo geométrico, en cada sistema de conceptos 7 No se está afirmando que primero hay que esperar a que se desarrolle el pensamiento de los estudiantes hasta el nivel que incluyan orden, y lo hará de forma requerido y después sí enseñar los contenidos. El desarrollo es lenta y no como fruto de reproducir las un proceso que se complejiza por la interrelación de múltiples factores (maduración fisiológica, experiencia con el mundo técnicas que le enseñan en la escuela. Es el material, simbólico, social y cultural). La escuela juega un papel producto de reorganizaciones constantes importante en este proceso, apoyando a los estudiantes en la apropiación de las construcciones de la cultura. de su pensamiento, al intentar compren- 8 Un concepto no se presenta aislado. Siempre está en relación der y resolver los problemas a los que se con otros conceptos, constituyendo redes que se organizan enfrenta en la escuela y su experiencia de como sistemas conceptuales. La expresión ‘sistema conceptual’ será utilizada en dos sentidos diferentes, pero solidarios: a) los la vida. Cada reconstrucción específica sistemas conceptuales como unidades del pensamiento de los consolidará la capacidad operatoria de los sujetos son las herramientas intelectuales que estos poseen y que les sirven para comprender y actuar en el mundo. Con34 estudiantes. Esto significa que las cons- ellos los sujetos dan significado y sentido a su realidad y b) los trucciones no sólo serán más rápidas, sino sistemas conceptuales como unidades del conocimiento que que cada vez tendrán más posibilidades de hacen referencia a las unidades que constituyen los constructos teóricos, en este caso de la matemática, y junto con los anteriores, ser aplicadas en contenidos relativamente los sujetos, comprenden y actúan en el mundo. En este sentido, novedosos. la labor de la enseñanza en matemática consistiría en promover la transformación del pensamiento de los estudiantes de tal forma • Las formas operatorias no pueden enseñar- que sus sistemas conceptuales se aproximen cada vez más a los sistemas conceptuales propios de la matemática escolar. se aisladas de los diferentes contenidos, con
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticones entre los conceptos que lo constituyen y se reduce en un solo paso: que se le quite 3).a su vez operar con ellos. Estas relaciones y De esta exigencia se desprende entonces laoperaciones configuran las demandas lógicas necesidad de estudiar las demandas opera-que hace la comprensión de un determinado torias que se hacen a partir de los diferentessistema conceptual. Para que exista la posibi- sistemas conceptuales considerados deseableslidad de un aprendizaje comprensivo o sig- de enseñar.nificativo, se necesita una distancia adecuadaentre la capacidad operatoria del estudiante Organizar en forma no lineal los planesy las demandas lógicas de los conceptos que de estudiose pretende que aprenda. En caso de ser esta ¿El estudiante va construyendo sus marcosdistancia inadecuada, el aprendizaje que se lógicos de forma integrada en uno u otroproduce no es significativo. En términos de sistema, o son procesos independientes oVigostky, los conceptos que se van a enseñar jerarquizados en los que primero se agotaa los estudiantes deben estar ubicados en la uno (o al menos se tiene que avanzar un granzona de desarrollo próximo. Y de acuerdo trecho) para después pasar al otro, de tal for-con Piaget, las experiencias de enseñanza que ma que los logros alcanzados en el primerose planeen deben ser tales que produzcan en se constituyen en un especie de prerrequisitolos alumnos cierta tensión cognitiva y pro- para el siguiente? Las adquisiciones que unmuevan la constitución de un problema en el alumno logra en un sistema se constituyenalumno, con el fin de movilizar procesos de en apoyos para las construcciones en otrosreorganización de su pensamiento. Se trata de sistemas. En otras palabras, las construccio-ofrecer experiencias problematizadoras que nes en un sistema alimentan las posibilidadesprogresivamente produzcan desequilibrios de complejización en los otros. Sin embargo,cognitivos.9 esto es posible a condición de que durante El estudio de un sistema de conceptos en el proceso de enseñanza el profesor ayudeun determinado grado escolar debe contem- al educando a establecer estas relaciones y loplar la correspondencia entre las demandas anime a tender puentes entre uno y otro. Nooperatorias que hace la comprensión de ese se trata de un proceso de generalización ysistema de conceptos y el nivel de desarrollo transferencia que se produce de inmediato ydel pensamiento vinculado con ellos. Por de forma automática. Como lo muestran lasejemplo, a una compresión razonable de los diferentes investigaciones, se trata de recons-enteros no podrá accederse si los estudiantes trucciones continuas. El estudiante tiene queno logran anticipar, mediante una composi- reconstruir progresivamente en cada sistemación, el resultado de aplicar de forma sucesiva las construcciones que va logrando en losdos o más operadores naturales (entender de otros. El que se enfrente permanentementeforma genuina que al agregar 7 a un número a diferentes situaciones problemáticas toma- 35cualquiera y al resultado obtenido restarle 10, das de los distintos sistemas matemáticos le posibilita llenar de significados los conceptos9 Problematizar con las distancias entre lo que demanda que se le ayudan a construir, a la vez que se cognitivamente la situación y lo que posee el estudiante, también involucra los componentes afectivos, motivacionales le apoya para trabajar diferentes formas de y actitudinales, y también con el sentido que los humanos le imprimimos a nuestras actuaciones. Componentes estos que representación de un mismo grupo de ideas. todos reconocemos pero con frecuencia descuidamos. Los alumnos no construyen los conceptos, o
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela mejor los sistemas conceptuales, a partir de la en tanto que puede conectarlos con cons- exposiciones de definiciones y de ideas que los trucciones ya logradas por la experiencia. relacionan, sino a partir del esfuerzo de poner Los alumnos poseen profundas intuiciones a funcionar, de forma coordinada, sus propias construidas a lo largo de su vida, logradas por ideas en el intento de dar sentido y significado las interacciones con el mundo de las cosas, a las múltiples situaciones problemáticas a las el mundo social y cultural, adquisiciones que se enfrenta. alcanzadas tanto por la acción escolar como Las razones expuestas exigen un currículo por las experiencias extraescolares. En este flexible, una organización no lineal de los proceso el lenguaje juega un papel primordial en tanto que no sólo es una herramienta para contenidos de estudio. Las secuencias rígidas comunicar sino ante todo para pensar. La en- y distribuidas de forma precisa en el tiempo señanza, en este sentido, ha de ser entendida tienen que dar paso a organizaciones más como la acción que apoya a los educandos abiertas donde se trabajen simultáneamente a transformar, a enriquecer su pensamiento. diferentes sistemas conceptuales, de tal for- Pero no se trata de un movimiento en una ma que las elaboraciones logradas en uno, única vía, dejar ingresar la vida a la escuela, reporten progresos en los otros. Tal situación sino de un movimiento en sentido contrario y implica volver a experiencias ya vividas con complementario, brindarles la posibilidad de el fin de facilitar a los estudiantes progresivas regresar a la vida cotidiana con las herramien- reestructuraciones. tas matemáticas escolares enriquece el signi- La investigación en educación matemática ficado de los conceptos, en tanto que puede reconoce que los conceptos se construyen conectarlo con construcciones ya logradas a partir de la coordinación de las acciones por la experiencia. Las tiendas, los bancos, y de la reflexión que el sujeto hace sobre el los servicios de biblioteca, los campeonatos resultado de estas y sobre las coordinaciones deportivos, las investigaciones de opinión, mismas. Estas acciones deben ser múltiples los hechos relevantes de la comunidad y las y deben aplicarse a variados contenidos, ya noticias, son fuente de construcción y apli- que esto permite tejer la red de relaciones cación del conocimiento matemático. que estructuran un sistema de conceptos. De Enfrentar situaciones problemáticas que ahí la necesidad de un currículo que permita involucren conceptos de otros campos del enfrentar a los alumnos a múltiples y variadas conocimiento ayuda a ampliar el significado experiencias. Esto les posibilitará reconocer la de los conceptos matemáticos y el sentido estructura común entre ellos, al identificar lo de la matemática. Claro está, que para esto que permanece constante e invariable a pesar no basta la aplicación ciega de una fórmula de las diferencias específicas. o algoritmo, sino la comprensión profunda.36 La construcción de modelos o de artefactos Una educación matemática integrada en los que se piden planos y cálculos precisos a la vida y a diferentes campos del sobre los materiales y los efectos producidos conocimiento por fuerzas, por movimientos de ruedas, pi- La vinculación de la matemática a situa- ñones o poleas, es un campo privilegiado en ciones cotidianas de los estudiantes ayuda a el que el estudiante tiene la oportunidad de enriquecer el significado de los conceptos, establecer muchas conexiones, que no sólo
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticoenriquecen los significados sino los sentidos El contexto, la situación misma y la natura-de las ideas matemáticas. leza de la tarea; es diferente una situación abierta como una tienda o un juego a una situación didácticaUna educación matemática que reconoce estructurada en la que se requieren momentos deal estudiante de forma integral reflexión, toma de conciencia, diferenciación. En cada una de ellas tanto el docente como los Se asume que el estudiante es un sujeto ins- alumnos pueden asumir roles y formas decrito en un contexto cultural, social y familiar, actuar diferentes. En la primera por ejemploposeedor de una historia, factores que hacen es válido el movimiento, el desplazamiento, enparte de sus posibilidades de aprendizaje. El la segunda se requiere de parte de los sujetosalumno no es solo sujeto cognitivo, también centrarse, aquietarse, el silencio es necesario.es sujeto ético y afectivo. Pero también el pro- Son muy importantes la organización socialfesor está presente en el aula como totalidad; del aula y las formas como se ejerce el poderlas expectativas de uno y otros sobre lo que entre los mismos niños y, entre el docente y losdebe enseñarse y aprenderse, sobre cómo y alumnos y los diferentes roles que se juegan.para qué, sobre sí mismo y los demás, sobre El liderazgo, por ejemplo, ¿siempre está en manos delas experiencias didácticas hacen parte del los mismos o se rota en el aula?, ¿la distribuciónsistema de relaciones del aula. de responsabilidades y el control de la acción Lo que se tramita en el proceso de ense- está en manos del docente o se traspasa, enñanza-aprendizaje no es únicamente conoci- sentido vygotskiano, a los alumnos de acuerdomientos; cada vez que se aborda la enseñanza con su momento y posibilidades? ¿Cómo sede cualquier concepto, de manera implícita o estructuran los grupos, con qué criterios, yexplícita, consciente o no, se están tramitando cómo se regulan los estudiantes? ¿Qué tipootros contenidos en el orden de lo ético, lo de relaciones se promueven, individualistas,moral, lo afectivo, lo estético; se están ense- competitivas o colaborativas?, ¿los alumnosñando ciertas actitudes frente al aprendizaje se plantean metas comunes, se definen con-y a la matemática misma. juntamente las acciones, se distribuyen las res- ponsabilidades? Todas estas son preguntas que Reconocer y comprender estas otras dimen- el maestro ha de pensar para llevar a cabo elsiones del proceso de enseñanza-aprendizaje acto pedagógico. Las investigaciones que handistintas a las cognitivas obliga a pensar algu- realizado en Inglaterra Mercer y Edwards, o ennas condiciones del ambiente del aula como Estados Unidos Jhonson y Jhonson, muestranparte integral de las experiencias didácticas. que el trabajo en grupo que requiere la escuela,Lamentablemente estas condiciones general- no se da de manera espontánea, sino que tienemente no son objeto de investigación y tienen que enseñarse.poco desarrollo en los procesos de formación Otro componente que cuenta en el aula es 37del profesor, más o menos se asume que están lo afectivo-emocional. “El crecimiento emo-ahí y que para abordarlas al maestro le bastan cional no sucede espontáneamente, sino quelas intuiciones que ha ganado como sujeto so- se aprende a construir en el contexto de unacial y psicológico. Pero la realidad muestra que interacción mediada o situada en un escenarioson muchos los aspectos de las condiciones de cultural y en los estados intencionales mu-aprendizaje en el aula que merecen atención. tuamente interactuantes de los participantes”
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela (Bruner, J. 1991). Si bien los estudios de la ese que perdura y que permite mantener el in- relación entre lo afectivo y el aprendizaje en terés y la motivación por enfrentar pequeñas o general, y en particular de la matemática, son grandes empresas, conviene que sea entendido muy dispersos, y a pesar de las ideas confusas como la expresión de los factores afectivos y diferencias que puedan existir, los estudiosos más internos del aprendiz. Ese estudiante al coinciden en reconocer que eso que algunos que se le ayuda a cultivar un positivo autocon- autores acuñan como “dominio afectivo”, cepto como aprendiz, al que se le presenta incluye una amplia gama de hechos que están una matemática que lo problematiza, que le vinculados con las actitudes, con las creencias, plantea retos, que lo invita a crear, a hacer de con las apreciaciones, con los gustos, con las pequeño matemático; a ese alumno al que se le preferencias, con las emociones, con los sen- reconocen sus sentimientos y que por lo tanto timientos y con las valoraciones que tienen los se le anima y se le fortalece ante los fracasos individuos, y que todo esto tiene que ver con parciales, se le proporcionan elementos para las posibilidades de aprendizaje. Las formas que reconozca y corrija sus propios errores, se de responder a este conjunto de aspectos es sentirá capaz de aprender, de ensayar caminos distinta, depende de la forma como se la con- no recorridos para buscar soluciones nuevas, ciba. Por ejemplo, por citar un componente e incluso, exhibirá tenacidad para perseverar importante involucrado en la actuación de los ante estos fracasos. Del refuerzo permanente estudiantes como el interés y la motivación, fruto de los pequeños y constantes éxitos se tradicionalmente se asume que estos son nutrirá su gusto, su disfrute por lo que hace. procesos que se producen en el sujeto que Por el contrario, aquel niño que fracasa de aprende, en un movimiento que va de afuera manera frecuente, que está sometido a repetir hacia adentro, de ahí que se considere posible mecánicamente, termina encontrando poco manipularlos durante el proceso de enseñanza, placentero eso que se le enseña y desiste de mediante estímulos (premios o castigos). Pero aprender o lo hace de manera pasiva y entra a otras perspectivas más constructivistas propo- engrosar la ya larga fila de los que les va mal nen ver las cosas de forma diferente. El gusto, en matemáticas.38
    • SERIECuadernos de Currículo Referentes para pensar una propuesta curricular Bogotá: una Gran Escuela
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático 2. Referentes para pensar una propuesta curricular E n este capítulo se presentan algunas orientaciones generales para pensar lo que sería una propuesta curricularen el campo del Pensamiento Matemático. Se dores en la formulación de esta propuesta. Y en segundo lugar, se aborda el problema de de- finir la estructura de la propuesta curricular.entiende, como se ha dicho, que esa propuesta 2.1. Principios orientadoresdebe estar en correspondencia con los fines yprincipios de los Colegios públicos de excelencia para En correspondencia con lo desarrollado,Bogotá. Aunque esta es una ampliación y revisión la propuesta curricular se pensaría de tal formade lo planteado en la primera versión de este que permita organizar unas prácticas de ense-documento, sigue siendo una aproximación, ñanza que posibiliten construir ambientes deuna propuesta curricular es una hipótesis de aprendizaje, simulen pequeñas comunidades detrabajo que hacen los educadores para orientar conocimiento y que conjuntamente promuevansu labor pedagógica. La concreción de esta la actividad de hacer matemática, donde los estudiantes hagan suyos los problemas que sepropuesta será el fruto de las reconstrucciones les presentan. Además, que ellos formulen susresultantes de la negociación de significados propias conjeturas, -apoyándose cada vez máscon los docentes y de las configuraciones en el saber de la matemática académica-, lasinstitucionales, que en cada caso emergen comuniquen y las sustenten a otros, haciendodel interjuego de las múltiples condiciones uso de diferentes sistemas de representación ydeterminantes de lo escolar; es deseable que muy especialmente y de forma progresiva de lasla negociación se soporte en procesos de in- representaciones simbólicas propias de la mate-vestigación, innovación y formación docente, mática. Se sugieren prácticas en las que se dise-en la reflexión y el debate fundamentado que ñen y desarrollen formas de validación, desde 41la Secretaría de Educación Distrital tendrá que las posibilidades de los estudiantes y se propiciepropiciar y promover, no sólo referido a lo un medio en el que se avive la negociación decurricular y a la didáctica, sino también a esas significados (entre los alumnos, entre éstos y eldeterminaciones institucionales. profesor) mediante el uso de la argumentación, En un primer término se presentan algunas tan sustentada como sea posible según los nive-afirmaciones a manera de principios orienta- les alcanzados por los aprendices.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela Esto requiere que se: del grupo les aparece como razonable- • Reconozcan las experiencias y elabora- mente aceptable. ciones matemáticas propias que las co- munidades y los individuos construyen 2.2. Tres componentes de la al intentar resolver sus problemas vitales, propuesta curricular: ejes, e interactuar con los instrumentos sim- estrategias y subcampos bólicos de la cultura. del pensamiento • Promueva el desarrollo del pensamien- to de los estudiantes, de tal forma que La estructura de la propuesta curricular se les permita acceder a un aprendizaje hace sobre la base de aceptar que el centro comprensivo de los diferentes sistemas de atención de la educación matemática es conceptuales considerados posibles y el desarrollo del Pensamiento Matemático, deseables de enseñar. Así como desarro- entendiendo pensamiento como la unidad llar estrategias personales para el análisis de procesos y contenidos. Por las ideas has- de situaciones cotidianas, académicas y ta aquí desarrolladas y a manera de síntesis, estrategias para desarrollos y aplicacio- puede decirse que cualquier acto intelectual, nes tecnológicas. cualquier esfuerzo de comprensión de aspec- tos específicos del mundo natural, social y • Responda a los intereses de los estudian- cultural, o de los conocimientos que se ense- tes y se enriquezcan, de tal forma que ñan en la escuela, es un acto de pensamiento, se movilice en ellos la voluntad de apro- en el que los sujetos usan los significados piarse de los instrumentos conceptuales propios que poseen y operan con ellos va- y procedimentales de las matemáticas. liéndose de sus capacidades de pensar (de los • Promueva la autonomía de los alumnos, procesos cognitivos percepción, memoria, basándose en el fortalecimiento de la razonamiento, lenguaje, comunicación entre autoestima y del autoconcepto como otros y de sus capacidades operatorias), de aprendices inteligentes, capaces de un sentir y de valorar. Aunque para efectos de pensamiento crítico, creativo, y en el análisis se distingan procesos de pensamiento traspaso del control de la acción en el de los contenidos del pensamiento, procesos aula, que les permita asumirse como y contenidos son parte de un mismo hecho: sujetos responsables de sus propios el pensamiento. Así, en todo acto de apren- aprendizajes. dizaje de la matemática están presentes las capacidades generales del pensamiento10 y • Promuevan capacidades de reconocer los contenidos de éste, los que se piensan. al otro como interlocutor válido. De Al igual que un cuerpo teórico, en particular42 abordar colectivamente empresas de el de la matemática, un concepto no es una conocimiento y participar en la cons- trucción de espacios de comunicación 10 Seguramente algunas estarán presentes de manera más intensa veraces, plausibles, sinceros y rectos, en que otras, dependiendo del acto de pensamiento particular que se viva. También es muy factible que unas se darán de los que los argumentos y los procesos de forma más compleja según los momentos del individuo, tanto validación se sustenten con el propósito en su desarrollo intelectual general como en las construcciones que el sujeto haya alcanzado en el campo específico en el que común de buscar lo que a los miembros se produce el pensamiento.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticosimple idea o definición aislada, sino es un zonamiento, modelación y comunicación ysistema producido por el conjunto de ideas representación.13primitivas, principios, definiciones e infe- La función articuladora de los ejes curri-rencias que se hagan. En el plano del pen- culares es doble, por un lado la articulaciónsamiento, un concepto es una red de ideas horizontal referida a las conexiones que sesobre un aspecto particular del mundo. Dicha establecen entre los diferentes subcamposred está constituida por contenidos y por las de pensamiento matemático, y por otra parterelaciones entre sí mismos. El pensamiento la articulación vertical que traza las líneas dehace referencia a la ideas y a las operaciones progreso de un ciclo a otro. Entendiendoque se realizan con ellas. progreso como la ampliación y profundiza- La propuesta formulada se organiza sobre ción de los sistemas conceptuales.tres componentes: ejes, subcampos del pen- Se propone que toda actividad de ense-samiento y estrategias.11 Los ejes atraviesan los ñanza en el campo matemático sea pensadadiferentes componentes y momentos del cu- sobre tres estrategias básicas: a) resolución derrículo y cumplen la función de articulación problemas b) establecimiento de conexiones entrede los contenidos y actividades de enseñanza. los diferentes subcampos del pensamientoLas estrategias hacen referencia a medios pla- matemático y los referidos a otros campos delneados e intencionados que atraviesen toda saber y c) apropiación y aplicaciones tecnológicas,acción de enseñanza de la matemática, y los referidas a los procedimientos sistematizadossubcampos del pensamiento se relacionan con producidos o utilizados en el conocimientoesas partes del pensamiento implicadas en la matemático para comprender y actuar en élcomprensión de los sistemas conceptuales en y sobre el mundo.los que se organiza la matemática escolar. Para efectos de organización curricular Se toman como Ejes Curriculares algunos se propone imaginar el Pensamiento Ma-procesos cognitivos que están presentes en temático constituido por cinco subcampostodo acto de enseñanza-aprendizaje en el del pensamiento: el pensamiento numérico, elcampo de la matemática (por no decir que pensamiento métrico, el pensamiento espa-en todo acto intelectual) y que son materia cial, el pensamiento estadístico y aleatorio, yde atención especial –aunque no de forma pensamiento algebraico-variacional.exclusiva- por este campo.12 Estos son: ra- 13 El criterio de selección asumido excluye algunos que actualmente11 En el documento de lineamientos curriculares de Matemáticas se aparecen en varias propuestas de organización curricular. Dos de contemplan cinco procesos generales: razonamiento, la resolución ellos son: el de resolución de problemas (propuestos por la gran y planteamiento de problemas, la comunicación, la modelación mayoría de los currículos actuales) y el de conexiones (NTCM), y la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos. no porque estos aspectos no se consideren importantes en la En esta propuesta se asumen tres como procesos y dos de ellos educación matemática, sino por no responder al criterio de 43 como estrategias, agregando una tercera estrategia, sugerida en selección definido. La resolución de problemas es una actividad los “Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación que se realiza en todo intento de comprender y transformar el Matemática”. mundo, en particular de la matemática, pero no es un proceso cognitivo. Más bien es una actividad intelectual que incluye varios12 Se ha definido este campo como el Desarrollo de la Dimensión procesos cognitivos. De forma semejante, las conexiones no se Operatoria del Pensamiento de los estudiantes. Por lo tanto, esta ven como un proceso cognitivo, sino como una cualidad de toda dimensión no es materia de atención exclusiva del profesor de actividad de enseñanza, que favorece la construcción y ampliación matemática y no sólo se trabaja a propósito de contenidos del de significado. conocimiento escolar inscritos en las matemáticas escolares.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela 2.3. Ejes curriculares En su definición clásica, la inferencia es una operación lógica que se refiere a proposicio- Como se ha dicho son tres los ejes curri- nes admitidas como verdaderas (las premisas) culares: razonamiento, modelación y comu- y que concluye en la verdad de una nueva nicación y representación. A continuación se proposición en virtud de su vinculación con desarrolla cada uno de estos ejes. las primeras. Este autor distingue tres formas de hacer inferencias: abductiva, deductiva e 2.3.1. Razonamiento inductiva. La primera es considerada como la Entre los estudiosos no existe total acuer- elaboración de argumentos que pertenecen do sobre el tipo de hechos a los que se hace al orden de la invención y de la creación au- referencia cuando se habla de razonamiento.14 tocontrolada de conocimientos nuevos. Por Duval (2004) dice que con el término “razo- ella se efectúan todos los progresos y se le namiento” por lo general se han designado encuentra en el origen de todo saber nuevo. démarches muy diferentes. De una parte, las Las deductivas se refieren a la elaboración de que consisten en inferencias explícitas: de un argumento que es una conclusión y debe una proposición dada (o de varias) se “de- derivarse necesariamente de las premisas. riva” la afirmación de otra proposición. De Las inductivas se refieren a la obtención de otra parte, las inherentes a cualquier acto de conclusiones generales a partir de premisas exploración: se procede por anticipaciones que contienen datos particulares. seleccionando las que son confirmadas. Las Considerar los procesos inferenciales como primeras están intrínsecamente ligadas a la los procesos de pensamiento mediante los utilización de un lenguaje: son expansiones cuales se obtiene información nueva a partir discursivas de proposiciones que fueron de una conocida, permite aceptar que éstos no enunciadas primero a título de premisas. Las son exclusividad de la actividad académica o segundas, por el contrario, requeridas para toda adaptación a una situación nueva, no es- científica. La vida cotidiana está colmada de tán intrínsecamente ligadas a la utilización de ellos, cualquier adulto o niño normal en su un lenguaje: problemas que para resolverlos es vida cotidiana y en el desempeño de sus oficios suficiente una manipulación de objetos o de o profesiones da muestras, con mayor o menor instrumentos sin recurrir a una verbalización, destreza, de poseer esta capacidad. Los niños movilizan espontáneamente esas démarches muestran desde temprana edad una sorpren- de exploración”. dente capacidad de razonar cuando lo hace en contextos cotidianos. Thornton (1998) relata Para Carretero y García (1984) razona- el diálogo entre una madre y su hijo de unos miento “es aquél proceso que permite a los 2 años. Niño (N): “¡Jack rompió mi coche!”, sujetos extraer conclusiones nuevas a partir Madre: Estoy segura de que no lo hizo….”, de premisas o acontecimientos dados previa- N: ¡Lo hizo!, ¡lo hizo! Harry no fue allí (al44 mente”. Pierce (1901) considera el razona- cuarto de jugar). Jack rompió mi coche”. Al miento como el acto de elaborar inferencias. observar el niño su juguete dañado infiere 13 En parte esto sucede porque el razonamiento guarda estrecha que alguien fue responsable de ese acto y el relación con otros procesos psicológicos como la percepción, responsable tuvo que entrar a su cuarto de la categorización, el aprendizaje, la solución de problemas, o el lenguaje, se lo ha llegado a considerar a veces como sinónimo de jugar, como sabe que Harry no estuvo allí, la propia cognición (Rips, 1990). fue Jack. Más allá de la validez y verdad de su
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticoconclusión, lo destacable es la cadena de infe- El razonamiento formal se piensa másrencias que muestra que es capaz de hacer. ligado al pensamiento matemático, al pensa- Algunas investigaciones de las últimas tres miento deductivo. Sin embargo esto no debedécadas intentan estudiar los procesos cogniti- llevar al equívoco de pensar que el procesovos, en particular los relativos al razonamiento, de producción del conocimiento matemáticoen la misma acción y en ambientes “naturales”. se hace exclusivamente por vía deductiva, ya que si bien la presentación del conocimientoDe estos esfuerzos nacen intentos por diferen- matemático se rige por las reglas estrictas delciar entre lo que se ha llamado “pensamiento razonamiento formal en cuanto tiene que darformal” y “pensamiento informal”. Aunque cuenta de su validez mediante la prueba, latampoco no existe acuerdo en este punto, construcción del conocimiento matemático espara los propósitos de este documento son más un proceso de creación, en el que partici-ilustrativas las aproximaciones propuestas pan otros tipos de razonamiento. Polya (1966),por de Galotti (1989, citado por Fernández y dice: “Las matemáticas son consideradasCarretero,1995): “El razonamiento informal, como una ciencia demostrativa. Sin embargo,o razonamiento de la vida cotidiana…, cubre éste es sólo uno de sus aspectos. La obra ma-las actividades intelectuales que componen temática se nos presenta, una vez terminada,el pensamiento aplicado en nuestras vidas como puramente demostrativa, consistente encotidianas: planificar, cumplir nuestras obliga- pruebas solamente. No obstante, esta cienciaciones, evaluar argumentos, descubrir y elegir se asemeja en su desarrollo al de cualquieropciones. En este tipo de razonamiento, las otro conocimiento humano. Hay que intuirpremisas no vienen dadas completamente en un teorema matemático antes de probarlo,el problema…” y por Voss, Perkins y Segal así como la idea de la prueba antes de llevar a(1991): “Razonamiento informal es el razo- cabo los detalles”. La prueba misma es a su veznamiento que se aplica fuera de los contextos descubierta por el razonamiento plausible.15formales de la matemática y la lógica simbóli-ca. Implica razonamiento sobre las causas y las Así, el desarrollo de la capacidad de razonarconsecuencias, sobre las ventajas y las desven- no es exclusivamente el desarrollo de la capa-tajas o los pros y los contras de determinadas cidad deductiva y menos compete exclusiva-proposiciones o de alternativas sobre las que mente al campo del pensamiento matemático,hay que decidir”. Fernández Pablo y Mario aunque este campo puede ser un lugar privile-Carretero (1995) destacan algunas caracte- giado para desarrollar formas de pensamientorísticas del razonamiento informal: se aplica más formales. “En sus estudios previos sobrea cuestiones de la vida cotidiana y relevantes la lógica y la epistemología [los estudios depara la persona, se relaciona con la capacidad Piaget] propuso que el pensamiento lógicode elaborar argumentos, es dependiente del actúa por medio de operaciones sobre lascontexto situacional, se aplica a tareas abier- proposiciones y que el pensamiento mate- 45tas o mal definidas a tareas no deductivas, no mático se distingue del lógico porque versautiliza un lenguaje formal o simbólico, sino sobre el número y sobre el espacio…hay unael utilizado en la vida cotidiana y finalmente, 14 Plausible, admisible, justificado. Polya dice que el pensamientose emplea en todos los dominios del conoci- plausible es discutible y provisional. para aprender algo nuevomiento, incluso en problemas matemáticos o sobre el mundo necesitamos el razonamiento plausible que es la única clase de razonamiento que utilizamos en nuestra vidacientíficos-naturales. cotidiana.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela estrecha relación ente el pensamiento lógico proposición basada en el método deduc- y el pensamiento matemático. Pero no puede tivo) como un tipo de argumentación. pretenderse que las matemáticas son las únicas • El control del mismo proceso del argu- que desarrollan el pensamiento lógico en los mento construido. estudiantes. Es pues necesario dejar claro que el pensamiento lógico no es parte del pensa- • Dar cuenta del cómo y del por qué de los miento matemático, sino que el pensamiento procedimientos propios y de otros. lógico apoya y perfecciona el pensamiento • Explicar y extraer regularidades que matemático, y con éste –en cualquiera de sus provengan de la observación de hechos tipos- se puede y se debe desarrollar también que varían. el pensamiento lógico” (Vasco, 2006). Entre los estudiosos tampoco existe acuer- Para los propósitos de este trabajo se asume do sobre cómo se da y cómo evoluciona la de forma muy amplia que este eje de razona- capacidad de razonamiento en los individuos. miento hace referencia a hechos que van desde Sin embargo, se pueden destacar algunas ideas esa capacidad del pensamiento de explorar una comunes de los diferentes enfoques: situación y extraer nuevo conocimiento, hasta • El niño pequeño posee una capacidad un significado más restrictivo, más cercano a de razonamiento elemental que continúa la capacidad de hacer deducciones, es decir de complejizándose a lo largo de la vida. una o varias proposiciones dadas a derivar una o varias proposiciones nuevas, que se consi- • Aunque se aceptan actos de razonamien- deran consecuencias lógica de ellas. to sin apoyo explícito en el lenguaje e incluso sin que necesariamente esté in- Los hechos que se pueden asociar al ra- merso en un acto de comunicación; len- zonamiento son muy amplios. Algunos que guaje y comunicación son importantes interesan en este documento son: para que la capacidad de razonamiento • Preguntar, conjeturar, formular hipóte- sea más compleja. sis, diseñar estrategias de comprobación, • El proceso de razonamiento, como cual- analizar los datos obtenidos, extraer y quier proceso del pensamiento, depende formular conclusiones. de la mayor o menor comprensión que • Argumentar, entendiéndose como el se tenga del contenido y del contexto proceso de ofrecer razones con la inten- situacional sobre el que se razone. ción de convencer a otros, apoyándose en la exposición de la validez15 de sus 2.3.2. Modelación ideas. En particular se considera a la prueba16 (muestra de la validez de una Se puede aceptar que la modelación consiste46 en construir un objeto (material o no) y esta- 15 La idea de validez en la argumentación está relacionada con la blecer una relación analógica entre ese objeto pertinencia del contenido de los enunciados y no en la organización y el sistema real que se desea modelar, de tal de las proposiciones como un sistema (Duval, 2004). forma que partes del objeto y sus relaciones 16 Algunos autores como Balacheff, N (2000), León y Calderón (2003) incluyen la prueba (la demostración) en procesos de validación corresponden con partes del sistema y las en la argumentación, mientras que otros como Duval (2004) la excluyen. relaciones que se dan entre estas. Un modelo es una imitación del sistema real. Imitar un
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticosistema del “mundo real” mediante un mo- presentación es modelo si permite “figurardelo resulta útil porque ayuda al pensamiento en la mente”. “Un modelo puede entendersea “figurarse” cómo funciona el sistema real, como un sistema figurativo mental17, gráfico oademás el modelo se puede “manipular” y con tridimensional que reproduce o representa laél se pueden hacer experimentos para formu- realidad en forma esquemática para hacerlalar y verificar predicciones sobre el sistema más comprensible. Es una construcción omodelado. “La mente humana busca relaciones artefacto material o mental, un sistema – ade modelación para comprender. Dos sistemas cuyos veces se dice también una estructura- queelementos son de naturaleza muy diferente pueden tener puede usarse como referencia para lo que seuna misma estructura o estructuras muy similares. trata de comprender; una imagen analógicaUno de los sistemas puede, entonces recordar o evocar el que permite volver cercana y concreta una ideaotro” (Vasco y otros1995). Este recurso es muy o un concepto para su apropiación o manejo”frecuente en las ciencias en general y en parti- (Vasco y otros, 2006). Este carácter figurativocular en la matemática; es más, podría decirse no está en el modelo, está en la relación entreque la ciencia no es otra cosa que modelación. ese modelo y de quien lo interpreta. Por ejem-La matemática al prescindir de los contenidos plo, la representación gráfica cartesiana de laparticulares lo que hace es construir modelos ecuación de una recta puede ser vista como unque permiten representarnos los elementos de modelo, dependiendo de quien la interpreta.un sistema y la forma como se relacionan. Para un estudiante puede ser simplemente la Los sistemas modelo y modelado no son figura resultante después de graficar los pun-idénticos. El modelo representa los elementos tos de un proceso de tabulación o de encontrary relaciones que al modelador le interesan o las dos puntos que satisfacen una ecuación. Paraque supone que son determinantes en el hecho otro puede ser un dibujo que le ayuda a suque modela. En este sentido, puede verse al mente a imaginar la forma que toman todossistema modelo como una simplificación del los puntos que siguen el mismo modelo (estesistema modelado, pero no por ello necesa- sí tiene que estar en la mente del alumno). Enriamente empobrecido, en la medida en que el mejor de los casos para el primer ejemploal eliminar ciertos elementos y relaciones que se tendrá a un educando bien entrenado parano interesan al modelador pone al descubierto aplicar un procedimiento y en el segundo serelaciones nuevas. Estas relaciones no habrían tendrá un estudiante que puede imaginarsesido posibles si quien conoce se limita a la la variación. Si en el proceso de enseñanza-simple observación del hecho modelado. El aprendizaje, el segundo estudiante ha tenido larecurso de la modelación abre posibilidades a fortuna de enfrentarse a experimentos en losla generalización puesto que al prescindir de que debía estudiar fenómenos de dependencialas particularidades se amplia la variedad de lineal, estas representaciones mentales sí quecasos en los que el modelo es válido, encon- son verdaderos modelos para estudiar este 47trando semejanzas en singularidades que no tipo de fenómenos.se sospechaban antes. La ecuación D=100-d por sí misma no es Un modelo es una representación del sis- un modelo, pero un alumno puede conside-tema real que se ha modelado. Pero no es rarla como la representación simbólica de uncualquier representación. Lo fundamentalestá en su carácter figurativo, ya que la re- 17 El subrayado es nuestro.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela modelo de variación,18 si él sabe que esta ex- Los modelos que se utilizan en matemática presión representa la distancia “D” que le falta son variados y cumplen funciones diferentes. por recorrer entre dos puntos distantes entre sí Ackoff y Sasieni (1971) clasifican los modelos 100 unidades, cuando ha avanzado una distan- matemáticos como icónicos, analógicos y simbóli- cia “d” y puede figurarse la relación de variación cos. Los modelos icónicos son imágenes de la entre “D” y “d”. Quizá pueda figurarse tal cosa realidad. Ejemplos de ellos son las fotografías apoyándose en su capacidad de imaginarse y los mapas; su diferencia fundamental con el una representación gráfica o los cambios de objeto es la escala, pero en general son con- cretos y se prestan a la experimentación. Los los valores de las dos variables, diciéndose a su modelos analógicos, como su nombre lo indica, interior algo como “claro siempre ocurre que surgen cuando se hace una analogía entre dos lo que aumento a “d” en un momento dado es sistemas, donde uno de ellos se toma como exactamente lo que disminuyo a “D”. el sistema modelador y el otro como el siste- Una expresión 13+24 puede llegar a ser ma modelado (por ejemplo, tomar el sistema para un niño la representación simbólica de hidráulico como modelo del eléctrico). Los un modelo de composición de partes. Un niño modelos simbólicos son elaboraciones abs- puede llegar a resolver problemas como “13 tractas que permiten representar los elementos, dulces de Pedro con 24 dulces de Alberto” y las formas como varían y las relaciones entre escribir la expresión 13+24 , pero pensándolo ellas y sus variaciones. Estas se suelen expre- como un problema singular, sin lograr ponerlo sar mediante expresiones matemáticas (como en relación con otros de la misma estructura cuando se toman modelos funcionales). A lo particular. Este niño resolverá otros problemas largo del proceso de enseñanza-aprendizaje se como éste (de la misma estructura), pero sin ser requiere utilizarlos y promover que los estu- conciente de la semejanza entre unos y otros. diantes los construyan. Por eso es importante Como parte de apoyar al alumno a progresar que los alumnos se enfrenten a problemas que en su pensamiento aditivo, se le puede ayudar involucran muchas dimensiones, en los cuales a imaginar muchas situaciones que pueden se tengan que tomar decisiones para controlar resolverse como 13+24, de manera que puede algunas o simplemente no contemplarlas en el llegar a representarse mentalmente la expre- análisis porque se asume posible desdeñar los sión “13 + 24” como un modelo que le sirve efectos que ellas tienen en el resultado final, para interpretar situaciones de este tipo. Este ensayar esas soluciones simplificadas y valorar ejemplo ilustra que una condición esencial de su validez, tener presente que las soluciones dadas están limitadas a la condiciones que se un modelo consiste en dar cuenta de la repre- pusieron para la búsqueda de la solución. El sentación de lo común en la variedad. Una uso de sofware es una herramienta importante representación numérica o algebraica puede en esta tarea. llegar a ser la representación simbólica de un modelo a condición de que ella no esté anclada48 2.3.3. Comunicación y a lo singular. representación 18 En el documento de estándares de matemática del MEN ya referenciado, se dice “… todo modelo es una representación, Como ya se ha dicho, la práctica de ense- pero no toda representación es necesariamente un modelo, como ñanza de la matemática es una práctica social sucede con las representaciones verbales y algebraicas que no son propiamente modelos (es subrayado es nuestro), aunque pueden en la que alumnos y docentes, en un contexto estarse interpretando en un modelo”. comunicativo: a) construyen representaciones
