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  • PORFA SUBAN EL LIBRO COMPLETO DE DESARROLLO DEL PENSAMIENTO TOMO 3
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  • muy buen trabajo pero me gustaría que me ayude con la publicación de la parte 2 de este mismo tomo
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    Portafolio (libro) Portafolio (libro) Document Transcript

    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 1
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 2SECRETARIA NACIONAL DEEDUCACIÓN SUPERIOR, CIENCIA,TECNOLOGÍA E INNOVACIÓNSISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓNMódulo de Desarrollo y Habilidad delPensamientoPortafolioNOMBRE:Diana Cueva CedilloDOCENTE:Bioq. Carlos García Msc.CURSO:Administración “A”EL ORO-MACHALA-ECUADOR2013
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 3Sistema nacional de nivelacion y admisionUniversidad Tecnica de MachalaFacultad de Ciencias EmpresarialesDiana Karolina Cueva CedilloSoy estudiante del Curso de nivelación 2013 en la Universidad Técnica deMachala. Soy una persona responsable, Respetuosa, honesta. Mis metas esconvertirme en Ingeniera ComercialFlorida Sector N°70985412063Dianakrolin@gmail.comMACHALA - ECUADOR
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 4SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓNNIVELACIÓNGENERALDESARROLLODELPENSAMIENTOTOMO3PARTE1:SOLUCIONDEPROBLEMASPARTE2:CREATIVIDAD
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 5INFORMACION GENERAL ACERCA DEL CURSOORGANIZACIÓN DE LAS LECCIONESEn el curso comprende trece lecciones agrupadas en cinco unidades sobre latemática de la solución de problemas:La primera unidad es una introducción a la solución de problemas.Las cuatros unidades siguientes están dedicadas a estrategias específicaspara la solución de problemas basadas en aplicación de un procedimientogeneral para la solución de cualquier problema.Las unidades están dividas en lecciones y cada una consta de:Introducción - ¿Qué conocemos acerca del tema?-¿Qué vamos a prender?Cuerpo - Construyamos el conocimiento.-Organizamos el conocimiento proceso o concepto- Le damos sentido al conocimiento.- Aplicamos el conocimiento- Extendemos, transferimos y generalizamos el conocimiento,y reflexionamos sobre su aprendizaje y aplicación.Cierre -Concientizamos: Reflexionamos sobre lo aprendido, suutilidad y los valores y actitudes asociados al aprendizaje y ala vida.ENFOQUE Y ESTRATEGIA¿Cuál es el enfoque?El enfoque obedece a nuestro lema: aprender haciendo y construyendo; aprendera aprender, con una visión sistemática, humana e integral de la persona, elaprendizaje y a la vida.La base operativa de esta concepción del aprendizaje, se sustenta en lametodología de procesos, el desarrollo de las habilidades de pensamiento, latransferencia de procesos al aprendizaje, el constructivismo y el aprendizajesignificativo.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 6¿Cuál es la estrategia?En cuanto a logros: monitorear el aprendizaje y estimular el desarrollo autónomo,para la conceptualización, el logro de imágenes mentales claras y diferenciadas;alcanzar el hábito de aplicar y extender cada proceso; es decir, se trabaja paraalcanzar las competencias necesarias, para utilizar los procesosespontáneamente, con acierta y efectividad.El aprendizaje se logrará:Mediante la mediación y el monitoreo del docente, para lograr el desarrolloprogresivo de la autonomía del alumno, para aprender continuamente hastalograr su independencia intelectual para pensar, optimizar, crear y actuar.Mediante la aplicación de los avances de la ciencia cognitiva, elconstructivismo, el enfoque sistemático, la mejora continua, el aprendizajesignificativo y el desarrollo integral y humano.A través de la estimulación adecuada, el aprendizaje gradual y laverificación y retroalimentación permanentes.ACTITUDES Y VALORES REQUERIDO PARA APRENDER Y APRENDER AAPRENDERReconocer las fortalezas y debilidades que se tienen y aprovecharlas paragenerar ideas, aportar soluciones, aprender del entorno y compartir conotros.Aceptar sugerencias y orientaciones de docentes y compañeros con interésy humildad.Actuar como gestores críticos y responsables del aprendizaje y delcrecimiento personalMostrar disposición para reflexionar sobre los logros alcanzados y losbeneficios de aprender y aprender a aprender.OBJETIVOS GENERALESA través del Desarrollo del Pensamiento, el estudiante lograra las competenciasrequeridas para aprender y aprender a aprender, para actuar como pensadoranalítico, critico, constructivo y abierto al cambio, capaz de monitorear su propiodesarrollo, entender y mejor el entorno personal, familiar, social y ecológico. Elsentido se precisa:
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 71) Desarrollar los conocimientos, habilidades, actitudes y valores asociados alos estilos del pensamiento convergente y divergente y al razonamientológico, crítico y creativo, requeridos para desempeñarte con éxito.2) Despertar en los docentes y estudiantes, el interés y la disposición paramonitorear el crecimiento propio y de otros, con una perspectivasistemática, futurista, integral y perfectible.3) Valorar el papel que juega el pensamiento como herramienta indispensable,para facilitar el desarrollo intelectual, social, moral y ético de las personas ypara proyectar su ámbito de influencia hacia sí mismo, la sociedad y elmedio.ESTÁNDARES DE DESEMPEÑO DE LAS COMPETENCIAS A LOGRARSe utilizara una escala de 5 niveles, para verificar el avance de los estudiantes enel desarrollo de las competencias del curso, la cual se describe a continuación:Nivel1. Tiene noción del concepto, procedimiento o actitud que va a desarrollar.2. Realiza o demuestra el desempeño esperado, con la mediación deldocente.3. Realiza o demuestra el desempeño esperado, por su propia iniciativa.4. Realiza o demuestra el desempeño esperado, por su cuenta y es capaz decorregir sus propios errores.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 8La finalidad de la coordinación es dar a conocer la importancia del desarrollo delas habilidades del pensamiento en las aulas, enseñando a los alumnos a pensar,a ser críticos y a ser reflexivos, ya que de la manera tradicional, los estudiantesreciben una educación con hábitos de inhibición intelectual, lo que los hacesumamente pasivos. Al hacer énfasis en el desarrollo de habilidades delpensamiento, el aprendizaje se torna activo y significativo.Mejorar el pensamiento de los alumnos en el salón de clases implica mejorar sulenguaje y su capacidad discursiva. La comprensión de significados se potencia através de la adquisición de la habilidad de la lectura, la expresión del significado sedesarrolla mediante la habilidad de la escritura. El origen del pensamiento es elhabla y el pensamiento organizado surge por el razonamiento. Una tareaimportante consiste en concientizar, sensibilizar y preparar a los facilitadores paraque a su vez puedan enseñar a los alumnos a distinguir un pensamiento confusode un pensamiento eficaz, un razonamiento correcto de uno incorrecto.La meta fundamental de la educación es enseñar a la gente a pensar, y paraestimular y mejorar el pensamiento en el aula es necesario estimular el lenguaje yrealizar progresos en los procesos de razonamiento. De ahí que el papel quejuega el facilitador en el aula, en cualquier nivel educativo es muy importante.Las personas que están involucradas en procesos de enseñanza aprendizaje,tienen como obligación la creación de nuevas metodologías que permitan a losalumnos desarrollar las habilidades del pensamiento para que impriman máscalidad en su desempeño cotidiano. Para una mejor comprensión, se enlistancuatro puntos importantes sobre el pensamiento: Como un proceso que realizacada persona. Como procesos que se llevan a cabo mediante la actividad mental.Como medio de desarrollo en el logro de metas. Como forma de desarrollo de lashabilidades del pensamiento. El pensamiento es un proceso propio de cadapersona, y está determinado por los ambientes externo e interno que la rodea.Lo anterior lleva a considerar algunos aspectos como elementos clave para laformulación de programas orientados hacia el desarrollo de habilidades parapensar. Gran parte del pensamiento ocurre en la etapa de la percepción. Lamanera como las personas ven el mundo que les rodea está condicionada por susexperiencias previas, sus conocimientos y sus emociones. El pensamiento estádeterminado por la perspectiva particular de cada persona. El ser humano tiendeen forma natural, a dejarse llevar por sus emociones antes de utilizar la razón.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 9Este proyecto es el resultado de mi esfuerzo. Por eso agradezco a mispadres quienes a lo largo de toda mi vida han apoyado y motivado miformación académica, creyeron en mí en todo momento y no dudaron demis habilidades.A mi Profesor a quien le debo gran parte de mis conocimientos, gracias asu paciencia y enseñanzaFinalmente un eterno agradecimiento a esta prestigiosa universidad la cualabrió sus puertas a jóvenes como nosotros, preparándonos para un futurocompetitivo y formándonos como personas de bien.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 10Dedico este proyecto a Dios y a mis padres. A Dios porque ha estado conmigoa cada paso que doy, cuidándome y dándome fortaleza para continuar Y poderconvertirme en una buena profesionalA mis padres porque son pilares fundamentales en mi vida. Sin ellos, jamáshubiese podido conseguir lo que hasta ahora soy. Su tenacidad y luchainsaciable han hecho de ellos el gran ejemplo a seguir y destacar, no solo paramí, sino para mis hermanos y familia en general.También dedico este Proyecto de manera encarecida a mi docente Ing.Química Carlos García la cual nos ha ayudado mucho para realizar laelaboración del proyecto, dedicándonos tiempo para poder presentar un buenproyecto.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 11JUSTIFICACIONLas habilidades de pensamiento constituyen hoy en día una de las prioridades yretos de la educación en el contexto de un mundo en constante cambio quedemanda actualización profesional permanente y en donde es necesario formar alos estudiantes en los conocimientos, habilidades y actitudes necesarios paralograr un pensamiento lógico, crítico y creativo que propicie la adquisición ygeneración de conocimientos, la resolución de problemas y una actitud deaprendizaje continuo que permita la autoformación a lo largo de toda la vida.Las competencias para el desarrollo de las habilidades de pensamientoencuentran su justificación como una experiencia de aprendizaje que pretendehacer conciencia en los estudiantes de la importancia de desarrollar habilidadesde pensamiento crítico y creativo a lo largo de su trayectoria escolar, lo queimplica que cada estudiante ha de contribuir a tal fin utilizando sus habilidades depensamiento en cada una de las experiencias educativas que cursa y haciendotransferencia a la vida cotidiana, personal y posteriormente, profesional.Ha creado un modelo Metodológico-Didáctico diseñado y propuesto para pensarmejor cuyas siglas son COL, que significa Comprensión Ordenada del Lenguaje.Este modelo se compone de tres sub modelos, uno de ellos tiene que ver con losniveles de comprensión que van desde cuando se actúa aparentemente sinpensar, hasta cuando se hace de una manera analítica y crítica.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 12OBJETIVOSOBJETIVO GENERAL.:Realizar un conjunto de actividades que permitan estimular eldesarrollo del pensamiento en los alumnos y alumnas”OBJETIVOS ESPECIFICOS:Realizar actividades Y otras acciones que permitan despertar en losalumnos y alumnas el pensamiento lógicoResolver problemas de matemática recreativa, utilizando el razonamientobasado en la lógica.Descubrir procedimientos y estrategias utilizadas en la resolución deproblemas matemáticos, a partir de información recopilada en su entornomediato.Mejorar en los estudiantes su capacidad de análisis deductivo y habilidadespara formular y resolver problemas de la vida diaria.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 13CONTENIDOS TOMO IIICONTENIDO……………………………………………………………..3PÁGINA INICIAL PARTE 1……………………………………………5INFORMACIÓN GENERAL ACERCA DEL CURSO………………. 6I INTRODUCCIÓN A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS………….. 8Justificación y Objetivos de la Unidad……………………………..81 Características de un problema………………………………… 92 Procedimiento para la solución de un problema………………..17II PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE……... 25Justificación y Objetivos de la Unidad………………………………… 253 Problemas de relaciones de parte-todo y familiares….……………….264 Problemas sobre relaciones de orden………………………………….36III PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS VARIABLES……. 46Justificación y Objetivos de la Unidad…………………..………………465 Problemas de tablas numéricas……………………………….………..476 Problemas de tablas lógicas………………………...…………………..577 Problemas de tablas conceptuales o semánticas……………………....68IV PROBLEMAS RELATIVOS A EVENTOS DINÁMICOS………. 79Justificación de la Unidad……………….…………………….…………79Objetivos de la Unidad…………………………………………………. 80
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 148 Problemas de simulación concreta y abstracta...……………….……..819 Problemas con diagramas de flujo y de intercambio…..………….….8710 Problemas dinámicos. Estrategia medios-fines………………….…..96V SOLUCIONES POR BÚSQUEDA EXHAUSTIVA………………. 100Justificación y Objetivos de la Unidad……………………………… 11611 Problemas de tanteo sistemático por acotación del error…........... . 12712 Problemas de construcción sistemática de soluciones……..……… 13313 Problemas de búsqueda exhaustiva. Ejercicios de consolidación….145
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 15
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 16JUSTIFIACIÓN:A través de investigaciones se ha podido comprobar que es poca la informaciónque tienen los alumnos, acerca de lo que es un problema y de las estrategias másefectivas para resolverlas. Por tal razón, dedicaremos esta primera unidad a,identificar en base a sus características, los enunciados que corresponden a unproblema. Este proceso contribuye a lograr una clara imagen o representaciónmental del problema, básica para alcanzar cada estado y lograr la soluciónbuscada. En la etapa de representación, generalmente se formulan relaciones y seaplican estrategias de representación (como diagramas, tablas, graficas, etc.) quefacilitan la compresión de los procesos involucrados en la solución del problema,los estados intermedios que conducen al estado final y las operaciones requeridaspara alcanzar cada estado y lograr la solución buscada.Con frecuencia la solución de problemas ha estado rodeada de mitos y creenciasque obstaculizan el aprendizaje; se atribuyen a los problemas dificultades nojustificadas, que más bien surgen de la falta de información acerca de lo que es unproblema y de la variedad de estrategias que pueden utilizarse para resolverlos.OBJETIVOS:En esta unidad se presenta una definición de problema, se identifican los tipos dedatos presentes en el enunciado de un problema y se introduce el concepto deestrategia en solución de problemas.A través de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de:1. Analizar el enunciado de un problema e identificar sus característicasesenciales y los datos que se dan.2. Elaborar estrategias para lograr la representación mental del problema yllegar a la solución que se pide.3. Aplicar las estrategias previamente diseñadas y verificar la consistencia delos resultados obtenidos.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 17Lección 1: CARACTERISTICAS DE LOS PROBLEMASCon frecuencia escuchamos enunciados como los que siguen:1. ¡Qué Calamidad!, Carolina aplazo el Modulo.2. No sé cuánto dinero necesito para comprar los útiles escolares3. Una moto se desplaza a 25km por hora. ¿Cuánto demorara la moto enllegar a Pasaje que se encuentra a 50km. De distancia, si no tiene ningúntropiezo?¿En que se asemejan los tres enunciados?En que comunican un hecho¿Qué diferencias observas en la estructura de los tres enunciados?Que el primer enunciado Jaimito aplazo la asignatura, en el segundo no sabecuánto ha gastado y el tercero la moto se desplaza a 25km¿Qué diferencias observas respecto al planteamiento del enunciado?El primero es un hecho irreversible, el segundo también es un hecho y eltercero es directo.¿Cómo definirías lo que es un problema?Es un enunciado en el cual se da cierta información y se plantea una preguntaque debe ser respondidaVeamos algunos ejemplos adicionales. Consideremos los enunciados que sigueny responde las preguntas:EJEMPLO:¿Cuál es el valor de ganancia de María, que invierte $ 3000 en mercadería yrecauda $8500. Al venderla, sabiendo que sus gastos de venta y publicidad son de$300?Definición de ProblemaUn problema es un enunciado en el cual se da cierta información y se planteauna pregunta que debe ser respondida.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 18¿Qué información aporta?Inversión, Ganancia, Recaudación¿Qué interrogante plantea?¿Cuál es el valor de Ganancia?¿A qué conclusión podemos llegar, respecto a si es o no, un problema?Si es un problema porque es un enunciadoEJEMPLO 2“La felicidad es un estado mental que se produce en la persona cuando creehaber alcanzado una meta deseada.”¿Qué información aporta?La Felicidad¿Qué interrogante plantea?Ninguna Interrogante¿A qué conclusión podemos llegar, respecto a si es o no, un problema?No es Problema porque no hay InterrogantePractica 1 ¿Cuáles de los siguientes planteamientos son problemas y cuálesno? Justifica tu respuesta; para ello completa la tabla que sigue al listado deplanteamientos.1. Carolina no tomo en cuenta los requisitos para ingresar a la universidad2. ¿Cuáles son las variables que debería tomarse en cuenta, para evitar queJuan se contagie de Tifoidea?3. Debemos conocer las consecuencias que provocan los robos en la ciudadde Machala4. La naturaleza o natura, en su sentido más amplio, es equivalenteal mundo natural, universo físico, mundo material o universo material.5. ¿Qué debemos hacer, para evitar que Fernanda cometa el mismo error enel futuro?6. ¿Cuáles son las causas que originaron las Guerras Mundiales?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 19Planteamiento ¿Es un problema?Sí NoJustificación1 x Porque hay una interrogante2 x Porque tiene una interrogante3 x Porque no hay una interrogante4 x Porque contiene un enunciado5 x Porque tiene una interrogante6 x Porque tiene una interroganteEnunciados que son problemas1. ¿Qué debemos hacer para, evitar que el Medio Ambiente se destruya?2. ¿Cuáles son las causas que originan la Deforestación?3. ¿cuáles son las variables que debería tomarse en cuenta, para evitar quelas personas se contagien de Gripe?Enunciados que no son problemas1. “El VIH es un Virus que se contagia a través de tener relaciones sexualessin protección?2. Debemos conocer los efectos que ocasionan la tala de arboles3. Debemos tener en cuenta las consecuencias que ocasionan el AlcoholConsideremos los dos problemas que siguen:1. ¿Un Panadero para hacer panes necesita 20 libras de Harina, vendió a susclientes durante el día, $400 por este concepto?2. ¿Cómo podemos ayudar para hacer una minga en la Ciudad de Machala?¿Qué semejanzas encuentras en estos dos problemas?Que necesitamos buscar una solución, son problemas que tienen una interrogante¿Qué diferencias presentan ambas situaciones?Son diferentes hechos, la una es más detallada que la otra¿Puedes resolver el problema? ¿Cuantos panes vendió? 20 panes¿Qué ocurre en el segundo problema?Practica 2.- Platea 3 enunciados que sean problemas y tres que no sean problemas
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 20¿A qué tipos de necesidades se refiere el problema? ¿Son las mismasnecesidades para todas las comunidades?Para un mismo tipo de necesidad: ¿Todas las comunidades deben resolverlo de lamisma manera? ¿Será que la solución depende de los recursos con que cuenta lacomunidad?¿Qué concluyes de la comparación de los dos problemas, respecto a laposibilidad de poderlos resolver directamente?Para el problema estructurado existe una única solución y para el no estructuradose busca una solución.De esta situación, se desprende que hay dos clases de problemas respecto alcriterio de la posibilidad de solución inmediataEn el caso de los problemas estructurados, generalmente existe una soluciónúnica al problema, con base a la información suministrada.En el caso de los problemas no estructurados, la búsqueda de la información estásujeta a la motivación e interés de la persona que resuelva el problema; por talrazón, es posible obtener soluciones que pueden ser muy diferentes entre sí,incluso aun habiendo recolectado la misma información, porque se puedencombinar los recursos de maneras diferenteClasificación de los problemas en función de la información que suministranEstructuradosPROBLEMASNo estructuradosEl enunciado contiene la información necesaria y suficientepara resolver el problemaEl enunciado no contiene toda la información necesaria, y serequiere que la persona busque y agregue la informaciónPractica 3.- Plantea 2 problemas estructurados y dos no estructurados
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 21Enunciados de problemas estructurados:1. ¿Una costurera para hacer un vestido necesita 10 hilos de diferentescolores. Cuantos hilos necesita para hacer 15 vestidos?2. ¿Una librería vende 300 cuadernos norma durante el día . Cuanto vendió sirecaudo $600?Enunciados de problemas no estructurados:1. ¿Cómo podemos hacer una coreografía de música tropical?2. ¿cómo hacer un arroz con pollo?Volvamos al último ejemplo de los dos problemas. Ambos enunciados aportaninformación. En el caso del primer enunciado tenemos la siguiente información:Libras de Harina 20 librasQuien hace el pan PanaderoRecaudación toral por venta de panes 400Lo que se evidencia de esta tabla, es que la información que aporta un enunciadode un problema viene expresada en términos de una característica, la cual estáasociada a su respectiva variable. La columna de la izquierda, es la variable y lade la derecha es la característica.En el caso del segundo enunciado, que como vimos es un problema noestructurado, la información se debe buscar o recolectar, porque no vienecompleta en el problema. Sin embargo, podemos identificar variables. No tenemoscaracterísticas.Tipos de necesidad de unacomunidadTipos de participación de lacomunidadTipo de solucionesCuando tratemos de resolver este problema debemos recabar la informaciónfaltante. La variable “tipos de necesidades de una comunidad” pueden tenermuchos valores posibles, por ejemplo, seguridad, vialidad, salud, educación de
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 22adultos, educación de jóvenes, etc. De la misma manera podríamos descomponerlas otras variables de este problema no estructurado.Si hablamos del peso del cuerpo, nos referimos a una variable. Si decimos que lavariable peso puede tomar los valores desde tres hasta cien kilogramos, estamoshablando del rango de posibles valores de la variable peso.Si decimos que María pesa 60kg, nos referimos a la característica de María con lavariable peso del cuerpo. Tenemos pues una variable, una característica y lapersona María. Esta es como la etiqueta que define a que objeto, hecho osituación donde se aplica la variable.VariableEjemplos de posiblesValores de las variablesTipo variableCualitativa cuantitativaTipo de contaminante Gasolina Xvolumen 500 mililitros de agua xhumedad 30°C xpeso 65 kilos xtemperatura 28°C xColor de ojos café xColor de camisa verde xclima cálido xedad 21 años xestatura 1.84 xenfermedad tifoidea xColor de casa blanca xColor de uñas fucsia xLas variables y la información de un problemaLos datos de un problema, cualquiera que este sea, se expresa en términos devariables, de los valores de estas o de características de los objetos o situacionesinvolucradas en el enunciado. Podemos afirmar que los datos siempre provienen devariables. Vale recordad que una variable es una magnitud que puede tomar valorescualitativos o cuantitativos.Practica 4. Completa la siguiente tabla en la cual se pide que des algunos valoresposibles de la izquierda y que identifiques el tipo de variable