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticosobre la disciplina matemática, sobre el enseñar maneras como los maestros crean contextosy el aprender y b) se establecen en términos de comunicativos en el aula, para apoyar a losChevallard el contrato didáctico que se establece estudiantes en la construcción conjunta de lahace que tanto alumnos como docentes utilicen comprensión de la matemática escolar.de manera explícita o implícita, unas reglas de En esos contextos comunicativos del aula sefuncionamiento, unas formas de comunicación, adoptan formas de observar, razonar, analizar,unas presuposiciones compartidas fruto de las hablar, describir, justificar, argumentar y validar;expectativas y comprensiones comunes del acto es decir los sujetos, alumnos y maestros, ponende enseñar-aprender; presuposiciones que son a funcionar un saber que han construido en losconstruidas por alumnos y maestros al estar múltiples contextos en que se desarrolla su ex-inscritos en un mundo cultural. periencia, que les ha dotado de las herramientas También se ha dicho que, al enseñar ma- cognitivas y comunicativas para entender lotemáticas no sólo se enseñan los principios, apropiado como miembros de esa comunidadconceptos, métodos, y procedimientos propios de aprendices. En este sentido, la educaciónde esta disciplina, sino además una forma de matemática puede entenderse como el espaciopensar, hacer y comunicar matemáticas. En en el que se negocian significados y sentidos a partir de dos saberes, el de los estudiantes y eltérminos de Vygotski, el lenguaje es la herra- de la matemática escolar, representado por elmienta que el sujeto utiliza para darle sentido docente.a la experiencia. “El lenguaje es por lo tanto no soloun medio por el cual los individuos formulan ideas y las El saber de la matemática escolar está consti-comunican, sino también es un medio para que la gente tuido por sistemas simbólicos que cumplen unapiense y aprenda conjuntamente, es decir cumple una doble función: de soporte a la representaciónfunción cultural (comunicar) y una función psicológica interna (mental) - utilizada como herramienta(pensar) que están interrelacionadas” (citado por para pensar - y de representación externa, lla-Mercer, 1997). El lenguaje se convierte en la mados por Duval (2004), sistemas semióticos,herramienta19 fundamental que reorganiza los utilizada para comunicar ideas (en este caso depropios procesos cognitivos y permite expresar conceptos matemáticos). Estas dos funciones,y comunicar las comprensiones y construir con aunque diferenciables, no son separables. “Lasotros ese conocimiento. representaciones mentales nunca pueden con- siderarse independientemente de las represen- El eje de comunicación y representación pre- taciones semióticas”. Los sistemas semióticostende asignarle un lugar privilegiado al papel del de la matemática comportan una sintaxis quelenguaje verbal y no verbal en la construcción involucra conceptos, de manera que su dominiodel conocimiento matemático escolar, y en las exige la comprensión de estos y no la simple ejercitación de las reglas sintácticas.2019 El lenguaje es entendido como un sistema de representación que media en el desarrollo cognitivo: lo que es social no se convierte 20 Por ejemplo, la potenciación no es un simple problema de 49 directamente en individual, sino que pasa por un enlace, una aprender a decodificar el signo de potencia basado en la herramienta psicológica. Pero el lenguaje no es entendido como multiplicación y manejar las reglas sintácticas que rigen las un determinante del pensamiento, sino como un sistema de transformaciones de expresiones con potencias, es mucho representación que media en el desarrollo cognitivo: lo que es más que eso, es desarrollar un pensamiento potenciativo que social no se convierte directamente en individual, sino que pasa posibilite dar sentido y significado a esta operación en diferentes por un enlace, una herramienta psicológica. Dicho enlace mediador contextos, incluido el propiamente formal. Pero de forma es el signo. El concepto de ‘Herramienta’ es tomado en su sentido complementaria el sistema de representación de la potenciación materialista como transformadora del sujeto a la vez que se (los signos y sus reglas de tratamiento) es una herramienta para trasforma cuando este las usa. poder pensar esta operación.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela Adicional a esta doble función de todo lenguaje que plantea Jakobson22: cognitiva, sistema simbólico de representación (medio comunicativa y expresiva –emotiva. de comunicación y soporte de la representa- • Los procesos de comprensión (lectura y ción mental) está la necesidad y posibilidad escucha) del lenguaje verbal y no verbal que ofrece la pluralidad de sistemas de re- del sujeto en la construcción del saber presentación. Todo sistema conceptual de la matemático escolar. matemática requiere de diferentes sistemas semióticos de representación para hacer • Los procesos de producción (escritura posible la diferenciación entre el objeto y habla) de los sujetos que participan en matemático representado y el signo que la actividad matemática. lo representa.21 A su vez, la diversidad de • Las maneras como el sujeto se represen- representaciones enriquece los significados ta mentalmente las situaciones y proble- que se le dan a las representaciones de un mas matemáticos relacionados con los mismo objeto matemático. diferentes sistemas conceptuales. No solo se requieren en la enseñanza di- • Las representaciones externas o semió- versidad de sistemas de representación, sino ticas entendidas como las herramientas también diversidad de contextos de uso. Los culturales que utiliza el profesor para significados de los signos, de las palabras promover formas de razonamiento, se precisan, enriquecen y complejizan por argumentación, modelación y comuni- su utilización en la diversidad de contextos. cación cada vez más complejas. Contextos en los que las matemáticas están • El intercambio y la negociación de signi- presentes, en la vida cotidiana, en las ciencias, ficados y sentidos en el aula, en particu- la tecnología, el arte… En cada uno de ellos lar el ambiente y los diversos contextos y las palabras adquieren diversas significaciones relaciones que se generan para estimular que permiten ir tomando conciencia de la y posibilitar esta negociación. polisemia del lenguaje. Pero no solamente se tramitan diversas significaciones sino también • Las formas de expresión de las emocio- se adquieren sentidos, en la medida en que nes y sentimientos que el sujeto activa los signos y las palabras actualizan intereses, en la construcción de ese conocimiento motivos, intenciones y deseos del sujeto. escolar. Los hechos que se pueden asociar con la comunicación y la representación en las 2.4. Estrategias matemáticas escolares son muy amplios y Se dijo que la propuesta curricular en este diversos. Es posible arriesgarse a realizar una campo se desarrolla sobre tres estrategias50 clasificación de estos teniendo como criterio (resolución de problemas, conexiones y de organización, las principales funciones del apropiación y aplicaciones tecnológicas). Las 21 Piense en la indiferenciación tan común en la escuela y que 22 Un análisis más amplio se podría hacer retomando las siete conduce a los estudiantes a grandes dificultades, entre el signo funciones propuestas por D. Hymes (1962, citado por Stubbs,1987) utilizado para representar un concepto y el concepto mismo; por en la etnografía de la comunicación: expresiva-emotiva, directiva- ejemplo, la confusión entre el signo para representar el cardinal y conativa-persuasiva, poética, de contacto (físico y psicológico), su concepto, entre las fracciones como signo y el concepto mismo metalingüística, referencial, contextual-situacional. de fraccionario.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticoestrategias son acciones intencionadas que el guirse como actividad de aplicación, en la queprofesor debe tener presente en la planeación una vez que se enseñan a los educandos algu-y desarrollo de las diferentes experiencias en el nas ideas se los enfrenta a algunos problemas,aula, como medio para promover el desarrollo más o menos estereotipados y esperando quedel pensamiento matemático. Se diferencian de el alumno aplique lo recién enseñado y se hagalos ejes, en tanto que estos últimos hacen refe- a unos “prototipos” que le sirvan de referen-rencia a procesos cognitivos considerados fun- cia para resolver problemas nuevos. Algunasdamentales, o al menos de gran importancia, veces, los estudiantes tienen la oportunidaden el desarrollo del pensamiento matemático; de enfrentar problemas con algún grado demientras las estrategias no hacen referencia a novedad que les exige establecer relacionesprocesos cognitivos sino a pistas o caminos con otros conocimientos. Otra forma deque se sugieren al maestro tener presente cada asumir la actividad de resolver problemas envez que planea y orienta la acción en el aula, la enseñanza, consiste en enseñar estrategias;con el fin de lograr que su intervención pro- desde esta perspectiva se identifican estrate-duzca efectos en un cierto sentido. gias “exitosas”23 y se procura entrenar al estu- diante en su uso. Se espera por esta vía superar2.4.1. La estrategia de resolución el modelo de los prototipos, sin embargo no de problemas es muy claro hasta qué punto se logra superar el fundamento reproduccionista de la primera El desarrollo del pensamiento y del cono- perspectiva, pues podría decirse que en estecimiento, en general, en la escuela y fuera de segundo caso se trata de hacer más eficienteella, en los ámbitos científicos y no científicos, al alumno en la resolución de problemas en-está determinado por la acción de resolución señando prototipos ya no de problemas sinode problemas. En particular está presente en de estrategias. Pérez y Pozo (1994), afirman:la matemática, aunque no de forma exclusi- “Puede que instruir a un estudiante para queva. divida un problema en subproblemas no sea Ya se señaló a propósito de la modelación muy útil, debido a que este estudiante noque algunos autores muestran la conveniencia sabe cómo debe utilizar esta estrategia en esede enfrentar a los estudiantes a situaciones problema”. En esta misma línea, Nickerson, Per-problemáticas a partir de las cuales encuentren kins y Smith (1985), señalan que la enseñanzalas orientaciones y motivaciones adecuadas de las estrategias, aunque es deseable y aunpara formularse problemas, buscar estrategias reconociendo que pueden producir algunosque les permita llegar a soluciones correctas efectos positivos, se encuentra con dos tiposy juzgar lo razonable de estas soluciones. El de dificultades. Una primera, se relaciona conpromover la comunicación de los diferentes la dificultad de saber cuándo estas estrategiasprocedimientos, el uso de diferentes formas sirven para resolver un tipo de problema de- terminado y una segunda, tiene que ver con el 51de representación y el análisis de la validez delas soluciones dadas favorecen la capacidad de hecho de que las estrategias no pueden ser lolos alumnos para resolver problemas. suficientemente concretas para su realización dentro de un terreno poco familiar. Podría decirse que en educación matemáti-ca existen varias formas de asumir la actividad 23 Los métodos que siguen los expertos pueden enseñarse a losde resolver problemas; una, que podría distin- novicios.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela Una tercera forma de entender la actividad En el proceso de resolución de problemas de resolución de problemas, está más cerca- intervienen otros factores distintos a los estric- na a propiciar el desarrollo del pensamiento tamente cognitivos. Según Lester (1983, citado crítico y creativo, resultado del desarrollo del por D`Amore, B., 2006), existen cinco grandes pensamiento involucrado en el problema. “Las categorías para tener en cuenta en el curso de posibilidades de un aprendizaje significativo este proceso: el conocimiento a disposición de cualquier estrategia de resolución de pro- del sujeto resolutor (pero no sólo fórmulas, blemas no puede desvincularse del contenido algoritmos, definiciones, etc. sino también de aplicación de la estrategia, más exactamente formas de organización, modos de control y de los sistemas conceptuales en los que se el uso del propio conocimiento), el control (lo formulan los problemas y busca aplicar la referido a la metacognición), factores afectivos estrategia”. En otras palabras, el aprendiz no (emociones, actitudes y motivaciones), imáge- aplica una estrategia aisladamente de las com- nes y convicciones sobre la matemática, sobre prensiones que tenga del campo de conceptos la escuela [debe agregarse; sobre el mismo en los que se pretende su aplicación. En este proceso de resolución de problemas] y condi- ciones socioculturales. Si bien estos factores no orden de ideas, cuando Nickerson, Perkins y dependen exclusivamente de la acción escolar, Smith (1985) señalan que una dificultad de y algunos menos que otros, conviene reconocer la enseñanza de estrategias de resolución de que las prácticas de enseñanza intervienen en problemas consiste en que el aprendiz sepa gran medida en su construcción. Como parte cuándo estas estrategias sirven para resolver del “contrato didáctico” los estudiantes apren- un tipo de problema determinado, puede ob- den actitudes y se hacen a imágenes del hecho jetarse que esta forma de ver, separa estrategias de resolver problemas. y contenidos del pensamiento, como si fueran dos componentes del pensar. En la literatura Una auténtica actividad de resolución de se habla de los componentes declarativo, y problemas moviliza el pensamiento del estu- procedimentales –algunos agregan un tercer diante, por cuanto lo estimula a usar crítica y elemento: el estratégico-, para expresar esta creativamente el conocimiento que posee, lo invita a disponerlo de forma nueva, promueve distinción. Una forma alternativa de asumir el la formulación de conjeturas e hipótesis y la problema estaría en reconocer, como lo hace construcción de métodos y argumentos para Vigotsky, que las formas del pensamiento y validarlas o invalidarlas, favoreciendo así la sus contenidos son inseparables; de forma ampliación y consolidación de diversos signi- tal que el adecuado aprendizaje de estrategias ficados y encontrar nuevos sentidos a lo que de resolución de problemas necesariamente se aprende, hecho importante que motiva al estará ligado a la comprensión que el aprendiz aprendizaje, contribuye a monitorear sus estra- tenga de los sistemas conceptuales implicados tegias, a impulsar la tenacidad necesaria para el en los problemas que han de resolverse. Es progreso intelectual y a encontrar disfrute en posible que pueda reconocerse el valor que el conocer y trabajar en forma colectiva, en el52 tiene para un aprendiz acceder a indicaciones que haya lugar al reconocimiento recíproco. procedimentales sobre la forma de abordar unos problemas, pero éstas serán aplicadas 2.4.2. La estrategia de conexiones de forma comprensiva a condición de que el aprendiz posea un pensamiento que le permita Los estudiantes amplían y complejizan sus comprender los conceptos que ellos implican” comprensiones de los conceptos a medida que (Castaño J y Forero A, 2006 ). se enfrentan a múltiples y variadas situaciones
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticoque los involucran. Allí tienen la oportunidad haciéndose a la idea segmentada y comparti-de establecer nuevas relaciones con otros mentalizada del conocimiento matemático,conceptos, de tomar conciencia de algunas sino además pensando que la matemática sóloque se le habían escapado o de asumirlas de tiene que ver con los problemas de los librosforma distinta, lo que les permite ampliar y y que no tiene mayor vinculación con la vidaestructurar los significados que le dan a los cotidiana.conceptos y los sentidos de aprendizaje. Esta estrategia llama la atención a los Tradicionalmente las matemáticas se han maestros sobre la importancia de pensar lasenseñado como la suma de contenidos más experiencias de enseñanza de tal forma que in-o menos inconexos entre sí, los contenidos tencionalmente se aborden situaciones más ocorrespondientes a los diferentes sistemas menos amplias que exijan establecer conexio-en los que suele organizar el conocimiento nes entre conceptos al interior de la mismamatemático escolar se presentan como com- matemática, con otros campos del saber y conpartimentos independientes. Como resultado situaciones cotidianas. Experiencias de ense-de este proceder los alumnos aprenden conte- ñanza tipo proyecto de aula, construccionesnidos desarticulados, algunos casos son real- de prototipos, de artefactos o herramientas,mente aberrantes. Los estudiantes aprenden participación en juegos reglados o no, realiza-lo relativo al sistema decimal de numeración ción de investigaciones sobre problemas delsin mayor conexión con los sistemas de me- barrio de la comunidad a la que pertenecendida. Los números fraccionarios no tienen los estudiantes ofrecen múltiples oportuni-ninguna conexión explícita con lo relativo a dades para establecer conexiones entre losla proporcionalidad que ellos involucran. La conocimientos. El enfoque de resolución demisma proporcionalidad es estudiada indepen- problemas en matemática conlleva la ideadientemente de la variación. Los conceptos de esta estrategia de conexión, una situacióngeométricos no tiene mayor relación con lo problemática supone cierta amplitud, que nonumérico, los conceptos de estadística y pro- puede resolverse con una idea puntual, o conbabilidad no tienen mayor vinculación con la la aplicación de un único concepto.geometría y con el número. Si las conexiones al interior de la misma 2.4.3. La estrategia de apropiaciónmatemática son escasas, con mayor razón lo y aplicaciones tecnologías24son con otros campos del conocimiento. Las El conocimiento matemático, como todoposibilidades que tienen los estudiantes de re-lacionar conceptos matemáticos con las cien- campo del saber humano, define y a la vezcias naturales son realmente pobres, mucho es definido por formas de comprender ymás débiles son la que se establecen con las actuar en él y sobre el mundo; estas formasciencias humanas y con las artes. La tendencia de comprensión y actuación están mediadas 53a estudiar la matemática por la matemática ha por las herramientas conceptuales y metodo-conducido a que en la enseñanza no se apoye lógicas que produce, así, los conocimientosa los alumnos para que vinculen los conceptos y las herramientas metodológicas que arrojaque se les enseñan con situaciones de la vida la matemática son formas de problematiza-no escolar. Esta desarticulación no sólo traecomo consecuencia que el estudiante termine 24 Clara Emilse Rojas colaboró en la escritura de este parágrafo.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela ción y procedimientos de actuación. Estos Asumir el reto de incorporar la tecnología procedimientos son tecnologías, incluyan o en el aula conduce a los maestros a profun- no instrumentos materiales. En este sentido dizar en sus conocimientos matemáticos y un sistema simbólico como el utilizado para a cuestionar sus prácticas en el aula. Ver la contar, leer y escribir los números es una tec- tecnología no solo en el sentido del uso del nología, tan es así que produce procedimientos computador sino de procesos más generales precisos de actuación cuando se hacen cuen- relacionados con el uso de la información. tas. Cada actividad debe considerarse como una oportunidad de apropiación tecnológica 2.5. Subcampos del (sistemas de representación, algoritmos y, pero no de forma exclusiva, instrumentos compu- Pensamiento Matemático tacionales) y de aplicación del conocimiento En esta propuesta se propone distinguir matemático apropiado en el uso y producción cinco subcampos constituyentes del campo de artefactos. del Pensamiento Matemático. Esta distin- Siguiendo a Moreno (1999), se dirá que “la ción obedece, en parte, a la diferencia de la importancia de las herramientas computacio- naturaleza de los objetos que se estudian y nales para la educación matemática está aso- a la organización que ha tomado el cuerpo ciada a su capacidad para ofrecernos medios disciplinar de la matemática. Los subcampos alternativos de expresión matemática, y a su de los pensamientos numérico y métrico capacidad para ofrecer formas innovadoras están vinculados con la cuantificación, que de manipulación de los objetos matemáticos. para el primer caso implica la extensión de Cuando se usa la tecnología en la escuela, hay las colecciones (cuántos elementos hay en que reconocer que no es la tecnología en sí una colección) y para el segundo la extensión misma el objeto central de nuestro interés, de una magnitud (cuánto mide). La acción sino el pensamiento matemático que pueden que corresponde al primer subcampo es la de desarrollar los estudiantes bajo la mediación contar y la del segundo es la de medir. el sub- de dicha tecnología”. campo de lo espacial y geométrico da cuenta de la localización y de las formas, el subcam- Dentro de los alcances del uso de herra- po del pensamiento estadístico y aleatorio mientas tecnológicas en el aula de clase de ma- está relacionado con el manejo de los datos temáticas se considera que el estudiante sea ca- y la incertidumbre y el azar, y, finalmente, el paz de indagar, analizar y evaluar información; subcampo del pensamiento algebraíco-varia- examinar estrategias para solución de proble- cional, está vinculado con el estudio de las mas; reconocer distintas representaciones de relaciones de las variables en situaciones de objetos matemáticos; visualizar relaciones y cambio y con los sistemas simbólicos que se estructuras conceptuales; identificar relacio- nes matemáticas en el desarrollo tecnológico, usan para representarlas.54 en otras ciencias y en su entorno; reconocer La distinción de estos subcampos no supone las características del mecanismo de los arte- un fraccionamiento o una compartimentali- factos tecnológicos, aprender a usar software zación del pensamiento matemático, ya que específicos; programar usando un lenguaje o hacen parte del gran campo del Pensamiento bien haciendo sus propias creaciones y críticas Matemático. Aunque, como se ha dicho, cada frente al uso de estas herramientas. uno trata objetos matemáticos diferentes y tie-
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticonen estructuras que se diferencian de las de los las habilidades del pensamiento no se deberíaotros; también, pueden encontrarse semejanzas considerar, por tanto, como algo opuesto al dey relaciones entre ellos. Son estas semejanzas enseñar el contenido convencional sino comolas que abren la posibilidad de considerar que un complemento de este. La capacidad del pen-los subprocesos que componen el proceso del samiento y el conocimiento son como la tramadesarrollo del pensamiento matemático están y la urdimbre de la competencia intelectual, yen estrecha relación. el desarrollo de cualquiera de las dos cosas en La estructura de la propuesta curricular se detrimento de la otra, nos produciría algo muyhace sobre la base de aceptar que el centro de distante de una tela de buena calidad”. Esta citaatención de la educación matemática es el desa- devela la dualidad entre pensamiento y cono-rrollo del pensamiento matemático, entendido cimiento en un individuo. El uso del términoel pensamiento como la unidad de procesos y habilidades de pensamiento hace referenciacontenidos. Con esto se quiere destacar que a esa dimensión estratégica del pensamientoel papel de la educación matemática es apoyar que algunos autores proponen distinguir, peroa los estudiantes para que se apropien de los no es el pensamiento mismo. A propósito delconocimientos matemáticos que se les enseñan, pensamiento numérico y de sistemas numé-al punto en que se constituyan en herramientas ricos, se dice en los estándares curriculares yintelectuales para pensar y actuar. Así por ejem- de evaluación para la educación matemáticaplo, el aprendizaje de la operación suma de los (NCTM, 1989) que sentido numérico es “unanaturales no consiste simplemente en hacerse intuición sobre los números que surge dea unos conocimientos de la suma y resta de los todos los diversos significados del número”.naturales, sino en desarrollar el pensamiento Los autores de estos estándares afirman queaditivo de los alumnos, a un nivel en el que los niños con sentido numérico comprendenpuedan operar aditivamente con los naturales los números y sus múltiples relaciones, reco-para enfrentar situaciones problemáticas que nocen las magnitudes relativas de los númerosse resuelvan satisfactoriamente con la adición y el efecto de las operaciones entre ellos y hany sustracción de naturales. Podría decirse que el desarrollado puntos de referencia para cantida-pensamiento aditivo sería ‘eso’ que finalmente des y medidas. Y un poco más adelante citan ava surgiendo en el pensamiento del niño, a me- Mcintoh (1992): “El pensamiento numérico sedida que va construyendo la operación adición refiere a la comprensión general que tiene unaen diferentes situaciones que requieren de las persona sobre los números y las operaciones,operaciones aditivas. Se trata de la apropiación junto con la habilidad y la inclinación a usar estadel conocimiento de tal forma que permita comprensión en formas flexibles para hacer jui-pensar de manera genuina, de forma personal, cios matemáticos y para desarrollar estrategiascreativa, crítica y con cierta flexibilidad. útiles al manejar números y operaciones”. Es En el documento de lineamientos curricula- en este último sentido que se propone hablar 55res (MEN, 1998) se propone relacionar un tipo de pensamiento numérico.de pensamiento a un sistema de conocimientos Parte del trabajo busca suscitar el debatematemáticos, pero esta solución mantiene la sustentado sobre esta distinción. Desarrollosdualidad entre el pensamiento y el conocimien- posteriores deben ayudar a identificar cuálesto que posee un individuo. Siguiendo a Perkins son los procesos cognitivos involucrados(1993:37), se afirma que “el objetivo de enseñar en la comprensión genuina de los diferentes
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela conceptos que conforman los distintos sis- estudiantes, sino como referencias para po- temas matemáticos, cuáles son sus procesos tenciar el pensamiento numérico. Se trata de de construcción y cuáles son los énfasis que ayudar a construir en sus pensamientos verda- conviene hacer en este ciclo. Indudablemente deras herramientas intelectuales, que permitan debates de este tipo apuntarán a desplazar el comprender y actuar en una gran variedad de énfasis que aún se hace en la presentación de situaciones que involucren los diferentes tipos contenidos hacia el desarrollo de las formas de números, para realizar complejas opera- de pensar, haciendo uso de las diferentes he- ciones intelectuales, tales como: dar cuenta rramientas matemáticas que las comunidades de las cantidades; coordinar las diferentes locales y globales han construido en sus expe- operaciones y relaciones posibles en un siste- riencias vitales, en su esfuerzo por comprender ma con el fin de calcular nuevas cantidades y el mundo y a sí mismos. establecer nuevas relaciones a partir de unas conocidas; manejar diferentes formas de re- 2.5.1. Subcampo del pensamiento presentar los números y transformar unas en numérico otras; hacer estimaciones de la medida de una Este subcampo hace referencia a esa parte magnitud y del valor de un cálculo; identificar del pensamiento matemático ligado a los siste- regularidades; comprender el sentido de una mas numéricos. Siguiendo a Vasco, estos están propiedad e identificar los límites en que esta compuestos de esos objetos matemáticos que es posible, etc. En síntesis se trata de lograr son los números (en el caso de los tres ciclos: eso que en educación se ha llamado sentido naturales, enteros, racionales y reales), junto numérico, son construcciones mentales que con las relaciones que se pueden establecer permiten comprender y resolver problemas entre ellos (por ejemplo, relaciones de orden que involucran los sistemas numéricos. Es eso aditivo y multiplicativo) y las operaciones que que surge en el pensamiento al operar una y se ejecutan entre ellos (por ejemplo, las aditi- otra vez con significados ligados a situaciones vas, las multiplicativas y las potenciativas). particulares, pero sobre todo con los esfuerzos Para potenciar el pensamiento numérico que se hacen por establecer relaciones entre de los estudiantes no basta presentarles sus los diferentes significados para reconocer lo definiciones y hacer ejercicios de reconoci- que permanece invariable en ellos. Entre ma- miento y clasificación de estos. Tampoco basta yor sea la capacidad de los estudiantes para enseñar los procedimientos para ejecutar ope- utilizar, en variados contextos, los números raciones y reglas que establezcan relaciones en la resolución de problemas novedosos y (como las que se enseñan para determinar si complejos, mayor será el nivel de pensamiento dos racionales son equivalentes o cuándo uno numérico alcanzado. es mayor que el otro), ni enseñar a resolver Aunque se reconoce que cada sistema nu-56 unos cuantos problemas prototípicos en los mérico tiene sus propias especificidades, en que se utilicen estos números, sus relaciones este apartado se hace referencia a algunos y sus operaciones. componentes que son comunes a los cuatro Pensar los números como sistemas es útil sistemas numéricos señalados para trabajar en la enseñanza, a condición de no asumirlos en preescolar y básica. Conviene tenerlos en como contenidos que hay que presentar a los cuenta al pensar y planear su enseñanza.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático El concepto de número surge gracias der y resolver problemas que involucren esasa las relaciones que se establecen y a las operaciones.operaciones que se realizan entre ellos. Apoyar al estudiante para que eleveEsta idea no es más que una consecuencia su pensamiento al punto en el que pue-inmediata de considerar los diferentes tipos da acceder a representaciones mentalesde números como sistemas. Este hecho pone abstractas. Si bien las ideas de los números,en cuestión la práctica frecuente de enseñar con sus relaciones y sus operaciones nacenprimero la idea de número por aparte, para ligadas a situaciones concretas en las que esdespués pasar al estudio de sus relaciones y sus útil emplearlas para interpretarlas, estas ideasoperaciones. Un niño de preescolar construye tienen que desprenderse de esos usos, hastala idea de número al enfrentarse repetidamen- el punto en que los niños y los jóvenes se laste tanto a problemas de comparación de la representen de forma abstracta, desligadas decantidad de elementos entre dos colecciones, cualquier contexto concreto. Por ejemplo, elpara decidir si hay más, menos o la misma pensamiento del alumno debe elevarse hastacantidad, como a problemas que requieran el punto en que esté en capacidad de operarhacer pequeñas composiciones y descompo- con la idea de 3 + 5 en abstracto y no ligadasiciones. En esas situaciones el alumno se va a la reunión de 3 cosas y 5 cosas. Operar conapropiando de instrumentos que lo hacen más la idea de 3 + 5 es mucho más que calculareficiente, tales como correspondencia uno a su resultado, es hacer transformaciones; poruno, conteo, los signos numéricos, etc. ejemplo, si 3 + 5 = 8, necesariamente 8 – 3 = 5 y 8 – 5 = 3; o entender que si 3 + 5 = Las nociones de número, sus relaciones y 8, entonces 2 + 6 también será 8, porque 2operaciones se construyen con el esfuerzo es 1 menos que 3, razón por lo que hay quede interpretar situaciones que las requieran. compensar esta transformación del primer su-Como ya se dijo, no se trata, como muchas mando agregando al segundo exactamente loveces suele hacerse, de estudiar primero las que se le ha quitado al primero; pero tambiénrelaciones y las operaciones entre números, que si 3 + 5 = 8 necesariamente lo es 5 + 3.desligadas de situaciones concretas, y después Si bien la idea de fraccionario nace (aun-sus aplicaciones. Antes de los significados que no se agota) en contextos de particiónabstractos se construyen significados ligados a (relaciones de partes y todo) y de operadorescontenidos concretos. El niño de primer ciclo (en los que se amplían y reducen magnitudesconstruye las ideas de adición y sustracción y cantidades y se estudian las relaciones mul-enfrentándose a situaciones problemáticas tiplicativas entre las magnitudes y cantidadesconcretas, inscritas en contextos con sentido resultantes y transformadas), hay que elevarpara él; inicialmente usando procedimientos el pensamiento del alumno hasta que puedapropios y desconociendo que lo realizado representarse la idea de fraccionarios en forma 57corresponde a operaciones entre números abstracta desligada de estas situaciones quenaturales. La comprensión de las operaciones le dan origen. El número fraccionario no esno empieza por conocer las formas de sim- simplemente la relación multiplicativa entre labolizarlas y los algoritmos para calcular sus parte y el todo, o tampoco es la de operador,resultados; en su lugar, inicia con el desarrollo pero estas ideas son un punto de partida parade un pensamiento que le permite compren- construir la idea abstracta de número fraccio-
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela nario. Esta idea abstracta no es una definición, Mientras un niño permanezca en el mundo es ‘eso’ que surge en el pensamiento de los de los naturales tendrá que trabajar con la idea niños al operar una y otra vez con estas ideas y de la imposibilidad de las restas en las que el con otros significados como el de razón, pero sustraendo sea mayor que el minuendo. En sobre todo con sus esfuerzos por establecer el mundo numérico de los naturales y de los relaciones entre los diferentes significados fraccionarios (tomados como mayores que para reconocer lo que permanece invariante cero) esta es una verdad evidente. Pero es en ellos. precisamente esta idea la que se constituirá en Los significados ligados a situaciones un verdadero obstáculo para admitir la posibi- concretas construyen ideas que se con- lidad de restar a un número menor uno mayor vierten en obstáculos para avanzar. Este y que se hace necesaria al operar con cantida- paso de lo concreto a lo abstracto requiere des positivas y negativas. Uno de los retos de superar ideas que no son fáciles dejar atrás. la enseñanza consiste en encontrar caminos Mientras es necesario construir las ideas de que le permitan a los estudiantes ampliar sus los diferentes tipos de números, ligados a si- ideas, pero esta construcción solo es posible tuaciones concretas, porque es allí donde los apoyándose en las construcciones logradas en estudiantes asignan significado a las nuevas los naturales. Es claro que este problema no entidades numéricas que sus pensamientos se supera, como con frecuencia suele hacerse, construyen, estas vinculaciones se tornan en enseñando unas reglas sintácticas (la ley de obstáculos (podría decirse obstáculos epis- los signos para la suma de números positivos temológicos) que impiden construcciones y negativos) que el niño debe ejercitar hasta más abstractas. Estos son los obstáculos que lograr dominarlas. la enseñanza tiene que ayudar a superar. La El estudio de las propiedades de las historia de la construcción de la idea de los relaciones y las operaciones no se puede números ilustra con claridad estas dificultades reducir a un tema para ampliar la infor- y muestra cómo mientras la idea de número mación matemática de los estudiantes. permaneció ligada a la cantidad de una mag- La comprensión de las propiedades, de las nitud, resultaba imposible darle sentido a un relaciones y las operaciones de los diferentes número negativo (¿cómo interpretar el valor sistemas numéricos, no son simples reglas negativo de cierta cantidad de una magnitud?). que se aplican para resolver algunos ejercicios Fue necesario desligar lo positivo y lo negativo artificiales, sino construcciones incorporadas de la expresión de cantidades de magnitud y a la misma idea de número, de relación y de pensarlos como entes matemáticos abstractos operación que se está construyendo. Un niño para resolver los problemas que esta nueva de primer ciclo asume la conmutatividad entidad matemática suponía. Los esfuerzos como un fenómeno lógicamente necesario58 fallidos por extender las construcciones alcan- a la misma naturaleza de la adición de esas zadas en los naturales deben ser entendidos cantidades que trabaja como parte de sus pro- como pasos necesarios; cuesta pensar que las gresos al operar con los números. En algún ideas de lo positivo y lo negativo pudieran momento, al tener que resolver un problema obtenerse sin apoyarse en la idea de número que le implique reunir, por ejemplo, 2 y 7, el ligado a la magnitud. Realmente fue bajo esta alumno preferirá calcular 7 y 2, y considerará idea sobre la que nació el número. esta transformación como natural, aunque no
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticotenga conciencia de que está manejando la las operaciones ya construidas junto con laidea de la permanencia de totalidad, a pesar de construcción de otras nuevas. El paso de loscambiar el orden de los sumandos y aunque no naturales a los enteros supone abandonarpueda sacar de esa transformación provechos la idea de cero como ausencia de cantidad,más importantes. Precisamente es función para pensarlo como punto de referencia. Dede la escuela ayudar a tomar conciencia de la igual forma, presume abandonar la idea devalidez de estas transformaciones, haciéndolo número ligada a la cantidad de una magnitud.pensar si esto siempre es posible y contras- La construcción de los racionales admitetar este hecho con lo que ocurre con otras superar la idea de lo discreto para dar cabidaoperaciones. Pero no sólo eso, es necesario a la densidad. La construcción de los realesademás apoyarlo para que sea capaz de usar implica caer en cuenta de dos ideas hasta eseesa idea en la resolución de problemas en los momento inadvertidas: inconmensurabilidadque su aplicación resulta potente, como por y continuidad.ejemplo, ¿de cuántas formas diferentes sepuede obtener el resultado de 9, al sumar dos 2.5.2. Subcampo del pensamientonúmeros? Estas ideas hay que reconstruirlas métricouna y otra vez cada que se avance a nuevossistemas numéricos. El desarrollo del pensamiento métrico tiene que ver con todo aquello que está vinculado La construcción de la idea de número con el acto de medir. Se miden magnitudes,también está ligada a la construcción de de hecho se dice que toda magnitud es unala idea de estructura. Se trata de construir propiedad susceptible de ser medida. La varie-una forma de pensar, lograda por la matemá- dad de lo que se mide es amplia, al igual quetica, que es la de estructura. Por ejemplo, los los procesos que se siguen al medir, ya queestudiantes en el ciclo básica B podrán com- dependen de la naturaleza de lo que se mide;prender entidades numéricas más abstractas por ejemplo, existe gran diferencia entre medircomo los enteros (no los números relativos), una magnitud como la longitud y la intensidadlos racionales y los reales, en la medida en que de un dolor. Inicialmente, ese conjunto delos podrán pensar como objetos matemáticos hechos, que hacen referencia a la adquisicióny no como entes ligados a las magnitudes. de la noción de una magnitud, a su medidaAun más, a partir de la idea de la estructura y a su complejización, es lo que comprendelos alumnos podrán darle unidad a la variedad este subcampo.de tipos numéricos, concibiéndolos como Los objetos y los hechos tienen algunasextensiones sucesivas a partir de los naturales. propiedades que permiten compararlos porLa extensión de un conjunto numérico a otro la extensión, es decir, por la cantidad en quemayor se hace sobre la base de que el nuevo ellas se presentan. Para ello se establecenconjunto mantenga las propiedades del con- relaciones que permiten afirmar cosas como: 59junto menor, los enteros, aunque tiene pro- “es más…”, “es menos…” y “es la mismapiedades nuevas mantiene las propiedades de cantidad de…”. Por ejemplo, debido al campolos naturales, precisamente porque los enteros gravitacional que cada objeto genera por sulos incluyen. masa, a los objetos se les puede asignar una Cada nuevo conjunto numérico supone propiedad llamada peso; esto hace posiblela reconceptualización de las relaciones y de compararlos (“A es más, menos o igual de
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela pesado que B”). Así como se tienen propie- encontrar procesos que permitan construir dades de tipo físico hay otras de tipo espacial escalas para graduar las intensidad de dolor. como longitud, área y volumen o de amplitud Es claro que estos procesos de medida son angular. Los eventos que ocurren se pueden de una naturaleza muy distinta a los de las comparar con su duración. magnitudes a las que se había hecho referencia De estas propiedades algunas son más anteriormente. universales que otras. Parece razonable que a Las nociones de magnitudes como longitud, todos los cuerpos les sea posible asignarle la área, volumen, peso, capacidad o duración, idea de volumen. Igualmente lo es asignarles surgen y se complejizan en las comparaciones la idea de área si se piensa en la extensión de que se hacen de las propiedades de los objetos la frontera -o parte de ella- que determina el y de los hechos, en múltiples y variados con- espacio ocupado por el sólido que se asocia textos y como respuesta a diferentes propó- a ese cuerpo, o asignarles la idea de longitud sitos. Al comienzo, en ausencia del número y si se piensa en la distancia entre dos puntos de la medida, las comparaciones son de tipo determinados sobre su frontera. En cambio la cualitativo. (mucho, poco, bastante, nada). Un idea de amplitud angular no es tan universal, poco más adelante se establecen series que ya que sólo es susceptible de ser aplicada a definen un orden de mayor a menor inten- un tipo de objetos particulares que son los sidad de la cantidad de una magnitud (como ángulos, los cuales no son objetos físicos sino cuando el niño organiza una serie de 10 palitos de geometría. según su “largo”). Con los progresos en los Además de comparar objetos o distancias pensamientos numérico y métrico, las com- entre objetos, también se comparan hechos, a paraciones llegan a ser cuantitativas, puesto los eventos se les asignan ciertas propiedades que se hacen en forma extensiva; es decir, la gracias al cambio, al movimiento y a la capa- cantidad de la magnitud se define sobre la uni- cidad que se tenga de registrarlo. Una hace dad. Siguiendo a Russell se pueden distinguir referencia al momento de ocurrencia (cuándo dos tipos de cantidades: las extensivas, aquellas ocurrió), y otra a la extensión o duración de la que son divisibles en un número de veces la misma (cuánto duró). Estas dos propiedades cantidad de la unidad o de partes de esta y son asignables a todos los eventos y por esta que son aditivas (a + a = 2 a); y las intensivas, razón parece verdadera la afirmación: “Todos aquellas que no son divisibles ni aditivas, a + a los eventos suceden en el tiempo”. = a (el color rojizo de un frasco de pintura roja se mantiene si en una misma vasija se mezclan A veces es necesario hacer comparaciones dos frascos de esa misma pintura). Magnitudes de cierta clase particular de hechos, en los que como longitud, capacidad y duración pertene- no resulta tan fácil identificar la magnitud que cen al primer grupo y magnitudes como dolor, se va a medir y no es muy claro el proceso adecuado que debe seguirse para medirla. olor, pertenecen al segundo grupo.60 Por ejemplo, medir la sensación de “dolor”. El proceso práctico de medir las magnitu- Gracias a que los seres humanos pueden tener des del primer tipo consiste en comparar una la sensación de dolor, entienden y utilizan ex- cantidad dada de magnitud que se toma como presiones del lenguaje del tipo “duele más”, unidad con la cantidad de la misma magni- “duele menos”; es decir hay unos fenóme- tud que se busca medir. Este procedimiento nos que para algunos efectos sea necesario permite asociar un número a esa cantidad
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticode magnitud, pero ese número no expresa la Los siguientes elementos componentes delcantidad exacta de la magnitud que se mide, es acto de medir magnitudes extensivas25 muestranapenas una aproximación que puede hacerse las complejidad de los proceso de medida.más cercana a lo que se mide mediante el Identificación de la magnitud querecurso de fraccionamiento de la unidad. En se desea medir. Es muy importante en lacambio, las intensivas son muy difíciles cuan- enseñanza tener presente la idea de que latificar o medir porque sobrepasan los límites magnitud es una construcción de la mente. Lade la aritmética. Precisamente en este punto magnitud longitud no está en los objetos, eshay que recurrir al subcampo del pensamiento construida por los niños y jóvenes a partir deestadístico y aleatorio, ya que éste permite las acciones de comparación entre los objetosrefinar métodos de ordenar en series y brinda que ellos realizan. En los casos de magnitudesinformación sobre el grado de estimación compuestas, como cuando se desea expresar laalcanzado. Las magnitudes intensivas exigen rapidez con la que se desplaza un móvil, puedeampliar el concepto de medir. Se tendría que ser un poco más complejo, ya que como sedecir algo como el acto de medir consiste en hacer ha dicho, requiere coordinar la relación entrecomparables, a través de escalas (numéricas o no), dos magnitudes: distancia y tiempo. Si un estu-cantidades de magnitud del mismo tipo, de forma diante no posee los recursos cognitivos impli-que las relaciones de orden entre las cantidades de cados en esta coordinación, no podrá hacerselas magnitudes y sus medidas sean las mismas. Con al significado exacto de la noción de rapidezestas precisiones se dirá que específicamente y menos darle pleno significado a relacionesen este subcampo se hace referencia a ese entre medidas de ésta. En casos de cantidadespensamiento involucrado con la medida de intensivas, si se trata de “medir” fenómenosmagnitudes extensivas. tan “subjetivos” como la confortabilidad de Antes de entrar a estudiar el proceso de un vehículo, o la intensidad de un dolor, no esmedir magnitudes conviene hacer una nueva tan inmediato determinar cuáles aspectos dedistinción. Existen unas magnitudes como la estos fenómenos son necesarios y adecuadoslongitud, el área, el peso, la amplitud angular, identificar, que den cuentan de la intensidad deetc., que se construyen a partir de la experien- eso que se desea medir, como tampoco, cómocia directa, al comparar las propiedades de hacerlo y qué instrumento utilizar.los objetos y de los eventos. A estas magni- Asignación de un número que expresatudes se les puede reconocer como Primarias. la cantidad de la magnitud medida. En elExisten otras que se construyen a partir de la caso de algunas magnitudes, para dar cuentacoordinación de las primeras, por ejemplo, la de la cantidad, qué tanto hay de esa magnitudvelocidad de un móvil es construida a partir o qué tan extensa está presente esta magni-de la coordinación de la distancia y del tiem- tud, se toma cierta cantidad de ella en otropo; la presión resulta de coordinar la intensi- objeto o en otro hecho, que se llama unidad 61dad de una fuerza y del área de la superficie (generalmente para facilitar el proceso se tomasobre la que se aplica. Estas magnitudes se una cantidad más pequeña que la que se deseallamarán Secundarias. medir) y se ve cuántas veces enteras y partes de ésta se necesitan para “cubrir” totalmente25 COLOMBIA. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL, Matemáticas. Lineamientos curriculares. Serie Lineamientos (en la práctica casi totalmente) la cantidad a Curriculares, Bogotá, 1968, p.61-68. medir. En el caso de otras magnitudes, como
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela algunas de tipo físico, el procedimiento no se trata de medir la extensión de superficies, si se parece tanto a un recubrimiento como cuando aplica de forma directa la idea de recubrimien- se comparan las masas de dos objetos en una to, además del decidir el tamaño de la unidad, balanza o se usa el dinamómetro para com- también se debe resolver el problema del pa- parar el peso. trón más adecuado: ¿Qué decisión tomar si la superficie está delimitada por una línea trian- El número que se asigna a la extensión de la gular y si esta línea es una circunferencia? En magnitud medida expresa la cantidad de veces estos casos se da una excelente oportunidad que es necesario repetir la cantidad de la magni- para distinguir entre unidad y patrón. A la uni- tud de la unidad y de partes de ésta para obtener dad de un centímetro cuadrado se le pueden una cantidad igual (o en términos prácticos, casi asociar diferentes patrones: un cuadrado de igual) de la magnitud que se mide. lado de longitud de 1 centímetro, o cualquier En pocas ocasiones ocurre que con la otro rectángulo o un círculo de área igual a cantidad de la magnitud de la unidad se logra un centímetro cuadrado. Aunque en el caso “cubrir” aceptablemente la cantidad de la del volumen no puede aplicarse físicamente magnitud a medir. Si esto ocurre basta utilizar la idea de recubrimiento, puede imaginarse tal un número natural. Muchas veces se requiere acción y en ese caso la decisión del patrón más fraccionar27 la unidad y en ese caso son nece- conveniente presenta problemas semejante a sarias las “subunidades” para “cubrir” la canti- los del área. dad de la magnitud a medir, si la medida se da Pero el tamaño de la cantidad de magnitud en términos de la unidad y partes de ésta, no tomada como unidad, también tiene que ver bastan los números naturales, son necesarios con factores prácticos que determinan la pre- los números racionales positivos. cisión requerida. Si se necesita alta precisión Decisión sobre la unidad adecuada. Esta será conveniente tomar unidades pequeñas. decisión tiene que ver con el tipo y tamaño Precisión y exactitud de la medida. En de la cantidad de magnitud que conviene términos prácticos, el hecho de medir se puede tomar como unidad. Se toma sobre la base considerar como un proceso en el que se busca de la apreciación global de la extensión de la aproximarse a la cantidad a medir, tanto como magnitud a medir y de la experiencia ganada sea deseable y posible. A medida que se hagan en el proceso de medir, lo que permite decidir más subdivisiones, las subunidades serán más qué tan apropiado resulta tomar una unidad pequeñas y por lo tanto se podrá aproximar y no otra. más, de manera que el número que se asigna Cuando se trata de la magnitud longitud, como valor de la medida es más próximo al que sería en caso de medirse “exactamente”. por su carácter unidimensional, en principio Asociar un número con la cantidad de una la selección del tamaño de la unidad y del magnitud no es más que una aproximación,62 patrón conveniente es relativamente simple. y la cantidad real está en un intervalo que La mayor complicación estará exclusivamente puede hacerse tan pequeño como lo permita en la precisión de la medida. Pero, cuando se la precisión del instrumento. 27 Es dividir en un número de veces exacta la unidad. De ahí que al Construcción de instrumentos. Una repetir la subunidad obtenida el número de veces en el que se dividió la unidad “cubre” exactamente la cantidad de la cantidad vez definida la unidad, se construyen instru- de la magnitud que corresponde a la unidad. mentos para facilitar el acto de medir. Uno
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticode los instrumentos para medir longitudes es noción como “largo”, una idea imprecisa y sila cinta métrica, que no es más que una cinta se quiere ambigua, que será el punto de apoyoen la que aparece la unidad metro, con sus para construir la noción abstracta de longitud.subdivisiones en submúltiplos hasta donde De forma semejante surgen las otras nocionesse desee, según la precisión que se busca. Un de área, volumen, peso, tiempo, masa, tempe-marco de madera de forma cuadrangular y de ratura, etc.un metro de lado, podría ser el instrumento El punto de entrada para la construcción depara medir superficies aunque estos ya no estas nociones es entonces, la acción de com-resultan necesarios, gracias a que los proble- parar las cantidades de una misma magnitud ymas de medir superficies se pueden reducir a no el conocimiento de las unidades de medida.cálculos que requieren la medida de longitu- Cada vez con mayor insistencia la literatura endes. Un instrumento para medir pesos es el educación matemática pone en evidencia losdinamómetro. Su principio radica en establecer pocos efectos que produce para el desarrollocorrespondencia entre fuerzas y longitudes del pensamiento métrico de los estudiantes,que se traducen a una escala. En éstos como limitarlos al aprendizaje de los sistemas deen muchos otros instrumentos está presente el medida, es indudable que las prácticas demanejo de escalas. Y hay que tener en cuenta medir potencian más su pensamiento. En elque la comprensión de la construcción y lec- ciclo de educación básica A poco se aporta altura de muchas de estas escalas, involucran el niño, limitándolo al aprendizaje de cálculos depensamiento proporcional. áreas, volúmenes y sistemas de unidades, como Ya señalada la complejidad del acto de medir camino para acceder a las ideas de superficiemagnitudes extensivas, ahora se destacan algu- y área; en cambio, parece mejor empezar pornos referentes que conviene tener presentes al ayudarlo a vivir experiencias en las que seapensar y planear la enseñanza, para promover necesario comparar la extensión de dos regio-la complejización del pensamiento métrico de nes y buscar métodos cada vez más eficienteslos estudiantes. para hacerlo. A través de estas vivencias los Las nociones de las magnitudes surgen niños llegan a ideas intuitivas de la magnitudde acciones en la que se intenta medir.Si que se mide y de los procedimientos. Enseñarmedir es dar cuenta de la cantidad de una mag- los sistemas de unidades es fundamental, peronitud, es necesario entonces que se construya esto tiene sentido cuando el alumno ha ganadola noción de la magnitud que se busca medir. algo a nivel intuitivo.Pero estas nociones sólo pueden surgir a partir De la cuantificación cualitativa a lade múltiples experiencias en las que los niños cuantitativa. Para comparar varios objetos odeban comparar los objetos y los hechos por eventos según una magnitud, lo niños empeza-alguna propiedad común. En el primer ciclo rán por realizar acciones que le permiten decirel niño empezará haciéndose a ideas como “…es más…”, “…es menos…”; “es igual…”. 63el largo de una piola o un palo, o la distancia Poco a poco pasará de hacer comparacionesentre dos sitios, en variados problemas que él entre dos o tres objetos a ordenar coleccio-intenta resolver, en compañía de sus compa- nes de más de tres elementos. A medida queñeros y con el apoyo del maestro al interior de avanza podrá hacer comparaciones no directasmuchas actividades en las que necesita hacer sino mediante un tercer elemento que tomacomparaciones. Poco a poco construirá una como a manera de unidad. Estas acciones lo
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela llevarán al uso de patrones, lo que le abre el se toma como referencia la duración de otro camino a la medida propiamente dicha. evento periódico. El uso de una unidad como La necesidad de la conservación de la el metro cuadrado y peor aún, la introducción cantidad de una magnitud. Los primeros directa al cálculo del área por medio de una esfuerzos de cuantificación del niño pequeño fórmula, por ejemplo de un rectángulo o de un están soportados exclusivamente sobre la triángulo, oculta la idea de recubrimiento que información que le brinda la percepción, de está presente en estos casos y especialmente las ahí los típicos errores cuando consideran que grandes dificultades que se tienen que superar la cantidad de una magnitud puede cambiar para hacer los recubrimientos “exactos”. Hay debido a variaciones en la configuración del otras razones más para trabajar unidades no objeto que se mide (la cantidad de plastilina convencionales, estas experiencias brindan de un bola cambia si se altera su forma). Aun- excelentes oportunidades para ilustrar la nece- que el alumno del ciclo de educación básica sidad de establecer acuerdos sobre las unidades A ya está en condiciones de controlar con su que se utilizan en un grupo social. pensamiento los datos de la percepción en el La estimación de la medida. Parte esencial caso de las magnitudes como los elementos del desarrollo de una fuerte intuición sobre de una colección, o la cantidad de masa, muy la medida, está en la capacidad de estimar la seguramente todavía considerará que el área de una región pueda cambiar por variaciones en cantidad de una magnitud, capacidad que se la posición o por configuraciones diferentes de gana con la experiencia, ésta brinda referentes fracciones de ella, como cuando hace construc- sobre los que se pueden hacer apreciaciones de ciones con el tamgram. Si bien la conservación lo “grande” o “pequeño” que es una unidad, no es una noción previa a la construcción de la o de la cantidad de una medida. Siguiendo a misma noción de una magnitud y a su medida, Segovia y otros (1989) se dirá que el desarrollo si es necesaria para su consolidación; razón por de la estimación consiste “en crear una base de la que en la enseñanza de toda magnitud y en información sobre la valoración de los datos, todos los niveles, la enseñanza debe apoyar al análisis de su credibilidad y control de su va- estudiante para que la construya. lidez, que contribuya a educar las intuiciones más o menos espontáneas de los alumnos y De las unidades no convencionales a las convencionales. La experiencia de construir a organizar sus experiencias, de forma que se unidades de medida no convencionales para disponga de una base rica en información para alguna magnitud por parte de los alumnos, cuando el alumno tenga que iniciar un estudio permite construir fuertes intuiciones sobre la sistemático sobre cálculo numérico y estadísti- noción de magnitud y sobre el problema de co”. Esta base de información es la que tiene medir. Introducir las unidades convencionales que ayudar a enriquecer la enseñanza. A medi-64 sin más, muchas veces no brinda la posibilidad da que los estudiantes construyen herramientas a los estudiantes de hacerse a la naturaleza de más elaboradas sobre la medida, se les podrá la unidad y del proceso que está implicado en ayudar a controlar el grado de aproximación la medición de la magnitud. El uso del reloj, de sus mediciones, determinando el margen para medir en minutos o segundos la duración de error cometido y sobre todo el grado de de un evento, no deja ver el hecho importante precisión y exactitud que en un contexto de- de que para medir la duración de un evento, terminado es necesario y conveniente.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático Construcción y manejo de instrumen- a sus formas y a las modificaciones de estas.tos. Se ha dicho que el acto de medir invo- De acuerdo con Vasco (2006), “el pensa-lucra los instrumentos que se utilizan. Los miento espacial definido como el conjuntoestudiantes ganan comprensión de la medida de procesos cognitivos mediante los cualescuando aprenden a usar los instrumentos que se construyen y manipulan las representacio-comúnmente se usan para medir diferentes nes mentales de los objetos del espacio, lasmagnitudes; de ahí la importancia que a lo relaciones entre ellos, sus transformaciones,largo del proceso de enseñanza-aprendizaje, y sus diversas traducciones o representacio-de acuerdo con el grado escolar, se tengan nes materiales, contempla las actuaciones delexperiencias en las que se hagan prototipos sujeto en todas sus dimensiones y relacionesde estos instrumentos y se familiaricen con espaciales para interactuar de diversas ma-su uso. neras con los objetos situados en el espacio, desarrollar variadas representaciones y, a Todo instrumento supone la construcción través de la coordinación entre ellas, hacerde escalas. Muchas de las escalas que se usan, acercamientos conceptuales que favorezcanse construyen a partir de establecer relaciones las creación y manipulación de nuevas repre-de proporcionalidad entre las variaciones del sentaciones mentales”.29 El profesor Federicivalor de la magnitud, del objeto o hecho que insistía en una noción relacional del espacio;se utiliza para la medición y la escala que se decía que los objetos están dispuestos enconstruye para hacerla. Una cinta métrica el mundo y que los humanos establecemospuede considerarse como una escala que relaciones entre ellos para dar cuenta de susguarda correspondencia 1 a 1 entre segmentos posiciones y de los cambios de éstas. Este sis-de la escala y valores de la magnitud medida; tema de relaciones es lo que hace referenciaun dinamómetro establece una relación entre a la noción que los sujetos construyen de es-cada unidad de la escala y cada unidad de pacio. Tal forma de entenderlo es importanteestiramiento de un resorte y cierta cantidad para la enseñanza porque destaca el carácterde peso. Es importante que los estudiantes constructivo del pensamiento espacial. Portengan experiencias de construcción y manejo una parte pone de relieve que este no es re-de diferentes instrumentos y se les ayude a sultado de impresión de imágenes fruto decomprender las relaciones matemáticas que experiencias con los cuerpos, de sus formasestos involucran. y de sus posiciones, sino de operar con las relaciones que se establecen entre ellas,30 y2.5.3. Subcampo del pensamiento por otro lado, que para movilizar el desarro- espacial llo del pensamiento espacial, la enseñanza debe orientar su esfuerzo en enriquecer la Este subcampo incluye esa parte del pen- experiencia y la reflexión de los estudiantessamiento vinculada a las experiencias con los con el espacio. 65objetos físicos,28 sus representaciones gráfi-cas y simbólicas cuando se hace referencia a En Colombia, a partir de la renovaciónsu localización, a sus cambios de posición, curricular se viene insistiendo en el enfoque 30 Para ser más exactos, habría que decir que las mismas percepciones28 Para este caso el propio cuerpo y el de los otros son considerados no son meros registros en nuestras mentes de lo que vemos, sino como otros objetos físicos. verdaderas construcciones producto de la interacción entre lo que29 Ibid., Vasco, C. MEN (2006). ya poseemos en nuestras mentes y lo que percibimos.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela de geometría activa. Ésta consiste en “la de usar objetos muy conocidos (la casa en exploración de la figura mediante el movi- la que vivimos, el parque, la escuela) para miento, empezando por el propio cuerpo, utilizarlos como referencia en espacios más (como cuando el niño recorre la frontera de amplios. Pero la coordinación de un sistema una figura) y pasando por el que se aplica a de referencia con otro es parcial. los objetos físicos, para estudiar los efectos También transformamos y representamos que se producen en la figura que comportan los objetos, y modificamos sus posiciones y las relaciones entre productos de estos mo- aunque no los desplacemos. Algunas acciones vimientos y de manera muy parcial, entre los que hacemos sobre los objetos modifican su mismos movimientos” (Vasco,1994). Pero forma y su tamaño. Hay otras acciones que quizá los efectos producidos en las prácticas mantienen la forma pero no el tamaño u otras de enseñanza están distantes de las ideas plan- que mantienen ambas. Aunque de pequeños teadas en este enfoque. La interpretación que no seamos conscientes de estos hechos, los se hace del componente activo que se propone utilizamos en muchas acciones prácticas. en la enseñanza se reduce a manipulaciones Desde pequeños comparamos propiedades orientadas más a apoyar la percepción de for- de los objetos que dan cuenta de su tamaño mas que a la exploración activa y a la reflexión o del de algunos de sus componentes, aunque sobre las acciones y sus resultados. Aún, en al empezar sea de forma rudimentaria. Poco muchos casos se sigue insistiendo demasiado a poco introducimos procedimientos que nos en la transmisión de contenidos, aunque ahora permiten independizar paulatinamente las dicha transmisión se enmascare apoyándose comparaciones de la valoración perceptiva. en la manipulación y la visualización. Más adelante con los progresos en la medida El desarrollo del pensamiento espacial es logramos comparaciones más refinadas. Los un proceso lento y se nutre de las experiencias conceptos de micro-espacio, meso-espacio y macro- espacio introducidos por Grecia Galvez (2001) que las personas tienen del mundo material, aportan para comprender el alcance de estas simbólico, social y cultural; pero en este caso construcciones. como en ninguno otro, -o quizá comparable con el pensamiento físico-, las experiencias Desde muy pequeños intentamos construir con el mundo de los objetos se constituye objetos conocidos y presentes, pronto pode- en un soporte intuitivo mayor. Los humanos mos representar objetos ausentes mediante construimos un espacio práctico como resul- modelos físicos (tipo maquetas) y/o dibujos. tado de las acciones que hacemos sobre y con En un comienzo estas representaciones son los objetos del mundo. Desplazamos objetos incompletas e imprecisas, pero, poco a poco y nos desplazamos de un sitio a otro. Para logramos mejorarlas. dar cuenta de nuestra localización y de los Estas adquisiciones nos hacen relativa-66 objetos construimos sistemas de referencia. mente eficientes para vivir en el espacio, Al comienzo, de niños, únicamente estamos así sea local, sin necesidad de mayor ins- en capacidad de usar sistemas referidos al trucción formal. Este es un espacio prác- propio cuerpo o a objetos que están en el tico o empírico, pero cualquiera de las dos mismo lugar y cercanos a nosotros, por eso permite realizaciones con cierto grado de estos sistemas son muy locales y fragmen- complejidad, que van mucho más allá de tados. Poco a poco nos hacemos capaces desplazarnos entre dos sitios conocidos, sin
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticoperdernos y de poder imaginarnos el camino. nos, tanto como es posible y deseable. QuizáPor ejemplo, podemos imaginarnos la acción el camino para brindar información tempranade cortar una tabla de forma cuadrada por sobre la geometría no sea el más eficiente. Losuna de sus diagonales y anticipar la forma y estudios en educación matemática muestranel tamaño de los dos pedazos. Para resolver los pobres resultados que alcanzan los alum-este problema a nivel práctico no se necesita nos en la estructuración de su pensamientoconocer el nombre de la forma de la tabla y espacial, cuando se asume la enseñanza de lamenos de la línea de corte; simplemente el geometría como la entrega de informaciónapoyo intuitivo de muchas acciones ofrece la que él debe aprender. El ya clásico estudioevidencia necesaria para anticipar este resul- de lo esposos Van Hiele (1957) muestra lostado, e incluso da la certeza de que se cumple escasos logros alcanzados; en su modelo depara todos los casos. Este espacio práctico cinco niveles la mayoría de los estudiantes sese va complejizando con mayor capacidad de ubican en alguno de los tres primeros.representarlo y de coordinar acciones paraobtener resultados más avanzados. Este es un 2.5.3.1. Componentes del pensamientoproceso en el cual la enseñanza escolar juega espacialun papel importante, ya que apoya al estu- Aunque la literatura es dispersa en relacióndiante en la apropiación de las herramientas con posibles componentes del pensamientode pensamiento que brinda la geometría. Un espacial, se propone pensar el desarrollo decarpintero, incluso si es iletrado, da muestras este pensamiento en tres componentes: lo-de una profunda capacidad de representarse calización, estudio de la forma e inferencia ymentalmente el mueble que va a construir, validación. Con esto se busca estructurar ladel número de piezas que lo conformarán, diversidad de experiencias convenientes parade sus formas y sus tamaños, aunque si le promover en los estudiantes el pensamientopidiera que lo dibujara, su “croquis” poco espacial; quizá estos no sean suficientes, ni searespetaría los principios de la perspectiva y ésta la clasificación más adecuada; la investi-de las proporciones. La progresiva geometri- gación y el debate aportarán elementos parazación de este espacio permite construir un mejorar esta propuestas.espacio abstracto y conceptualizado,31 que La localización. Tiene que ver con la capa-produce entidades teóricas representadas cidad de dar cuenta de la posición relativa desimbólicamente, para las cuales ya no pode- los objetos; para tal fin, se construyen sistemasmos construir imágenes mentales, como por de referencia. Al comienzo, estos sistemasejemplo: ¿cómo tener imágenes mentales de cada vez involucran pocos elementos, a vecesun espacio de 5 dimensiones? sólo dos objetos, como cuando se establecen De lo anterior se desprende que el niño llega relaciones del tipo: “estar cerca (o lejos) de…”,al colegio con construcciones importantes so- “estar más cerca (o más lejos) de…”, “estar 67bre el espacio. El papel de la escuela consistirá a la derecha (o la izquierda) de”, “estar arribaen reconocerlas y enriquecerlas. Habría que (debajo de…)”. Un síntoma de progreso enpreguntarse si lo que está ofreciendo logra este sentido está dado por ser capaz de coor-potenciar el pensamiento espacial de los alum- dinar relaciones entre tres o más objetos. Un sistema de referencia privilegiado es el31 Sería más exacto decir “permite construir diferentes espacios”. brindado por el propio cuerpo. A medida que
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela el niño progresa en el dominio de su esquema …”. Las acciones de elaboración e interpreta- corporal, utiliza tres ejes de su topografía cor- ción de croquis, planos, maquetas ayudan a los poral para ubicarse y orientarse en el espacio: estudiantes a ganar y mejorar su capacidad de arriba-abajo, delante-atrás, derecha-izquierda. coordinar dos y tres dimensiones. Inicialmente, estos ejes son utilizados por El estudio de la forma. En el espacio físico separado (relaciones en una dimensión) y nos enfrentamos a objetos en tres dimensiones. progresivamente puede coordinar dos de ellos Con la exploración activa de estos cuerpos se (relaciones bidimensionales, sobre un plano: construyen representaciones mentales de las “…está adelante y a la derecha de…”). Hay figuras tridimensionales, bidimensionales, de que esperar mucho tiempo para que el estu- las líneas y de los puntos. Este texto de Vasco diante sea capaz de integrar los tres (relaciones es ilustrativo al respecto: tridimensionales). De la capacidad de utilizar el propio cuerpo como marco de referencia, se Al pasar las manos por las caras o su- progresa hacia el uso del cuerpo de otros y otros perficies de objetos, muebles y paredes se objetos como marco de referencia. Estos siste- aprecia más que con cualquier definición mas de referencia ligados al sitio presente han la diferencia entre cuerpos y superficies, de ser ampliados progresivamente para incluir y entre superficies planas y curvas. La espacios mayores y objetos no presentes. De la interrupción del movimiento prepara el capacidad de establecer relaciones y de operar concepto de superficie como frontera de con éstas en el campo de la misma acción, es un cuerpo, y el movimiento de la mano necesario pasar a ser capaz de operar con re- prepara el concepto de plano, el de región presentaciones icónicas y poco a poco sobre re- y el de área. presentaciones del lenguaje. Estos progresos no Al pasar el dedo por el borde común se agotan en el primer ciclo. Habrá que apoyar de dos superficies se aprecia la diferen- a los estudiantes del ciclo de Educación Básica cia entre superficie y línea y entre línea A para que construyan sistemas de referencia recta y curva, y se prepara el concepto más universales, como el sistema de posición de longitud y el de prolongación de una geográfica (el de los puntos cardinales). En línea en la misma dirección y sentido del el ciclo de Educación Básica B se les apoyará movimiento del dedo. La interrupción para que manejen sistemas de posicionamiento del movimiento prepara el concepto de global; incluso con los progresos en geometría línea como frontera de una superficie, y llegar a dominar los sistemas de coordenadas el movimiento del dedo prepara el con- cartesianas e incluso sería deseable al finalizar cepto de línea recta, el de segmento y el la secundaria que los alumnos se familiarizaran con las coordenadas polares. de longitud. Los primeros sistemas de referencia carecen Al terminar el recorrido de un borde de la medida, de la distancia. De sistemas que que termina en punta, esa interrupción68 sólo incluyen relaciones como “está más lejos del movimiento prepara el concepto de (más cerca) que…”, se debe pasar a sistemas punto. Se sugiere la prioridad del cuerpo que expresen relaciones como “está a 5 metros sobre la superficie, de ésta sobre la línea de” y a sistemas bidimensionales en los que apa- y de ésta sobre el punto.32 rezcan relaciones más complejas como: “está 5 32 COLOMBIA. MINISTERIO DE EDUCACION NACIONAL, ibid. metros a la derecha de y 4 metros adelante de Págs. 53 y 54.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático Se ve que la representación mental de una fi- forma. El estudio de las transformaciones degura no se reduce a la imagen mental cosificada figuras ha ido progresivamente primando sobreproducto de la percepción directa de una forma la presentación formal de la geometría, basadaglobal. Es, más bien, un esquema mental en el en teoremas y demostraciones y en el métodosentido estricto de Piaget. Se trata de propiciar deductivo…Esta propuesta [la de geometríala construcción de esquemas dinámicos con los dinámica] intenta devolver la dinámica a loscuales se puedan imaginar transformaciones y sistemas geométricos con sus operadores yoperar con ellas. transformaciones, que resultan de internalizar Estas construcciones aunque importantes, en forma de esquemas activos en la imaginaciónno son suficientes para avanzar en la geo- los movimientos, acciones y transformacionesmetrización. A medida que se identifican los que se ejecutan físicamente. Esto quiere decirelementos, hay que establecer relaciones entre que una transformación no puede definirse,ellos. Por ejemplo, no basta reconocer la forma ni mucho menos simbolizarse formalmente,rectangular y distinguirla de otros cuadriláteros, antes de que los alumnos hayan hecho algunaso reconocer los elementos que la constituyen; transformaciones externas, moviéndose elloses necesario ir más allá estableciendo relaciones mismos y moviendo hojas, varillas y otrosentre las condiciones de ángulos rectos, de pa- objetos, deformándolos, rotándolos o desli-ralelismo y de igualdad de las longitudes entre zándolos unos sobre otros de manera física,pares de dados. También es preciso establecer de tal manera que ya puedan imaginarse esosrelaciones entre figuras. No basta estudiarlas movimientos sin necesidad de mover o trans-unas separadas de las otras. Por el contrario, formar algo material, a lo más acompañandose requiere ayudar a los estudiantes a reco- esta imaginación con movimientos del cuerponocer cuáles son las condiciones necesarias y o de las manos…suficientes que determinan una figura; cuáles Cuando se estudien estos sistemas detransformaciones cambian una en otras; cuáles transformaciones, debe comenzarse por loselementos permanecen y cuáles no, cuando desplazamientos que pueden hacerse con else hacen determinadas transformaciones. Las propio cuerpo, o deslizando objetos y figurasclasificaciones de la figuras son importantes, sobre el plano del piso, del papel o del tablero.siempre que estas no se aborden como simples Con esto se llega primero a las rotaciones ytaxonomías a memorizar, sino que resulten de la a las traslaciones. Se trata de ver qué tipo decapacidad de los alumnos para hacer inferencias movimientos conservan la dirección, cuáles laa partir de las operaciones entre las relaciones orientación en el plano o en el espacio, cuálesque establecen entre sus componentes. cambian los órdenes cíclicos de los vértices sin El estudio de las transformaciones sobre las definir verbalmente ninguna de estas transfor-figuras es un componente fundamental para maciones.33el estudio de las formas. Ellas tienen que ver De igual forma, es importante para el estudiocon la exploración activa de los efectos que se de la forma la construcción de figuras con el 69producen al realizar movimientos o cambios uso de instrumentos (compás, regla, etc.), yaen las figuras. que el acto de dibujar permite visualizar rela- En la actualidad, gran parte de la geometría ciones entre los elementos involucrados enescolar se ha ocupado del movimiento de fi-guras geométricas desde una posición a otra, 33 Vasco, Carlos, citado en: “Matemáticas. Lineamientos Curriculares”.y de movimientos que cambian el tamaño o la Cooperativa Editorial Magisterio. Bogotá.