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 23En este momento también podemos recordar otra característica de las variableses su aplicación en el proceso de ordenamiento.Las variables cuantitativas permiten establecer las relaciones llamadas de “orden”.Con ellas se construye el ordenamiento natural. Para verificar la posibilidad delordenamiento tenemos la prueba de “mayor que” o “menor que”. Utilizando lasrelaciones de orden podemos construir secuencias progresivas crecientes odecrecientes. Si tenemos una secuencia progresiva creciente, si la característica Arespecto a una variable cuantitativa es mayor que la B, entonces colocamosprimero B y luego A; y si la secuencia es decreciente, entonces colocamos primeroA y luego B. Todas las variables cuantitativas son ordenables.Las variables cualitativas llevan a la formación de clases cada vez que podemosasociar elementos que tengan la misma característica cualitativa o semántica. Sinembargo, podemos establecer convenciones que nos permiten organizarelementos por ordenamiento; este es el caso del orden alfabético, donde se haacordado un orden o secuencia determinada para las letras del alfabeto, ypodemos ordenar palabras de acuerdo a esa convención. Esto determina sudesignación como ordenamiento convencional.1. Una costurera trabaja solamente los días hábiles de la semana y cobre $250 por cada día ¿Cuántos días debe de trabajar la persona para ganar$1250 a la semana?Variable: Valores de la Semana Valores: $1250Variable: N° de días trabajados Valores: 5 días2. Un solar mide 8000m2y se desea en 3 parcelas, cuyas dimensiones seanproporcionales a la relación 3:5Variable: Tamaño del solar Valores: 8000m2Variable: N° de dimensiones Valores: 3 parcelasPráctica 5: En cada una de las siguientes situaciones identifica lasvariables e indica los valores que puede asumir.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 243. Una substancia ocupa un volumen inicial 25cm3,y el mismo aumentaprogresivamente, duplica cada 4 horas. ¿Qué volumen ocupara al cabo de18 horas?Variable: Volumen Inicial Valores: 25cm3Variable: Tiempo Valores: 18 Horas4. Carolina, Juana, Fernanda y Joselyn son cuatro primas. Fernanda es demenor estatura que Carolina, pero más alta que Joselyn. La estatura deJuana excede la de Carolina en 8cm.¿ cuál prima es la de menor estatura?Variable: N° de hermanas Valores: 4 hermanasVariable: estatura Valores: 8 cmCIERRE¿Cuál fue el tema de esta lección?Características de los problemas y variables¿Qué aprendimos en esta lección?A reconocer las variables y plantearlas para dar la solución de un problema.¿Qué es un problema?Es un enunciado en el cual se da cierta información y se plantea una pregunta quedebe ser respondida.¿Cómo podemos clasificar los problemas, tomando en cuenta la informaciónque nos dan? Estructurados No estructurados¿Qué diferencias existen entre los dos tipos de problemas mencionados enclase?En el caso de los estructurados generalmente existe una solución única alproblema con base a la información suministrada y en caso de los noestructurados está sujeta en la búsqueda de la información o solución.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 25¿Qué papel juegan las variables en el análisis y la solución de un problema?Son magnitudes que poseen características que ayudan a resolver el problema.¿Qué utilidad tiene lo aprendido en la lección?Nos permite identificar mejor las características de una situación para darle unarespuesta objetivaLECCIÓN 2: PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMASIntroducción¿Qué estudiamos en la lección anterior?Características de los problemas y variables¿Qué características debe tener un problema?Un enunciado y una interrogante o pregunta¿De qué manera se expresa la información en un problema?En los términos de variables, características encontradas en un enunciado.¿En qué se diferencian un problema estructurado de uno no estructurado?El estructurado su enunciado contiene información necesaria y suficiente pararesolver el problema el no estructurado es de buscar la solución.¿Qué tipos de variables nos encontramos en el enunciado de un problema?Nos encontramos de tipo cualitativa y cuantitativa.Presentación del procesoConsideramos el siguiente ejercicio:Lo primero que debemos hacer es leer todo el enunciado. Nos preguntamos:Ejercicio 1: Carolina necesitaba zapatos y fue a Súper Éxito, para lo cual saco ciertacantidad de dinero del Banco. Vio unos bonitos zapatos y gasto el 50% de lo quellevaba para adquirirlos, luego compro unas sandalias que le costó $100. Si al final lequedaron $300 que gasto para ir al cine con sus amigos. ¿Cuánto dinero saco delBanco?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 26¿Tiene información? SI¿Tiene una interrogante que debemos responder? SIYa que ambas respuestas son afirmativas, podemos concluir que es un problema.¿De qué trata el problema?De cuánto dinero saco del BancoEl segundo pasó para continuar la resolución del problema es preguntándonos:¿Qué datos aporta el enunciado? ¿Cuáles son las variables y características?Variable: cantidad del dinero Inicial característica: DesconocidaVariable: Primera Compara característica: ZapatosVariable: costo de la primera compra característica: 50% del dinero inicialVariable: Segunda compra característica: camisaVariable: Costo de la segunda compra característica: $100Variable: dinero después de las compras característica: $300Variable: Destino del Remanente característica: Pagar el CineMuy bien. Hemos traído todos los datos expresados en el problemaEn tercer lugar debemos analizar las relaciones que podemos plantear y lasoperaciones que podemos realizar. Esto es pensar es una estrategia para resolverel problema. ¿Qué relación podemos establecer entre el costo de los Zapatos y eldinero inicial?La mitad del dinero que teníaA partir de la tercera variable de la lista podemos decir:1.- “Los zapatos le costó la mitad del dinero inicial (50%)o, lo que es o mismo,que el dinero inicial es el doble del costo del pantalón”Otra relación que podemos establecer es:2.-“Después de comprar los zapatos le quedo una cantidad de dinero igual a lamitad del dinero inicial”Una tercera relación a partir de la quinta y sexta variable seria:3. “con el dinero sobrante después de comprar los zapatos se compró unaszapatillas para la playa de $100 y le quedaron $ 300 que gasto en el Cine”
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 27Estas relaciones las podemos visualizar de la siguiente manera:Dinero Inicial =?50% $100 $300Zapatos Sandalias CineEl cuarto paso es usar las relaciones y operaciones planteadas (usar la estrategiade solución que hemos planteado) para resolver el problema. Veamos cómoqueda esto:De la segunda y tercera relaciones podemos sacar que:La mitad del dinero inicial es igual a la suma de $100 y $300 que son $400Luego, con la primera o segunda relaciones podemos plantear la siguienteoperación:La cantidad del dinero inicial es el doble de la cantidad que quedo después decomprar los zapatos, la cual es de $400. Por lo tanto, la cantidad de dinero iniciales de $800El quinto paso es formular la respuesta:La cantidad de dinero que saco del Banco fue $800El sexto, y último paso del procedimiento es verificar si todo está correctoMuy bien. Lo que acabamos de ver es un procedimiento o estrategia que podemosaplicar para resolver cualquier problema. El procedimiento esta listado acontinuación. Verifica si estos fueron los pasos que seguimos en la resolución delproblema anterior.Procedimiento para resolver un problema1. Lee cuidadosamente todo el problema.2. Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.3. Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedasa partir de los datos y de la interrogante del problema.4. Aplica la estrategia de solución del problema5. Formula la respuesta del problema.6. Verifica el proceso y el producto.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 28¿Crees que es importante tener un procedimiento para la solución decualquier problema? ¿Por qué?Sí, porque así llegar de manera ordenada y tener una respuesta correcta.¿Qué beneficio crees tiene aplicar este procedimiento?La de evitar errores o mal interpretaciones al problema.Practica del procesoEs importante recordar que estas prácticas presentan problemas sencillos pararesolver, pero que lo importante es seguir el procedimiento. Si lo seguimos demanera deliberada y en forma sistemática, vamos a alcanzar la automatización delproceso, y por consecuencia, el desarrollo de la habilidad asociada alprocedimiento o estrategia de resolución de problemas.1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema?Compra de materiales educativos2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciadoDATOS:Gasto de la computadora $550Gasto de la impresora $ 250Dinero disponible $ 10003) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución quepueda a partir de los datos y de la interrogante del problema.Sumo lo gastado y luego resto el dinero disponible para saber cuánto mequeda para comprar los materiales educativos4) Aplica la estrategia de solución del problema.550 + 250= 800 1000- 800= $200Práctica 1:.Ariana Gasto $550 en una computadora y $250 en unaimpresora. Si tenía disponible $1000 para gatos de materiales educativos¿cuánto dinero le queda el resto de los materiales educativos?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 295) Formula la respuesta del problema.R= El dinero sobrante para comprar el resto de gastas educativos es de $2006) ¿Cuál es el paso final en todos los procedimientos? Verificar elprocedimiento y el producto. ¿seguiste todos los pasos en el orden delprocedimiento? ¿verificaste si los datos eran los correctos o que noconfundiste o intercambiaste algún número?7) ¿las operaciones matemáticas están correctas?Sia) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema?Compra de revistasb) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.DATOS:Compra 30 revistasValor de C/U $80Descuento 10%c) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución quepueda a partir de los datos y de la interrogante del problema.Multiplicamos las 30 revistas por $80, el resultado obtenido lo multiplicamosPor el 20%luego el resultado obtenido le restamos el descuento y Paraobtener el valor de cada libro lo dividimos para 30d) Aplica la estrategia de solución del problema.30*80= 2400 – 240= 21602400*10%= 240 Descuento2160/30=70 Valor de cada RevistaPráctica 2: Erick compro 30 revistas y pago $80 por cada uno. La imprenta le hizouna rebaja del 10% sobre el precio de la lista de cada revista. Se pregunta:¿Cuánto es el precio de la lista?¿Cuánto pago Erick por las 30 revistas?¿Cuánto gana el vendedor si logra colocar todos libros al precio de lista?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 30Reparticion de Herencia1er trim.2º trim.3er trim.4º trim.e) Formula la respuesta del problema.R= El precio de la lista es de 2400R= Erick paga por los libros $ 2160R= El vendedor gana $240f) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificarel resultado?Si revisamos el ejemplo y en caso de algún error corregirlo1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema?Repartición de Herencia2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.DATOS:Herencia $ 600.000Madre $ 300.0003 hijos y madre $750003) Plantea las relaciones operaciones y estrategias de solución que puedas a partirde los datos y de la interrogativa del problema.Primero dividimos la herencia para dos y la mitad es de la madre y la otramitad sobrante la dividimos para cuatro y el valor obtenido le corresponde alos hijos y a la madre. A la madre le sumamos la mitad más los $ 75000¿Podrías representar el reparto del dinero de la herencia en el graficoque se da ala derecha?Práctica 3: Fernanda, Narcisa, Y Juan son hijos de Maribel y Pedro. Pedro al morirdeja una herencia que alcanza a $600 mil, la cual debe repartirse de acuerdo, a susdeseos como sigue: el dinero se divide en dos partes, media para la madre y el restopara repartirse en partes iguales entre los tres hijos y la madre.¿ Qué cantidad dedinero recibirá cada persona?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 314) Aplica la estrategia de solución del problema.Herencia: 600.000 /2= 300.000 Madre300.000 /4= 75000 tres hijos y la madreMadre:300.000 + 75000 = 375000Hijos:75000 para cada uno5) Formula las respuestas del problema.R= A la madre le corresponde $375000R= A cada hijo le corresponde $ 750006) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificarel resultado?Verificar si seguimos de manera organizada el procedimientoCierre¿Qué aprendimos en esta lección?El procedimiento para resolver problemas¿Cuál es el objetivo que se persigue al resolver un problema?Conseguir un resultado más eficaz para evitar comerte erroresReflexiónEn esta lección aprendimos que la solución de los problemas debe hacerse siguiendoun procedimiento, sin importar el tipo o naturaleza del problema. Ahora, la clave pararesolver el problema está en el paso tres donde debemos plantear relaciones,operaciones y estrategias para tratar de responder lo que se nos pregunta.En las próximas unidades vamos a conocer varios tipos de problema, y vamos apracticar ese planteamiento de relaciones, operaciones y estrategias para cada tipode problemas.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 32¿Cuáles son los pasos del procedimiento para resolver un problema?1. Leer cuidadosamente todo el problema2. Leer por parte el problema y sacar todos los datos del enunciado3. Plantear las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas apartir de los datos y de la interrogante del problema.4. Aplicar la estrategia de solución del problema5. Formular la respuesta del problema6. Verificar el proceso y el producto.¿Crees que son importantes todos los pasos? ¿Por qué?Son importantes ya que si no seguimos estos pasos no obtendremos la respuestacorrecta¿Qué crees que pueda ocurrir si olvidamos u omitimos algún paso delprocedimiento?Podríamos tener errores y la respuesta no va a ser la correcta¿Cómo será más fácil resolver un problema, comenzando a escribir fórmulasde manera entusiasta o siguiendo el procedimiento? ¿Por qué?Siguiendo el proceso para resolver problemas ya que en cada uno de los pasos sedetalla cada parte para resolverlo de la forma correcta
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 33UNIDAD II: PROBLEMAS DERELACIONES CON UNA VARIABLEJUSTIFICACION:En esta unidad, como su nombre lo indica, se presentan problemas acerca derelaciones entre variables o característica cas de objetos o situaciones. Dichasrelaciones están ´presentes en los enunciados de los problemas y pueden ser dediferentes tipos; la naturaleza de la relación determina la estrategia particular aseguir para lograr la solución del problemaUna relación es un nexo entre dos o más características correspondientes a lamisma variable. En el enunciado del problema se dan los valores de las variablesque correspondan y se presentan los nexos entre estas; de análisis de estosnexos surge el tipo de relación y de este la estrategia particular de representacióna utilizar para comprender el problema, lograr la imagen mental, y en muchoscasos, obtener la solución.Las variables, sus valores y sus relaciones conforman los datos de los problemas.Un dato puede ser una variable, un valor de una variable o una relación entre dosvariables o entre sus valores.A pesar de que el enunciado de un problema siempre presenta relaciones entrensus datos, que como sabemos provienen de las variables, existen ciertos tipos denexos que determinan clases especiales de problemas los cuales puedenagruparse y resolverse mediante estrategias particulares. De lo dicho sedesprende que esta unidad, además de lograr que los jóvenes centren su atenciónen la identificación y el análisis de las relaciones entre variables y característicaspresentes en el enunciado de un problema, logra identificar estos tipos especialesde relaciones y de estrategias particulares.En la unidad se presentan relaciones especiales de diferentes tipos: intercambio,parte – todo, causa-efecto, orden, pertenencia, equivalencia, familiares, etc.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 34OBJETIVOS:A través de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de :1. Centrar su atención en el enunciado del problema y en las relaciones entresus datos2. Identificar el tipo de relación presente en el enunciado del problema y enlas relaciones entre sus datos3. Analizar los diferentes tipos de relaciones presentes en el enunciado de unproblema y determinar la estrategia más apropiada para enfocar susolución de acuerdo al tipo de relación4. Establecer relaciones entre las variables, sus valores y los datos de losproblemas5. Valorar la utilidad del uso de estrategias en la solución de problemas
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 35Ejercicio: 1 con una balanza de 2 platillos y solo 3 pesas de 1.3.9 kilosrespectivamente, podre pesar objetos cuyos pesos sean cantidadesexactamente 1 kilo hasta 13 kilos. Se trata de identificar Lapesa o grupo depesas de las disponibles que podría colocarse en uno o los platillos paralograr un determinado equilibrio colocando el objeto en el platillo B. sepueden combinar las pesas como se desee ¿ cómo se combinarían laspesas para colocarlas todas o algunas de ellas en ambos platillos para pesar.5.7.10 y 11 kilos?Lección 3: PROBLEMAS DE RELACIONES DE PARTE- TODO Y FAMILIARESIntroducción:¿Sobre qué se trató la unidad anterior?Procedimientos para la solución de problemas¿Qué características debe tener un problema?Un enunciado, información y una interrogante¿Qué debe hacer una persona para resolver un problema?Analizarlo¿En qué se diferencian un problema estructurado de uno no estructurado?El estructurado es aquel que el enunciado contiene información necesaria ysuficiente para resolver ver el problema y el no estructurado el enunciado nocontiene toda la información necesaria¿Qué tipos de variables nos encontramos en el enunciado de un problema?Cualitativa y cuantitativaPresentación y práctica del proceso:La lección anterior nos enseñó que debemos seguir una estrategia para resolverlos problemas ejecutando los pasos de ese procedimiento garantizamos: primerouna comprensión profunda del problema; segundo generamos las ideas ybuscamos las relaciones, operaciones y estrategias particulares para resolver laincógnita que se nos plantea en el problema; y tercero, la corrección de eventualeserrores mediante la verificación del procedimiento y del producto del proceso.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 361. Lee todo el enunciado ¿de qué trata el problema?De una Balanza de dos platillos que se sirve para pesar hasta 13kg usandosolamente de las tres pesas de 1.3 y 9kg2. ¿Cuál es la incógnita del problema?Determinar La pesa o grupo de pesas que deben colocarse en el platillo ALa incógnita es determinar la pesa o grupos de pesas que deben colocarse enel platillo A o en ambos platillos para equilibrar la balanza3. ¿Qué relaciones o estrategias puedo derivar del enunciado delproblema?Primera, que tenemos una balanza de platillo que se equilibra cuandoambos platillos tienen el mismo pesoSegunda, que cuento con 4pesas con los valores 1, 3,9KGTercera, que el objeto se coloca en el platillo BCuarta, que tengo total libertad de colocar una o varias pesas en uno u otroplatillo para lograr el equilibrio con el objetoY quinta, que el peso del objeto puede calcularse conociendo el peso totaldel platillo para lograre el equilibrio con el objeto4. ¿cómo podemos pesar?Si colocamos en el platillo B objetos de 1KG, 3KG,9KG podemos equilibrarlocolocando en el platillo A la pesa correspondiente al peso del objeto.Si colocamos un objeto de 4KG en el platillo ¿cómo podemos equilibrarlo?No podemos hacerlo con una sola pesa, pero si podemos hacerlo colocandoen el platillo A las pesas de 1KG, 3KG juntas. De esta manera podemos pesarobjetos cuyo peso sea igual a la suma de los pesos de dos pesas. De estamanera podemos pesar objetos de 4KG, 10KG Y 12KGY 13kgy si colocamos las tres pesas en el mismo platillo podemos equilibrar objetosde 13kgYa hemos completado formas de pesar objetos de 1, 3, 4, 9, 10,12¿Pero cómo podemos hacer para pesar un objeto de 2KG?Ahora recordamos la estragia que nos dice que tenemos total libertad paracolocar las pesas, si el objeto pesa 2KG ,puedo equilibrar la balanzacolocando el objeto y La pesa 1KG en el platillo B y la pesa de 3KG en elplatillo A porque la suma de los pesos de ambos platillos será igual.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 37Colocando el objeto y La pesa de 1KG en el platillo B podemos pesar 2KG Y8KG Colocando en el platillo A las pesas de 3KG Y 9KG y si colocamos elobjeto y la pesa de 3KG en el platillo B y la pesa de 9KG en el platillo APodemos pesar 6KGNos falta averiguar ¿cómo podemos pesar objetos de 5KG, 7KG, Y11KG?En el último caso acompañamos el objeto con una presa, y podíamos pesarobjetos cuyo peso estaba por debajo del peso que teníamos en el platillo A.esto lo podemos ampliar con otros pesos en el platillo A si colocamos en el dospesas. Así, colocando en A las pesas de 9 kg y 3kg, y en B el objeto y Lapesade 1kg, podemos pesar un objeto de 11kg; y colocando en A las pesas de 9kgy 1kg, y en B, el objeto y la pesa de 3kg, podemos pesar un objeto de 7kg.Ahora nos falta solamente como pesar 5kg. Dándonos cuenta que 9 kg esigual a 5kg + 4kg, entonces podemos pesar un objeto de 5kg poniéndolo en elplatillo B con las pesas de 3kg y 1kg, que pesan combinadas los 4kg, y elplatillo A la pesa de 9kg.De esta manera podemos resumir todas las alternativas de pesado en unatabla indicando que muestre los kilogramos que se desean pesar, el contenidodel platillo A y el contenido del platillo BCantidad de KG a pesar Platillo B Platillo A1 Objeto pesa 1KG2 Objeto + pesa 1KG pesa 3KG3 Objeto pesa 3KG4 Objeto pesa 3kg y 1KG5 Objeto + pesa 3kg y 1kg pesa 9KG6 Objeto+ pesa 3KG pesa 9KG7 Objeto+ pesa 3KG pesa 9KG + 1kg8 Objeto+ pesa 1KG pesa 9KG9 Objeto pesa 9KG10 Objeto pesa 9KG + 1kg11 Objeto+ pesa 1KG pesa 9KG + 3kg12 Objeto pesa 9KG + 3kg13 Objeto pesa 9KG, 3kg y 1kg5) para formular la respuesta a la interrogante de cómo se combinan las pesaspara pesar 2, 57,10 y 11 kg, solamente tenemos que identificar en la anterior ladistribución de pesas en cada uno de los platillos. Por ejemplo, para pesar un
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 38objeto de 2kg. Lo colocamos en el platillo B junto con la pesa de 1kg, y en platilloA colocamos la pesa de 3kg. De la misma manera procedemos para las demáscantidades.6) por ultimo verificamos cada paso y los resultados de las operacionesDe esta manera terminamos la solución formal del ejemplo 1 que planteamos alinicio de esta clase. Seguimos paso a paso el procedimiento que aprendimos en lalección 2. En este caso las relaciones que planteamos utilizaban el principio que elequilibrio de la balanza se alcanza cuando el peso total del platillo A es igual alpeso total del platillo B, y que esos pesos totales resultan de la suma de todos lospesos que hay en cada platillo.¿Qué hacemos en primer lugar?Leer, analizar e identificar el problema¿Qué datos se dan?El precio de venta de la bicicleta¿De qué variable estamos hablando?La suma del valor inicial¿Que se dice acerca del precio de venta del objeto?Resulta de la suma de su valor inicial una ganancia igual a la mitad de su valor yunos gastos de manejo del 30%Practica 1: El precio de venta de una bicicleta es de $150. Este precio resultasumar su valor inicial, una ganancia igual a la mitad de su valor y unos gastos demanejo de 30% de su valor ¿cuánto es el valor inicial de la bicicleta?Problemas sobre relaciones parte- todoEn este tipo de problemas unimos un conjunto e partes conocidas para formardiferentes cantidades y para generar ciertos equilibrios entre las partes. Son problemasdonde se relacionan partes para formar una totalidad deseada, por esos se denominan“problemas sobre relaciones parte- todo “
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 39¿Que se pide?El precio del valor inicial del objetoRepresentación del enunciado del problema:X+X/2+0.30x=150 2x+x+0.60x=6003.6x=600X=166.67¿Que se extrae de este diagrama?La ganancia al valor inicial y al gasto de manejo¿Que se concluye?Valor del objeto es $166.67¿Cuánto es el valor del objeto?Valor del objeto: 166.67Ganancia 50.0030% 50.00¿Cómo se describe la iguana? Tronco CabezaDe describe en tres secciones: cabeza,tronco, extremidades¿Qué datos da el enunciado delproblema?Que la cabeza mide 5 centímetros¿Qué significa que la cola mide tantocomo la cabeza más la mitad delcuerpo?Que mide 5 centímetros más que la mitad del tronco colaPractica 2: La medida de las tres secciones de una iguana - cabeza trono ycola- son las siguientes: la cabeza mide 5 centímetros, la cola mide tanto comola cabeza más la mitad del tronco, y el tronco mide la suma de las medidas de lacabeza y en la cola ¿cuantos centímetros mide en total la lagartija?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 40Escribe esto en palabras y símbolos:Medida de la cola= medida de la cabeza + la mitad del cuerpoMedida de la cola= 5cm + la mitad del cuerpo¿Y que se dice del cuerpo?Es la suma de la cabeza y de la colaVamos a escribir o a representar estos datos en palabras y símbolos:Medida del tronco= medida de la cabeza + medida de la colaMedida del tronco= 5cm + medida de la colaSi colocamos lo que mide la cola obtenemos:Medida del tronco= 5cm +5cm + mitad de la medida del cuerpoMedida del tronco= 10cm + mitad de la medida del cuerpoEsto lo podemos representar en un esquema para visualizar las relaciones:Medidas del troncoMedidas del medio tronco 10cm¿Que observamos en el esquema? ¿Cuánto mide el tronco en total?10cm + 10 cm= 20cmEntonces, ¿cuánto mide en total la lagartija? Para contestar esto completa elesquema que sigueCola Tronco Cabeza5cm +10cm 5cm+5cm+10cm 5cm15cm 20cm 5cm
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 41¿Qué estrategias utilizamos para comprender y resolver el problema?Identificamos en el dibujo las partes de la lagartija y las medidasrespectivasRepresentamos las cantidades en el esquemaVeamos otro problema de relación entre las partes y el todo¿Qué debemos hacer para resolver el problema?Comprender el problema, generar ideas y buscar relaciones, verificarprocedimiento¿Qué se pregunta?La masa corporal del hombre¿Qué observas en los datos? ¿Cuál es el todo y cuáles son las partes?El todo es 150 kilos¿Cómo podemos representar los datos?Juan: 80 100% +50%+25%+12.5%=187.50%Niña: 40 187.50% 150kgGata: 20 100% xAccesorios: 10 100% * 150kg 80kgTotal 150 187.50 %Ecuación:X+2x+3x+4x= 15010x= 150X= 10Practica 3: Juan lleva sobre sus hombros una niña que pesa la mitad que él; laniña, al mismo tiempo, lleva un gato que pesa la mitad que ella; y la gatita llevaaccesorios que pesan la mitad que ella. Si Juan con su carga pesa 150 kilos,¿cuánto pesa Juan sin carga alguna?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 42¿Cómo lo expresamos en palabras?La relación que existe entre el peso del hombre es de 0.53¿Qué relación existe entre el peso del hombre y la totalidad de la carga?80/150=0.53¿Cómo calculamos el peso del hombre?100% +50%+25%+12.5%=187.50%187.50% 150kg100% x100% * 150kg 80kg187.50 %¿Cuánto pesa el hombre?0.53 kilos¿Qué debemos hacer una vez que conocemos el resultado?Verificar el ejemplo y volverlo a revisar‘PROBLEMAS SOBRE RELACIONES FAMILIARESEn esta parte de la lección se presenta un tipo particular de relación referido anexos de parentesco entre los diferentes componentes de la familia.Las relaciones familiares, por sus diferentes niveles, constituyen un medio útilpara desarrollar habilidades de pensamiento de alto nivel de abstracción y es estala razón por la cual se incluye un tema en la lección que nos ocupaPractica 4: que parentesco tiene conmigo; si su madre fue la única hija de mimadre
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 43¿Que se plantea en el problema?Relación entre la madre y la hija¿Qué personajes figuran en el problema?Madre e hija¿Qué relaciones podemos establecer entre estos personajes?Que son familiaCompleta las relaciones en la representación:¿Que se observa en el diagrama con respecto a María y el señor del retrato?¿Qué tienen en común?Que son tío-sobrino¿Qué relación existe entonces entre ambas personas?Son familia (tío-sobrina)Respuesta del problemaEl parentesco que tiene es que es tía-sobrina¿Que hicimos en este ejercicio?Usamos relaciones entre todas las personas¿Qué tipo de estrategia utilizamos?Problema sobre relaciones familiares
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 44¿Qué se plantea en el problema?La relación que existe entre Hernán y Emma¿A qué personajes se refiere el problema?Hernán, Manuel, EmmaRepresentación:Respuesta:R= que parentesco que tienen es que son Hermanos¿Qué se plantea en el problema?La relación entre la hermana y el padrePregunta:Representación:Practica 5: Hernán es cuñado de Manuel, Manuel es cuñado de Emma y Emmaes la hermana de la esposa de Manuel. Que parentesco hay entre Hernán yEmma?Practica 6: El hijo de la hermana de mi padre es:
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 45Respuesta:R= Es mi PrimoCierre:¿Qué clases de problemas estudiamos en esta lección?Problemas de relaciones familiares, parte todo¿Qué diferencias existen entre los diferentes problemas?Los parentescos¿Que hicimos para resolver los problemas de este tipo?Hacemos diagramas, dibujos y de ahí resolvemos¿Cuál fue la variable en este caso?Tipo de relación o parentesco (Familia)¿Qué estrategia seguimos para resolver estos problemas?Relaciones por partes, para ver los nexos familiares¿Crees que la estrategia estudiada tiene utilidad? ¿Por qué?Si porque podemos ver la relación que hay entre familiasLECCIÓN 4: PROBLEMAS SOBRE RELACIONES DE ORDENINTRODUCCION:¿Sobre qué trato la lección anterior?Problema de relaciones de parto-todo y familiares¿Qué características tiene un problema con relaciones parte- todo?Que se puede formar diferentes cantidades y generar equilibrio¿Qué debe hacer una persona para resolver un problema de relación departe- todo?Comprender el problema, generar ideas y buscar relaciones verificarprocedimientos
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 46¿En qué se diferencian un problema parte- todo de uno de relacionesfamiliares?En el problema parte todo se relacionan partes para formar una totalidad deseaday relaciones familiares presenta un tipo particular referido a nexos de parentesco¿Qué tipos de variables nos encontramos en el enunciado de estosproblemas?Cualitativa y cuantitativaPresentación del proceso:Vamos a iniciar el trabajo de esta lección con un ejercicio¿Qué debemos hacer en primer lugar?Leer todo el problema¿A qué aspectos o variables se refiere el problema?Estatura¿Qué tipo de variable es?Cuantitativa¿En qué forma se expresa la información relativa a las estaturas?Relaciones de ordenMuy bien. Seguramente identificaste que el enunciado se refiere a la variableestatura de ciertas personas que es una variable cuantitativa y que la informaciónesta expresada en términos de relaciones de orden (… más o menos alto que…)¿qué hacemos luego?Podemos aplicar una estrategia de representación que nos va a facilitar lacomprensión y la solución del problemaLa representación puede hacerse de la siguiente manera: se traza una línea o ejevertical, se fija sobre esta línea u punto de referencia u origen a partir del cual seEjercicio 1: José es más bajo que Patricio, pero más alto que Manuel. Manuel ala vez es más bajo que José, pero más alto que Rodrigo. ¿ Quién es más alto yquien le sigue en estatura?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 47representan los valores de la variable; se coloca un flecha sobre la línea verticalpara indicar el sentido creciente de la variable cuyo nombre se escribe al lado dela punta de la fleca. Esto quiere decir que más cerca de la flecha(arriba) es demayor estatura, y más lejos de la punta de la flecha es de menos estatura ( abajo)Luego leemos el problema parte por parte y vamos aplicando la estrategia, esto esvamos representando los datos. Podemos utilizar las iniciales de los nombres delas personas para hacer la representación.¿Cuál es la primera relación que encontramos en el problema?“José es más bajo que Patricio pero más alto que Manuel”Podemos ubicar José en algún punto de la línea o eje, lo cual significa que él tieneuna estatura.Luego, como José es más bajo que Patricio eso quiere decir que Patricio debeestar ubicado por arriba de donde ubicamos a José. Eso podemos leerlo José esmás bajo que Patricio, o Patricio es más alto que José. Y luego, como José esmás alto que Manuel, este debe estar ubicado debajo de la posición dondeubicamos a José.Hasta ahora hemos logrado diseñar una estrategia que nos permite representar lainformación que nos da el problema en un gráfico, esto es, pasamos de relacionesde orden a una representación gráfica.¿Cuál es la próxima relación que nos da el problema?“Manuel a la vez es más bajo que José, pero más alto que Rodrigo”La relación dice que Manuel es más bajo que José. Eso ya lo tenemosrepresentando en el gráfico. Sigue la relación indicando que Manuel es alto queRodrigo. Eso significa que debemos ubicar a Rodrigo de forma tal que la ubicaciónde Manuel este por encima, es decir más arriba que la de Rodrigo. Para esto solotenemos que ubicarlo en la parte inferior de la línea o eje, tal como se indica en elgráfico de la derecha. Ya hemos agotado las relaciones que nos dan información.El grafico de la derecha contiene toda la información que suministra el enunciadodel problema.Ahora que hemos completado el grafico. ¿Podemos contestar quien es el más altoy quien le sigue en estatura? sí. Inspeccionando el grafico vemos que el de mayorestatura (persona más alta) es el que está más arriba, es decir, Patricio, y le sigueen estatura José.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 48El último paso es la verificación. Esta estrategia de representación gráfica facilitala verificación de las relaciones que están planteadas en el enunciado delproblema, y de la inspección para determinar el resultado.Hemos seguido los seis pasos del procedimiento para resolver problemas con unaestrategia de la representación de relaciones de orden basadas en variablescuantitativas. A estas estrategias de resolución de problemas la llamamosrepresentación de una dimensión.Estatura Estatura EstaturaPatricio PatricioJosé JoséManuel ManuelRodrigo¿Qué utilidad tiene esta estrategia?Permite representar datos correspondientes a una sola variable o aspecto¿Qué papel juega la variable en estos problemas?Es un papel fundamental ya que de acuerdo a esta se hace la representación¿En qué casos se puede usar esta estrategia?Para ordenar de forma correcta la estaturaRepresentación de una dimensiónLa estrategia utilizada se denomina “Representación en una dimensión” y comoustedes observaron permite representar datos correspondientes a una solavariable o aspecto.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 49Variable: Trayecto a su casaPregunta: ¿Quién vive más lejos y quien vive más cerca?Representación:Trayecto a la casaPablo Kimberly Carolina JuanRespuesta:R= Juan vive más lejos y Pablo vive más cercaVariable DineroPregunta: ¿Quién es el más rico y quien posee menos dinero?Practica 1: en el trayecto que recorre Juan, Carolina, Kimberly y Pablo a sucasa, Juan camina más que Carolina. Kimberly caminas más que Pablo, peromenos que Carolina. ¿Quién vive más lejos y quien vive más cerca?ReflexiónLos problemas de esta lección involucran relaciones de orden. Dichos problemas serefieren a una sola variable o aspecto, el cual generalmente toma valores relativos,o sea que se refieren a comparaciones y relaciones con otros valores de la mismavariable; por ejemplo cuando decimos “Juan es más alto que Antonio” nosestaremos refiriendo a la variable o aspecto estatura y estamos dando la estaturade Juan, pero con relación a la estatura de Antonio; no sabemos cuánto mide Juanni cuanto mide AntonioPractica 2: Fernanda tiene más dinero que Narcisa pero menos que Pedro.Pablo es más rico que Fernanda y menos que Pedro. ¿Quién es el más rico yquien posee menos dinero?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 50Representación:DineroNarcisa Fernanda Pablo PedroRespuesta:R= el más rico es Pedro y el que posee menos dinero es Narcisa¿Qué debemos hacer en primer lugar?Leer el problema¿ a qué variable se refiere el problema?La edad de varias personas¿Qué debemos hacer a continuación?Como la edad en una variable cuantitativa y el problema está expresado enrelaciones de orden, podemos usar la estrategia de representación en unadimensión. Dibujemos el eje para la variable edadEdadLa primera relación de orden establece que “Ramírez y Peña son más jóvenesque Sandoval”. Colocamos a Sandoval. Sion embargo, no podemos ubicar aRamírez y Peña. Solo sabemos que son más jóvenes, es decir, que estánubicados a la izquierda de SandovalSandoval edadRamírez y PeñaEjercicio 2: Ramírez y peña son más jóvenes que Sandoval. Gutiérrez es menorque Peña, pero mayo que Ramírez. ¿Quién es el más joven y quien le sigue deedad
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 51En este momento solo anotamos la información concreta que tenemos, ypostergamos la información que no podemos ubicar hasta que encontremosalguna otra información que nos ayude a ubicarlaLuego leemos la próxima relación:” Gutiérrez es menor que Peña pero mayor queRamírez”. Esto nos permite ordenar estas tres personas. De menor a mayor ellasestán ubicadas en el orden siguiente: Ramírez, Gutiérrez y PeñaRamírez Gutiérrez PeñaPero ¿dónde ubicamos este trio? Para responder esta pregunta debemosrecordad la información que postergarnos en el paso anterior. Ramírez y peña sonmenores que SandovalAsí que los tres deben ubicarse a la izquierda de SandovalSandoval EdadRamírez Gutiérrez PeñaMuy bien. Ya henos vaciado toda la información del enunciado en larepresentación gráfica de anterior. Por inspección podemos incluir la respuesta ala pregunta:“Ramírez es el más joven y le sigue en edad Gutiérrez”En el ejercicio anterior el problema se plantea con relaciones de orden convariables de valores relativos como en el casa anterior; la única diferencia entreeste ejercicio y las practicas anteriores está en los enunciados, los cualespresentan ciertas investigaciones en la forma de presentar los datos.Estrategia de postergaciónEsta estrategia adicional llamada de “Postergación” consiste en dejar para más tardeaquellos datos que parezcan, hasta tanto se presente otro dato que complemente lainformación y nos permita procesarlo
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 52Variable: IdiomasRepresentaciónIdiomasRuso alemán Italiano FrancésRespuesta:R= Para Stephanie el idiomas menos difícil es Ruso y el más difícil FrancésVariable:Variable: año de nacimientoPregunta: ¿Quién es el más joven y quien es el más viejoRepresentación:Practica 4: Estefanía está estudiando idiomas y considera que el alemán esmás difícil que el ruso. Piensa además que el francés es más fácil que el Italiano yque el Ruso es más difícil que el italiano. ¿Cuál es el idioma que es menos difícilpara Stephanie y cual considera más difícil?Casos especiales de la representación en una dimensiónFinalmente, hay un último elemento, relacionado con el lenguaje, el cual puede hacerparecer confuso un problema debido al uso cotidiano de ciertos vocablos o a laredacción del mismo. E este caso se hace necesario prestar atención especial a lavariable, a los signos de puntuación y al uso de ciertos de ciertas palabras presentes enel enunciadoPractica 7: Juan nació 2 años después de Carlos. Pedro es 3 años mayor que JuanJoel es 6 años menor que Pedro. Alberto nació 5 meses después que Joel. ¿Quién es elmás joven y quien es el más viejo?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 53(+ años)Alberto Joel Juan PedroRespuesta:R= el más joven es Alberto y el más Viejo es Pedro¿Cuáles fueron las dificultades en el enunciado de esta práctica?Una confusión que va después del mayor¿Qué diferencias hay si resolvemos la práctica usando como variable la“edad” o el “año” de nacimiento?NingunaPrecisiones acerca de las tablasEn este tipo de problemas existe una variable sobre la cual se centra el mismo. Essiempre una variable cuantitativa que sirve para plantear las relaciones de orden quevinculan dos personas. Objetos o situaciones de los incluidos en el problema. Porejemplo, en el ejercicio 1 de esta lección la variable era estatura y José, patricioManuel, y Rodrigo eran los sujetos incluidos en el problema. José, Patricio Manuel, yRodrigo son valores de otra variable llamada “nombre”. La variable estatura depende decual valor del variable nombre he seleccionado. Por tal razón llamaos a la variableestatura variable dependiente. Y por complemento, al variable nombre la llamamosvariable independiente.Es cierto sentido la variable nombre queda fija al seleccionar los personajes delproblema en cambio, la variable estatura depende de cual joven estamos considerandoLa pregunta o incógnita del problema se formula alrededor de la variable dependiente,por ejemplo, en este caso la pregunta es “¿quién es el más alto? La cual se refieredirectamente a la variable estatura
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 54Cierre:¿Que hicimos en esta lección?Problemas sobre relaciones de orden¿Por qué se llama representación en una dimensión?Porque requiere una sola variable cuantitativa para establecer el orden¿Y cómo son las variables en este tipo de problemas?Cuantitativa¿Qué utilidad tiene la estrategia estudiada?Es muy útil cuando se requiere establecer una relación de orden¿Cómo reconocerías los proble3mas que se resuelven aplicando laestrategia “Representación en una dimensión”?Cuando se menciona una relación de orden a través de una variable cuantitativa¿Qué le enseñarías a una persona que se resuelve problemas en forma noplanificada?Que aplique una forma estructurada para que en el procedimiento puedaresolver los problemas¿Cuáles encargos le harías a una persona para que minimice sus errores alresolver problemas?Que lea de forma comprensiva, identifique los datos y las variables queestablezcan relaciones, operaciones y estrategias que pueda aplicar para resolverproblemas
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 55UNIDAD III: PROBLEMAS DE RELACIONESCON DOS VARIABLESJUSTIFICACION:Es la presente lección se plantean problemas que involucran relacionessimultáneamente entre dos variables y se pide una respuesta que corresponde auna tercera variable que resulta de las relaciones previamente mencionadas. Eneste tipo de problemas la estrategia más apropiada para obtener las soluciones esla construcción de tablas.De las tres variables que se dan, dos son cualitativos y permiten construir loa tablay la tercera puede ser cualitativa, cuantitativa, o lógica, según el tipo de respuestasque se pide encontrar y los datos dados en el problema. Esta tercera variablesiempre está incluida en la pregunta del problema y se utiliza para llenar las celdaso los cuadros de la tabla.Las lecciones de esta unidad se refieren a los tres tipos de problemas antesmencionados relaciones numéricas, relaciones lógicas entre dos o más variablesy relaciones entre conceptos. El primer tipo de problema se resuelve mediante laconstrucción de tablas numéricas; el segundo tipo de problema se apoya en lastablas lógicas y el tercer tipo se trabaja con tablas semánticas o conceptuales; enprimer tipo de tablas se registran en las celdas cantidades o nu8meros, en elsegundo tipo relaciones lógicas y en el tercero conceptos.Las tablas son instrumentos muy útiles para resolver problemas pues permitenorganizar la información. Visualizar el problema y constituyen una especie dememoria externa que nos ayuda a mantener el record de algunos elementos deinformación que a veces deben de postergarse para relacionarse con datos que sedan posteriormente o que se infieren durante el proceso de resolución de losproblemasOBJETIVOS:A través de la unidad que los alumnos sea capaces de:1. reconocer los tres tipos de problemas que se estudian en la lección y lasestrategias más apropiadas para resolverlos2. aplicar apropiadamente las estrategias para resolver problemas mediantetablas numéricas, lógicas, y conceptuales3. resolver problemas que involucren dos o más variables simultáneamente
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 56LECCIÓN 5: PROBLEMAS DE TABLAS NUMERICASINTRODUCCION:¿Sobre qué trato la unidad anterior?Problemas sobre relaciones de orden¿Qué tipos de relaciones se usaban en los problemas de la unidad anterior’Relaciones de orden¿Qué tiene en común todos los tipos de estrategias que vimos en la unidadanterior?Que tiene 1 sola variable¿Cómo eran los diagramas en los problemas de relaciones parte-todo yrelaciones familiares?Se refieren en los parentescos entre los diferentes componentes familiares¿En qué consiste la estrategia de representación en una dimensión?Permite representar datos correspondientes a una sola variable o aspecto¿Cómo eran los diagramas en los problemas de relaciones de orden?Era una sola variable o aspecto¿En qué consiste la estrategia de postergación en la solución de unproblema?En dejar para más tarde aquellos datos que parezcan incompletosPresentación del proceso:En esta lección continuamos el estudio de estrategias para la solución deproblemas. Veamos a continuación otro ejemplo de problemaEjemplo1: Rita, Elsa y pedro tienen un club para compartir discos demúsica y películas. Entre los tres tienen 20 objetos, e los cuales 14 sondiscos de música y 6 películas. Rita tiene 3 discos de música y Elsa tieneel mismo número de películas. Elsa tiene en total tres objetos más queRita. ¿Cuantos objetos tipo discos de música tiene Elsa, y cuantosobjetos tipo películas tiene pedro si Rita tiene 5 objetos en total?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 57Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante, por lotanto. Estamos ante un problema. Inmediatamente podemos observar dos cosas:primero, que la información no está suministrada en términos de relaciones deorden; y segundo que la variable central es número de objetos y requiero de doscalificativos para poder precisarlo, es tipo de objeto y la persona a la cualpertenecen los objetos.De lo expuesto anteriormente podemos concluir que la estrategia “representaciónen una dimensión” no nos sirve .la razón principal es que la variable cuantitativadepende de dos variables. Po ejemplo, el primer 3 son objetos de Rita y son deltipo disco de música. Para resolver esto podríamos pensar en una cuadriculadonde por un lado ponemos el dueño y por otro lado podemos el tipo de objeto, yen el centro en número de objetos. Veamos lo que queremos decir.En cada cuadro sombreado puedo colocar el número del objeto, del tipo a quecorresponde y de la persona a que pertenece. Sin embargo, en el problemahablan de un total de discos de música o del total de objetos de una de laspersonas. Para representar esto podríamos añadir otra línea vertical de cuadrosque llamamos “columnas” y otra línea de cuadros horizontales que llamamos“Filas” las cuales sirviera para colocar los totales. En el caso de las columnas, la elrecuadro o celda inferior correspondería al total de objetos de la persona queencabeza la columna, y en el caso e las filas, las celdas del lado derechocorrespondería al total de objetos del tipo de objeto indicando en el lado izquierdo.La celda ene l extremo inferior d derecho es como un total de totales simplementeel número tota de objetos sin distingos de tipo o dueño. El nuevo ecuador quedaríacomo sigueTipo deobjetoNombre RITA ELSA PEDRODiscos demúsica3PelículasObjeto Nombre RITA ELSA PEDRO TOTALDiscos demúsicaPelículasTOTAL