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela la figuras, al igual que el uso de los software mal, lo concreto y lo abstracto y lo cotidiano que promueven la geometría dinámica, ya que y académico” (Vasco C, 2006)..34 En otros exigen un tipo de construcción que favorecen subcampos del pensamiento matemático, los la visualización de las relaciones que están en estudiantes también pueden hacer inferencias, juego (Laborde 1996). pero sus intentos de validación fácilmente Inferencia y validación. El primer modelo caen sobre la verificación, debido a que re- teórico de corte deductivo que se conoce en la quieren elementos teóricos que les resultan historia no solo del conocimiento matemático difíciles. No se trata de enseñar la geometría sino del conocimiento humano, es el modelo mediante teoremas y sus demostraciones, pero de Euclides. A pesar de las sospechas sobre sí de estimular a los alumnos a investigar, a su consistencia lógica, por muchos siglos las producir enunciados claros y precisos en los generaciones de matemáticos lo reconocie- que den cuenta de sus hallazgos. Que puedan, ron como excelente ejemplo de construcción cada vez con más rigor, acercarse a demos- lógica. Aún se le reconoce así, aunque se traciones sencillas, soportándose en unas tenga claridad de sus vacíos y se cuente con relaciones que, aunque no se han demostrado modelos axiomáticos que lo perfeccionaron. con anterioridad en el curso, por alguna razón Quizá esta sea una de las razones por las que ya son aceptadas como verdaderas. se considere que el estudio de la geometría es un campo privilegiado para el desarrollo del 2.5.4. Subcampo del pensamiento razonamiento deductivo. algebraico-variacional Junto a las razones de tipo histórico al con- Este subcampo está relacionado con el siderar la geometría como campo privilegiado desarrollo de esa parte del pensamiento in- para el desarrollo del razonamiento deductivo, volucrado con el estudio de la forma de va- están las de tipo psicológico. Se ha dicho que riación de dos o más conjuntos de números el pensamiento espacial goza, como pocos, de o magnitudes. Tiene que ver con esa parte fuertes soportes intuitivos. Este hecho facilita del pensamiento matemático vinculado con que el estudiante logre hacer inferencias sen- el hecho de estudiar fenómenos reales o ima- cillas a partir de manipulaciones de objetos y ginados en los que es posible identificar dos de sus representaciones gráficas; y que una vez o más magnitudes y estudiar la forma como hechas estas, pueda construir argumentacio- varían una o varias en función de una o varias nes prácticas con las cuales busca validar sus de otras. Esto significa que el pensamiento afirmaciones y en las que es posible apoyarlos variacional nace en el estudio de situaciones para que superen la simple verificación empí- de variación y, nuevamente aquí hay necesidad rica, aunque inicialmente se apoyen en ellas. de repetir lo ya dicho en los otros subcampos, “La geometría euclideana es un campo muy este pensamiento no emerge del estudio más70 fértil – aunque no el único- para el cultivo de o menos formalizado de algunas nociones la abstracción, la generalización, la definición, vinculadas con el concepto de función. la axiomatización y, ante todo la deducción formal a partir de axiomática, por tener una Es útil distinguir algunos componentes articulación óptima entro lo intuitivo y lo for- del pensamiento variacional, que conviene ir consolidando en los estudiantes desde que 34 Ibid., Pág inicia el preescolar.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático La apropiación de un método para estu- de contenidos distintos, por lo que se puedendiar la variación. Los fenómenos del mundo tener algunos modelos de variación con los quereal (naturales, sociales, económicos, etc.) son conviene que los estudiantes se familiaricencomplejos, en ellos intervienen distintas mag- (lineal, polinómicos, exponencial, etc.).36 Elnitudes, de forma que los efectos observables que fenómenos distintos puedan interpretarseson fruto de la confluencia de las variaciones de con un mismo modelo de variación permiteesas magnitudes. Como resulta difícil establecer descubrir nuevas regularidades. Una regularidadde una vez relaciones que vinculen a todas ellas, en un plano superior, ya no entre las variablesun recurso metodológico consiste en aislar dos de un sistema particular y específico, sino entremagnitudes, tratando de mantener constante o distintos sistemas particulares. Hay aquí un ni-minimizando los efectos de las otras no selec- vel superior de abstracción, montado no sobrecionadas. Estudiar la forma como varían las valores de una magnitud sino sobre formas demagnitudes, es estudiar variables, una de éstas variación (la forma como varía lo que se paga(que se toma como variable dependiente) varía por el transporte de personas cuyo valor uni-cuando la otra toma diferentes valores (variable tario es el mismo para todas; la forma comoindependiente). A partir de las relaciones entre varía el área de un rectángulo con relación a lapares de variables (Vi, Vj, Vk,…) se puede in- longitud de su altura cuando permanece cons-ferir la variación de una variable V. tante la longitud de su base; la forma como varía Aunque la compresión y manejo de este la presión que ejerce un gas en un recipienterecurso metodológico es complejo, desde cerrado cuando cambia la temperatura que estetemprana edad los niños pueden participar en tiene; en todos estos casos, diremos que hay unapequeños experimentos en los que toman y relación directamente proporcional).registran datos sobre dos magnitudes para darcuenta, a través de representaciones en tablas Compresión y manejo de diferentes sis-o dibujo de los valores tomados, para empezar temas de representación. Para expresar laa acercarse a la idea de poner en relación dos variación se utilizan distintos registros (lenguajemagnitudes y analizar cómo los valores de una común, tablas, gráficas y algebraicos). Convienedependen de los valores de la otra. que los estudiantes logren expresar con clari- dad y precisión algunas formas de variación Construcción y comprensión de mode- en los diferentes registros y ganar habilidadlos de variación. Se trata de ayudar a los es- para convertir lecturas de un registro a otros.tudiantes a comprender que en muchos casos En este proceso el alumno ha de ser capaz deen la forma como se relacionan las variaciones dar significado a las escrituras particularesde dos magnitudes se puede identificar una que se utilicen y dar cuenta de la forma deregularidad en la variación, que esa regularidad variación según los elementos de la situaciónpuede expresarse mediante alguna forma derepresentación35 y que ésta puede utilizarse 36 No existe un acuerdo con relación a cuál de los modelos conviene 71para obtener valores nuevos a partir de unos enseñar en la educación básica y cuál es la profundidad con la queya conocidos. han de abordarse. Este es un punto en el que convendría que se debatiera en las comunidades de educadores matemáticos para obtener acuerdos básicos. Los estándares curriculares fijan para Algunas de estas formas de variación con noveno grado el estudio de variaciones polinómicas, racionales,alguna frecuencia se repiten en fenómenos exponenciales y logarítmicas. A juzgar por los resultados de las investigaciones existentes en educación matemática podría35 Estás formas pueden ser las expresiones verbales, tablas, gráficas pensarse que están muchos más allá de las construcciones que y símbolos. un alumno de básica podría alcanzar.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela (por ejemplo, variaciones de la inclinación ellas tienen para interpretar hechos.39 En de la semirecta que se obtiene como gráfica educación básica es más favorable orientar cartesiana en el caso del área del rectángulo el estudio de las representaciones algebraicas citado anteriormente, significa variaciones en ligadas a la interpretación de variaciones y la el valor de su base). búsqueda de nuevas relaciones posibles, que El registro algebraico es el sistema de signos como estudio formal y abstracto. Muchos más importante para expresar la variación, estudios muestran las grandes dificultades por que es sucinto y es una forma potente que los estudiantes tienen para pasar las trans- de comunicar ideas complejas y abstractas;37 formaciones que hacen sobre las expresiones además, por que al posibilitar hacer transfor- algebraicas en las reglas que rigen la sintaxis maciones de una expresión a otra equivalente, de un sistema. Generalmente cuando logran siguiendo las reglas sintácticas del sistema, se cierta habilidad para ejecutarla lo hacen por pueden inferir relaciones nuevas,38 a partir de la vía del entrenamiento.40 unas ya conocidas. Se propone ligar el estudio Una representación simbólica no se cons- del sistema de representación algebraico a la tituye en algebraica por el simple hecho de variación, en todos los niveles de la educación incluir letras que representan números que básica, ya que es la variación la que permite se combinan con las operaciones posibles apreciar que las representaciones algebraicas entre los números; si el estudiante no es son formas de representación simbólica de capaz de captar las relaciones generales que relaciones generales. Poco a poco conviene ellas expresan es un simple simbolismo. En incrementar la capacidad de hacer manipula- ciones operatorias de expresiones algebraicas 39 Aquí los recursos computacionales son de vital importancia sujetándolas a la variación y al estudio de para que los estudiantes visualicen el dinamismo de estas diferentes problemas en los que el estudiante representaciones. se apropie de la función de herramienta que 40 Muchos estudios muestran los escasos logros que se alcanzan cuando se busca que los estudiantes accedan al algebra por la vía de lo que se ha llamado “una aritmética generalizada”. Muchas de las manipulaciones que los alumnos logran hacer de las expresiones numéricas se basan más en las intuiciones de la certeza de la 37 Una expresión simbólica como d=gt2 /2 es una forma muy validez de la manipulación que la conciencia de que esté aplicando sintética de expresar que “la distancia recorrida por un cuerpo un regla sintáctica que se los permita. Cuando un educando que se suelta y cae libremente depende del cuadrado del tiempo muestra dos caminos correctos para resolver un problema ligado transcurrido, con una constante de variación igual a la mitad de a un contexto en el que el profesor pueda identificar que son aceleración que el campo gravitacional ejerce en el sitio en el que equivalentes porque la existencia la propiedad distributiva, no se produce la caída”. Se entiende que así como hay economía, significa que el estudiante sea consciente de ello, simplemente lo también hay mayor complejidad para extraer el significado allí hace basándose en los significados concretos que el contexto le inmerso. Si de este simbolismo no puede extraerse ese significado, permite dar a los números y las operaciones que realiza. Pasar independientemente de que se pueda expresar de forma completa de la capacidad de encontrar por dos caminos distintos el valor y correcta verbalmente, tal expresión no tiene sentido. total que se paga por las 5 unidades de un artículo A y 5 unidades 38 Piénsese en lo que ocurre con un problema simple como el que de un artículo B, siendo los valores unitarios de A y B diferentes: a partir de aplicar el teorema de Pitágoras se puede expresar la uno consistente en calcular las multiplicaciones de 5 por el valor longitud del lado del cuadrado inscrito en una circunferencia de la unitario de cada artículo para después sumar los resultados72 radio r. Un vez que se tiene el resultado y a partir de la expresión obtenidos y el otro, suma los valores unitarios para después del área del cuadrado, con una manipulación simple se puede multiplicar por 5, no significa que el estudiante sea consciente de obtener una nueva relación entre el área del cuadrado y el radio. la aplicación de la distributiva de la multiplicación respecto a la Pero lo interesante aquí no es tanto que mediante el nuevo resultado adición. Pasar de esta capacidad a la de aplicarla para encontrar se pueda tener una fórmula para calcular el área de cuadrado a y comprender la equivalencia ente 5a + 5b y 5(a+b), siendo a partir del radio de la circunferencia en el que éste se inscribe, sino y b representaciones de números cualesquiera, supone una gran que la expresión algebraica permite decir que “entre el área del capacidad generalizadora del pensamiento, un pensamiento formal cuadrado inscrito y el radio de la circunferencia existe una relación que apenas está en ciernes. Estos saltos, o mejor malabarismos de proporcionalidad”. Si se duplica el radio de la circunferencia cognitivos que se le exigen a los estudiantes son los responsables también se duplica el área del cuadrado. L = 2R. de los escasos logros que ellos alcanzan.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticogran medida esto pueda explicar la gran difi- que esta expresión muestra la estructura de lacultad que ellos tienen, incluso en educación variación. Esta representación mental ya nosuperior, para usarlas como herramienta en el está ligada a imaginarse los cambios particula-estudio de relaciones entre las magnitudes que res, ya es elevada a un ente abstracto que tieneintervienen en un hecho. La fórmula simple significado por sí mismo.para calcular el área de un triángulo de basey altura, puede verse como una expresión 2.5.5. Subcampo del pensamientosimbólica que representa la variación entre estadístico y aleatoriola variable dependiente área y dos variablesindependientes base y altura,41 pero también Actualmente se asiste a una etapa de desa-puede verse simplemente como una expresión rrollo acelerado. El mundo cambia a pasoscomprimida de representar un procedimien- agigantados, tanto en la ciencia como en lato para calcular el área de un triángulo. Este tecnología. Con la construcción de computa-último significado es generalmente el que se dores cada vez más potentes y el avance de lostrabaja en la mayoría de los casos; con una sistemas de transporte y el mejoramiento de losrepresentación mental, así no es claro, cómo procesos de comunicación, estamos enfrenta-puede el estudiante pasar al problema de ex- dos a un mundo saturado de información. Elpresar el área de un triángulo equilátero en conocimiento científico ha consolidado nuevosfunción de su lado. Hacer uso de las letras modelos de explicación, más holísticos, en losque aparecen en las expresiones algebraicas que las teorías deterministas ceden terreno acomo números desconocidos es limitar su principios basados en la incertidumbre. Paracomprensión. No es muy claro que este signi- buscar, organizar e interpretar la información,ficado sea una fase obligada por la que pasan y además tomar y presentar decisiones adecua-los alumnos al avanzar en su pensamiento das en esta nueva realidad, ya no son suficien-algebraico-variacional, o más bien es fruto de tes las habilidades de tipo determinista de losla forma como se acercan al álgebra. siglos pasados. La escuela no escapa a estos cambios. El proceso de formación requiere De una representación mental dinámica desarrollar un tipo de pensamiento estadístico yal reconocimiento de una estructura. Se aleatorio, vinculado con la necesidad de inter-ha insistido en la importancia de ayudar a los pretar sucesos que responden a multitud deestudiantes a representarse mentalmente las causas y con resultados relativamente impre-expresiones algebraicas como forma de va- decibles. Actualmente se requiere seleccionarriación, pero es necesario ir más allá, en ellas información pertinente y analizar múltiplestambién hay que reconocer la representación caminos para tomar una decisión.de la estructura de una variación. La forma devariación expresada por Y = 3X es la repre- El pensamiento estadístico y aleatorio hacesentación sintética de un modelo de variación referencia a la capacidad de abordar la com-entre las dos variables, por lo tanto también prensión de aquellos fenómenos aleatorios, 73tiene que surgir en la mente de los estudiantes cuyas causas son complejas y múltiples para enumerarlas, y su conocimiento se torna pro- blemático y confuso. Son fenómenos sobre los41 La representación gráfica de esta relación no es tan sencilla, ya que que no es posible construir modelos matemáti- pone en juego tres variables; exige un sistema de tres coordenadas y su forma será la de una superficie. Pero puede simplificarse si se cos exactos con los cuales se puedan determi- hace constante una de las dimensiones nar las condiciones iniciales. El pensamiento
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela estadístico y aleatorio tiene que ver con esa de una población de estudiantes con relación parte del pensamiento que posibilita com- a sus calificaciones. Otras veces, el énfasis prender aquellos fenómenos de tipo azaroso, está puesto más allá, y es más interesante, en los que no tenemos certeza acerca de las como cuando se desea hacer inferencias sobre causas que los generan, como si provinieran poblaciones a partir del estudio de muestras. de un juego de dados. Son fenómenos cuyo Así el método estadístico implica, de un lado, estudio es necesario asumir desde la recopi- resumir nuestra experiencia buscando regu- lación de datos numéricos empíricos en lista- laridades que sean confiables, y de otro lado, dos, tablas y gráficas (métodos estadísticos), usar el resumen o el representante para poder para que se pueda hacer un acercamiento estimar o decidir, teniendo en cuenta lo que aproximado a un modelo que permita pre- probablemente sucederá. decirlos, criticarlos y tomar decisiones con Entender así la estadística como un conjun- cierto grado de seguridad (probabilidad). En to de métodos de investigación que permite general, se denominan fenómenos aleatorios pensar de una forma eficiente y útil sobre una en matemáticas a aquellos en los que las leyes variedad de situaciones que implican la incerti- conocidas de causa-efecto no explican cómo dumbre, puede ser de gran ayuda para orientar actúa el sistema, razón por la que se recurre la enseñanza. Desde los primeros años en que a funciones de probabilidad para describir se imparte educación sobre ella, la estadística su funcionamiento. tiene que ligarse a la problematización. No Se propone distinguir tres componentes tiene mayor sentido recoger y estudiar datos del pensamiento estadístico y aleatorio: el sobre un hecho si no hay una pregunta por estadístico, el combinatorio y el probabilís- resolver. Uno es el sentido que puede construir tico. Hacer esta distinción no significa que un estudiante cuando recoge datos, hace tablas, se asuma que el pensamiento estadístico y gráficos y calcula frecuencias; por el hecho aleatorio se desarrolla en los estudiantes por simple de responder a los requerimientos del la agregación de lo que logran construir en profesor, y otro el sentido construido cuando cada componente. En su lugar, se trata de tres compara grupos de datos (al menos dos), que componentes íntimamente relacionados que se consideran como muestras de alguna pobla- producen un todo llamado pensamiento es- ción, para establecer semejanzas y diferencias tadístico y aleatorio. El proceso de enseñanza en sus compartimientos con la intención de debe establecer estos nexos. hacer inferencias. Calcular las medidas centra- les o de dispersión para describir unos datos, 2.5.5.1. Estadístico cuando esa descripción no se utiliza más allá de responder al requerimiento de la tarea escolar, De forma general se dirá que este compo- no ayuda mucho a darle sentido a la necesidad nente tiene que ver con la capacidad de tomar, de estas medidas y menos a su significado.74 organizar, interpretar y presentar datos, es decir, con la comprensión de los métodos que se utilizan para recoger, procesar, des- 2.5.5.2. Combinatorio cribir, presentar e interpretar una colección Este componente hace referencia a la capa- de datos cuantitativos. Unas veces el énfasis cidad de enumerar todos los modos posibles estará puesto en la simple descripción, como en que un número dado de objetos puede cuando se desea estudiar el comportamiento mezclarse y combinarse, de manera que
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticoestemos seguros de que no hemos omitido ya que no requiere del cálculo complicado yninguno de los posibles. Estamos frente a los estudiantes parecen encontrar allí retosuna capacidad cuya importancia trasciende interesantes.su conexión con las matemáticas y cobraimportancia en casi todas las disciplinas. Ca- 2.5.5.3. Probabilísticopacidad que es la ampliación y generalizacióndel proceso de contar. Este componente tiene que ver con la ca- pacidad de establecer la diferencia entre los Entender de esta manera el componente fenómenos aleatorios de aquellos que no locombinatorio muestra que en la enseñanza son, con la de comparar cuál de dos eventosdebe potenciarse la capacidad de enumerar las tiene igual, mayor o menor incertidumbre dediferentes formas de combinación, estimulan- que ocurra y con la de poder establecer dedo los métodos intuitivos de los estudiantes y manera cuantitativa, una medida de la proba-apoyándolos para que cada vez sus estrategias bilidad y operar con estas relaciones.sean más sistemáticas, y no se queden en lasimple aplicación de fórmulas. Con las expe- Es importante entender que esta capacidadriencias acumuladas los alumnos progresan en se desarrolla apoyando las intuiciones de lossu capacidad de encontrar más casos posibles, estudiantes sobre las estimaciones que hacenhasta tener control de métodos que les per- de la ocurrencia de unos eventos. Al comienzomitan dar cuenta de todas las combinaciones. éstas difícilmente superan tres valores: lo pro-Afrontar problemas de combinaciones en bable, lo poco probable y lo imposible. Perodiferentes contextos ayuda a generalizar los con algo de experiencia en situaciones senci-esquemas que se van construyendo y asigna llas, logran refinarlas, estableciendo pequeñassignificados más ligados a situaciones ex- series en las que gradúan la probabilidad deperienciales. Las prácticas de combinación ocurrencia en términos de mayor o menor.son espacios privilegiados para facilitar a los Nuevamente, como en los dos componenteseducandos pensar sobre lo posible, estimu- anteriores, es preciso decir aquí que el desarro-lando al pensamiento a desprenderse de lo llo de esta capacidad no se logra con la trans-concreto, de lo singular. Los trabajos de Piaget misión y el aprendizaje de fórmulas. Quizávinculaban el pensamiento combinatorio al antes de enseñar el significado Laplacino deacceso a lo que él denominó el pensamiento probabilidad, convenga acercar a los alumnosformal. Más allá de que se tenga que aceptar a la idea de probabilidad empírica.esta tesis, y se derive, como lo hacen algunosautores, el desconocimiento de los grandes La probabilidad puede ser entendidaprogresos en el manejo de las combinaciones como:soportadas en las intuiciones, parece aceptable • Un grado de creencia racional que ex-que el despliegue de un pensamiento formal presa la confianza que se le concede a 75está basado en el mayor control de todas las una proposición con relación a otra. Porcombinaciones posibles. ejemplo, decir que hay “una probabilidad Una gran ventaja de la introducción tem- del 70% de que mañana llueva”, significaprana de los niños a las combinaciones radica que con relación a la proposición “muyen que es posible plantear problemas de com- seguramente mañana va a llover”, hay unbinatoria para todos los niveles educativos, grado de mayor o menor cercanía.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela • La razón del número de casos favo- 100 pacientes,se aliviaron 90 después de rables al número de casos posibles, tomarse la misma medicina. siempre que todos los resultados sean En el proceso de enseñanza es posible de- igualmente probables. De acuerdo con sarrollar los aspectos intuitivos de cada una de esta definición, el cálculo de la probabi- estas aproximaciones de forma complemen- lidad se reduce a problemas de análisis taria, mediante situaciones de incertidumbre combinatorio y al tratamiento de casos que puedan ser enriquecidas desde diferentes ideales, en condiciones que no se cum- interpretaciones. plen en las situaciones cotidianas. Decir que tengo una probabilidad mayor de Por esta razón, asumir durante la enseñanza un medio de ganarme una rifa para la el pensamiento estadístico y aleatorio como cual se vendieron 10 boletas, significa la construcción integrada de los tres compo- que tengo más de cinco boletas en el nentes (estadístico, combinatorio y probabili- momento del sorteo. dad), requiere que la educación los integre en • Frecuencia relativa en la cual se conside- situaciones contextualizadas. Que entienda ra que la probabilidad es objetiva, sujeta que desarrollar el pensamiento estadístico y a procesos de demostración práctica a aleatorio consiste en apoyar al estudiante para través de la experimentación, porque que construya un conjunto de capacidades depende de las frecuencias relativas de investigación con las que no se buscan observadas en las pruebas repetidas con soluciones y teorías únicas e irrefutables, anterioridad. En este caso, decir que hay sino más bien con las que se trata de indagar una probabilidad del 90 % de que un sistemáticamente la mayor cantidad de posi- paciente se alivie después de tomarse bilidades y de trabajar desde el tratamiento de una medicina, significa que, en las mis- la información hacia la inferencia de modelos mas condiciones, de un total posible de explicativos.76
    • SERIECuadernos de Currículo El Pensamiento Matemático en el Primer Ciclo Transición a grado 2º Bogotá: una Gran Escuela
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático 3. El Pensamiento Matemático en el Primer Ciclo C omo se formuló anteriormente, el ocurre con algunas construcciones como la campo de lo matemático hace refe- lengua hablada o la capacidad de discrimina- rencia al desarrollo de la capacidad ción global de la forma de ciertos objetos).de los niños de establecer relaciones y de Una intervención pedagógica adecuada en esteoperar con éstas. Este primer ciclo tiene una campo enriquecerá la construcción de muchasespecificidad que lo distingue de los otros dos de estas categorías básicas, promoviendo com-y tiene que ver con su carácter fundante. En prensiones, potentes nociones y desarrollandoeste ciclo, los alumnos están en un momento algunas capacidades cognitivas, directamenteinicial de la construcción de una buena can- involucradas con ellas.tidad de categorías básicas (número, medida, La labor del colegio en este ciclo, con rela-espacio, tiempo, etc.) sobre las que se soporta ción a este campo, tiene que ver con los pro-el conocimiento humano, y son estos procesos cesos iniciales de construcción de las nocioneslos que la escuela puede ayudar a potenciar. básicas vinculadas a la cuantificación de con-En cambio, cuando el alumno llega a los ci- juntos y magnitudes, las posiciones relativasclos de educación básica A y básica B, ya ha entre los objetos, la forma de los objetos, conhecho recorridos importantes. Reconocer el la apropiación del cambio e identificación decarácter fundante del primer ciclo, no signi- algunos patrones, con el manejo de pequeñosfica desconocer que el estudiante del primer grupos de datos y la diferenciación de lo ne-ciclo ya ha iniciado, en sus primeros años de cesario y posible.vida, varios de estos procesos. Los trabajos demuchas investigaciones ubican en los primeros Se iniciarán las precisiones sobre el desa-meses de vida del neonato una precocidad rrollo de este campo exponiendo algunas tesisque no dejan de sorprender. Las experiencias que permitan aproximarse a una compresión 79del niño como sujeto social y cultural, junto de la naturaleza del pensamiento matemático.con los procesos de crecimiento fisiológico, En un segundo momento, se precisá la organi-aportan en la construcción de estas categorías; zación de los subcampos para el caso especí-muchas de ellas se empiezan a construir y lo- fico de este ciclo. Y en un tercer momento, segran ciertos niveles de desarrollo en presencia tomarán los ejes, las estrategias y los subcam-o ausencia de la intervención escolar (como pos para desarrollar algunos elementos que se
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela proponen como énfasis posibles en este ciclo Gráfica 3.1 junto con algunas ideas para apoyar el diseño Relación de inclusión representada en el diagrama de Venn. y desarrollo de experiencias en el aula. bog + col no bog = col Colombianos col- bog = col no bog col – col no bog = bog 3.1. Algunas tesis sobre Los bogotanos el desarrollo del Si es bogotano entonces es colombiano. Es suficiente ser bogotano para ser colombiano. Pensamiento Es necesario ser colombiano para ser bogotano. Matemático en el niño # bog ≤ #Col Todos los bogotanos son colombianos. # bog + #col no bog = Algunos colombianos son bogotanos. #col #Col - # bog = #col no Tesis No 1. El desarrollo del Pensamiento bog Matemático es el desarrollo de la capacidad de establecer relaciones y de operar con éstas. Un pensamiento adulto en general pue- Esta tesis está planteada en el primer capítu- de derivar de la afirmación “los bogotanos lo como la que define el objeto de trabajo en son colombianos”, las relaciones que se han este campo. Siguiendo a Piaget y a Vergnaud señalado, o al menos gran parte de ellas. Es (1991), el campo del pensamiento matemático posible que para la gran mayoría de las perso- se entenderá como aquel en el que se busca nas adultas éste no sea un proceso consciente. ayudar a los niños a construir sus capacidades Casi siempre, una y otra vez, ante expresiones de establecer relaciones y de operar con éstas. semejantes, los adultos pueden derivar buen En el numeral 1.3.1 se ilustró con el ejemplo número de estas relaciones y lo hacen sin del orden lo que se quiere decir al reconocer mayor esfuerzo. El poder extraer estas nuevas el carácter operatorio del pensamiento, por relaciones es lo que capacita para enriquecer lo cual se recomienda revisar este numeral. el significado de expresiones como “los bo- Aquí se amplía el carácter operatorio del gotanos son colombianos”, “los mamíferos pensamiento con otros ejemplos directamente son vertebrados”, “los números enteros son ligados al primer ciclo. racionales”, “los rectángulos son paralelo- Expresiones tan comunes como “los bogotanos gramos”, etc. Entre menor sea la capacidad son colombianos”, involucran un componente ló- de operar con estas relaciones, más limitado gico-matemático además del conocimiento de será el significado que podrá dárseles. Pero geografía y política que supone este contenido. de nuevo aquí, es importante insistir que si Su real comprensión y no su simple registro bien los significados que se construyen de la exige manejar una relación de inclusión (como información están vinculados con la posibi- Bogotá es parte de Colombia, se infiere que los lidad de hacer estas operaciones y otras más, bogotanos son también colombianos) y una no es el único componente que interviene. relación aditiva de las partes y el todo (la totali- También cuentan las redes de significados que80 dad de los colombianos puede dividirse en dos se pueden vincular a la información, al igual clases mutuamente complementarias: la de los que la forma como los alumnos se implican bogotanos y la de los no bogotanos). La gráfica en la situación. 3.1 permite entender muchas de las relaciones Los estudiantes del primer ciclo no poseen implicadas en una afirmación tan elemental un pensamiento que les permita establecer es- como: “Los bogotanos son colombianos”. tas relaciones a partir de afirmaciones de este
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticotipo. Ellos tienen que construirlas. Poco a poco, poder establecer relaciones lógicas entre ladependiendo de qué tan familiar y concreto les condición de ángulos rectos en un cuadriláterosea el contenido al que hagan referencia, irán y la igualdad de las longitudes de los ladosaumentando la capacidad de manejarlas, pero opuestos, así como de su paralelismo.esta capacidad operatoria siempre dependerá Dar cuenta de la cantidad de algo (una lon-de qué tan familiar y concreto le resulten los gitud, una capacidad, un peso, la duración decontenidos con los cuales opera. Incluso un un evento) supone operaciones lógicas, comopensamiento adulto se mostrará menos capaz ocurre en inferencias del tipo: si un objeto Ade operar con estas relaciones en contenidos es más largo, o tiene mayor capacidad, o esque le resulten abstractos que en aquellosen los que son más concretos. Se exigirá un más pesado, etc., que uno B, y otro objeto Cpoco más a la capacidad de razonamiento si es menos largo, o tiene menor capacidad, ola expresión “los bogotanos son colombia- es menos pesado, etc., que uno B, entoncesnos” se cambia por “los paralelogramos son obtener como consecuencia lógica que la lon-cuadriláteros”, o para resolver una pregunta gitud de B está entre la longitud de A y C, ocomo: “¿es correcto afirmar que es suficiente que la capacidad de B está entre la capacidadque una figura sea paralelogramo para que sea de A y C, etc.cuadrilátero”? Dar cuenta del número, además del apren- Así como este ejemplo ilustra la necesidad dizaje de aspectos convencionales que estade establecer relaciones y operar con ellas noción conlleva (la sucesión numérica ver-para acceder al significado de expresiones tan bal, la lectura y la escritura de los signoscomunes como “los bogotanos son colombia- numéricos), así como del aprendizaje de losnos”, se pueden citar otros casos en el que se resultados de las sumas y restas entre dígitos,involucran otros tipos de relaciones. supone también aspectos lógicos. Éstos son los involucrados en el manejo de las relaciones Cuando el niño da cuenta de la posición “mayor que...”, “menor que...”, e “igual a ...”, yrelativa de los objetos, hay ocasiones en las que en las de complemento entre partes y todo: sies necesario coordinar dos o más relaciones a + b = c entonces c - b = a y c - a = b. Aunpara extraer algunas consecuencias lógicas. Porejemplo, si un objeto A está adelante de otro más, el verdadero significado de los aspectosB y este objeto B está adelante de otro C, po- convencionales involucrados en el númeroder operar con estas relaciones para extraer la no es alcanzado por los niños en sus realesconsecuencia lógica: “A está adelante de C”. dimensiones sin la capacidad de operar con las relaciones señaladas anteriormente. Hacerse a la forma no se limita a las funcio-nes de percibirla, discriminarla y nominarla. Tesis No 2. Las capacidades que en el campoSupone entre otras capacidades la de operar de Pensamiento Matemático se ayudan a desarrollar en el niño, también se requieren,con los elementos que la constituyen: longi- en mayor o menor grado, en experiencias en 81tudes de sus lados y direcciones relativas de otros campos.estos. Hacerse a una comprensión conceptualde un rectángulo no es solo registrar, por Las capacidades matemáticas del niño estánejemplo que un rectángulo tiene cuatro lados presentes en las actividades intelectuales dey cuatro ángulos rectos, es progresar en la ca- los otros campos. La adquisición de la lenguapacidad de operar con estos elementos, hasta escrita supone relaciones de parte y todo
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela entre los componentes de una oración y la Podría decirse que en toda acción humana totalidad de ésta. Aunque la comprensión de están presentes todas las dimensiones propias la lengua escrita no se agota en esta relación, sí de lo humano, aunque en ciertas actuaciones la involucra. La producción de relatos cortos, pareciera que se ponen más en juego unas tanto orales como escritos, supone relaciones que otras. Es posible que en ciertas actuacio- lógicas cuando se manejan relaciones espa- nes puntuales se diera la impresión de que ciales y temporales puesto que se establecen los individuos logran actuar dejando de lado jerarquías entre ideas, que hacen referencia a algunas dimensiones; pero, en general, frente objetos y a hechos. a actuaciones más amplias como son los pro- cesos de enseñanza-aprendizaje escolares, las Tesis No 3. El desarrollo del Pensamiento Matemático no se da independientemente de actuaciones de los alumnos y de los profesores otros campos y de las otras dimensiones de lo no se reducen a cortos episodios, ni a acciones humano. aisladas de los individuos, podría decirse que en ellas están presente los estudiantes y los Así como las capacidades que se ayudan docentes como totalidad. En las experiencias a desarrollar en este campo están presentes que se organizan para apoyar el desarrollo del en experiencias propias de otros, es posible pensamiento matemático de los educandos afirmar que el desarrollo de las capacidades están presentes, aunque maestros y niños no matemáticas no se dan independientemen- sean conscientes de ello, interacciones entre te del desarrollo de capacidades en otros los individuos, allí hay procesos comunicativos, campos y de las otras dimensiones de lo por lo tanto lenguaje en todas sus formas, hay humano distintas a la que se considera afectos y sentimientos, creencias y actitudes, propiamente cognitiva. cuerpo en todas sus dimensiones, en particular En el campo de la Comunicación, Arte motricidad, intereses, motivos y valoraciones, y Expresión el niño vivirá experiencias que sensaciones y gustos; también poder y todos le ayudarán a desarrollar capacidades para aquellos hechos presentes en la vida de los expresar de manera clara y precisa sus ideas, grupos. Entre mayor sea la comprensión de para tratar de comprender las razones de los estos hechos mayor será la posibilidad de ac- otros, o de habilidades más específicas, como tuar en el aula en correspondencia con unas las que gana en las experiencias de plástica formas de ver y unos fines que se propongan que seguramente enriquecerán el desarrollo como formación de los niños. de capacidades ligadas a la exploración de las Más que organizar un currículo que ofrezca formas u otras que coadyuvan al desarrollo experiencias de enseñanza-aprendizaje en las del pensamiento espacial. Es posible admitir, diferentes dimensiones del desarrollo de los y algunos autores así lo sugieren, entre ellos niños, se puede pensar que al diseñar y desa- Boulch J (1995) que el desarrollo de capaci- rrollar las experiencias didácticas se asuma una82 dades para el manejo de ritmos se vincula a la visión más holística e integral, que permita ver capacidad para percibir las duraciones. que si bien en un momento dado se enseña Las experiencias que los niños viven en el matemática a unos individuos, sobre todo hay campo del pensamiento matemático compro- unos alumnos que se están educando; por meten, en mayor o menor grado, otras dimen- tanto, todo lo que se diga y haga, como lo siones distintas a lo propiamente cognitivo. que no se diga y haga, cuenta en ese proceso
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticoeducativo. Se trata de tomar precauciones para vez más flexibles e integrados, coordinándoseevitar que en el afán de ofrecer una educación de formas más variadas y complejas.al estudiante del primer ciclo que tenga presen- Por eso es lícito afirmar que nocioneste todas sus dimensiones como ser humano, se como el número surgirán, no exclusivamentetermine por caer en propuestas pedagógicas del aprendizaje del conteo, y de la lectura yque pretendan resolver esta intención holís- escritura de los signos que se utilizan paratica, “curricularizando” el desarrollo de las escribir los numerales, sino del significadodimensiones de los humano. Es decir, paradó- que se construye en las múltiples y variadasjicamente en el afán de responder a una mirada experiencias que exijan al niño comparar laholística se termine fragmentando. De ahí la cantidad de dos conjuntos, componer y des-necesidad de articular lo que previamente se componer totalidades. A medida que progreseha desarticulado. en estas acciones y puesto en contacto -algu-Tesis No 4. Acción y lenguaje están en la base nas veces de manera informal y asistemática,del desarrollo del Pensamiento Matemático. otras de forma sistemática- con los aspectos convencionales del número (conteo, lectura El desarrollo del pensamiento matemático y escritura) los incorporará a sus acciones y aparte de la acción que el sujeto hace sobre su pensamiento.los objetos, e incluso, podría decirse que esinteriorización y coordinación de estas ac- De igual forma, la noción de medida surgiráciones. El niño actúa sobre los objetos. Los no únicamente del aprendizaje de los nom-objetos y el mundo físico permiten ciertas bres de las unidades y de uso mecánico deacciones y otras no. A su vez, según el nivel instrumentos, sino de las múltiples y variadasde desarrollo de su pensamiento, al alumno experiencias que exijan al niño comparar lale será posible realizar ciertas acciones y otras cantidad de dos magnitudes, componer yno. A medida que repite una misma acción o descomponer totalidades de éstas.conjuntos de estas, identifica, en parte por Si bien se reconoce que el pensamiento sur-su propio concurso y en parte con el apoyo ge de la acción, es necesario aclarar que desdede los otros, elementos que permanecen muy temprana edad el niño incorpora a susconstantes a pesar de las variaciones que hay acciones la palabra. En un comienzo, aunqueen los objetos y en las condiciones en que se no la articula, la toma de la cultura a travésrealiza la acción. Esto que permanece de una de otros; por eso muchas veces, comprendeversión a otra, de una acción o de un conjunto expresiones en el contexto de una acción,de acciones, le permite hacerse a un esquema. aunque no puede decirlas de forma exactaCon la experiencia, coordina estos esquemas (el niño pequeño podrá identificar dentro dede forma cada vez más compleja, a la vez que ciertos límites la ficha más grande que hay enprogresivamente los interioriza mediante las un montón y sin embargo al expresar que haimágenes mentales que se forma de éstos y 83 tomado “una grande”). El lenguaje del sujetolas expresiones del lenguaje propias de la cul- se diferencia y se complejiza a medida quetura. Interiorizada la acción, va dejando suscomponentes imaginarios y con el apoyo del el pensamiento matemático se diferencia ylenguaje, esta progresivamente se torna más complejiza y viceversa.abstracta y diferenciada; se vuelve más y más Aunque el niño de preescolar en un mo-simbólica. Los esquemas simbólicos son cada mento de su desarrollo difícilmente usará