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 58Ahora leemos parte, por parte y vaciamos la información del problema ene lcuadro que tenemos preparadoTodas las informaciones pueden asentarse en el cuadro. Solamente la últimainformación die que “Elsa tiene en total tres objetos que Rita”, como no sabemosel total de objetos de Rita, ponemos una X para recordar la información. Esto noes más que una aplicación la estrategia de postergación que habíamos estudiadoen la unidad anterior a este tipo de problemas.Cuando leemos la pregunta nos informa que la solución que buscamos es para elcaso que Rita tenga en total 5 objetos. Ahora podemos cambiar x por un 5, la x+3por un 8Los recuadros o celdas que o están aún llenas podemos calcularlos recordandoque los torales son las sumas de las filas columnas. Así, si Rita tiene 5 objetos y 3son discos de música entonces tiene 2 películas. Si Elsa tiene 8 objetos y 3 sonpelículas, entonces tiene 5 discos de música. Si Rita y Elsa tienen y 3 películasrespectivamente, y el total de películas de 6 entonces Pedro debe tener 1 película.Haciendo esto para todas las celdas, completamos todas las celdas del recuadro yque como sigue:Objeto Nombre RITA ELSA PEDRO TOTALDiscos demúsica3 14Películas 3 6TOTAL X X+3 20Objeto Nombre RITA ELSA PEDRO TOTALDiscos demúsica3 14Películas 3 6TOTAL 5 8 20
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 59Ahora podemos contestar las preguntas inspeccionando el recuadro. Elsa tiene 5discos de música y pedro tiene 1 película. Antes de concluir, verificamos quehemos vaciado correctamente los datos, que las operaciones han sidocorrectamente realizadas y que la inspección es la que correspondeLa búsqueda de una respuesta para este problema nos permite formalizar unanueva estrategia para la solución de problemas en los cuales existe dependenciade dos variables. El recuadro que estructura la estrategia lo denominamos tablanumérica y a la estrategia de solución del problema la llamamos representación endos dimensionesA diferencia de los problemas formulados con una variable cuantitativadependiente, una variable cualitativa independiente y relaciones de orden dentrolas características que resolvimos en la unidad anterior, ahora se trata deproblemas con una variable cuantitativa dependiente, dos variables cualitativasindependientes y relaciones que definen características de la variabledependiente. Antes era relaciones de orden producto de comparaciones relativasdel tipo "Pedro “es más alto que José”, ahora son relaciones absolutas que definenlas características de la variable cuantitativa del tipo “El número de películas deElsa es 3”La estrategia particular(a la que se hace referencia en el paso cuarto delprocedimiento para resolver un problema de la lección 2) que se utiliza en estecaso es la representación mediante tablas numéricas, las tablas son reticuladosque tienen filas y columnas, las cuales determinan celdas. En las filas y lascolumnas se representan los tipos de variables consideradas, y en las celdassombreadas con gris se insertan los números que son las características de lavariable dependiente. Estos valores son producto de las relaciones absolutas conlas características correspondientes al par de variables independientes. Lasceldas en el entorno exterior a la celda sombreada corresponden a totalizacionesde filas y columnas, que es una característica propia de estas tablas. Recorriendola totalidad de celdas en tablas podemos visualizar y relacionar todos losposible4svalores dados en la tabla, obtener datos faltantes y responder la pregunta delproblema.Objeto Nombre RITA ELSA PEDRO TOTALDiscos demúsica3 5 6 14Películas 2 3 1 6TOTAL 5 8 7 20
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 60Practica del proceso:¿De qué trata el problema?Idiomas¿Cuál es la pregunta?¿Cuántos libros de francés tienen Susana y cuántos libros de cada idioma tienenentre todas?¿Cuáles son las variables dependientes?Libros (Nombres)¿Cuáles son las variables independientes?Cantidad de libros de cada idiomaLibroidiomaNombre Elena María Susana TOTALFrancés 2 1 3 6Italiano 1 1 2 4Alemán 1 2 3 6TOTAL 4 4 8 16Estrategia de representación en dos dimensiones:Tablas numéricasEsta es la estrategia aplicada en problemas cuya variable central cuantitativa dependede dos variables cualitativas. La solución se consigue construyendo una representacióngráfica o tabular llamada “tabla numérica”Practica 1: Elena, María, Susana estudian tres idiomas (francés, italiano yalemán), y entre las tres tienen 16 libros de consulta. E los cuatro libros deElena, la mitad son de francés y uno es de italiano. María tiene la misma cantidadde libros de italiano que Elena. Susana tiene tres libros de alemán, pero encambio tiene tanto libros de italiano como libros de alemán tiene María. Cuantoslibros de francés tiene Susana y cuántos libros de cada idioma tienen entre todas
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 61Respuesta:R= Susana tiene 3 libros de Francés, y entre todos tienen 6 libros de Francés, 4libros de Italiano y 6 libros de AlemánDe qué trata el problema?Número de Prendas¿Cuál es la pregunta?¿Cuántas Faldas tiene Estela?¿Cuáles son las variables dependientes?(Nombres)¿Cuáles son las variables independientes?Prendas de vestirRespuesta:R= Estela tiene 1 FaldaPrendas Nombre Nelly Estela Alicia TOTALBlusas 3 8 4 15Faldas 3 1 1 5Pantalones 4 3 3 10TOTAL 10 12 8 30Practica 2: tres muchachos Nelly, Estela y Alicia tienen en conjunto 30 prendas devestir de las cuales 15 son blusas y el resto son faldas y pantalones. Nelly tiene tresblusas y tres faldas, Alicia que tienen 8 prendas de vestir tiene 4 blusas. El número depantalones de Nelly es igual al de las blusas que tiene Alicia. Estela tiene tantospantalones como blusas tiene Nelly. La cantidad de pantalones que posee Alicia es lamisma que la de blusas de Nelly ¿cuantas faldas tienen Estela?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 62De qué trata el problema?Número de accesorios¿Cuál es la pregunta?¿Cuantas pulseras tiene Clara y Belinda?¿Cuáles son las variables dependientes?(Nombres)¿Cuáles son las variables independientes?AccesoriosRespuesta:R= Clara tiene 1 pulsera y Belinda tiene 5 pulserasaccesorios Nombre Clara Isabel Belinda TOTALPulseras 1 3 5 9Anillos 3 2 1 6TOTAL 4 5 6 15Las tablas NuméricasLas tablas numéricas son representaciones graficas que nos permiten visualizar unavariable cuantitativa que depende de dos variables cualitativas. Una consecuencia deque la representación de una variable cuantitativa es que se pueden hacertotalizaciones (sumas) de columnas y filas. Este hecho enriquece considerablementeel problema porque abre la posibilidad de generar, adicionalmente, representacionesde una dimensión entre cualquiera de las dos variables cualitativas y la variablecuantitativa. También a deducir valores faltantes usando operaciones aritméticasPractica 3. Las hijas del señor Gonzales, Clara, Isabel y Belinda tiene 9 pulseras y 6anillos, es decir, un total de 15 accesorios personales, clara tiene 3 anillos, Isabel tienetantas pulseras como anillos tiene Clara y, en total, tiene un accesorio más que Clara,que tiene 4.¿ cuantas pulseras tiene Clara y Belinda?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 63Vamos a continuar nuestra práctica incluyendo problemas donde se presentanceldas a las que no les corresponden elementos, por lo tanto, deben ser llenadoscon el valor numérico cero.De qué trata el problema?Tres matrimonios¿Cuál es la pregunta?¿Cuántos hijos varones tienen los García?¿Cuáles son las variables dependientes?Apellidos¿Cuáles son las variables independientes?Miembros de la FamiliaTabla numéricas con cerosEn algunos casos ocurre que para algunas celdas no se tienen elementosasignados. Por ejemplo, si hablamos de hijas e hijos en varios matrimonios, ydecimos que Yolanda es la hija única del matrimonio Pérez, eso no significa quela celda de hijos correspondientes al matrimonio Pérez está vacía o le faltainformación, lo que significa es que a esa celda le corresponde el valor numérico“0” cero, porque al ser Yolanda hija única significa que los Pérez tiene solo unahija, y es hembra. A veces confundimos erróneamente la ausencia de elementosen una celda con una falta de información; si hay ausencia de elementosentonces la información es que son cero elementos.Practica 4. Tres matrimonios de Apellidos Pérez, Gómez, y García, tiene en total10 hijos Yolanda, que es hija de los Pérez, tiene solo una hermana y no tienehermanos. Los Gómez tienen un hijo varón y un par de hijas. Con la excepción deMaría, todos los otros hijos del matrimonio García son Varones. ¿ Cuántos hijosvarones tienen los García?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 64Respuesta:R= Los García tienen 6 Hijos VaronesDe qué trata el problema?¿ De qué trata el problema?Animales Domésticos¿Cuál es la pregunta?¿Qué otros animales y cuantos de cada tipo hay en la casa de María?¿Cuáles son las variables dependientes?Nombres¿Cuáles son las variables independientes?Animales DomésticosMiembrosde FamiliaApellidos Pérez Gómez García TOTALhija 0 2 0 2Hermana 1 0 0 1Varón 0 1 6 7TOTAL 1 3 6 10Practica 5. En las casas de María, Juana, y Paula hay un total de 16 animalesdomésticos entre los cuales hay 3 perros, doble número de gatos, y ademáscanarios y loros. E4n la casa de Juana aborrecen a los perros y a los loros, perotienen 4 gatos y 2 canarios (con mucho miedo). En la de Paula solo hay un perro yotros dos animales, ambos gatos. En la de María tienen 3 canarios y algunos otrosanimales. ¿Qué otros animales y cuantos de cada tipo hay en la casa de María?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 65Respuesta:R= en la casa de María hay 7 animales, 2 perros, 3 canarios, y 2 LoroDe qué trata el problema?Goles¿Cuál es la pregunta?¿Cuantos goles metieron entre los tres en 2007?¿Cuáles son las variables dependientes?Años¿Cuáles son las variables independientes?JugadoresAnimalesDomésticosNombre María Juana Paula TOTALPerros 2 0 1 3Gatos 0 4 2 6Canarios 3 2 0 5Loros 2 0 0 2TOTAL 7 6 3 16Practica 6. Jorge Romero metió 6 goles durante la temporada de futbol de 2006y 6 en la del 2009. En 2007 y 2008 no le fue bien, de modo que durante los 4años (2006 a 2009) metió un total de 15 goles. Pedro Vidal metió 14 goles en2007 y la mitad en 2009. Su total para los 4 años fue de 21 goles. Enrique Pérezmetió tantos goles en 2008 como Vidal metió en los 4 años, pero en las otrastemporadas no le fue mejor que a Pedro en 2006. Entre los tres en 2008metieron 22 goles. ¿Cuantos goles metieron entre los tres en 2007?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 66Respuesta:R= Entre los tres jugadores metieron 16 goles en el 2007De qué trata el problema?Mascotas¿Cuál es la pregunta?¿Cuántas y que clase de mascotas tiene cada uno?¿Cuáles son las variables dependientes?Nombres¿Cuáles son las variables independientes?MascotasJugadores Años 2006 2007 2008 2009 TOTALJorge 6 2 1 6 15Pedro 0 14 0 7 21Enrique 0 0 21 0 21TOTAL 6 16 22 13 57Macotas Nombre Milton Nortus Nortis TOTALsapos 3 2 2 7arañas 3 5 2 9murciélago 1 1 1 4TOTAL 7 8 5 20Practica 7. Milton, Nortus, y Narti tienen un total de 20 mascotas. Milton tiene tressapos y a la misma cantidad de arañas que de murciélagos. Nortus tiene tantasarañas como Milton sapos y Murciélagos. Narti tiene 5 mascotas, una esmurciélago y tiene la misma cantidad de sapo Nortus, que es el mismo número demurciélagos que Milton. Si Milton tiene 7 mascotas ¿Cuántas y que clase demascotas tiene cada uno?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 67Respuesta:R= Milton tiene 7 mascotas 3 sapos, 3 arañas y 2 murciélagosR= Nortus tiene 8 mascotas 2 sapos, 5 arañas y 1 murciélagosR= Nortis tiene 5 mascotas 2 sapos 2 arañas y 1 murciélagosDe qué trata el problema?Número de accesorios¿Cuál es la pregunta?¿Cuantas pulseras tiene Juana y Betty?¿Cuáles son las variables dependientes?(Nombres)¿Cuáles son las variables independientes?BisuteríaRespuesta:R= Juana tiene 1 pulsera y Betty tiene 5 pulserasBisutería Nombre Juana Lucia Betty TOTALCadenas 1 3 5 9Tobilleras 3 2 1 6TOTAL 4 5 6 15Practica 3. Las hijas del señor Pérez , Juana, Lucia y Betty tiene 9 cadenas y 6tobilleras, es decir, un total de 15 Bisuterías , Juana tiene 3 anillos, Lucia tiene tantascadenas como tobilleras tiene Juana y, en total, tiene un accesorio más que Juana, quetiene 4.¿ cuantas pulseras tiene Juana y Betty?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 68Cierre:¿Qué clases de problemas estudiamos en esta lección?Problemas de tablas numéricas¿Que hicimos para resolver los problemas de este tipo?Leer, analizar, identificar datos¿Cómo se llama la estrategia desarrollada en esta lección?Tablas Numéricas¿Qué hacemos cuando determinamos que una celda no tiene elementosasignados?A esa celda le corresponde al valor numérico “0”Lección 6: Problemas de tablas lógicas¿Sobre qué trato la lección anterior?Problemas de tablas numéricas¿Cómo se llama la forma de representación para resolverlo esos problemas?Representación de datos dimensiones tablas numéricas¿Cómo denominar una tabla?Una de las variables independientes es desplegada en los encabezados de lascolumnas mientras que la otra variable es desplegada como inicio de las filas, yla variable dependiente es desarrollada en las celdas de la región reticulardefinida por el cruce de columnas y filas. Por esta razón se habla que las tablastienen dos entradas, una por las columnas y otra por las filasEn título de una tabla está determinado por la variable dependiente que sevisualiza, y se complementa con las variables independientes que caracterizanlos valores del cuerpo de la tabla. Así la tabla de la practica 1 de esta lección sedenomina de la siguiente manera“Numero de libros en función de dueño e idioma”
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 69¿Adicionalmente a la denominación de las variables cualitativas y de losvalores de la variable cuantitativa que otra información contiene estastablas?Adicional a las variables, nos deduce valores faltantes usando operacionesaritméticas¿Qué tenemos que hacer si no puedo representar una información específicacuando leo el problema parte por parte?PRESENTACION DEL PROCESOInícienos el trabajo de esta lección con un ejercicio¿Qué debemos hacer en primer lugar?Leer todo el problema¿De qué se trata el problema?De encontrar las profesiones de tres damas¿Qué variables están presentes?Hay dos variables cualitativas: nombres de damas8delia,ana y lea) yprofesiones(arquitecta, abogada y medica)¿Qué otras informaciones están expresadas en el anunciado? cada una de las damas tiene de esas tres profesiones que son diferentesentre si nos relatan dos hechos que aportan información sobre las profesiones delas damas¿Qué se preguntan en el problema?Las profesiones de las tres damasEJERCICIO 1 las profesiones de delia Ana y lea son diferentes. Ellas sonarquitectas abogadas y medica aunque no necesariamente es en ese orden.Ana contrato la arquitecta para que le diseñara su casa. Lea le dijo a laabogada que se iba a reunir con Ana el día siguiente ¿Cuáles son lasprofesiones de delia, Ana y lea?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 70Ninguna de las estrategias particulares anteriores se aplica en este caso .notenemos esa variable cuantitativa alrededor de la cual se centraba el problema.Sin embargo, tenemos una condición nueva que puede ayudar. Relaciones uno delos nombres. Por ejemplo, Ana, con las tres profesionesAna es arquitecta Ana es abogada Ana es medicoUna de esas tres aseveraciones es verdadera, y las otras dos son falsas. Algosimilar se plantea si relacionamos los otros dos nombres con las profesiones. Lainformación que nos permite establecer cuál de las tres aseveraciones esverdadera, y cuales falsas, son los hechos que involucran a las damas. Paraprocesar la información de los hechos nos puede ayudar una tabla como lasiguiente:Nombre Delia Ana LeaARQUITECTAABOGADAMEDICAEn este caso lo que asentamos en la región sombreada es el valor de la fila. Conesta estrategia particular podemos iniciar el valor de la columna con el valor de lafila. Con esta estrategia particular podemos iniciar la lectura parte por parte de lainformación planteada en los hechos. El primer hecho es “Ana contrato laarquitecta para que le diseñara su casa”. Eso significa que Ana y la arquitecta sonpersonas diferentes, entonces es falso que Ana sea arquitecta, y lo podemosreflejar en la tabla como sigue:Nombre Delia Ana LeaARQUITECTA FalsoABOGADAMEDICALuego podemos afirmar “lea le dijo a la abogada que se iba a reunir con Ana el díasiguiente” lo cual implica que lea no es abogada y también que Ana no esabogada. Esto podemos reflejarlo en la tabla.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 71Nombre Delia Ana LeaARQUITECTA FalsoABOGADA Falso FalsoMEDICAEn este momento podemos hacer algunas deducciones basándose en laobservación de la tabla. Si recordamos las relaciones que hicimos de Ana con lasprofesiones, hemos encontrado que dos de ellas son falsas, podemos concluir quela tercera es verdadera. Entonces Ana es médica. Algo similar ocurre con la filaintermedia; La única opción que queda para delia es abogada, por lo cualpodemos concluir que delia es abogada.Nombre Delia Ana LeaARQUITECTA FalsoABOGADA Verdadero Falso FalsoMEDICA VerdaderoAdemás, podemos sacar otras deducciones: si delia es la abogada, entonces esfalso que delia sea arquitecta o medica; de la misma manera la médica no puedeser ni delia ni lea. Y finalmente nos queda que la única opción verdadera deprofesión para lea es arquitecta. Por lo tanto la tabla queda:Nombre Delia Ana LeaARQUITECTA Falso Falso VerdaderoABOGADA Verdadero Falso FalsoMEDICA Falso Verdadero FalsoAhora inspeccionando la tabla, podemos contestar la pregunta: Delia es abogada,Ana es médica y lea es arquitecta. Verifiquemos y concluimos el problema delejercicioEn esta representación generamos una tabla cuyas celdas llenan con dos posiblesvalores verdadero o falso a diferencia de las tablas de la lección anterior en lascuales se colocaban valores numéricos. La variable lógica está implícita en el
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 72enunciado y debe ser definida por la persona que resuelve el problema para usaresta estrategia particular usando entre las dos variables cualitativas que siempreestán de manera explícita en el anunciadoLos valores que toma la variable lógica que se define con base a las dos variablescuantitativas son de dos estados verdaderos o falso si o no en general cualquierpar de símbolos. Las tablas no permiten la totalización de columnas i filas. Sinembargo con frecuencia tienen otras características de gran utilidad: La exclusiónmutua que se da entre los valores de una misma fila o columna cuando estacaracterística se da si en una fila o columna una celda tiene el valor de verdaderoentonces los demás celdas son falsas. Esta propiedad facilita la solución celdas enesa columna o fila falsas.La condición de excusión mutua depende del enunciado del problema, en elejercicio 1 hay tres damas y tres profesiones y se dice que todos tienenprofesiones diferentes; esto obliga a que si uno tiene una profesión ninguna otrapuede tener esa misma profesión o que si una no tiene dos de las profesionesentonces tiene que tener la profesión que queda disponible .por lo tanto en elenunciado debe indicarse que no se repiten las profesiones.-Otro ejemplo, sea la redacción “Ana Eva y Olga tienen entre las tres, tres hijospedro Carlos y Luis”. Sí averiguo que pedro es hijo de alga entonces se que no eshijo de Ana o de Eva porque una persona solo puede ser hijo de una madre perono puede afirmar que Carlos y Luis no sean hijos de Olga porque una madrepuede tener más de un hijo y no está excluido en el texto. En este caso solo hayuna excusión mutua para las madres como es natural.Ahora con la redacción “pedro Carlos y Luis son hijos únicos de Ana Eva y Olga “siaveriguo que pedro es hijo de Olga entonces sé que no es hijo de Ana o de Evaporque una persona solo puede ser hijo de una madre pero también sé que Carlosy Luis son hijos únicos es decir no tiene hermanos y por lo tanto porque pedroCarlos y Luis son únicos hijos en este caso hay exclusión mutua para las madrescomo es natural pero también la hay para los hijos por la condición que son hijosúnicosEstrategia de representación en dos dimensiones: tablas lógicasEsta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen dosvariables cualitativas sobre las cuales puede definirse una variablescualitativas la solución se consigue construyendo una representación tabularllamada “tabla lógica”
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 73Practica del procesoA)Nombre País Pedro Luis Carlos RaúlMéxico VVenezuela VEcuadorChile VB)Nombre País Pedro Luis Carlos RaúlMéxico XVenezuela V VEcuador XChile X XC)Nombre País Pedro Luis Carlos RaúlMéxico X X XVenezuela X XEcuador XChilePráctica 1 suponiendo que se aplica la característica de la exclusión mutuaen ambas variables completa las siguientes tablas lógicas
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 74D)Nombre País Pedro Luis Carlos RaúlMéxicoVenezuela XEcuador V¿De qué trata el problema?La posición que juega cada uno de los jugadores¿Cuál es la pregunta?¿Qué posición juega de cada uno de las jugadores?¿Cuáles son las variables independientes?Los jugadores¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?La relación saber qué posición juegan cada jugadorRepresentaciónNombres Posición Leonel Justo RaulPortero F V FCampista F F VDelantero V F FPráctica 2 Leonel justo y Raúl juegan en el equipo de futbol de club. Unojuega de portero otro de centro campista y el otro de delantero se sabe queLeonel y el portero festejaron el cumpleaños de Raúl Leonel no es el centrocampista ¿Qué posición juega cada uno de los muchachos?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 75RespuestaR= Justo es el portero, Leonel es delantero, Raúl es el campista¿De qué trata el problema?De los alimentos que comieron¿Cuál es la pregunta?¿Quién comió galletas y que comió Jairo?¿Cuáles son las variables independientes?Nombres¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?Comida de cada unoRepresentaciónNombres Alimento José Justo Jairomagdalena F V FTostadas F F VGalletas V F FRespuestaR= Justo comió galletas y Jairo comió MagdalenasPráctica 3 José justo y Jairo desayunaron con comidas diferentes. Cada unoconsumió uno de los siguientes alimentos: magdalenas tostadas y galletas Joséno comió magdalenas ni galletas justo no comió magdalenas ¿Quién comiógalletas y que comió Jairo?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 76¿De qué trata el problema?De nombres de las niñas¿Cuál es la pregunta?¿Qué color de blusa usa cada una de las niñas?¿Cuáles son las variables independientes?Nombres y color de blusas¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?El color de blusas de cada unoRepresentaciónNombres Color blanca Rosa VioletaBlusa violeta F V FBlusa rosa V F FBlusa blanca f F vRespuesta:R= Blanca lleva loa blusa Rosa, rosa lleva la blusa Violeta y Violeta lleva la blusaBlancaPráctica 4 tres niñas una de ellas con una blusa violeta, otra con una blusa rosay la tercera con una blusa blanca hablan con la maestra. La niña con la blusavioleta le dice Nos llamamos Blanca Rosa y Violeta ¨ A continuación, otra de lastres niñas le dice ¨Yo me llamo Blanca Como puede usted ver, nuestros nombresson los mismos que los colores de nuestras blusas pero ninguna de nosotras usablusas del color de nuestro nombre ¨.La maestra sonríe y dice ¨Pero ahora ya sécómo os llamáis ¨ ¿Qué color de blusa usa cada una de las niñas?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 77¿De qué trata el problema?Animales¿Cuál es la pregunta?¿Cuál es el nombre de cada animal?¿Cuáles son las variables independientes?Nombres y Animales¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?El nombre de cada tipo de animalRepresentaciónReflexiónLa estrategia de las tablas lógicas es de gran utilidad para resolver tanto acertijoscomo problemas de la vida real al ponerlo en práctica debemos ser muycuidadosos en cuatro cosas:1. Leer con gran atención los textos que refieren hechos2. Estar preparados para postergar cualquier afirmación del enunciado hastaque tengamos suficiente información para vacilarla en la tabla3. Concretar los hechos o informaciones que vamos en la tabla4. Leer las afirmaciones de manera secuencial y cuando agotamos la listavolver a leerla desde el inicio enriqueciéndola con la información quehayamos obtenidoPráctica 5 en la casa de Gisela hay un canario un loro un gato y un perropolicía se llaman rampal perico Félix y rin-tin-ton pero no necesariamente es enese orden rin-tin-tin es más pequeño que el loro y que Félix el perro es másjoven que perico rampal es el más viejo y no se lleva bien con el loro ¿Cuál esel nombre de cada animal?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 78Animal nombres Canario Loro Gato PerroRampal F F V VPerico F V F FFélix F F F FRin-tin –tin V F F FRESPUESTA:R= Rampal es el gato, perico es el Loro, Félix es el Perro y el Canario es el Rintin tin¿Cuál es la pregunta?Lugar de trabajo de las personas¿Cuáles son las variables independientes?Nombres y lugar de trabajo¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?El lugar que trabaja cada personaRepresentaciónnombre labores Ana luisa Pedro MiguelEscuela V F F FFerretería F F F VBanco F V F FFarmacia F F V FPráctica 6 Piense en estas cuatros personas1. Sus nombres son Ana, luisa ,pedro ,y miguel2. Trabajan en una escuela una ferretería ,un banco y una farmacia3. Pedro es el hijo de la persona que trabaja en la ferretería4. Ana y la persona que trabaja en la farmacia son hermano-hermana5. El hijo de la persona que trabaja en el banco trabaja en laferretería6. Luisa no trabaja en la escuela¿Dónde trabajan cada uno?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 79Respuesta:R= Ana trabaja en la Escuela, Luisa trabaja en el Banco, Pedro trabaja en laFarmacia y Miguel en la Ferretería¿De qué trata el problema?De una carrera de autos¿Cuál es la pregunta?¿En qué lugar llego cada corredor?¿Cuáles son las variables independientes?Países y lugar de competencia¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?El lugar que obtuvo cada corredorRepresentaciónLugar Países Francia Brasil México Argentina Holanda1 F V F F F2 V F F F F3 F F V F F4 F F F V F5 F F F F VRespuestaR= el corredor de Francia llego en segundo lugar, el de Brasil llego en primerolugar, el de México llego en tercer lugar, argentina llego en cuarto lugar, y elcompetidor de Holanda llego en quinto lugarPractica 7: en una carrera de autos en la que no hubo empates, participaroncorredores de Francia, Brasil, México, argentina y Holanda. El mexicano llego doslugares atrás del brasileño. El francés no gano, pero tampoco llego en último lugar.El holandés ocupo un lugar después que el argentino. Este último no llego en primerlugar en qué lugar llego cada corredor