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela por cuenta propia expresiones como “esto __ En un comienzo, las posiciones de los obje- es más alto que esto ___”, podrá entenderlas al tos son definidas por el niño con referencia a escucharlas de un adulto; como cuando sigue su propio cuerpo y poco a poco se hace capaz órdenes de tipo “tráigame un lápiz que sea más de trasladar su esquema a otros cuerpos. Ini- largo que este”. Sin embargo, hechos como estos cialmente este traslado se hace a aquellos que no pueden llevar al profesor a la idea de que guardan semejanzas más o menos estrechas el alumno está en posesión de una verdadera con la topografía del suyo y cada vez más a relación. Simplemente, en muchos casos tiene otros objetos que ya no tienen tal semejanza. éxito en tareas como estas porque traduce la Estos progresos lo capacitan para dar cuenta consigna en los términos que le es posible de las posiciones relativas entre otros cuer- comprenderla: “tráigame un lápiz grande”. pos. Pero nuevamente aquí, estos avances, Inicialmente vocablos como grande son voca- para descentrar los sistemas de referencia, blos indiferenciados que tienen significados va- están acompañados y ligados a la capacidad riados: ‘es alto’, ‘es mayor de edad’, ‘es gordo’, de operar con las relaciones que establece; la ‘es grueso’, etc. Esta indiferenciación inicial, capacidad de coordinar diferentes sistemas de poco a poco se transforma en un vocablo más referencia para englobarlos en sistemas más preciso a medida que el niño diferencia mag- amplios, está ligada a la capacidad de operar nitudes de un objeto. Inicialmente expresiones con las relaciones. En la capacidad de ubi- como “más grande”, “más alto”, etc., no son carse espacialmente es necesario considerar propiamente relaciones; son más bien vocablos la representación mental compuesta, no solo usados para expresar cualidades percibidas de de elementos imaginarios o simbólicos (como los objetos. Poco a poco, al enfrentarse a mu- cuando puede imaginarse o leerse un mapa), chas situaciones que hacen caer en la cuenta al sino además, tener la capacidad de coordinar, niño que un objeto que califica como “grande”, en forma efectiva e imaginada, giros del propio o como “más grande”, puede ser “pequeño” o cuerpo sin perder los puntos de referencias, “más pequeño” puesto en otra colección. Los lo que se reconoce como el sentido de la vocablos como cualificadores poco a poco dan orientación. lugar a verdaderas relaciones: “es grande” se transforma en, “… es más grande que...” 3.2. Ejes curriculares Tesis No 5. El desarrollo del Pensamiento Tal como se definió en el segundo capí- Matemático se relaciona con el desarrollo psicomotriz tulo (ver numeral 2.3) son tres los ejes que atraviesan la estructura curricular del campo El niño empieza a dar cuenta de la posición del pensamiento matemático: razonamiento, relativa de los objetos utilizando su propio modelación y comunicación y representación.84 cuerpo como referencia. Gracias al desarrollo En este apartado se plantean las especificida- de su esquema corporal enriquece las posi- des que adquieren estos tres ejes en el primer bilidades de operar con estas relaciones. El ciclo. Se recomienda al lector(a) revisar las desarrollo del esquema corporal no se limita formulaciones que en el primer capítulo se al conocimiento de su topografía, sino a la hicieron sobre cada uno de ellos, ya que esto coordinación en movimiento de sus compo- le posibilitará una mejor comprensión de los nentes (Lucat, 1979). que aquí se presentan.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático3.2.1. Eje de razonamiento o claramente no, pero con relación a otros hechos, francamente considerará confuso En el primer capítulo se señalaron como hacerlo, encontrará tantos argumentos a favorhechos asociables al razonamiento la capa- como en contra.cidad de: En el campo de la investigación no se en- • Preguntar, conjeturar, formular hipóte- cuentran consensos. Muchas veces el disenso sis, diseñar estrategias de comprobación, está cruzado por las diferencias que inicial- analizar los datos obtenidos, extraer y mente se asumen sobre lo que se entiende formular conclusiones. por razonar y de los hechos que se le asocian. • Argumentar, entendida como el proce- Sin embargo, a pesar de las diferencias, una so de ofrecer razones con la intención idea que ha ganado consenso a partir de la de convencer a otros, apoyándose investigación en las últimas décadas, es ad- en la exposición de la validez de sus mitir que la capacidad de razonar del niño ideas.42 En particular, se considera que está condicionada por el contexto en el cual la prueba, entendida como muestra de razona y por su implicación en el problema. la validez de una proposición basada En cuanto mayor y mejor conocimiento de la en el método deductivo, es un tipo de situación tenga de los elementos que compo- argumentación. nen la tarea, y en cuanto mayor sea el interés y • El control del mismo proceso del argu- deseo de resolverla, los razonamientos hechos mento construido. serán más complejos y más controlados. Unas veces se verá a un niño capaz de coordinar • Dar cuenta del cómo y del por qué de los dimensiones distintas de la tarea, de planear, procedimientos propios y de otros. de controlar sus tentativas, de contrastar; • Observar conjuntos de hechos que mientras que otras veces, ese mismo alumno varían, identificar las regularidades y frente a situaciones que le son menos cono- extraer patrones. cidas o en las que está menos implicado, se le ¿Cuáles de estos hechos están presentes en verá más limitado.un niño del primer ciclo y cuáles no?, ¿en qué Más allá de las discusiones teóricas, en estenivel de elaboración están presentes?, ¿es lícito trabajo es adecuado (apoyándose en Puche)considerar que el niño de este ciclo es capaz de plantear que el niño es portador de una “ra-razonar, aunque lo haga en un nivel elemental cionalidad mejorante (…), que él desarrollao, por el contrario, es necesario admitir que de manera natural (…)”. Esta visión se derivacarece de capacidad de razonamiento? de la idea según la cual, “la construcción de Al revisar cada uno de estos hechos asocia- herramientas lógicas del pensamiento es unables al razonamiento, el lector(a) tendrá la sen- de las condiciones que va a permitir y garan-sación que en algunos casos podrá arriesgar tizar pensar mejor la realidad” (Puche 2001). 85respuestas en un sentido o en otro. En algunos Al actuar sobre su entorno, el niño da muestrascasos, la respuesta puede ser claramente sí de pensar de manera natural, con herramientas cognitivas que mejora permanentemente en la42 Algunos autores como Balacheff, N (2000) o León y Calderón constante actividad de resolver los problemas, (2003) incluyen la prueba (la demostración) o la validación en la argumentación, mientras que otros como Duval (2004) la al que se ve enfrentado al intentar alcanzar excluyen. los fines que se propone. La autora sostiene
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela que “según Piaget esa racionalidad mejorante sistemas conceptuales que se busque ayudar es espontáneamente construida por el niño”. a construir y en los diferentes contextos en Aunque el término “espontáneo” conlleva los que se trabaje, el docente ha de promover aceptar al alumno como sujeto con capacidad el razonamiento de los estudiantes. Es más, de pensar y mejorar ese pensar, independien- podría decirse que gracias a que los niños temente de la intervención sistemática de la razonan logran comprender genuinamente lo escuela, no excluye que la intervención escolar que se les enseña, si esto no se da simplemente pueda potenciarla, pero esto es posible a con- aprenderán de memoria. dición de ofrecer prácticas de enseñanza en las que los estudiantes sean impelidos a pensar. A su manera y según sus posibilidades, el niño del primer ciclo está en capacidad de Pero, ¿cuáles son esas herramientas cogni- preguntar, de atreverse a anticipar qué puede tivas que constituyen esa “racionalidad mejo- suceder a partir de lo que ya conoce y hacer rante” que el niño va construyendo? Puche explicaciones de un hecho y dar razones. destaca algunas, que para este caso tienen También puede aceptarse que analiza datos, importancia especial: inferencia, clasificación, planificación, experimentación y formulación extrae y formula conclusiones. Sin embargo de hipótesis. todas estas acciones se caracterizan por estar excesivamente centradas en un aspecto del De estas herramientas, la que más directa- hecho, dejando de lado otros. Esto sucede mente se liga a lo que se ha acordado asociar precisamente por la incapacidad del niño de al proceso de razonamiento es la capacidad de coordinarlos para ofrecer una explicación que hacer inferencias, sin embargo en este nivel tenga más en cuenta el conjunto. conviene resaltar como procesos de razona- miento, en forma incipiente, acciones como Las evaluaciones que un alumno hace de planear y realizar un experimento, extraer un hecho tienden a soportarse, de forma ex- información de este y contrastar lo que se clusiva, sobre los datos percibidos, por lo que piensa con la información que el experimento dependen mucho de las configuraciones de los arroja como forma de darle validez a una idea objetos, así como ocurre en las experiencias que se ha anticipado. típicas de Piaget sobre conservación. El educando de este ciclo está en capacidad 3.2.1.1. Énfasis recomendados e ideas de argumentar, aunque las razones que ex- para el aula ponen sean incompletas y las hilaciones sean En este apartado se ofrecen algunas ideas débiles. En este ciclo le cuesta tener en cuenta que orientan al maestro sobre los énfasis que las afirmaciones del otro y tiene poco control se recomiendan hacer en el primer ciclo y en de sus propios argumentos. el trabajo de aula, con el fin de promover el86 Los niños logran identificar patrones y desarrollo del razonamiento en el niño. regularidades sencillas, por lo que hacen ge- El desarrollo del razonamiento de los edu- neralizaciones aunque no tengan capacidad candos no es un aspecto a trabajar en momen- para controlar la validez de estas. tos diferentes a los que se enseña matemática o cualquier otro conocimiento, a la manera de El desarrollo del razonamiento de los estu- “actividades para pensar”; no, en los diferentes diantes de este primer ciclo se favorece:
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático• Creando situaciones concretas en las que • Enfrentándolos a situaciones en las se fijen fines, donde tengan que planear que tengan que coordinar dos dimen- para conseguirlos (realizar acciones y siones de un problema para compensar disponer medios) y en las que tengan la las variaciones, con el fin de mantener posibilidad de problematizarse. constante la totalidad. Por ejemplo, en• Invitándolos a inventar sus propias al- primero o segundo, una situación en la ternativas de solución y a compartirlas que se construyen trenes con regletas. Si con los otros solicitándoles razones de se ha hecho un tren de 6 regletas de cier- sus afirmaciones (¿por qué piensa que ta longitud, preguntar, ¿es posible construir la solución dada es adecuada?). La va- otro tren igual de largo, pero empleando más loración positiva de las propuestas inci- regletas?, o si se quieren utilizar menos pientes de los niños se constituye en un regletas, indagar ¿qué habría que hacer? factor determinante para la construcción Solicitar que se anticipe una respuesta de un autoconcepto como sujeto capaz sin ejecutar las acciones siempre es una de pensar. oportunidad para movilizar el pensa- miento. Dada la respuesta, contrastarla• Solicitándoles que hagan pequeñas con el resultado de la acción. Pero lo más anticipaciones de lo que puede suce- importante no es quedarse en el nivel de der con un hecho, apoyándose en las la verificación para decir algo sobre la experiencias adquiridas. Invitándolos validez de las respuestas, sino promover a que contrasten el resultado obtenido la reflexión sobre la correspondencia o en una experiencia con lo que se había no de lo anticipado y lo realizado. anticipado.• Estimulándolos para que tengan en 3.2.2. Eje de modelación cuenta lo que dicen los otros, con- En el capítulo anterior, siguiendo a Vasco trasten con sus propias ideas, e iden- se dijo que “la mente humana busca relaciones de tifiquen las semejanzas y diferencias modelación para comprender”. Cuando se tienen entre sus argumentos. dos sistemas diferentes, pero parecen tener• Pidiéndoles que evalúen la perma- estructuras muy similares, se usa uno de los nencia de la solución cuando se in- sistemas para representar el otro, de esa ma- troducen pequeñas variaciones a un nera se estudia el funcionamiento del sistema problema resuelto y que hagan los modelado con base en el sistema modelo. El ajustes necesarios para adecuar la sistema modelo sirve de apoyo al pensamiento respuesta. Por ejemplo, en transición, para imaginar el sistema real. Este recurso es un juego en el que el niño tiene que muy frecuente en las ciencias en general y en pagar con dos fichas de puntos una particular en la matemática; es más, podría 87 cantidad dada, digamos 8 y habiéndo- decirse que la ciencia no es otra cosa que se ofrecido la solución de 3 y 5, pre- modelación. Al prescindir de los contenidos guntar, ¿hay otras fichas con las que particulares, la matemática construye modelos se pueda pagar?, o preguntar ¿qué otra que permiten representar los elementos de un solución es posible?, ¿quién puede encontrar sistema y la forma como se relacionan (ver más formas? numeral 2.3.2).
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela Ya se dijo que una expresión como 13 + 24 ciales pueden ser usados en sentido contrario, puede llegar a ser para un niño la representa- pedir que se produzcan secuencias de sonidos ción simbólica de un modelo de composición a partir de la información gráfica, mantenien- de partes. Como parte del apoyo al alumno do los tiempos entre sonidos por las distancias para que progrese en su pensamiento aditivo, entre los trazos. se puede impulsar a que imagine muchas situa- También se puede ayudar a los alumnos a ciones que puedan resolverse como 13 + 24, que se hagan a modelos más abstractos, utili- se trata de entender que una condición esencial zando representaciones icónicas equiparables de la modelación consiste en dar cuenta de la a sencillas representaciones simbólicas, para representación de lo común en la variedad. que identifiquen estructuras comunes en dife- rentes tipos de problemas. A los niños que ya 3.2.2.1. Énfasis recomendados e ideas han hecho algunos construcciones de la com- para el aula posición y descomposición aditiva, se les pide Las exploraciones de los niños, de su es- que den un listado de problemas de diferente pacio físico, son un lugar privilegiado para estructura matemática y con variaciones en su construir y utilizar modelos. Cuando los estu- formulación lingüística identifiquen todos los diantes del primer ciclo tienen la posibilidad que para ser resueltos requieran una operación como ☼ + ◙, y todos en los que tengan que de construir prototipos de objetos o de sitios, hacer ☺ - ■, habiéndoles explicado previa- como la maqueta del salón, o hacer dibujos mente que debajo de las figuras se esconden de algunos espacios que les son conocidos números. Se les puede solicitar que inventen se están iniciando en esa capacidad. El pro- problemas que correspondan a diferentes fesor puede apoyarlos para que usen estas representaciones. Este tipo de problemas construcciones como verdaderos modelos, ayudan a los alumnos a tomar conciencia de la haciendo preguntas que los lleve a establecer estructura común de los problemas expresada correspondencias entre el modelo y lo mode- por una representación. lado, tales como ubicar un objeto o sitio en el modelo a partir de la información que se Ligados a situaciones de variación también tiene de él en la situación real y viceversa. De se tienen posibilidades de aproximar a los igual forma, cuando los niños desbaratan el estudiantes del primer ciclo a la modelación: prototipo de un objeto que previamente han cuando ellos tienen que identificar regula- elaborado en cartulina y exploran sus partes, ridad en secuencias de colores, de figuras, están utilizando este modelo para estudiar esas de números, se los puede llevar más allá de partes y las relaciones entre ellas. encontrar unos cuantos elementos nuevos, se les puede pedir que expresen el patrón de El profesor puede invitar a los niños a ha- la secuencia y que hagan representaciones cer representaciones gráficas de secuencias icónicas de él, en la misma dirección se le88 de movimientos que se practican para una puede pedir que inventen otras secuencias danza y utilizarlos para identificar semejanzas que tengan el mismo patrón. y diferencias entre ellas. En general a los educandos de este ciclo Puede enseñarles a marcar sobre una recta se les puede apoyar para que se inicien en trazos a distancias adecuadas para representar la construcción de modelos ofreciéndoles secuencias de sonidos. Estos modelos espa- experiencias en las que tengan que identificar
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticola estructura de diferentes variaciones regidas en la construcción de ese conocimientopor el mismo patrón. escolar. ¿Cuáles de estos hechos están presentes en3.2.3. Eje de comunicación y un niño del primer ciclo y cuáles no? ¿En qué representación nivel de elaboración? El eje de comunicación y representación El niño de primer ciclo ya ha pasado porpretende asignarle un lugar privilegiado al la adquisición de la lengua materna, dominapapel del lenguaje verbal y no verbal en la los códigos del lenguaje oral y utiliza esta he-construcción del conocimiento matemático rramienta para comprender el mundo, comu-escolar, y en las maneras como los maestros nicarse y establecer relaciones con los otros.crean contextos y situaciones comunicativas Esta adquisición de la lengua favorece suen el aula, para apoyar a los estudiantes en la estructuración cognitiva y la disposición paraconstrucción conjunta y en la comprensión hacerse a la construcción de algunas categoríasde la matemática. o nociones básicas del saber matemático. Los hechos que se pueden asociar con la La experiencia cultural en la que la acción ycomunicación y la representación en las ma- el lenguaje han estado presentes le permiten al niño tener contacto y enfrentar situacionestemáticas escolares son amplios y diversos, del quehacer matemático, asignarle nombreentre ellos se tienen: a objetos matemáticos, hacer enunciaciones • Los procesos de comprensión (lectura y matemáticas, e incluso leer y escribir algunos escucha) del lenguaje verbal y no verbal signos convencionales con los cuales la cultura del sujeto en la construcción del saber ha nominado y diferenciado significados que matemático escolar. encierran conceptos matemáticos. ¿Quién no • Los procesos de producción (escritura ha pasado por la experiencia del conteo y la su- y habla) de los sujetos que participan en cesión numérica al subir escaleras en compañía de un adulto o al contarle o mostrar con sus la actividad matemática. dedos a otros cuántos años tiene? ¿Quién no • Las maneras como el sujeto se represen- ha vivido la experiencia y el placer de descubrir ta mentalmente las situaciones y proble- que las monedas o billetes tienen un valor y mas matemáticos relacionados con los un número con el que puede o no comprar el diferentes sistemas conceptuales y las dulce o la chocolatina tan deseada? Son múlti- representaciones semióticas utilizadas ples las situaciones en las que los niños hacen para comunicarlos uso de los números y se dan cuenta que éstos • La interacción. el intercambio y la ne- transmiten diferente información de acuerdo con el contexto en que se encuentran. En gociación de significados y sentidos en esta edad ya el niño se plantea preguntas en 89 el aula, en particular el ambiente y los relación con las formas de nominar el tiempo diversos contextos y relaciones que se y lo vincula con su experiencia, por ejemplo generan para estimular y posibilitar esta cuando pregunta: cuándo es ayer, hoy y ma- negociación. ñana. Así mismo en sus actividades cotidianas • Las formas de expresión de las emocio- desde antes de ingresar al preescolar, los niños nes y sentimientos que el sujeto activa ya han tenido diversas experiencias lingüísticas
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela con distintas magnitudes, principalmente la mación a la sintaxis del sistema decimal de longitud, el peso, la capacidad. numeración. Sin embargo el hecho de leer los Entonces, es posible, afirmar con seguri- códigos y dominar algunas reglas gramaticales del lenguaje escrito no garantiza que los niños dad que el niño al ingresar a este ciclo ya ha se representen en su pensamiento las estruc- construido representaciones y comprensiones turas lógicas que soportan ciertas actividades sobre la matemática y aunque están en un ni- matemáticas; es decir, no garantiza el acceso al vel elemental de elaboración, le han servido significado semántico que les permita estable- para explicarse y actuar en el mundo. Estos cer las relaciones y operar adecuadamente. conocimientos llamados por algunos intuiti- vos o informales son el punto de partida que el Se puede aceptar como característico de los docente del primer ciclo ha de reconocer para alumnos de este ciclo el hecho de que com- diseñar situaciones didácticas que favorezcan prendan problemas que surgen de contextos mayores niveles de elaboración. significativos eminentemente pragmáticos o que les implican cuantificar de manera sencilla, 3.2.3.1. Énfasis recomendados e ideas como cuando juegan a los bolos, de manera natural para el aula surgen preguntas como quién tumbó más, quién tumbó menos, cuántos tumbó. Pueden resolver Se proponen aquí algunos aspectos en los problemas sencillos cuando se les formulan al que conviene enfatizar durante este ciclo te- interior de ese contexto y de manera oral. Sin niendo en cuenta algunas características del embargo debido al escaso dominio de la deco- desarrollo del lenguaje y las construcciones dificación del lenguaje escrito, tienen dificultad matemáticas de los niños. Estos son un refe- para comprender problemas de enunciado que rente para que cada docente en su contexto se les presentan por escrito o para representar de clase las profundice, amplíe, complemente simbólicamente la expresión matemática que y precise. los conduce a su solución. También se les difi- Puede decirse que los alumnos de este ciclo culta explicar verbalmente los procedimientos inician la construcción del sistema de la lengua utilizados para su resolución. escrita y de los sistemas de escritura matemá- La comprensión de textos es literal, puesto ticos. En su experiencia cultural ya han cons- que asignan significados de ‘diccionario’, en truido significaciones frente a ciertas nociones términos de Eco. Es decir, reconocen, discri- de las matemáticas ligadas a lo numérico, a la minan y asocian automáticamente con su uso medida, a lo espacio-temporal. Algunos ya ligado a la acción. En ese sentido los proble- leen y escriben el signo numérico aunque no mas de enunciación verbal que inicialmente se hayan hecho a la comprensión profunda favorecen la comprensión y la representación que encierra el concepto de número. Usan pa- mental son aquellos en los que se presentan labras como arriba y abajo, aunque describen acciones o eventos de manera secuencial cer-90 propiedades más que relaciones. Reconocen y canas a como ocurre la acción. discriminan algunos cuantificadores así como Cuando los niños resuelven problemas se algunos símbolos matemáticos básicos que se valen de procedimientos que nos revelan sus logran diferenciar de otros signos de la lengua niveles de comprensión, en las escrituras “es- materna (unos son los signos de los números pontáneas” que hacen cuando realizan cuentas y los otros los de las letras). Inician la aproxi- los maestros pueden encontrar claves para
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticoconocer el pensamiento de sus estudiantes. experiencias que les permita ir complejizandoEn un comienzo cuando los niños empiezan su comprensión y consolidar ese pensamientoa consolidar un esquema, aunque logren hacer particular. Valerse del lenguaje oral para narrar,cuentas tienen gran dificultad para expresar describir, explicar poco a poco los acerca a lascómo lo hacen; y es precisamente ahí donde formas escriturales propias del simbolismohay que buscar que poco a poco vayan expre- matemático. Se pretende así que las situacionessando lo que hacen, ayudarles a organizar su propuestas a los niños favorezcan su habilidadpensamiento. para expresar ideas, explicar a sus compañeros, En relación con las producciones escritura- argumentar sus formas de solución y recono-les, cada vez que los estudiantes se enfrentan cer sus errores, comparar sus procedimientosa problemas en los que se demanda la com- con la de los otros y ofrecer argumentos aprensión de sistemas conceptuales, para su favor o en contra de una solución. El hechoresolución se valen de procedimientos que de que los alumnos expresen sus ideas permiterevelan sus niveles de representación, en los a los docentes entender qué razonamientoque utilizan sus propias escrituras, o escrituras siguen para la resolución de un problema,espontáneas. Estas escrituras van desde las que identificar los errores y aciertos e introducir lassustituyen al objeto, hasta las semióticas -di- preguntas que les ayudan a avanzar. Se requierebujos, imágenes, iconos- escrituras cercanas al la sensibilidad y conocimiento del maestrolenguaje natural hasta acceder a la simbología para observar e interpretar los procedimientospropia del lenguaje matemático. que utilizan sus estudiantes para resolver los problemas planteados. En esta edad en las conversaciones de losniños priman los monólogos. Por su pensa- Un énfasis importante en este ciclo con-miento y su desarrollo social con tendencia siste en formular problemas vinculados aegocéntrica, el estudiante no está en la dis- experiencias concretas del niño que movilicenposición cognitiva, social y comunicativa que sus intereses y deseos, experiencias cercanasle permita establecer relaciones y comunica- a sus vivencias. El maestro puede presentarciones en las que se hacen presentes la discu- los problemas desde enunciaciones a manerasión, el debate, la toma de posición, asumir de relato o narración, o valerse de la drama-decisiones conjuntas producto del diálogo y el tización cuando se dificulta su comprensión.establecimiento de acuerdos consensuados. Como se dijo anteriormente los problemas de enunciación verbal que inicialmente favorecen La capacidad de comunicar y representar la representación mental y la comprensión enideas matemáticas se promueve en los estu- los niños de este ciclo, son aquellos que sediantes cuando exploran, manipulan, compa- enuncian de manera directa; en la medida enran, observan y, sobre todo, expresan sus ideas que ganan comprensión se pueden introduciry son tomadas en cuenta para saber cómo problemas con enunciaciones desligadas de 91interpretan, perciben el mundo, cómo se ven a la acción en las que se cambia el orden o lasí mismos como parte de él y la manera como estructura sintáctica de las construccionesse posicionan frente al lenguaje. lingüísticas. Por ejemplo ¿Si salí de mi casa con Además, esta capacidad de comunicación 5 monas y me regalaron 3, con cuántas me quedo?y representación de ideas matemáticas se de- Este problema formulado con una estructurasarrolla al enfrentarlos a múltiples y variadas desligada de la acción, aunque se mantiene
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela su estructura semántica, le hace demandas En relación con las interacciones entre alum- cognitivas más complejas al alumno: ¿Con nos y maestro, y entre los mismos alumnos, el cuántas monas me quedo si me encontré 3 y al salir profesor puede favorecer conversaciones en de la casa tenía 5? las que primen la narración, la descripción, la explicación y dar razones. Promover diálogos Crear situaciones o intervenir para que los y discusiones alrededor de la revisión colecti- niños tomen conciencia de lo que hacen y lo va de procedimientos y resultados junto con comuniquen. Apoyarlos para que produzcan la contrastación de diversas producciones, sus propias escrituras que revelen sus niveles introducir preguntas que lleven a que los es- de representación interna y los procedimien- tudiantes den razones, digan sus “porqués” tos utilizados. Estas escrituras van desde las e intenten convencer a otros son actividades que sustituyen al objeto por otro objeto -por que generan desequilibrios cognitivos, que les ejemplo, bolos por piedras en el conteo- hasta implica descentrarse, entender la perspectiva las escrituras soportadas en diferentes regis- del otro, coordinar puntos de vista, tomar tros semióticos –dedos, dibujos, imágenes, decisiones conjuntas y establecer relaciones iconos-. Desde escrituras cercanas al lenguaje de cooperación basadas en la reciprocidad. natural hasta las que descansan en la simbolo- Generar estas situaciones posibilita superar la gía propia del lenguaje matemático. Recono- conversación monóloga o acumulativa. cer, valorar y contrastar las diversas escrituras Hacerse a la pragmática del lenguaje. Tanto que aparecen, incluida la convencional de las docentes como alumnos procurarán reflexio- matemáticas que él representa y buscar que nar sobre el discurso en el aula, explicitando éstas cada vez sean más claras y coherentes; sus intenciones comunicativas y las reglas que poco a poco, se sustituyan por escrituras propias del lenguaje del aula, como: cuándo más “formalizadas”. Preguntarse por el mo- preguntar; la importancia de escuchar y res- mento adecuado para presentar las escrituras petar turnos a la hora de participar; el manejo propias de las matemáticas (palabras, signos, de las instrucciones y la relación con la acción; sistemas simbólicos). la importancia de regular y expresar las emo- Asumir en la clase de matemáticas la diver- ciones que generan las tareas matemáticas; la sidad textual que enriquezca la apropiación diferenciación del lenguaje natural y el lenguaje del saber matemático, como relatos y narra- de las matemáticas (con sus propias palabras, ciones, textos instruccionales, informativos, vocabulario, símbolos y signos); el sentido argumentativos, explicativos, descriptivos, de la escritura para registrar, llevar cuentas y dialógicos, hasta textos formalizados de la comunicar y la toma de conciencia de cómo matemática. Como cuando se le pida que el cuerpo comunica. narre acontecimientos, o que organice una Hacer del aula y de la clase de matemáticas92 secuencia de eventos a través de diversos una práctica con sentido involucra diversas lenguajes y registros semióticos: fotografías, situaciones comunicativas, múltiples sistemas cómics, texto escrito, o cuando se le estimula de representación y diversos formatos textua- para que describa objetos identificando los les y registros semióticos. Esto contribuye a rasgos esenciales, o que lea y represente datos que los aprendices construyan su “conciencia y fenómenos a través de diferentes registros lingüística”, lo que significa que de manera gráficos como tablas y barras. implícita y/o explícita -ya sea mediante el uso
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticoo la reflexión sobre el lenguaje y los procesos educación básica A y B. Para el primer ciclo,comunicativos que allí ocurren- se den cuenta de forma muy especial, el número y la medi-que el lenguaje comunica, que es una herra- da están íntimamente ligados por un hechomienta para pensar el mundo, a si mismos, a común y es el de la cuantificación, razón porlas diferentes disciplinas, en este caso la ma- la cual en esta etapa se propone incluirlostemática y para relacionarse con otros. en un único subcampo, que se ha llamado la cuantificación.3.2.4. Subcampos del Pensamiento Otro cambio que se propone en este ciclo Matemático consiste en abrir uno relativo a la temporali- En el primer capítulo se señaló que bajo dad. Aunque a primera vista esta noción debe-el campo del Pensamiento Matemático se ría incluirse en el subcampo del pensamientoincluye el desarrollo de las capacidades de los métrico, aquí conviene darle un tratamientosujetos para establecer relaciones y operar especial, dejándolo en el mismo nivel del pen-con ellas. Las relaciones y operaciones varían samiento espacial. Se propone considerar quetanto por su estructura como por el conte- la noción de tiempo no surge exclusivamente denido al cual se aplican; de ahí la necesidad y la medida de la duración de los eventos, sinoposibilidad de distinguir, en ese gran proceso también de la ordenación de evento. Sobrede construcción del pensamiento matemático, esto se ampliará más adelante.subprocesos ligados a sistemas de conceptos Así las cosas, se tienen los siguientes sub-específicos sobre los cuales se aplican deter- campos para el primer ciclo:minadas relaciones y se ejecutan determinadasoperaciones. 3.2.4.1. Cuantificación Como se advirtió en el capítulo anterior, Este subcampo hace referencia a esa partela propuesta de considerar el campo del del Pensamiento Matemático ligado a la cuan-Pensamiento Matemático como constituido tificación. Se cuantifican cantidades discretaspor los cinco subcampos que generalmente y cantidades continuas. Sobre las experienciasaparecen en la literatura de la educación ma- de las primeras se fundamenta la noción detemática y que son el pensamiento numérico, número y sobre las segundas las nociones deel pensamiento métrico, el pensamiento espa- medición de magnitudes.43cial-geométrico, el pensamiento estocásticoy el pensamiento variacional-algebraico se 3.2.4.2. Espacial-geométricomodifica un poco para el caso del primer ciclocon esto se busca adaptar esta subdivisión al Este subcampo incluye esa parte delmomento del desarrollo del pensamiento de pensamiento vinculada a las experienciaslos niños. con los objetos físicos44 y sus representa- ciones gráficas cuando se hace referencia a 93 Debido al momento inicial de las construc-ciones de las nociones lógico-matemáticas 43 El profesor Carlo Federico solía decir que existían los números deen las que están los alumnos, se establecen la aritmética y de la física; a la primera correspondían los cardinalesrelaciones especiales entre ellas, diferentes a y a la segunda los que se utilizan para dar cuenta de las cantidades de una magnitud.las que se pueden establecer en momentos 44 Para este caso el propio cuerpo y el de los otros son consideradosmás avanzados como sucede en los ciclos de como otros objetos físicos.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela su localización, a sus cambios de posición vinculada con el manejo de datos (recolec- (traslados de un sitio a otro o a movimien- ción, organización, presentación y análisis) tos del objeto sin trasladarlos), a sus formas y con la valoración del grado de posibilidad y a las modificaciones de estas. de la ocurrencia de un hecho (es seguro que ocurra, es imposible que ocurra, es proba- 3.2.4.3. Temporal ble que ocurra). Este subcampo tiene que ver con esa parte del Pensamiento Matemático vinculada con 3.2.4.5. Algebraico-variacional las experiencias relativas a los eventos (los Este subcampo tiene que ver con esa hechos), haciendo referencia al momento parte del Pensamiento Matemático rela- de ocurrencia y a su duración. cionada con el estudio de las formas como varían dos magnitudes. Para este ciclo, se 3.2.4.4. Estadístico y aleatorio vincula con la identificación de patrones Este subcampo tiene que ver con de cambio de momentos discretos de estas esa parte del Pensamiento Matemático variaciones.94
    • SERIECuadernos de Currículo Pensamiento Matemático en el ciclo de educación básica A grados 3º a 6º Bogotá: una Gran Escuela
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático 4. Pensamiento Matemático en el ciclo de educación básica E n este capítulo se desarrollan algunas nicación y representación. A continuación se especificidades del campo en el ciclo plantean las especificidades que adquieren estos de educación básica A. Para una tres ejes en el ciclo de educación básica A. Paramayor contextualización y comprensión de mayor comprensión de lo que se plantea en estelo que aquí se plantea se recomienda estudiar capítulo se recomienda revisar el numeral dellos planteamientos que se formulan en los capítulo segundo correspondiente al eje que sedos primeros capítulos. En primera instancia esté estudiando.se toman uno a uno los ejes curriculares y ensegundo término cada uno de los subcampos 4.1.1. Razonamientopropuestos para este ciclo. En cada caso sehacen recomendaciones sobre aspectos que Aunque, no se puede hablar con precisión dese consideran importantes de enfatizar en este formas de razonamiento en un momento delciclo y se ofrecen algunas ideas para el trabajo desarrollo intelectual de un alumno, indepen-en el aula. Con esto no se pretende agotar todo dientemente del contenido y la situación con-lo que es posible y deseable realizar en el ciclo, textual, es posible recomendar algunos aspectospero sí ofrecer algunas orientaciones de lo que en los que conviene enfatizar durante este ciclo,es necesario hacer. Sin embargo se advierte teniendo en cuenta algunas características delque los planteamientos hechos aquí no deben razonamiento del estudiante del ciclo de educa-asumirse como prescripciones curriculares, más ción básica A. Estas ideas son apenas iniciales,bien se invita a los maestros y maestras a que los la investigación45 y la innovación tienen mucholean como concreciones a los planteamientos que decir, por eso un trabajo posterior deberágenerales y se estudien en las reuniones de áreas precisar la caracterización del razonamiento dely en los grupos locales, para construir acuerdosbásicos sobre hacia dónde orientar la educación 45 En el país se rescatan los trabajos de Olga Lucía León y Doramatemática en el ciclo de educación básica A. Calderón cuyo tema central ha sido la argumentación en Matemáticas. De sus documentos se rescata: “La Argumentación en Matemáticas en el Aula: Una Oportunidad para la Diversidad”. 97 (1996). Bogotá: Universidad Externado de Colombia y4.1. Ejes curriculares “Argumentar y validar en Matemáticas ¿una relación necesaria?” (2003). Bogotá: Colciencias y Universidad del Valle. Otros trabajos Tal como se definió en el capítulo primero son: Correa, J., Dimaté, C., y Martínez, N. (1999). “Saber y saberlo demostrar: hacia una didáctica de la argumentacion”. Bogotá:son tres los ejes que atraviesan la estructura Universidad Externado de Colombia y Samper, C., Camargo, L. y Leguizamón de Bernal, C. (2003). “Cómo promover elcurricular del campo del pensamiento mate- Razonamiento en el aula por medio de la geometría”. Bogotá:mático: razonamiento, modelación y comu- UPN-CIUP .