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 80¿De qué trata el problema?Artistas¿Cuál es la pregunta?¿Cuál es la actividad que realiza Juan, Luis, Miguel y David¿Cuáles son las variables independientes?Nombres y Artistas¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?La actividad que ejecuta cada artistaRepresentaciónActividadde cadaartistanombre Juan Luis Miguel DavidBAILARÍN V F F FPINTOR F F v vCANTANTE F V F FACTOR F F f vRespuesta:R= Juan es Bailarín, Luis es cantante, Miguel es actor y David es pintorPráctica 9 Juan, Luis, Miguel y David son artistas. Averigua la actividad de cadauno con base a la siguiente información:a) Son: bailarín, pintor, cantante y actorb) Juan y Miguel estuvieron entre el público la noche que el cantante debutoc) El pintor hizo retratos de Luis y el Actord) El actor, cuya actuación en “Laida de David” fue un éxito, planea trabajaren otra obra de teatro semejante a la anterior, pero en relación con la vidade Juane) Juan Nunca ha oído hablar de Miguel
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 81Cierre¿Qué hicimos en esta lección?Problemas de tablas lógicas¿Por qué se llama tablas lógicas?Porque tienen dos variables cualitativas sobre las cuales puede definirse unavariable lógica con base a la veracidad o0 falsedad de relaciones¿y cómo son las variables en este tipo de problemas?Variable cualitativa sobre las cuales puede definirse una variable lógica¿Qué utilidad tiene la estrategia estudiada?Son de mucha utilidad porque permite resolver problemas que tienen dos variablescualitativas¿En qué se diferencia de las tablas lógicas de las tablas numéricas?Que las tablas lógicas tienen dos variables cualitativas que pueden definirse unavariable lógica y las tablas numéricas tiene una variable cuantitativa que dependede dos variables cualitativasLección 7: Problemas de tablas conceptualesIntroducción¿En qué consiste la estrategia de representación en dos dimensiones?En resolver problemas que tienen dos variables cualitativas sean verdadera o falsoo cualquier par de símbolos¿Qué tipos de representación en dos dimensiones hemos estudiados?Tabla lógica¿Cuantas variables interviene en una representación de dos dimensiones?Dos variables cualitativas con base a la veracidad o falsedad de relaciones entrevariables cualitativas¿Qué diferencias hay entre las variables que interviene en unarepresentación de dos dimensiones?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 82Puede definirse una variable lógicaPresentación del procesoConsideramos el siguiente ejercicio:¿Qué debemos hacer en primer lugar?Leer todo el problema¿De qué trata el problema?De tres jóvenes que practican los mismos deportes tres diferentes días¿Cuál es la pregunta?¿Qué deportes practica cada uno cada día?¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?Tres variables. Nombres de los jóvenes, días de practica y deportes practicado¿Cuáles son las variables independientes?Los nombres de los jóvenes y los días de práctica¿Cuál es la variable dependiente? ¿Porque?El deporte practicado los valores son: natación, gimnasia y yudoRepresentación:Ejercicio 1 Andrés, Carlos y enrique son tres alumnos que piensan en laimportación del ejercicio. Los tres practican deportes y le dedican un día a lasemana a cada uno de los siguientes deportes: natación gimnasia y yudo. Sipractican deportes los lunes, miércoles y viernes, y en cada día cada unopractican un deporte diferente al de los demás, averigua que deportes practicanlos jóvenes cada día con base a la siguiente información:a) Enrique nada el día que sigue Andrésb) El que practica yudo el viernes, hace gimnasia cuatro días antesc) Carlos tiene que llevar el traje de baño todos los viernes
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 83Día Nombre Lunes Miércoles ViernesAndrésCarlosEnriqueLeemos ahora la información suministrada:” Enrique nada el día que sigue aAndrés. Para esto solo hay dos posibilidades: lunes nada Andrés y el miércolesenrique o miércoles nada Andrés y viernes enrique como suposiciones de trabajoEsto podemos representarlo en la tabla como sigue:Día Nombre Lunes Miércoles ViernesAndrés Nada NadaCarlosEnrique Nada NadaNo podemos derivar nada más de esa información. La segunda información dice“el que practica yudo el viernes, hace gimnasia cuatro días antes “esto significaque una persona hace gimnasia el lunes y luego hace yudo el viernes. Estassuposiciones podemos representados como sigue:Día Nombre Lunes Miércoles ViernesAndrés Nada gimn Nada YudoCarlos Gimn YudoEnrique Gimn Nada Nada yudoLa tercera información dice: “Carlos tiene que llevar el traje de baño todos losviernes”. Esto significa que Carlos practica la natación el viernes que es el deporteque se practica con traje de baño. Esto significa dos cosas: primero que Carlosnada el viernes y segundo que la opción de Andrés nada el miércoles y enrique elviernes es imposible porque el viernes está nadando Carlos. Por esta razón debo
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 84aceptar que Andrés nada el lunes y enrique el miércoles y que solo sobrevive laopción de que sea enrique el que hace gimnasia el lunes y yudo el viernes ´porquela tabla queda como sigue:Con estas tabla puedo derivar que Carlos debe hacer yudo el lunes y gimnasia elmiércoles y que Andrés debe hacer yudo el miércoles y gimnasia el viernes. Todoeso para cumplir con la condición que cada joven práctica un deporte diferentecada día finalmente la tabla queda como sigue:Día Nombre Lunes Miércoles ViernesAndrés Nada Yudo GimnasiaCarlos Yudo Gimnasia NadaEnrique Gimnasia Nada yudoRespuesta:Andrés nada el lunes luego práctica yudo y finalmente el viernes hacegimnasiaCarlos primero practica yudo luego hace gimnasia y el viernes nadaY enrique hace gimnasia el lunes nada el miércoles y practica yudo elviernesHemos resuelto el problema aplicando una variante de nuestras estrategia de dosdimensiones en este caso no tuvimos la variable cuantitativa ni la variable lógicapara una tabla lógica. Ahora tuvimos tres variables cualitativas. La tabla en estecaso no estuvo rellenada por números o valores lógicos sino por valoresconceptuales o semánticos. Por tal razón llamamos estrategia “representación endos dimensiones: tablas conceptuales”Día Nombre Lunes Miércoles ViernesAndrés NadaCarlos NadaEnrique Gimnasia Nada yudo
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 85En estos problemas no tenemos la exclusión mutua de las tablas lógicas la únicaayuda es cuando conocemos todas las opciones menos una la última podemosderivarla por exclusiónEn estos problemas debemos seguir todas las recomendaciones expuestas en lalección anterior para las tablas lógicas:1. Leer con gran atención los textos que refieren hechos o informaciones2. Estar preparados para postergar cualquier afirmación del enunciado hastaque tengamos suficiente información para vaciarla en la tabla3. Conectar los hechos o informaciones que vamos recibiendo4. Leer las afirmaciones de manera secuencial y cuando agotemos la listavolver a leerla desde el inicio enriqueciéndola con la información quehayamos obtenidoGeneralmente los enunciados de estos problemas que requieren ser resueltosmediante tablas conceptuales de hechos o planeamientos en el mismoPractica del procesoEstrategia de representación en dos dimensiones: tablas conceptualesEsta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen tresvariables cualitativas dos de las cuales pueden tomarse como independientesy una dependiente. La solución se consigue construyendo una representacióntabular llamada “tabla conceptual” basada exclusivamente en las informacionesaportadas en el enunciado.Practica 1 de un total de nueve personas tres toman la prueba a tres la prueba by los tres restantes la prueba c las nueves personas están divididos partes igualesentre españoles, ecuatorianos y chilenos también de las nueve personas tres sonagrónomos tres físicos y tres médicos de las tres personas que fueron sometidas auna misma prueba (a, b,c) no hay dos o más de la misma nacionalidad o profesión.Si una de las personas que se sometió a la prueba a es un médico ecuatoriano y laprueba c un agrónomo ecuatoriano ¿a qué pruebas se sometieron el medicochileno y el agrónomo español?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 86¿Qué debemos hacer en primer lugar?Leer el problema¿De qué trata el problema?Pruebas que se sometieron los profesionales¿Cuál es la pregunta?¿a qué pruebas se sometieron el medico chileno y el agrónomo español?¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?Tres variables (Nacionalidad, Profesión, Tipo de Prueba)¿Cuáles son las variables independientes?Nacionalidad y Profesiones¿Cuál es la variable dependiente? ¿Porque?Tipo de prueba que se sometió cada profesionalRepresentación:NACIONALIDAD PROFESION ESPAÑOL ECUATORIANO CHILENOAGRONOMO A C BFISICO C B AMEDICO B A CRespuesta:R=El médico español se sometió a la prueba b, EL Ecuatoriano a la prueba A y elchileno a la prueba CR=El físico español se sometió a la prueba c, EL Ecuatoriano a la prueba b y elchileno a la prueba aR=El Agrónomo español se sometió a la prueba a, EL Ecuatoriano a la prueba c yel chileno a la prueba b
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 87¿De qué trata el problema? ¿Cuál es la pregunta?Tres pilotos que viajan en diferentes rutas y diferentes días¿Cuantas y cuales variables tenemos en el problema?Tres variables (Nombre de los pilotos, rutas de viaje, días de viaje)¿Cuáles son las variables independientes?Nombre de los pilotos y rutas del viaje¿Cuál es la variable dependiente?¿porque?Días de viaje porque es la información que se quiere saberRepresentaciónPILOTOS RUTAS JOEL JAIME JULIANDALAS LUNES MIERCOLES VIERNESBUENOS AIRES VIERNES LUNES MIERCOLESMANAGUA MIERCOLES VIERNES LUNESRespuesta:R= lunes Joel a dalas, Jaime a buenos aire y Julián a ManaguaR= lunes Joel a Managua, Jaime a Dalas y Julián a buenos aireR= lunes Joel a buenos aires, Jaime Managua a y Julián a DalasPractica 2 tres pilotos Joel Jaime y Julián de la línea aérea el viaje feliz con sedeen Bogotá se turnan las rutas de dallas buenos aires y Managua a partir de lasiguiente información se quiere determinar en qué día de la semana viaja cadapiloto a las ciudades antes citadasa) Joel los miércoles viaja al centro del continenteb) Jaime los lunes y los viernes viaja a países latinoamericanosc) Julián es el piloto que tiene el recorrido más corto los lunes
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 88¿De qué trata el problema?Recental de Música¿Cuál es la pregunta?¿En qué orden se presentaron cada uno de los interpretes durante los cuatrosdías?¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?Tres variables (Nombres, Obras y Días)¿Cuáles son las variables independientes?Las obras y los días de presentación de la obra¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué?Nombre de quien hizo la interpretaciónRepresentación:Practica 3 en un recital de la escuela de música se presentaron norma Alicia Héctor yRoberto se escucharon obras en el siguiente orden de Beethoven, Liszt, Mozart yTchaikovski. El recital se presentó de jueves a domingo en cada uno de los días elorden de los intérpretes cambio, de tal modo que ningún día aparecieron en el mismoorden además en ningún día repitieron una interpretación del mismo autor. Si el ordende los autores interpretados no cambio ¿en qué orden se presentaron cada uno de losinterpretes durante los cuatros días? Se sabe que:a) La interpretación que hizo Alicia de Mozart fue un día antes que la de Lisztb) Norma abrió magistralmente la presentación del sábado por la nochec) Héctor en días seguidos se presentó en primero y segundo lugar e inauguró elrecitald) Tchaikovski fue presentado el viernes por normae) Roberto no presento el sábado antes que sus amigosf) Roberto interpreto a Mozart el mismo día que Héctor interpreto a beethoven
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 89PILOTOS RUTAS Jueves Viernes Sábado DomingoBeethoven Héctor RobertoNormaAliciaLiszt Norma Héctor Alicia RobertoMozart Roberto Alicia Héctor NormaTchaikovski Alicia Norma Roberto HéctorRespuesta:R= El día jueves presento Héctor, con su obra Beethoven, Norma Liszt, RobertoMozart, Alicia TchaikovskiR= El día Viernes presento Héctor, con su obra Liszt, Norma Tchaikovski,Roberto Beethoven, Alicia MozartR= El día Sábado presento Héctor, con su obra Mozart, Norma Beethoven,Roberto Tchaikovski, Alicia LisztR= El día Domingo presento Héctor, con su obra Tchaikovski, Norma Mozart,Roberto Liszt Alicia BeethovenPráctica en un concurso de la escuela de Baile se presentaron Carlos, María,Narcisa y Erick se presentaron los siguientes Bailes Salsa, Merengue, Cumbia y Rock-Roll. El concurso se presentó de jueves a domingo en cada uno de los días el orden delos intérpretes cambio, de tal modo que ningún día aparecieron en el mismo ordenademás en ningún día repitieron una interpretación del mismo. Si el orden de losautores interpretados no cambio ¿en qué orden se presentaron cada uno de los artistasdurante los cuatros días? Se sabe que:g) La interpretación que hizo María de Cumbia fue un día antes que el Merengueh) Carlos abrió magistralmente la presentación del sábado por la nochei) Narcisa en días seguidos se presentó en primero y segundo lugar e inauguró elconcursoj) Rock- rol fue presentado el viernes por Carlosk) Erick no presento el sábado antes que sus amigosl) Erick bailo la cumbia el mismo día que Narcisa bailo la salsa
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 90¿De qué trata el problema?Concurso de Baile¿Cuál es la pregunta?¿En qué orden se presentaron cada uno de los interpretes durante los cuatrosdías?¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?Tres variables (Nombres, Bailes y Días)¿Cuáles son las variables independientes?Las Bailes y los días de presentación cada uno¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué?Nombre de quien hizo el BaileRepresentación:bailes días Jueves Viernes Sábado DomingoSalsa Narcisa Erick Carlos MaríaMerengue Carlos Narcisa María ErickCumbia Erick María Narcisa CarlosRock- Roll María Carlos Erick NarcisaRespuesta:R= El día jueves presento Narcisa, con su Salsa, Carlos Merengue, Erick cumbia,y María Rock-RollR= El día Viernes presento Narcisa, con su Merengue, Carlos Rock- Roll, ErickSalsa, y María cumbiaR= El día Sábado presento Narcisa, con su Cumbia, Carlos Salsa, Erick Rock-Roll y María MerengueR= El día Domingo presento Narcisa, Rock-Roll, Carlos Cumbia, Erick Merenguey María Salsa
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 91Veamos un ejemplo de este tipo ampliación de la estrategia de dos dimensionescon tablas conceptuales o semánticas.¿De qué trata el problema?De las esposas, profesión y aficiónReflexiónEstos problemas de tablas conceptuales no tienen características del cálculode subtotales y totales de las tablas numéricas, tampoco tiene la característicade exclusión mutua de las tablas lógicas. Esto las hace que requieran muchamás información para poder resolverlos. Con frecuencia, con el propósito dehacer menos tediosos el enunciado, se usa una cuarta variable, normalmenteasociada a una de las variables independientes, que sirven para bifurcar lainformación que se aporta sobre la variable asociada.Por ejemplo, puedo hablar de cuatro personas por su apellido, y digo que haydos damas y dos caballeros. O puedo hablar de cinco niños e introduzco lavariable edad de cada niño. O hablo de seis señoras e introduzco una variableque es el color del cabello, en la forma de tres cabellos rubios y tres de cabellonegro.Ejercicio 2. Antonio, Manuel, José y Luis son amigos todos casados, condiferentes profesiones y aficiones. Las esposas son María, Ana, Julia y Luz; susprofesiones son ingeniero, biólogo, agrónomo e historiador sus aficiones sonpesca, tenis, ajedrez y golf.a) Julia, esposa de ingeniero, y Luz, esposa de José son ambas amigasinseparables.b) El golfista, casado con Luz, no conoce al historiador y comparte con elbiólogo algunos conocimientos de interés relacionados con su profesión.c) Luis se reúne con el ingeniero y con el historiador para discutir asuntos de lacomunicación donde viven.d) Durante el domingo Julia y su esposo visitaron a Manuel y su esposa,quienes mostraron los trofeos ganados por Manuel en los campeonatos deajedrez; Ana se fue con su esposo el biólogo a jugar tenis.Se pregunta cuáles son las esposas, profesiones y aficiones de los hombresque se mencionan en el problema.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 92¿Cuál es la pregunta?¿Cuáles son las esposas las profesiones y aficiones de los hombres?¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?Tres variables profesión, afición y esposa¿Cuál variable es diferente a las demás?EsposaRepresentación:Esposa Profesión AficiónAntonioManuelJoséLuisLas esposas son María, Ana, Julia y LuzLas profesiones son: ingeniero, biólogo, agrónomo e historiador.Las Aficiones son: pesca, Tenis, Ajedrez y Golf.El literal a) habla de do personas de Julia, esposa del ingeniero y de luz, esposade José.El literal b) habla del golfista, casado con Luz. Con lo cual ya sabemos que en unalínea van José, Luz, golf y que no es ingeniero. Como no conoce al historiador ycomparte con el biólogo, entonces es el agrónomo, y la línea queda: José, Luz,agrónomo y golfEsposa Profesión AficiónAntonioManuelJosé Luz Agrónomo golfLuisDel literal c) sacamos que Luis es biólogo y que su esposa no es Luz.Del literal d) sacamos que julia no es esposa de Manuel. Manuel es el aficionadoal ajedrez y Ana es esposa de Luis quien es biólogo y es el aficionado al tenis.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 93Esposa Profesión AficiónAntonio Julia ingenieroManuel ajedrezJosé Luz Agrónomo golfLuis Ana Biólogo tenisY las celdas restantes pueden deducirse por exclusión.Esposa Profesión AficiónAntonio Julia ingenieroManuel ajedrezJosé Luz Agrónomo golfLuis Ana Biólogo tenisRespuestas:Por inspección de la tabla podemos contestar la preguntaEn este problema tuvimos cuatro variables. Los caballeros fueron como la variableindependiente, y las otras tres variables dependían del valor de la variablecaballeros; es decir esposa, profesión y afición dependía del caballero.Practica 4. Mercedes quería pasar siete días en su casa, deseaba visitar a sus amigas yresolver asuntos pendientes en su ciudad natal. Al llegar encontró a sus amigas Ana, Corina,Gloria; Juanita, Luisa y Marlene, quienes le habían programado varias actividades. Mercedesquería comer con ellas el primer día donde acostumbraban a reunirse cuando salían de laescuela. Después de esta reunión cada amiga tenía la disponibilidad para pasarlo conmercedes y acompañarla a uno de los siguientes eventos: un partido de futbol, en concierto,el teatro, el museo, el cine e ir de compras. Con base en la siguiente información encuentrequien invito a Mercedes y que actividad realizo cada día.1) Ana, la amiga que visitó el museo y la que salió con Mercedes un día después deir al cine el lunes, tienes las tres el cabello amarillo.2) Gloria quien la acompaño al concierto y la dama que paso el lunes con Mercedes,tienen las tres pelo negro.3) El día que Mercedes paso con Corina no fue el siguiente al día que secorrespondió a las tres el pelo negro.4) Las seis salieron con Mercedes en el siguiente orden: Juanita salió con Mercedesun día después de que esta fue al cine y cuatro días antes de la visita al museo,Gloria salió con Mercedes un día después de que esta fue al teatro y el día antesque Marlene invito a Mercedes.5) Ana y la amiga que invito a Mercedes a ir de compras tiene el mismo color decabello.6) Mercedes visito el teatro dos días después de ir al cine.7) Ana invito a Merces a salir el miércoles.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 94Se sugiere usar un formato de la tabla como el que se muestra mas bajo. Lasáreas grises de la izquierda van a ser llenadas con el color del cabello de la amigaque invita a Mercedes. Las áreas de la derecha van a ser llenadas con los lugaresa donde cada amiga invito a Mercedes. En este caso tenemos una exclusiónmutua porque cada salió con una amiga y fue a un solo lugar.Se sugiere usar un formato de la tabla como el que se muestra más bajo. Lasáreas grises de la izquierda van a ser llenadas con la edad del chico. Las áreas dela derecha van a ser llenadas con las actividades que le corresponde hacer cadachico cada día. En este caso no tenemos una exclusión mutua solo tenemoscompletado cuando solo falta una actividadEdadNombredel niñoLunes Martes Miércoles Jueves Viernes9 Delia sacudióLimpio elpisobarrioDio decomerLavoplatos13 MaríaDio decomerbarrioLimpio elpisoLavoplatossacudió14 JuanLavoplatosDio decomersacudió barrioLimpio elpiso12 JuliaLimpio elpisoLavoplatosDio decomersacudió barrio10 Miguel barrio sacudióLavoplatosLimpio elpisoDio decomerCierre¿Qué lograremos en esta lección?Resolver problemas sobre tablas conceptualesColorcabelloAmigas Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes SábadoAmarillo Ana TeatroNegro Corina CineNegro Gloria PartidoAmarillo JuanitaAmarillo Luisa Compras MuseoNegro Marlene ConciertoDíasDías