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela niño de este ciclo de educación y concretar “contra argumentos” del tipo “lo suyo es experiencias de enseñanza adecuadas. falso porque lo mío es verdadero”. • Al niño de este ciclo le resulta difícil dar • Los alumnos de este nivel generalmente razones sobre la validez de sus ideas. tienen poco control de las cadenas de ra- Cuando se logra ponerlo en situación de zones que producen. Se trata de ayudar- hacerlo, se observan varias formas de re- los para que realicen encadenamientos accionar: se soporta en la evidencia em- de razones y tengan mayor control sobre pírica “yo lo hice así y me salió”, “porque ellas, pretendiendo que las recuperen y yo lo hice así”; en razones de autoridad reflexionen sobre las mismas. “es así porque así me lo sé”, o “porque • Los estudiantes del ciclo de educación así me lo enseñaron”; o simplemente en básica A están en capacidad de estudiar lugar de ofrecer una justificación se limi- secuencias de datos e identificar patro- ta a describir el procedimiento seguido nes de variación que tienen una variable ya que ante requerimientos del profesor única. Se trata entonces de apoyarlos a del tipo “explique por qué”, o ante la encontrar los patrones en secuencias necesidad de dar una justificación res- que incluyen dos variables, y para que ponde describiendo lo que hizo, como en situaciones sencillas no se limiten si entendiera que dar una razón de la a resolver el caso particular, sino den validez de lo que dice y realiza es mostrar cuentan de una regla general que justi- que lo que dice y hace es correcto. Se fique todos los casos posibles. Además trata entonces de promover situaciones que ofrezcan razones que justifiquen la en la que el alumno empiece a elaborar necesidad lógica del patrón. razones sencillas que sustenten la validez • La capacidad de razonamiento de de sus ideas. los educandos crece en ambientes de • Los estudiantes de este ciclo tienen gran- aprendizaje en los que se los estimula a des dificultades para distinguir entre no razonar, tanto en momentos de trabajo poder encontrar un hecho o un camino individual como grupal. Esto se logra: y la imposibilidad lógica de conseguirlo  Invitándolos a que describan y (“Eso no se cumple porque intenté ha- ofrezcan razones de lo que dicen y cerlo y no pude”). Se trata de enfrentar al hacen. Apoyándolos para que cada estudiante de este ciclo ante apelaciones vez lo hagan de forma más clara y del tipo: “¿Es imposible hacerlo o usted precisa. Unas veces se les pedirá que no encontró cómo hacerlo?” lo hagan en forma oral y otras por • Los educandos del ciclo de educación escrito. Ayudándoles a mejorar sus98 básica A tienen dificultades para ofrecer razones, buscando que tengan mayor contra argumentos que rebatan la idea de pertinencia y mayor fuerza argumen- los otros. Es común que cuando tienen tativa. Incluso es necesario que ellos cierta certeza de que la idea del otro escuchen, convaliden y/o refuten el es incorrecta, se limiten a oponérsele punto de vista del otro, pidiéndoles mostrando la propia en la que confían. que intenten comprender lo que ha- Se trata de hacerles notar la limitación de cen y dicen otros y que se esfuercen
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático en dar cuenta de la validez de las ideas múltiples variables, conviene aceptar con un que ellos expresan. significado un poco más débil que el niño del  Ayudándoles a reflexionar sobre sus ciclo de educación básica A da muestra de propias razones y las de otros. Que acciones de modelación cuando no sólo se le encuentren los límites de éstas, de enfrenta a resolver un problema en el que debe acuerdo con la situación-problema obtener la respuesta a esa situación particular, que se aborde o los acuerdos con- sino que se busca que incluya muchos otros ceptuales que se están construyendo casos distintos de múltiples contextos que se en el aula. En algunos casos conviene pueden resolver por el mismo procedimiento; dicho en otros términos, el niño del ciclo de que el profesor muestre los límites de educación básica A modela cuando se le ayuda un razonamiento, pues esto puede a tomar conciencia de la estructura común que ayudar a algunos estudiantes a caer en comportan muchas situaciones. cuenta de ellos y comprender con ple- no sentido el vacío de sus razones. Un ejemplo puede ayudar a entender estas posibilidades de modelación para este ciclo:  Impulsándolos de forma permanen- cuando el niño no sólo resuelve problemas te a problematizar, a inventar sus particulares como comparar dos cantidades propias alternativas de solución, a para encontrar en cuánto excede la mayor a compartirlas en pequeños grupos, a la menor, sino que también reconoce que hay explicarlas y justificarlas. múltiples y variados problemas que a pesar de  Orientándolos para que controlen la las diferencias en los contenidos que trabajan pertinencia de sus propias alternativas y las formas lingüísticas en que se enuncian, y procedimientos. todos ellos se dejan modelar mediante la  Elaborar situaciones-problema donde resta de la cantidad mayor menos la cantidad el alumno tenga que tomar decisiones menor. bajo circunstancias de incertidumbre. Los estudiantes que inician este ciclo poseen Otras donde tenga que llegar a con- un pensamiento aditivo elemental, razón por la clusiones a partir de inferencias. que aunque logran resolver algunos problemas aditivos simples, aún tienen dificultad para4.1.2. Modelación tomar conciencia de que pueden modelarse mediante la suma y la resta de naturales, es- En el primer capítulo se dijo que el proceso pecialmente aquellas situaciones inversas. Ende modelación está presente en todo proceso el caso de las situaciones multiplicativas susde construcción del conocimiento, más aún, elaboraciones son más rudimentarias, muchasse afirmó que este eje se deriva del hecho de veces las resuelven por sumas reiteradas. Con-reconocer que la modelación es una de las viene en este ciclo apoyar a los alumnos para 99estrategias que los humanos utilizamos para que progresivamente usen expresiones queconstruir tanto el conocimiento cotidiano involucren operaciones aditivas y multiplica-como el científico. tivas entre naturales para modelar situaciones Si bien en la literatura es común vincular que requieran combinar operaciones aditivas,el proceso de modelación al estudio de he- multiplicativas y combinaciones de estas.chos más o menos amplios que involucran De igual forma ayudarles a extender estas
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela construcciones en contextos distintos a los • Invitándolos a hacer modelos gráficos y de cantidades discretas, como contextos de físicos de una situación. En un primer medida y de combinatoria. momento enfrentando situaciones que En el proceso de aprender a hacer repre- requieren de modelos que no exigen sentaciones variadas de una misma situación cuantificación sino la combinación orde- (representaciones gráficas tipo imagen o nada de pasos para obtener la solución, gráficos de barras, o tabulares), es impor- y poco a poco introducir situaciones en tante apoyarlos para que logren conocer qué las que sea necesario y posible, mediante situaciones distintas pueden tener formas métodos sencillos, hacer control cuanti- semejantes de representación (la variaciones tativo de las relaciones. de los valores crecen o decrecen, o crecen y • Invitándolos a reflexionar sobre las va- decrecen siguiendo los mismos patrones de riaciones que tendrían la solución de una variación). situación y las representaciones que se Los diagramas de árbol en este ciclo son hagan de ésta al modificar uno a varios una potente herramienta para modelar si- datos o condiciones. tuaciones que requieren la composición de • Invitándolos a imaginar la diversidad de correspondencias múltiples (situaciones que situaciones que satisfacen una represen- exigen la sucesión de varias multiplicaciones); tación (tabular, gráfica o numérica). éstas son el punto de entrada para acceder a un pensamiento potenciativo. 4.1.3. Comunicación y Finalizando este ciclo conviene hacer re- representación presentaciones tabulares y gráficas de tipo El eje de comunicación y representación pre- cartesiano de situaciones sencillas de propor- tende asignarle un lugar privilegiado al papel del cionalidad directa e inversa. Ayudándolos a lenguaje verbal y no verbal en la construcción observar los modificaciones que tienen estas del conocimiento matemático escolar, y en las representaciones al modificar las relaciones maneras como los maestros crean contextos y de variación entre ellas (por ejemplo, ¿cómo situaciones comunicativas en el aula, para apo- varían las representaciones que se hacen de yar a los estudiantes en la construcción conjunta una situación de variación directa al modificar y en la comprensión de la matemática. el valor de variación por unidad?). Los hechos que se pueden asociar con la La capacidad de modelación de los estu- comunicación y la representación en las mate- diantes crece en ambientes de aprendizaje en los que se los estimula a: máticas escolares son amplios y diversos, entre ellos están: • Problematizar situaciones abiertas, invi- tándolos a hacerse preguntas pertinentes • Los procesos de comprensión (lectura y100 y relevantes, a determinar qué aspectos escucha) del lenguaje verbal y no verbal deben tenerse en cuenta para ofrecer del sujeto en la construcción del saber soluciones a las preguntas que se for- matemático escolar. mulen, a reconocer bajo qué condiciones • Los procesos de producción (escritura y la solución ofrecida es la más razonable habla) de los sujetos que participan en la para la situación. actividad matemática.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático • Las maneras como el sujeto se representa conectores causales. En relación con los pro- mentalmente las situaciones y proble- blemas matemáticos, por ejemplo, producto mas matemáticos relacionados con los de la enseñanza escolar, los educandos ya se diferentes sistemas conceptuales y las han hecho a marcas textuales que les permiten representaciones semióticas utilizadas saber de que se trata de una estructura textual para comunicarlos propia de la matemática y, más aún, les indican • La interacción, el intercambio y la ne- cuándo hay que sumar, restar o multiplicar. gociación de significados y sentidos en Sería recomendable plantearle diversidad de el aula, en particular el ambiente y los textos propios de las matemáticas que les posibiliten hacerse a la construcción y reglas diversos contextos y relaciones que se propias de estos, sin que se les enseñen las generan para estimular y posibilitar esta claves para resolverlos; esto en cambio de ser negociación. un facilitador del pensamiento lo limita. Así • Las formas de expresión de las emocio- mismo, los estudiantes de este nivel manejan nes y sentimientos que el sujeto activa algunos léxicos particulares y utilizan algu- en la construcción de ese conocimiento nas estrategias que garantizan ciertos niveles escolar. de coherencia y cohesión a nivel local, que ¿Cuáles de estos hechos están presentes evidencian que su pensamiento aún requiereen un niño del ciclo de educación básica A herramientas cognitivas y lingüísticas paray cuáles no? ¿En qué nivel de elaboración? hacerse a la totalidad y la globalidad de losCompete a los educadores plantearse hipótesis textos.y pensar formas de indagación que permitan Se proponen aquí algunos aspectos que con-una comprensión cada vez más precisa sobre viene enfatizar durante este ciclo teniendo enel pensamiento y el lenguaje de sus alumnos, cuenta las características del desarrollo tantopara así diseñar situaciones didácticas que del lenguaje como de la comprensión de losfavorezcan avances en sus construcciones. conceptos matemáticos que se trabajan. Estos Los niños en este ciclo ya han consolidado son un referente para que cada docente enla capacidad de decodificación del sistema de su contexto de clase las profundice, amplíe,escritura del lenguaje natural y han accedido complemente y precise:al reconocimiento y diferenciación de algu- Es característico que los niños de estenos símbolos matemáticos básicos (notación ciclo puedan resolver problemas y anticipary enunciación numérica, aproximación a la la operación u operaciones necesarias parasintaxis del sistema decimal de numeración, obtener la solución en caso de problemaslectura de signos para representar algunas sencillos con los que ya están familiarizados,operaciones y relaciones entre naturales). Así pero tienen problemas con problemas que lesmismo con la lectura y escritura de algunos sean novedosos, especialmente se les dificulta 101textos los alumnos acceden a las estructuras representar simbólicamente la expresión a susemánticas, sintácticas y pragmáticas, por solución y explicar verbalmente los proce-ejemplo pueden identificar y enunciar en los dimientos utilizados para su resolución. Entextos descriptivos algunas marcas espaciales, parte esto ocurre ya que cada vez que se en-en los textos narrativos marcas temporales y frentan a la comprensión de un concepto conen los textos argumentativos cierto tipo de mayor complejidad requieren reconstruirlo ya
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela logrado en un nivel inferior. Aunque pueden de igual forma, recurrir conviene ayudar a representarse mentalmente la situación, inter- los estudiantes a comprender problemas con la pretarla y resolverla correctamente aún se les misma estructura lógica pero con enunciaciones dificulta tomar conciencia de lo que hacen y diversas, que tengan formatos lingüísticos más por eso no pueden comunicarlo. Se recomien- “formales”. Así mismo, es importante invitarlos da entonces que los docentes enfrenten a los a inventar y resolver problemas con diferentes alumnos a múltiples y variadas experiencias estructuras lingüísticas, problemas abiertos y/o que les permitan narrar, describir, explicar, cerrados, lo que los lleva a manifestar un lenguaje argumentar lo que hacen valiéndose del len- con poder generalizador, cada vez menos ligado guaje común y poco a poco representándolo a las situaciones concretas (independencia del simbólicamente. contexto). En otras palabras, un lenguaje más Apoyar a los estudiantes para que produz- formalizado. can sus propias escrituras revela sus niveles de Incorporar en el aprendizaje de los diferen- representación interna y los procedimientos tes conceptos matemáticos diversas formas utilizados. El maestro debe reconocer y valorar de registro y representación y la necesidad de las diversas escrituras espontáneas, promover hacer conversiones de un sistema de repre- su circulación y contrastación. Preguntarse sentación a otro. El paso de representaciones por el momento óptimo para presentar las basadas en el lenguaje común a representa- escrituras propias de las matemáticas (pala- ciones esquemáticas y más resumidas (repre- bras, signos, sistemas simbólicos), un principio sentaciones “simbólicas” a mitad de camino), orientador, en este ciclo, podría ser que el apoyadas en diagramas, dibujos o gráficas simbolismo matemático aparezca como un hasta lograr ‘verdaderas’ representaciones sim- momento posterior a la construcción intuitiva bólicas, ayuda a los estudiantes a complejizar del concepto y a la capacidad de expresarlo sus construcciones. El uso de diferentes siste- haciendo uso del lenguaje común. Se propone mas de representación para expresar la misma hacer del aula un espacio social y comunica- idea (la mitad, un medio, ½, 0,5) les ayuda a tivo en el que circulen diferentes niveles de hacer transformaciones y conversiones de las representaciones (enactivos, icónicos y sim- representaciones y ampliar el significado de bólicos), haciendo uso de diferentes registros los conceptos. (lenguaje común o simbólico), diferentes gé- Invitar a los alumnos a participar, discutir neros textuales (relatos y narraciones, textos y colaborar en la construcción y negociación instruccionales, informativos, argumentativos, de un conocimiento compartido. Es preciso explicativos, descriptivos, diálogos, etc.). promover formas de conversación en las Plantear problemas de enunciación verbal que aparezca la crítica y donde haya lugar al desligados de la acción y de lo inmediato, pero cuestionamiento, al debate y a la justificación.102 cada vez que se introduzca un nuevo concepto Situaciones dialógicas donde se haga visible se ha de volver a enunciarlos de manera directa el razonamiento, se establezcan acuerdos y se y a vincularlos con la experiencia concreta. De tomen decisiones conjuntamente para cons- forma progresiva conviene variar la enuncia- truir nuevas elaboraciones más consistentes. ciones de los problemas, variando a propósito Favorecer estas situaciones requiere asumir el orden de la enunciación para hacer que un estilo de comunicación no autoritario, ni éste no coincida con el orden de la acción; unidireccional, en el que se da lugar al respeto,
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticola tolerancia, el reconocimiento y valoración Retomar los principios de cantidad, calidad,de las diferentes perspectivas. relación, modalidad que plantea el sociolin- La práctica comunicativa del aula debe güista Grice46 como fundamentales para latener un sentido que lleve a los aprendices a cooperación en la comunicación y aplicarconstruir su ¨conciencia lingüística”, de ma- algunas reglas lingüísticas básicas para la pro-nera implícita y/ o explícita, ya sea mediante ducción del discurso oral (que en la academiael uso o la reflexión sobre el lenguaje y los cada vez ha de acercarse más al escrito) y delprocesos comunicativos que allí ocurren. Una discurso escrito: claridad, precisión, coheren-práctica acompañada permanentemente de cia, cohesión. Relacionar estas reglas con lasla reflexión sobre los procesos discursivos, del discurso formalizado de las matemáticasen la que el docente tome distancia sobre su (brevedad, precisión, disposición espacial).propio lenguaje y los efectos que tienen enel aprendizaje de sus alumnos (su estructura, 4.2. Subcampos delsus contenidos, sus funciones, y las estrate- Pensamiento Matemáticogias lingüísticas más frecuentemente usadas,preguntas, silencios, pistas, claves) y en la que Así como se hizo con los ejes y las estra-a la vez estimule esta reflexión con el grupo. tegias, en estos numerales se tomará cadaEsto les permite hacerse a la pragmática del subcampo y se recomendarán unos énfasis elenguaje, explicitar sus intenciones comunica- ideas para el aula en este ciclo.tivas y las reglas propias del lenguaje del aula:como cuándo preguntar, la importancia de 4.2.1. Pensamiento numéricoescuchar y respetar turnos a la hora de partici- Los niños que inician este ciclo general-par, el manejo de las instrucciones y la relación mente han consolidado su pensamiento adi-con la acción, la diferenciación del lenguaje tivo al punto que enfrentan con algún éxitonatural y el lenguaje de las matemáticas (con problemas aditivos simples y compuestossus propias palabras, vocabulario, símbolos y directos (de composición y de descomposi-signos), el sentido de la escritura para registrar, ción), aunque posiblemente resuelven algunosllevar cuentas y comunicar. Que los alumnos problemas inversos, caen en dificultad cuandotomen conciencia que el lenguaje comunica, el problema hace referencia a contextos queque es una herramienta para pensar y para les son poco familiares o el rango numéri-relacionarse con otros. co se eleva más allá de las posibilidades de Reconocer que el cuerpo comunica. Con las sus intuiciones. En el caso del pensamientoposturas corporales, los gestos, el movimiento multiplicativo sus elaboraciones son másde las manos, las miradas, los silencios, los ma- elementales, todavía están en el tránsito detices y entonación de la voz, el maestro y los abordar problemas multiplicativos mediantealumnos comunican ideas y sentimientos. Se sus recursos aditivos, aunque algunos niños 103favorece así la expresión de las emociones re- parecieran tener mayores elaboraciones porlacionadas con la matemática y su aprendizaje,tales como ansiedad, miedo, inseguridad, pla- 46 Las máximas que plantea el sociolingüista Grice (citado por Escandell, 1993: 92) en su principio de cooperación en lacer y satisfacción al descubrir una resolución comunicación son: cantidad (información requerida), calidadacertada, disfrutar y contemplar la estética, lo (veracidad o plausibilidad, sinceridad, honestidad), relación (relevancia), modalidad (el modo, la claridad, evitar la oscuridad,bello de un razonamiento bien hecho. la ambigüedad, brevedad, orden).
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela el hecho de aplicar los procedimientos multi- de 10, 4 unidades de 10 y 5 unidades de 1, o plicativos a problemas estereotipados en los escrito en forma más simbólicamente 2.345 que han recibido entrenamiento. como 2*103 + 3*102 + 4*101 + 5*100). Conviene en este ciclo enfatizar en si- Este ciclo se caracteriza porque los estu- tuaciones que enfrenten a los educandos a diantes se inician en la construcción de los problemas inversos y compuestos, y en los fraccionarios; conviene empezar por ayudarlos últimos grados del ciclo de educación básica a consolidar la capacidad de realizar relaciones A extender a situaciones que además exijan multiplicativas entre cantidades discretas y combinar operaciones aditivas (de adición y continuas, expresables con naturales y coor- sustracción) y multiplicativas (multiplicación dinar las relaciones directa e inversa, al igual y división). que aplicar y operar con operadores multipli- cativos naturales. La posibilidad de compren- En cuanto al sistema decimal de numera- sión de una relación del tipo a/b se soporta ción los niños que inician este ciclo todavía se en un pensamiento capaz de componer dos apoyan en significados aditivos y significados relaciones multiplicativas expresables con dos aditivos-multiplicativos para hacer cuentas naturales “a” y “b”, donde alguno de los dos es en situaciones que les exigen y les ofrecen la múltiplo del otro (ej. A es 3 veces mayor que oportunidad de poner en juego sus verdaderas B y B es 12 veces menor que C, al componer comprensiones de la numeración, a pesar de estas dos relaciones se puede afirmar que A que en algunos casos se les vea ejecutando es un cuarto de C). De manera que conviene los procedimientos en los que han recibido elevar el pensamiento multiplicativo de los entrenamiento. alumnos al punto que puedan manejar estas Es importante en este ciclo de educación composiciones en diferentes contextos, para básica apoyar a los estudiantes para que hagan que logren entender composiciones de rela- cuentas con sus propios procedimientos, ya ciones multiplicativas y operadores multiplica- que así van consolidando sus construcciones tivos, que no son expresables con un natural sobre la numeración. Parte del esfuerzo central sino con números de la forma a/b. En este consistirá en ayudarlos a desarrollar un pen- ciclo se introducen los decimales y conviene samiento multiplicativo que les permita hacer hacerlo como representaciones decimales de composiciones de correspondencias múlti- los fraccionarios y ligándolas a cantidades de ples47 y operar con estas de tal manera que una magnitud. puedan acceder a una comprensión polinomial De forma análoga al progreso que tiene de los numerales (ej. 2.345 entendido como 2 que hacer el educando de este ciclo en lo unidades de 10 de 10 de 10, 3 unidades de 10 multiplicativo, también tiene que hacerlo con las relaciones aditivas y operadores aditivos 47 Se tiene una correspondencia múltiple cuando se hace104 corresponder un elemento con varios otros (en una caja se naturales. La posibilidad de la comprensión empacan tres bolsas). La composición de correspondencias, y la capacidad de operar con los números como su nombre lo indica, cuando se componen dos o más de estas correspondencias. Ejemplo, en una caja caben tres bolsas y negativos y positivos se soporta en un pen- a su vez en una bolsa caben 12 colombinas. ¿Cuántas colombinas hay en una caja? La estructura de este problema es la misma samiento capaz de componer dos relaciones a la que da lugar la equivalencia entre unidades en el sistema y dos operadores aditivos naturales (Ej. A es decimal de numeración, una centena equivale a 10 decenas y a su vez una decena equivale a 10 unidades, ¿a cuántas unidades 3 unidades mayor que B y B es 5 unidades equivale una centena? menor que C, al componer estas dos rela-
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticociones se puede afirmar que A es 2 unidades quede resolviendo el problema singular, sinomenor que C); de manera que conviene elevar más bien vea en ellos clases de problemas.el pensamiento aditivo de los estudiantes al Por ejemplo: los padres de los alumnos delpunto que puedan manejar estas compo- curso vienen al bazar, ellos traen un billete desiciones en diferentes contextos, para que $20.000, y entre una lista de 10 artículos cadalogren entender composiciones de relaciones uno escoge dos diferentes, ¿cómo se podráy operadores aditivos que no son expresables saber cuánto dinero le sobra a cada uno?con un natural sino con números positivos La habilidad para hacer cuentas no sey negativos. reduce al aprendizaje y ejercitación de los La complejización del pensamiento numé- algoritmos de las operaciones, más bien crecerico se promueve cuando los alumnos inven- cuando se invita a los estudiantes a seguir sustan sus propios procedimientos para resolver propios procedimientos. En un comienzo noproblemas, cuando comparan las soluciones, hacen mayores exigencias para que los explici-discuten sobre ellas y se los invita a buscar ten, pero poco a poco y según sus progresos,procedimientos más elaborados. El camino se les pide que expliquen los procedimientosde entrenar a los niños en la resolución de seguidos y que produzcan escritos cada vezproblemas ofreciéndoles prototipos poco más organizados, claros y precisos.favorece el desarrollo de su pensamientonumérico. Resulta más enriquecedor que se 4.2.2. Pensamiento métricoenfrenten a múltiples y variadas situacionesplenas de significado y sentido para ellos. El Las nociones de magnitudes como lon-significado de las operaciones se complejiza a gitud, superficie, volumen, peso, capacidadmedida que se aplican en diferentes contextos. o duración, etc. surgen y se complejizan enUnas veces las situaciones pueden ser abier- variadas acciones que hacen los niños cuan-tas, otras veces conviene resolver problemas do comparan los objetos y los hechos. Alde enunciado de tipo cerrado. Unas veces el comienzo, en ausencia del número y de laeducando tendrá que inventar los problemas medida son de tipo cualitativo, sólo permiteny escribirlos, y el trabajo que se promoverá valores como mucho, poco, bastante, nada,en el aula no será únicamente el de resolverlo etc. o relaciones del tipo “…es más que….”,sino discutir la precisión y claridad del enun- “…es menos que…” Con los progresos enciado. Trabajar sobre las variaciones que se el número y en la medida, las comparacionespodrían producir al procedimiento seguido llegan a ser cuantitativas (ver párrafo corres-y a la respuesta dada si se modifican ciertas pondiente a este subcampo en el segundocondiciones a los problemas ayuda a los es- capítulo).tudiantes a modelar las situaciones. El niño que inicia este ciclo posee nociones Hay que evitar trabajar siempre con pro- básicas de algunas magnitudes como longi- 105blemas que tienen datos conocidos, conviene tud, peso, capacidad, duración y manejanenfrentar a los alumnos a problemas en los algunas unidades convencionales. Posible-que los datos son cantidades desconocidas mente también hagan conversiones entre(sin necesidad de expresarlas mediante letras); algunas de esas unidades y tengan cierta ca-estos problemas se pueden introducir desde pacidad para estimar. En este ciclo se trata detemprana edad y ayudan al niño a que no se enriquecer estas intuiciones de los alumnos
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela mediante la vivencia de una gran variedad con el tamaño de la magnitud que van a medir de experiencias de medida. A continuación y la precisión que es deseable alcanzar. se sugieren algunas ideas para tenerlas pre- Es fundamental orientar a los educandos sentes al pensar en el diseño y desarrollo de en la utilización adecuada de los instrumentos experiencias que enriquezcan el pensamiento para que las medidas sean bien tomadas. Por métrico de los educandos. ejemplo. en el caso de la medida de longitudes Como ya se ha dicho, la enseñanza deberá colocar el instrumento en dirección paralela orientarse a enriquecer las experiencias de a la línea que se mide; al medir una arista de medida de los alumnos, como forma de ayu- un objeto o simplemente un segmento de una darles a complejizar su pensamiento métrico. recta con regla tener la precaución de hacer Cuando miden ganan capacidad para apreciar coincidir el punto cero del instrumento en el qué tanto puede ser el valor de una medida, extremo que se toma como inicial. Debido cuál es entonces la unidad más conveniente a a que el pensamiento de los alumnos trabaja utilizar. Toda nueva unidad que se introduzca sobre la cantidad discreta, les es difícil reco- debería conllevar experiencias en las que se use nocer que el primer centímetro de la regla va y se puedan comparar con otras ya conocidas. del punto 0 al punto 1, para este segmento no Hay que invitarlos a conocer las unidades que existe, ellos prefieren ver el “primer centíme- se utilizan en la tienda, en los productos que tro” a partir de 1. se venden en los supermercados, a apreciar Parte del proceso de apoyar a los estudiantes su cantidad; también a hacer estimaciones de en la consolidación de la noción de una magni- medidas de distancias entre puntos conocidos tud, consiste en resolver problemas en los que y de las dimensiones de diferentes espacios, de hagan comparaciones de la cantidad de esas la cantidad de diferentes productos, etc. A los magnitudes. Conviene primero utilizar uni- niños les resulta interesante conversar sobre la dades no convencionales antes de introducir información que se encuentra en las etiquetas las convencionales. La vivencia de usar estas de los productos. En estas experiencias el medidas abre la posibilidad de experimentar la profesor siempre encuentra posibilidades de necesidad de establecer convenios para utilizar involucrarlos en sencillos estudios en los que unidades comunes. Es importante acercar hay que recoger y sistematizar datos (sobre las progresivamente a los niños a la historia de la estaturas, pesos de los alumnos del curso y de medida, pero no se trata de dar datos sueltos los miembros de la familia). Conviene también para memorizar, sino brindar la posibilidad que hagan comparaciones de las medidas en- de apreciar que los progresos de la medida tre objetos y expresar una en términos de las han estado ligados a la necesidad de resolver otras, por ejemplo: en función de las alturas problemas prácticos; de comparar las unida- de los alumnos, determinar aproximadamente des y procedimientos utilizados por distintas alturas de las paredes, del profesor; en función civilizaciones y de una época a otra.106 del peso de una naranja determinar el peso de Es importante ligar la comprensión de los una papaya. sistemas de unidades a los progresos de los En necesario enfrentar a los estudiantes educandos en el sistema decimal de numera- a problemas en los que tengan que tomar ción y ayudarles a reconocer las semejanzas decisiones sobre la unidad o unidades más que hay en sus estructuras. De igual forma convenientes que deben utilizar, de acuerdo hacer notar la diferencia que existe entre el
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticosistema decimal de numeración y los sistemas sición final de un objeto después de un girode medida no decimal. En los cursos más y anticipar el resultado de la composición deavanzados del ciclo de educación básica A, dos o más giros que se hacen uno después dellos procesos de medida son un soporte im- otro.48 En términos más generales, se trata deportante para la construcción de los números desarrollar un pensamiento que les permitafraccionarios y para la comprensión de las operar aditivamente con los giros. A partir dediferentes formas de representarlos (como estas elaboraciones alcanzadas con los giros yfracciones y como decimales). con los progresos en fraccionarios, los niños Situaciones problemáticas que inviten de los grados superiores de este ciclo podrána los niños a elaborar instrumentos son avanzar hacia la idea de ángulo y de su ampli-necesarias, pero éstas no deben abordarse tud, relacionando representaciones fracciona-como situaciones en las que los niños se rias de giros y el sistema sexagesimal.49limiten a reproducir instrumentos ya exis- Otras adquisiciones importantes en estetentes, sino como invitaciones a crear por grado son las nociones de área y volumen.sus propios medios soluciones a una necesi- Nuevamente aquí se insiste en que la com-dad. La invención de instrumentos conlleva prensión de estas magnitudes no se agotaproblemas de construcción de escalas. La en la capacidad de aplicar fórmulas y deconstrucción y lecturas de escalas son muy manejar unidades, y menos, que éste seaútiles no sólo por lo que aportan en térmi- el punto de partida. Los niños que iniciannos del pensamiento métrico sino porque este ciclo están en capacidad de inventar susinvolucran el pensamiento proporcional. propios métodos para decidir cuál de dosAquí se encuentran excelentes oportunida- terrenos, dos paredes, dos tablas tiene mayordes para que los estudiantes se enfrenten área. Conviene que vivan experiencias en lasa problemas prácticos en los que puedan que les sea posible resolver preguntas comodarle significado a la proporcionalidad. estas mediante procedimientos de compa- En este ciclo de educación, los alumnos se ración directa y después de recubrimiento.50enfrentan al problema de construir las nocio- Inicialmente ejecutar la acción completa denes de la amplitud de un giro y de un ángulo. recubrir la superficie de la región a medirLos niños que inician el ciclo tienen ideas con un patrón y después pasar a hacer cál-incipientes de giros sobre su propio cuerpo culos que permitan saber cuántas veces hay(giros de una vuelta y de media vuelta, a la que repetir el patrón para lograr recubrir laderecha y a la izquierda, incluso algunos lo- región a medir. Cuando se haya ganado unagran manejar el de un cuarto de vuelta), estas adecuada comprensión de la magnitud que seideas se pueden extender a giros de un octavo está midiendo y de los métodos que se estánde vuelta. Aprovechando los progresos de los utilizando tiene sentido pasar a formas deeducandos en números fraccionarios ligados cálculo basadas en las fórmulas. 107a su significado como partidor se puedenextender sus comprensiones a otros giros de 48 ¿Cuál es la posición final de la figura después de un giro demenor valor. Se trata de ayudarles a realizar media vuelta hacia la derecha seguido de un cuarto de vuelta a la izquierda?estos giros, a representarlos gráficamente, 49 Por ejemplo un giro de ¼ de vuelta equivale a un giro de amplitudpero sobre todo a operar con ellos. Ganar de 900. Uno de 1/8 a 450, etc. 50 Recubrir las superficies a medir con un objeto que se toma comocapacidad para imaginarse cómo sería la po- unidad.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela El paso del cálculo de las unidades utilizadas hacer representaciones tabulares y cartesianas para recubrir una superficie al cálculo median- de estas variaciones ayuda a los educandos a te una fórmula, supone avanzar en la forma trascender el aprendizaje mecánico de proce- de representar la medida del área como una dimientos. Siempre son útiles problemas en cantidad discreta a una cantidad continua. Es sentido inverso, por ejemplo, una vez calculada diferente representar mentalmente el proble- el área de un triángulo, construir otros trián- ma de cuántos cuadrados de 1 cm de lado se gulos diferentes de las mismas dimensiones utilizaron para recubrir la región encerrada que tengan la misma área. ¿cuántos triángulos por un rectángulo al que le caben 4 de estos de estos se pueden construir? Al establecer cuadrados a lo largo y 3 a lo ancho, que repre- relaciones entre el perímetro y el área, por sentar la idea del área de un rectángulo cuyas ejemplo, se pueden construir rectángulos dimensiones son 3,2 cm de largo y 2,5 cm de diferentes del mismo perímetro pero áreas ancho. Estas transiciones de lo discreto a lo diferentes y viceversa. continuo requieren tiempo para brindar las La construcción de la noción de volumen, experiencias adecuadas. Saltos bruscos de una supone seguir un procedimiento semejante, forma a la otra explican en gran medida los aunque en este ciclo convenga limitar las vacíos que tienen los estudiantes en relación situaciones a unas cuantas figuras sencillas, con la idea de área. como paralelepípedos. El cálculo del área puede ser abordado como el esfuerzo de hacer transformaciones 4.2.3. Pensamiento espacial a una figura para convertirla en otra de la que Los estudiantes que inician este ciclo esta- se conoce la fórmula para calcular el área y blecen relaciones de localización más allá de con la cual se pueda establecer alguna rela- su espacio inmediato, con relativa flexibilidad, ción de equivalencia entre las áreas de las dos para dar cuenta de la posición de los obje- figuras, y no simplemente la aplicación de una tos. También tienen relativa capacidad para fórmula. Por ejemplo, utilizar un rectángulo coordinar varias relaciones de estas y hacer para calcular el área de un triángulo rectángu- inferencias, aunque sus razonamientos los ten- lo. Durante un buen tiempo conviene que el gan que hacer sobre la base de imaginarse las método de cálculo de áreas de las figuras sea configuraciones de los objetos que involucran. este. Una vez consolidado este método, podrá Igualmente cuentan con una relativa capacidad avanzarse al conocimiento de las fórmulas. para elaborar e interpretar croquis, planos y Todos los esfuerzos que se hagan para ayudar mapas sencillos de espacios conocidos y son a los estudiantes a hacerse a ideas dinámicas capaces de reconstruir trayectos en espacios del área de una figura son importantes, de una conocidos con algunas limitaciones. En este parte ayudan a los alumnos a reconstruir una ciclo los esfuerzos han de orientarse a ayudar108 y otra vez la idea de conservación del área y a ampliar y consolidar estas capacidades, por de otra, a comprender formas de variación eso es importante que los alumnos de este del área en relación con sus dimensiones. Por ciclo vivan experiencias en las que tengan que ejemplo, problemas en los que se requiera coordinar dos sistemas de referencia de sitios estudiar la variación del área de una figura en distintos aunque próximos, para construir un relación con la variación de una de sus dimen- sistema más amplio que los incluya. Uno de siones mientras permanece constante la otra; los esfuerzos de ampliación de los sistemas