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 95¿Qué tipos de problemas resolvimos en la lección?Problemas de tabla conceptual¿En que se parecen y no que se diferencia los problemas que resolvimos?En que los problemas de tablas lógicas tienen dos variables cualitativas sobre lacual puede definirse una variable lógica¿Qué lograremos con el estudio de esta unidad?Logramos resolver tablas numéricas, problemas de tablas lógicas, problemas detablas conceptuales y problemas de tablas conceptuales con tres variables¿Qué aplicaciones tiene los estudios con esta unidad?Aprender realizar tablas con una, dos tres o cuatro variablesLECCION 8 PROBLEMAS DE SIMULACIÓN CONCRETA Y ABSTRACTAIntroducción¿Sobre qué trato la primera unidad de este libro?Introducción a la solución de problemas¿Sobre qué trataron la segunda y tercera Unidad de este libro?Problemas de relaciones con una variable yProblemas de relaciones con dos variables¿Qué tipos de relaciones se usaban en los problemas de la unidad anterior?Tablas conceptuales¿Qué tienen en común todas los tipos de estrategias que vimos en la unidadanterior?Que tienen un orden para resolver¿En qué consiste la estrategia de postergación en la solución de problemasConsiste en dejar para más tarde aquellos datos que parezcan incompletos hastatanto se presenta otros datos que complementen la información y los permitaprocesarlos
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 96PRESENTACION DEL PROCESOHasta ahora el tiempo no había jugado ningún papel en todos los problemas quehemos estudiado; a este tipo de evento o situación se les denomina estática.Ahora vamos a encontrarnos con situaciones que cambian en el tiempo, las cualesllamaremos dinámicas.Para entender mejor un fenómeno cambiante podemos ubicarnos en un planoreal y podemos reproducir de manera directa el evento o situación. Esto sedenomina situación concreta. Ahora también podemos apelar a nuestra memoria,a diagramas y a representaciones simbólicas del fenómeno estudiado, estasegunda alternativa generalmente requiere de un esfuerzo menor y da lugar a loque llamamos una simulación abstracta.Veamos un ejercicio y comprenderemos este proceso:Ejercicio 1. La casa de Pedro está ubicada en una calle que tiene dirección norte-sur y tiene10 metros de ancho la calle. Pedro sale de su casa y camina 30 m ala norte dobla aladerecha y camina 40 m dobla de nuevo a la derecha y camina 10 m una vez más dobla a laderecha y camina 30 m. finalmente dobla a la izquierda y camina 20m. ¿Dónde seencuentra Pedro?Tenemos un enunciado que da información yplantea una interrogante. Por lo tanto estamosante un problema. Inmediatamente podemosobservar que la posición de Pedro va cambiando amedida que trascurre el tiempo o sea que estamosante un problema dinámico.Las variables involucradas son dirección derecorrido y distancia recorrida pero va tomando
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 97valores diferentes a medida que va pasando el tiempo.Podríamos reproducir o simular el recorrido pero tendríamos que tener un patiomuy grande. Esto sería una representación muy concreta, pero podemos optar poruna representación mediante dibujos y gráficos. Para esto hagamos un diagramaque nos permita visualizar el problema.Esta la casa de Pedro, frente a una calle de 10 m de ancho y que tiene unaorientación norte sur. Con este diagrama como guía podemos iniciar la lectura delproblema parte por parte para ir representando los cambios que se describe en elenunciado es decir iniciamos la aplicación de laestrategia particular para la solución de este tipo deproblemas.Pedro se desplaza 30m en dirección norte. Podemosimaginar a Pedro caminado por la dirección norte –surcon su cara mirando en el sentido norte.El recorrido se inicia justo frente a su casa y termina a30 m del punto de partida en el sentido norte. Estárepresentado por la flecha negra con la indicación de30 cm.Al termino de recorrido de los 30m hacia el norte. Pedro dobla a la derecha yrecorre 40m. Ahora Pedro se desplaza en la dirección este oeste con sentido aloeste. Luego dobla de nuevo ala derecha y recorre 10m. Ahora regresa a ladirección norte sur pero ahora con sentido sur. Al termino de los 10m dobla denuevo a su derecha y se desplaza 30m regresa a la dirección este oeste yfinalmente dobla a su izquierda y recorre 20m, lo cual está representado con laquinta flecha.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 98Hemos completado de vaciar lainformación del enunciado del problema.Como resultado haber usado eldiagrama, ahora podemos visualizar elrecorrido completo que siguió pedro.Por inspección del diagrama, se contestala pregunta acerca de la ubicación dePedro. Está a 10 m al este de la puertade salida de su casa; también podemoscontestar que está en la acera deenfrente (cruzando la calle), justo frentea la puerta de su casa. La primera respuesta es precisa ubicando la posición dePedro, la segunda es informal, es un lenguaje coloquial.Usando el diagrama podemos verificar la exactitud de cada uno de los pasos y delresultado final de una manera sencilla. Una vez que verifiquemos concluimos conel problema.Hemos resuelto el problema utilizando una nueva estrategia que denominamossimulación. Si la hacemos recorriendo físicamente lo planteado en el problema, lallamamos simulación concreta.Si la hacemos, como fue el caso, usando un diagrama con una representaciónsimbólica de las diferentes acciones que plantea el problema, la llamamossimulación abstracta. Estas son las estrategias básicas para la solución deproblemas dinámicos.SITUACION DINAMICAUna situación dinámica es un evento o suceso que experimenta cambios a medida quetranscurre el tiempo. Por ejemplo, el movimiento de un auto que se desplaza en un lugar Aun lugar B. El intercambio de dinero y objetos de una persona que compra y vendemercancía.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 99Práctica 1. Una persona camina por la calle Carabobo, paralela a la calle pichincha: continuacaminado por la calle Chacabuco que es perpendicular a la pichincha. ¿Está la personacaminando por una calle paralela o perpendicular a la calle Carabobo?SIMULACION CONCRETALa simulación concreta es una estrategia para la solución de problemas dinámicos que sebasan en una reproducción física directa de las acciones que se proponen en el enunciado.También se le conoce con el nombre de “puesta en acción”.SIMULACION ABSTARCTAEs una estrategia para la solución de problemas dinámicos que se basa en la elaboración degráficos, diagramas y presentaciones simbólicas que permiten visualizar las acciones que seproponen en el enunciado sin recurrir a una reproducción física directa.Practica del proceso¿De qué trata el problema?Sobre una persona que camina por la calle¿Cuál es la pregunta?¿Está la persona caminando por una calle paralela o perpendicular a la calleCarabobo?¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?2 variables (nombre y ubicación de la calle)Representación:
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 100Práctica 2. Un conductor emprende el ascenso de una pendiente muy inclinada queademás está resbaladiza por las intensas lluvias en la región y que tiene unalongitud de 35 metros. Avanza en impulsos de 10 metros pero antes de iniciar elpróximo impulso se desliza hacia atrás 2 metros antes de lograr el agarre en la vía.¿Cuántas veces tiene que impulsarse para subir la pendiente y colocarse en la parteplana de la vía?ChacabucoCarabobo PichinchaRespuestaR= esta caminando por la calle perpendicular¿De qué trata el problema?De un conductor¿Cuál es la pregunta?¿Cuántas veces tiene que impulsarse para subir la pendiente y colocarse en laparte plana de la vía?¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?Una variable (metros)Representación:CaraboboPichincha
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 10118888Practica 3. Hay cinco cajas de gaseosas en un lugar y tienen que llevarse adiferentes sitios como sigue: la primera a 10m de distancia del origen, la segundaa 20m, la tercera a 30m, y así sucesivamente hasta colocarlas siempre a 10m dela anterior. En cada movimiento la persona sale del origen, lleva la caja al lugarque corresponde y regresa al lugar de origen. Este proceso se repite hasta movertodas las cajas y regresar al punto de origen. Si solo se puede llevar una caja encada intento, ¿Qué distancia habrá recorrido la persona al finalizar la tarea?¿De qué trata el problema?Gaseosas¿Cuál es la pregunta?¿Cuántas veces tiene que impulsarse para subir la pendiente y colocarse en laparte plana de la vía?¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?Dos variables gaseosas y los metros que recorreRepresentación:
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 10210m 2020m 4030m 6040m 8050m 100Practica 4. Un buque petrolero de 200m de eslora avanza lentamente a 200 mpor minuto para pasar un canal que tiene 200 metros de longitud. ¿Cuánto tiempose demora el buque desde el instante que inicia su entrada al canal hasta elinstante en que sale completamente de éste?¿De qué trata el problema?Buque Petrolero¿Cuál es la pregunta?¿Cuánto tiempo se demora el buque desde el instante que inicia su entrada alcanal hasta el instante en que sale completamente de éste
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 103¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?Dos variables (los metros y las variables)Representación:20 cm200cmRespuesta:R= el tiempo que demora el buque es dos minutosREPRESENTACION MENTAL DE UN PROBLEMALa elaboración de diagramas o graficas ayuda a entender lo que se plantea en elenunciado y a la visualización de la situación. El resultado de esta visualizacióndel problema es lo que se llama representación mental de este. Estarepresentación es independiente para lograr la solución del problema.Cierre¿Qué estudiamos en esta lección?Problemas de simulación concreta y abstracta¿Qué es un problema dinámico?Es un evento o suceso que experimenta cambios a media que transcurre eltiempo
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 104¿Qué estrategias utilizamos para resolver los problemas?Simulación dinámica, simulación concreta, simulación abstracta¿En qué consiste la simulación concreta?Es una estrategia para la solución de problemas dinámicas que se basa en unareproducción física, directa de las acciones que se proponen en el enunciado¿A qué se refiere la simulación abstracta?Estrategia para la solución de problemas dinámicos que se basa en la elaboraciónde gráficos diagramas representaciones simbólicas que permiten visualizar lasacciones y se proponen en el enunciado sin recurrir a una reproducción físicadirecta¿Por qué es importante elaborar esos esquemas o diagramas en la soluciónde estos problemas?Porque nos ayuda a entender lo que se plantea en el enunciado y la visualizaciónLECCION 9 PROBLEMAS DE SIMULACIÓN CONCRETA YABSTRACTAIntroducción¿Qué estudiamos en la lección anterior?Problemas de simulación concreta y abstracta¿Por qué se llaman dinámicos los problemas de esta unidad?Porque son fáciles de resolver y entretenidos¿Cuál estrategia hemos estudiado para comprender y resolver estosproblemas?Estrategia de Diagrama de Flujo
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 105Presentación del problemaLa simulación concreta o abstracta permite representar o reconstruir fenómenosque se producen al transcurrir del tiempo. El tipo de problema estudiado secaracteriza por una evolución temporal con un inicio y un final. Otro tipo deproblema que depende del tiempo son los de flujo o intercambio. En este caso seidentifica una variable y se ve cómo va cambiando su valor mediante accionesrepetitivas que se lo incrementan o disminuyen. Por ejemplo, la variable caudal enel caso de un rio. Con cada afluente el caudal del rio se va incrementando, y concada forma de agua (para riego o consumo) el caudal del rio se va disminuyendo.Problemas de características similares al del caudal del rio son muy frecuentes enla vida cotidiana. Por tal razón planteamos una estrategia de solución de ese tipode problemas dinámicos.Veamos un ejercicio para ilustrar este tipo de situación.Tenemos un enunciado que da información y plantea interrogantes. Por lo tanto,estamos entre un problema. Inmediatamente podemos observar que el punto departida es la ciudad de Tejo. Luego vienen las ciudades Pueblo Nuevo y Caicara,a lo largo de este recorrido tiene varios afluentes y tomas de agua.Si quisiéramos simular este problema deberíamos hacer un tránsito desde Tejohasta Caicara, sin embargo, ese tránsito es muy similar al enunciado delproblema y no nos aporta mucha ayuda para resolver el problema. En este caso elproblema gira alrededor del caudal del Río Verde, y de sus cambios por losefectos de lolos afluentes y tomas. Podemos representar esta situación con unesquema como el que sigue:Ejercicio 1. El rio verde tiene una caudal de 150 m3/s (metros cubitos porsegundo) al pasar por la ciudad Tejo. 5km; aguas debajo de Tejo ledesemboca el afluente Río Azul de 22 m3/s y 7,5km , más adelante quedala toma para el acueducto del Pueblo Nuevo que consume 10 m3/s,ubicado 2,5kkm, antes de Pueblo Nuevo. 2,5 km aguas debajo de PuebloNuevo esta la toma del sistema de riego del valle Turbio que demanda 37m3/s y 10km mas adelante le desemboca el Río Blanco de 55 m3/. 5kmmas debajo de rio pasa por Caicara donde el acueducto consume 15 m3/s¿Cuál es el caudal del rio Verde después de Caicara? ¿Cuánto es ladisminución del caudal por conceptos de tomas de acueducto y riesgosentre Tejo y Caicara? ¿Cuál es la longitud del recorrido del rio entre Tejo yCaicara?d
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 106Tejo Pueblo CaicaraNuevoEn el grafico se representan los hechos. El Rio Verde con la flecha amarilla queapunta que apunta en la dirección que fluye el rio. Se muestran las ciudades deTejo, Pueblo Nuevo y Caicara, y se indica el caudal del rio en Tejo. Con estediagrama podemos iniciar la lectura de la información que aporta el enunciado delproblema. Nos habla del afluente Rio Azul a 5km con caudal 22 m3/s, de la tomapara el acueducto del Pueblo Nuevo a 7,5km que consume 10 m3/s, 2,5km antesde llegar a Pueblo Nuevo.Tejo Pueblo CaicaraNuevoContinuando la lectura podemos vaciar la información del enunciado del problemaen el gráfico y obtenemos el siguiente diagrama:Tejo Pueblo CaicaraNuevoCon este esquema podemos abordar las repuestas a las interrogantes que nosplantea el problema. La primera, ¿Cuál es el caudal del rio Verde después deCaicara? Para calcular el caudal después de Caicara partimos del caudal en Tejo,le sumamos el total de todos los afluentes, y le restamos el total de todas lastomas. Esto nos da:150 m3/s+ (22 m3/s+55 m3/s)-(10 m3/s+37 m3/s+15 m3/s) =150 m3/s+77 m3/s-62 m3/s=165 m3/s¿Cuánto es la disminución del caudal por conceptos de tomas de acueducto yriesgos entre Tejo y Caicara? Es la suma de todas las tomas de agua:10 m3/s+37 m3/s+15 m3/s=62 m3/sRío AzulRío Azul Río BlancoAcueductoRío BlancoTomaRío Blanco
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 107¿Cuál es la longitud del recorrido del rio entre Tejo y Caicara? A partir del gráfico,por inspección nos da:5 km+7, 5 km+2, 5 km +10 km+5 km=32, 5 kmTambién podríamos haberlo hecho construyendo una tabla que no da variosresultados a medida que la vamos construyendo.Localización Distancia alpunto previoDistanciaacumuladaVariación decaudalCaudalacumuladoTejo 0 km 0 km 0 m3/s 150 m3/sDesembocaduradel Río Verde5 km 5 km +22 m3/s 172 m3/sToma acueductoPueblo Nuevo7,5 km 12,5 km -10 m3/s 162 m3/sPueblo Nuevo 2,5 km 15 km 0 m3/s 162 m3/sToma riego delvalle Turbio2,5 km 17,5 km -37 m3/s 125 m3/sDesembocaduradel Río Blanco10 km 27,5 km +55 m3/s 180 m3/sToma acueductoCaicara5 km 32,5 km -15 m3/s 165 m3/sCaicara 0 km 32,5 km 0 m3/s 165 m3/sA partir de la tabla podemos obtener todos los valores que habíamos calculadoantes, pero ahora, también podemos obtener respuesta a otras interrogantes, porsimple inspección, como por ejemplo, ¿Cuál es el caudal del Rio Verde en PuebloNuevo? La respuesta es 162 m3/s.La elaboración del esquema anterior constituye una estrategia particular pararesolver este tipo de problemas donde se tienen flujos o intercambios. Estaestrategia se llama de Diagrama de Flujo.Estrategia de diagramas de flujoEsta es una estrategia que se basa en la construcción de un esquema odiagrama que permite mostrar los cambios en la característica de una variable(incrementos o decrementos) que ocurren en función del tiempo de manerasecuencial. Este diagrama generalmente se acompaña con una tabla que resumeel flujo de la variable.En el ejercicio trabajado anteriormente la variable que se muestra es el caudal delrio. Los cambios son originados por los afluentes (aumentos) y las tomas de agua(decrementos).
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 108¿De qué trata el problema?Recorrido del bus y los pasajeros¿Cuál es la pregunta?¿Cuántos pasajeros se bajaron en la última estación? ¿Cuántas personas quedanen el bus después de la tercera parada? ¿Cuántas paradas realizo el bus?Representación:Completa la siguiente tabla:Parada Pasajeros antesde parada# pasajeros quesuben# pasajeros quebajanPasajerosdespués deparada1 0 25 0 252 25 8 3 303 30 4 0 344 34 5 15 245 24 1 0 176 17 0 17 0Respuesta:R= en la última parada se quedan 17 personasR= Se quedan después de la tercera parada 34 personasR= El buza hizo 6 paradasPráctica 1. Un bus inicia su recorrido sin pasajeros. En la primera parada sesuben 25; en la siguiente parada bajan 3 y suben 8; en la otra no se bajanadie y suben 4; en la próxima se bajan 15 y suben 5; luego bajan 8 y sesube 1, y en la última parada no sube nadie y se bajan todos. ¿Cuántospasajeros se bajaron en la última estación? ¿Cuántas personas quedan en elbus después de la tercera parada? ¿Cuántas paradas realizo el bus?2508340515180
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 109¿De qué trata el problema?Tienda de artículos deportivos¿Cuál es la pregunta?¿Cuál fue el saldo de ingresos y egresos de la tienda de Juan al final delsemestre? ¿En qué meses Juan tuvo mayores ingresos que egresos?Representación:Enero Febrero Marzo Abril Mayo JunioPráctica 2. Juan decidió abrir en enero una pequeña tienda de artículosdeportivos. Para esto, en el mes de enero tuvo considerables gastos parael seguimiento y compra de artículos para la tienda; invirtió 12.000 Um ysolo tuvo 1.900 Um en ingresos producto de las primeras ventas. El messiguiente aun debió gastar 4.800 Um en operación pero sus ingresossubieron a 3.950 Um. El próximo mes se celebró un torneo de futbol en laciudad y las ventas subieron considerablemente a 9.550 Um mientrasque los gastos fueron de 2.950 Um. Luego vino un mes tranquilo en elcual el gasto estuvo en 3.800 Um y las ventas en 3.500Um. el messiguiente también fue lento por los feriados y Juan gasto 2.800 Um ygenero ventas por 2.500 Um. Para finalizar el semestre, el negocio estuvomuy activo por los equipamientos para los cursos de verano; gasto 7.600Um y vendió 12.900 Um ¿Cuál fue el saldo de ingresos y egresos de latienda de Juan al final del semestre? ¿En qué meses Juan tuvo mayoresingresos que egresos?1200190048003950295095503800350028002500760012900
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 110Completa la siguiente tabla:MESES GASTOS INGRESOS BALANCEEnero 12000 1900 -10100Febrero 4800 3950 -850Marzo 2950 9550 +6600Abril 3800 3500 -300Mayo 2800 2500 -300junio 7600 12900 +5300totales 33950 24300 +350Respuesta:R= los ingresos son $24300R= los egresos son $233950R= en los meses de Marzo Y Junio tuvo mayores Ingresos $22450¿De qué trata el problema?De tres amigos que coleccionan cromos de jugadores de futbol. Durante el díacompran, venden, intercambian y se traspasan cromos entre ellos.¿Cuál es la pregunta?Determinar el número de cromos que tiene cada uno al final del día.Ejercicio 2. Antonio, Alejandro y Arístides son tres amigos que coleccionancromos (estampas o barajitas) de jugadores de futbol. Antonio tenía 50cromos y compro dos paquetes de 5 cromos cada uno. Alejandro tenía 30cromos y le dio a Antonio 5 de los cromos que tenía repetidos a cambio de2 que le faltaban. Arístides comienza su colección con 10 cromos, peroAntonio y Alejandro le regalaron cada uno 5 cromos. Al final del díaArístides compro un paquete de cromos y Antonio vendió a un familiar 20cromos de sus cromos repetidos. Al final del día, ¿Cuántos cromos tienencada uno?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 11140Las variables son el número de cromos y el tipo de transacción. Los tres amigosno son variables porque están fijos en el proceso.En este problema tenemos flujo de cromos, pero el flujo no es en una únicadirección como en el rio, sino que cambia de acuerdo con el tipo de transacción ylos amigos participantes.¿Qué podemos hacer? Tratemos un diagrama donde representamos todos losparticipantes indicando el número de cromos que tenía a comienzos del día.También representamos la primera transacción que es de Antonio. La compra de10 cromos la podemos representar con una flecha sólida que apunta en ladirección donde quedan los cromos al final de la transacción. Por tal razón laflecha la trazamos apuntando hacia Antonio que es donde quedan los cromos.En la próxima figura seguimos representando otras transacciones usando nuestraconvención del sentido de las flechas. Cambiamos el tipo de flecha para indicarque son transacciones de diferente tipo. El intercambio entre Alejandro y Antoniolo representamos con las flechas curvas de dos direcciones, y los regalos deAntonio y Alejandro de 5 cromos a Arístides los representamos con flechassegmentadas.AntonioCompraArístides Alejandro50101030CompraArístides Alejandro501010Antonio5255RegalaCambioRegala
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 112Finalmente, representamos las dos últimas transacciones: la compra de 5 cromospor parte de Arístides con flecha solida (igual que la compra inicial de Antonio), yla venta de 10 cromos de Antonio para la cual usamos la flecha punteada.Ya hemos completado el diagrama correspondiente al enunciado del problema.Ahora continuamos la estrategia interpretando el grafico para obtener la respuestaa las interrogantes planteadas en el problema. Debemos recordar nuestraconvención: si la flecha entra a una persona es por esa persona recibe cromos; ypor el contrario, si sale es que pierde cromos. Centrémonos ahora en una personadeterminada, por ejemplo, Antonio. El grafico vemos que tenía 50 cromos, recibe10 y 5 cromos por las dos flechas que salen de él. 50 más las 15 que nos da 65cromos, y si a este número le restamos los 25 cromos que pierde, a Antonio lequedan 40 cromos. Debemos ahora repetir algo similar para los otros os amigos, yde esta manera, contestar la interrogante del problema. Sin embargo estopodemos hacerlo de manera muy sencilla con una tabla como en el caso de losproblemas anteriores.Esta tabla nos permite identificar la respuesta a la interrogante del problema.Respuesta:Al final del día Antonio tiene 38, Alejandro tiene 22 y Arístides 25.A partir de la tabla podemos hacer otras operaciones. Por ejemplo, inicialmentetenían entre todos 90 cromos, y al final tenían 85 cromos. Esto se debe a que, aPesar de que el grupo adquirió 15 cromos, Antonio vendió 20, así que el grupo tuvo unapérdida neta de 5 cromos.amigos Cantidad inicial recibe Cantidad finalAntonio 50 20+2+5 38Alejandro 30 5+5 22Arístides 10 0 25CompraArístides Alejandro501010 40Antonio5255RegalaCambioRegalaVende20