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticode referencia debe estar dirigido al manejo de alteran y cuáles sí, y en este último caso, quésistemas más universales, como el de puntos componentes y relaciones varían y cuáles per-cardinales. manecen constantes. Las ideas de congruencia Las representaciones pictóricas como cro- y semejanza han de surgir de la reflexión sobrequis y mapas inicialmente no tiene un manejo estas experiencias. Con los progresos de losde una métrica; ésta se aborda de forma muy estudiantes en el manejo de los giros y de lacualitativa (más cerca, más lejos o igual de idea del ángulo, es necesario descomponer lacerca). Razón por la que poco a poco ha de figura en sus elementos y estudiar las relacio-introducirse una métrica exacta, con algún nes que se dan entre ellos.control de la proporcionalidad entre el espacio Diferentes representaciones icónicas de lasrepresentado y el espacio real. Los estudian- transformaciones de las figuras y sus partestes de este ciclo logran manejar, con relativa y de las relaciones entre éstas (como la defacilidad, escalas con razones 1:n, en las que jerarquías inclusivas a la manera de mapas con-les basta aplicar un operador que amplía o un ceptuales, de esquemas o diagramas de Venn),operador que reduce, pero tienen dificultad ayudan a los estudiantes a imaginarse dichascuando la razón entre las escalas es de la forma transformaciones, a comprender las relacionesn:m, porque éste les exige aplicar un operador que entre ellas se pueden establecer y a anti-de la forma m/n, que involucra un significa- cipar sus resultados. Con estos logros pocodo de los fraccionarios como razón. Por eso a poco el alumno podrá pensar sobre estasconviene en este ciclo consolidar una base transformaciones, buscar explicaciones, hacerintuitiva sólida con razones sencillas, antes que inferencias y elaborar razonamientos en losintroducir un procedimiento mecánico para que hay intentos de validar sus afirmaciones,hacer cálculos. El manejo de representaciones ya no ligados exclusivamente en la evidenciagráficas a escala se constituye en un elemento empírica, sino soportándose en afirmacionesimportante para favorecer un pensamiento que han sido aceptadas en el grupo.proporcional. El uso de materiales como el geoplano, el Los educandos que inician este ciclo logran tangram o técnicas como el plegado, son dereconocer los componentes de una figura vital importancia en tanto que ayudan a losplana (elementos como número y longitud estudiantes a realizar transformaciones y ganarde sus lados, número de vértices, inclinación habilidad para controlar sus resultados. Sinrelativa de sus lados, aunque esto último sin embargo, esta es una habilidad práctica, muy li-control exacto debido a la carencia de la idea gada a las condiciones en las que surge. Razónde ángulo), pero no establecen relaciones por la cual y de forma complementaria con-entre estos elementos y muchas veces basan viene enfrentar a los educandos a situacionessus juicios sobre las percepciones globales de problemáticas que les permitan transferirlaslas representaciones icónicas de las figuras. a otros contextos. El uso de software como 109Por eso consideran que algunas relaciones Cabri es un apoyo a la mente para imaginarseentre los elementos de una figura cambian las transformaciones, ya que posibilita ver (li-por variaciones en su posición. Conviene en teralmente) los cambios que se producen y loeste ciclo apoyar a los alumnos para que vivan que permanece constante. Pero hay que ayudarexperiencias de transformación de las figuras a “ver con el pensamiento” y encontrar lasy de sus partes; que identifiquen cuáles no las razones de por qué se producen los cambios
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela y por qué permanecen otros elementos y otras variaciones que dan lugar a líneas rectas que relaciones. El empleo de los recursos en el aula pasan por el origen, con las que no pasan por se complementa con el tipo de situaciones o el origen y con otras que dan lugar a curvas. preguntas que el docente genere, para que el Que los estudiantes puedan explicarse por qué alumno pueda enriquecer las relaciones que la línea recta muestra el incremento constante establece con éstos, y no quede solo en el acto en la variable dependiente para incrementos de la manipulación. iguales de la dependiente. Los estudiantes que inician este ciclo logran Es a partir del análisis de estas situaciones identificar los elementos de la superficie que en la que se propone ayudar a los alumnos limita un sólido sencillo. Conviene ampliar a construir un pensamiento proporcional. esta capacidad de reconocimiento a sólidos Inicialmente harán interpolaciones y ex- más complejos (pasar de la exploración de trapolaciones mediante recursos aditivos y paralelepípedos a pirámides, cilindros y co- procedimientos del valor unitario,52 antes de nos), haciendo desarrollos de los planos de poder introducir procedimientos basados en objetos tridimensionales (de prismas y de compresiones de la igualdad de razones. Esta pirámides), identificar las vistas, anticipar los ruta para acceder a la proporcionalidad directa resultados de transformaciones y manejar la es más provechosa que simplemente enseñar perspectiva. Conviene enfrentar a los alumnos regla de tres o teoría de las proporciones, a construcciones de modelos físicos con el fin por estos dos caminos cuando más aprenden de estimular su imaginación. técnicas pero no desarrollan un pensamiento proporcional. Es importante tener en cuenta que una vez que construyen el pensamiento 4.2.4. Pensamiento variacional- proporcional se produce una especie de supra- algebraico generalización y se aplica este procedimiento En este ciclo se trata de estudiar a nivel en casos en los que la relación de dependen- cualitativo fenómenos de dependencia entre cia no es proporcional; de ahí la importancia dos variables en los que los niños tengan la po- de introducir situaciones que no tengan esta sibilidad de hacer diferentes representaciones, dependencia para que pueda contrastarse de de identificar y expresar en diferentes registros la diferencia y tomar precauciones. regularidades de la variación de cada una de las En estas experiencias debe aprovecharse el variables y de su dependencia. Se enfatizará en registro de datos para el uso de fraccionarios las variaciones de proporcionalidad directa e en sus diferentes formas de representación. A inversa, en estos casos conviene hacer aproxi- medida que se avanza en el pensamiento pro- maciones a representaciones analíticas. porcional, se introducen las nociones de por- Conviene hacer experimentos en los que los centaje mediante transformaciones de escalas110 estudiantes tengan la posibilidad de comparar, (el porcentaje es una escala de 1 de100). especialmente mediante gráfica cartesiana,51 En este ciclo a medida que los estudian- tes avanzan en su capacidad de identificar 51 Generalmente en la enseñanza se aplaza a la secundaria la representación cartesiana de fenómenos de variación por dos razones: una porque los niños al no haber construido todavía los 52 Se busca el valor de la variable dependiente cuando la variable números reales se considera falta de rigor representar magnitudes dependiente vale 1 y se usa esta información para calcular cualquier continuas y porque sólo se puede trabajar el primer cuadrante. valor.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticoregularidades y expresarlas en lenguaje verbal, ligado al pensamiento estocástico se haganse les apoya para que utilicen las letras para pequeñas investigaciones en las que puedanexpresar estas regularidades mediante expre- ver que hay conjuntos de datos en los que nosiones simbólicas. En los experimentos de surgen las regularidades a simple vista, porqueproporcionalidad directa ha de buscarse llegar una no determina a la otra.a la representación algebraica de la variación.Intentar que en fenómenos concretos el es- 4.2.5. Pensamiento estadístico ytudiante comprenda el significado de la cons- aleatoriotante de proporcionalidad. Incluso es posiblepensar en varias rectas para valores distintos El niño en el ciclo de educación básica Ade la constante y entender en el contexto de adquiere la capacidad de distinguir entre losun mismo tipo de problemas el significado de fenómenos aleatorios y los deterministas, en-esta variación. Quizá en este ciclo no convenga tendiendo lo aleatorio y el azar como aquellohacer un estudio tan juicioso de la proporcio- que no es posible determinar con anticipa-nalidad inversa como el que se ha propuesto ción, gracias a que él puede comprender laspara la directa, pero si es necesario que los secuencias causales de los eventos y captar laalumnos tengan la oportunidad de hacer irreversibilidad de los fenómenos aleatorios.experiencias que les permitan contrastar este Establece acertadamente comparacionestipo de dependencia con la directa. cuantitativas de probabilidad entre dos even- tos cuando tienen el mismo número de casos Otras experiencias ligadas a este subcampo posibles, pero debido al escaso desarrollotienen que ver con la identificación de patro- de su pensamiento proporcional encontraránes de variación en sucesiones; en este ciclo dificultades cuando cambia el número deconviene continuar con este tipo de problemas casos posibles, por ejemplo cuando tiene queen versiones un poco más complejas. Dada escoger y justificar si le favorece más sacar ununa sucesión de hechos, inferir cuál sigue, dulce rojo de una caja oscura en la que hay 3expresar verbalmente el patrón de variación, rojos y 7 blancos, o sacarlo de otra caja en laverificar que el patrón se cumple y construir que hay 5 rojos y 9 blancos. De forma aná-otras sucesiones con otros elementos en los loga, los alumnos de este ciclo avanzan en elque varía otra propiedad pero que mantengan significado empírico de la probabilidad.el mismo patrón, además usar registros simbó- Durante este ciclo, los educandos se inte-licos para expresar un elemento cualquiera. resan y tratan de buscar un sistema que les Hacer pequeños estudios en los que se permita solucionar las situaciones de combi-registra en tablas y se hacen gráficas de los naciones y permutaciones, aunque en generalcambios que se producen en dos magnitudes. el éxito alcanzado está basado en la búsquedaEl peso de un balde en una báscula a medida empírica y el uso de estrategias desordenadas.que se va llenando con uno, dos, tres objetos, Por ejemplo, ante el problema de construir to- 111o con agua. Los cambios en la altura de nivel das las posibles banderas de dos colores distin-del agua en un recipiente cilíndrico cuando se tos, teniendo disponible cinco rollos de tela desumergen completamente uno, dos, tres, etc. diferentes colores, el niño tratará de enumerarobjetos iguales. Así como los estudiantes se empíricamente las diez posibilidades, siendoenfrentan a este tipo de experiencias en las que complejo para él emparejar de manera sistemá-debe identificar regularidades, conviene que tica un primer color con cada uno de los otros
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela cuatro y luego un segundo color con los tres nutricionales que aporta el alimento, necesi- restantes y así sucesivamente. Similar a como ta de experiencias concretas con las que los sucede en el ciclo anterior, las situaciones en alumnos puedan darle sentido y significado las que el número de elementos aumenta se a su aprendizaje. tornan más complejas, porque requieren de Se recomienda utilizar las múltiples situa- la coordinación de las dos operaciones de ciones de tipo aleatorio del entorno, apoyarse seriación, y correspondencia en una única en ejemplos y eventos que enriquezcan las operación. Contar todas las formas distintas experiencias de los niños y que estimulen como 10 niños se pueden colocar en una la reflexión sobre los problemas y sobre los fila para entrar al salón es una situación que métodos y estrategias de solución. Limitar el desborda la posibilidad de contar de forma desarrollo del pensamiento estadístico y aleatorio al empírica las 3.628.800 permutaciones. estudio de algunos procedimientos que per- Es importante tener en cuenta que el miten solucionar ciertos tipos de problemas componente combinatorio no se adquiere modelo o memorizar la forma de calcular espontáneamente, en particular las técnicas medidas estadísticas, es desaprovechar la para la solución de problemas combinatorios posibilidad para que el educando se apoye necesitan de la instrucción paulatina, y ade- en referentes concretos que le permiten darle más reconocer que es posible inducir durante sentido y significado a su aprendizaje. el ciclo de educación básica A la apropiación El uso de material manipulable es necesa- de estrategias combinatorias que les permita rio en este ciclo, material que genera situa- a los estudiantes abordar con éxito situacio- ciones significativas y datos numéricos con nes de permutaciones y combinaciones con los cuales se puede reflexionar sobre el azar conjuntos relativamente pequeños. como: el uso de bingos en los que se extraen Ante las situaciones de organización y bolas o fichas, los experimentos con dados, representación de datos, el educando desde el lanzamiento de monedas, las ruletas, las los primeros grados de este ciclo logra esta- cartas o tarjetas, el tiro al blanco y las loterías. blecer y coordinar uno y dos criterios de or- En la estadística, los datos sobre las carac- den cuando elabora listas, además comienza terística de una población como su estatura, a construir tablas en las que relaciona dos su peso, la longitud de sus extremidades, o el conjuntos de datos de magnitudes cercanas rendimiento en pruebas físicas de velocidad, y puede interpretar y representar frecuencias resistencia y fuerza, o la búsqueda de datos relativas mediante histogramas y diagramas del entorno sobre la dieta de las mascotas, de barras. el crecimiento de la población o las condi- El alumno será capaz de coordinar tres ciones climáticas a lo largo de un periodo criterios de organización simultáneamente de la temperaturas, las precipitaciones, o apoyado en referentes concretos y logrará los resultados de los equipos favoritos en112 poco a poco establecer y explicar relaciones torneos deportivos escolares, nacionales o de dependencia entre las magnitudes que se internacionales, brindan múltiples oportu- relacionan. Establecer y representar el tipo nidades para recoger información y realizar y la cantidad de comida que se le debe dar a integración con otras disciplinas. un grupo de mascotas de acuerdo a su edad, En la combinatoria se recomienda desa- analizando los tres tipos de componentes rrollar aptitudes en los niños para resolver
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticoproblemas simples de conteo exhaustivo de Este pensamiento posibilita hacer múltiplesobjetos, buscando la utilización de estrategias conexiones con los demás pensamientos ma-sistemáticas, mediante actividades manuales temáticos, con él se potencian los procesoso medios gráficos. Además introducir el de conteo, de adición, de multiplicación en elmanejo de los árboles u otros diagramas que pensamiento numérico, el manejo de depen-permitan hacer inducción de estrategias y dencia y variación aditiva y multiplicativa delconteo de eventos, llegando incluso a buscar pensamiento variacional, las propiedades deque los alumnos puedan cambiar algunos las figuras geométricas y sus movimientos. Pordatos de los problemas ya solucionados y lo tanto se considera que no se deba trabajarexpresar las estrategias utilizadas. de forma aislada en un periodo de tiempo Se recomienda trabajar de manera integrada separado, ni tampoco agregar una materialos tres componentes del pensamiento esto- adicional del currículo. Para este ciclo el usocástico en situaciones problema, en las que se de formalismo y teoría en la mediación obsta-estimule y reflexione sobre la probabilidad, la culiza y tiende a confundir a los niños.combinatoria y lo estadístico. Los intereses de Durante estos grados de escolaridad es po-los niños ofrecen bastantes tópicos que requie- sible acompañar a los alumnos en la búsquedaren establecer relaciones de causa y efecto y las de caminos sobre “preguntas de investiga-maneras como se puede comparar y cuantifi- ción”, vinculadas al campo de lo matemático,car la probabilidad, el uso de estrategias para lo histórico y lo científico y lo tecnológico.comenzar a ser exhaustivos y sistemáticos en Determinar por qué y cómo suceden las cosasel conteo de eventos y el uso de listas, tablas en el mundo biológico, físico y químico im-y gráficas de barras para describir y comparar plica recoger y organizar datos cuantitativosconjuntos de datos empíricos. Permitir que tratando de evitar los errores en la medida ylos estudiantes participen en la organización sesgos en el manejo de las muestras, así comode eventos en el aula de clase y fuera de ella para comprender cómo son y cómo cambiaránimplica prever y tomar decisiones sobre con- las condiciones de vida de un grupo humanodiciones fortuitas, elaborar listas de datos y es necesario el tratamiento de los datos delcompararlas, contar formas como se pueden pasado, del análisis comparativo con los datosorganizar los objetos y las actividades y diseñar del presente y de la inferencia de las conse-informes cuantitativos sobre su gestión. cuencias de las decisiones. 113
    • SERIECuadernos de Currículo Pensamiento Matemático en el ciclo de educación básica B Grados 7º a 9º Bogotá: una Gran Escuela
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático 5. El campo del Pensamiento Matemático en el ciclo de educación básica B E n este capítulo se desarrollan algu- nas especificidades del campo en el ciclo de educación básica B. Parauna mayor contextualización y comprensión mático: razonamiento, modelación y comu- nicación y representación. A continuación se plantean las especificidades que adquieren estos tres ejes en el ciclo de educación bási-de lo que aquí se plantea se recomienda es- ca B. Para mayor comprensión de lo que setudiar los planteamientos que se formulan en plantea se recomienda revisar el numeral dellos dos primeros capítulos. En primer lugar capítulo segundo correspondiente al eje quese toman uno a uno los ejes curriculares y en se esté estudiando.segundo lugar, cada uno de los subcampospropuestos para este ciclo. En cada caso se 5.1.1. Razonamientohacen recomendaciones sobre aspectos que se Aunque, como se ha dicho, no se puede ha-consideran importantes enfatizar y se ofrecen blar con precisión de formas de razonamientoalgunas ideas para el trabajo en el aula. Con en un momento del desarrollo intelectual deesto no se pretende agotar todo lo que es un estudiante, independientemente del conte-posible y deseable realizar en el ciclo, pero nido y la situación contextual, es posible reco-sí ofrecer algunas orientaciones de lo que es mendar algunos aspectos en los que convienenecesario hacer. Sin embargo se advierte que enfatizar durante este ciclo teniendo en cuentaestos planteamientos no se deben asumir algunas características del razonamiento delcomo prescripciones curriculares, más bien se estudiante del ciclo de educación básica B.invita a los maestros y maestras para que los Estas ideas son apenas iniciales, la investiga-lean como concreciones a los planteamientos ción y la innovación tienen mucho que decir,generales y se estudien en las reuniones de por eso un trabajo posterior deberá precisar laáreas y en los grupos locales, para construir caracterización del razonamiento del alumnoacuerdos básicos sobre hacía dónde orientar de este ciclo y concretar experiencias de en-la educación matemática en el ciclo de edu- señanza adecuadas.cación básica B. 117 El mayor énfasis que se propone hacer en este ciclo consiste en que los educandos den5.1. Ejes curriculares razones de la validez de sus ideas fundamen- Tal como se definió en el capítulo primero, tándose en elementos teóricos previamenteson tres los ejes que atraviesan la estructura establecidos (definiciones, principios, leyes,curricular del campo del pensamiento mate- propiedades). Se dijo que al estudiante del
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela ciclo de educación básica A le resultaba difí- del tipo “lo suyo es falso porque lo mío es cil dar razones sobre la validez de sus ideas y verdadero”. En este ciclo conviene que los que cuando se lograba ponerlo en situación educandos tomen conciencia del hecho de de dar cuenta de se podía observar que se que para mostrar la falsedad de una idea basta soportaban en la evidencia empírica (“eso es mostrar un caso en la que ésta no se cumple, correcto porque yo lo hice así y me salió”), o mientras que la verdad de una idea no se en razones de autoridad (“es así porque así muestra porque se verifique en uno o varios me lo sé”, o “porque así me lo enseñaron”), casos; que igualmente en estas situaciones hay o simplemente en lugar de ofrecer una jus- que construir argumentos con ideas generales, tificación se limitaban a describir el proce- en los que se explicite su validez para el uni- dimiento seguido (ante requerimientos del verso de casos en los que se pretende que la profesor del tipo: “explique por qué”, o ante idea sea verdadera. Recurrir a construcciones la necesidad de dar una justificación a un par particulares (figuras, expresiones particulares respondía describiendo lo que hizo, como si o construcciones físicas) puede ser un apoyo entendiera que dar una razón de la validez de al entendimiento, porque ilustran la idea, lo que dice y hace consiste en mostrar que lo alimentan la intuición, pero no sustituyen la que dice y hace es correcto). En este ciclo, construcción de razones. cada vez con mayor insistencia se trata de ayudar al alumno a elaborar enunciaciones En este ciclo se debe procurar que los es- del tipo “ésto es válido porque de acuerdo tudiantes logren mayor control de las cadenas con ___ entonces, necesariamente ____, se de razones que producen, que analicen enca- cumple (o no se cumple) que ___”. Es decir denamientos de juicios propios o de otros y se trata que ante requerimientos del profesor valoren su validez. del tipo: “explique por qué”, ofrezca razones Conviene orientar a los alumnos para que sustenten el por qué a nivel teórico mos- encontrar los patrones en secuencias que trando que establece relaciones teóricas con incluyen dos o más variables, que recurran al los elementos involucrados y no se quede en lenguaje simbólico para expresar el general y dar descripciones de las acciones que realiza a ofrecer razones apoyándose en elementos sino que comprenda y limite los alcances de teóricos que justifiquen la necesidad lógica lo que enuncia. del patrón. En este ciclo se trata de ayudarlos a cons- Alentar a los educandos a comprender y truir contra argumentos sólidos para refutar construir demostraciones sencillas y manejar las ideas que consideren falsas. Se dijo que algunos métodos de demostración (directa los estudiantes del ciclo de educación básica y por el absurdo), construyendo cadenas de A tienen dificultad para ofrecer contra argu- inferencias y analizando la consistencia de la118 mentos que rebatan las ideas de los otros. Que misma con relación a las premisas dadas y a era común que cuando tenían cierta certeza la teoría matemática que involucra. de que la idea del otro era incorrecta, se li- mitaban a oponérsele exponiendo la propia Ayudarlos a generar una proposición a par- en la que confiaban. Se recomendó que en el tir de unas dadas y a que analice la consistencia ciclo de básica A, los alumnos se percatarán de la misma con relación a esas premisas dadas de la limitación de los contra argumentos y a la teoría matemática que involucra.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático Invitarlos a que describan lo que dicen y ha- tenga que llegar a una conclusión a partir decen. Apoyándolos para que cada vez lo hagan inferencias.de forma más clara y precisa. Estimulándolos Invitarlos. a completar cadenas de juiciospara que, poco a poco, ofrezcan razones de que intencionalmente se presentan incom-eso que dicen y hacen. Unas veces se les pedirá pletas, para poner en evidencia sus vacíos yque lo hagan en forma oral y otras por escrito. saltos.Ayudándoles a mejorar sus razones, buscandoque tengan mayor pertinencia y fuerza argu-mentativa. Reforzándoles que deben analizar 5.1.2. Modelaciónlo que escriben, sometiéndolos a la lectura de En el segundo capítulo a propósito de laotros escritos, a la relectura propia, y a estudiar definición de este eje se dijo que el procesola validez y verdad de su razonamiento (¿El de modelación consiste en construir un ob-texto es suficiente o por el contrario deja ele- jeto (material o no) y establecer una relaciónmentos implícitos que es necesario clarificar? analógica entre ese objeto y el sistema real¿Las inferencias que obtienen son correctas? que se desea modelar, de tal forma que partes¿Las ideas de las que parten son consideradas del objeto y sus relaciones corresponden concomo verdaderas?). partes del sistema y las relaciones que se dan Ayudarles a ponerse en el punto de vista del entre éstas. Un modelo es una imitación delotro. Pidiéndoles que intenten comprender sistema real. Imitar un sistema del “mundolo que hacen y dicen otros y se esfuercen en real” mediante un modelo resulta útil porquedar cuenta de la validez de las ideas que ellos ayuda al pensamiento a “figurarse” cómoexpresan. funciona el sistema real, además el modelo se puede “manipular” y con él se pueden hacer Ayudarles a reflexionar sobre sus propias experimentos para formular y verificar predic-razones y las de otros. A encontrar los límites ciones sobre el sistema modelado. “La mentede estas, de acuerdo con la situación-problema humana busca relaciones de modelación para compren-que se aborde o a los acuerdos conceptuales der. Dos sistemas cuyos elementos son de naturalezaque se están construyendo en el aula. En algu-nos casos conviene que el docente muestre los muy diferente pueden tener una misma estructura olímites de un razonamiento, pues esto puede estructuras muy similares. Uno de los sistemas nosayudar a algunos estudiantes a caer en la cuenta puede, entonces recordar o evocar el otro” (Vascode ellos y comprender con pleno sentido el y otros1995). Este recurso es muy frecuentevacío de sus razones. en las ciencias en general y en particular en la matemática; es más, podría decirse que la Invitarlos de forma permanente a proble- ciencia no es otra cosa que modelación. Lamatizar, a inventar sus propias alternativas de matemática al prescindir de los contenidossolución, a compartirlas en pequeños grupos, particulares lo que hace es construir modelosa explicarlas y justificarlas. 119 que permiten representarnos los elementos de Orientarlos para que controlen la validez de un sistema y la forma como se relacionan.sus propias alternativas y procedimientos. La capacidad de modelar se complejiza en la Elaborar situaciones-problema donde el medida en que se hace más general, ésta posi-alumno tenga que tomar decisiones bajo cir- bilita al sujeto elaborar modelos que incluyancunstancias de incertidumbre y otras, donde más variables o más relaciones, hacer uso de
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela representaciones simbólicas más complejas Parte del proceso de modelar es el de su y tener mayor control para dar cuenta de la validación. En el ciclo de educación básica validez del modelo y definir los limites que A, se hace más énfasis en que los estudiantes este tiene con relación a lo modelado. logren hacer modelaciones de las situaciones Algunos autores formulan críticas a las y aunque se realizan acciones para ver la va- prácticas de enseñanza limitadas a la reso- lidez de los modelos, este proceso se hace de lución de problemas prototípicos de enun- forma muy rudimentaria, está más orientado a ciado, ya que consideran que el paso de la determinar en términos absolutos si el modelo situación problemática a la formulación de sirve o no; en este ciclo de educación básica, un problema involucra procesos cognitivos conviene, ir un poco más allá, apoyando a los de gran importancia, tales como apropiación estudiantes para que comparen varios modelos del sentido de la situación, identificación de de una situación y determinen cuál modela con variables que intervienen, decisiones sobre lo mayor precisión lo modelado, es decir, cuál que interesa indagar, sobre las variables que arroja valores más cercanos a la situación real se van a considerar e incluso el trabajo que y cuál tiene presente más variables pertinentes implica la precisión de la pregunta sobre lo en el nivel de análisis que es deseable, posible que se va a indagar, procesos estos que no y/o necesario. vive el estudiante cuando los problemas ya se La capacidad de modelación de los educan- le entregan formulados. dos crece en ambientes de aprendizaje en los Se espera que los educandos que inician este que se los estimula a: ciclo estén en condiciones de modelar muchas • Problematizar situaciones abiertas. Invi- situaciones matemáticas, especialmente de lo tándolos a hacerse preguntas pertinentes numérico y la medida, mediante expresiones y relevantes, a determinar qué aspectos simbólicas numéricas que combinan las ope- deben tenerse en cuenta para ofrecer raciones aditivas y multiplicativas; es posible soluciones a las preguntas que se for- que logren extender sus comprensiones hasta mulen, a reconocer bajo qué condiciones llegar a usar expresiones con “letras”, pero la solución ofrecida es la más razonable en muchos casos todavía éstas no son pro- para la situación. piamente variables, sino hacen referencia a números indeterminados (a la manera como • Invitándolos a hacer modelos gráficos los niños del ciclo anterior entienden las letras y físicos de una situación. En este ci- que aparecen en una fórmula). Conviene en clo buscando que progresivamente se este ciclo de educación básica apoyar a los manejen expresiones simbólicas que educandos para que progresivamente amplíen representen las relaciones entre las va-120 y profundicen su comprensión de las variables, riables involucradas. De forma especial de tal forma que las expresiones matemáticas aprovechando los progresos del los en las que se incluyan sean vistas desde el alumnos en el subcampo del pensa- punto de vista funcional (como conjunto de miento variacional-algebraico, estudiar valores variables) y no como la expresión de situaciones susceptibles de ser modela- un valor singular e indeterminado, que es po- das como variación proporcional, lineal, sible determina en cada caso particular. polinómicas y racionales sencillas.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático • Invitándolos a reflexionar sobre las les permite acceder a la lectura de los códigos y variaciones que tendrían las representa- dominio de las reglas gramaticales de la aritmética ciones simbólicas y cartesianas cuando de los naturales, al manejo de algoritmos forma- se modifican uno a varios datos o con- les, a la representación en su pensamiento de las diciones de la situación modelada. estructuras lógicas que soportan un buen número de las actividades de la aritmética y de la geometría5.1.3. Comunicación y elemental, de la medida, de la estadística y de la representación probabilidad, sin embargo la complejidad de los nuevos sistemas numéricos (enteros, racionales Los jóvenes de este nivel se encuentran en un y reales) de los sistemas de algebraico-variacio-periodo de su desarrollo lingüístico y cognitivo nal, estadísticos y probabilísticos y geométricosque les posibilita acceder a mayores niveles deabstracción, generalización y formalización de propios de este nivel le hacen nuevas demandaslos conceptos. Si en el aula se les ofrece el apoyo cognitivas que le exigen, de la misma maneraadecuado es posible lograr que sus comprensio- que en el ciclo de educación básica A, construirnes y producciones lingüísticas lleguen a obte- significados de los nuevos conceptos que no sener mayor configuración lógica, independencia derivan de la mera manipulación de las reglasdel contexto y coherencia, que logren hacer sintácticas de los sistema simbólicos utilizadoslectura inferencial y/ o crítica. En el campo de para representarlos. Por ejemplo, el acceso dela matemática es posible que lleguen a manejar una comprensión adecuada de los racionales nosistemas simbólicos relativamente complejos se logra por la extensión de las reglas sintácticasa condición de apoyarlos para que construyan estudiadas con los números fraccionarios. El nú-significados de estos sistemas de signos en múl- mero racional es una entidad abstracta que si bientiples contextos, de ahí la importancia de ayu- se representa como una fracción de dos enterosdarlos a convertir estas expresiones al “lenguaje de forma semejante a como se representan loscomún” y a otros sistemas de representación fraccionarios, expresa una relación multiplicativa(gráficos, tales como diagramas y cartesianos), entre números abstractos enteros, lejanas de lasen situaciones que les posibilite reconstruir una vinculaciones prácticas que sí tienen los frac-y otra vez los significados de los conceptos que cionarios (como cuando se consideran comoestos sistemas de signos representan. partidores, operadores o razones). Se proponen aquí algunos aspectos en los Una manera de favorecer la comprensiónque conviene enfatizar durante este ciclo te- de los conceptos y de los sistemas de signosniendo en cuenta algunas características del en que se soportan sus representaciones con-desarrollo de los jóvenes tanto del lenguaje siste en posibilitar en el aula que los jóvenescomo de la comprensión de los conceptos aprendices se valgan de sus propias escriturasmatemáticos que se trabajan en este ciclo. (dibujos, imágenes, iconos- diagramas, lengua- 121Estos son un referente para que cada docente je natural) que las contrasten con ensayos deen su contexto de clase las profundice, amplié, otros, para que poco a poco vayan accediendocomplemente y precise. a las abstracciones, al rigor, a la precisión y Si bien los estudiantes de este ciclo poseen generalizaciones que les demandan los con-un pensamiento matemático desarrollado en ceptos, así como a escrituras más formalizadasun nivel relativamente importante, hecho que del lenguaje propio de las matemáticas.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela Aunque en este momento ya los estudiantes propias del uso del lenguaje y del discurso en pueden acceder a la comprensión de proble- la escuela, la mayoría de las veces actúan para mas de enunciación verbal escritos en dife- dar respuesta a las demandas escolares (como rentes formatos y en diferentes estructuras y sacar buena nota o responder para cumplir formas de enunciación (ligado o desligado de las expectativas de los docentes) más que a la la acción), en aquellos sistemas conceptuales comprensión genuina de los diferentes siste- en los que ya han logrado algunas consoli- mas de conceptos. En ese sentido el contexto daciones se seguirá presentando que cuando escolar deja su huella en las posibilidades de se trata de nuevos conceptos mostrarán poca abordar o no la conciencia comunicativa, flexibilidad para comprender problemas de darse cuenta qué el lenguaje comunica, que enunciados que se distancian de las formu- es una herramienta para pensar y para rela- laciones por ellos conocidas, por eso en este cionarse con otros. ciclo conviene que los alumnos se enfrenten a problemas con formulaciones lingüísticas La capacidad de comunicar y represen- variadas, formales y no formales. tar ideas matemáticas se promueve en los En relación con las conversaciones entre estudiantes: los jóvenes aunque en su desarrollo lin- • Al introducir en el aula diversas si- güístico y cognitivo están en capacidad de tuaciones comunicativas y múltiples descentrarse y ponerse en la perspectiva del sistemas de representación en las que otro, no existe la tradición escolar de las el lenguaje se utiliza para poner en conversaciones argumentadas o de generar relación a los sujetos con el mundo comunidades de aprendizaje en las que se físico, con los demás, con las inten- construye y valida el conocimiento conjunta- ciones, sentimientos y deseos propios mente. El maestro puede ayudar al educando y ajenos. La práctica comunicativa del de este ciclo a enfrentar el conflicto cognitivo aula ha de tener un sentido que lleve como posibilidad de descentrarse, entender a los aprendices a construir su “con- la perspectiva del otro y coordinar puntos de ciencia lingüística”, es decir, de manera vista, establecer relaciones de cooperación implícita y/ o explicita, ya sea mediante basadas en la reciprocidad, en las que el joven el uso o la reflexión sobre el lenguaje supere las conversaciones monologas o acu- y los procesos comunicativos que allí mulativas y pase a aquellas en las que priman la critica, la argumentación, la deliberación, la ocurren. explicitación de sus razonamientos y la toma • Cuando el docente utilice procesos me- de decisiones colectivas. talingüísticos para que tanto alumnos Finalmente los jóvenes en esta edad ya se como maestros reflexionen sobre su122 han hecho a la pragmática del lenguaje, se propio lenguaje y discurso en el aula y asumen como sujetos del lenguaje. Es decir los efectos que tienen en el aprendizaje frente a los mensajes de la interacción pro- de los estudiantes, su estructura, sus ducen o asignan significados de acuerdo a los contenidos, sus funciones, y las estra- contextos comunicativos, reconocen finalida- tegias lingüísticas más frecuentemente des e intenciones, identifican modos de leer usadas (preguntas, silencios, pistas, y escribir; sin embargo al hacerse a las reglas claves).