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 113Cierre¿Qué aprendimos en esta lección?Problemas de diagrama de flujo de intercambio¿Qué características tienen estos problemas?Son problemas dinámicos porque tienen variables que aumentan y disminuyen¿En qué consisten estas relaciones?En cambios¿Cómo hicimos para estudiar este nuevo tema durante la lección?Simulación abstractaLección 10 problemas dinámicos. Estrategia medios – fines.IntroducciónEn las dos lecciones anteriores de esta Unidad estudiamos la simulación concretay abstracta, y trabajamos un tipo de simulación abstracta particular que se llama“diagrama de flujos”. El nivel de representación mediante relaciones y fórmulasmatemáticas corresponde al más elevado en términos de grado de abstracción.Una visión detallada de estos niveles escapa del objetivo de este curso, sinembargo, consideramos importante presentar los fundamentos de este nivel deabstracción.Recordemos el ejercicio 2 de la lección anterior. Los tres amigos Antonio,Alejandro y Arístides coleccionan cromos. Inicialmente tenían un cierto número decromos cada uno; se ejerce una acción específica que es la compra de dospaquetes de 5 cromos cada uno por parte de Antonio. Después de ejecutar laacción hay un cambio en el número de cromos que tienen cada uno de los amigosal inicio, después de cada transacción y al final.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 114# deFilaNúmero y tipo de transacciónCromos de1 Cromos al inicio del día 50 30 102Primero transacción, compra de 10cromos por Antonio60 30 103Segunda transacción, intercambio decromos: Alejandro de 5 cromos aAntonio y recibe 2 de Antonio63 27 104Tercera transacción, regalo de 5 cromosde Antonio y 5 de Alejandro a Arístides58 22 205Cuarta Transacción, compra de 5cromos por Arístides.58 22 256Quinta Transacción, venta de 20 cromospor Antonio a una persona externa.38 22 257 Cromos al final del día 38 22 25Los tres amigos con sus cromos definen el límite de interés de este problema.Para distinguirlo del resto del mundo llamamos estos elementos “sistema”. Elsistema sirve para definir el ámbito al que se circunscribe o que contiene elproblema o situación de interés.Las tres columnas de la derecha en cada fila representan como está la situacióndel número de cromos de cada amigo. En la fila 1 hay una situación. En la fila 2hay una nueva situación diferente a la anterior, y así, se repiten estas situacioneshasta la fila 7. A esta situación le damos el nombre de “estado”. A la fila 1 lallamamos estado inicial, a la fila 7 estado final, y a las demás filas estadosintermedios. Cada estado está definido por las características de las variables deinterés en el sistema. En este caso particular hay solo una variable de interés elnúmero de cromos de cada uno de los tres amigos. Si Antonio está en su casa oen la calle, sentado o parado, nos tiene sin cuidado. Podemos afirmar que esavariable permite describir integradamente el estado del sistema.Antonio Alejandro Alrístides
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 115La columna con las celdas sombreadas nos indican que acciones estánejecutando los amigos que afectan el estado del sistema, es decir, que producencambios en la variable de interés y generan un nuevo estado. A una acción quegenera un nuevo estado lo llamamos “operador”.Cada una de las celdas identifica el operador que está actuando y que da lugar alnuevo estado descrito en las columnas de la derecha. En este caso en particulartenemos los operadores compra de cromos, intercambio de cromos, regalo decromos y venta de cromos. Noten que la fila 2 y la fila 5 tienen el mismo operador,pero actúa sobre diferente persona. Eso significa que cada operador debe serdescrito especificando todas las condiciones que determinan los cambios quegenera.Otro ejemplo de sistema puede ser el ascensor de un edificio público. El estadoinicial es el piso de partida y el estado final es el piso de llegada. Los estadosintermedios son los pisos intermedios donde se detiene. En este caso hay dosoperaciones, uno, subir pasajeros y, otro, bajar pasajeros. Sin embargo, con todaseguridad existe una capacidad máxima para el ascensor, por ejemplo, cargamáxima de 800 Kg o 10 pasajeros. Esto es una limitación en la acción deloperador. Este tipo de limitación es llamada una “restricción”.Cada situación tiene un sistema que contiene o define los elementos propios de lasituación, tiene una o varias variables que permiten establecer el estado delsistema, y tiene uno o más operadores, con sus respectivas restricciones, quegeneran cambios y que determinan la evolución en el tiempo del sistema. Por estarazón estas definiciones son aplicables a problemas dinámicos.Presentación del procesoVeamos un ejercicio para ilustrar este tipo de situación.Ejercicio 1. Roberto y sus dos hijos, Mario y Víctor, están en una margen deun rio que desean cruzar. Es necesario hacerlo usando el bote que disponen,cuya capacidad máxima es de 100 kg. SI Roberto pesa 90 kg y Mario y Víctor40 kg cada uno, ¿Cómo pueden hacer para cruzar el río?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 116Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante. Por lotanto, estamos ante un problema. Inmediatamente podemos identificar loselementos que se indican en el enunciado:Sistema: río con tres personas (Roberto con Mario y Víctor) y un bote.Estado inicial: Roberto, Mario y Víctor en una ribera del rio con el bote.Estado final: Roberto, Mario y Víctor en la ribera opuesta del rio con el bote.Operadores: Cruzando del rio con el bote.Restricciones: capacidad máxima del bote de 100 kg.¿Cómo podemos describir el estado? Utilicemos la siguiente notación:(P, N, N, b:: )Esto significa que los cuatro puntos simbolizan el río. En la ribera izquierda estánRoberto (P), Mario (N), Víctor (N) y el bote (b). Hemos representados los donniños con la misma letra N porque para efectos del problema son iguales. En laribera derecha no hay ningún elemento. Otro ejemplo con la notación (N, b:: P,N)significa que uno de los hijos ( Mario o Víctor) y el bote están en la riberaizquierda, y Roberto y el otro hijo están en la ribera derecha.Ahora debemos revisar el operador. ¿Qué posibilidades existe para cruzar el rio?Bueno, las posibilidades son:Bote con 1 hijo (cualquiera de los dos); peso del bote: 40 Kg.Bote con 2 hijos: peso del bote 80 kg.Bote con padre; peso en el bote 90 Kg.Bote con padre y un hijo; peso del bore 130 kg.Bote con padre y 2 hijos; peso en el bote: 170 Kg.El peso dentro del bote en las posibilidades 4 (130kg) y 5 (170kg) exceden los 100Kg de capacidad máxima del bote. Tomando en cuenta la restricción del problemasolo tenemos tres posibilidades para el operador del problema.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 117A 1A 2A 2A 3A 2La evolución en el tiempo resulta de la ejecución de acciones. Para la primeraacción apliquemos el operador al estado inicial. Recordemos el estado inicial:padre y dos hijos con el bote en la ribera izquierda del rio. La posibilidad 1 significaque un hijo toma el bote y cruza el rio. La posibilidad 2 significa que los dos hijostoman el bote y cruzando el rio. Y la posibilidad 3 significa que el padre toma elbote y cruza el rio. Con cada aplicación del operador surge un nuevo estado. Estopodemos representarlo como sigue:(P, N, N, b:: )(P, N :: N, b ) (P:: N, N, b:: ) (N, N :: P, b)Este diagrama significa que a partir del estado inicial se generan tres estadosintermedios como resultado de la aplicación de las tres posibilidades del operadordel problema. El estado inicial deja de existir, y en su lugar tenemos tres posiblesnuevos estados, como se ve visualiza en el diagrama.El resultado de la ejecución de una segunda acción lo obtenemos repitiendo laacción de aplicación del operador a cada uno de los tres posibles estadosresultantes de la primera acción. Para el estado (P, N :: N, b ), resultante deaplicar la posibilidad 1, tenemos que solo es posible que el hijo tome el bote ycruce el rio, con lo cual regresa al estado inicial. Para el estado (N, N :: P, b)ocurre lo mismo; solo existe la posibilidad 3, que significa que el padre toma elbote, cruza el rio y regresa al estado inicial. Para el estado (P:: N, N, b:: ) lasituación es diferente. Existe dos alternativas del operador, la posibilidad 2 y laposibilidad 1; es decir, que los dos hijos tomen el bote, crucen el rio y regresen alestado inicial, o que uno de los dos hijos tome el bote, cruce el rio y genere elnuevo estado (P, N, N, b:: ), diferente de todos los estados existentes hasta ahora.El diagrama se amplía y queda como sigue:
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 118A 1 A 2A 2A 3A 2A 2A 2A 3A 2A 1A 2A 1A 2A 1 A 2A 2A 3A 2A 2A 2A 3A 2A 1A 2A 1A 2A 3A 2(P, N, N, b:: )(P, N :: N, b ) (P:: N, N, b:: ) (N, N :: P, b)( P, N, b:: N)En este segundo diagrama se muestran todas las alternativas posibles estadosalcanzados después de ejecutar dos acciones. Podemos destacar los siguientescambios, primero, las flechas de retorno que aparecen en las tres fechas inicialesque teníamos; y segundo, la aparición de una flecha para representar la ejecucióndel operador que genera un nuevo estado. Para seguir la evolución en el tiempoinvocamos la ejecución de una tercera acción. En la tercera acción la únicasituación novedosa resulta de aplicar el operador al nuevo estado posible quesurgió de la segunda ejecución del operador. Para este estado ( P, N, b::N) haydos alternativas de aplicación del operador, la posibilidad 1 (hijo toma el bote ycruza), con la cual regresa al estado anterior, o la posibilidad 3 (padre toma el botey cruza), con la cual se genera un nuevo estado. El nuevo diagrama resultante detodas las alternativas posibles después de ejecutar tres acciones es:(P, N, N, b:: )(P, N :: N, b ) (P:: N, N, b:: ) (N, N :: P, b)( P, N, b:: N)( N:: P, N, b)
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 119A 1 A 2A 2A 3A 2A 2A 2A 3A 2A 1A 2A 1A 2A 3A 2A 3A 2A 1A 2A 1A 2A 2A 2En este tercer diagrama hemos incluido los dos cambios producto de la ejecuciónde la tercera acción: el retorno al estado anterior y el nuevo estado resultante de laaplicación de la posibilidad 3 del operador.Ya hemos visto cómo actúa el operador con la ejecución de cada acción. Para lacuarta ejecución si el padre toma el bote y cruza, regresamos al estado anterior,pero si el hijo toma el bote y cruza, generamos el nuevo estado ( N, N, b:: P). Yrepitiendo el procedimiento descrito ambos hijos toman el bote y cruzan el rio. Eldiagrama resultante con la ejecución de las acciones cuarta y quinta es:(P, N, N, b:: )(P, N :: N, b ) (P:: N, N, b:: ) (N, N :: P, b)( P, N, b:: N)( N:: P, N, b)( N, N, b:: P).( :: P, N, N, b)Para que el grupo cruce el rio deben hacer lo siguiente: primero los dos hijoscruzan con el con el bote, uno de los hijos se queda en la ribera derecha y el otroregresa con el bote, entonces el padre cruza el rio, luego el hijo que se quedó
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 120cruza el rio y, finalmente, ambos hijos cruzan el rio para completar el objetivoplanteado.La estrategia que acabamos de completar se llama Medios – fines, y es laestrategia más sofisticada para la solución de problemas dinámicos. El diagramaque completamos se le llama espacio del problema o de la situación planteada.ESTRATEGIA MEDIO-FINESEs una estrategia para tratar situaciones dinámicas que consiste en identificar unasecuencia de acciones que transformen el estado inicial o de partida en el estado finalo deseado .para la aplicación de esta estrategia debe definirse el sistema, el estado, losoperadores y las restricciones existentes, luego se constituye un diagrama conocidocomo ESPACIO DEL PROBLEMA y la solución consiste en identificar la secuenciade los operadores que se deben aplicar para el estado inicial como el final.DEFINICIONESSISTEMA: Es el medio ambiente con todos los elementos e interacciones existentesdonde se plantea la situación.ESTADO: Conjunto de características que describen integralmente un objeto, situación oevento en un instante dado; al primer estado se le conoce como “inicial” al último como“final”, y a los demás como “intermedios”OPERADOR: Conjunto de acciones que definen un proceso de transformaciónmediante el cual se genera un nuevo estadoapartirdeunoexistente; cadaproblema puedetener uno o más operadoresactúanenformaindependiente y uno a la vez.RESTRICCION: Es una limitación, condicionamiento existente en el sistema quedetermina la forma de actuar de los operadores, estableciendo las características de estosparagenerarelpasodeunestadoaotro.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 121Sistema:Rio con dos misioneros y dos caníbales de un boteEsto inicial:2 misioneros y dos caníbales en un margen de un rio en un boteEstado final:Dos misioneros y dos caníbales en el margen opuesto del rioOperadores:Cruzando del rio con bote¿Cuántas restricciones tenemos en estos problemas? ¿Cuáles son esasrestricciones?Dos: en un mismo sitio el número de caníbales no puede exceder de misioneros,la capacidad del bote es de dos personas¿Cómo podemos describir el estado?Mmccb:( 2 misioneros, 2 caníbales, bote, rio)¿Qué posibilidad o alternativas existen para cruzar el rio con el operadortomando en cuenta la restricción de la capacidad del bote?1.- Bote con un misionero, capacidad de personas2.- Bote con dos misioneros, capacidad dos personas3.- Bote con un caníbal, capacidad de dos personas4.- Bote con dos caníbales, capacidad dos personas5.- Bote con un misionero y un caníbal, capacidad dos personas6.- Bote con dos misioneros 1 caníbal, capacidad dos personas7.- Bote con dos misioneros y dos caníbales, capacidad dos personasPractica 1: dos misioneros y dos caníbales están en una margen de un rio quedesean cruzar. Es necesario hacerlo usando el bote que disponen la capacidadmáxima del bote es de dos personas. Existe una limitación en un mismo sitio elnúmero de caníbales no puede exceder al de misioneros porque, si lo excede, loscaníbales se comen los misioneros.¿ cómo pueden hacer para cruzar los cuatro elrio para seguir su camino??
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 122¿Qué estados aparecen después de ejecutar la primera acción actuandocon las cinco alternativas del operador? Dibuja el diagrama resultante deaplicar todas las alternativas del operador al estado inicial?CCMMB: M.2C:MBCM::CMB 2C::2M,BCMMB: C 2MC::C,BC::CMMB 2M:2C,B:: CCMMB M,C:M,C,B::2M,2C,B2C,2M,B¿Qué ocurre con la alternativa de que un misterioso tome el bote y cruce elrio?Los caníbales comentan a los misionerosConstruye el diagrama después de las consecutivas aplicaciones deloperador. ¿Cómo queda el diagrama?¿Qué estudiamos en esta lección?Problemas dinámicos: estrategia medios fines¿Por qué es importante la estrategia de medios – fines?Permite identificar una secuencia de acciones que transformen el estado inicial enel estado final deseado¿Qué elementos intervienen en la solución de un problema con la estrategiamedios – fines?Sistema, estado, operador, y restricciónMMCCBMC::M,CB2M,2C,BC::2M,B2M,C,B::CM,C,B::MC::2M,2C,B
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 123Unidad V: Solución por búsqueda exhaustivaJUSTIFICACIÓN:La búsqueda exhaustiva es una estrategia que se utiliza para resolver problemasen los cuales no es posible hacer una representación a partir de su enunciado. Eneste tipo de problemas generalmente se identifican características de solución, yen base a estas características se procede en proceso de búsqueda sistemáticade una respuesta.El proceso que se sugiere en esta estrategia es una búsqueda ordenada odisciplinada, que nos permite evitar la prueba al azar con los consiguientesresultados negativos y a veces frustrantes.Existen dos caminos para manejar esta búsqueda sistemática y ordenada de unarespuesta. La primera es generando respuestas tentativas a la cuales sometemosa un proceso de verificación para validar cuales son la solución o solucionesreales,: la segunda es construyendo paso a paso una respuesta que cumpla conlas características planteadas en el enunciado del problema.A la primera alternativa se le denomina “Tanteo sistemático por acotación delerror”, o simplemente “acotación del error” por estar implícito en el tanteo algenerar soluciones tentativas. Este esquema tiene dos momentos, el primero, conla construcción de una tabla de soluciones tentativas, y el segundo momento conla validación para determinar cuáles de ellas son realmente soluciones. El tanteosistemático consiste en definir ordenadamente el conjunto de todas las solucionestentativas del problema. Para la selección de la respuesta es importante seguiruna estrategia apropiada que nos ayude a manejar los números generalmenteelevados de soluciones tentativas hasta encontrar la que se ajusta a losrequerimientos del problema, que es la llamamos respuesta definitiva o real.La segunda alternativa se le denomina “búsqueda exhaustiva por construcciónde soluciones”, o simplemente “construcción de soluciones”. Este esquemadepende de las características particulares descritas en el párrafo anterior.OBJETIVOS:A través de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de:1. Aplicar las estrategias de búsqueda en la resolución de problemas.2. Reconocer los tipos de problemas que admiten el uso de esta estrategia.3. Comprender la utilidad de la estrategia que nos ocupa.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 124Lección 9 problemas de simulación concreta y abstractaIntroducción¿Sobre qué trato la primera unidad de este libro?Introducción a la solución de problemas.¿Sobre qué trataron la segunda y tercera unidad de este libro?Problemas de relación con una y dos variables.¿Sobre qué trato la cuarta unidad de este libro?Problemas relativos a eventos dinámicos.¿Qué tienen en común todas las unidades estudiadas?Resolución de problemas¿Cuál es la estrategia general para la solución de un problema?Leer bien el ejercicio, separar los datos, hacer una representación gráfica y aplicarbien las reglas según el caso de problema.Presentación del problemaHasta ahora siempre hemos combinado la información del enunciado para generarun diagrama, un esquema o una representación tabular a partir de la cualgenerábamos una respuesta, generalmente por inspección. En este caso vamos aencontrarnos con enunciados diferentes que no nos permitan ese tipo derepresentaciones.Veamos un ejercicio para ilustrar este tipo de situación.Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante. Por lotanto, estamos ante un problema. El problema consiste en averiguar cuantosEjercicio 1. En un corral un granjero tiene conejos y gallinas. Un niño lepregunta ¿Cuántos animales tienen de cada uno? El granjero, que le gustajugar bromas, le contesta: “son 16 animales entre gallinas y conejos, por lomenos hay 2 gallinas y conejos, y el número total de patas es de 52”. ¿cómo puede el niño averiguar el número de animales de cada tipo?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 125conejos y gallinas hay en el corral. A partir del enunciado podemos sacar lasiguiente información: que son conejos y gallinas, que hay al menos dos de cadauno, que el número total de animales es 16 y que el número de patas es de 52.La solución tentativa es un número de conejos entre 2 y 14 y un numero degallinas entre 2 y 14 y que sumen 16. Esto podemos verlo mejor si lorepresentamos como sigue:Conejos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2La solución está entre esos trece pares de números. Hemos usado la informaciónque hay por lo menos 2 conejos y 2 gallinas. ¿Cuál es la respuesta? No sabemos.Solo sabemos que esas son todas las soluciones tentativas para el problema. Larespuesta tiene que ser una de ellas.¿Cómo podemos averiguar la respuesta real? Ahora podemos que otro dato era elnúmero de patas. Como es conocido que los conejos tienen 4 patas y las gallinas2, podemos usar esta información, para determinar la respuesta. Podríamos hacer13 veces este cálculo, peor si queremos ahorrar tiempo y trabajo, hagámoslo porparte. Primero calculamos los valores de los extremos para verificar que lasolución está ahí.Sumando el número de conejos por 4 con el número de gallinas por 2 obtenemosel número de patas. 22patas en el caso de 2 conejos y 14 gallinas; y 64 patas enel caso de 14 conejos. Efectivamente, el numero de 52 patas está contenido en ellistado de soluciones tentativas. Ahora, para continuar con nuestro ahorro detiempo y trabajo, probemos el punto medio del listado, esto es, probemos el par de8 conejos y 8 gallinas. Nos da 48 patas.Conejos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2Númerode patas22 48 64Conejos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2Númerode patas22 64
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 126Esto nos indica que la solución está entre 9 conejos y 7 gallinas, y 13 conejos y 3gallinas(ya sabemos que los pares 8 y 8, y 14 y 2 no son respuestas validas, sonsolo soluciones tentativas. Ahora probamos el punto medio del intervalo indicadoanteriormente. Esto es, el par de 11 conejos y 65 gallinas. Nos da la operación 54patas. La representación queda como sigue:Conejos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2Númerode patas22 48 54 64Ahora podemos afirmar que la solución es 9 conejos y 7 gallinas, o 10 conejos y 6gallinas. Como 52 está más cerca de 54 que de 48, probemos primero 10 conejosy 6 gallinas. Obtenemos 52 patas. Exactamente el número que buscábamos.Entonces podemos concluir que la respuesta es que el granjero tiene 10 conejos y6 gallinas en el corral. Este par de números cumple todas las condiciones delenunciado: son conejos y gallinas, mas d e2 de cada tipo de animal, son 16animales y tienen 52 patas.Muy importante, solo tuvimos que hacer 5 evaluaciones del número de patas. Estose debe a que nos fuimos guiando por el error que obteníamos cuandocalculábamos el número de patas. Nos movíamos en la dirección de hacerlomenor; era como encerrar la solución en un rango que era cada vez más pequeño,hasta que llegamos al valor que era la respuesta al problema.Practica del procesoEstrategia de tanteo sistemático por acotación del errorEs tanteo sistemático por acotación del error consiste en definir el rango de todas lassoluciones tentativas del problema, evaluamos los extremos del rango para verificarque la respuesta esta ene el, y luego vamos explorando soluciones tentativas ene lrango hasta encontrar una que no tenga desviación respecto a los requerimientosexpresados ene l enunciado del problema. Esa solución tentativa es la respuestabuscada.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 127¿Cuál es el primer paso para resolver el problema?Leer el problema y sacar información¿Qué tipos de datos se dan ene le problema?12 niños compraron caramelos 4 um y chocolates 2um¿Que se pide?Cuántos caramelos y chocolates compraron los niños si gastaron entre todos 40Um¿Cuáles podrían ser las posibles soluciones? Haz una tabla con los valores.Caramelos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Chocolates 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0Valor total 40¿Qué relación nos puede servir para determinar si una posible respuesta escorrecta? ¿Qué pares de posibles soluciones debemos evaluar paraencontrar la respuesta con el menor esfuerzo?Extremos y medios¿Cuál es la respuesta?R= 8 chocolates y 4 caramelos¿Qué estrategia aplicamos en esta práctica?Acotación del errorPractica 1: en una máquina de venta de golosinas 12 niños compraroncaramelos y chocolates. Todos los niños compraron solamente unagolosina. Los caramelos valen 2Um y los chocolates 4Um ¿Cuántoscaramelos y chocolates compraron los niños si gastaron entre todos 40Um?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 128Haz la practica ahora. El espacio en blanco que sigue es para que anotes másayudas que necesites para adivinar el número que te toque. No sigas leyendohasta completar la prácticaEstrategia binaria para el tanteo sistemáticoEl método seguido para encontrar cuál de las soluciones tentativas es la respuesta correcta sellama estrategia binaria. Para poder aplicar esta estrategia hacemos lo siguiente:Ordenamos el conjunto de soluciones tentativas de acuerdo a un criterio. Por ejemplo, elnúmero de conejos, o el numero chocolates o caramelos.Luego le aplicamos el criterio de validación (el número de patas o el costo de las golosinas a losvalores extremos para verificar si es un uno de ellos la respuesta, o que la respuesta es unasoluciones intermedias.)Continuamos identificando el punto intermedio que divide el rango en dos porciones y leaplicamos la validación de dicho punto. Si esa no es la solución, entonces podemos identificaren que porción del rango esta la respuesta. Como resultado de este paso terminamos con unnuevo rango que tiene la mitad de soluciones tentativas que tiene el rango original. Repetimosel paso anterior comenzando para identificar el nuevo punto intermedio que divide el nuevorango en dos porciones y repetimos la validación en ese punto. Si no hemos acertado larespuesta, terminamos con otro nuevo rango que tienen la cuarta parte de las solucionestentativas que tienen el rango del inicio del problema.Repetimos esto hasta encontrar la respuesta al problema.Este método es muy efectivo para descartar soluciones tentativas incorrectas. El número deevaluaciones necesarias con este método es como sigue:Numero de solucionestentativas2 4 8 16 32 64 128 256 1024Numero de evaluacionespara obtener la respuesta1 2 3 4 5 6 7 8 10Practica 3: esta práctica consiste en un juego. Seleccionar do alumnos.Uno piensa un número entre 1 y 128ambos incluidos que lo va a escribiren un papel que mantienen guardado. El otro alumno trata de adivinar elnumero; para esto solo puede hacer preguntas cuya respuesta sea un “si”o un “no” anota el número de preguntas que hizo cada uno de los alumnosque adivinaba el número. Discutir los resultados.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 129Si la persona responde en menos de 7 preguntas hay 2 alternativas, o el número”o la persona tiene mucha suerte adivinando.Si la persona gasto 8 o más preguntas es que no aplico correctamente laestrategia binaria. ¿Cómo debe hacerlo para que solo requiera, a lo sumo, 7preguntas?A) 3 5 4 6 2= 31Si pongo todos +, queda 3+5+4+6+2= 20, demasiado pequeño, tengo quemultiplicar.Si pongo todos x, queda 3 x 5 x 4 x 6 x 2= 720, demasiado grande. Como 31 estámás cerca de 20 que de 30, voy a ensayar soluciones con 3 sumas y 1multiplicación. Tengo cuatro alternativas:a) 3+5+4+6x2= c)3+5+4x6+2=b) 3+5x4+6+2= d) 3x5+4+6+2=Ahora aplicamos el criterio que nos permita verificar si la alternativa es válida o no.La alternativa c) la suma es 31, con lo cual es una posible respuesta. No sabemossi existen otras respuestas igualmente válidas. ¿Qué pasa si ninguna de estasalternativas es correcta?Determine pasar a ensayar las alternativas con 2 sumas y 2 multiplicaciones.Estas son:a) 3+5+4+6x2= d)3+5+4x6+2=b) 3+5x4+6+2= e) 3x5+4+6+2=c) 3+5x4x6+2= f) 3x5x4x6+2=Y en el caso que ninguna de estas sea una respuesta, hay aún más alternativasde posibles soluciones considerando 1 suma y 3 multiplicaciones.Practica 4: coloca signos + y x entre los números indicados para que laigualdad sea correcta. Dale prioridad a la operación de multiplicación, esdecir, primero multiplica, y luego suma todos los términos al final.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 130a) 3+5x4x6x2= c)3x5x4+6x2=b) 3x5+4x6x2= d) 3x5x4x6+2=En total podemos armar 16 alternativas de posibles soluciones.B) 8 * 2 + 5 =21C) 7 * 5 + 2 * 6 =47D) 9 + 4 * 6 + 2 =35E) 4 * 2 + 3 * 7 + 5 =34Cierre¿Qué estudiamos en esta lección?Problemas de tanteo sistemático por acotación del error¿En qué consiste la estrategia de acotación del error?Consiste en definir el rango de todas las soluciones tentativas del problema,evaluamos los extremos para verificar que la respuesta está en el¿En qué consiste la estrategia binaria para el tanteo sistemático?Encontrar cuál de las soluciones tentativas es la respuesta correctaLECCIÓN 12 PROBLEMAS DE CONSTRUCCION DE SOLUCIONESIntroducción¿Cuál fue la estrategia que estudiamos en la lección anterior?La estrategia binaria para el tanteo sistemático¿De qué trata esta estrategia?Encontrar cuál de las soluciones tentativas es la respuesta correctaPRESENTACION DEL PROCESOLa estrategia del tanteo sistemático es un proceso de ensayo y error, es decir,ensayamos una solución tentativa, si es esa, tenemos la respuesta, y si no es,vamos moviendo en una dirección que vamos encerrando la respuesta en un
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 131rango cada vez más pequeño, hasta encontrar la respuesta. Ahora tenemosproblemas para los cuales no es posible armar una solución tentativa. En estecaso en lugar de hacer el listado de soluciones tentativas, es mas practico tratarde armar la respuesta que cumpla con los requerimientos del enunciado delproblema.Veamos un ejercicio para ilustrar este tipo de situación.En este problema la información que tenemos es que vamos a usar los 9 númerosque hay del 0 al 8 para llenar los recuadros de la figura, con la condición de quetodas las filas, columnas y diagonales sumen 12.Si queremos construir esa figura, con esa condición no podemos colocarcualesquiera tres números entre el 0 y el 8 en una fila o columna. Tiene que sumar12. Entonces un primer paso debería ser buscar todas las ternas de números del 0al 8 que suman 12. Vamos a ver como construimos de manera sistemática yorganizada esas ternas.1Iniciamos con 0 y 1, pero entre el 0 y el 8 no hay un tercer número que nos dala sumas 12. Tomando en cuenta que el mayor número es 8, entonces elnúmero del medio es 4. 0 4 82 Ahora, dejando fijo el 0, podemos aumentar en 1 el 4 y disminuir en 1 el 8.Nos queda otra terna. 0 5 73Si tratamos de hacer lo mismo otra vez, nos quedaría el 0 6 6 y no podemosrepetir números. Esas son todas las ternas que tiene el 0. Para seguir, la únicaopción es pasar el número 1 en el inicio. Colocando 2 de segundo tampocohay un tercero que nos sirva. Así que repetimos lo que hicimos en el primerpaso, primero 1, tercero el 8 y vemos cual es el menor número que puedecompletar la terna. Es el 3. 1 3 84 Repetimos el paso 2, pero dejando fijo el 1. Podemos aumentar en 1 el 3 y 1 4 7Ejercicio 1. Coloca los dígitos del 0 al 8 en los cuadros de la figura de abajo, de formatal que cada fila, cada columna y cada diagonal sumen 12.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 132disminuir en el 1 el 8. Nos queda otra terna.5 Repetimos el paso anterior. Podemos aumentar en 1 el 4 y disminuir en 1 el 7.Nos queda otra terna. 1 5 66Si tratamos de hacer lo mismo otra vez, nos quedaría el 1 6 5. En este caso esla misma terna del caso anterior. Cuando las construimos, siempre llevamoslos números en orden creciente para no repetir ternas. Esas, entonces, sontodas las ternas que tienen el 1 al comienzo, Para seguir, la única opción espasar al número 2 en el inicio. Colocando 3 de segundo, el 7 es el tercero paraque la terna sume 12. Así obtenemos una nueva terna. 2 3 77 Repetimos el paso 2, pero dejando fijo el 2. Podemos aumentar en 1 el 3 ydisminuir en el 1 el 7. Nos queda otra terna. 2 4 68Si tratamos de hacer lo mismo otra vez, nos quedaría el 2 5 5 y no podemosrepetir números. Esas son todas las ternas que tiene el 2. Para seguir, la únicaopción es pasar el número 3 en el inicio. Colocando 4 de segundo, el 5 es eltercero para que la terna sume 12. Así obtenemos una nueva terna. 3 4 59Ahora no podemos aumentar el segundo y disminuir el tercero porquerompemos el orden creciente de los números de la terna. Tampoco podemos iral próximo número porque el tercero sería menor que el segundo.A la derecha tenemos la lista de las 8 ternas posibles para llenar filasde la figura. Lo primero que debemos notar es que el número de lasternas es igual al número combinado de filas, columnas y diagonales,es decir, 3 filas, 3 columnas y 2 diagonales. De tal forma que lo únicoque nos queda es distribuir estas ternas en la figura.Si pensamos en llenar por filas, necesitamos tres ternas que norepitan números ya que debemos usar los nueve números. Porinspección encontramos que hay dos grupos de 3 ternas que norepiten número, estas son las siguientes.0 4 8 0 5 71 5 6 1 3 82 3 7 2 4 60 4 80 5 71 3 81 4 71 5 62 3 72 4 63 4 5
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 133Para decidir dónde y cómo colocamos las ternas quehemosSeleccionado de la lista de 8 ternas, observemos queel 0, el 2, el 6 y el 8 solo figuran en dos ternas; y enla figura los recuadros encerrados en el círculoamarillo solo participan en dos sumas que dan 12.También podemos observar que el 4 es el único número que participan en 4ternas y que el cuadro del centro está en cuatro sumas a 12. Entonces parecenatural que ubiquemos el 4 en el centro y los otros cuatro de la izquierda, la fila delmedio debe ser con la terna 0 4 8; y con el grupo de la derecha, la fila del mediodebe ser 2 4 6.Sigamos con las dos soluciones en paralelo para ver las diferencias que tienenentre ellas. Luego en las otras dos filas debemos poner en el centro los números 2y 6 para el grupo de la izquierda, y 0 y 8 para el grupo de la derecha sigue:20 4 86Luego solo nos queda completar las dos alternativas de solución que vamosconstruyendo. El criterio para completar las figuras es que se cumpla que la sumade columnas y diagonales sea 12, ya que la sima de la fila está garantizadaporque estamos trabajando con las ternas para las tres filas.= 12= 12= 12=12=12=12= 12= 12= 12=12=12=12
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 134Muy bien, hemos construido dos soluciones que cumplen las condiciones delenunciado. Las respuestas son prácticamente la misma. Las diagonales soniguales. La única diferencia es respecto a la forma como distribuimos los primeros5 números, que hay dos alternativas diferentes.La estrategia demostrada anteriormente difiere del tanteo sistemático en que eneste caso nunca hemos tenido soluciones tentativas. El proceso ha sido un deconstrucción paso a paso de una respuesta al problema planteado en elenunciado. Esta estrategia tiene un carácter particular porque cada problemarequiere de una metodología específica para la construcción de su respuesta.Estrategia de búsqueda exhaustiva por construcción de solucionesLa búsqueda exhaustiva por construcción de soluciones es una estrategia quetiene como objetivo la construcción de respuestas al problema mediante eldesarrollo de procedimientos específicos que dependen de cada situación. Laejecución de esta estrategia generalmente permite establecer no solo unarespuesta, sino que permite visualizar la globalidad de soluciones que se ajustanal problema.
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 135¿Cuáles son las ternas posibles?159 168249 258267 348357 456¿Cuáles grupos de tres ternas sirven para construir la solución?159 168267 249258 357¿Cómo quedan las figuras?Estrategia de búsqueda exhaustiva por construcción de solucionesEn este tipo de problemas donde se aplica la búsqueda de soluciones (por acotación o porconstrucción de soluciones) primero que se hace es la búsqueda de la información quevamos usar. En primer lugar se busca la información en el enunciado del problema. Enlas prácticas anteriores la forma de la figura, los números que vamos usar y la condiciónque se le impone están todos en el anunciado.Sin embargo, también podemos extraer información a partir de la solución que se pide enel problema. Por ejemplo, en la practica 2 de esta lección la información de quehay un número participando en 4 ternas diferentes de la figura es extraída de lasolución.Practica 1: coloca los dígitos del 1 al 9 en los cuadros de la figura de abajo, deforma tal que cada fila, cada columna y cada diagonal sumen 15
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 136El enunciado solo nos plantea que reemplacemos las letras por número para quela operación sea correcta. El resto de la información tiene que salir de larespuesta.En primer término tenemos que A + D = D. Eso solo es posible si A es cero.En segundo término tenemos que la suma de D + D tiene dos alternativas, o escero, o es 10, ya que la suma puede tener dos dígitos. Pero para que fuese cerotendría que ser D cero lo cual no se puede. Por lo tanto, la suma debe ser 10, conlo cual de D es cinco.En tercer término tenemos O + O es D. Podríamos decir que O es 2.5 pero eso noes válido.Hemos olvidado algo, la columna a la derecha sumo 10, así que en la operacióndebemos llevar 1. Lo que debimos escribir es 1 + O + O = D, es decir que O + O =D – 1 = 4, ya que D es 5. Por lo tanto O es dos.Reemplazamos los valores para verificar la respuesta nos da:2 5 0+2 5 55 0 5Esta es una operación matemática. Por lo tanto es la respuesta de ejercicio.Ejercicio 2. Identifica los valores de números enteros que corresponden a las letras A, Dy O para que la operación indicada sea correcta. Cada letra solo puede tomar un únicovalor.O D A+O D DD AD
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 137El enunciado solo nos plantea que reemplacemos las letras por los números paraque la operación sea correcta. El resto de la información tiene que salir de larespuesta.En primer término observamos que tenemos S + S = U y O + O = U. ¿Es posibleque dos números diferentes den el mismo número? Hagamos la tabla que siguepara ayudarnos.Primer número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Segundo número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Suma de los dos números (el 1 se lleva ala columna de la izquierda)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18Veamos que el 1 + 1 da 2, pero el 6 + 6 da 12. Coloco el 2 y llevo 1. De esta formaS y O pueden ser los pares (0 y 5), (1 y 6), (2 y 7), (3 y 8) y (4 y 9). Noten que enlos pares el primer número esta entero 0 y 4 y el segundo entre 5 y 9. Las sumasde los número del 5 y 9 consigo mismo llevan 1 a la columna de la izquierda. Estonos obliga a que el número a colocar en la primera columna de la derecha debeser el número menor del par. Si colocamos el mayor llevaríamos un 1 adicionalpara la suma de la segunda columna, con lo cual las sumas de las dos columnasno tendrían el mismo resultado. También se desprende de la operación indicadaen el enunciado que U debe ser un número par.Entonces, O es un numero entre 0 y 4. Con esa información podemos encontrarlos valores correspondientes a la U. El valor cero hay que descartarlo porque ceroEjercicio 3. Identifica los valores de números enteros que corresponden a las letras O, Sy U para que la operación indicada sea correcta. Cada letra solo puede tomar un únicovalor.O S O+U S OS U U
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 138más cero en la primera columna debería dar cero también y veamos la suma delenunciado que suma de la primera columna es un numero diferente al de lostérminos de la suma.O 0 1 2 3 4U 0 2 4 6 8Luego que tenemos los posibles valores de O con U, podemos determinar losvalores correspondientes para la S.O 0 1 2 3 4U 0 2 4 6 8S 6 7 8 9Finalmente podemos calcular el resultado de sumar O con U y el 1 que llevamosde la segunda columna a la tercera columna.O 0 1 2 3 4U 0 2 4 6 8S 6 7 8 9O + U + 1 4 7 10 13A partir de esta última tabla podemos eliminar los valores de 3 y 4 para la Oporque la suma tiene un valor superior a 9 y eso obligaría a tener un cuarto digitoque no es el caso a partir del enunciado. También debemos hacer notar que debecumplirse que O + U + 1 debe ser igual a S. Eso solo se da para el valor 2 para O.Por lo tanto podemos descartar los valores 1, 3 y 4 de la O en la tabla.Reemplazando los valores en la operación para verificar la respuesta nos da:
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 1392 7 2+4 7 27 4 4Esta es una operación matemática correcta. Por lo tanto es la respuesta alejercicio. En esta práctica obtuvimos una respuesta única, sin embargo existencasos en los cuales puede haber más de una solución. Algunas ayudas en estetipo de problemas:Cuando se suman dos números iguales en la primera columna de laderecha el resultado de la suma es un número par, como se muestra en latabla que hicimos en el ejercicio 3.Cuando se suman dos números iguales en otras columnas diferentes a laprimera de la derecha el resultado de la suma es un numero par si la sumade la columna a la derecha es menor de 10, y es un número impar si lasuma de la columna a la derecha es igual o mayor a 10.Si en una columna los dos sumandos son iguales entre si y también soniguales al resultado, hay dos posibilidades: si no se lleva de la columnaanterior, es 0 + 0 = 0; y si se lleva 1 de la columna anterior, es 1 + 9 + 9 =9 y llevo 1 para la columna de la izquierda.A medida que voy identificando número o relaciones entre ellos puedo irconstruyendo una tabla que me ayuda a descartar posibles soluciones quetengan para dos letras diferentes un mismo valor numérico8498491698Practica 1: identificar los valores de números enteros que corresponden a las letraspara que la operación indicada sea correcta. Cada letra solo puede tomar un único valorATEATEOSEA
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 1407317331464CIERRE¿Qué estudiamos en esta lección?Problemas de construcción de soluciones¿Cuántos tipos de problemas estudiamos?Por acotación por construcción de problemas¿En qué consiste la estrategia utilizada en esta lección para resolver losproblemas?La búsqueda exhaustiva por construcción de soluciones es una estrategia quetiene como objetivo la construcción de respuesta al problema mediante eldesarrollo de procedimientos específicos¿Qué pasa si no resolvemos estos problemas de manera sistemática,siguiendo un orden estricto?La respuesta seria errónea¿Cómo me ayuda el aprendizaje de la estrategia construcción sistemática desoluciones?Me ayuda a encontrar soluciones de estrategias mediante procedimientosespecíficosPractica 1: identificar los valores de números enteros que corresponden a las letraspara que la operación indicada sea correcta. Cada letra solo puede tomar un único valorTQMTQQMAJA
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 141Lección 13 problemas de búsqueda exhaustiva, ejercicios de consolidaciónIntroducción¿Qué estudiamos en la lección anterior?Problemas de construcción de soluciones¿Cuál estrategia hemos estudiado para resolver estos problemas?La búsqueda exhaustiva por construcción de solucionesPráctica del proceso¿Qué información puedes obtener del enunciado?El producto de las edades 36 y 3 hijas¿Cuáles son las ocho posibles tres edades cuyo producto sea 26? (factoresde 36= 3x3x2x2x1).Edades Producto SumaHija 1 6 9 18 3 9 12 36 6Hija 2 3 2 2 3 4 1 1 6Hija 3 2 2 1 4 1 3 1 1total 36 36 36 36 36 36 36 36¿Qué significa lo que Pedro le dice “que tuvo tres hijas porque no queríatener una hija única”.Que la primera hija es mayor y las demás son gemelasRespuesta:Practica 1. El señor pedro le pide a un compañero de trabajo que adivinela edad de sus tres hijas. Le da como información que el producto de lasedades es 36, y que la suma de las edades es igual al número deempleados de la empresa. El compañero le dice que no tiene suficienteinformación y Pedro le dice que tuvo tres hijas porque no quería tener unahija única. ¿Cuáles sin las edades de cada una de las hijas?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 142R= las edades de las hijas de pedro son 9.2.2131313 13Datos:Dígitos del 1 al 9Suma 13Posibles ternas:139 247148 256157 346238Respuestas:R= 139, 247, 148,256Practica 2: coloca los dígitos del 1 al 9 en los cuadros de la figura de abajo,de forma tal que cada una de las cuatro direcciones indicadas sume 13.2 17 845639
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 143AB 712 6 D14EF7G 11 9 I5A¿Qué valores pueden tener A y C?A= 2C= 5Practica 4: el diagrama está formado por 10 círculos, cada uno de elloscontiene una letra. A cada letra le corresponde un digito del 1al 9. Losnúmeros colocados en las intersecciones de los círculos corresponden a lasuma de los números asignados a los dos círculos que se encuentran (porejemplo, B y C deben de ser dos números que sumados dan 12). ¿Quénumero corresponde a cada letra?HH¿Qué relaciones puedes sacar de la figura?A+C=7 F+H=7B+C=12 G+H=11D+C=6 I+H=9E+C=14 A+H=5¿Cómo derivamos la relación siguiente?A+B+D+E+F+G+I+4C+4H+A7+12+6+14+7+11+9+5¿Cuánto es la suma deA+B+C+D+E+F+G+H+I=?¿Cómo nos queda la siguiente relación?3C+2H=7+12+6+14+7+11+9+5-45-(A+H)¿Puedo saber si C es par o impar?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 144¿Qué valores pueden tener Ay H?A= 2 2H= 3 7 17 12 5 614948 7 611 3 72¿Qué información puedes deducir de la operación con letras?8594159410198Plantea la tabla que te ayuda a identificar el o los conjuntos de letras quesatisfacen la operación:A B C D E F G H I2 7 5 1 9 4 8 3 6Practica 6: identifica los valores de números enteros que corresponden alas letra para que la operación indicada sea correcta. Cada letra solopuede tomar un único valor.FARO +CAROCICFF
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 145Verifica el resultado:Reemplamos los valores de las letras¿Qué información puedes deducir de la operación con letras?Que es una suma, las letras que se repiten tienen el mismo valorPlantea la tabla que te ayuda a identificar el o los conjuntos de letras quesatisfacen la operación:Verifica el resultado:ABAD + 3930 +ABCB 3989PBTB 7919F= 8A= 5R= 9O= 4C= 1I= 0Practica 6: identifica los valores de números enteros que corresponden alas letra para que la operación indicada sea correcta. Cada letra solopuede tomar un único valor.ABAD +ABCBPBTBA=3B=9C=8D=0P=7T=1
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 146¿Qué información puedes deducir de la operación con letras?Que es una suma, las letras que se repiten tienen el mismo valorPlantea la tabla que te ayuda a identificar el o los conjuntos de letras quesatisfacen la operación:Verifica el resultado:ABAD + 1914 +ABCB 1969PBTP 3983Practica 6: identifica los valores de números enteros que corresponden alas letra para que la operación indicada sea correcta. Cada letra solopuede tomar un único valor.ABAD +ABCBPBTPA=1B=9C=6D=4P=3T=8Practica 9: se tienen tres sombreros rojos y dos blancos. Tres personas a,b, c utilizan tres de los sombreros; los dos son sombreros restantes seguardan ay b quedan con sombreros de colores diferentes. las personas b,cy c no saben cuál es el color de sus respectivos sombreros pero cada unopuede ver el sombrero de los otros dos. se le pregunto a la persona a:¿ ustedsabe el color de su sombrero? y la persona le respondió “no lose" se le hizola misma pregunta a la persona b y también contesto” yo tampoco lo sé “.Finalmente se le hizo la misma pregunta a c, que escucho las respuestas deay contesto con seguridad “si, el color de mi sombrero es xxxx”. ¿Cuál es elcolor de sombrero? como hizo c para saberlo
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 147¿Qué datos te da el enunciado del problema?Tres sombreros rojos y 2 blancosTres personas A,B,C¿Cuáles son todas las posibles maneras de colocar sombreros en A, B Y C?AB C¿Qué posibilidad descartas cuando A contesta que no sabe el color de susombrero?Que no sabe si es blanco o rojo¿Qué conclusiones cuando B dice que no sabe el color de su sombrero?No sabe si el color de su sombrero es blanco, rojoNo sabe si el color de su sombrero es rojo, blanco, rojo¿Qué características tienen las alternativas que quedan después que A yContestan la pregunta?Que si es A es rojo y B es blanca entonces el C debe ser rojo porque solo quedaese colorPractica 10: Se necesita clocar los dígitos del 1 al 9, sin repetirse, uno encada cuadrado de la figura que se presenta de manera que sumen 14,según se indica. ¿Cuál o cuáles números puedo poner en la celdaamarilla? ¿Cuántas soluciones diferentes hay en este problema?
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 148. 151515 15201320 202 178456 398325961Practica 2: coloca los dígitos del 1 al 9 en los cuadros de la figura de abajo,de forma tal que cada una de las cuatro direcciones indicadas sume 20.7
    • Diana Karolina Cueva Cedillo Página 149Datos:Dígitos del 1 al 9La suma de los cuatro números pueden formar 20Posibles cuartetos:1289 2381379 24861469 25761487 34581586 3657CIERRE:¿Qué utilidad tienen estas prácticas que hemos realizado?Aplicar y comprender estrategias¿Qué habilidades se desarrollan mediante estas prácticas?Reconocer los tipos de problemas¿Cuáles son las estrategias de la solución de problemas por búsquedaexhaustiva?Estrategia del tanteo sistemático¿En qué consiste la identificación de información implícita?Encontrar información a partir de un texto¿Cuáles son los pasos de procedimiento general de resolución de unproblema?Leer bien el ejercicioSeparar datosHacer una representaciónAplicar bien la regla