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático• Al ayudar al estudiante a hacerse a la nes, y la conversación es uno de los pragmática del lenguaje, explicitando recursos para apoyar esta construcción. las intenciones comunicativas y las re- Conversaciones en las que aparezca la glas propias del lenguaje del aula como: crítica, donde haya lugar para el cues- cuándo preguntar, la importancia de tionamiento, el debate y la justificación, escuchar y respetar turnos a la hora de donde se haga visible el razonamiento participar, el manejo de las instrucciones donde se establecen acuerdos y se toman y la relación con la acción, la diferencia- decisiones conjuntamente para construir ción del lenguaje natural y el lenguaje nuevas elaboraciones más consistentes. de las matemáticas (con sus propias pa- Esto es posible si el docente asume un labras, vocabulario, símbolos y signos), estilo de comunicación no autoritario, el sentido de la escritura para registrar, ni unidireccional basado en el respeto, llevar cuentas y comunicar. la tolerancia, el reconocimiento y valora- ción de las diferentes perspectivas.• Al introducir en el aprendizaje de los diferentes conceptos matemáticos diver- • Al reconocer que el cuerpo comunica. sas formas de registro y representación Con las posturas corporales, los gestos, y la necesidad de hacer conversiones de el movimiento de las manos, las miradas, un sistema de representación a otro. El los silencios, los matices y entonación de paso de representaciones basadas en la voz, el maestro y los estudiantes co- el lenguaje común a representaciones munican ideas, sentimientos, actitudes y esquemáticas y más resumidas (repre- valoraciones. Favoreciendo la expresión sentaciones “simbólicas” a mitad de de las emociones relacionadas con la camino), apoyadas en diagramas, dibujos matemática y su aprendizaje: ansiedad, o gráficas y de estas a las cada vez más miedo, inseguridad, placer y satisfac- simbólicas, les ayuda a ir complejizando ción al descubrir el “ajá”, al disfrutar sus construcciones. El uso de diferentes y contemplar la estética, lo bello de un sistemas de representación para expresar razonamiento bien hecho. la misma idea (la mitad, un medio, ½, • Retomar los principios de cantidad, ca- 0,5; o representar una situación parti- lidad, relación, modalidad que plantea el cular de proporcionalidad directa como sociolingüista Grice como fundamenta- variación entre dos variables, represen- les para la cooperación en la comunica- tándolos en forma tabular, gráfica o ción y aplicar algunas reglas lingüísticas analítica, buscando con esto el paso de básicas para la producción del discurso lo particular a lo general) ayudándoles a oral (que en la academia cada vez ha de hacer las conversiones necesarias, amplía acercarse más al escrito) y del discurso el significado de los conceptos. escrito: claridad, precisión, coherencia, 123• Al invitar a los alumnos a participar, cohesión. Relacionar estas reglas con discutir y colaborar en la construcción las reglas del discurso formalizado de y negociación de un conocimiento com- las matemáticas (brevedad, precisión, partido, ya que se reconoce que distintas disposición espacial). maneras de presentar la información • En fin haciendo del aula un espacio pueden generar diversas interpretacio- comunicativo en el que se privilegia la
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela diversidad textual para crear, expresar, todavía matemáticos les sirven para enfrentar representar y validar ideas matemáti- las situaciones concretas que enfrentan y que cas: textos narrativos, instruccionales, los llevarán a la idea de un determinado tipo informativos, explicativos, descriptivos, de número. También se dijo que la función de diálogos, pero sobre todo argumentati- la escuela es la de apoyar a los alumnos para vos; se promueven también diferentes que logren complejizar esta ideas iniciales, registros de representación o sistemas alcanzando ideas cada vez más abstractas, des- de notación simbólica así como el dise- ligadas de la situaciones concretas que le dieron ño de situaciones para que los alumnos origen. Pero ese camino de distanciamiento se manifiesten a través de un lenguaje de lo concreto no es fácil, más bien está lleno cada vez menos ligado a las situaciones de obstáculos en los que paradójicamente los concretas y a las experiencias cotidianas; significados, las vinculaciones con los hechos, un lenguaje con poder generalizador se vuelven obstáculos necesarios de superar (independencia del contexto) más abs- para llegar a estudiar los números como objetos tracto y formalizado que es el propio de propiamente matemáticos. las matemáticas. Los progresos de los estudiantes de este ciclo en este subcampo están orientados hacia 5.2. Subcampos del las construcciones de los números enteros, Pensamiento Matemático los racionales y los reales. Generalmente en la escuela se asume que lo que hay que hacer Así como se hizo con los ejes, en estos en este ciclo es ampliar el conocimiento del numerales se tomará cada subcampo y se re- sistema de los números naturales y de los nú- comendarán unos énfasis e ideas para el aula meros fraccionarios a estos nuevos sistemas en este ciclo. numéricos. Se considera que para construir los enteros basta simplemente ampliar los números 5.2.1. Pensamiento numérico naturales para que ecuaciones de la forma x Como se ha dicho este subcampo hace refe- + a = b, tengan solución, aún en los casos en rencia a esa parte del pensamiento matemático que X > b. De manera que se piensa que basta ligado a los sistemas numéricos. Al interior de con introducir la notación de unos nuevos estos sistemas se distinguen los objetos (el tipo números y enseñar las reglas para calcular las de número que se trabaja en cada caso), las operaciones con ellos. Algo semejante ocurre relaciones que se establecen y las operaciones con los números racionales, en su enseñanza que se pueden ejecutar entre ellos. se piensa que al conocimiento que tienen los estudiantes de los números fraccionarios lo En el primer capítulo se señaló que la cons- trucción de la ideas de cada uno de los tipos único que falta es adicionar la representación de de números que se estudian a lo largo del los negativos – aquí poco se agrega, pues en ese124 preescolar y la educación básica son procesos momento los estudiantes ya tienen los enteros-, en que los estudiantes lentamente construyen extender los algoritmos de las operaciones con ideas cada vez más elaboradas (por lo tanto fraccionaros a los racionales y estudiar algo de más abstractas) de los números, como fruto las propiedades de estas operaciones. de las relaciones que establecen y las operacio- Con los reales se piensa que todo lo que hay nes que ejecutan con esos objetos que sin ser que hacer es introducir los números irraciona-
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticoles y una vez hecho ésto, basta construir este clo ha de ser la de asegurarse que los estudiantesnuevo conjunto numérico como la unión de hayan logrado esta conquista y sobre esa base,los racionales y las irracionales. apoyarlos para que realicen modelaciones con Los resultados de evaluaciones externas na- números positivos y negativos. Ellos no cons-cionales e internacionales, muestran, una y otra truirán significados de lo positivo y negativo,vez, las elementales comprensiones que logran como entidades abstractas, por el aprendizajelos estudiantes de estos conjuntos numéricos. de reglas sintácticas, sino por la relación entre significados de estos números en diferentesParte de estos resultados pueden explicarse por contextos.la forma de enseñanza de los números arribadescrita. Quizá algunos estudiantes logren Dada la gran complejidad que representaejecutar correctamente operaciones con ente- para el pensamiento de los estudiantes deros, con racionales y reales, y resolver algunos educación básica la compresión de los enteros,problemas prototípicos que los involucren; quizá sea más adecuado entender que una granpero tienen grandes dificultades para entender conquista, en este nivel, consiste en acceder ael significado de los enteros en situaciones en la comprensión de lo que se reconoce comolas que han utilizado para modelarlas. No es “números relativos” (números con signos).muy claro que el estudiante logre construir la Lograr que los estudiantes comprendan losidea de inverso (aditivo y multiplicativo), por significados de lo positivo y lo negativo comoel simple hecho de saber cosas como que la “ubicadores” (por ejemplo, está en la posiciónsuma de un número más su opuesto es cero, -24) y como “transformadores” (quitó 23), yo que la multiplicación de un número por su sobre todo, que puedan operar coordinandoinverso (multiplicativo) da como resultado uno. estos dos significados es una conquista sólidaLa convicción de muchos estudiantes de que la para otras elaboraciones básicas y necesariasdesigualdad –a < 0, siempre es verdadera, por con los números relativos.el hecho de estar “a” precedida por el signo Un asunto que merece ser documentado y“-“, en parte, muestra la escasa elaboración de debatido por los profesores tiene que ver coninverso aditivo. la notación. El uso indiferenciado del singo “-“, Como se dijo a propósito del ciclo A, la po- para representar la operación resta, lo negativosibilidad de la comprensión y la capacidad de y lo opuesto, genera un dificultad adicional enoperar con los números negativos y positivos los estudiantes, pues no permite distinciones yse soporta en un pensamiento capaz de com- conlleva a errores conceptual graves. El casoprender plenamente la composición de dos típico de situaciones como “a - b(c – a)”, enrelaciones y dos operadores aditivos naturales el que los signos “-“ que anteceden a “b” y a(Ej. A un “m” cualquiera se le suma “a” y al “a”, aunque se reconoce que representan laresultado obtenido se le resta “b”, el resultado operación resta, se dice “menos por menos”: Lafinal es igual al que se obtiene si al número ley de los signos, se aplica entre lo positivo y lo 125“m” se le suma “a – b”, en caso de ser a > b, o negativo, existe entre números, no es aplicablese le resta “b-a”, en caso de a<b.). Pero no es entre operaciones, por más que para representarsimplemente poder hacer estas composiciones por escrito las operaciones entre números secomo fruto de haber aprendido unas reglas, usen signos.sino de comprenderlas de forma genuina. De Con relación a la construcción de losmanera que una preocupación inicial en este ci- números racionales se puede decir algo seme-
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela jante a los enteros. Puede que desde el punto de medidas y hacen uso de diferentes formas de vista matemático sea correcto considerar a de representarlas (fraccionarias y decimales), los fraccionarios como los racionales positivos, también hacen conversiones y cálculos de pero esto no quiera decir que desde el punto de operaciones entre ellas. vista cognitivo se esté hablando de las mismas Al iniciar este ciclo conviene apoyar a los construcciones. Los primeros son entidades estudiantes para que consoliden las construc- abstractas propias de la matemática, no están ciones que ellos han alcanzado en magnitudes referidas a ningún contexto, los segundos están como amplitud angular, el cálculo del área me- ligados a situaciones, es allí donde el estudiante diante fórmulas y especialmente la noción de las llena de significado y podría decirse que para volumen y su cálculo, ya que esta última apenas ser pensadas el estudiante las liga a represen- se inició en el ciclo básica A. Con esta magnitud taciones más o menos concreta, como áreas, se recomienda recorrer un camino semejante como longitud, etc. Si esto es así, se vé claro al sugerido para el área en el ciclo anterior (ver que el paso de los fraccionarios a los racionales, este subcampo en el capítulo anterior). no es simplemente agregar unos números ne- gativos, más bien es una reconstrucción. Ahora Uno de los progresos de los alumnos en este bien, la calidad de tal reconstrucción estará ciclo en este subcampo consiste en lograr un determinada por la calidad de aquello que se mayor manejo de los sistemas de unidades de reconstruye. Es claro que si las comprensiones medida, sean estos decimales o no. Este progre- de los estudiantes sobre los fraccionarios no so está marcado no sólo porque el estudiante van allá de algoritmos, los significados que lo- tenga conocimiento de nuevas unidades y sus gran los estudiantes de las racionales terminan equivalencias con otras conocidas, sino ante siendo deficientes. todo porque gana experiencias que le permi- tan apreciar el tamaño de las nuevas unidades, Los racionales introducen una novedad determinar la unidad más adecuada para tomar cognitiva importante: la idea de densidad nu- una medida, tener criterios para que de acuerdo mérica. Esta idea es parte de las conquistas con el contexto determine el grado de precisión de los estudiantes en este ciclo y es mucho conveniente, haga estimaciones, utilice y cons- más que manejar técnicas para encontrar un truya instrumentos. Conviene tener presente racional entre dos racionales dados, es ayudar que los procesos de conversión de una unidad a avanzar el pensamiento de los estudiantes de no deben reducirse a técnicas esterotipadas, lo discreto a lo continuo, idea ésta última que es sino que deben sustentarse en un adecuado fundamental para acceder a una comprensión desarrollo del pensamiento proporcional de de los números reales. Estas ideas encierran los estudiantes.53 También es importante que gran dificultad para los estudiantes debido a que los alumnos logren el manejo de diferentes requieren el manejo de lo infinito, construcción formas de representación de las cantidades compleja para un pensamiento aún ligado a lo (fraccionarias, decimales, con coma o punto126 concreto. y notación científica). 5.2.2. Pensamiento métrico 53 Los estudiantes muestran grandes dificultades para hacer conversiones de sistemas decimales a no decimales, por ejemplo Los estudiantes que inician este ciclo poseen tienen dificultad para establecer la equivalencia entre los valores comprensiones más o menos consolidadas como 1 hora y 12 minutos y 1,2 horas, muchos estudiantes consideran correcto interpretar este último número como 1 hora de varias magnitudes, conocen sus sistemas 20 minutos.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático Otro progreso en este ciclo está vincu- truir escalas que le permitan medir gradoslado con la compresión de magnitudes se- de intensidad de un hecho más o menoscundarias como densidad, peso específico, subjetivo; por ejemplo, grados de compro-rapidez, etc., su medida y sus sistemas de miso de los estudiantes con relación a ununidades. La comprensión de estas mag- propósito expresado en términos de valo-nitudes se hace posible por los progresos raciones y acciones de los estudiantes.de los estudiantes en el pensamiento pro-porcional. Si ellas se presentan de forma 5.2.3. Pensamiento espacialdinámica ayudan a consolidar el pensa- Los progresos de los estudiantes en el ciclomiento variacional, de ahí la importancia de de educación básica B con relación a sistemasplantearse experimentos imaginarios en los de localización están marcados porque logranque se estudie la variación de la densidad, el coordinar sistemas de referencia distintos, yapeso específico, etc. cuando cambia una de que manejan sistemas de referencia universa-las dos magnitudes que la define, mientras les, como el sistema de posición geográficapermanece constante la otra. De igual for- (el de los puntos cardinales). Se trata en estema en este ciclo los alumnos deben estudiar ciclo, por una parte, de avanzar hacia el manejomagnitudes ligadas al medio social, de tal del sistema de posicionamiento global y porforma que estén en capacidad de compren- otro lado, con los progresos en geometría,der recibos de servicios e información que llegar a construir sistemas axiales de dos y trescircula en las noticias. dimensiones (coordenadas cartesianas y las En este ciclo los educandos tienen que coordenadas polares) con los cuales puedanavanzar en la compresión de la precisión y representar objetos matemáticos y trasforma-exactitud de una medida. Estimar el error ciones de estos. Gálvez (2001)55 señala que loscometido en una medida y los que arro- progresos de la abstracción en la localizaciónjan los cálculos obtenidos con ellos. La están marcados porque cada vez se necesitanelaboración de instrumentos sigue siendo menos referentes para saber en dónde estánfundamental en este ciclo, pero ahora se y hacia dónde se dirigen. Con los progresoshace posible dar cuenta de la precisión del de los alumnos en este ciclo en la compresióninstrumento. de la proporcionalidad y de los fraccionarios, especialmente con el significado de razón, Finalmente, en este ciclo conviene que es posible apoyarlos para que consoliden unlos estudiantes se enfrenten a experiencias dominio de la escala. Esto los capacita parasencillas de la medida de magnitudes in- realizar e interpretar representaciones con eltensivas,54 en las que tengan la posibilidad control de una métrica, que podrán aplicar alde comprender métodos propios del pen- espacio físico, a los objetos y a las figuras. Sonsamiento estadístico y aleatorio. Con este importantes las experiencias en las que los 127propósito se pueden invitar a los educandos educandos elaboran e interpretan represen-a hacer estudios exploratorios para cons- taciones gráficas del espacio físico (croquis, planos, mapas) y hacen prototipos de objetos54 Aquellas que no son divisibles ni aditivas, a + a = a, por ejemplo a escalas. el color rojizo de un frasco de pintura roja se mantiene si en una misma vasija se mezclan dos frascos de esa misma pintura (Ver numeral (2.5.2). 55 Referencia de Gálvez.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela Los estudiantes que inician este ciclo reco- en el alumno para lo cual es útil tratar la nueva nocen los componentes de una figura plana relación como una variación, representándola (elementos como número y longitud de sus en diferentes registros (tabulación y gráfica lados, número de vértices, inclinación relativa cartesiana) y construyendo gráficos o artefac- de sus lados con mayor control por la idea tos que permitan visualizar, con los ojos y el de ángulo), y establecen relaciones sencillas pensamiento, la variación y a la vez la identifi- entre estos elementos en figuras planas. cación de lo que permanece constante. El uso Además identifican y operan con relaciones de software es un soporte fundamental para la de dependencia entre estos elementos como intuición. En síntesis, podría decirse que al en- por ejemplo variaciones en la longitudes de contrar una nueva relación se requiere ayudar a los lados pueden producir variaciones en sus los estudiantes a fortalecer la intuición de esta, direcciones relativas; de igual forma pueden de tal forma que evidencie su validez; es decir, logren identificar en figuras conocidas las que logre entender lo razonable del resultado. condiciones necesarias y suficientes que las Experiencias de generación de sólidos por la determinan unívocamente y establecen jerar- rotación de figuras planas y cortes transver- quías inclusivas entre las figuras (a la manera sales de sólidos, ayudan a los educandos a de mapas conceptuales, esquemas o diagra- ampliar sus intuiciones sobre éstos. mas de Venn). También logran identificar En el ciclo de educación básica B los estu- los elementos de la superficie que limita un diantes han avanzado en su capacidad para sólido, haciendo desarrollos planos de obje- elaborar conjeturas sobre relaciones de los tos tridimensionales, identificando sus vistas, elementos de una o varias figuras o sobre anticipando los resultados de transformacio- transformaciones de estas, cuando ellas exigen nes y manejando la perspectiva. Conviene en coordinar pocos elementos. Pero tienen difi- este ciclo ampliar estas posibilidades a figuras cultad al elaborar construcciones geométricas planas y a sólidos más complejos. o argumentos para justificarlas o negarlas. Un progreso fundamental que se considera Cuando lo logran sus argumentos son de ca- necesario consolidar consiste en “algebrizar” rácter empírico. En este ciclo conviene apoyar propiedades de y entre figuras (inscripción y a los alumnos para que ganen mayor capacidad circunscripción), aprovechando el manejo de de hacer construcciones geométricas, a partir algunos teoremas básicos. Este punto es una de las cuales puedan formular conjeturas más oportunidad especial para conectar dos pensa- complejas y desarrollar procesos sencillos, mientos, el espacial y el algebraico-variacional. como prueba de estas. Para ello es necesario Igualmente, permite mostrar a los estudiantes promover en la enseñanza situaciones de la potencia que tiene el tratamiento algebraico investigación, en las que los estudiantes se de algunas propiedades de las figuras para in- apropien de las preguntas que se les invita128 ferir nuevas relaciones. Pero es necesario tener resolver; que diseñen los procedimientos presente la importancia de ayudar a entender que los aproximen a las respuestas; que los el significado de las nuevas relaciones que se ejecuten y obtengan las conclusiones; que obtienen por las manipulaciones algebraicas; las comuniquen y construyan razonamien- para ello conviene que dicha expresión sea tos para validar las conclusiones obtenidas. representada en el lenguaje verbal. También Conviene ayudarlos a hacer construcciones hay que favorecer representaciones dinámicas gráficas o materiales en las que puedan apoyar
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticosus intuiciones. El descubrimiento de nuevas En este ciclo se recomienda extender elrelaciones generalmente no surge por la vía estudio a otros modelos de variación: eldel pensamiento deductivo. El camino del lineal y algunos casos simples de variacio-descubrimiento es más el de ensayo y error. nes polinomial y racionales. Igual que loSólo después de tener el resultado de una recomendado para el caso de la proporcio-nueva relación, la deducción hace presencia nalidad, se sugiere que estos modelos se es-para validarlo. tudien al interior de experiencias que exijan modelar las formas de variación entre dos En este ciclo corresponde colaborarles para variables, que estas experiencias se haganque elaboren modelos geométricos que les en diferentes contextos y que se utilicenpermita representar y resolver problemas de diferentes formas de representación. Másotros subcampos del Pensamiento Matemá- que perseguir el conocimiento exhaustivotico y de otros campos del conocimiento. El de diferentes modelos de variación y deempleo de instrumentos para construir curvas hacer tratamientos completos de las repre-y superficies es necesario porque permite vi- sentaciones algebraicas de estos modelos,sualizar propiedades y transformaciones de los el énfasis ha de hacerse en las compresio-elementos involucrados en las figuras, como nes de los diferentes registros, del uso deel acto de generar diseños propios. algunas propiedades de estos registros para interpretar propiedades estructurales de las5.2.4. Pensamiento algebraico- formas de variación. variacional Se dijo que el registro algebraico es el Se dijo que en el Ciclo A se trata de estudiar sistema de signos más importante paraa nivel cualitativo fenómenos de dependencia expresar la variación y que su importanciaentre dos variables en los que los niños tengan radica en que es sucinto y es una formala posibilidad de hacer diferentes representa- potente de comunicar ideas complejas yciones, de identificar y expresar en diferentes abstractas; además, por la posibilidad deregistros regularidades de la variación de cada hacer transformaciones de una expresiónuna de las variables y de su dependencia. En a otra equivalente siguiendo las reglasgeneral no se trata de llegar a expresiones sintácticas del sistema, se pueden inferirverbales o simbólicas para expresar la relación relaciones nuevas, a partir de unas ya co-de dependencia. nocidas. Se propuso ligar el estudio del sistema de representación algebraico a la Se recomendó como énfasis del ciclo A la variación, en todos los niveles de la edu-proporcionalidad directa e inversa. Pero se cación básica, ya que es la variación la queinsistió en que este pensamiento no se logra permite apreciar que las representacionespor el simple aprendizaje de la regla de tres, algebraicas son formas de representación 129o de cualquier otra técnica, sino por los in- simbólica de relaciones generales. Poco atentos de identificar, en diferentes contextos, poco conviene incrementar la capacidadde identificar estos patrones de variación, de de hacer manipulaciones operatorias decompararlos con otras formas de variación, expresiones algebraicas sujetándolas a laapoyándose para esto en diferentes formas variación y al estudio de diferentes proble-de registro. mas en los que el estudiante se apropie de
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela la función de herramienta que ellas tienen está ligada a imaginarse los cambios particula- para interpretar hechos 56. En educación res, ya es elevada a un ente abstracto que tiene básica es más favorable orientar el estudio significado por sí mismo. de las representación algebraicas ligadas a la interpretación de variaciones y la búsqueda de 5.2.5 Pensamiento estadístico y nuevas relaciones posibles, que como estudio aleatorio formal y abstracto. Muchos estudios muestran las grandes dificultades que los estudiantes El joven del ciclo de educación básica B tienen para pasar las transformaciones que distingue entre el azar y lo deducible, gracias al progreso en los otros subcampos del pen- hacen sobre las expresiones algebraicas en samiento matemático y a la complejización las reglas que rigen la sintaxis de un sistema. de los esquemas lógicos; aun cuando todavía Generalmente cuando logran cierta habilidad se le dificulta componer la interferencia de para ejecutarla lo hacen por la vía del entre- las causas de un fenómeno aleatorio con la namiento. independencia de las mismas. En algunos ca- También se ha dicho que una representación sos podrá identificar e independizar algunas simbólica no se constituye en algebraica por el causas de las que dependen las características simple hecho de incluir letras que representan físicas heredadas por una persona pero se le números que se combinan con las operaciones dificultará comprender cómo ellas interfieren posibles entre los números; si el estudiante no entre sí, en otros casos podrá enunciar la for- es capaz de captar las relaciones generales que ma como una factor climático interfiere con ellas expresan es un simple simbolismo. En otro en la ocurrencia del clima de una región gran medida esto pueda explicar la gran difi- pero se le dificultará independizarlos. En el cultad que ellos tienen, incluso en educación establecimiento de la frecuencia relativa de los superior, para usarlas como herramienta en fenómenos aleatorios mejora como resultado el estudio de relaciones entre las magnitudes de las experiencias acumuladas, particular- que intervienen en un hecho. mente en los casos en los que las predicciones tienen un efecto práctico. Y en cuanto a la es- Se ha insistido en la necesidad de ayudar a timación de la probabilidad pueden establecer los estudiantes a representarse mentalmente comparaciones entre la probabilidad de dos las expresiones algebraicas como forma de eventos comenzando a utilizar estrategias mul- variación, pero es necesario ir más allá, en ellas tiplicativas. Cuando compara la probabilidad también hay que reconocer la representación de sacar una bola roja de una caja en donde de la estructura de una variación. La forma de hay bolas rojas y negras en razón de 2 a 3, con variación expresada por Y = 3X es la repre- sacarla de otra caja en la que la razón es de 4 sentación sintética de un modelo de variación a 5, comenzará a buscar explicaciones de tipo entre las dos variables, por lo tanto también proporcional.130 tiene que surgir en la mente de los estudiantes que esta expresión muestra la estructura de la En lo estadístico, en la organización y re- variación. Esta representación mental ya no presentación de datos el joven de ciclo básica B logra interpretar y elaborar tablas en las 56 Aquí los recursos computacionales son de vital importancia que se coordinan dos criterios en situaciones para que los estudiantes visualicen el dinamismo de estas menos cotidianas de las que trabajaba en los representaciones. ciclos anteriores. Usa las frecuencias relativas
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemáticogracias al manejo de las proporciones y los móvil y reversible, utiliza métodos parcialesporcentajes, iniciando con esto la posibilidad dificultándosele el descubrimiento de las le-de establecer comparaciones e inferencias yes de formación de las permutaciones. Enentre conjuntos de datos, lo cual le permite las variaciones, vistas como la síntesis de lastambién interpretar, construir y comparar operaciones de combinación y permutación,diversas representaciones gráficas cartesianas se observa un comienzo de sistematizacióny no cartesianas de frecuencias relativas, acu- de las operaciones y de comprensión del azar,muladas y porcentuales. Comienza a establecer pero sin generalización a números grandes.relaciones de dependencia entre los datos Como se ha sugerido en los anteriores ciclos,representados utilizando expresiones cerca- se recomienda utilizar múltiples situacionesnas al lenguaje cotidiano, no necesariamente del entorno que enriquezcan las experienciasalgebraicas. En el manejo de la distribución el de los jóvenes y que estimulen la reflexiónjoven se acerca de manera paulatina a la com- sobre la toma de decisiones, el planteamiento yprensión de la ley de los grandes números de la solución de problemas, utilizando métodosmanera intuitiva, estableciendo, por ejemplo, y estrategias de tipo estadístico, combinatorioque en el caso de lanzar cien veces una moneda y probabilístico. Restringir el aprendizaje dese obtendrá un número de caras cercano a la la estadística a memorizar algunas fórmulasmitad, cercanía que se va a mejorar en el caso y procedimientos matemáticos para calcularen que se realicen mil lanzamientos. Específi- la media, la mediana, la varianza y la desvia-camente en el caso de la distribución normal, ción estándar, o limitar el aprendizaje de lael joven de estos grados se caracteriza por un combinatoria al estudio de algunos modelosprincipio de distribución de conjunto genera- de solución de problemas prototipo en loslizable y reconocible, previendo en situacio- que se apliquen fórmulas de permutaciones,nes concretas la equivalencia entre las partes combinaciones y variaciones, o reducir lasimétricas correspondientes a la dispersión. probabilidad a la aplicación de fórmulas deCuando tiene que distribuir sus apuestas sobre probabilidad es fraccionar el pensamientoel número que saldrá en un lanzamiento de dos estocástico en tres tipos de contenidos des-dados, puede llegar a comprender mediante articulados y dificultar la estructuración delsu reflexión que una estrategia adecuada para pensamiento del joven de este ciclo.ganar es distribuir sus apuestas dando una El uso de materiales que permitan dar sen-mayor cantidad al número 7, un poco menos tido y significado al aprendizaje, tales comoal 6 y al 8, y así ir disminuyendo hasta colocar los datos estadísticos que ofrecen los mediosun mínimo de apuestas al 2 y al 12. de comunicación, los censos, las encuestas, los En la combinatoria, en el manejo de combi- datos de los eventos deportivos, las situacionesnaciones que consiste simplemente en formar combinatorias estudiadas en la genética, en eltodas las posibles asociaciones, el joven de este análisis de las rifas y las loterías, y en general 131ciclo logra descubrir un sistema de formación el estudio de problemas de la matemática dis-de parejas que le permite enumerar las asocia- creta, facilitan la comprensión de métodos yciones sin que ninguna quede olvidada, coor- procedimientos para la toma de decisiones lodinando la seriación y la correspondencia. En más razonables posibles.el manejo de las permutaciones, que implican La idea de muestra trabajada en situacionesuna variación según un sistema de referencia de recolección de datos, manejo del error en la
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela medición y comprobación de hipótesis intro- Es importante fortalecer la recursión en duce al estudiante en la inferencia y establece este ciclo, como método de la combinatoria un puente entre la estadística y la probabilidad. para resolver algunos problemas; la recursión Partir de situaciones en las cuales los jóvenes consiste en reducir la solución del problema a formulen hipótesis de trabajo que se validen obtener una versión más sencilla, simplificán- con el tratamiento de muestras y de las cuales dolo a una parte de él, que tiene las mismas se infieran regularidades, permite reconstruir características del original y luego expresar el el conocimiento matemático en el aula (hacer proceso empleado en forma reiterada. En- matemáticas y no trasmitir definiciones) y contrar una forma para calcular las maneras ayuda a comprender que la ciencia y los juicios distintas como se pueden ordenar 10 elemen- tos distintos, se puede reducir a encontrar sobre el mundo o las personas están basados la forma para 3 elementos, y luego expresar en el muestreo y se adquieren a partir de las este proceso mediante la expresión 3x2x1 y experiencias empíricas. aplicarlo de manera reiterada al caso de los La inducción matemática implícita en el diez elementos. componente combinatorio permite trabajar la Las representaciones y modelos generativos matemática desde la reinvención comenzan- permiten facilitar y enriquecer el pensamiento do con patrones numéricos y posibilitando a combinatorio (representaciones enactivas, icó- los jóvenes hacer conjeturas sobre relaciones nicas y simbólicas), en particular el uso de los generales, experimentando y tratando de diagramas de árbol permite sugerir e inculcar encontrar buenas definiciones y pruebas con- la extensión sin límite a cualquier número de vincentes, y finalmente usando la inducción elementos, como ocurre en la inducción y matemática, primero intuitivamente, después la adaptación a nuevos problemas derivados intencionalmente, y eventualmente de una del primitivo, que es característica del razona- manera más o menos formalizada. miento recursivo.132
    • SERIECuadernos de Currículo Bibliografía Bogotá: una Gran Escuela
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático Herramientas bibliográficas Aspectos didácticos generales de la Duval, R. (1999). “Los Problemas Funda-educación matemática mentales en el Aprendizaje de las Matemá- Bishop, A. (1988). “Aproximación so- ticas y las Formas Superiores del Desarrollociocultural a la educación matemática”. Cognitivo”. Peter Lang-Universidad delUniversidad del Valle. Cali. Valle. Cali. (Original francés). Chevallard, Y. (1991). La Transposición Duval, R. (2004). “Semiosis y Pensa-Didáctica. Del Saber Sabio al Saber Enseñando. miento Humano. Registros Semióticos yAique. Argentina. Aprendizajes Intelectuales”. (2a. ed.). Peter D´Amore, B. (2006). Didáctica de la Ma- Lang-Universidad del Valle. Cali. (Originaltemática. Cooperativa Editorial Magisterio. francés publicado en 1995).Bogotá. Escandell, V. (1993). Introducción a la Prag- Dickson, L.; Brown, M. y Gibson, O. mática. Anthropos. Madrid.(1991). El Aprendizaje de las Matemáticas. Maza, C. (1995). Aritmética y Represen-Labor S. A. Barcelona. tación. De la Comprensión del Texto al uso de García, G. (2003). “Currículo y Eva- Materiales. Paidos. Barcelona.luación en Matemáticas. Un Estudio en Mercer, N. (1997). La Construcción Guia-Tres Décadas de Cambio en la Educación da del Conocimiento: El Habla de Profesores yBásica”. Cooperativa Editorial Magisterio.Bogotá. Alumnos. Paidos. Barcelona. Rico, L. (1997). “Bases Teóricas del Muñiz, V. (1989). Introducción a la filosofíaCurrículo de Matemáticas en Educación del Lenguaje. Anthropos. Barcelona. 135Secundaria”. Síntesis. Madrid. Pimm, D. (1990). El lenguaje matemático en Comunicación y representación el aula. Morata. Madrid. Cazden, B. (1991). El discurso en el Aula. Rogoff, B.(1993). Aprendices del Pen-El Lenguaje de la Enseñanza y del Aprendizaje. samiento: El desarrollo cognitivo en elPaidos. Barcelona. contexto social. Paidos. Barcelona.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela Silvestre, A.; Blanck, G. (1993). En: Ba- Moreno, L. (2002). “Evolución y Tec- jtin y Vygotski: La Organización semiótica de la nología”. En: Memorias Seminario Nacional conciencia. Anthropos. Barcelona. de Formación de docentes: Uso de nuevas Modelación tecnologías en el aula de matemáticas. Bogotá: MEN, Enlace Editores Ltda. Pp. 67 – 80. Duarte, V. (1997). “Modelacao computacio- nal em ciencias e matemática”. Revista Infor- Moreno, L (2002). “Instrumentos Matemáti- mática Educativa de Universidad de los Andes cos Computacionales”. Seminario Nacional - Lidie Colombia Vol.10 N°2, pp. 171-182. de Formación de Docentes, Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas, Serie Maki, D y Thompson, M (1973). Mathemati- Memorias, Ministerio de Educación Nacional, cal Models and Applications. Englewood Cliffs, Enlace Editores, Bogotá. Pp. 82- 86. NJ: Prentice-Hall. Romero, J. y Bonilla, M. (2003) “La calcu- Vasco; C. (2003) “El Pensamiento Variacio- ladora como Re-Diseñadora de la Finalidad nal, la modelación y las nuevas tecnologías. En: del Trabajo del Profesor”. En: Ministerio de Tecnologías computacionales en el currículo de Educación Nacional (2003) Tecnologías com- matemáticas. MEN. Bogotá. Pp. 68 – 77. putacionales en el currículo de matemáticas. Razonamiento Enlace Editores Ltda. Bogotá. Págs. 7-15 Balacheff, N. (2000). “Procesos de prueba Establecimiento conexiones en los alumnos de matemáticas”. Una Em- presa Docente. Bogotá. Bishop, A. (1988). Enculturación Matemática. La Educación Matemática desde una Perspectiva Calderon, D. y León, O. (1996). “La ar- Cultural. Paidos. Barcelona. gumentación en matemática en el aula: Una oportunidad para la diversidad”. Serie temas Ortega, T. (1949). Conexiones Matemáticas. de educación Nº 2. Universidad Externado de Motivación del Alumnado y Competencia Matemá- Colombia. Bogotá. tica. Biblioteca de uno. Barcelona. Duval, R. (2004). “Semiosis y pensamiento Resolución de problemas humano. Registros semióticos y aprendizajes Charnay, R. (1995). Aprender (por medio de) intelectuales”. (2a. ed.). Peter Lang-Universi- la Resolución de problemas. En: Parra, C e Saiz.I dad del Valle. Cali. (Original francés publicado (comps.): Didáctica de matemáticas. Aportes en 1995). Tecne, Episteme y Didaxis. (Revista y reflexiones. Paidós. 2da reimpresión. México de la Facultad de Ciencia y Tecnología). No 3. D.F. Universidad Pedagógica Nacional. Bogotá. D´Amore, B. (1997). “Problemas: Pedago- Gardner, H. (1997). Estructuras de la Mente: gía y Psicología de la Matemática en la Acti-136 La Teoría de las Inteligencias Múltiples. Fondo de vidad de Resolución de Problemas”. Síntesis. Cultura Económica. Santa Fe de Bogotá. Madrid. Apropiación y aplicaciones tecnológicas Kilpatrick, J. (1995). Errores y Dificultades de Duarte, T. (1997). Modelación y Computación en los Estudiantes, resolución de Problemas. Educación Ciencias y Matemáticas. Revista de Informática Matemática. Grupo Editorial Iberoamericana. Educativa, vol. 10, No. 2. Pp. 171 – 182. México.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático Puy, M. (1997). “La Solución de Problemas Mammana, C. y Villani, V. (1998). Perspectivesen Matemática”. En: Pozo, M.et al. La solución on the Teaching of Geometry for the 21st Century.de problemas. Aula XXI. Santillana. Madrid. Kuwer Academic Publishers. Holanda. Santos, L. (1996). Principios y Métodos de la Segovia L. et al. (1999). “Estimación enResolución de Problemas en el Aprendizaje de las Cálculo y Medida”. Síntesis. Madrid.Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamericana. Valdes, F. (1998). “Comprensión y Uso deMéxico. la Estadística”. Universidad Rómulo Gallegos. Subcampos del pensamiento Ver en URL: http://www.cortland.edu/fl-matemático teach/stats/stat-sp.html . Azcárate, C y Deulofeu, J. (1996). “Fun- Referencias bibliográficasciones y Gráficas”. Primera Reimpresión. Ackoff, L. y Sasieni, W. (1971). Pesquisa Ope-Síntesis. Madrid. racional. LTC –Livros Técnicos e Científicos Batanero, C. (2001). “Didáctica de la Esta- Editora. Rio de Janeiro.dística”. Departamento de Didáctica de la Ma- Balacheff, N. (2000). Procesos de Prueba en lostemática. Universidad de Granada. Granada. Alumnos de Matemáticas. Una Empresa Docen- Camargo, L.; Samper, C. y Leguizamón, C. te. Bogotá.(2002). “La construcción de conceptos: una Bishop, A. (1999). Enculturación Matemática.actividad importante para desarrollar razo- La Educación Matemática desde una Perspectivanamiento en geometría”. En: Revista EMA: Cultural. Paidós. Barcelona.Investigación e innovación en educación ma-temática. Vol. 7, Nº. 3. Bogotá. Boulch (1981). El Desarrollo Psicomotor desde el nacimiento hasta los 6 años. Consecuencias educativas. Camargo, L. y Guzmán, A. 2004. “Elemen- Paidos. Barcelona.tos para una didáctica del pensamiento varia-cional. relaciones entre pendiente y la razón Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodesde cambio”, Cooperativa Editorial Magisterio. de la didactique des mathématiques. Recherches enBogotá. Didactique des Mathématiques. 7( 2) pp. 33-115. Godino, J. D. y Font, V.(2003). “Razona- Bruner, J. (1990): Actos de significado. Más allámiento Algebraico y su Didáctica para Maes- de la revolución cognitiva. Alianza. Madrid.tros”. Serie. Matemáticas y su Didáctica para Castaño, J. y Forero, A. (2006). “Construc-Maestros. Ver URL: http://www.webpersonal. ción del Conocimiento Matemático Escolar.net/vfont/ralgebraico.pdf Algunos Aportes desde la Psicología en Saber, Malisani, E. (1999). “Los Obstáculos Epis- Sujeto y Sociedad. Una década de Investiga- ción en Psicología”. Universidad Javeriana. 137temológicos en el Desarrollo del PensamientoAlgebráico”. Visión Histórica. En: Revista Bogotá.IRICE del Instituto Rosario de Investigacio- Confrey, J. (1990). “A review of the researchnes en Ciencias de la Educación Di Rosario. on student conceptions in Mathematics, Sci-Argentina, Nel No. 13 del 1999, in lingua ence, and Programming”. Review of Researchspagnola. in Education, 16, 1, 3-55.
    • Secretaría de Educación del Distrito: Bogotá una Gran Escuela Chevallard, Y. (1991). La transposición Glaserfeld, E. (1995). Radical Constructivism: didáctica: del saber sabio al saber enseñado, Aique, A way of knowing and learning. The Falmer Press. Buenos Aires. Washington, DC. Chevallard, Y.; Joshua, M.-A. (1982) “Un Gutierrez, A. y Jaime, A. (1990). “Una prop- exemple d’analyse de la transposition didac- uesta de fundamentación para la enseñanza de tique: la notion de distance”, en: Recherches la geometría . El modelo de Van Hiele”. En: en didactique des mathématiques, vol. 3, n° 2, p. Llinares, S. y Sánchez, V. Teoría y práctica en 159-239. Educación Matemática. Alfar. Sevilla. D´Amore, B. (2006). Didáctica de la Ma- Guzmán, M. de, “Tendencias actuales de temática, Cooperativa Editorial, Magisterio la enseñanza de la matemática, Studia Paeda- Bogotá. gogica”. Revista de Ciencias de la Educación, 21 (1989),19-26. Duval, R. (2004). Semiosis y Pensamiento Hu- Kuhn D. (1989) “Children and adults as mano. Registros semióticos y Aprendizajes Intelectua- intuitive scientists”. Psychological Review les (2a. ed.). Peter Lang-Universidad del Valle. 96(4):674-89. Cali. (Original francés publicado en 1995). Laborde (1996). “Visual phenomena in the Ernest, P. (1991). La Filosofía de la Educación teaching/learning of geometry ina a com- Matemática. The Falmer Press. London puter-based environment”. En Mammana, Fernández, P. y Carretero, M. (1995). Razo- C. y Villani, V. (eds.) Proceedings 21th Confer- namiento y Comprensión. Trotta. Madrid. ence of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Klumer Academic Freudenthal, H. (1967). Mathematics Observed. Publishers. London. World University Library. London. Lurcat l. (1979). El niño y el espacio. Fondo Freudenthal, H. (1987). Mathematics Starting de Cultura Económica. and Staying in Reality. Proc. UCSMP, Int. Conf. on Math. Educ., 28-30 March 1985. Mercer, N.(1997). La Construcción Guiada del Conocimiento: El Habla de Profesores y Alumnos. Freudenthal, H. (1986). Didactical Principles in Paidos. Barcelona. Mathematics Instruction. In: J.A. Barosso (Eds.), Aspects of Mathematics and its Applications, Ministerio de Educación Nacional. (1998). Elsevier Science Publishers. Amsterdam. Matemáticas. Lineamientos curriculares. MEN. Bogotá. Gardner, H. (1994). Estructuras de la Mente. MEN (2006). Estándares Básicos de Competen- La Teoría de las Inteligencias Múltiples. Fondo de cias en Matemática. Bogotá. Cultura Económica. Bogotá138 Perkins, D. et al. (1994). Enseñar a Pensar. Gálvez, G. (2001). “La geometría, la psico- Paidós. Barcelona. génesis de las nociones espaciales y la ense- ñanza de la geometría en la escuela elemental”. Piaget, J. (1972). Psicología y Epistemología. En: Parra, C. e Saiz, I. (comps). Didáctica de Emecé Editores. Buenos Aires. matemáticas, Aportes y reflexiones. Capítulo Polya, G. (1966). Matemáticas y Razonamiento VIII. Paidos. Buenos Aires. Plausible. Tecnos. Madrid.
    • Serie Cuadernos de Currículo Orientaciones Curriculares - Pensamiento Matemático Pozo, J. et al. (1994). La Solución de Proble- Vasco, C. et al. (1995). “La teoría Generalmas. Aula XXI. Santillana. Madrid. de Procesos y Sistemas. Una Propuesta Se- miológica, Ontológica y Gnoseológica para Puche R. (2001). El niño que piensa. Univ. la Ciencia, la Educación y el Desarrollo”. En:del Valle, Univ. Federal Fluminense y Univ. Educación para el Desarrollo. Informe deDe Buenos Aires. Cali. Colombia. Comisionados I. Tomo 2. Colección Docu- SED, (2006). Colegios Públicos de Excelen- mentos de la Misión Ciencia, Educación y De-cia para Bogotá. Lineamientos generales para sarrollo. Bogotá, Presidencia de la República y Colciencias.la transformación pedagógica de la escuela y laenseñanza, orientada a una educación de calidad Vasco, C. (1984). Sistemas geométricos.integral. SED. Bogotá. “Un Nuevo enfoque para la didáctica de las Matemáticas. Volumen II. En: Serie Pedagogía Sierpinska, A. Y lerman, S. (1996). Epis- y Currículo”. Ministerio de Educación Na-temologies of mathematics and of mathematics cional. Bogotá.education. En: A. J. Bishop et al. (eds.), Vergnaud, G. (1991). El niño, las matemáticasInternational Handbook of Mathematics y la realidad. Trillas. México, D. F.Education (pp. 827-876). Dordrecht, HL: Vergnaud, G. (1993). “La teoría de los cam-Kluwer, A. P. pos conceptuales”. En: Lecturas de didáctica Stubbs,M.(1987). Análisis del Discurso. de las matemáticas.Vol. 10. Nos.. 2-3. Traduc-Alianza. Madrid. ción de Juan Díaz Godino 139
    • www.imprenta.gov.coPBX (0571) 457 80 00 Carrera 66 No. 24 - 09Bogotá, D.C., Colombia